M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A

Miloš Miličić M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Akdemsk miso Beogrd, 2012

Dr Miloš Miličić redovni profesor Držvnog univerzitet u Novom Pzru MATEMATIČKA ANALIZA Recenzenti Dr Ćeml Dolićnin redovni profesor i rektor Držvnog univerzitet u Novom Pzru Dr Miloš Čnk redovni profesor Univerzitet u Beogrdu i Držvnog univerzitet u Novom Pzru

SADRŽAJ PREDGOVOR 8 1 POLJE REALNIH BROJEVA 9 1. Istorijski pregled rzvoj pojm relnog broj............. 9 2. Aksiome skup relnih brojev..................... 12 3. Predstvljnje relnih brojev tčkm prve............. 17 4. Prošireni skup relnih brojev. Intervli................ 18 5. Apsolutn vrednost relnog broj.................... 19 6. Podskupovi skup relnih brojev.................... 21 6.1. Skup prirodnih brojev. Princip mtemtičke indukcije... 21 6.2. Skup celih brojev........................ 24 6.3. Skup rcionlnih brojev.................... 25 6.4. Skup ircionlnih brojev.................... 27 7. Dedekindov princip neprekidnosti.................... 27 8. Ogrničeni i neogrničeni podskupovi skup R............ 29 9. Stepenovnje i korenovnje u skupu relnih brojev. Njutnov binomn formul............................. 32 10. Princip umetnutih segment...................... 38 11. Rstojnje u skupu R. Okoline. Tčke ngomilvnj........ 39 12. Decimlni brojevi............................. 42 2 KARDINALNI BROJ SKUPA 45 3 REALNA FUNKCIJA JEDNE REALNE PROMENLJIVE OSNOVNI POJMOVI 50 1. Definicij funkcije iz R u R. Nčini zdvnj funkcije........ 50 2. Opercije s funkcijm......................... 54 2.1. Aritmetičke opercije s funkcijm............... 54 2.2. Kompozicij funkcij. Složen funkcij............. 55 3. Prne i neprne funkcije......................... 57 4. Periodične funkcije............................ 59 5. Ršćenje i opdnje funkcije....................... 61 6. Loklni ekstremumi funkcije....................... 63 7. Inverzn funkcij............................. 64 8. Elementrne funkcije........................... 67 8.1. Osnovne elementrne funkcije.................. 67 8.2. Algebrske funkcije........................ 72 8.3. Hiperboličke funkcije. Inverzne funkcije hiperboličkih funkcij (re-funkcije)..................... 74 9. Trnsformcij grfik funkcije..................... 78 10. Krive u rvni zdte prmetrskim jednčinm........... 81

4 Sdržj 10.1. Kružnic............................. 81 10.2. Elips............................... 81 10.3. Cikloid.............................. 82 10.4. Astroid.............................. 83 10.5. Evolvent kružnice........................ 86 11. Polrn jednčin krive......................... 87 11.1. Polrni koordintni sistem.................... 87 11.2. Polrn jednčin prve..................... 88 11.3. Polrn jednčin kružnice................... 89 11.4. Lemniskt............................ 90 11.5. Krdioid............................. 91 11.6. Četvorolisn ruž......................... 92 4 BESKONAČNI BROJEVNI NIZOVI 95 1. Definicij i nčini zdvnj beskončnog niz............. 95 2. Grničn vrednost niz......................... 98 3. Osobine konvergentnih nizov...................... 100 4. Monotoni nizovi.............................. 111 5. Podnizovi. Tčke ngomilvnj niz.................. 117 6. Bolcno Vjerštrsov teorem..................... 120 7. Košijev kriterijum konvergencije nizov................. 121 8. Gornji i donji limes niz......................... 124 5 GRANIČNA VREDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE 126 1. Grničn vrednost funkcije....................... 126 1.1. Pojm grnične vrednosti funkcije............... 126 1.2. Lev i desn grničn vrednost funkcije............ 129 1.3. Grničn vrednost funkcije kd x + ili x. Beskončn grničn vrednost................. 130 1.4. Svojstv grničnih vrednosti funkcij.............. 132 1.5. Beskončno mle i beskončno velike.............. 134 1.6. Izrčunvnje grničnih vrednosti funkcij........... 138 2. Neprekidnost funkcije.......................... 146 2.1. Pojm neprekidnosti funkcije u tčki.............. 146 2.2. Tčke prekid funkcije...................... 150 2.3. Osobine neprekidnih funkcij n intervlu........... 152 2.4. Rvnomern neprekidnost.................... 155 6 IZVODI I DIFERENCIJALI 157 1. Izvodi................................... 157 1.1. Pojm prvog izvod funkcije.................. 157 1.2. Levi i desni izvod funkcije.................... 158 1.3. Geometrijski smiso prvog izvod................ 158 1.4. Fizički (mehnički) smiso prvog izvod............ 160 1.5. Diferencijbilnost funkcije.................... 162 1.6. Prvil diferencirnj...................... 164

Sdržj 5 1.7. Izvodi osnovnih elementrnih funkcij............. 168 1.8. Izvodi hiperboličkih i re funkcij.............. 171 1.9. Tblic izvod.......................... 172 1.10. Izvodi višeg red......................... 173 2. Diferencijl funkcije........................... 178 2.1. Diferencijl prvog red...................... 178 2.2. Diferencijli višeg red...................... 181 3. Osnovne teoreme diferencijlnog rčun................ 183 3.1. Fermov teorem........................ 183 3.2. Rolov, Lgrnžov i Košijev teorem............. 184 3.3. Lopitlovo prvilo........................ 188 3.4. Tejlorov formul......................... 193 4. Ispitivnje funkcij............................ 201 4.1. Kriterijum monotonosti..................... 201 4.2. Odred ivnje ekstremnih vrednosti funkcije........... 202 4.3. Konveksnost i konkvnost funkcije............... 207 4.4. Asimptote............................. 211 4.5. Opšt shem ispitivnj funkcij................ 214 5. Tngent i norml krive. subtngent i subnorml......... 218 6. Krivin. Krug krivine. Evolut i evolvent............... 219 7 NEODRED- ENI INTEGRAL 228 1. Pojm primitivne funkcije i neodred enog integrl.......... 228 2. Osobine neodred enog integrl..................... 229 3. Tblic osnovnih neodred enih integrl................. 229 4. Metod smene promenljive....................... 231 5. Metod prcijlne integrcije...................... 237 6. Integrcij rcionlnih funkcij..................... 244 7. Integrcij ircionlnih funkcij..................... 254 8. Integrcij trigonometrijskih funkcij.................. 267 8 ODRE-DENI INTEGRAL 271 1. Definicij odred enog integrl. Drbuove sume............ 271 2. Neke klse integrbilnih funkcij.................... 279 3. Osobine odred enog integrl....................... 280 4. Odred eni integrl ko funkcij gornje grnice. Njutn-Ljbnicov formul.................................. 284 5. Smen promenljive kod odred enog integrl.............. 288 6. Prcijln integrcij kod odred enog integrl............. 291 7. Nesvojstveni integrli.......................... 293 8. Primen odred enog integrl...................... 296 8.1. Površin rvnog lik....................... 296 8.2. Zpremin obrtnog tel..................... 306 8.3. Dužin luk krive......................... 310 8.4. Površin obrtne površi...................... 315

6 Sdržj 9 REDOVI 320 1. Numerički redovi............................. 320 1.1. Osnovni pojmovi......................... 320 1.2. Potrebni uslovi konvergencije. Košijev opšti kriterijum konvergencije........................... 322 1.3. Osobine konvergentnih redov.................. 325 1.4. Nenegtivni redovi........................ 330 1.5. Nizmenični (lterntivni) redovi................ 346 1.6. Redovi s člnovim proizvoljnog znk............ 348 1.7. Apsolutno konvergentni redovi................. 349 2. Funkcionlni nizovi i redovi....................... 351 2.1. Konvergencij i uniformn konvergencij funkcionlnih nizov i redov.......................... 351 2.2. Osobine uniformno konvergentnih nizov i redov....... 359 3. Stepeni redovi............................... 368 3.1. Poluprečnik i oblst konvergencije stepenog red....... 368 3.2. Osobine stepenih redov..................... 374 3.3. Rzvoj funkcije u stepeni red.................. 377 3.4. Rzvoj nekih elementrnih funkcij u Mklorenov stepeni red 382 3.5. Neke primene stepenih redov.................. 386 4. Furijeovi redovi.............................. 389 4.1. Ortogonlni sistemi funkcij................... 389 4.2. Definicij trigonometrijskog Furijeovog red. Tvrd enje o konvergenciji Furijeovog red.................... 391 4.3. Primeri rzvijnj funkcij u Furijeov red n intervlu [ π, π] 394 4.4. Rzvijnje prnih i neprnih funkcij u Furijeov red..... 398 4.5. Rzvijnje u Furijeov red funkcije s periodom 2l....... 400 4.6. Rzvijnje funkcije u Furijeov red u proizvoljnom intervlu [,b]................................ 403 4.7. Rzvijnje neperiodičnih funkcij u Furijeov red....... 406 4.8. Rzvijnje funkcije u Furijeov red u intervlu [0, l]...... 408 4.9. Rimn-Lebegov lem...................... 409 4.10. Delimične sume Furijeovog red................. 410 4.11. Dokz tvrd enj o rzvijnju funkcije u Furijeov red...... 411 4.12. Beselov nejednkost....................... 412 4.13. Srednjekvdrtn proksimcij funkcije trigonometrijskim polinomom............................ 415 4.14. Uniformn konvergencij Furijeovog red........... 416 4.15. Furijeov integrl......................... 417 4.16. Furijeov integrl z prne i neprne funkcije.......... 420 10 REALNE FUNKCIJE VIŠE REALNIH PROMENLJIVIH 422 1. Reln funkcij dve relne promenljive................. 422 1.1. Uvodni pojmovi......................... 422 1.2. Grničn vrednost i neprekidnost funkcije dve promenljive.. 424 1.3. Prcijlni izvodi......................... 429

Sdržj 7 1.4. Totlni diferencijl........................ 435 1.5. Prcijlni izvodi složene funkcije................ 439 1.6. Izvodi implicitnih funkcij.................... 441 1.7. Tngentn rvn i norml površi. Geometrijsk interpretcij totlnog diferencijl....................... 443 1.8. Izvod u dtom smeru i grdijent funkcije........... 446 1.9. Tejlorov formul z funkcije dve promenljive......... 448 1.10. Ekstremne vrednosti funkcije dve promenljive......... 450 1.11. Uslovni ekstremumi....................... 454 2. Reln funkcij tri relne promenljive................. 459 LITERATURA 469

PREDGOVOR U ovoj knjizi obrd eni su osnovni pojmovi mtemtičke nlize koji se, u okviru mtemtičkih kursev, izučvju n prirodno-mtemtičkim, rčunrsko informtičkim, tehničkim i drugim fkultetim, ko i n nekim visokim školm strukovnih studij. Knjig je zmišljen ko udžbenik z studente ovih fkultet, p su i koncepcij i nčin obrde mterije prilgod eni, pre sveg, njenim budućim korisnicim. U tu svrhu, dt je veliki broj grfičkih ilustrcij, primer i rešenih zdtk. Mterij u knjizi podeljen je u deset poglvlj. U pripremi i obrdi sedmog, osmog i devetog poglvlj utoru je znčjno pomogl dr Nd Miličić, redovni profesor Tehnološko-metlurškog fkultet u Beogrdu. Recenzenti dr Ćeml Dolićnin, rektor Držvnog univerzitet u Novom Pzru i dr Miloš Čnk, redovni profesor Univerzitet u Beogrdu i Držvnog univerzitet u Novom Pzru svojim sugestijm zntno su doprineli kvlitetu knjige. Autor im toplo zhvljuje. U Beogrdu, 10. 01. 2012. Autor

I POGLAVLJE POLJE REALNIH BROJEVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA POJMA REALNOG BROJA Jedn od njvžnijih pojmov u mtemtici je pojm relnog broj. Istorijski rzvoj pojm relnog broj ide od prirodnih, preko celih i rcionlnih do ircionlnih brojev. Možemo smtrti d su prirodni brojevi: 1, 2, 3, 4, 5,...nstli s nstnkom čovek. Skup prirodnih brojev se oznčv s N, dkle, N = {1,2,3,4,5,...}. U skupu prirodnih brojev definisne su dve binrne opercije: sbirnje i množenje, tj. ko su m,n N, td je i m +n N i m n N. Z sbirnje i množenje prirodnih brojev vže zkoni socijcije i komutcije, ko i zkon distribucije množenj u odnosu n sbirnje. Skup prirodnih brojev je potpuno ured en po veličini relcijom (mnje ili jednko): 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < U tom ured enju, broj 1 je minimum skup N, dok mksimum ne postoji. Svki broj im svog neposrednog sledbenik, svki broj, rzličit od 1, svog neposrednog prethodnik. Ako je n prirodni broj rzličit od 1, td je n 1 njegov neposredni prethodnik, n+1 njegov neposredni sledbenik. Z brojeve n 1 i n, odnosno n i n+1 kže se d su uzstopni prirodni brojevi. Izmed u dv prirodn broj n i n+(k+1), gde je k N, nlzi se k prirodnih brojev. Med utim, ko se zn zbir m dv prirodn broj i jedn od sbirk, recimo n, td nepoznti sbirk x možemo odrediti smo u slučju kd je m > n. Drugim rečim, jednčin x+n = m im rešenje u skupu prirodnih brojev smo u slučju kd je m > n. Zhtev d jednčin n+x = m im rešenje z proizvoljne m, n N dovodi do proširenj skup prirodnih brojev u skup celih brojev. Broj nul dobijmo ko rešenje jednčine x+1 = 1, ili bilo koje jednčine x + n = n (n N). Broj 1 dobijmo ko rešenje jednčin x+1 = 0, ili bilo koje jednčine x+(n+1) = n (n N). Uopšte, broj n dobijmo ko rešenje jednčine x + n = 0, ili bilo koje jednčine x+(n+m) = m (m,n N). Skup celih brojev ćemo oznčvti s Z (upotrebljvjusejošioznkedie). Dkle, Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}. Z sbirnje i množenje celih brojev vže zkoni socijcije i komutcije, ko i zkon distribucije množenj u odnosu n sbirnje. U skupu Z se definiše i binrn opercij oduzimnje, tj. rzlik dv cel broj. Rzlik celih brojev m i n je broj k, tkv d je n +k = m. Pišemo k = m n, jsno m n = m+( n). Skup Z je potpuno ured en po veličini relcijom :... 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 < 3 <.... U ovkvom ured enju ne

10 Polje relnih brojev postoji ni mksimum ni minimum skup Z; svki broj im svog neposrednog prethodnik i neposrednog sledbenik, izmed u svk dv neuzstopn cel broj postoji končno mnogo celih brojev. Med utim, jednčin 2x = 1 u skupu celih brojev nem rešenj, tj. u skupu Z ne postoji broj x, tkv d je proizvod broj 2 i broj x jednk 1. Zhtev d ov jednčin, ko i sve jednčine oblik qx = p, gde p,q Z i q 0, imju rešenje, dovodi do proširenj skup celih brojev u skup rcionlnih brojev ili rzlomk. Rešenje jednčine qx = p izržvmo u obliku x = pq 1. Ovim je definisn binrn opercij deljenje, s jednim izuzetkom d se ne može deliti nulom. Količnik brojev p i q je broj kojim treb pomnožiti broj q d bi se dobio broj p. Oznčvmo g s p : q ili p q, to je, u stvri, p q 1 (q 0). Rcionln broj je svki broj oblik p q, gde p,q Z i q 0. Skup rcionlnih brojev ćemo oznčvti s Q. Dkle, { } p Q = (p,q Z) (q 0). q Npomenimo d bez ogrničenj možemo pretpostviti d je q > 0. Z sbirnje i množenje rcionlnih brojev vže zkoni socijcije i komutcije, ko i zkon distribucije množenj u odnosu n sbirnje. U skupu Q\{0} deljenje je tkod e binrn opercij. Skup rcionlnih brojev potpuno je ured en relcijom, tj. z svk dv rcionln broj i b vži jedn od sledeć tri odnos: < b, = b ili > b. Izmed u dv m koj rcionln broj i b postoji beskončno mnogo rcionlnih brojev. Nime, ko je < b, td je broj c = +b izmed u 2 brojev i b. Isto tko, broj c 1 = +c je izmed u brojev i c i broj 2 c 2 = c+b izmed u c i b, tj. < c 1 < c < c 2 < b. Ovj postupk se može 2 nstviti i po svojoj prirodi je tkv d mu nem krj, što uprvo i znči d izmed u svk dv rcionln broj postoji beskončno mnogo rcionlnih brojev. Zto kžemo d je skup rcionlnih brojev svud gust. Ako je r Q i m Z, td je r m Q, li ko r,m Q, td r m ne mor biti rcionln broj. N primer, ( 4 5 ) 3 = 64 125 je rcionln broj, dok ( )2 4 3 nije rcionln broj. Pre nego što dokžemo d broj čiji je kvdrt 2 5 ( koji oznčvmo s 2) nije rcionln, odnosno d jednčin x 2 = 2 nem rešenj u skupu rcionlnih brojev, npomenimo d su u Stroj Grčkoj brojevim dvli geometrijski smiso, jer su oni dovod eni u vezu s merenjem

1. Istorijski pregled rzvoj pojm relnog broj 11 veličin. Izmeriti neku veličinu znči uporediti je s jedinicom mere te veličine, tj. nći koliko se put jedinic mere sdrži u veličini koj se meri. N ovj nčin se merenoj veličini pridružuje merni broj. Med utim, sledeći jednostvn primer merenj duži pokzuje d se svkoj duži ne može pridružiti merni broj koji bi bio rcionln. Nime, još su u Stroj Grčkoj pripdnici poznte Pitgorejske 2) škole (u V i IV veku pre nove ere) znli d su strnic i dijgonl d kvdrt nesmerljive duži, tj. d je nemoguće nći duž koj bi se ceo broj put sdržvl i u strnici i u dijgonli kvdrt. Ovo je u vezi s činjenicom d sl. 1 2 nije rcionln broj. Nime, ko bi postojl duž c koj se q put sdrži u i p put u d, gde su p i q celi brojevi, td bi bilo = qc i d = pc. Kko je, prem Pitgorinoj teoremi, d = 2, dlje bi bilo pc = qc 2, tj. p = q 2 ili 2 = p, što bi znčilo d q je 2 rcionln broj. Dokžimo, med utim, d 2 nije rcionln broj, tj. d se ne može predstviti u obliku p, gde su p i q celi brojevi. Dokz koji nvodimo potiče od q Euklid. 3) Pretpostvimo suprotno, d je 2 = p, gde su p i q uzjmno q prosti celi brojevi, tj. NZD (p,q) = 1. Ov pretpostvk je bitn i on se uvek može učiniti, jer ko p i q nisu uzjmno prosti, rzlomk p se može q skrtiti. Dlje sledi p = q 2, tj. p 2 = 2q 2, što znči d je p 2, smim tim i p, deljivo s 2. Dkle, p = 2m, gde m Z, p poslednj jednkost dje 4m 2 = 2q 2, tj. q 2 = 2m 2, što znči d je i q 2, smim tim i q, deljivo s 2. Dobili smo d je 2 zjednički činilc brojev p i q, što je suprotno pretpostvci d su p i q uzjmno prosti. Ovim smo dokzli d 2 nije rcionln broj. Broj 2 je ircionln. Sznnje d odnos dijgonle i strnice kvdrt nije rcionln broj i d se, u skldu s tim, n primer, dijgonli jediničnog kvdrt ne može pridružiti merni broj koji bi bio rcionln, jeste prvi susret s ircionlnim brojevim. To sznnje je unelo zbunu med u mtemtičre, jer je teško bilo prihvtiti d se posve odred enoj duži, kkv je dijgonl kvdrt, ne može pridružiti merni broj. Pojm ircionlnog broj biće precizno definisn tek dve hiljde godin ksnije, zsluge z to pripdju znmenitim 2) Pitgor (580 500. god. pre nove ere) strogrčki mtemtičr. 3) Euklid (365? 275? god. pre nove ere), strogrčki mtemtičr.

12 Polje relnih brojev mtemtičrim XIX vek - Dedekindu 4), Kntoru 5) i Vjerštrsu. 6) O nekim Dedekindovim i Kntorovim rezulttim u tom smislu biće reči ksnije u okviru ksiomtske metode izučvnj relnih brojev. Dkle, pored rcionlnih, postoje i ircionlni brojevi. Možemo reći d je broj ircionln ko se ne može predstviti u obliku p, gde p,q Z i q q 0. Skup ircionlnih brojev ćemo oznčvti s I. Definicij 1. Jednčin oblik 0 x n + 1 x n 1 + + n 1 x+ n = 0, gde su koeficijenti i (i = 0,1,2,...,n) celi brojevi, 0 0 i n N, je lgebrsk jednčin n-tog stepen. Definicij 2. Broj koji predstvlj rešenje lgebrske jednčine nziv se lgebrski broj. A l g e b r s k i b r o j e v i N Z Q I T r n s c e d e n t n i b r o j e v i s;. 2 Svi rcionlni brojevi su lgebrski, jer su rešenj lgebrske jednčine prvog stepen 0 x + 1 = 0, 0, 1 Z i 0 0. Broj 2 je tkod e lgebrski, jer zdovoljv jednčinu x 2 2 = 0. Nije teško pokzti d su lgebrski ircionlni brojevi: 3, 2 3 5, 3+5 4 7 itd. Med utim, postoje ircionlni brojevi koji nisu lgebrski, to su trnscedentni ircionlni brojevi. Brojevi: π, e, log 2 5 itd. su trnscedentni ircionlni brojevi. Unij skup rcionlnih i skup ircionlnih brojev je skup relnih brojev. Uobičjen oznk z skup relnih brojev je R. Dkle, R = Q I. Pregled prirodnih, celih, rcionlnih, ircionlnih, lgebrskih i trnscedentnih brojev dt je n sl. 2. 2. AKSIOME SKUPA REALNIH BROJEVA Koristeći sve rezultte o svojstvim relnih brojev do kojih su došli mtemtičri, moguće je teoriju relnih brojev zsnovti ksiomtski, tj. 4) Richrd Dedekind (1831 1916), nemčki mtemtičr. 5) Georg Cntor (1845 1918), nemčki mtemtičr. 6) Krl Weierstrss (1815 1897), nemčki mtemtičr.

2. Aksiome skup relnih brojev 13 poći od osnovnih pojmov i polznih tvrd enj (ksiom), ztim definisti nove pojmove i izvoditi rzn svojstv n osnovu polznih i već dokznih tvrd enj. Definicij 3. Skup relnih brojev je neprzn skup R u kome su definisne dve binrne opercije: sbirnje (+) i množenje ( ) i binrn relcij (mnje ili jednko), tko d su ispunjen sledeć svojstv: I 1 (,b,c R) ((+b)+c = +(b+c)) sbirnje je socijtivn opercij, 2 ( 0 R) ( R) (+0 = 0+ = ) 0 (nul) je neutrlni element z sbirnje, 3 ( R) ( ( ) R) ( + ( ) = ( ) + = 0) element je suprotni elementu u odnosu n sbirnje, 4 (,b R) (+b = b+) sbirnje je komuttivn opercij, 5 (,b,c R) ((b)c = (bc)) množenje je socijtivn opercij, 6 ( 1 R) ( R) ( 1 = 1 = ) 1 (jedinic) je neutrlni element z množenje, 7 ( R \{0}) ( 1 R) ( 1 = 1 = 1) element 1 je inverzni elementu ( 0) u odnosu n množenje, 8 (,b R) (b = b) množenje je komuttivn opercij, 9 (,b,c R) ((+b) c = c+bc & c (+b) = c+cb) množenje je distributivno u odnosu n sbirnje; II 10 ( R) ( ) relcij je refleksivn, 11 (,b R) ( b b = b) relcij je ntisimetričn, 12 (,b,c R) ( b b c c) relcij je trnzitivn, 13 (,b R) ( b b ) svk dv element iz R su uporediv, 14 (,b,c R) ( b + c b + c) relcij je sglsn s sbirnjem, 15 (,b R) (0 0 b 0 b) relcij je sglsn s množenjem. III 16 Ako su A i B neprzni podskupovi od R, tkvi d je ( A) ( b B) ( b), td postoji element c R, tkv d je ( A) ( b B) ( c b) svojstvo neprekidnosti (potpunosti) skup R. Nveden tvrd enj, koj uzimmo ko tčn, nzivju se ksiome skup relnih brojev i, ko što se vidi, podeljene su u tri grupe. Iz ksiom I grupe sledi d skup R u odnosu n opercije + i im lgebrsku strukturu polj. Iz ksiom II grupe sledi d je skup R potpuno ured en relcijom, ko i sglsnost te relcije s opercijm sbirnj i množenj. Njzd, u R vži ksiom 16 III grupe, koj se nziv ksiom neprekidnosti ili ksiom potpunosti. S obizrom n nveden svojstv, kže se d je skup relnih brojev potpuno ured eno polje.

14 Polje relnih brojev Sv ostl, nm mnje ili više poznt, svojstv relnih brojev mogu se izvesti iz nvedenih ksiom. Pre sveg, u skupu R definišu se opercije oduzimnj i deljenj. Definicij 4. Rzlik relnih brojev i b, u oznci b, je zbir broj i broj b, tj. b = +( b). Lko je videti d je rzlik brojev i b broj koji treb sbrti s b d bi se dobio broj. Definicij 5. Količnik relnih brojev i b, gde je b 0, u oznci b ili : b, je proizvod broj i broj b 1, tj. b = b 1 Istknimo sd neke osobine relnih brojev. Tvrd enje 1. () Neutrlni element u odnosu n sbirnje u R (broj nul) je jedinstven; (b) Svki element R im jedinstven suprotni element u R; (c) ( ) = z svko R; (d) (+b) = ( )+( b) z sve,b R; (e) Jednčine +x = b i y + = b imju jedinstven rešenj u R; (f) Vže zkoni skrćivnj slev i zdesn, tj. +b = +c b = c i b+ = c+ b = c; (g) + = = 0; ( ) Neutrlni (jedinični) element u odnosu n množenje u R (broj 1) je jedinstven; (b ) Svki element R \ {0} im jedinstveni inverzni element 1 u R\{0}; (c ) ( 1 ) 1 = z svko R\{0}; (d ) (b) 1 = 1 b 1 z sve,b R\{0}; (e ) Jednčine x = b i y = b ( R \ {0}, b R) imju jedinstven rešenj u R. (f ) Vže zkoni skrćivnj slev i zdesn, tj. (b = c 0) b = c i (b = c 0) b = c. (g ) ( = 0) = 1. Dokz. () Ako bi bil dv neutrln element, tj. dve nule 0 i 0 1, td bi bilo 0 + 0 1 = 0 1 + 0 = 0 1 (zbog tog što je 0 neutrlni element) i

2. Aksiome skup relnih brojev 15 0+0 1 = 0 1 +0 = 0 (zbog tog što je 0 1 neutrlni element), p sledi d je 0 = 0 1. (b) Pretpostvimo d element im dv suprotn element i, tj. + = + = 0 i + = + = 0. Td je = +0 = +(+ ) = ( +)+ = 0+ =. (c) ( ) = ( )+0 = ( )+( +) = ( ( )+( )) + = 0+ =. (d) (( )+( b))+(+b) = b+( +)+b = b+0+b = b+b = 0 (+b) = ( )+( b). (e) + x = b + ( + x) = + b ( + ) + x = + b 0+x = +b x = +b = b, dkle, x = b je rešenje jednčine + x = b. Ako bi i x 1 bilo rešenje jednčine, tj. + x 1 = b, td bi bilo x 1 = 0+x 1 = ( +)+x 1 = +(+x 1 ) = +b = b = x. N isti nčin se pokzuje d jednčin y+ = b im jedinstveno rešenje y = b+( ) = b. (f) + b = + c + ( + b) = + ( + c) ( + ) + b = ( +)+c 0+b = 0+c b = c. Drug formul sledi iz dokzne n osnovu komuttivnosti sbirnj. (g) x+x = x x+(x+x) = x+x ( x+x)+x = x+x 0+x = 0 x = 0. N potpuno isti nčin dokzuju se svojstv ( )-(g ). Tvrd enje 2. U skupu R vži () 0 = 0 = 0 z svko R, (b) ( b) = ( ) b = ( b) (,b R), (c) ( )( b) = b (,b R), (d) ( b)c = c bc & c( b) = c cb (,b,c R). Dokz. () Iz 0+0 = 0 sledi (0 +0) = 0, tj. 0+ 0 = 0, odnosno 0 = 0. Jednkost 0 = 0 sledi iz dokzne jednkosti n osnovu komuttivnosti množenj. Dodjmo ovome d je b = 0 kko = 0 ili b = 0. Nime, ko je b = 0 i 0, td je 1 (b) = 1 0, tj. ( 1 )b = 0, odnosno 1 b = 0, dkle b = 0. N isti nčin, iz b = 0 i b 0 sledi = 0. (b) 0 = 0 b = (+( ))b = b+( )b ( )b = (b). N isti nčin se dokzuje drug jednkost. (c) N osnovu (b) je ( )( b) = (( b)) = ( (b)) = b. (d) ( b)c = (+( b)c = c+( b)c = c bc. Drug formul sledi iz dokzne n osnovu komuttivnosti množenj. Iz ksiome 13 sledi d z svki reln broj vži: 0 ili 0, tj. > 0 ili = 0 ili < 0. Ako je > 0, z broj kžemo d je pozitivn,

16 Polje relnih brojev ko je < 0, d je negtivn. Ako s R + oznčimo skup pozitivnih, s R skup negtivnih relnih brojev, td je R = R {0} R +. Tvrd enje 3. () 0 0; (b) b b ; (c) < b b < 0. Dokz. () 0 (prem ksiomi 14 ) +( ) 0+( ) (prem ksiomm 2 i 3 ) 0, ovo je isto što i 0. (b) N osnovu ksiom 1, 2, 3 i 14 je: b + ( ) b + ( ) 0 b + ( ) b + 0 b + (b + ( )) b ( b+b)+( ) b 0+( ) b. (c) N osnovu ksiom 3 i 14 je: < b +( b) < b+( b) +( b) < 0 b < 0. Tvrd enje 4. () 2 = 0; b) 1 > 0; c) > 0 1 > 0; d) 1. ( b c 0) c bc, 2. ( b c 0) c bc; e) 0 < b 2 b 2 ; f) 0 < < b 0 < b 1 < 1. Dokz. () 1 Ako je 0, td je prem ksiomi 15 = 2 0; 2 ko je < 0, td je = b, gde je b > 0, p je = ( b) ( b) = (n osnovu Tvrd enj 2 i 1 ovog tvrd enj)= b b = b 2 > 0. b) Z proizvoljno 0 iz R je 0 = 0 i 1 =, p je 1 0. Kko je, n osnovu prethodnog tvrd enj, 1 1 > 0 i osim tog je 1 1 = 1, to je 1 > 0. c) Nek je > 0. Ako bi bilo 1 < 0, td bi bilo 1 > 0, p bi dlje bilo ( 1 ) = 1 > 0, što je suprotno već dokznom 1 > 0. d) 1. Nek je b i c 0. Td je b 0, p je (b ) c 0, tj. bc c 0, odnosno bc c ili, što je isto, c bc. 2. Ako je c < 0, td je c > 0, p je n osnovu 1 ( c) b ( c), tj. (c) (bc), odnosno 0 c bc ili bc c. e) Iz 0 < b, n osnovu d) 1, sledi 2 b i b b 2, p je 2 b 2. f) Ako je > 0 i b > 0, td je 1 > 0 i b 1 > 0, p < b 1 < b 1 1 < b 1 b 1 < b 1 b 1 b 1 < 1. Tvrd enje 5. Skup relnih brojev je svud gust, tj. izmed u svk dv reln broj i b postoji beskončno mnogo relnih brojev. Dokz. Nek je,b R i nek je < b. N osnovu ksiome 14 sledi d je + < + b i + b < b + b, tj. 2 < + b i + b < 2b, odnosno 2 < + b < 2b. N osnovu tvrd enj 4 c) i d) dlje sledi d je

3. Predstvljnje relnih brojev tčkm prve 17 2 1 (2) < 2 1 (+b) < 2 1 (2b), tj. (2 1 2) < 2 1 (+b) < (2 1 2) b, odnosno < +b < b. N tj nčin smo dobili d je broj c = +b izmed u 2 2 brojev i b, tj. < c < b. N isti nčin se dobijju brojevi c 1 i c 2 tko d je < c 1 < c < c 2 < b. Ovj postupk se može nstviti i po svojoj prirodi je tkv d mu nem krj, što uprvo i znči d izmed u relnih brojev i b postoji beskončno mnogo relnih brojev. 3. PREDSTAVLJANJE REALNIH BROJEVA TAČKAMA PRAVE Izberimonprvoj x dvetčke O i J i pridružimoih redom brojevim0 i 1 (sl. 3). Ovim smo prvu x orijentisli tko što je pozitivn smer od tčke O prem tčki J. Duž OJ nziv se jediničn duž. Broju 2 pridružujemo tčku K prve x tko d je OK = 2OJ i J je izmed u O i K. Broju 1 pridružujemo tčku H prve x, tko d je OH = OJ i O je izmed u J i H. N nlogn nčin se proizvoljnom celom broju može pridružiti jedn tčk prve x. 0 sl. 3 Svkom rcionlnom rzlomljenom broju može se tkod e pridružiti tčk prve x. Pridružimo tčku, n primer, broju 2. N proizvoljnoj poluprvoj 3 Os nnesimo proizvoljnu duž tri put. x sl. 4 sl. 5 N tj nčin dobijmo tčke P 1, P 2 i P 3 (sl. 4). Povucimo duž JP 3, ztim njoj prlelnu duž P 2 P, gde P pripd prvoj x. Tčku P uprvo pridružujemo broju 2 3. S sl. 5 vidi se kko je broju 7 pridružen tčk P prve 5 x. Sd je jsno kko se proizvoljnom rcionlnom broju p > 0 (p > 0, q q > 0) pridružuje tčk prve x. N proizvoljnu poluprvu Os nnese se proizvoljn duž mx{p,q} put. Tko se dobiju tčke P 1,P 2,...,P mx{p,q}. Ztim se povuče duž P q J i njoj prleln duž P p P, gde P pripd prvoj

18 Polje relnih brojev x. Tčk P uprvo se pridružuje broju p q. Jsno, broju p pridružuje se q tčk prve x simetričn tčki P u odnosu n tčku O. Tčke prve x pridružene rcionlnim brojevim nzivju se rcionlne tčke. N osnovu osobin skup rcionlnih brojev sledi d izmed u svke dve rcionlne tčke postoji beskončno mnogo rcionlnih tčk. Jsno, sve tčke prve x nisu rcionlne. Pridružimo tčku ircionlnom broju 2. Nd jediničnom duži OJ konstruišimo kvdrt OJMN, ztim uzmimo n prvoj x tčku T s one strne tčke J s koje nije tčk O, tko d je OM = OT (sl. 6). Tčku T uprvo pridružujemo broju 2. Dkle, tčk T nije rcionln tčk. Uopšte, ircionlnim brojevim pridružujemo tčke prve x koje nisu rcionlne i te tčke nzivmo ircionlne tčke. N ovj nčin smo skup relnih brojev preslikli n skup tčk prve x i to preslikvnje je bijekcij. Prv x nziv se brojevn os. Akojerelnombrojupridružentčk A brojevne ose, td umesto d se kže: A je tčk koju smo pridružili relnom broju ili A je tčk kojom smo n brojevnoj prvoj predstvili reln broj, kko je prvilno, li dugčko, uobičjeno je d se kže neprvilno, li krtko, d je to tčk. sl. 6 4. PROŠIRENI SKUP REALNIH BROJEVA. INTERVALI Već smo rekli d je skup relnih brojev R potpuno ured en relcijom (mnje ili jednko). U tko ured enom skupu R ne postoji ni mksimum ni minimum. Drugim rečim, skup relnih brojev je neogrničen i odozgo i odozdo. D bismo tu činjenicu zpisli, skup R ćemo proširiti s dv element: + (plus beskončno) i (minus beskončno), tko d z svki reln broj x vži d je < x < +. Skup R = R {,+ } nziv se prošireni skup relnih brojev. Elemente skup R rzličite od + i, tj. relne brojeve, zvćemo končnim elementim ili končnim tčkm. Umesto + piše se i. Nek su i b relni brojevi i nek je < b; skup [,b] = {x R x b} je ztvoreni intervl ili segment ili odsečk, skup (,b) = {x R < x < b}

5. Apsolutn vrednost relnog broj 19 je otvoreni intervl, skupovi [,b) = {x R x < b}, (,b] = {x R < x b} su poluotvoreni (poluztvoreni) intervli. Tčke i b su krjevi ili grnice intervl. Intervli čij je jedn grnic + ili su: [,+ ) = {x R x }, (,+ ) = {x R x > }, (,b] = {x R x b}, (,b) = {x R x < b}, dok intervl (, + ) predstvlj skup relnih brojev R, tj. R = (,+ ). 5. APSOLUTNA VREDNOST REALNOG BROJA Definicij 6. Apsolutn vrednost (modul) relnog broj x je broj koji oznčvmo s x i koji je jednk broju x ko je x 0, x ko je x < 0. Dkle, { x ko je x 0 x = x ko je x < 0. Primer 1. x = 3, 0 = 0, 5 = ( 5) = 5. Jsno, x 0 z svko x R i x = 0 kko x = 0. Istknimo nek svojstv psolutne vrednosti relnog broj. Tvrd enje 6. Z svki reln broj x je () x = x, (b) x x. Dokz. Sledi iz definicije psolutne vrednosti broj. Tvrd enje 7. Ako je pozitivn reln broj, td () x = (x = x = ), (b) x x x [,], (c) x > (x < x > ) x (, ) (,+ ). Dokz. Sledi iz definicije psolutne vrednosti broj. Tvrd enje 8. Z sve relne brojeve x i y vži: ) x+y x + y,

20 Polje relnih brojev b) x y x y, c) x y = x y, d) x y = x (y 0). y Dokz. ) 1 Ako je x+y 0, td je x+y = x+y x + y. 2 Ako je x+y < 0, td je x+y = (x+y) = ( x)+( y) x + y = x + y. Vži opštij nejednkost x 1,+x 2 + +x n x 1 + x 2 + + x n, koju zpisujemo i u obliku n x i i=1 n x i, i=1 koj se dokzuje n isti nčin. Iz dokzne nejednkosti sledi d je tj. x y = x+( y) x + y = x + y. b) Ako stvimo x = (x y)+y, td je x = (x y)+y x y + y, Ako sd stvimo y = (y x)+x, td je x y x y. (1) y = (y x)+y y x + x, tj. odnosno y x y x, y x x y,

III POGLAVLJE REALNA FUNKCIJA JEDNE REALNE PROMENLJIVE OSNOVNI POJMOVI 1. DEFINICIJA FUNKCIJE IZ R U R. NAČINI ZADAVANJA FUNKCIJE Definicij 1. Ako se svkom elementu x neprznog podskup D skup relnih brojev R prem prvilu (zkonu) f pridruži jedinstven element y R, td je f reln funkcij jedne relne promenljive ili funkcij iz R u R, definisn n skupu D. Piše se y = f(x), x D, ili x f(x), x D. Primer 1. y = x 2, x R ili x x 2, x R predstvlj kvdrtnu funkciju n skupu R relnih brojev, tj. funkciju koj svkom relnom broju pridružuje njegov kvdrt. Skup D je domen ili oblst definisnosti funkcije f. Promenljiv x nziv se nezvisno promenljiv ili rgument funkcije, promenljiv y nziv se zvisno promenljiv. Ako je x =, D, kžemo d je vrednost rgument, b = f() je vrednost funkcije u tčki x = ili slik od D. Skup V = f(d) = {f(x) x D} je skup vrednosti funkcije f. Definicij 2. Skup tčk M(x,y) u rvni Dekrtovog 15) prvouglog koordintnog sistem Oxy, čije koordinte x i y zdovoljvju jednčinu y = f(x) je grfik funkcije y = f(x). Kriv u rvni Dekrtovog prvouglog koordintnog sistem predstvlj grfik funkcije kko proizvoljn prv prleln osi Oy seče tu krivu u njviše jednoj tčki. Primer 2. Nek je dt funkcij y = f(x) = 2x 1, 2 x 3. Domen je( segment ) [ 2,3] skup relnih brojev, f( 2) = 5, f( 1) = 3, 1 f(0) = 1, f = 0, f(3) = 5, skup vrednosti funkcije je V = f(d) = [ 5,5], 2 (sl. 1). 15) René Decrtes Crtesius (1596-1650), frncuski mtemtičr i filosof.

1. Definicij funkcije iz R u R. Nčini zdvnj funkcije 51 Reln funkcij jedne rlne promenljive, ili kko se još kže, funkcij iz R u R, njčešće se zdje formulom oblik y = f(x) 16). Sm formul, ili bolje rečeno izrz f(x), ukzuje nm kkve opercije treb obviti nd vrednošću rgument x d bi se dobil odgovrjuć vrednost funkcije. Pri tome, ko oblst definisnosti D nije dt, podrzumev se d je to njširi skup relnih brojev z koji dt formul im smisl. Primer 3. Funkcij y = f(x) = x+1 x 1 definisn je n skupu D = R \ {1} = (,1) (1,+ ), jer dt formul im smisl z sve relne brojeve osim z x = 1. Definicij 3. Dve funkcije: f : D f R i g : D g R su jednke ko su ispunjen sledeć dv uslov: 1 D f = D g = D, 2 ( x D) (f(x) = g(x)). O sl. 1 Primer 4. Funkcije f(x) = lnx 2, x > 0 i g(x) = 2lnx su jednke. Primer 5. Funkcije f(x) = x 2, x (,1] i g(x) = x 2, x [ 1,+ ) su, sglsno definiciji, rzličite funkcije (sl. 2 i b). sl. 2 16) Umesto: funkcij f zdt formulom y = f(x), kko je prvilno, govorićemo krće: funkcij y = f(x).

52 Reln funkcij jedne relne promenljive... Definicij 4. Restrikcij ili suženje funkcije f, čiji je domen D, n neprznom skupu D 1 D je funkcij g čiji je domen D 1, tkv d je ( x D 1 )(g(x) = f(x)). Obično se piše g = f D 1. Primer [ 6. Funkcij g(x) = sinx, x π 2, π ] je restrikcij 2 funkcije f(x) = sinx. Definicij 5. Funkcij f, definisn n skupu D, tkv d je ( x D)(f(x) = C), gde je C konstnt, je funkcij-konstnt. sl. 3 Primer 7. Funkcij y = f(x) = 2 je konstnt (sl. 3). je Primer 8. Funkcij f(x) = sin 2 x+cos 2 x je tkod e konstnt n skupu R, jer ( x R)(sin 2 x+cos 2 x = 1). Definicij 6. Funkcij f, definisn n skupu D, tkv d je ( x D)(f(x) = x) je identičn funkcij ili identično preslikvnje skup D. Primer 9. Funkcij y = x je identičko preslikvnje n skupu R. Funkcij se može zdti: nlitički, tbelrno i grfički. Ko što je već rečeno, funkcij se nlitički njčešće zdje formulom oblik y = f(x). U ovom slučju kžemo d je funkcij zdt eksplicitno. Nekd je funkcij n rzličitim skupovim zdt rzličitim formulm.

1. Definicij funkcije iz R u R. Nčini zdvnj funkcije 53 (sl. 4). Primer 10. y = { 1 2 x 1, x < 0 x 2, x 0 Funkcijy = y(x)može bitizdtjednčinom F(x,y) = 0 17). U ovom slučju kžemo d je funkcij zdt implicitno. Primer 11. Jednčin x 2 xy x y = 0 definiše funkciju y = x2 x sl. 4 x+1. Funkcij y = y(x) može biti zdt prmetrskim jednčinm x = ϕ(t), y = ψ(t), gde je t T prmetr. 18) Primer 12. Prmetrskim jednčinm x = 2cos 2 t,y = 3sin 2 t, gde t R, definisn je jedn funkcij čiji je implicitni oblik x 2 + y = 1, 0 x 2, 0 y 3, 3 grfik duž AB (sl. 5) Funkcij može biti zdt i polrnom jednčinom sl. 5 ρ = f(ϕ), ϕ P, gde su ϕ i ρ polrne koordintne tčke. Funkcij zdt polrnom jednčinom može se grfički predstviti u polrnom koordintnom sistemu. 17) Pod kojim uslovim jednčin F(x,y) = 0 definiše y ko funkciju od x, videćemo u IX poglvlju, odeljk 1.6. Ako jednčin F(x,y) = 0 definiše y ko funkciju od x, to još uvek ne znči d se y može izrziti pomoću x. 18) Pod kojim uslovom prmetrske jednčine definišu funkciju videćemo ksnije.

54 Reln funkcij jedne relne promenljive... Drugi nčin zdvnj funkcije je tbelrni. Tblicom se prikzuju vrednosti funkcije zjedno s odgovrjućim vrednostim nezvisno promenljive. N primer, ko je funkcij f definisn n končnom skupu {x 1, x 2,..., x n }, on se jednostvno može prikzti sledećom tblicom x x 1 x 2 x n f(x) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x n ). Tblic se formir i u slučju kd se merenjem dod e do podtk o zvisnosti dve veličine. N primer, meri se tempertur vzduh u toku 24 st u rzmcim od jednog st. Iznosi temperture, zjedno s vremenom merenj, stve se u tblicu. N osnovu formirne tblice moguće je, s odred enom tčnošću, nći iznos temperture u proizvoljnom vremenskom momentu koji se nlzi izmed u dv moment u kojim je tempertur meren. Ovo je jedn od brojnih primer koji pokzuju d se u prirodnim nukm i tehnici zvisnost med u dvem veličinm utvrd uje eksperimentlnim putem. N osnovu dobijenih podtk formir se tblic funkcionlne zvisnosti tih veličin. Eventulno nlženje formule, koj opisuje funkcionlnu zvistnost merenih veličin, može biti složeno. Treći nčin predstvljnj funkcije je grfički, tj. crtnjem grfik u Dekrtovom prvouglom ili polrnom koordintnom sistemu. Isto tko, korišćenjem rzličitih prt moguće je funkcionlnu zvisnost dve veličine dobiti pomoću grfik. 2. OPERACIJE SA FUNKCIJAMA 2.1. Aritmetičke opercije s funkcijm Nek su f i g funkcije iz R u R definisne redom n skupovm D f i D g. Zbir, rzlik, proizvod i količnik funkcij f i g defiiniše se n sledeći nčin: (f +g)(x) = f(x)+g(x), (f g)(x) = f(x) g(x), (fg)(x) = f(x) g(x), ( ) f (x) = f(x), g(x) 0. g g(x) To znči d je vrednost funkcije f +g, f g, f g, f/g u tčki x jednk redom zbiru, rzlici, proizvodu, količniku vrdnosti funkcij f i g u toj tčki. Oblst deefinisnosti funkcij f + g, f g, f g, f g jednk je preseku D f D g, s tim što se iz njeg z funkciju f g g(x) = 0. odstrne tčke u kojim je

2. Opercije s funkcijm 55 Grfici funkcij f+g, f g, f g, f dobijju se primenom odgovrjućih g ritmetičkih opercij n grfike funkcij f i g. Nime, ko su M(x,y f ) i N(x,y g ) tčke n grficim funkcij f i g, koje imju istu pscisu, td se odgovrjuć tčk grfik zbir, rzlike, proizvod i količnik funkcij f i g dobij sbirnjem, oduzimnjem, množenjem, deljenjem ordint y f i y g. Primer 13. Nek su dte funkcije: f(x) = x i g(x) = 1. Td je x (f +g)(x) = f(x)+g(x) = x+ 1 x, (f g)(x) = f(x) g(x) = x 1 x. Grfici funkcij f +g i f g lko se dobijju pomoću grfik funkcij f i g (sl. 6 i 7). sl. 6 sl. 7 2.2. Kompozicij funkcij. Složen funkcij Nekd se preslikvnje može relizovti u dv ili više kork, tj. uzstopnom primenom dv ili više preslikvnj. Primer 14. Posmtrjmo funkciju h(x) = cosx 2. Vidimo d se do vrednosti funkcije h z proizvoljn reln broj x dolzi pomoću funkcij f(x) = x 2 i g(x) = cosx, tko što funkcij f svki reln broj x preslik u njegov kvdrt, ztim funkcij g kvdrtu od x pridružuje njegov kosinus. Definicij 7. Nek je f funkcij s domenom D f i skupom vrednosti V f i g funkcij s domenom D g i skupom vrednosti V g. Funkcij h = g f, tkv d je h(x) = (g f)(x) = g(f(x)),

56 Reln funkcij jedne relne promenljive... je složen funkcij ili kompozicij funkcij f i g. Domen D g f funkcije g f je skup svih vrednosti x iz D f z koje je f(x) D g (sl. 8). sl. 8 Kod formirnj složene funkcije h pomoću funkcij f i g često se, iz prktičnih rzlog, zvisno promenljiv funkcije f i nezvisno promenljiv funkcije g oznčvju istim slovom, p se obrzovnje složene funkcije može precizirti ovko: kojey funkcijodu, tj. y = g(u), u je funkcij od x, tj. u = f(x), td je y = g(f(x)) složen funkcijodf i g promenljive x. Ovkvom formulcijom se, možd, previše ističe vžnost slov kojim su oznčene promenljive kod funkcije. Med utim, u formuli sl. 9 y = f(x), x D nije bitno koj su slov upotrebljen z oznčvnje promenljivih. Tko je formulm y = x 2, u = t 2, z = y 2 zdt ist funkcij - kvdrirnje relnog broj. U prethodnoj formuli bitn je simbol f, jer on oznčv zkon pridruživnj. Tko, ko je y = f(x) = x 3 i y = g(x) = log 2 (x), x > 0, td, ko što se vidi, f znči stepenovnje s 3, g logritmovnje pozitivnog broj z osnovu 2, p g f znči logritmovnje z osnovu 2 trećeg stepen pozitivnog broj, tj. (g f)(x) = g ( f(x) ) = g(x 3 ) = log 2 x 3, x > 0.

3. Prne i neprne funkcije 57 Grfik složene funkcije može se ncrtti pomoću grfik njenih komponenti. Primer 15. Grfik funkcije y = x 1 možemo dobiti pomoću grfik funkcij y = x 1 i y = x. To postižemo korenovnjem ordint tčk grfik funkcije y = x 1 z x 1 (sl. 9). Ko što je poznto, slgnje funkcij je socijtivno, li nije komuttivno. 3. PARNE I NEPARNE FUNKCIJE Definicij 8. Z funkciju f definisnu n skupu D kžemo d je prn ko su ispunjen sledeć dv uslov: 1 ( x) (x D x D), 2 ( x D) (f( x) = f(x)). Z funkciju f kžemo d je neprn ko su ispunjen sledeć dv uslov: 1 ( x) (x D x D), 2 ( x D) (f( x) = f(x)). Drugim rečim, funkcij je prn ko je njen domen simetričn u odnosu n nulu i z svke dve suprotne vrednosti rgument postiže istu vrednost, neprn ko je njen domen simetričn u odnosu n nulu i z svke dve suprotne vrednosti rgument postiže suprotne vrednosti. Grfik prne funkcije je simetričn u odnosu n osu Oy (sl. 10), grfik neprne u odnosu n koordintni početk (11). sl. 10 sl. 11 Primer 16. Funkcij f(x) = x 2 je prn (sl. 12), jer je definisn n skupu R relnih brojev i osim tog je ( x R) (( x) 2 = x 2 )

58 Reln funkcij jedne relne promenljive... sl. 12 sl. 13 Primer 17. Funkcij f(x) = x 3 je neprn (sl. ), jer je definisn n skupu R relnih brojev i osim tog je ( x R) (( x) 3 = x 3 ). Primer 18. Funkcij f(x) = x 2, 1 x 2 nije prn, jer njen domen nije simetričn u odnosu n nulu (sl. 14). sl. 14 sl. 15 Primer 19. Funkcij f(x) = x2 x x(x 1) nije neprn. Nime, f(x) = = x 1 x 1 x z x 1, što znči d domen funkcije nije simetričn u odnosu n nulu (sl. 15). Većin funkcij nisu ni prne ni neprne.

4. Periodične funkcije 59 4. PERIODIČNE FUNKCIJE Definicij 9. Funkcij f, definisn n skupu D, je periodičn ko postoji broj T 0, tko d z svko x D je i x+t D, x T D i ( x D)) (f(x+t) = f(x)). (1) Njmnji pozitivn broj T s nvedenom osobinom nziv se osnovni period funkcije f. Ako govorimo o periodu funkcije, obično se podrzumev osnovni period (sl. 16). sl. 16 Poznto je d su trigonometrijske funkcije periodične. Osnovni period funkcij sinx i cosx je 2π, funkcij tgx i ctgx je π. Primer 20. Koristeći definiciju periodičnosti pokzćemo d osnovni period funkcije f(x) = sinx iznosi 2π. Tržimo broj T > 0 tkv d je z svko x R sin(x+t) = sinx, odnosno tj. sin(x+t) sinx = 0, 2sin T ( 2 cos x+ T ) = 0. 2 Proizvod n levoj strni poslednje jednkosti jednk je nuli nezvisno od x ko je sin T = 0, tj. T = 2kπ, k = 0,±1,±2,... Njmnji pozitivn broj je očigledno 2 T = 2π, što predstvlj osnovni period funkcije f(x) = sinx. Tvrd enje 1. Ako je funkcij f periodičn s osnovnim periodom T, td je i nt, gde je n proizvoljn ceo broj rzličit od nule, tkod e period funkcije f.

IV POGLAVLJE BESKONAČNI BROJEVNI NIZOVI 1. DEFINICIJA I NAČINI ZADAVANJA BESKONAČNOG NIZA Definicij 1. Funkcij f, koj preslikv skup prirodnih brojev N u skup A je beskončni niz u skupu A. Ako je f(x) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3,..., f(n) = n,..., td se niz može zpisti u obliku ili jednostvnije bez zgrd: ( 1, 2, 3,..., n,...), 1, 2, 3,..., n,... Kže se d su 1, 2, 3,..., n,... člnovi niz. Svki niz im beskončno mnogo člnov. Čln n = f(n) nziv se opšti čln niz. Ako je poznt opšti čln niz, td se niz može jednostvno oznčiti s ( n ) n N, pri čemu se n N u indeksu može izostviti, jer se podrzumev. Niz se može zdti i rekurentnom formulom, n primer, oblik ili oblik 1 = b, n+1 = g( n ) (n N) 1 = b, 2 = c, n+2 = h ( n, n+1 ) (n N). Skup vrednosti niz ( n ) n N je skup V = { n n N}. On može biti končn ili beskončn (prebrojiv). Mi ćemo isključivo rzmtrti nizove čiji su člnovi relni brojevi. Nvodimo nekoliko primer nizov. Primer 1. Niz 1, 1 2, 1 3,..., 1 ( ) 1 n,..., tj. niz nziv se hrmonijski niz. n n N Primer 2. Niz čiji je opšti čln n = 1+( 1) n je, u stvri, niz 0,2,0,2,...,0,2,...

96 Beskončni brojevni nizovi Primer 3. Niz čiji je opšti čln n = 1 n je konstntn niz 1,1,1,...,1,... Ko što se vidi, skup vrednosti niz u Primeru 1 je beskončn skup V 1 = {1, 12, 13, 14,... }, u Primeru 2 dvočln skup V 2 = {0,2}, u Primeru 3 jednočln skup V 3 = {1}. Niz, ko i svku funkciju jedne promenljive, možemo grfički predstviti u Dekrtovom prvouglom koordintnom sistemu, možemo i n brojevnoj osi. Primer 4. Nizovi čiji su opšti člnovi n = 2+( 1) n 1 n, b n = n 1 n, c n = ( 1) n+1 n n+1, d n = n+1 predstvljeni su grfički redom n slikm 1, 2, 3, 4. 2 sl. 1 sl. 2 sl. 3 Definicij 2. Ako su ( n ) n N i (b n ) n N ( dti ) nizovi, td su nizovi n ( n + b n ) n N, ( n b n ) n N, ( n b n ) n N i redom zbir, rlzik, proizvod i količnik nizov ( n ) n N i (b n ) n N. b n n N

1. Definicij i nčini zdvnj beskončnog niz 97 sl. 4 ( ) n Npomen 1. Niz moguće je obrzovti smo u slučju kd b n n N ( ) n su svi člnovi niz (b n ) n N rzličiti od nule. Niz se može obrzovti i u slučju kd je končno mnogo člnov niz (b n ) n N jednko nuli, počev od onog indeks od kog su svi člnovi b n rzličiti od nule. Definicij 3. Niz ( n ) n N je ogrničen odozgo (odozdo) ko postoji reln broj M(m), tkv d je n M ( n m) (n N). Broj M se nziv mjornt (gornj grnic), broj m minornt (donj grnic) niz ( n ) n N. Definicij 4. Niz ( n ) n N je ogrničen ko je ogrničen i odozgo i odozdo, tj. ko postoje relni brojevi M i m, tko d z sve člnove niz n vži nejednksot b n m n M. (1) Jsno, ogrničen niz im beskončno mnogo mjornti, odnosno minornti, p utvrd ivnje ogrničenosti niz svodi se n pronlženje br jedne mjornte, odnosno minornte tog niz. Primetimo d se uslov ogrničenosti niz može precizirti i u drugoj ekvivlentnoj formi: niz ( n ) n N je ogrničen ko postoji pozitivn broj G,

98 Beskončni brojevni nizovi tkv d z svki čln niz vži n G. (2) Zist, ko svki čln niz ( n ) n N zdovoljv relciju (1), to uzimjući d je G = mx{ m, M }, očigledno vži (2). Obrnuto, ko svki čln niz ( n ) n N zdovoljv relciju (2), td uzimjući d je m = G i M = G, sledi (1). ( ) n 1 Primer 5. Niz je ogničen. Nime, 0 n < 1 z svko n N. n n N Njmnji čln niz je 0, dok njveći ne postoji. Primer 6. Niz je ogrničen odozdo, li nije odozgo. 1, 1 2,2, 1 3,3, 1 4,4, 1 5,... 2. GRANIČNA VREDNOST NIZA Ovde će ns intersovti kko se ponšju člnovi niz s ršćenjem indeks. Rzmotrimo zto ponovo nizove u Primeru 4 koje smo i grfički predstvili. Primetimo d se člnovi niz ( n ) n N ngomilvju oko tčke (relnog broj) 2 u sledećem smislu: ko uzmemo proizvoljnu, p i koliko hoćemo mlu okolinu tčke 2, svi člnovi niz, počev od nekog indeks, su u toj okolini. Istu osobinu im broj 1 kod niz (b n ) n N. Z niz ( n ) n N tkv broj ne postoji. Njzd, vidimo d se člnovi niz (d n ) n N s rstom indeks beskončno uvećvju. Nime, ko uzmemo proizvoljn pozitivn reln broj, p i po volji veliki, svi člnovi niz, počev od nekog indeks, su veći od tog broj. Djemo sd definiciju grnične vrednosti (limes) niz. Definicij 5. Reln broj (tčk) je grničn vrednost niz ( n ) n N ko z svku okolinu O() tčke postoji prirodn broj n 0, koji zvisi od izbrne okoline O(), tko d svi člnovi niz n z n > n 0 pripdju okolini O(). Piše se po dogovoru lim n + n = (čit se: limes od n, kd n teži u beskončnost, je ). Formlno-logički zpis dte definicije je: lim n = ( O())( n 0 N)( n N)(n > n 0 n O()). n + Uobičjenij od dte je definicij grnične vrednosti niz pomoću ε-okolin tčke.

2. Grničn vrednost niz 99 Definicij 6. Reln broj (tčk) je grničn vrednost niz ( n ) n N ko z svki reln broj ε > 0 postoji prirodn broj n 0, koji zvisi od ε, tko d je z svko n > n 0 ispunjeno n < ε (ili, što je isto, ε < n < ε, odnosno ε < n < +ε). Formlno-logički zpis dte definicije je lim n = ( ε > 0)( n 0 N)( n N)(n > n 0 n < ε). n + Djemo još jednu definiciju grnične vrednosti niz. Definicij 7. Reln broj (tčk) je grničn vrednost niz ( n ) n N ko se u svkoj okolini tčke nlze svi člnovi niz, osim možd njih končno mnogo, ili kko se to još kže, skoro svi člnovi niz. Definicij 8. Z niz ( n ) n N koji im končnu grničnu vrednost, tj. čij je grničn vrednost reln broj, kžemo d je konvergentn. U ovom slučju kže se još d niz ( n ) n N konvergir k ili d n teži k kd n, p se upotrebljv i oznk n kd n + ili n (n + ). Z niz koji nije konvergentn, kžemo d je divergentn. Rzlikujemo divergentne nizove u užem i širem smislu. Definicij 9. Ako z svki reln broj M > 0, postoji priridn broj n 0, koji zvisi od M, tko d su svi člnovi niz ( n ) n N z n > n 0 veći od M, td kžemo d niz ( n ) n N divergir k + i pišemo Dkle, lim n = +. n + lim n = + ( M > 0)( n 0 N)( n N)(n > n 0 n > M). n + Definicij 10. Ako z svki reln broj K < 0, postoji prirodn broj n 0, koji zvisi od K, tko d su svi člnovi niz ( n ) n N z n > n 0 mnji od K, td kžemo d niz ( n ) n N divergir k i pišemo Dkle, lim n =. n + lim n = ( K < 0)( n 0 N)( n N)(n > n 0 n < K). n +

100 Beskončni brojevni nizovi Nizovi koji divergirju k + ili, tj. nizovi čije su grnične vrednosti + ili u proširenom skupu relnih brojev R = R {,+ }, su divergentni nizovi u užem smislu. Ostli divergentni nizovi su divergentni u širem smislu. 2n+1 Primer 7. Dokžimo d je lim n + 3n 1 = 2 3. Nek je ε > 0 proizvoljn reln broj, td je 2n+1 3n 1 2 3 < ε 5 3(3n 1) < ε 5 3(3n 1) < ε n > 1 ( ) 5 3 3ε +1. [ ( )] 1 5 Ako stvimo d je n 0 = 3 3ε +1, tj. n 0 je njveći ceo broj koji je mnji ili jednk od 1 ( ) 5 3 3ε +1, td je z svko n N, tkvo d je n > n 0, ispunjeno 2n+1 3n 1 2 2n+1 3 < ε, što uprvo i znči d je lim n + 3n 1 = 2 3. n 2 +2n 2 Primer 8. Dokzti d je lim n + n 2 5n 4 = 1. Nek je ε > 0 proizvoljn reln broj, td je n 2 +2n 2 n 2 5n 4 1 = 7n+2 n 2 5n 4 = 7n+2 n 2 5n 4. Kko je 7n+2 7n+2n = 9n z svko n N i n 2 5n 4 n 2 5n 4 = n 2 (5n+4) n 2 1 2 n2 = 1 7n+2 2 n2 z n 11, to je n 2 5n 4 9n 18 = 1 n < ε, 2 n2 z n > 18 { [ ]} 18 ε. Ako je n 0 = mx 11,, td je n 2 +2n 1 ε n 2 5n 4 1 < ε z svki n 2 +2n 1 prirodn broj n > n 0, to uprvo znči d je lim n + n 2 5n 4 = 1. 3. OSOBINE KONVERGENTNIH NIZOVA Tvrd enje 1. Grničn vrednost niz je jedinstven, tj. konvergentn niz ne može imti dve rzličite grnične vrednosti. Dokz. Pretpostvimo d niz ( n ) n N im dve grnične vrednosti i b, gde je b. Uzmimo ε-okolinu tčk i b z ε = 1 b. Kko je 2 O ε () O ε (b) =, nemoguće je d i u O ε () i O ε (b) budu skoro svi člnovi niz ( n ) n N. Tvrd enje 2. Svki konvergentn niz je ogrničen.

3. Osobine konvergentnih nizov 101 Dokz. Nek je lim n + =, td postoji prirodn broj n 0, tkv d je n < 1 z svko n > n 0. Sledi d je n = n + n + < 1+ z svko n > n 0. Ako uzmemo d je G = mx{ 1, 2,..., n0,1+ }, td je n G z svko n N, što je i treblo dokzti. Tvrd enje 3. Ako je lim n + n =, td je lim n + n =. Dokz. Nek je ε > 0 proizvoljn reln broj, td postoji prirodn broj n 0, tkv d je n < ε z svko n > n 0. No, kko je n n, sledi d je i n < ε z svko n > n 0, tj. lim n =. n + D iz lim n = ne sledi uvek lim n =, pokzuje primer niz ( 1) n n. Nime, lim n n+1 n + ( 1)n n N ( n + ) n + n+1 = lim n n + n+1 = 1, n dok lim n + ( 1)n ne postoji. n+1 Ako je = 0, td lim n = 0 očigledno povlči lim n = 0. n + n + Tvrd enje 4. Ako je, z svko n N, n =, td je lim n + n =. Dokz. Z proizvoljno ε je n = = 0 < ε z svko n N, p je lim n + n =. Tvrd enje 5. Ako je lim n =, lim b n = b i n b n z svko n + n + n N, td je b. Dokz. Pretpostvimodjeb < iuzmimodjeε = 1 2 b = 1 2 ( b). Td postoji prirodn broj n 1, tkv d je n < ε ili ε < n < +ε z svki prirodn broj n > n 1 i prirodn broj n 2, tkv d je b n b < ε ili b ε < b n < b+ε