. Fuct de m multe vrble rele.. Elemete de topologe R Fe u sptu lr (XK. Det. Se umeste produs sclr plct < > < < λ > λ < v < > < > ; XX K cu omele: > ( X < > ( X ( λ K >< > < > ( X ( Xs < > ; dc s um dc :. (. Observte: Relt se reer l tervlul umrulu (sclrulu <> cd KC. Petru KR produsul sclr este o uctol blr smetrc poztv det. Det. U sptu lr pe cre s- det u produs sclr se umeste sptu eucld. Eemplu: (R R este u sptu eucld ded produsul sclr stdrd stel: > < (... R s ( R. Det. Aplct : R { } ( X s α ( α K ( X ( X... (. X se umeste orm dc depleste omele: α (. Det 4. U sptu lr peste cre s- det o orm se umeste sptu lr ormt. Eemplu. (R R este sptu ormt ded orm pr: ( (... R (.4 Observte. Este evdet c dc (XK este sptu eucld el se pote orm lud: < ; > (.5 ( X Det 5. O plcte d:xx K se umeste dstt dc stsce omele: d( ( X s : d( dc s um dc d( d( ( X (smetre d( d( z d( z ( z X (egltte trughulu (.6 Det 6. U sptu lr pe cre s- det o dstt se umeste sptu metrc. Eemplu: (R R este sptu metrc dc se deeste o dstt pr: d ( ( ( R (.7 Observte. Orce sptu ormt deve sptu metrc lud: d (.8 ( ( X Czur prtculre: R R d ( cu dstt: ( ( R ( R R (.9 d R (. cu dstt: ( ( ( (
( R R R (. cu dstt: d( ( ( ( ( z Vom troduce sptul lr (R R topolog geerl de orm. Fe (XR u sptu lr ormt s e X u vector rbtrr. Det 7. Se umeste ser (deschs cu cetrul s rz r multme: S r ( { X < r} (. ude r> este u umr rel (poztv. I prtculr vem: ( R R : ser deschs este u tervl deschs smetrc t de : -γ γ Fg. ( R R : ser deschs este terorul uu cerc cu cetrl s rz r: Fg. ( R R : ser deschs reprezt terorul ue sere cu cetrl s rz r: Fg. Det 8. Produsul crtez l tervlelor I ( b se umeste tervl -dmesol dc: I I I I... I {(... I... } (. Det 9. O multme V R este o vectte puctulu R dc est u tervl -dmesol I cre cote clus multme V dc I V. Rezult c: orce tervl -dmesol cre-l cote pe este o vectte lu. ser cu cetrul s rz r este o vectte lu. pe drept orce tervl (b cre cote pe este o vectte lu.
Det. Spuem c R este puct teror multm A dc est o vectte V lu clus multme A dc: V A. Det. Multme puctelor terore ue multm A se otez A s se umeste terorul multm A. Evdet c: A A. Det. O multme A cre cote um pucte terore (dc A A se umeste multme deschs. Eemple:. I (RR tervlul (b este multme deschs.. I I I < < b < < b s I (R R tervlul bdmesol ( { } cercul ( ( ( ( S r < r sut multm deschse. { } Det. U puct (u eprt d A este puct de cumulre multm A dc orce vectte V lu cote cel put u puct l multm A dert de dc: V A { }. Observte. Dc multme A re u puct de cumulre orce vectte lu se l o tte de pucte d multme A. De multmle cre u pucte de cumulre sut multm te (dc cu o tte de elemete.. Lmtele uctlor de m multe vrble. Fuct rel de vrble su uct de o vrbl vectorl este: E R. : E R ude Petru ( K E corespude umrul rel ( ( K. I czul prtculr se obte uct d osgur vrbl rel. Grcul ucte de vrble este multme de pucte: G {( K ( K } R (.4 Eemplu: Petru rezult G ( {( ( } R coorm gur: M ( ( Det 4. Fuct : E R E R este mrgt eror pe multme A E dc >. Fuct este mrgt superor pe est umrul rel stel ct ( ( A
A E dc est umrul rel b stel ct ( < b ( A. Fuct este mrgt pe A dc este mrgt eror s superor pe A dc dc est umrul rel M> stel ct < M. ( ( A Det 5. Fe : E R E R s e puct de cumulre petru E. Se spue c lm dc petru orce vectte U lu est vectte V lu stel ct: ( ( U ( V E. Teorem. O codte ecesr s sucet c : E R s b lmt puctul de ( ε cumulre este c petru orce ε > s este η > stel ct orcre r E s vem: ( ε ( < ε dc < η (.5 Demostrte Necestte. Fe lm ( U ε ε.. Se cosder ( Rezult c est V vectte lu depzd de ε stel ct ( ( ε ε ( E V. Dr V d vectte lu v cote o ser cu cetrul s rz r dc: Sη ε V Dec ( < ε ( ε > dc S η ( ε ( E dec dc ( (. ( ε < η E. Sucet. Presupuem relt devrt dc petru orce > S E ε ( ( ε ε η ( ε (. Dr orce vectte U lu cote u tervl deschs dc ( > ( ε ε U. Rezult c ( ( ε ε V E s uct re lmt. Prezetm r demostrte urmtore teorem: Teorem. O codte ecesr s sucet c cumulre ( ε (... dc ε stel ct orcre r U vectte lu dc : E R s b lmt puctul de l multm E este petru orce ε > s este u umr η > stel ct petru orce (... E s vem (... < ε ( ε ( ε ( ε Dc: < η < η... < η vom scre: lm (... (.6... vom spue c ter lmt rport cu smblul vrblelor... Cotutte uctlor de m multe vrble. Det 6. Fuct : E R E R este cotu puctul E dc petru orce vectte U lu ( est o vectte V lu stel ct petru orce V E s vem ( U. Itr.-u rtomet log cu cel cut czul lmte ue uct locud peste tot cu ( se demostrez:
Teorem. O codte ecesr s sucet petru c uct s e cotu E puct de cumulre multm E este c s b lmt egl cu ( dc: lm (.7 ( ( Teorem 4. O codte ecesr s sucet petru c uct s e cotu (... E este c petru orce ε > s este ( ε η > stel ct petru orce (... E s vem: (... ( < ε... (.8 ( ε ( ε ( ε < η < η... < η Dc E este u puct de cumulre l multm E coorm cu codt de cotutte d teorem (4 vom scre: lm...... (.9... ( ( Dc o ucte este cotu tr-u puct vom spue c e este cotu rport cu smblul vrblelor. Dc uct de o sgur vrbl ott: ( (...... (... s umt uct prtl ucte este cotu spuem c puctul (.... este cotu rport cu vrbl ( ( Propozt. Dc uct... este cotu tr-u puct... rport cu smblul vrblelor tuc e este cotu cest puct rport cu ecre vrbl. Demostrte: Fe cotu (... s e uct prtl ( corespuztore. D teorem lud c:...... (...... ( < ε rezult ε... petru orce η > dc ( ε. < η De c rezult c: ( ( < ε (. ε < η dc Dec ( este cotu rport cu. Rezult po c (... este cotu (... rport cu. Observte. Recproc u este devrt; dc o ucte este cotu tr-u puct rport cu tote vrblele u rezult c este cotu cel puct rport cu smblul vrblelor. Eemplu. Fe uct: dc. ( R {( } ( dc. ( ( det pe ER cu vlor R. I puctul de cumulre ( E costrum uctle prtle s stel: (
( ( ( (. Deorece: lm lm lm ( ( ( ( lm ( ( rezult c este cotu ( rport cu ecre vrbl. Is cest ucte u este cotu rport cu smblul vrblelor. Itr-devr lud drept cre trece pr orge m pe cre vom clcul lmt orge obtem: m m lm ( lm m m cre depde de prmetrul m pt drepte pe cre m ( se l puctul P(((m cd tde spre (. Astel uct u re lmt ( dec u este cotu orge..4. Dervte prtle. Deretle. Fe : E R E R s e (... E. Det 7. Fuct este dervbl prtl rport cu vrbl puctul dc est: ( ( (...... (... lm lm (. s este t. Lmt ss se umeste dervt prtl ucte rport cu puctul o s se otez: ( (...... (. Eemplu: ( det pe R. Fe puctul ( cre clculm dervtele prtle: ( ( ( ( 4 ( 4 lm lm lm ( ( lm ( ( ( ( ( 4 lm lm lm ( ( lm 4 D dete rezult metere costt celorllte vrble ( r de dec se eectuez dervt prtl ue uct de o sgur vrbl (dc ue uct prtle. De c ctev observt utle: petru clcul dervt prtl ue uct rport cu o vrbl se plc regulle de dervre le uctlor de o vrbl rel cosderd costte celellte vrble.
Eemplu: ( ( ; (. pr eecture de opert lgebrce supr uor uct dervble prtl se obt uct dervble prtl. dc ( este dervbl prtl rport cu puctul (... tuc este cotu rport cu. Dc ( este dervbl prtl rport cu ecre vrbl u rezult c este cotu rport cu smblul vrblelor cest puct. It u cotr-eemplu: dc. ( R {( } Fe ( dc. ( ( Deorece ( ; ( ; ( se obt: ( ( ( lm ( ( ( lm Dec uct re orge dervte prtle rport cu ecre dtre cele dou vrble s. Dr cest ucte u este cotu rport cu smblul vrblelor m ect e u este cotu orge evd lmt (. Itr-devr dc u puct M( se deplsez ctre orge pe drept m se obte: lm m m ( lm m m depzd de pt m drepte. m ( m ( v dc... re dervte prtle rport cu ecre vrbl cotue su mrgte tr-o vectte V puctulu teror multm de dete tuc se pote demostr c este cotu. I eemplul teror se pote costt c dervtele prtle: dc. ( R {( } ( ( s dc. ( ( dc. ( R {( } ( ( dc. ( ( u sut c cotue s c mrgte c o vectte V org. Det 8. Fuct : E R E R este dervbl prtl rport cu pe multme E dc este dervbl prtl rport cu ecre puct E. I cest cz se cosder o ou ucte umt dervt prtl ucte rport cu ott: : E R (.... Dc uctle (... sut dervble pe multme E rport cu tuc dervtele lor se umesc dervte prtle de ordul l dole rport cu s. Se otez:
( (. Petru uctle de vrble est dervte prtle de prdul t s dervte de ordul l dole. Alog se deesc dervte pertle de ordul > le ucte : α (...... α αm m cu α α... α (. m rport cu m de α m or etc. rport cu de α or s rport cu de α or. Nott petru uct de dou vrble (. Dervtele prtle de ordul t: ( ( ; ( ( (.4. Dervtele prtle de ordul l dole: ( ( ; ( ( (.5 ( ( ; ( (. I umte codt dervtele prtle de ordul l dole mte (dc s sut egle. Prezetm r demostrte u stel de crteru: Crterul lu Schwrtz Dc uct de dou vrble : E R E R re dervte prtle de ordul l dole tr-o vectte V puctulu ( E s dc ( s ( sut cotue puctul ( tuc: ( ( (.6 Det 9. Fuct : E R E R este deretbl ( E dc est umerele λ μ R s o ucte ω ( det pe E cotu s ul ( dc: lm ω ( ω( (.7 stel ct petru orce ( E s vem egltte: ( ( ( μ( ω( ( ( Proprett λ (.8 (P. Dc este deretbll ( ( λ ; ( μ. tuc re dervte prtle s ( (P. Dc este deretbl ( tuc este cotu (. (P. Dc re dervte prtle ( ( tr-o vectte V puctulu ( cotue ( tuc este deretbl (. este: Deretl de ordul t puctul ( d ( ( ( ( ( (.9 r deretl de ordul t se scre:
d ( ( d ( d (. Se pote utlz opertorul de deretere de ordul t cre este d d d (. Fe: (... E R. Deretl de ordul t puctul petru o ucte de vrble este: ( ( ( ( ( ( d... ( (. Notd: d (... se pote scre opertorul de deretere de ordul t l ue uct de vrble: d d d... d (. Reved l czul se pote troduce opertorul de deretere de ordul : d ( d d (.4 b b Eemplu: ( e. Se rt c: ( b e. Dec: b d e d C bd d... C b d d C b ( ( d..5. Formul lu Tlor petru uct de vrble rele. Fe : E R E R s e b E. Se presupue c dmte dervte prtle p l ordul cotue vectte V puctulu (b. Atuc: ( ( ( b ( ( b ( b ( ( b!! ( ( b ( ( b R! reprezt ormul lu Tlor ude restul R re epres: R! ( cu <θ<. ( ( b ( Eemplu. Petru uct : E R E ( ( θ ( b θ ( b { R > > } ( ( b (.5 (.6 det pr s se scre polomul lu Tlor de grdul l trele puctul (. po s se deduc o vlore promtv petru (. Avem: ( ( ( ( ( (. Rezult: (
T!! ( ( tru s deducem: ( ( [ ( ( ] ( (! ( (. Fe [ ] ( ( (.6. Etremele uctlor de m multe vrble rele. : E R E R s e u puct E. Pe Det. Dc est o vectte V lu stel ct: ( ( ( V E tuc se umeste puct mm (locl s: m ( (. Det. Dc est o vectte V lu stel ct: ( ( ( V E tuc se umeste puct de mm (locl s: m ( (. Determre puctelor de etrem petru uct de vrble. Fe : E R E R. Det. Puctul (b se umeste puct sttor l ucte dc: ( ( b E& ( est ( b s ( b s sut ule: ( b ( b (.7 O codte ecesr petru estet puctulu de etrem este cotut urmtore teorem: Teorem 5. Dc : E R E R re dervte prtle tr-u puct de etrem (b teror multm E tuc cest puct este puct sttor l ucte. Demostrte. Fe E { ( b E} s uct g : E R det pr g((b dervbl. Dr E este puct de etrem l ucte g( dec coorm teoreme lu Fermt b g ( (. Alog e E { ( E} h pr teorem lu Fermt c: ( b ( b. & s uct : E R det pr h((. Se deduce h Cum ( b E rezult c (b este puct sttor. Rezult c puctele de etrem se l prtre puctele sttore le ucte. Sut utle dec teoremele ce du codt sucete. Teorem 6. Fe (b puct sttor l ucte. Dc re dervte prtle de ordul cotue tr-o vectte V puctulu (b s dc se otez: ( b ( b ( b r s t (.8 tuc: ( dc rt-s > tuc (b este puct de etrem s ume: ( mm dc r> (b mm dc r<
( dc rt-s < tuc (b u este puct de etrem (este puct s. Demostrte: I potezele cute se scre ormul lu Tlor de ordul (b: ( ( b [ r( s( ( b t( b ] R.! Notd P(b X( d(px ( ( b α p ( PX OX sα b cosα cu α [ π. Presupuem α s dm ctor comu ortt pe ( b ( czul α se d ctor comu ortt pe ( : ( ( ( b b r s t R! b b s α Avd dervte de ordul cotue ceste sut mrgte dc est M> stel ct: R < R M M dec: lm!! R Rezult c lm dc est o vectte puctulu P(b stel ct semul derete tre ( s (b depde de semul tromulu de grdul do: T ( u ru su tm u. b Dc Δ s rt < tuc T9u pstrez sem costt semul lu r. Rezult c: ( ( b cd r> s (b este puct de mm. b ( ( b cd r< s (b este u puct de mm. Dc s rt > su rt s < tuc tromul T(u s dec deret ( ( b u re sem costt dec (b u este puct de etrem. Geerlzre. Fe : E R E R. Dc E este o multme deschs tuc puctele sttore le ucte sut solutle sstemulu de ecut: (...... (.9 (... r puctele de etrem se l prtre puctele sttore. Teorem 7. Dc : E R E R s P (... puct sttor l ucte. Dc dmte dervte de ordul tre cotue tr-o vectte puctulu p s dc otez: ( A... ; s... (.4 Atuc: ( dc tote umerele: A ; Δ ;...; Δ AA AA... A A A Δ... (.4 A A... A sut poztve tuc P este puct de mm.
( dc semele lterez:... ; ;...; ; > Δ < Δ > Δ < Δ > Δ tuc P este puct de mm. Demostrte: I puctul P sttor dervtele prtle de ordul t sut ule: (.... P ( ( Se scre ormul lu Tlor de ordul l dole puctul P: ( ( ( ( (...!...... R P Fe ( (. P X d Rezult c: ( ( ( (....!...... R P Dr lm R dec rezult c est o vectte V puctulu P stel ct semul derete (X-(P este dt de semul eprese: ( ( ( X Q P... ude: ( ( ( ( P X Q ; este o orm ptrtc ( - ude... Dc sut deplte codtle Q(X este o orm (uctol poztv det dec ( ( ( V X P X s P este puct de mm. Dc sut deplte codtle tuc Q(X este orm ptrtc egtv det s ( ( ( V X P X dc P este puct de mm. Eemplu. Fe o ucte ( { } : R E R E det pr (. 5 S determm etremele ceste uct. ( 5 (. Se obte puctul sttor P(5. Avem:. ; 4 ; dec: ( ( (. 5 5 ; 5 ; 5 4 5 t s r Rezult: rt-s > s 5 4 > r dec puctul P(5 este puct de mm r (5m(.
Fe uct (... (... : E R E.7. Etreme codtote (etreme cu legtur. R s e sstemul de ecut: F F (.4... F (... Fe multme A solutlor sstemulu (.4 dc: A R E F... (.4 { ( } Det. Fuct re puctul A etrem codtot de legturle (.4 (su etrem reltv l multme A dc restrct ucte l submultme A E re u etrem. Det 4. Se umeste restrct ucte : E R l multme A E uct : A R. Etremele codtote se m umesc etreme cu legtur. Prezetm r demostrte o teorem cre udmetez metod de determre etremelor codtote. Teorem 8. Fe (... A. Dc: uctle ( F (...F ( dete pe E R u dervte prtle cotue tr-o vectte V lu. F mtrce uctol de ord re rgul (egl cu umrul legturlor d (4. este puct de etrem codtot de sstemul (.4 tuc est umere: λ λ... λ stel ct: F ( F ( ( λ... λ F ( F ( ( λ... λ... F ( F ( ( λ... λ Det 5. U puct cre mtrce uctol F (.44 re rgul s verc codtle (.4 s (.44 se umeste puct sttor l ucte codtot de sstemul (.4 r sclr λ λ K λ se umesc multplctor lu Lgrge. Cu cest se pote eut: Teorem 9. Orce puct de etrem codtot este puct sttor codtot. Recproc u este devrt. Dc E este o multme deschs determre puctelor de etrem codtot se ce stel:
I. Codt ecesre de etrem. Se costrueste uct lu Lgrge: φ K ; λ λ K λ λ F λ F (.45 ( ( ( ( ( K cu s multplctor lu Lgrge λ λ K λ edetermt.. Se ormez sstemul de ecuoscute: φ ( K ; λ λ K λ LLLLLLLLLLLLLL φ ( K ; λ λ K λ φ ( K ; λ K λ F ( K λ LLLLLLLLLLLLLL φ ( K ; λ K λ F ( K λ (.46 K ; λ λ dec puctele. Se rezolv sstemul (.46 determd solutle ( K sttore ( K s vlorle corespuztore le multplctorlor ( λ Puctele de etrem se gsesc prtre puctele sttore. II. Codt sucete de etrem Presupud c F K F ( ( ( λ K. u dervte prtle de ordul cotue tr-o ( ( ( vectte puctulu sttor K evlum deret petru puctele cre stsc sstemul (.4. I ceste pucte obtem: φ φ (.47 ( ( ( ( φ corespuztor puctulu sttor se obte: Petru uct φ ( td sem c ( ( φ( ( ( s locud multplctor cu φ K φ( R (.48! ( λ K λ R Fe d(. Se utlzez ptul c: lm Rezult dec: ( ( φ ( φ( Q( R ude: φ Q( ( ( ( ( φ d d (.49
este o orm ptrtc d ( K. Dr cum vrblele u sut depedete ele stscd codtle de legtur (.4 rezult c c deretlele d u sut depedete. Rezult l ptrule ps determre puctelor de etrem: 4. Se deretz codtle de legtur (.4 obtd: F ( F ( F ( d d K d LLLLLLLLLLLLL (.5 F ( F ( F ( d d K d Este vorb de u sstem de ecut lr omoge ecuoscutele d K d determt este cel d teorem (8 (reltle (.44 eul umt cob. F F ( ( KK D( F F K F LLLLLLLLL (.5 D( K F F ( ( KK Dec sstemul (.5 este edetermt. l cru 5. Se determ d d d ucte de vectte V lu vem (cu ott: K d ( K φ( A Add ; [ ( ( ] sg A d d sg : :. Rezult c tr-o sg (.5 A A ; ; K ude: (.5 d d K Cum A sut costte relt (.5 cote o orm ptrtc deretlele d ( K cre u vlor rbtrre. 6. Se costruesc determt: A A KK A A A KK A LLLLLL A A KK A (.54 K Se cercetez sumele cestor: dc tote umerele Δ > ( K tuc orm ptrtc Q( este poztv det s ( ( petru orce vectte V lu.
b dc tote umerele Δ ( Δ > ( egtv det s ( ( mm. K tuc orm ptrtc Q( este petru orce vectte V lu. Dec este puct de Metod utlzt petru determre puctelor de etrem codtot se umeste metod multplctorlor lu Lgrge. Eemplu: Fe R : R det pr ( 5 cu ecut:. ( Rezult c F. Se plc metod multplctorlor lu Lgrge: F( λ 5 λ( F( λ λ F( λ λ F( λ Se obt solutle: ; ; λ ; ; λ ; ; λ 4 ; 4 ; λ4 df ( d d dec d d φ φ φ ( λ φ ( λ ( λ φ ( λ ( λ φ ( λ 9 6 Q( 9d 6dd d 9 d. Petru P ; se obte Q ( d > r petru P 9 se obte Q ( d > dec P s P sut pucte de mm codtot. Alog 9 czul λ λ4 coduce l:
φ ( λ φ ( λ 4 ( λ φ ( λ4 ( λ φ ( λ φ φ 4 9 6 Q( d 6dd 9d 9 d. Petru P s P 4 se obte: Q Q 64d dec P s P 4 sut pucte de mm codtot. Fe ( ( {( R } 4 4 < A ; m ( m ( A A ( ( P ( P 55 ( ( P ( P 5 5 4