MATEMATIKA 1 skripta za studente fizike

MATEMATIKA 1 skripta za studete fizike Nebojša Č. Dičić, Departma za Matematiku, Prirodo-matematički fakultet, Uiverzitet u Nišu, e-mail: dicic@hotmail.com Novembar 2013.

ii

Sadržaj 1 Uvodi pojmovi 1 1.1 Iskazi raču........................... 1 1.1.1 Logičke operacije..................... 2 1.1.2 Iskaze formule...................... 4 1.1.3 Osobie iskazih operacija................ 5 1.1.4 Predikati i kvatifikatori................. 8 1.2 Osovi teorije skupova...................... 9 1.2.1 Skupove operacije.................... 11 1.2.2 Dekartov prozvod skupova................ 13 1.2.3 Osobie skupovih operacija............... 14 1.3 Relacije.............................. 15 1.3.1 Neke osobie biarih relacija.............. 17 1.3.2 Relacije ekvivalecije................... 19 1.3.3 Relacije poretka...................... 21 1.4 Fukcije.............................. 25 1.4.1 Osobie fukcija..................... 27 1.5 Ekvivaletost skupova i kardialost.............. 33 1.6 Algebarske strukture....................... 35 1.6.1 Homomorfizmi i izomorfizmi............... 41 1.6.2 Algebarske strukture sa dve operacije.......... 42 1.7 Polje realih brojeva....................... 44 1.7.1 Važiji podskupovi skupa realih brojeva........ 47 1.8 Metod matematičke idukcije.................. 51 1.8.1 Biomi koeficijeti.................... 53 1.8.2 Apsoluta vredost broja................ 55 1.9 Posledice aksiome supremuma.................. 57 1.10 Arhimedova aksioma i jee posledice.............. 59 1.10.1 Katorov pricip umetutih segmeata......... 61 1.10.2 Prošireje skupa realih brojeva............. 62 iii

iv SADRŽAJ 2 Kompleksi brojevi 65 2.1 Polje (R 2, +, )........................... 65 2.2 Polje kompleksih brojeva.................... 66 2.2.1 Trigoometrijski oblik kompleksog broja....... 69 3 Poliomi 77 3.1 Horerova šema.......................... 81 3.2 Vijetova pravila.......................... 82 3.3 Poliomi sa realim koeficijetima................ 83 3.4 Poliomi sa celobrojim koeficijetima............. 84 3.5 Racioale fukcije........................ 85

Glava 1 Uvodi pojmovi 1.1 Iskazi raču Defiicija 1.1.1. Iskaz je proizvolja izjava smislea rečeica koja mora biti ili istiita (tača) ili eistiita (etača). Pritom se pretpostavlja da postoji mogućost utvrd ivaja istiitosti iskaza. Iskazi se običo obeležavaju malim latiičim slovima p, q, r, s... Istiitosu vredost iskaza p ozačavaćemo sa τ(p) (čita se: tau od pe ), i oa se defiiše a sledeći ači: {, iskaz p je istiit, τ(p) =, iskaz p ije istiit, Simboli i ( te i e-te ) azivaju se iskazim kostatama. Primer 1.1.1. Posmatrajmo arede rečeice: 1. Broj 16 je para. 2. Elektro je elemetara čestica. 3. 2+2=3. 4. Daas je lepo vreme. 5. Koliko je sati? 6. Ova rečeica ije istiita. 7. Svaki para broj veći od 2 može se apisati kao zbir dva prosta broja. 1

2 GLAVA 1. UVODNI POJMOVI Prve tri rečeice predstavljaju iskaze, i jihove istiitose vredosti su redom, i. Četvrta rečeica ije iskaz zato što je subjektiva te jeu istiitosu vredost e možemo utvrditi, dok peta ije izjava rečeica, te e može biti i iskaz. Šesta rečeica e može biti iskaz, zato što ije i istiita i eistiita: ako bi bila istiita, oda bi začilo da ije istiita, a ako bi bila eistiita oda bi to začilo da oa ije eistiita, tj. da je istiita. Koačo, sedma rečeica ije iskaz zato što ije pozato da li je oa tača. Naime, oa predstavlja hipotezu Goldbaha 1, težak problem iz teorije brojeva koji je postavlje 1742. i još uvek ije reše. 1.1.1 Logičke operacije Od jedostavijih iskaza korišćejem izvesog broja iskazih operacija mogu se praviti složeiji iskazi. Na primer, iskaz AKO 3 deli 12 ILI 2 deli 12, ONDA 6 deli 12 je sastavlje od tri jedostava iskaza: 3 deli 12, 2 deli 12 i 6 deli 12, koji su povezai tzv. logičkim vezicima AKO-ONDA i ILI. Defiicija 1.1.2. Negacija iskaza p je iskaz koji je istiit kada je iskaz p eistiit, a eistiit kada je iskaz p istiit. Negacija iskaza p ozačava se sa p i čita e p ili ije p. Negacija je uara operacija, pošto ima samo jeda argumet. istiitosa tablica izgleda ovako: τ(p) τ( p) Njea Na primer, ako je iskaz p rečeica broj 10 je prost, oda iskazu p odgovara rečeica broj 10 ije prost. Primetimo da zaista τ(p) =, τ( p) =. Defiicija 1.1.3. Kojukcija iskaza p i q je iskaz koji je istiit samo kada su oba iskaza p i q istiiti, i koji ije istiit kadgod je bar jeda od iskaza p ili q eistiit. Kojukcija iskaza p i q ozačava se sa p q i čita p i q. Istiitosa tablica kojukcije izgleda ovako: τ(p) τ(q) τ(p q) 1 Christia Goldbach (1690-1764), emački matematičar

1.1. ISKAZNI RAČUN 3 Defiicija 1.1.4. Disjukcija iskaza p i q je iskaz koji je eistiit samo kada su oba iskaza p i q eistiiti, i koji je istiit kadgod je bar jeda od iskaza p ili q istiit. Disjukcija iskaza p i q ozačava se sa p q i čita p ili q. Istiitosa tablica disjukcije izgleda ovako: τ(p) τ(q) τ(p q) Na primer, ako su dati iskazi p: Broj 2 deli broj 6 i q: Broj 5 deli broj 6, iskaz p q je Brojevi 2 i 5 dele broj 6, a iskaz p q je Broj 2 ili broj 5 dele broj 6. Jaso je da τ(p q) =, a τ(p q) =. Pored ovako defiisae disjukcije, uvodi se i takozvaa isključiva disjukcija iskaza p i q kao iskaz, ozače sa p q (čita se ili p ili q ), koji je istiit samo kada je tačo jeda od iskaza p i q istiit. τ(p) τ(q) τ(p q) Kao ilustracija razlike izmed u običe i isključive disjukcije može da posluži sledeći vic: - Kako prepozati matematičara u salou automobila? - Kad kaže: Uzeću ovaj crvei ili oaj plavi auto, brzo doda - ali e oba! Defiicija 1.1.5. Implikacija iskaza p i q je iskaz koji je eistiit samo kada je iskaz p istiit a iskaz q eistiit. Implikacija iskaza p i q ozačava se sa p q i čita se kao: ako p, oda q, iz p sledi q, p je potreba uslov za q ili q je dovolja uslov za p. Iskaz p se običo aziva pretpostavka (premisa), a iskaz q posledica (kosekveca). τ(p) τ(q) τ(p q)

4 GLAVA 1. UVODNI POJMOVI Pomeimo da, za razliku od realog sveta, u matematici p q može biti istiito i oda kad iskaz p ije istiit; a primer p: broj 2 deli broj 5, q: broj 2 deli broj 10 ; iskaz p ije istiit, iskaz q jeste. Defiicija 1.1.6. Ekvivalecija iskaza p i q je iskaz koji je istiit kadgod oba iskaza p i q imaju iste istiistose vredosti. Ekvivalecija iskaza p i q ozačava se sa p q i čita se kao: p ekvivaleto q, p ako i samo ako q, ako p, oda q, i ako q, oda p ili p je potreba i dovolja uslov za q. τ(p) τ(q) τ(p q) Primer ekvivalecije je kadgod eki objekat opisujemo a dva različita ačia. Recimo: Broj 6 je para ako i samo ako je deljiv sa dva je ekvivalecija iskaza p: Broj 6 je para i q: Broj 6 je deljiv sa dva. 1.1.2 Iskaze formule Kombiovajem jedostavih iskaza a odred ei ači, mogu se graditi složeiji iskazi. Koristićemo u astavku termi iskazo slovo za jedostave iskaze. Defiicija 1.1.7. Iskaze formule defiišemo a sledeći ači: 1. Iskaza slova i iskaze kostate su iskaze formule. 2. Ako su A i B iskaze formule, oda su i A, A B, A B, A B, A B iskaze formule. 3. Iskaze formule su samo oi iskazi koji se mogu dobiti isključivo primeom pravila 1. i 2. ove defiicije koačo mogo puta. Primer 1.1.2. Neka su p, q, r jedostavi iskazi. Izraz p (q ( r)) je iskaza formula jer je sastavlje u skladu sa defiicijom. Prioritet logičkih operacija (od ajvećeg ka ajmajem): 1. 2., 3.,

1.1. ISKAZNI RAČUN 5 Kao i kod aritmetičkih izraza, redosled operacija može se promeiti koristeći zagrade. Primer 1.1.3. Odrediti istiitose vredosti sledećih iskazih formula: p q, q p, (p q) (q p), p q, q p i p q. Formiramo istiitosu tablicu a sledeći ači: 1. Za sve elemetare iskaze ( slova ) treba obezbediti ooliko vrsta u tablici koliko je potrebo da pokrijemo sve moguće kombiacije. Za dva slova, p i q, biće potrebo 4 kombiacije, za 3 slova 8, za slova ukupo 2 kombiacija. Iskaza slova uosimo u prvim koloama tablice. 2. U preostalim koloama tablice upisujemo jedostavije iskaze formule od kojih je sastavljea formula koju dokazujemo (u ašem slučaju to su p q i q p) i jihove istiitose vredosti za odgovarajuće vredosti iskaza p i q. Ukoliko je potrebo odrediti istiitose tablice za više iskaza koji zavise od istih iskazih slova (kao što je slučaj u ovom primeru), sve radimo preko jede tablice. Zbog uštede u prostoru, u tablici ećemo pisati τ(x) već samo x za iskaz x. p q p q q p (p q) (p q) p q q p p q Primećujemo da se poklapaju vredosti u trećoj i šestoj koloi, četvrtoj i sedmoj, odoso petoj i osmoj. Defiicija 1.1.8. Dve formule A i B, sastavljee od istih iskazih promeljivih su idetički jedake ako se jihove tablice vredosti istiitosti poklapaju. Dakle, iz prethodog primera vidimo da: (p q) ( p q), (p q) (p q) (q p). Ovo u stvari zači da operacije i mogu da se izraze preko,,. 1.1.3 Osobie iskazih operacija 1. komutativost: p q q p, p q q p; 2. asocijativost: (p q) r p (q r), (p q) r p (q r); 3. distributivost ili/i odoso i/ili: p (q r) (p q) (p r), p (q r) (p q) (p r);

6 GLAVA 1. UVODNI POJMOVI 4. De Morgaovi zakoi: (p q) p q, (p q) p q; 5. idempotetost: p p p, p p p; 6. p p, p p; 7. zako dvoje egacije: ( p) p; 8. zako apsorpcije: p (p q) p, p (p q) p. Koristeći avedee osobie iskazih operacija, može se pokazivati da su odred ei iskazi med usobo ekvivaleti. Videli smo da se iskaza formula koja sadrži iskaze operacije, može svesti a formulu koja sadrži samo,,. Primeom De Morgaovih zakoa, možemo dalje svesti svaku iskazu formulu tako da sadrži samo, ili,. Postavlja se pitaje: da li postoji logička operacija preko koje je moguće izraziti sve ostale logičke operacije. Primer 1.1.4. Iskaze operacije,, mogu se izraziti pomoću samo jede iskaze operacije. Šefer2 je 1913. dokazao da se za osovu operaciju može uzeti tzv. NAND operacija koja se običo defiiše kao p q (p q). Zaista, p p p, p q (p q) (p q), p q (p p) (q q). Tridesetak godia raije, Pers 3 je dokazao (ali ije objavio svoje rezultate) da je isto moguće uraditi sa tzv. NOR operacijom koja se može defiisati kao p q (p q). Zaista, p p p, p q (p p) (q q), p q (p q) (p q). Primer 1.1.5. Hajde da vidimo sa čim je ekvivaleta iskaza formula p (p q) q koja je pozata i kao zako odvajaja. 2 Hery Maurice Sheffer (1882 1964), američki logičar 3 Charles Saders Peirce (1839 1914), američki filozof, logičar i matematičar, pozat i kao otac pragmatizma

1.1. ISKAZNI RAČUN 7 p (p q) q (p ( p q)) q (zbog (p q) ( p q)) (p ( p q)) q ( p ( p q)) q (De Morgaov zako) ( p (p q)) q (De Morgaov zako) (( p p) ( p q)) q (distributivost) ( ( p q)) q ( p q) q p ( q q) (asocijativost). p Defiicija 1.1.9. Iskaza formula koja je istiita za sve vredosti istiitosti iskaza od kojih je sastavljea aziva se tautologija ili idetički istiita formula. Iskaza formula koja ije istiita i za jedu vredost istiitosti iskaza od kojih je sastavljea aziva se kotradikcija. Neke važije tautologije su: 1. zako idetiteta p p; 2. zako protivrečosti (p p); 3. zako isključeja trećeg: p p; 4. zako dvostruke egacije: ( p) p; 5. zako silogizma (trazitivost): (p q) (q r) (p r), (p q) (q r) (p r); 6. zako kotrapozicije: (p q) ( q p); 7. pravilo izvod eja (modus poes): p (p q) q; 8. zako protivrečosti: (( p q) p) q. Primer za zako kotrapozicije: eka je p iskaz proizvod dva cela broja je epara broj, a q oba čiioca su epari brojevi. Ako bar jeda od čiilaca ije epara broj (tj. bar jeda je para), oda proizvod ije para.

8 GLAVA 1. UVODNI POJMOVI Primer 1.1.6. Dokazati da 2 ije racioala broj. Pretpostavimo suproto, da je 2 racioala broj. To zači da 2 = p q za eka dva uzajamo prosta cela broja (aravo, q 0). Kvadrirajem dobijamo: 2 = p2, odoso p 2 = 2q 2, odakle sledi da 2 p 2 ; ako 2 deli p 2 tada q 2 2 deli p, pa je p para broj, te zato postoji eki ceo broj m takav da p = 2m. Zameom u p 2 = 2q 2 dobijamo (2m) 2 = 2q 2, odoso q 2 = 2m 2, odakle kao malopre zaključujemo da je i q para broj. Dakle, celi brojevi p i q su pari, što zači da oi isu uzajamo prosti (podsećamo: dva cela broja su uzajamo prosti ako e postoji ceo broj različit od 1 koji deli oba), čime smo dobili kotradikciju sa pretpostavkom da su p i q uzajamo prosti. Dakle, aša polaza pretpostavka da je 2 racioala broj ije tača, odoso 2 je iracioala broj. Pogledajmo sada logičku strukturu dokaza. Ako sa s ozačimo iskaz 2 ije racioala broj, a sa t iskaz celi brojevi p i q isu uzajamo prosti, tada se primeom zakoa protivrečosti (( s t) t) s dobija tražei dokaz. 1.1.4 Predikati i kvatifikatori Iskazi raču je vrlo ograiče. Na primer, za reale brojeve x i y iskazi x je para broj i x je maje od y mogu biti kako istiiti tako i eistiiti (u zavisosti od izbora x i y), zači - eodred ei su. Tada elemetare iskaze možemo posmatrati kao promeljive koje uzimaju vredosti ili. Na taj ači srećemo se sa izrazima koji se odose a izvese objekte. Neka je dat eki skup objekata x, y, z,..., i eka su iskazi koji se odose a jih ozačei recimo sa P (x), Q(y), R(x, y),... Na primer, ako su objekti iz skupa prirodih brojeva, iskazi P (x): x je prost broj, Q(y): y je para broj i R(x, y) : x y mogu biti ili istiiti ili eistiiti. Ako je x proizvolja objekat, iskaz F (x) je potpuo odred e kada zamo x. Defiicija 1.1.10. Neodred ei iskazi koji zavise od jede ili više promeljivih azivaju se logičke fukcije ili predikati. Iskazi ili iskaze promeljive i predikati su elemetare formule logike predikata. Defiicija 1.1.11. Formula logike predikata je svaki koača izraz formira od elemetarih iskaza i elemetarih formula logike predikata primeom koačog broja logičkih operacija,,,,. Uiverzali kvatifikator ( x)p (x) za svako x, P (x) je istiito ; ozaka potiče od prvog slova egleske reči all.

1.2. OSNOVI TEORIJE SKUPOVA 9 Egzistecijali kvatifikator ( x)p (x) postoji x za koje je P (x) istiito ; ozaka potiče od prvog slova egleske reči exist. Na primer, ako je P (x) : x 2 = 4, tada je formula ( x) x 2 = 4 eistiita, dok je formula ( x) x 2 = 4 istiita, jer zaista za x = ±2 važi x 2 = 4. Kada radimo sa kvatifikatorima, običo se koriste sledeće skraćeice: ( x S)P (x) ( x)(x S P (x)), ( x S)P (x) ( x)(x S P (x)). Primer 1.1.7. Formula ( x) x = x je uvek istiita. Formula ( x)( y) x + y = 0 je istiita, jer zaista za proizvoljo x možemo aći broj y(= x) tako da x + y = 0. S druge strae, ako zameimo mesta uiverzalom i egzistecijalom kvatifikatoru, dobija se formula ( y)( x) x + y = 0 koja evideto ije istiita. Dakle, sa zameom mesta kvatifikatorima treba biti opreza! (Vidi grafik sa vežbi) Kvatifikatori pod dejstvom egacije prelaze jeda u drugi: ( x)p (x) ( x) P (x), ( x)p (x) ( x) P (x). Primer 1.1.8. Posmatrajmo formulu ( m)( ) m, gde su m, prirodi brojevi. Ova formula ije istiita, jer e postoji ajveći priroda broj. Hajde da vidimo kako izgleda egacija ove formule: ( m)( ) m ( m) ( ) m ( m)( ) ( m) ( m)( ) > m. Posledja formula je istiita (samim tim i sve prethode, jer su ekvivalete), jer kazuje dobro pozatu čijeicu da za svaki priroda broj m možemo aći priroda broj (recimo = m + 1) koji je veći od jega. 1.2 Osovi teorije skupova Pojmovi skup i elemet skupa su osovi matematički pojmovi, i kao takvi se e defiišu. U radu sa skupovima zadržaćemo se a ituitivoj predstavi skupa kao kolekcije izvesih elemeata, to je tzv. aiva teorija skupova. Pojam skupa uveo je Kator 4 krajem XIX veka. 4 Georg Ferdiad Ludwig Philipp Cator (1845 1918), pozati emački matematičar

10 GLAVA 1. UVODNI POJMOVI Skupove običo ozačavamo velikim slovima latiičog alfabeta, a jihove elemete malim slovima. Dobra je praksa pisati pr. a za proizvolja elemet skupa A. Za eke skupove koriste se uobičajee ozake: N (prirodi brojevi), Z (celi brojevi), Q (racioali brojevi), R (reali brojevi), C (kompleksi brojevi). Da bismo ozačili da elemet x pripada skupu X koristićemo simbol ( pripada ), dok x / X zači da elemet x e pripada skupu X. Skup koji ema elemeata aziva se praza skup, i ozačava sa ili {}. Defiicija 1.2.1. Ukoliko je dat tzv. uiverzali skup E, tada se skup svih elemeata iz E koji e pripadaju datom skupu A aziva komplemet skupa A (u odosu a skup E), i ozačava sa A c ili Ā. Treba apomeuti da je jako bito u odosu a koji uiverzali skup se uzima komplemet datog skupa. Na primer, ako je dat skup A = {2, 6} i dva uiverzala skupa, E 1 = {1, 2, 3,..., 9} i E 2 = {2, 4, 6, 8}, tada je A c (E 1 ) = {1, 3, 4, 5, 7, 8, 9} a A c (E 2 ) = {4, 8}. Defiicija 1.2.2. Ako svaki elemet skupa A pripada i skupu B, tj. ako važi ( x)(x A x B), tada za skup A kažemo da je podskup skupa B, u ozaci A B (ili samo A B). Kaže se još i da je skup B adskup skupa A, zapis B A (ili samo B A). Svaki epraza skup ima bar dva podskupa, praza skup i sebe:, A A. Defiicija 1.2.3. Partitivi skup skupa A, u ozaci P(A), je skup svih podskupova skupa A, odoso: P(A) = {B : B A}. Partitivi skup je očigledo epraza skup, pošto P( ) = { }, dakle skup koji sadrži jeda elemet. Na primer, ukoliko je dat skup A = {a, b, c}, tada P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Ukoliko skup A sadrži elemeata, tada jegov partitivi skup ima tačo 2 elemeata. Defiicija 1.2.4. Dva skupa su jedaka ako i samo ako su sastavljei od istih elemeata, tj. A = B (A B) (B A) ( x)(x A x B). Ukoliko A B i A B, tada kažemo da je skup A pravi podskup skupa B, u ozaci A B ili A B. Skupove možemo zadavati i predstavljati a više ačia: preko zajedičke osobie, A = {x : ϕ(x)}, gde je ϕ(x) eko svojstvo

1.2. OSNOVI TEORIJE SKUPOVA 11 abrajajem elemeata, pr. A = {2, 3, 5, 7} za skup prostih brojeva majih od 10, B = {4, 8, 16,...} za skup prirodih brojeva koji su deljivi sa 4 preko Veovih dijagrama, koji su pogodi kada radimo sa malim brojem skupova (dva do četiri) koji imaju mogo zajedičkih preseka Jeda isti skup može se zadati a više različitih ačia. Na primer, A = {2, 3, 5, 7} = {x : x N x je prost broj maji od 10}. Kod skupova ije bita redosled elemeata, ali isu dopuštea i višestruka pojavljivaja istog elemeta. Na primer, {1, 2, 2} = {2, 1} = {1, 2}. 1.2.1 Skupove operacije Defiicija 1.2.5. Presek skupova A i B, u ozaci A B, je skup koji čie svi zajedički elemeti skupova A i B, tj. Neke osove osobie preseka su: A B A B = A, A B A, A B B, A =, A A c =. A B = {x : x A x B}. Skupovi A i B za koje važi A B = su disjukti. Defiicija 1.2.6. Uija skupova A i B, u ozaci A B, je skup koji čie svi elemeti koji se alaze u bar jedom od skupova A i B, tj. A B = {x : x A x B}. Neke osove osobie uije skupova su: A B A B = B, A A B, B A B, A = A, A A c = E.

12 GLAVA 1. UVODNI POJMOVI Pored uije/preseka dva skupa, može se defiisati uija/presek koače familije skupova: A i = {x : ( i = 1, ) x A i }, i=1 A i = {x : ( i = 1, ) x A i }. i=1 Defiicija 1.2.7. Razlika skupova A i B, u ozaci A \ B, je skup koji čie svi elemeti koji pripadaju skupu A i e pripadaju skupu B, tj. A \ B = {x : x A x / B}. Sada vidimo da se komplemet skupa A u odosu a uiverzali skup E može izraziti i kao: A c = E \ A. Moše se defiisati i simetriča razlika skupova A i B, u ozaci A B (čita se A delta B ), kao skup A B = (A \ B) (B \ A). Istakimo sada aalogiju izmed u skupova i iskaza. Ako sa p ozačimo iskaz 5 x A, a sa q iskaz x B, tada: uiverzalom skupu E odgovara tautologija, prazom skupu kotradikcija; A B odgovara iskaz p q; A = B odgovara iskaz p q; A c odgovara iskaz p; A B odgovara iskaz p q, a A B iskaz p q; razlici A \ B odgovara p q 5 Precizije, ovde je reč o predikatskim formulama P (x) i Q(x). Na primer, A = B odgovara ( x)(p (x) Q(x)).

1.2. OSNOVI TEORIJE SKUPOVA 13 1.2.2 Dekartov prozvod skupova Defiicija 1.2.8. Ured ei par elemeata a i b je dvoelemeti skup: (a, b) = {{a}, {a, b}}. Elemet a aziva se prva kompoeta (projekcija) ured eog para, dok je b druga kompoeta. Za razliku od skupova, gde ije bita redosled elemeata (dakle, {a, b} = {b, a}), kod ured eih parova redosled je od suštiske važosti. Koristeći defiiciju jedakosti skupova, ured ei parovi (a, b) i (b, a) su jedaki ako i samo ako su jedaki skupovi {{a}, {a, b}} i {{b}, {b, a}}, a oi mogu biti jedaki ako i samo ako a = b. Dva ured ea para, (a, b) i (a 1, b 1 ) su jedaki akko a = a 1 i b = b 1. Sličo ured eom paru može se defiisati i ured ea torka. Na primer, ured ea trojka je (a, b, c) = (a, (b, c)). Defiicija 1.2.9. Neka su A i B eprazi skupovi. Pod Dekartovim 6 proizvodom skupova A i B, u ozaci A B, podrazumeva se skup svih ured eih parova (a, b), gde je prva kompoeta iz skupa A, a druga iz skupa B: A B = {(a, b) : a A, b B}. Ukoliko je bar jeda od skupova A i B praza, uzima se da je i jihov Dekartov proizvod praza skup. Primer 1.2.1. Dati su skupovi A = {a, b, c} i B = {0, 1}. proizvodi B B, A B i B A su: Dekartovi B B = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}, A B = {(a, 0), (a, 1), (b, 0), (b, 1), (c, 0), (c, 1)}, B A = {(0, a), (0, b), (0, c), (1, a), (1, b), (1, c)}. Ovaj primer ilustruje čijeicu da Dekartov proizvod ije komutativa, tj. za epraze i različite skupove A i B važi A B B A. Ukoliko skup A ima m, a skup B elemeata, tada skup A B sadrži tačo m ured eih parova. Aalogo Dekartovom proizvodu dva skupa, može se defiisati i Dekartov proizvod skupova kao skup torki: A 1 A 2 A = {(a 1, a 2,..., a ) : a 1 A 1, a 2 A 2,..., a A }. 6 Reé Descartes (1596 1650), pozati fracuski matematičar i filosof

14 GLAVA 1. UVODNI POJMOVI Ukoliko se uzima Dekartov proizvod skupa A sa samim sobom dovolja broj puta, mogu se uvesti Dekartovi stepei skupa: A 0 =, A 1 = A, A 2 = A A,..., A = A } A {{ A }. Za as će biti posebo začaja A A, Dekartov kvadrat skupa A, za uvod eje biarih relacija i fukcija u aredim poglavljima. 1.2.3 Osobie skupovih operacija 1. idempotetost: A A = A, A A = A; 2. komutativost: A B = B A, A B = B A; 3. asocijativost: (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C); 4. distributivost: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C); 5. De Morgaovi zakoi: (A B) c = A c B c, (A B) c = A c B c. Dokaz ovih osobia (i mogih drugih skupovih izraza) može se izvesti a bar tri ačia: korišćejem iskaze logike, preko tablica istiitosti odgovarajućih iskaza ili preko Veovih dijagrama. Dokažimo, a primer, distributivost preseka prema uiji: A (B C) = (A B) (A C). x A (B C) x A x B C x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) (x A B) (x A C) x (A B) (A C). Neke osobie Dekartovog proizvoda, uije i preseka: A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C); (A B) C = (A C) (B C); (A B) C = (A C) (B C).

1.3. RELACIJE 15 1.3 Relacije Uvid aje veza izmed u izvesih objekata predstavlja jedo od osovih svojstava ljudskog mišljeja. Na primer, med u osobama koje se alaze a ekoj zabavi lako se uvid a koje osobe se med usobo pozaju. Takod e, posle ekog vremea skup ljudi sa zabave se podeli a maje grupe koje imaju zajedička iteresovaja, teme razgovora, muzički ukus i sličo. Drugi primer, kada se pravi spisak studeata, to se može uraditi a mogo ačia. Med utim, spisak gde su studeti pored ai po rastućem broju ideksa ili po prezimeima ima predosti, jer omogućava lakše salažeje. Takve veze izmed u izvesih objekata u matematici se predstavljaju kroz relacije. Defiicija 1.3.1. Neka su A i B eprazi skupovi. Svaki podskup ρ A B aziva se biara relacija u skupu A B. Specijalo, ako je A = B, kaže se da je ρ A 2 biara relacija skupa A. Relacije se običo ozačavaju malim slovima grčkog alfabeta: ρ, σ,..., i jih možemo zadavati i predstavljati a raze ačie: avod ejem svih elemeata koji jesu (ili isu) u relaciji; pogodo za relacije kod kojih su skupovi koači, sa malim brojem elemeata. aalitički zapis. tabličo: u vrstama se alaze elemeti skupa A, u koloama elemeti skupa B: ako je elemet a iz i te vrste u relaciji sa elemetom b iz j te koloe, oda stavljamo ili 1 u preseku i te vrste i j te koloe matrice, a ako ije u relacije, stavlja se ili 0. grafički prikaz: koači skupovi A i B predstave se Veovim dijagramima, i kada je a iz A u relaciji sa b iz B crta se liija sa strelicom od a do b. orijetisai graf; pogoda za slučaj koačog skupa A = B. Svakom elemetu skupa A pridružuje se jeda čvor grafa, a ako je a 1 u relaciji sa a 2 oda se crta graa sa strelicom koja počije u čvoru a 1 a završava se u a 2. Ukoliko a 1 u relaciji sa a 1, tada graa izlazi iz a 1 i vraća se u jega - tzv. petlja. Na potpuo aaloga ači može se defiisati i ara relacija (relacija dužie ) kao podskup Dekartovog proizvoda ρ A 1 A 2 A. Za = 1 običo se kaže uara relacija, za = 2 biara, za = 3 terara. Dakle, uara relacija je proizvolja podskup datog skupa. Mi ćemo se baviti biarim relacijama.

16 GLAVA 1. UVODNI POJMOVI Posmatramo relaciju ρ A B; ukoliko su elemeti a A i b B u relaciji ρ, to zapisujemo kao (a, b) ρ ili aρb. Ukoliko a i b isu u relaciji ρ, zapisujemo (a, b) / ρ. Napomeimo da je, pošto radimo sa ured eim parovima, redosled bita, te u opštem slučaju može biti aρb, ali e i bρa. Primer 1.3.1. Primeri ekih relacija: 1. Kako je ρ A B, slučajevi ρ = i ρ = A B opisuju trivijale relacije; kod prve ijeda elemet iz a A ije u relaciji i sa jedim elemetom b B, dok kod druge svaki elemet a A je u relaciji sa svim elemetima b B. Ukoliko A = B, važa relacija je i idetička relacija, defiisaa kao A = {(a, a) : a A}. 2. Kao što smo već rekli, uarom relacijom može se smatrati svaki podskup datog skupa. 3. Primer terare relacije je relacija y je izmed u x i z defiisaa a skupu tačaka date prave. Zatim, relacija osoba A je predstavila osobu B osobi C a datom skupu osoba je terara relacija. 4. Neka su dati skupovi A = {1, 2} i B = {a, b, c}. Primer biare relacije je ρ = {(1, a), (1, c), (2, c)}. 5. Na skupu A = {1, 2, 3, 4} možemo defiisati relaciju a sledeći ači: xρy x < y. Dakle, ρ = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}. Svakoj relaciji pridružuju se dva skupa. Dome relacije ρ A B je skup svih elemeata skupa A koji su u relaciji sa ekim elemetom skupa B: D(ρ) = {a A : ( b B) aρb}. Skup vredosti relacije ρ je skup svih elemeata iz B sa kojima je u relaciji eki elemet iz A: Jaso, D(ρ) A, R(ρ) B. R(ρ) = {b B : ( a A) aρb}. Primer 1.3.2. Za relaciju iz primera 1.3.1.4) je D(ρ) = A, R(ρ) = {a, c}, dok je za relaciju iz primera 1.3.1.5) D(ρ) = {1, 2, 3}, dok je R(ρ) = {2, 3, 4}. Dome i slika idetičke relacije A poklapaju se sa skupom A. Defiicija 1.3.2. Ako je ρ A B, tada je iverza relacija relacije ρ skup ρ 1 B A defiisa kao ρ 1 = {(a, b) : (b, a) ρ}.

1.3. RELACIJE 17 Dakle, aρb bρ 1 a, za sve a A i b B. Lako se vidi da D(ρ 1 ) = R(ρ) i R(ρ 1 ) = D(ρ). Primer 1.3.3. Za relaciju iz primera 1.3.1.4) je ρ 1 = {(a, 1), (c, 1), (c, 2)}, a za relaciju iz primera 1.3.1.5) ρ 1 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}. Iverza relacija idetičke relacije A je sama ta relacija. Defiicija 1.3.3. Proizvod (kompozicija) relacija σ A B i ρ B C je relacija ρ σ A C data sa ρ σ = {(x, y) : ( z B) xσz zρy}. Očigledo je D(ρ σ) D(σ) i R(ρ σ) R(ρ). U opštem slučaju, proizvod dveju relacija e mora biti defiisa (ubaci primer). Da bi bio defiisa, mora da bude D(ρ) R(σ). Ukoliko je u pitaju biara relacija ρ a skupu A, oda se može defiisati stepe relacije ρ a sledeći ači: ρ 2 = ρ ρ, ρ 3 = ρ 2 ρ,... Kompozicija relacija se vrlo lako izvodi korišćejem grafičkog prikaza Tvrd eje 1.3.1. Za proizvolje relacije ρ, σ, τ važi: 1. ρ (σ τ) = (ρ σ) τ. 2. (ρ σ) 1 = σ 1 ρ 1. 1.3.1 Neke osobie biarih relacija Defiicija 1.3.4. Biara relacija ρ A 2 je: (R) refleksiva ako ( x A) xρx; (S) simetriča ako ( x, y A) xρy yρx; (AS) atisimetriča ako ( x, y A) xρy yρx x = y; (T) trazitiva ako ( x, y, z A) xρy yρz xρz. Ukoliko je pozata tablica relacije, tada: ukoliko su samo vredosti po glavoj dijagoali, relacija je (R); ako je tablica simetriča u odosu a glavu dijagoalu, relacija je (S);

18 GLAVA 1. UVODNI POJMOVI Kriterijum za atisimetričost može se izraziti i kao: ( x, y A) (x, y) ρ x y (y, x) / ρ. Prema tome, ako je tablica atisimetrča u odosu a glavu dijagoalu (tj. ako je svako simetričo sa i obrato), relacija je (AS); za osobiu (T) ema lepog kriterijuma. Na osovu grafa relacije, možemo zaključiti sledeće: ako svaki čvor ima petlju, relacija je (R); ako svakoj grai iz a u b odgovara graa iz b u a, oda je (S); ako izmed u svaka dva čvora postoji ajviše jeda graa, oda je (AS); ako je graf kvadrata relacije sadrža u grafu relacije, to je svojstvo (T). Još jeda kriterijum za prepozavaje osobia relacija a skupu daje aredo tvrd eje. Tvrd eje 1.3.2. Biara relacija ρ A 2 je: 1. refleksiva ako i samo ako A ρ, 2. simetriča ako i samo ako ρ 1 = ρ, 3. atisimetriča ako i samo ako ρ ρ 1 A ; 4. trazitiva ako i samo ako ρ ρ ρ. Proof. ( ) : Relacije ρ je refleksiva, tj. ( x A) (x, x) ρ. Kako je A = {(x, x) : x A}, zaključujemo da A ρ. Uzmimo (x, y) ρ 1, to je po defiiciji ekvivaleto sa (y, x) ρ, a relacija ρ je (S), te zato sledi (x, y) ρ, tj. dobija se ρ 1 ρ. S druge strae, (x, y) ρ (y, x) ρ 1 (x, y) ρ, odoso ρ ρ 1, te zato ρ = ρ 1. Ako je ρ atisimetriča, oda ( x, y A) (x, y) A (y, x) A x = y, odoso ρ ρ 1 A. Uzmimo (x, y) ρ 2 ; po defiiciji kompozicije ( z) (x, z) ρ (z, y) ρ. Relacija ρ je trazitiva, te zato (x, z) ρ (z, y) ρ (x, y) ρ, tj. ρ 2 ρ. ( ) : A ρ zači da ( x A) (x, x) ρ, tj. ρ je refleksiva relacija. (x, y) ρ (y, x) ρ 1 zajedo sa ρ 1 = ρ daju (y, x) ρ, tj. dokazali smo osobiu simetričosti. (x, z) ρ (z, y) ρ (x, y) ρ 2 sa ρ 2 ρ daje (x, y) ρ, tj. relacija je trazitiva. Osobia atisimetričosti je jasa, čime smo kompletirali dokaz.

1.3. RELACIJE 19 Napomea: Kako su relacije u stvari skupovi (ured eih parova), sa jima se mogu izvoditi skupove operacija kao pr. uija i presek. U tom smislu treba shvatiti stavku 3 iz prethodog tvrd eja. Primer 1.3.4. Dat je skup A = {a, b, c} i biara relacija ρ A 2 a jemu, defiisaa a sledeći ači: Tabliči prikaz i graf ove relacije su: ρ = {(a, a), (b, b), (c, b), (c, c)}. c b ρ a b c a b c, a Kako su po glavoj dijagoali tablice sve vredosti, relacija je refleksiva. Relacija ije simetriča, jer (c, b) ρ, ali (b, c) / ρ. Nije i atisimetriča, jer ρ 1 = A {(b, c)} A {(c, b)} = ρ. Trazitivost važi, jer je ρ 2 = ρ, što se ajbolje vidi sa grafičkog prikaza relacije. 1.3.2 Relacije ekvivalecije Defiicija 1.3.5. Relacija ρ A 2 koja je refleksiva, simetriča i trazitiva aziva se relacija ekvivalecije. Nekad se za relaciju ekvivalecije koristi simbol ( tilda ). Defiicija 1.3.6. Neka je ρ A 2 relacija ekvivalecije. Skup svih y A koji su u relaciji sa elemetom x A aziva se klasa ekvivalecije elemeta x, u ozaci [x] ili C x : [x] = {y A : xρy}. Primer 1.3.5. Defiišimo a skupu celih brojeva Z relaciju a sledeći ači - dva broja x, y Z su u relaciji ako imaju isti ostatak pri deljeju sa 4: xρy x 4 y 4 x y. Pokažimo da je 4 relacija ekvivalecije. (R): ( x Z) 4 x x = 0, što jeste tačo;

20 GLAVA 1. UVODNI POJMOVI (S): ( x, y Z) 4 x y 4 (x y) = y x, što važi; (T): ( x, y, z Z) 4 x y 4 y x 4 (x y) + (y z) = x z, tj. važi i trazitivost. Prema tome, relacija 4 je zaista relacija ekvivalecije. Odredimo sada klase ekvivalecije. [0] = {x Z : x 4 0} = {x Z : 4 x} = {..., 8, 4, 0, 4, 8,... }, [1] = {x Z : x 4 1} = {x Z : 4 x 1} = {..., 7, 3, 1, 5, 9,... }, [2] = {x Z : x 4 2} = {x Z : 4 x 2} = {..., 6, 2, 2, 6, 10,... }, [3] = {x Z : x 4 3} = {x Z : 4 x 3} = {..., 5, 1, 3, 7, 11,... }, [4] = {x Z : x 4 4} = {x Z : 4 x 4} = {x Z : 4 x} = [0]. Dakle, relacija kogruecije po modulu 4 a skupu celih brojeva ima 4 klase ekvivalecije, što zapisujuemo a sledeći ači: Z/ 4 = {[0], [1], [2], [3]}. Svaki ceo broj pripada tačo jedoj klasi Z = [0] [1] [2] [3], i svaka klasa sadrži samo oe brojeve koji pri deljeju sa 4 daju isti ostatak. Defiicija 1.3.7. Familija {A i, i = 1, } eprazih disjuktih podskupova datog skupa A aziva se razbijaje ili particija skupa A ako A = A i. i=1 Primer trivijalog razbijaja skupa A = {a 1, a 2, a 3 } je familija skupova A 1 = {a 1 }, A 2 = {a 2 }, A 3 = {a 3 }. Drugo razbijaje je B 1 = {a 1, a 3 }, B 2 = {a 2 }; med utim C 1 = {a 1, a 2 }, C 2 = {a 2, a 3 } ije razbijaje jer C 1 C 2, kao što i familija A 1, A 2 ije razlagaje skupa A jer A A 1 A 2. Tvrd eje 1.3.3. Relacija ekvivalecije a skupu defiiše razbijaje tog skupa. Obrato, svako razbijaje datog skupa idukuje relaciju ekvivalecije a tom skupu. Proof. Neka je ρ relacija ekvivalecije a skupu A. Pošto je relacija ρ refleksiva, svaki elemet skupa a je u relaciji makar sa samim sobom, te pripada ekoj klasi ekvivalecije. Iz istog razloga je svaka klasa ekvivalecije

1.3. RELACIJE 21 epraza. Posmatramo x, y A takve da (x, y) / ρ; treba dokazati da jihove klase ekvivalecije imaju praza presek. Pretpostavimo suproto, da postoji eko z A tako da z [x] [y]. Po defiiciji, to zači da xρz yρz. Zbog simetričosti i trazitivosti, imamo xρz zρy xρy, što je u suprtosti sa (x, y) / ρ. Dakle, aša pretpostavka je pogreša, te elemeti koji isu u relaciji pripadaju disjuktim klasama. Neka su sada x, y A takvi da xρy. Po defiiciji, to zači da y [x]. Zbog simetričosti je yρx, odsoso x [y]. Prema tome, [x] = [y]. Obrato, ako je {A 1,..., A } razbijaje skupa, možemo defiisati relaciju ρ a skupu A a sledeći ači: xρy ( i = 1, ) x, y A i. Lako se pokazuje da je ρ zaista relacija ekvivalecije. Primer 1.3.6. Neka je dato razbijaje skupa Z P = {P 0 = {..., 4, 2, 0, 2, 4,... }, P 1 = {..., 5, 3, 1, 1, 3, 5,... }}. Defiišimo relaciju ρ a sledeći ači: ( x, y Z) xρy (x P 1 y P 1 ) (x P 2 y P 2 ). Očigledo je ρ relacija ekvivalecije koja se poklapa sa relacijom x i y su iste parosti. 1.3.3 Relacije poretka Defiicija 1.3.8. Relacija ρ A 2 koja je refleksiva, atisimetriča i trazitiva aziva se relacija poretka ili ured eje. Skup A a kojem je defiisaa relacija poretka ρ aziva se (delimičo) ured e skup. Često se za relaciju poretka koriste i simboli ili. Neka je (A, ρ) ured e skup. Ukoliko za x, y A važi ili xρy ili yρx, tada su elemeti x i y uporedivi. Ako su svi elemeti skupa A med usobo uporedivi, tada je skup A potpuo ured e, liearo ured e ili laac. Primer 1.3.7. Pokazaćemo razovrsost relacija poretka. 1. Skup reali brojeva R sa relacijom je primer liearo ured eog skupa, zato što za svaka dva reala broja zamo koji broj ije veći od kog.

22 GLAVA 1. UVODNI POJMOVI 2. Skup prirodih brojeva N sa relacijom deljivosti je primer ured eog skupa koji ije liearo ured e, jer postoje euporedivi prirodi brojevi, pr. iti 2 3, iti 3 2. 3. Za dati skup A, partitivi skup P(A) sa relacijom ikluzije je ured e skup, ali ije liearo ured e, jer postoje podskupovi koji isu uporedivi relacijom ikluzije. Na primer, ako je A = {a, b}, tada za skupove S = {a}, T = {b} e važi i S i T S. 4. Ukoliko su (A, A ) i (B, B ) ured ei skupovi, tada a skupu A B možemo a raze ačie uvesti ured eje. Najpozatije je leksikografsko ured eje koje se defiiše a sledeći ači: (a, b) lex (a 1, b 1 ) a < A a 1 (a = a 1 b B b 1 ). Dakle, ured ei parovi se upored uju prema prvoj kompoeti, a ako su prve kompoete jedake, oda prema drugoj. Na primer, ako su A = {a, b, c} i B = {0, 1} ured ei skupovi (a b c, 0 1), oda (a, 0) lex (b, 0) i (b, 0) lex (b, 1). Na ovaj ači se sortira pr. spisak studeata po azbučom redu. Defiicija 1.3.9. Neka je (X, ρ) ured e skup. 1. Elemet a X takav da ( x X) aρx aziva se ajmaji elemet skupa X. 2. Elemet a X takav da ( x X) xρa aziva se ajveći elemet skupa X. 3. Elemet a X takav da ( x X) x = a (xρa) aziva se miimali elemet skupa X. 4. Elemet a X takav da ( x X) x = a (aρx) aziva se maksimali elemet skupa X. Drugim rečima, ajmaji elemet je maji (u odosu a relaciju ρ) od svih ostalih elemeata, dok je miimali elemet maji od svih sa kojima je uporediv. Dualo važi za ajveći i maksimali elemet. Na grafu relacije poretka iz čvora koji odgovara ajmajem elemetu vodi graa ka svim ostalim čvorovima, dok u čvor koji odgovara ajvećem elemetu ulaze grae iz svih ostalih čvorova. Miimali elemeti se prepozaju po tome što iz jihovih čvorova samo izlaze grae, dok čvorovi u koje samo ulaze grae odgovaraju maksimalim elemetima.

1.3. RELACIJE 23 Primer 1.3.8. Posmatramo ured e skup (X = {1, 2,..., 9}, ). Elemet a X je ajmaji ako ( x X) a x, a to može biti samo a = 1. Maksimali elemet e postoji, jer e postoji b X takav da ( x X) x b (to bi bio pr. ajmaji zajedički sadržalac brojeva skupa X, ali o e pripada u X). Elemet a X je miimala ako ( x X) x = a x a; zači 1 je miimala, jer x = 1 x 1 je istiito i za x = 1 (svodi se a ), i za x 1 (svodi se a ). Elemet 2 ije miimala, jer za x = 1 imamo kotradikciju; isto važi i za ostale. Dakle, miimali elemet je 1. Elemet 5 je maksimala pošto ( x X) x = 5 5 x, dok elemet 3 ije jer za x = 6 dobijamo kotradikciju. Dakle, maksimali elemeti su 5, 6, 7, 8 i 9. 0 8 8 4 6 9 4 6 9 2 3 5 7 2 3 5 7 1 1 Ukoliko posmatramo skup (X 1 = {2, 3,..., 9}, ), e postoje i ajmaji i ajveći elemet. Miimali elemeti su 2, 3, 5 i 7, a maksimali 5, 6, 7, 8 i 9. Primetimo da su 5 i 7 istovremeo i miimali i maksimali elemeti (u grafu jima odgovaraju izolovai čvorovi). Ako se pozabavimo ured eim skupom (X 0 = {0, 1,..., 9}, ), i dalje je 1 ajmaji (i jedii miimali) elemet, ali zato sada imamo i ajveći (i jedii maksimali) elemet - 0. Posmatramo li liearo ured e skup ({1, 2, 3, 4}, ), o ima ajmaji elemet 1 i ajveći elemet 4. Tvrd eje 1.3.4. Ako postoji ajmaji (ajveći) elemet skupa X u odosu a relaciju ρ, tada je o jedistve. Proof. Pretpostavimo suproto, da postoje dva ajmaja elmeta, m 1 i m 2. Tada imamo m 1 ρm 2 i m 2 ρm 1, odakle zbog atisimetričosti relacije ρ sledi m 1 = m 2. Dualo za ajveći elemet.

24 GLAVA 1. UVODNI POJMOVI Za grafičko predstavljaje ured eih koačih skupova koriste se Haseovi 7 dijagrami. Za razliku od klasičih grafova, oi sadrže čvorove orgaizovae a odred ei ači i zato maje graa, te su preglediji. Elemet x X je eposredi prethodik elemeta y X ako ( z X) xρz zρy z = x z = y, tj. ijeda elemet se e može umetuti izmed u x i y. Pomoću pojma eposredog prethodika za svaki elemet odred uje se jegov ivo. Elemet x je a ivou 0 ako ema eposredih prethodika. U suprotom, elemet x je a ivou k > 0 ako ima bar jedog eposredog prethodika a ivou k 1 dok su svi ostali jegovi prethodici a ivou e većem od k 1. Čvorovi se sada raspored uju a sledeći ači po ivoima, počevši od ivoa 0 a du, i svaki čvor se spaja liijama sa svim svojim eposredim prethodicima. Defiicija 1.3.10. Neka je dat ured e skup (X, ) i eka A X. 1. Elemet x X je majorata (gorja graica, gorja med a) skupa A ako ( a A) a x. 2. Elemet x X je miorata (doja graica, doja med a) skupa A ako ( a A) x a. Skup koji ima bar jedu majoratu/mioratu je ograiče odozgo/odozdo; skup koji je ograiče i odozgo i odozdo je ograiče. Najmaja od svih majorati skupa A, ako postoji, aziva se supremum skupa A, u ozaci sup A. Ukoliko supremum pripada skupu A, aziva se maksimum, i ozačava sa max A. Dualo se defiišu ifimum i miimum skupa, if A i mi A. Dakle, x = max A x A ( a A) a x; x = sup A i)( a A) a x ii)( a A) a y x y. Primer 1.3.9. Skup A = (, 1] je ograiče odozgo u skupu R, i skup jegovim majorati je {x R : x 1}. Kako ovaj skup majorati ima miimum, postoji sup A = 1, koji je istovremeo i maksimum jer pripada skupu A. Skup A ije ograiče odozdo jer ema ijedu realu mioratu. Skup B = [ 1, 1) je ograiče, i skup jegovih miorati je {y R : y 1}, a skup majorati {z R : z 1}. Skup miorati ima maksimum, te if B = 1, skup majorati ima miimum, i zato sup B = 1. Kako 7 Helmut Hasse (1898 1979), emački matematičar

1.4. FUNKCIJE 25 if B B, postoji mi B = if B = 1, dok zbog sup B = 1 / B maksimum max B e postoji. Skup C = [0, 2) je ograiče u Q, if C = mi C = 0, ali supremum (i maksimum) e postoje jer 2 / Q. Defiicija 1.3.11. Skup (X, ) je dobro ured e ako svaki jegov epraza podskup sadrži miimum. Primer dobro ured eog skupa je (N, ). 1.4 Fukcije Fukcijske relacije, ili kraće - fukcije, predstavljaju posebu vrstu relacija kod kojih je svaki elemetu domea u relaciji sa tačo jedim elemetom iz slike te relacije. Pritom se može desiti sledeće: dome relacije ije ceo skup, kodome relacije ije ceo skup. Prvi problem se često rešava tako što se postavi da odlazi skup bude jedak domeu relacije. Defiicija 1.4.1. Neka su dati eprazi skupovi A i B. Relacija f A B za koju važi: 1. ( x A)( y B) (x, y) f; 2. ( x A)( y, z B) (x, y) f (x, z) f y = z; aziva se fukcija. Umesto (x, y) f piše se y = f(x). Pritom se x običo zove argumet, origial ili (ezaviso) promeljiva, dok je y slika ili vredost fukcije. Sa D(f) ozačava se dome fukcije ili oblast defiisaosti, dok je R(f) kodome fukcije ili skup vredosti. Dakle, fukcija predstavlja odred eo pravilo po kojem se elemetima jedog skupa pridružuju elemeti drugog skupa, i pritom jedom origialu odgovara ajviše jeda slika. Paralelo sa termiom fukcija, koristićemo i termi preslikavaje. Ukoliko su u pitaju koači skupovi, fukcija se može zadavati i predstavljati tabličo ili grafički. Običo je pogodiji aalitički zapis. Neki primeri fukcija: f(x) = x x2 x2, z(x, y) = e x 1 a 2 +y2 b, h(x) = f(t)dt, χ(x) = 2 0 { 1, x Q 0, x R \ Q

26 GLAVA 1. UVODNI POJMOVI Tablica fukcijske relacije sadrži u svakoj koloi ajviše jeda simbol ; iz svakog čvora grafa fukcijske relacije može izlaziti samo jeda graa, račuajući i petlje. Elemetu koji e pripada oblasti defiisaosti fukcije odgovara koloa popujea simbolima u tablici, odoso izolovai čvor grafa. Svaka fukcija se može potpuo opisati kao ured ea trojka (D(f), R(f), f), tj. promeom bar jedog od ova tri elemeta meja se i sama fukcija. Defiicija 1.4.2. Dve fukcije f i g su jedake ako: 1. D(f) = D(g), 2. R(f) = R(g), 3. ( x D(f)) f(x) = g(x). Primer 1.4.1. Fukcije f(x) = x 2 1 i f 1 (x) = (x 1)(x+1) su jedake, jer su im jedaki domei (skup R), kodomei (skup [ 1, + )) i same fukcije. Fukcije g(x) = x+1 i g x+1 1(x) = 1 isu jedake, jer je D(g) = R \ { 1} a D(g 1 ) = R. Defiicija 1.4.3. Ako D(f), R(f) R, oda se skup aziva grafik fukcije f. Γ(f) = {(x, f(x)) : x D(f)} Ukoliko su dome i kodome fukcije podskupovi skupa R, takve fukcije zvaćemo realim fukcijama, i oe će biti predmet ašeg izučavaja. Grafik reale fukcije se može iterpretirati kao skup tačaka Dekartove ravi xoy. Defiicija 1.4.4. Fukcija g je restrikcija fukcije f ako D(g) D(f) i ( x D(g)) f(x) = g(x). Kaže se još i da je fukcija f ekstezija fukcije g. Ukoliko je fukcija g restrikcija fukcije f a skup D D(f), pisaćemo g = f D. Primer 1.4.2. Fukcija f 1 (x) = x 2 : R + R + je restrikcija fukcije f(x) = x 2 : R R +. Fukcija f() =! : N N može se proširiti a reale brojeve kao tzv. gama fukcija: Γ(x) = 0 t x 1 e t dt. Dakle, gama fukcija je ekstezija fukcije faktorijel.

1.4. FUNKCIJE 27 1.4.1 Osobie fukcija Videli smo iz defiicije da fukcija e sme da šalje jeda isti origial u dve različite slike (ačelo jedozačosti). Biće am od iteresa kako fukcije kod kojih svakoj slici odgovara drugi origial, tako i fukcije kod kojih je kodome ceo skup B. Defiicija 1.4.5. Fukcija f : A B za koju ( x 1, x 2 A) x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) je ijektiva fukcija, ijekcija ili 1-1. Ukoliko se iskoristi tautologija (p q) ( q p), uslov ijektivosti može se zapisati kao f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2, tj. istim slikama odgovaraju isti origiali. Defiicija 1.4.6. Fukcija f : A B za koju je surjektiva, surjekcija ili a. ( y B)( x A) f(x) = y Dakle, fukcija je surjektiva ako svakoj slici iz celog skupa B odgovara eki origial iz domea fukcije. Slika skupa D D(f) fukcijom f : A B defiiše se kao skup koji čie slike svakog od elememata skupa D: f(d) = {f(a) : a D}. U opštem slučaju je f(a) B; fukcija f je a akko f(a) = B. Defiicija 1.4.7. Fukcija je bijektiva ako je 1-1 i a. Defiicija 1.4.8. Neka su date fukcije f : A B i g : C D. Ukoliko f(a) B C, može se defiisati proizvod (kompozicija) preslikavaja f i g kao preslikavaje g f : A D takvo da: ( a A) (g f)(a) = g(f(a)). Kompozicija fukcija je asocijativa (f (g h) = (f g) h), dok u opštem slučaju ije komutativa (f g g f), kao što pokazuje aredi primer.

28 GLAVA 1. UVODNI POJMOVI Primer 1.4.3. Date su fukcije f(x) = x 2 1 : R R i g(x) = x : R + R. Fukcija f g je: (f g)(x) = f(g(x)) = ( x) 2 1 = x 1, dok g f ije i defiisaa, jer (g f)(x) = g(f(x)) = x 2 1. Tvrd eje 1.4.1. Neka f : A B, g : B C. Tada: 1. ako su f i g 1-1, tada je i g f 1-1 ; 2. ako su f i g a, tada je i g f a. Proof. 1. Neka su a 1, a 2 A takvi da (g f)(a 1 ) = (g f)(a 2 ). To je, po defiiciji, ekvivaleto sa g(f(a 1 )) = g(f(a 2 )), a kako je g 1-1, sledi da f(a 1 ) = f(a 2 ). Kako je i f 1-1, sledi a 1 = a 2, čime smo dokazali da je g f 1-1. 2. Neka je c C proizvoljo. Fukcija g je a, pa postoji b B tako da c = g(b). Kako je i fukcija f a, postoji a A za koje b = f(a). Dakle, za proizvoljo c C važi c = g(b) = g(f(a)) = (g f)(a) za eko a A, tj. fukcija g f je a. Ukoliko uzmemo zajedo delove 1) i 2) prethodog tvrd eja, zaključujemo da je kompozicija dve bijekcije poovo bijekcija. Tvrd eje 1.4.2. Neka f : A B, g : B C. Tada: 1. ako je g f a, tada je g a ; 2. ako je g f 1-1, tada je f 1-1. Proof. 1. Fukcija g f je a, pa za poizvoljo c C postoji a A tako da c = (g f)(a). To dalje zači da c = g(f(a)) za a A, odoso za proizvoljo c C postoji b = f(a) B tako da c = g(b), tj. g je a. 2. Neka su a 1, a 2 A takvi da je a 1 a 2. Zbog ijektivosti g f sledi (g f)(a 1 ) (g f)(a 2 ), odoso g(f(a 1 )) g(f(a 2 )). Odavde sledi f(a 1 ) f(a 2 ), odsoo fukcija f je 1-1.

1.4. FUNKCIJE 29 Dakle, ako je g f bijekcija, oda je f 1-1, a g a. Tvrd eje 1.4.3. Ako je f : A B bijekcija, tada postoji jedistveo preslikavaje g : B A tako da 1. ( a A) (g f)(a) = a, 2. ( b B) (f g)(b) = b. Proof. Fukcija f je bijekcija, dakle a, te ( b B)( a A) b = f(a). Kako je f i 1-1, a je jedii elemet skupa A za koji b = f(a). Defiišimo preslikavaje g : B A koje ovakvom elemetu b dodeljuje elemet a. Tada važi: 1. ( a A) (g f)(a) = g(f(a)) = a, 2. ( b B) (f g)(b) = f(g(b)) = f(g(f(a))) = f((g f)(a)) = f(a) = b. Dokazali smo egzisteciju preslikavaja g sa tražeim osobiama, dokažimo sada jedistveost. Pretpostavimo suproto, da postoji još jeda bijekcija g 1 : B A sa tražeim osobiama 1) i 2), koja je različita od g. To zači da ( b B) g(b) g 1 (b), a kako je f 1-1 preslikavaje, sledi f(g(b)) f(g 1 (b)), odoso zbog osobie 2) sledi b b, što je kotradikcija. Dakle, preslikavaje g sa tražeim osobiama je zaista jedistveo. Preslikavaje g iz prethodog tvrd eja aziva se iverza fukcija fukcije f, i običo se ozačava sa f 1. Dakle, f 1 : B A je bijektiva fukcija za koju važi: ( a A) (f 1 f)(a) = a i ( b B) (f f 1 )(b) = b, što se skraćeo zapisuje kao f 1 f = i A, f f 1 = i B. Sliči idetičkoj relaciji, idetičku fukciju defiišemo kao ( x A) i A (x) = x. Zamo da za svaku relaciju postoji jedistvea joj iverza relacija. Kako je svaka fukcija f istovremeo i relacija (sa dodatim svojstvima), postojaće uvek i f 1, ali u opštem slučaju kao relacija. Da bi relacija f 1 bila fukcija, f mora da bude bijektiva fukcija. Ako (x, y) Γ(f), oda (y, x) Γ(f 1 ), tj. grafici fukcija f i f 1 su simetriči u odosu a pravu y = x. Primer 1.4.4. Potražimo iverzu fukciju fukcije f(x) = 2x 1 : R R. Fukcija f je ijektiva, jer za proizvolje x 1, x 2 R važi: f(x 1 ) = f(x 2 ) 2x 1 1 = 2x 2 1 x 1 = x 2. Fukcija f je surjektiva, jer za proizvoljo y R postoji x = y+1 tako da 2 f(x) = y. Prema tome, fukcija f je bijekcija, te zato postoji f 1, koju alazimo a sledeći ači: f 1 (f(x)) = x f 1 (2x 1) = x f 1 (y) = y + 1 2.

30 GLAVA 1. UVODNI POJMOVI Dakle, f 1 (x) = x+1 2. 2 2 1 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 1 2 2 Primer 1.4.5. Potražimo iverzu fukciju fukcije g(x) = x 2 : R R +. Fukcija g ije ijektiva, jer g( 2) = g(2) iako 2 2, pa ije i bijektiva, te e postoji g 1. Posmatrajmo sada dve restrikcije fukcije g a reale poluose: g 1 (x) = x 2 : R + R +, g 2 (x) = x 2 : R R +. Lako se pokazuje da su fukcije g 1 i g 2 bijekcije, i g1 1 = x, g2 1 = x. Fukcije g1 1 i g2 1 običo se azivaju iverze grae fukcije f. Defiicija 1.4.9. Fukcija f : R R je strogo rastuća ako odoso strogo opadajuća ako ( x 1, x 2 R) x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ), ( x 1, x 2 R) x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ). Primer 1.4.6. Fukcija f(x) = x je strogo rastuća, kao i fukcije f(x) = e x, f(x) = l x. Fukcija f(x) = x 2 je strogo rastuća a [0, + ) a strogo opadajuća a (, 0]. Fukcija f(x) = si x je strogo rastuća a [ π 2, π 2 ], dok je strogo opadajuća a [ π 2, 3π 2 ]. Tvrd eje 1.4.4. Ako je fukcija f : X Y strogo rastuća, oda postoji fukcija f 1 : f(x) X i strogo je rastuća. Proof. Fukcija f je strogo rastuća, pa je x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ), odakle sledi f(x 1 ) f(x 2 ), tj. fukcija f je 1-1. Fukcija f je a ako slika X u f(x), pa postoji bijekcija f 1 : f(x) X. Dokažimo da je f 1 strogo rastuća fukcija.

1.4. FUNKCIJE 31 Neka su y 1, y 2 f(x) takvi da y 1 < y 2. Moguća su tri slučaja: f 1 (y 1 ) = f 1 (y 2 ), f 1 (y 1 ) > f 1 (y 2 ) ili f 1 (y 1 ) < f 1 (y 2 ). Prvi i drugi slučaj isu mogući, jer bi oda primeom fukcije f imali y 1 = y 2 odoso y 1 > y 2, što dovodi do kotradikcije. Dakle, mora biti f 1 (y 1 ) < f 1 (y 2 ), tj. fukcija f 1 je strogo rastuća. Defiicija 1.4.10. Fukcija f : R R je 1. para, ako ( x R) f(x) = f( x); 2. epara, ako ( x R) f(x) = f( x); 3. periodiča, ako ( T 0)( x R) f(x+t ) = f(x). Broj T za koji ovo važi aziva se period fukcije f. Najmaji pozitiva period fukcije, ako postoji, aziva se osovi period. 2 2 1 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 1 2 2 2 1 6 4 2 2 4 6 1 2 Fukcija e mora da bude i para i epara, med utim ukoliko jeste, oda imamo izvesih olakšica. Grafik pare fukcije simetriča je u odosu a y osu, dok je grafik epare fukcije simetriča u odosu a koordiati početak. Parost i eparost podrazumevaju da je dome fukcije f simetriča skup u odosu a koordiati početak, tj. x D(f) x D(f). Grafik periodiče fukcije f sa osovim periodom T dobija se kada proizvoljo parče grafika dužie T trasliramo duž x ose za ±T, ±2T, ±3T,... Dakle, često je dovoljo ispitati fukciju samo a delu domea da bismo dobili iformacije o jeom poašaju a celom domeu.

32 GLAVA 1. UVODNI POJMOVI Primer 1.4.7. Fukcije f(x) = x 2, N, su pare, fukcije f(x) = x 2 1, N, su epare. Fukcije e x i l x isu i pare i epare. Fukcija f(x) = si x je epara i periodiča; jei periodi su ±2π, ±4π,..., dok je je osovi period 2π. Fukcija f(x) = cos x je para i periodiča sa osovim periodom 2π. Ukoliko epara fukcija ima iverzu fukciju, oda je i iverza fukcija epara. Zaista, ako je f : A B epara bijekcija, oda za proizvoljo y B postoji jedistveo x A tako da y = f(x). Zato: f 1 ( y) = f 1 ( f(x)) = f 1 (f( x)) = x = f 1 (y). Permutacioe fukcije Posmatrajmo sve moguće bijekcije skupa {1, 2,..., } a sebe, tj. skup S = {f : {1, 2,..., } 1 1 a {1, 2,..., }}. Elemeti ovog skupa su permutacije i ima ih ukupo! Proizvolju permutaciju predstavljaćemo a sledeći ači: ( ) 1 2 3... s =. f(1) f(2) f(3)... f() Posmatrajmo permutacije skupa {1, 2, 3, 4}. Za datu permutaciju s defiišemo permutaciju s 1 a sledeći ači: ako s(i) = j, oda s(j) = i, gde i, j = 1,. Na primer, s = ( 1 2 3 4 2 4 3 1 ) ( 1 2 3 4, s 1 = 4 1 3 2 Med u permutacijama iz skupa S može se defiisati kompozicija permutacija a sledeći ači: ako (s 1 s 2 )(i) = s 2 (s 1 (i)), i = 1,. Ilustrujmo kompoziciju a skupu S 3 : ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 s 1 =, s 2 1 3 2 =, s 1 3 2 1 s 2 =. 3 1 2 Med u svim permutacijama iz S posebu ulogu igra permutacija pri kojoj svi elemeti ostaju a svojim mestima, tj. ( ) 1 2 3... =, 1 2 3... ). pošto za svaku permutaciju s S važi: s = s = s.