MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA CÂMPURILOR

Cuprins 15 MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 5 15.1 Câmpuri scalare. Curbe şi suprafeţe de nivel............................. 5 15.2 Derivata după o direcţie şi gradientul unui câmp scalar........................ 6 15.3 Câmpuri vectoriale. Linii şi suprafeţe de câmp............................ 11 15.4 Integrale cu vectori şi câmpuri scalare................................. 18 15.4.1 Integrale curbilinii........................................ 19 15.4.2 Integrale de suprafaţă...................................... 20 15.4.3 Integrale triple (de volum).................................... 22 15.4.4 Formula integrală Gauss Ostrogradski. Consecinţe...................... 23 15.4.5 Câmp potenţial.......................................... 24 15.5 Divergenţa unui câmp vectorial..................................... 25 15.6 Rotorul unui câmp vectorial....................................... 27 15.7 Reguli de calcul cu operatorul lui Hamilton.............................. 29 15.8 Formule integrale............................................. 30 Index de noţiuni 35 Bibliografie 37 3

Capitolul 15 MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 15.1 Câmpuri scalare. Curbe şi suprafeţe de nivel Fie D IR 3 un domeniu tridimensional, M(x, y, z) un punct oarecare din D şi f F(D) o funcţie reală definită pe D. Valorile funcţiei f, scrise în forma f(m), sau în forma f(x) = f(x, y, z), unde x = (x, y, z) D, sunt numere reale sau scalari. Astfel, funcţia f se mai numeşte şi funcţie scalară. Definiţia 15.1.1. Funcţia scalară f F(D), D IR 3, se numeşte câmp scalar tridimensional. Dacă domeniul D este bidimensional, deci D IR 2, sau D este o porţiune de suprafaţă Σ mărginită de o curbă în spaţiu, poziţia punctului M D va fi determinată de doi parametri (coordonatele carteziene x şi y ale punctului din plan în primul caz, sau coordonatele curbilinii u şi v ale punctului situat pe suprafaţa Σ în cel de al doilea caz). După caz, vom scrie: f(m) = f(x, y); f(m) = f(u, v), sau f(m) = f(r(u, v)), dacă precizăm parametrizarea locală r = r(u, v), (u, v) D, a suprafeţei Σ. În toate cazurile, funcţia scalară f F(D) se numeşte câmp scalar bidimensional. În cele ce urmează vom presupune că funcţia f este continuă pe D şi admite derivate parţiale de orice ordin continue în D. Exemplul 15.1.1. Câmpul temperaturilor T = T (M) într o regiune tridimensională sau bidimensională şi câmpul presiunilor p = p(m) într un domeniu plan sau spaţial sunt exemple de câmpuri scalare. Exemplul 15.1.2. Funcţia reală de două variabile reale f : IR 2 IR, este un câmp scalar bidimensional. f(m) = f(x, y) = x2 a 2 + y2 b 2, a, b IR +, (15.1) Exemplul 15.1.3. Funcţia reală de trei variabile reale este un câmp scalar definit în întreg spaţiu tridimensional. f : IR 3 IR, f(m) = f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 (15.2) 5

6 Fie câmpul scalar f(m), M D IR 3 şi M 0 (x 0, y 0, z 0 ) D, fixat. Definiţia 15.1.2. e numeşte suprafaţă de nivel care trece prin M 0 a câmpului scalar tridimensional f(m), locul geometric 0 al punctelor M D cu proprietatea sau, având în vedere coordonatele carteziene ale punctelor M şi M 0, f(m) = f(m 0 ) (15.3) f(x, y, z) = f(x 0, y 0, z 0 ). (15.4) Deoarece M 0 este un punct al suprafeţei de nivel 0, ecuaţia acesteia este (15.3) sau (15.4). Observaţia 15.1.1. Prin orice punct M 0 D trece o suprafaţă de nivel a câmpului scalar tridimensional f F(D), iar orice două suprafeţe de nivel ale sale ori sunt identice, ori nu au nici un punct comun. Exemplul 15.1.4. uprafeţele de nivel ale câmpului termic dintr o regiune tridimensională sunt izotermele; cele ale câmpului presiunilor sunt izobarele; suprafeţele de nivel ale câmpului scalar (15.2) sunt sfere cu centrele în origine. Definiţia 15.1.3. Prin curbă de nivel a câmpului scalar bidimensional f F(D), D IR 2 (sau D Σ, unde Σ este o suprafaţă), se înţelege locul geometric al punctelor M(x, y) D (sau M(u, v) D Σ) cu proprietatea f(x, y) = f(x 0, y 0 ) (f(u, v) = f(u 0, v 0 )), (15.5) unde M 0 (x 0, y 0 ), respectiv M 0 (u 0, v 0 ), sunt puncte oarecare, dar fixate, din D. Observaţia 15.1.2. Prin orice punct M 0 D trece câte o curbă de nivel şi oricare două asemenea curbe sau coincid, sau nu au puncte comune. Exemplul 15.1.5. Curbele de nivel ale câmpului scalar (15.1) sunt elipse omofocale, cu centrul de simetrie în x 2 origine, care au axele de coordonate ca axe de simetrie şi semiaxele a 0 a 2 + y2 0 x 2 b 2 şi b 0 a 2 + y2 0 b 2. O primă imagine a unui câmp scalar este dată de suprafeţele (curbele) sale de nivel care arată modul cum sunt stratificate valorile câmpului, viteza de stratificare într un punct fiind tocmai derivata după o direcţie oarecare de versor s a câmpului în punctul considerat. 15.2 Derivata după o direcţie şi gradientul unui câmp scalar ă considerăm câmpul scalar f F(D), s un versor arbitrar şi, pentru fiecare punct x D, definim funcţia reală g de variabila reală t g(t) = f(x + ts), t I, x + ts D, (15.6)

MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 7 I este un interval real. Evident, avem o infinitate de funcţii g (pentru fiecare x D există o asemenea funcţie) şi pentru toate, avem g(0) = f(x). Funcţiile g sunt restricţiile funcţiei f la dreapta care trece prin x şi are direcţia s. Presupunem că, pentru orice x D, funcţia g corespunzătoare este derivabilă în t = 0. Definiţia 15.2.1. punem că funcţia f este derivabilă în D după direcţia s dacă funcţiile g, definite în (15.6), sunt derivabile în t = 0. Definiţia 15.2.2. Dacă f este derivabilă în D după direcţia s, numărul real g (0) se numeşte derivata câmpului scalar f, după direcţia s, în punctul x D. Notăm această derivată cu df (x). Prin urmare, ds df ds (x) = g(t) g(0) f(x + ts) f(x) g (0) = lim = lim. (15.7) t 0 t 0 t 0 t Definiţia 15.2.3. Funcţia df F(D) ale cărei valori se determină după legea (15.7), se numeşte derivata ds câmpului scalar f după direcţia s. Observaţia 15.2.1. Fiind definite cu ajutorul derivatelor unei funcţii reale de o variabilă reală, proprietăţile derivatelor după o direcţie ale câmpurilor scalare sunt aceleaşi ca acele ale derivatelor funcţiilor reale de o variabilă reală. În consecinţă, putem scrie (pentru simplificare, omitem variabila x): d ds (λ df 1 1 f 1 + λ 2 f 2 ) = λ 1 ds + λ df 2 2 ds ; d ds (f 1 f 2 ) = df 1 ds f 2 + f 1 df 2 ds ; d ( f1 ) = ds f 2 df 1 ds f 2 f 1 df 2 ds f2 2 ; (15.8) d ds (F (f)) = F (f) df ds, unde f 1, f 2 şi f sunt câmpuri scalare derivabile în D după direcţia s, iar F (f) = F f este compusa funcţiei f cu funcţia F. Deorece am presupus că funcţia f care defineşte un câmp scalar are derivate parţiale continue în D, rezultă că f este diferenţiabilă în D şi valoarea în h = (h 1, h 2, h 3 ) IR 3 a diferenţialei funcţiei f în punctul x D este df(x)(h) = df(x, h) = ( f)(x) h, (15.9) unde ( f)(x) = f x (x) i + f y f (x) j + (x) k (15.10) z

8 este gradientul funcţiei f în punctul x D. Între gradientul funcţiei f şi vectorul h se efectuează produsul scalar standard df(x)(h) = f x (x) h 1 + f y (x) h 2 + f z (x) h 3. (15.11) Operatorul diferenţial = i x + j y + k se numeşte operatorul lui Hamilton sau operatorul nabla. z Pe de altă parte, se ştie că dacă f este diferenţiabilă în D, atunci f este derivabilă în D după orice direcţie şi derivata sa după direcţia s într un punct x D este valoarea în s a diferenţialei funcţiei f în punctul x. Prin urmare, df (x) = df(x, s) = df(x)(s). (15.12) ds Din (15.9) şi (15.12) deducem iar din (15.10) şi (15.13) rezultă df (x) = ( f)(x) s, (15.13) ds df f (x) = ds x (x) s 1 + f y (x) s 2 + f z (x) s 3. (15.14) Fie P punctul din D al cărui vector de poziţie este x + ts. Conform Observaţiei 15.1.1, prin punctul P trece o suprafaţă de nivel () a câmpului scalar f. Dreapta (d) care trece prin M şi are direcţia s, intersectează suprafaţa () în punctul P. Astfel, t este abscisa curbilinie a punctului P de pe dreapta (d) pe care M este originea elementului de arc. Dacă notăm cu t = l(mp ) lungimea arcului MP, formula (15.7) se rescrie în forma df ds (x) = lim l(mp ) 0 P (d) f(p ) f(m). (15.15) l(mp ) Considerăm acum că punctul P () nu este pe dreapta (d) ci pe o curbă netedă arbitrară Γ care trece prin M şi are versorul tangentei în M identic cu s. Definiţia 15.2.4. e numeşte variaţie medie a câmpului scalar f, raportul unde P Γ () iar l(mp ) este abscisa curbilinie a punctului P. f(p ) f(m), (15.16) l(mp ) Teorema 15.2.1. Limita variaţiei medii (15.16) a câmpului scalar f atunci când P tinde, pe curba Γ, la punctul M(x), este egală cu derivata în x după direcţia s a câmpului scalar f. Demonstraţie. Evaluarea diferenţei de la numărătorul variaţiei medii, conduce la f(p ) f(m) = ( f)(x) ( OP OM) + ε ( OP OM), (15.17) unde ε este o funcţie vectorială de variabilă vectorială cu proprietatea lim ε = 0, (15.18) P M cu menţiunea că punctul P, în acest proces de trecere la limită, se află pe curba Γ.

MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 9 Dacă împărţim (15.17) prin l(mp ), trecem la limită pentru P M ceea ce este echivalent cu l(mp ) 0, OP OM ţinem cont de (15.18), (15.14) şi de rezultatul = s, din geometria diferenţială se deduce l(mp ) lim l(mp ) 0 P Γ f(p ) f(m) lim l(mp ) 0 l(mp ) P Γ = df (x), (15.19) ds ceea ce demonstrează teorema. q.e.d. Observaţia 15.2.2. Relaţia (15.19) se poate lua ca definiţie pentru derivata după direcţia s a câmpului scalar f în punctul x D. Ne propunem să determinăm acea direcţie a spaţiului după care derivata câmpului scalar f în punctul x este maximă. Ţinând cont că produsul scalar a doi vectori din IR 3 este egal cu produsul dintre normele vectorilor şi cosinusul unghiului θ dintre ei şi că s = 1, din (15.13) deducem df (x) = ( f)(x) cos θ. (15.20) ds Din (15.20) se vede că derivata este maximă când θ = 0, adică atunci când versorul s este versorul n(x) al vectorului ( f)(x), n(x) = ( f)(x) ( f)(x). (15.21) Pentru a demonstra o proprietate remarcabilă a versorului (15.21) să presupunem că M este fixat şi notat cu M 0 şi că vectorul său de poziţie este x 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Fie γ 0 ( 0 ) o curbă netedă arbitrară care trece prin M 0 şi care are tangenta t 0 în M 0. Dacă x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t) sunt ecuaţiile parametrice ale curbei γ 0 şi punctul M 0 corespunde lui t 0 pe curba γ 0, atunci t 0 = dϕ dt (t 0) i + dψ dt (t 0) j + dχ dt (t 0) k. (15.22) Cum curba γ 0 este situată pe ( 0 ), unde ( 0 ) este suprafaţa de nivel care trece prin M 0 de ecuaţie f(x, y, z) = f(x 0, y 0, z 0 ), avem f(ϕ(t), ψ(t), χ(t)) = f(x 0, y 0, z 0 ). (15.23) Dacă derivăm (15.23) ca o funcţie compusă şi considerăm t = t 0, deducem Din (15.10), (15.21), (15.22) şi (15.24), obţinem f x (x 0) dϕ dt (t 0) + f y (x 0) dψ dt (t 0) + f z (x 0) dχ dt (t 0) = 0. (15.24) n(x 0 ) t 0 = 0, care demonstrează că n(x 0 ) este ortogonal tuturor tangentelor la respectiv toate curbele γ 0 ( 0 ) care trec prin M 0. Cum locul geometric al acestor tangente este planul tangent în M 0 la suprafaţa ( 0 ), rezultă că n(x 0 ) este versorul normalei în M 0 la suprafaţa de nivel ( 0 ). ensul versorului n(x 0 ) este spre acea parte a spaţiului în care f(x, y, z) > f(x 0, y 0, z 0 ). Aşadar:

10 Teorema 15.2.2. Derivata câmpului scalar f după direcţia s în punctul x 0 este maximă după direcţia versorului n(x 0 ) a normalei în M 0 la suprafaţa de nivel ( 0 ) care trece prin M 0, sensul normalei fiind sensul creşterii valorilor câmpului scalar f. Revenind la un punct arbitrar x D, obţinem că derivata după direcţia normalei n(x) în punctul M la suprafaţa de nivel care trece prin M are expresia Cu ajutorul lui (15.21), din (15.25) deducem df (x) = ( f)(x) n(x). (15.25) dn df (x) = ( f)(x). (15.26) dn Cum gradientul câmpului scalar f în punctul x este coliniar şi de acelaşi sens cu n(x), din (15.26) obţinem ă mai observăm că folosind (15.20) şi (15.25) putem scrie ( f)(x) = df (x) n(x). (15.27) dn df df (x) = (x) cos θ, (15.28) ds dn unde θ este unghiul dintre versorii s şi n. Formula (15.28) dă legătura între derivata după un versor oarecare s şi derivata după direcţia normalei în punctul M la suprafaţa de nivel care trece prin M, ocazie cu care reîntâlnim concluzia din Teorema 15.2.2. Din (15.27) deducem că regulile de calcul pentru gradient sunt aceleaşi cu regulile de calcul ale derivatei după o direcţie. Dacă avem în vedere (15.8) şi renunţăm la scrierea variabilei vectoriale x, se pot scrie relaţiile: (λϕ + µψ) = λ ϕ + µ ψ; (ϕψ) = ψ ϕ + ϕ ψ; ( ϕ ) ψ ϕ ϕ ψ = ψ ψ 2 ; F (ϕ) = F (ϕ) ϕ. (15.29) Mai precizăm că pentru gradientul câmpului scalar ϕ se folosoşte şi notaţia grad ϕ. Exerciţiul 15.2.1. e dă câmpul scalar unde ϕ(x, y, z) = a r r 2, a = 2i + j k, r = x i + y j + z k, r = x 2 + y 2 + z 2. ă se calculeze unghiul dintre vectorii ( ϕ)(a) şi ( ϕ)(b), unde A şi B sunt puncte de coordonate A(2, 1, 1) şi B(0, 1, 1). oluţie. Dacă aplicăm regulile de calcul (15.29), găsim că gradientul câmpului scalar ϕ în punctul oarecare M(x, y, z), diferit de originea reperului Oxyz, este ( ϕ)(m) = 2 a r r 4 r + 1 r 2 a

MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 11 de unde rezultă ( ϕ)(a) = 1 18 (2 i + j + 7 k) şi ( ϕ)(b) = 1 (2 i j + k). Cum cosinusul unghiului θ dintre 2 doi vectori este raportul dintre produsul scalar al lor şi produsul normelor acestora, obţinem cos θ = ( ϕ)(a) ( ϕ)(b) ( ϕ)(a) ( ϕ)(b) = 5 9. emnul minus dovedeşte că unghiul dintre cei doi gradienţi este obtuz. Exerciţiul 15.2.2. Fie câmpul scalar ϕ(x, y, z) = (a r) 2 + a r 2, unde r = xi + yj + zk este vectorul de poziţie al punctului M(x, y, z), iar a este un versor constant. a) ă se determine suprafaţa de nivel care trece prin M 0 (1, 2, 3). b) ă se calculeze derivata câmpului scalar ϕ după direcţia de parametri directori (2, 1, 2) în punctul M 0. oluţie. Deoarece (a r) 2 = a 2 r 2 cos 2 θ şi a r 2 = a 2 r 2 sin 2 θ, iar a 2 = 1, deducem că valorile câmpului scalar sunt ϕ(x, y, z) = r 2 = x 2 + y 2 + z 2. a) uprafaţa de nivel care trece prin M 0 (1, 2, 3) este x 2 + y 2 + z 2 = 14, adică sfera de rază R = 14 şi cu centrul în origine. b) Versorul s al vectorului v de parametri directori (2, 1, 2) este s = Gradientul câmpului scalar ϕ în punctul M 0 este v v = 2 3 i 1 3 j + 2 3 k. ( ϕ)(m) = (grad ϕ)(x, y, z) = 2x i + 2y j + 2z k, de unde ( ϕ)(m 0 ) = (grad ϕ)(1, 2, 3) = 2(i + 2j + 3k). Derivata funcţiei ϕ în punctul M 0 după direcţia s este dϕ ds (M 0)=( ϕ)(m 0 ) s = 2(i + 2j + 3k) 1 3 (2i j + 2k) = 2 (2 2 + 6) = 4. 3 Rezultă că unghiul θ dintre vectorii ( ϕ)(m 0 ) şi s este ascuţit. 15.3 Câmpuri vectoriale. Linii şi suprafeţe de câmp Definiţia 15.3.1. e numeşte câmp vectorial o funcţie vectorială de variabilă vectorială definită pe un domeniu D IR 3. Funcţia vectorială v care defineşte un câmp vectorial pe D IR 3 se poate scrie în una din formele: v = v(p ); v = v(r); v = v(x); v = v(x, y, z), (15.30) unde r este vectorul de poziţie al punctului P D, care, în reperul R = {O; i, j, k}, are expresia analitică unde O este originea reperului, iar {i, j, k} este o bază ortonormată în IR 3. r = OP = x i + y j + z k, (15.31)

12 Notând v = v 1 i + v 2 j + v 3 k, (15.32) unde v m = v m (x, y, z), m = 1, 2, 3, observăm că studiul unei funcţii vectoriale de trei variabile reale (sau de variabilă vectorială), adică a unui câmp vectorial, se reduce la studiul a trei funcţii reale de trei variabile reale (a trei câmpuri scalare tridimensionale). În cele ce urmează, vom presupune că funcţia vectorială care defineşte un câmp vectorial pe domeniul tridimensional D este continuă, are derivate parţiale continue în D care nu se anulează în nici un punct din D. Definiţia 15.3.2. e numeşte linie de câmp în D a câmpului vectorial v, o curbă strâmbă (L) D cu proprietatea că tangenta în fiecare punct P (L) are ca vector director pe v(p ). Cum un alt vector director al tangentei în punctul P (x, y, z) (L) este diferenţiala vectorului de poziţie (15.31) dr = dx i + dy j + dy k (15.33) avem că v şi dr sunt vectori directori ai aceleiaşi drepte, adică ei sunt coliniari. În concluzie, coordonatele acestor doi vectori directori trebuie să fie proporţionale şi deci dx v 1 (x, y, z) = dy v 2 (x, y, z) = dz v 3 (x, y, z). (15.34) Definiţia 15.3.3. istemul de ecuaţii diferenţiale sub formă simetrică (15.34) se numeşte sistemul diferenţial al liniilor de câmp în D a câmpului vectorial v = (v 1, v 2, v 3 ) F(D, IR 3 ). Observaţia 15.3.1. În baza teoremei de existenţă şi unicitate a soluţiei unui sistem diferenţial simetric, rezultă că prin orice punct al domeniului D trece câte o singură linie de câmp a câmpului vectorial v = (v 1, v 2, v 3 ) F(D, IR 3 ). Definiţia 15.3.4. e numeşte suprafaţă de câmp a unui câmp vectorial, orice suprafaţă formată din acele linii de câmp care satisfac o condiţie, de exemplu să se sprijine pe o curbă dată, diferită de curbele caracteristice ale sistemului (15.34). Teorema 15.3.1. Condiţia necesară şi suficientă ca o suprafaţă () să fie suprafaţă de câmp a câmpului vectorial v F(D, IR 3 ) este ca vectorul v(p ) să fie conţinut în planul tangent la suprafaţa () în punctul P (). Demonstraţie. Necesitatea. O linie de câmp (G) a câmpului vectorial v este ansamblul a două integrale prime independente funcţional ale sistemului simetric (15.34), fie acestea ψ 1 (x, y, z) = C 1 (G) (15.35) ψ 2 (x, y, z) = C 2.

MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 13 e ştie apoi că, pentru ca (G) din (15.35) să genereze o suprafaţă, parametrii C 1 şi C 2 trebuie să fie legaţi printr o relaţie de forma Φ(C 1, C 2 ) = 0, (15.36) numită relaţie de condiţie şi că, suprafaţa de câmp corespunzătoare condiţiei (15.36) se obţine eliminând constantele arbitrare C 1 şi C 2 între (15.35) şi (15.36). Obţinem Φ(ψ 1 (x, y, z), ψ 2 (x, y, z)) = 0, (15.37) deci o ecuaţie de forma () : F (x, y, z) = 0 (15.38) în care recunoaştem ecuaţia carteziană implicită a unei suprafeţe (). În plus, în orice punct P () vectorul v(p ) este tangent suprafeţei de ecuaţie (15.37) şi deci conţinut în planul tangent în P la suprafaţa () deoarece v(p ) este tangent la linia de câmp care trece prin P şi generează suprafaţa (). uficienţa. Trebuie să arătăm că orice suprafaţă () de ecuaţie (15.38) cu proprietatea că v(p ) este conţinut în planul tangent în punctul P la () este generată de liniile de câmp ale câmpului vectorial v. Ecuaţia (15.38) poate fi considerată ca o suprafaţă de nivel a câmpului scalar F. e ştie că un vector coliniar şi de acelaşi sens cu sensul de creştere al funcţiei F în punctul P (x, y, z) () este ( F )(x, y, z) = F F F (x, y, z) i + (x, y, z) j + (x, y, z) k. (15.39) x y z Deoarece vectorul (15.39) este ortogonal vectorului v(p) conţinut în planul tangent în P la suprafaţa (),rezultă că produsul lor scalar este nul, deci v 1 (x, y, z) F x (x, y, z) + v 2(x, y, z) F y (x, y, z) + v 3(x, y, z) F (x, y, z) = 0, (15.40) z ceea ce arată că funcţia F (x, y, z) din (15.38) verifică o ecuaţie diferenţială cu derivate parţiale de ordinul întâi omogenă. Dar orice soluţie a ecuaţiei diferenţiale (15.40) este generată de curbele integrale ale sistemului caracteristic asociat, adică de (15.34), iar curbele caracteristice ale sale sunt liniile de câmp ale câmpului vectorial v F(D, IR 3 ). Teorema este demonstrată. q.e.d. Definiţia 15.3.5. Câmpul vectorial v F(D, IR 3 ) se numeşte biscalar dacă există funcţia scalară derivabilă ϕ F(D) şi funcţia diferenţiabilă F F(D), astfel încât să avem v = ϕgrad F = ϕ F. (15.41) Derivata după o direcţie s a unui câmp vectorial v F(D, IR 3 ) într un punct x D se defineşte la fel ca la câmpurile scalare dv v(x + ts) v(x) (x) = lim. (15.42) ds t 0 t Dacă funcţia v are derivate parţiale de ordinul întâi continue, existenţa limitei (15.42) este asigurată şi Dacă se ţine cont de (15.14), (15.43) devine dv ds (x) = dv 1 ds (x) i + dv 2 ds (x) j + dv 3 (x) k. (15.43) ds dv ds (x) = s v 1 x (x) + s v 2 y (x) + s v 3 (x). (15.44) z

14 Relaţia (15.44) constituie expresia carteziană a derivatei câmpului vectorial v, în punctul x D, după direcţia de versor s = (s 1, s 2, s 3 ), expresie care se mai poate scrie în forma dv ( ds (x) = s 1 x + s 2 y + s 3 ) v. (15.45) z Deoarece operatorul s 1 x +s 2 y +s 3 poate fi interpretat formal ca produsul scalar dintre s şi operatorul z vectorial, se poate adopta convenţia de scriere s = s 1 x + s 2 y + s 3 z. (15.46) Cu această convenţie şi cu renunţarea la menţionarea variabilei x, formula de calcul (15.45) ia forma dv ds = (s ) v. (15.47) Exerciţiul 15.3.1. ă se determine derivata câmpului vectorial v definit prin v(x, y, z) = xy 2 i + x 2 yj + z(x 2 + y 2 )k după direcţia de parametri directori (1, 3, 1). Care este locul geometric al punctelor din spaţiu pentru care derivata după direcţia s este normală vectorului v = (1, 1, 1)? oluţie. Calculăm versorul direcţiei menţionate. Fiindcă norma vectorului v este v = v v = 11, rezultă că versorul direcţiei după care trebuie să derivăm este s = 1 v v = 1 (i + 3j k). 11 Folosind (15.47), găsim dv ds = 1 ] [(y 2 + 6xy)i + (2xy + 3x 2 )j + (2xz + 6yz x 2 y 2 )k. 11 Pentru a determina locul geometric cerut, impunem condiţia de ortogonalitate dv v = 0 şi obţinem ecuaţia ds x 2 + 4xy + xz + 3xz = 0 ce reprezintă ecuaţia unei cuadrice (suprafaţă algebrică de gradul al doilea). Analizând invarianţii acestei cuadrice constatăm că ea este un con cu vârful în origine. Exerciţiul 15.3.2. ă se determine liniile de câmp ale câmpurilor vectoriale: 1 0. v(x, y, z) = x i + y j + (z + x 2 + y 2 + z 2 )k; 2 0. v(x, y, z) = (xy 2z 2 )i + (4xz y 2 )j + (yz 2x 2 )k; 3 0. v(x, y, z) = (xz y)i + (yz x)j + (z 2 1)k; 4 0. v(x, y, z) = (x + y)i + (y x)j 2zk.

MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 15 oluţie. Liniile de câmp sunt curbele integrale ale respectiv sistemelor simetrice: 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. e obţin combinaţiile integrabile: dx x = dx xy 2z 2 = dx xz y dx x + y = = dy y = dy 4xz y 2 = dy yz x dy y x = = dz z + x 2 + y 2 + z 2 ; dz yz 2x 2 ; dz z 2 1 ; dz 2z. 1 0. dx x = dy y, xdx + ydy + (z x 2 + y 2 + z 2 )dz = 0; 2 0. ydx + xdy + 2zdz = 0, 2xdx + zdy + ydz = 0; 3 0. dx dy (x y)(1 + z) = dz z 2 1, xdx ydy (x 2 y 2 )z = dz z 2 1 ; 4 0 xdx + ydy. x 2 + y 2 = dz 2z, care conduc respectiv la integralele prime: 1 0. dy dx = y x y + x y x = C 1, z x 2 + y 2 + z 2 = C 2 ; 2 0. z 2 + xy = C 1, x 2 + yz = C 2 ; 3 0. x y z 1 = C 1, x + y z + 1 = C 2; 4 0. (x 2 + y 2 )z = C 1, ln (x 2 + y 2 ) + 2arctg y x = C 2. Curbele integrale ale sistemelor simetrice de mai sus sunt: y { = C 1 z 1 0. x 2 + xy = C 1 z ; 2 0. ; x 2 + y 2 + z 2 = C x 2 + yz = C 2 2 x y 3 0 z 1. x + y z + 1 = C 1 (x 2 + y 2 )z = C 1 ; 4 0. = C ln (x 2 + y 2 ) + 2arctg y 2 x = C 2. Primul câmp vectorial are liniile de câmp la intersecţia planelor y = C 1 x cu paraboloizii de rotaţie în jurul axei Oz de ecuaţie z x 2 + y 2 + z 2 = C 2. De menţionat că fiecare plan al familiei y = C 1 x nu trebuie să conţină dreapta de intersecţie a acestuia cu planul Oyz. Liniile de câmp al celui de al doilea câmp vectorial se găsesc la intersecţia hiperboloizilor z 2 + xy = C 1 şi x 2 + yz = C 2. Al treilea câmp vectorial are liniile de câmp drepte rezultate din intersecţia familiilor de plane x y = C 1 (z 1) şi x + y = C 2 (z + 1). Din fiecare astfel de dreaptă se scot punctele de cote 1 şi 1. Curbele de intersecţie ale suprafetelor de rotaţie în jurul axei Oz de ecuaţii z = C 1 x 2 + y 2 şi suprafeţele cilindrice cu generatoarele paralele cu axa Oz de ecuaţii ln (x 2 + y 2 ) + 2arctg y x = C 2 reprezintă liniile de câmp ale ultimului câmp vectorial.

16 Exerciţiul 15.3.3. ă se determine suprafeţele de câmp ale câmpurilor vectoriale de mai jos care trec prin curbele (Γ) specificate alăturat { x = 2y, 1. v(x, y, z) = xy 2 i + x 2 yj + (x 2 + y 2 )zk, (Γ) : z = 1, { x z = a 2, 2. v(x, y, z) = xi + yj + (z x 2 y 2 + 1)k, (Γ) : x 2 + y 2 = a 2 1, { x = 1, 3. v(x, y, z) = xzi + yzj + (x 2 + y 2 + z 2 )k, (Γ) : z = y 2, { x = y 2, 4. v(x, y, z) = xi + yj + (z x 2 sin y)k, (Γ) : z = 0. oluţie. istemele diferenţiale ale liniilor de câmp sunt: 1. dx xy 2 = dy x 2 y = dz z(x 2 + y 2 ) ; 2. dx x = dy y = dz z x 2 y 2 + 1 ; 3. dx xz = dy yz = dz x 2 + y 2 + z 2 ; 4. dx x = dy y = dz z x 2 sin y. 1. O combinaţie integrabilă a primului sistem simetric este dată de primele două rapoarte egale care, după simplificare cu x 2 y 2, conduce la xdx ydy = 0 şi din care se obţine integrala primă x 2 y 2 = C 1. O a doua combinaţie integrabilă se obţine scriind dx x y 2 = dy y x 2 = dz z x 2 + y 2. Dacă ultimul raport îl egalăm cu suma primelor două, după simplificarea cu x 2 + y 2, obţinem combinaţia integrabilă dx x + dy y = dz z care furnizează a doua integrală primă independentă z xy = C 2. Atunci, generatoarele (G) ale suprafeţei de câmp au ecuaţiile x 2 y 2 = C 1 z xy = C 2. Dar, generatoarele (G) trebuie să se sprijine pe curba directoare Γ.

MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 17 Pentru aceasta, sistemul format de ecuaţiile lor x 2 y 2 = C 1 z = C 2 xy x = 2y, z = 1 trebuie să fie compatibil. Fiind un sistem de patru ecuaţii cu trei necunoscute x, y şi z, el va fi compatibil numai dacă constantele C 1, C 2 satisfac relaţia de condiţie 2C 1 C 2 = 3. Înlocuind pe C 1 şi C 2 din integralele prime găsim că suprafaţa de câmp are ecuaţia carteziană explicită z = 3xy 2(x 2 y 2 ). 2. O integrală primă se vede imediat şi anume x y = C 1 şi se obţine integrând primele două rapoarte egale. Înmulţind primele două rapoarte cu x, respectiv y şi adunându le, obţinem un nou raport egal cu primele trei. Un al cincilea raport egal cu primele patru se obţine adunând al treilea raport cu al patrulea. Combinaţia obţinută prin egalarea ultimilor două rapoarte d(x 2 + y 2 ) 2(x 2 + y 2 ) = 1 2 d(x2 + y 2 ) + dz z + 1 este integrabilă şi, după efectuarea notaţiei t = x 2 + y 2, se obţine ecuaţia diferenţială de ordinul întâi liniară şi neomogenă dz dt 1 2t z = 1 t 2t a cărei soluţie generală este z = C 2 t 1 t. Revenind la notaţie, constatăm că cea de a doua integrală primă este z + 1 + x 2 + y 2 x2 + y 2 = C 2. uprafaţa de câmp se obţine rezolvând sistemul x y = C 1 z + 1 + x 2 + y 2 x2 + y 2 = C 2 x z = a 2 x 2 + y 2 = a 2 1. Acest sistem este compatibil dacă şi numai dacă este satisfăcută relaţia de condiţie C 1 = C 2 1 + C 2 1.

18 Înlocuind pe C 1 şi C 2 găsim că suprafaţa de câmp are ecuaţia z = x 2 y 2 + x 1. 3. O integrală primă este y x = C 1. Înmulţim primul raport cu x, al doilea cu y, alcătuim din acestea un nou raport egal cu celelalte ce are la numărător suma numărătorilor celor două rapoarte modificate şi la numitor suma numitorilor aceloraşi rapoarte şi obţinem în acest fel combinaţia integrabilă d(x 2 + y 2 ) 2z(x 2 + y 2 ) = dz x 2 + y 2 + z 2. Cu notaţia t = x 2 + y 2, combinaţia integrabilă se reduce la ecuaţia diferenţială Bernoulli dz dt 1 2t z = 1 1 2 z. ubstituţia z 2 = u reduce această ecuaţie la ecuaţia diferenţială liniară u 1 t u = 1 care are soluţia generală u = t C 2 + t ln t. Revenind la vechile variabile, găsim că cea de a doua integrală primă este z 2 (x 2 + y 2 ) ln (x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 = C 2. Pentru a determina suprafaţa de câmp trebuie să găsim suprafaţa generată de curbele integrale ale sistemului simetric al liniilor de câmp care trebuie să se sprijine pe curba Γ. e procedează ca la celelalte exerciţii, se găseşte relaţia de condiţie 1 ( C1 4 1 + 1 ) ( C1 2 ln 1 + 1 ) C1 2 1 + 1 = C 2, C1 2 de unde, eliminând constantele arbitrare cu ajutorul integralelor prime, deducem că suprafaţa de câmp are ecuaţia z 2 = y4 x 2 + 2(x2 + y 2 ) ln x. 4. Integralele prime ale sistemului simetric al liniilor de câmp sunt x y = C z 1, x x y cos y = C 2 şi ansamblul acestora reprezintă ecuaţiile liniilor de câmp. Relaţia de condiţie este C 1 C 2 + cos C 1 = 0, de unde deducem că suprafaţa de câmp care trece prin curba Γ are ecuaţia carteziană explicită z = x2 y cos y y cos xy. 15.4 Integrale cu vectori şi câmpuri scalare ub această denumire se înţeleg diverse tipuri de integrale (definite sau Riemann, curbilinii, de suprafaţă, duble şi triple) al căror integrant conţin câmpuri vectoriale sau câmpuri scalare. Vom considera câmpuri vectoriale de forma v = (v 1, v 2, v 3 ) F(D, IR 3 ) sau de forma w = (w 1, w 2, w 3 ) F(D, IR 3 ), unde D IR 3 este un domeniu şi câmpuri scalare de forma ϕ F(D), toate satisfăcând condiţiile cerute astfel încât integralele menţionate mai sus să aibă sens. Vom prezenta pe scurt aceste tipuri de integrale.

MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 19 15.4.1 Integrale curbilinii Fie un arc de curbă în domeniul D care satisface condiţiile de regularitate până la ordinul care va fi necesar. Integrala curbilinie pe curba a unui câmp vectorial v(p ) sau a câmpului scalar ϕ(p ) este una din următoarele: v dr; v dr; ϕ dr, (15.48) unde dr = dx i + dy j + dz k este diferenţiala vectorului de poziţie r = x i + y j + z k. Având în vedere expresiile analitice ale produselor de vectori, integralele curbilinii menţionate în (15.48) se exprimă după cum urmează: v dr = v 1 dx + v 2 dy + v 3 dz; (15.49) v dr = i v 2 dz v 3 dy + j v 3 dx v 1 dz + k v 1 dy v 2 dx; ϕ(x, y, z)dr = i ϕ(x, y, z)dx + j ϕ(x, y, z)dy + k ϕ(x, y, z)dz Integralele curbilinii care apar în membrul al doilea în oricare din relaţiile de mai sus au forma generală I = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz. La studiul integralelor curbilinii de speţa a doua s a specificat faptul că dacă v F(D, IR 3 ) reprezintă un câmp de forţe pe D, integrala curbilinie (15.49) este lucrul mecanic al forţei v(p ) când punctul P parcurge arcul. Integrala curbilinie (15.49) se mai numeşte integrală de linie a vectorului v(p ). Integrala de linie pe curbă închisă (C), parcursă o singură dată, se numeşte circulaţia vectorului v(p ) pe curba (C). Integralele de linie au următoarele proprietăţi: v dr = (λ v + µ w) dr = λ AP v dr v dr + µ w dr; v dr + v dr, P (), AP P B = ; P B v dr ( v(x, y, z) dr = v ds M v dr ds ds = M L; ) (x 0, y 0, z 0 ) L, (15.50) unde: λ şi µ sunt scalari arbitrari; L este lungimea arcului ; M este valoarea maximă a normei vectorului v(p ) pe arcul (); Q(x 0, y 0, z 0 ) este un punct determinat pe arcul de curbă (). Proprietatea (15.50) este o teoremă de medie analoagă primei teoreme de medie de la integrala definită. Celelalte tipuri de integrale curbilinii din (15.48) au proprietăţi similare. Fie câmpul vectorial continuu v C(D, IR 3 ). Definiţia 15.4.1. Integrala curbilinie I = C v dr se numeşte independentă de drum pe domeniul D IR 3 dacă oricare ar fi punctele M 1, M 2 D şi oricare ar fi arcele de curbă (M 1 αm 2 ) şi (M 1 βm 2 ), ambele incluse în D şi cu sensurile de parcurs de la M 1 către M 2, avem v dr = v dr. M 1αM 2 M 1βM 2

20 Teorema 15.4.1. Integrala curbilinie I = v dr este independentă de drum pe D dacă şi numai dacă I = 0 oricare ar fi curba închisă netedă sau netedă pe porţiuni (C) D. C Demonstraţie. Dacă M 1, M 2 D sunt puncte arbitrare şi (M 1 αm 2 ) D, (M 1 βm 2 ) D sunt arce arbitrare, netede pe porţiuni, atunci curba (M 1 αm 2 βm 1 ) este închisă şi netedă pe porţiuni şi, reciproc, fiind dată o curbă orientată închisă, netedă pe porţiuni, (C) D şi M 1, M 2 (C) două puncte alese arbitrar, curba C se prezintă ca o juxtapunere de două arce netede pe porţiuni. Din aceste afirmaţii şi Definiţia 15.4.1 rezultă concluzia teoremei. q.e.d. 15.4.2 Integrale de suprafaţă Domeniul pe care se efectuează integrarea este o porţiune de suprafaţă de ecuaţie vectorială : r = r(u, v), (u, v) ( γ) IR 2, (15.51) unde este un domeniu plan iar frontiera acestuia γ este o curbă netedă închisă. Fie (C) frontiera suprafeţei. Această curbă este corespunzătoarea prin transformarea (15.51) a curbei închise γ. Presupunem că suprafaţa este netedă. Prin urmare, există şi sunt continue pe derivatele parţiale r u (u, v) = r (u, v), u r v(u, v) = r (u, v), (u, v), v care satisfac condiţia de regularitate r u (u, v) r v (u, v) 0. În aceste condiţii, funcţia n(u, v) = r u(u, v) r v (u, v) r u (u, v) r v (u, v) = n 1i + n 2 j + n 3 k este un versor al normalei în punctul M corespunzător punctului (u, v), iar n 1, n 2, n 3 sunt cosinusurile directoare ale acestui versor. După acelaşi criteriu ca şi la integrale curbilinii, introducem următoarele integrale de suprafaţă de speţa întâi: (n w)dσ; (n w)dσ; ϕn dσ, (15.52) unde dσ este elementul de arie al suprafeţei. În cazul când suprafaţa este dată prin ecuaţia vectorială (15.51), expresia elementului de arie dσ este dσ = E(u, v)g(u, v) F 2 (u, v) dudv, unde E(u, v), F (u, v) şi G(u, v) sunt coeficienţii lui Gauss: E(u, v) = r 2 u(u, v); F (u, v) = r u (u, v) r v (u, v); F (u, v) = r 2 v(u, v). Integralele de suprafaţă cu vectori din (15.52) se calculează după cum urmează: (n w)dσ = (n 1 w 1 + n 2 w 2 + n 3 w 3 ) EG F 2 dudv;

MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 21 (n w)dσ = i (n 2 w 3 n 3 w 2 )dσ+ +j (n 3 w 1 n 1 w 3 )dσ + k (n 1 w 2 n 2 w 3 )dσ; (15.53) ϕn dσ = i n 1 ϕ dσ + j n 2 ϕ dσ + k n 3 ϕ dσ. (15.54) Integralele din membrul doi al egalităţilor (15.53) şi (15.54) se reduc la integrale duble pe conform formulei de calcul a unei integrale de suprafaţă de speţa întâi. Definiţia 15.4.2. O expresie de forma (n w)dσ se numeşte flux elementar al câmpului vectorial w prin elementul de suprafaţă orientat ndσ, iar integrala de suprafaţă de speţa întâi (n w) dσ se numeşte fluxul total al câmpului w prin suprafaţa. Σ Proprietăţile integralelor de suprafaţă (15.52) sunt analoage celor prezentate pentru integrale curbilinii. Prin urmare, avem n (λ v + µ w) dσ = λ (n v)dσ + µ (n w)dσ; (15.55) (n w)dσ = (n w)dσ+ (n w)dσ, ; (15.56) (Σ 1) (Σ 2) (n w)dσ (n w) dσ w dσ M dσ = M A Σ ; (15.57) n w dσ = (n w)(x 0, y 0, z 0 ) A Σ, (15.58) unde: λ şi µ sunt scalari arbitrari; Σ 1 şi Σ 2 sunt submulţimi ale suprafeţei Σ pentru care Σ 1 Σ 2 = Σ, Σ 1 Σ 2 = ; A Σ este aria suprafeţei ; M este valoarea maximă a normei vectorului w(p ) pe suprafaţa ; Q(x 0, y 0, z 0 ) este un punct determinat al suprafeţei Σ. Proprietatea (15.58) este o teoremă de medie analoagă primei teoreme de medie din teoria integralelor definite. Celelalte integrale de suprafaţă din (15.52) au proprietăţi asemănătoare celor prezentate în (15.55) (15.57). Este posibil ca suprafaţa netedă să fie reprezentată cartezian explicit prin ecuaţia caz în care elementul de arie dσ al suprafeţei are forma : z = f(x, y), (x, y) D IR 2, (15.59) dσ = 1 + p 2 + q 2 dxdy, unde p = p(x, y) = z (x, y), x z q = q(x, y) = (x, y), y

22 iar versorul normalei n la faţa superioară a suprafeţei are expresia analitică p n = 1 + p2 + q i q 2 1 + p2 + q j + 1 2 1 + p2 + q k. (15.60) 2 În cazul menţionat de (15.59) şi (15.60), reducerea unei integrale de suprafaţă ϕ(x, y, z) dσ la o integrală dublă se face cu ajutorul formulei de calcul ϕ(x, y, z) dσ = D ϕ(x, y, f(x, y)) 1 + p 2 + q 2 dxdy. (15.61) Folosind (15.59) (15.61) se pot transpune cu uşurinţă toate rezultatele stabilite în cazul când suprafaţa este dată prin ecuaţia vectorială (15.51). Pentru aceasta trebuie efectuată schimbarea de variabile x = x(u, v), y = y(u, v) în integrala dublă (15.61). Afirmaţii asemănătoare au loc şi atunci când suprafaţa este dată implicit printr o ecuaţie de forma F (x, y, z) = 0. Astfel, p = F x F z, q = iar versorul normalei la suprafaţa în punctul P (x, y, z) este n(p ) = F y F z ( F )(x, y, z) ( F )(x, y, z)., 15.4.3 Integrale triple (de volum) Fie IR 3 un domeniu carabil, deci o mulţime care are volum. Elementul de volum, notat cu dω, are expresia dω = dxdydz. Integralele de volum sau triple care ne vor interesa sunt: ϕ dω; v dω. (15.62) Prima din integralele (15.62) a fost studiată arătându se că, în anumite ipoteze asupra domeniului, se reduce la o iteraţie de integrale simple. De exemplu, dacă este un domeniu simplu în raport cu axa Oz iar proiecţia sa pe planul xoy este un domeniu simplu în raport cu axa Oy, atunci = {(x, y, z) IR 3 a x b, y 1 (x) y y 2 (x), z 1 (x, y) z z 2 (x, y)}. Astfel, ϕ dω = b a ( y 2(x) ( z 2(x,y) y 1(x) z 1(x,y) ) ) ϕ(x, y, z)dz dy dx = b a dx y2(x) y 1(x) dy z2(x,y) z 1(x,y) ϕ(x, y, z) dz. A doua integrală (15.62) se reduce la calculul a trei integrale de tipul celei precedente, v dω = i v 1 dω + j v 2 dω + k v 3 dω, fiecăreia din integralele membrului drept urmând să i se aplice o formulă de calcul.

MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 23 Prezentăm, fără demonstraţie, unele proprietăţi ale integralelor triple: (λv + µw)dω = λ vdω + µ wdω; v(p ) dω vdω = 1 vdω+ vdω, ; 2 v(p ) dω M dω = M Vol(), unde 1, 2 sunt astfel încât 1 2 =, Int 1 Int 2 =, M = max v(p ) şi Vol() este volumul P domeniului. 15.4.4 Formula integrală Gauss Ostrogradski. Consecinţe ă considerăm domeniul tridimensional V a cărui frontieră este suprafaţa închisă netedă şi fie (x 1, x 2, x 3 ) coordonatele carteziene ale unui punct oarecare P V. uprafaţa fiind netedă, în fiecare punct P există versorul n = (n 1, n 2, n 3 ) al normalei exterioare. Astfel, avem un câmp vectorial definit în punctele P ale suprafeţei care depinde de variabila vectorială x = OP = x 1 i + x 2 j + x 3 k. Considerăm v = (v 1, v 2, v 3 ) F(V, IR 3 ) un câmp vectorial continuu pentru care coordonata v i are derivata parţială v i,i continuă în V. În aceste ipoteze are loc formula integrală Gauss Ostrogradski (n 1 v 1 + n 2 v 2 + n 3 v 3 )dσ = V (v 1,1 + v 2,2 + v 3,3 )dω, (15.63) care se poate scrie şi în forma 3 i=1 n i v i dσ = V 3 v i,i dω. (15.64) i=1 În particular, considerând pe rând: v 1 = 1, v 2 = 0, v 3 = 0; v 1 = 0, v 2 = 1, v 3 = 0; v 1 = 0, v 2 = 0, v 3 = 1, formula (15.63) devine: n 1 dσ = 0; n 2 dσ = 0; n 3 dσ = 0. (15.65) Relaţiile (15.65) pot fi scrise unitar în forma n dσ = 0. Dacă alegem succesiv pentru câmpul vectorial v una din următoarele expresii analitice: (x 1, 0, 0); (0, x 1, 0); (0, 0, x 1 ); (x 2, 0, 0); (0, x 2, 0); (0, 0, x 2 ); (x 3, 0, 0); (0, x 3, 0); (0, 0, x 3 ),

24 din (15.64) obţinem n 1 x 1 dσ = vol(v ); n 2 x 1 dσ = 0; n 3 x 1 dσ = 0; n 1 x 2 dσ = 0; n 2 x 2 dσ = vol(v ); n 3 x 2 dσ = 0; n 1 x 3 dσ = 0; n 2 x 3 dσ = 0; n 3 x 3 dσ = vol(v ). Aceste relaţii pot fi scrise concentrat în forma n i x j dσ = δ ij vol(v ), (15.66) unde indicii i şi j iau oricare din valorile 1, 2, 3, δ ij este simbolul Kronecker (δ ii = 1, δ ij = 0, dacă i j), iar vol(v ) este volumul domeniului V. Din (15.66) se pot deduce relaţiile x 1 ndσ = vol(v )i; x 2 ndσ = vol(v )j; x 3 ndσ = vol(v )k. (15.67) 15.4.5 Câmp potenţial Definiţia 15.4.3. Un câmp vectorial continuu v F(D, IR 3 ) se numeşte câmp potenţial dacă există câmpul scalar ϕ C 1 (D), numit potenţialul scalar al câmpului vectorial v, astfel încât v(m) = ( ϕ)(m), ( ) M D. Definiţia 15.4.4. Un câmp de forţe F F(D, IR 3 ) se numeşte câmp conservativ de forţe dacă există câmpul scalar U C 1 (D), numită funcţie de forţă, astfel încât F = U. Exemplul 15.4.1. Câmpul gravitaţional este un câmp conservativ de forţe. oluţie. Într-adevăr, să presupunem că originea reperului Oxyz este în centrul pământului. e ştie că forţa F cu care este atras de către pământ un punct material M(r) este F(r) = C r 3 r, unde C este o constantă iar r este mărimea vectorului de poziţie r a punctului M. Deoarece: 1 ) = x( x r r 3 ; ( 1 ) = y y r r 3 ; ( 1 ) = z z r r 3, rezultă că putem reprezenta câmpul de forţă gravitaţional F în forma F(M) = ( U)(M),

MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 25 unde U(M) = C/r. Prin urmare, câmpul vectorial F este un câmp conservativ de forţe pe IR 3 \ {0}. Teorema 15.4.2. Fie câmpul vectorial v C 1 (D, IR 3 ), unde D este un domeniu tridimensional. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: v este un câmp potenţial; integrala curbilinie v dr este independentă de drum pe D; C expresia diferenţială ω = v dr este diferenţială totală pe D. Demonstraţie. Faptul că prima afirmaţie implică celelalte două este evident. ă presupunem că ω = v dr este diferenţială totală pe D. Atunci există funcţia U diferenţiabilă pe D astfel încât ω = du = ( U) (dr) din care deducem că v dr = du = U(B) U(A) şi deci integrala curbilinie depinde doar de extremităţile A şi B ale curbei (C). Din ω = ( U) (dr) = v dr şi unicitatea expresiei diferenţialei unei funcţii obţinem v = U, ceea ce arată că v este un câmp potenţial. Aşadar, prima afirmaţie esteimplicată de ultima. Dacă integrala curbilinie v dr este independentă de drum pe D, considerând arcul de curbă AM D cu C extremitatea A fixă şi cealaltă extremitate M variabilă, funcţia U(M) = v dr are proprietatea U = v, adică v este un câmp potenţial. AM q.e.d. 15.5 Divergenţa unui câmp vectorial Fie IR 3 un domeniu având ca frontieră suprafaţa închisă netedă sau netedă pe porţiuni Σ şi v F( Σ, IR 3 ) un câmp vectorial continuu pe Σ, diferenţiabil în orice punct M(x 1, x 2, x 3 ). Considerând un punct P 0, de vector de poziţie x 0 = (x 10, x 20, x 30 ), există domenii V astfel încât P 0 V. Presupunem că frontiera unui astfel de domeniu V este o suprafaţă închisă netedă. Fie n = n(x) versorul normalei exterioare într un punct oarecare P de vector de poziţie OP = x = (x 1, x 2, x 3 ). Fie δ(v ) diametrul mulţimii V, adică maximul distanţei dintre două puncte oarecare M, Q V. Presupunem că domeniul V are volum şi că vol (V ) este volumul său. Cu aceste pregătiri, considerăm raportul Φ vol (V ) = ( ) n(x) v(x) dσ vol (V ) dintre fluxul Φ al câmpului vectorial v prin suprafaţa şi vol(v )., (15.68) Definiţia 15.5.1. e numeşte divergenţa câmpului vectorial v, în punctul P 0, notată (div v)(p 0 ) sau ( v)(x 0 ), limita raportului (15.68) atunci când diametrul domeniului V tinde la zero, deci

26 lim δ(v ) 0 (n(x) v(x))dσ vol (V ) = (div v)(p 0 ) = ( v)(x 0 ). (15.69) Teorema 15.5.1. Dacă v = v(p ) este câmp vectorial diferenţiabil în x 0 = OP 0 şi există constantele pozitive k 1 şi k 2 astfel încât: aria () k 1 δ 2 (V ); vol (V ) k 2 δ 3 (V ), (15.70) atunci limita (15.69) există şi ( v)(x 0 ) = 3 i=1 v i x i (x 0 ) = v 1 x 1 (x 0 ) + v 2 x 2 (x 0 ) + v 3 x 3 (x 0 ). (15.71) Demonstraţie. Din ipoteza diferenţiabilităţii funcţiei vectoriale v în punctul x 0 D rezultă că are loc identitatea v(x) = v(x 0 ) + dv(x, x x 0 ) + α(x x 0 ) x x 0, (15.72) unde ( )) dv(x, x x 0 ) = (dv)(x)(x x 0 ) = (i j k) J v (x 0 ) (X X 0 ) este valoarea în h = x x 0 = (i j k) (X X 0 a diferenţialei funcţiei v în punctul x 0 = (i j k)x 0, J v (x 0 ) = v i (x 0 ) x j este matricea jacobiană a funcţiei v = (v 1, v 2, v 3 ) în punctul x 0, iar α este o funcţie vectorială definită pe IR 3 cu proprietatea lim α(x x 0 ) = α(0) = 0. (15.73) x x 0 În aceste relaţii, X X 0 şi X 0 reprezintă matricea cu trei linii şi o coloană a coordonatelor vectorilor x x 0 şi respectiv x 0 în baza formată de versorii ortogonali i, j, k care, împreună cu originea O, constituie reperul cartezian ortogonal Ox 1 x 2 x 3. Dacă înmulţim ambii membri ai relaţiei (15.72) cu n(x), integrăm pe suprafaţa, ţinem cont de relaţiile (15.66) şi (15.67) şi împărţim cu vol (V ), se obţine n(x) v(x) dσ vol (V ) = 3 i=1 ( vi x i ) (x 0 ) + 3 3 x x 0 (n(x) α(x x 0 )) dσ vol (V ) Trecem acum în membrul întâi primul termen al membrului doi al acestei relaţii şi luăm valoarea absolută a noii egalităţi. A doua ipoteză (15.70), faptul că x x 0 δ(v ) şi inegalitatea chwarz Cauchy Buniakowski n(x) α(x x 0 ) n(x) α(x x 0 ) = α(x x 0 ),. conduc la n(x) v(x) dσ vol (V ) 3 i=1 ( vi ) (x 0 ) x i α(x x 0 ) dσ k 2 δ 2 (V ). (15.74)

MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 27 Însă, din (15.73) rezultă că funcţia α este continuă în h = 0 ceea ce atrage că pentru orice ε > 0, există µ(ε) > 0 astfel încât α(x x 0 ) k 2 k 1 ε, (15.75) oricare ar fi x care satisface inegalitatea x x 0 < µ(ε). Putem considera că domeniul V ce conţine punctul x 0 este astfel ales încât δ(v ) µ(ε). În acest caz, din (15.70), (15.74), (15.75) rezultă că pentru orice ε > 0 există µ(ε) > 0 astfel încât oricare ar fi domeniul V cu δ(v ) < µ avem n(x) v(x) dσ 3 ( vi ) (x 0 ) vol (V ) x i=1 i < ε ceea ce conduce la relaţia Din (15.69) şi (15.76) rezultă (15.71). lim δ(v ) 0 n vdσ vol(v ) = 3 i=1 ( vi x i ) (x 0 ). (15.76) q.e.d. Cum divergenţa câmpului vectorial v = (v 1, v 2, v 3 ) într un punct oarecare M este (div v)(x, y, z) = v 1 x (x, y, z) + v 2 y (x, y, z) + v 3 (x, y, z), (15.77) z analizând (15.77) constatăm că în membrul al doilea este rezultatul înmulţirii scalare a operatorului diferenţial al lui Hamilton = i x + j y + k z cu vectorul v şi deci notaţia v pentru divergenţa câmpului vectorial v este justificată. Definiţia 15.5.2. Un câmp vectorial v F(D, IR 3 ), diferenţiabil în domeniul D, se numeşte câmp vectorial solenoidal dacă div v = 0. 15.6 Rotorul unui câmp vectorial ă considerăm o direcţie arbitrară de versor a şi fie (Π) planul perpendicular pe versorul a care trece printr-un punct fixat P 0 În acest plan considerăm o curbă simplă închisă (C) care înconjoară punctul P 0. Curba (C) delimitează o porţiune () de suprafaţă plană, a cărei arie o notăm tot cu. Fie δ() diametrul mulţimii (). Pentru a introduce rotorul unui câmp vectorial v F(, IR 3 ), plecăm de la circulaţia Γ a acestuia pe curba (C) şi să calculăm limita Γ lim δ() 0 = lim δ() 0 C v(x) dr. În acest scop, transformăm raportul Γ/ într un raport dintre un flux pe o suprafaţă închisă () şi volumul domeniului V închis de această suprafaţă, reducând astfel problema la cea prezentată în paragraful precedent. Pentru aceasta, considerăm porţiunea din suprafaţa cilindrică, cu generatoarele paralele cu a, de înălţime constantă h şi având una din baze porţiunea de suprafaţă (). Notăm cu ( 1 ) cealaltă bază a cilindrului, cu ( l ) suprafaţa laterală a sa, iar cu dσ l elementul de arie al suprafeţei ( l ).

28 Având în vedere că dr = τ ds şi că h ds = dσ l, rezultă că v τ dσ l h v(x) dr Γ = C l =, (15.78) h vol (V ) unde τ este versorul tangentei la curba (C) orientat astfel încât să fie compatibil cu orientarea suprafeţei (). Însă τ, a şi n l (normala exterioară la suprafaţa laterală a cilindrului) formează un triedru drept astfel că τ = a n l. Atunci, (15.78) devine (v a) n l dσ l Γ = l vol (V ). (15.79) Deoarece integralele pe bazele cilindrului din integrantul care intră în (15.79) sunt nule, în baza celor deduse în paragraful prercedent, rezultă că (v a) n dσ Γ lim δ() 0 = lim = ( (v a))(x 0 ). (15.80) δ(v ) 0 vol (V ) Dacă aplicăm formula de calcul a divergenţei, găsim că limita din (15.80) se poate scrie ca produsul scalar dintre vectorul a şi un anumit vector w(x 0 ) Γ lim δ() 0 = a w(x 0), unde w(x 0 )=(v 3,2 (x 0 ) v 2,3 (x 0 ))i+(v 1,3 (x 0 ) v 3,1 (x 0 ))j+(v 2,1 (x 0 ) v 1,2 (x 0 ))k. Definiţia 15.6.1. Vectorul w(x 0 ) se numeşte rotorul câmpului vectorial v în punctul x 0 şi se scrie: w(x 0 ) = (rot v)(x 0 ). Dacă analizăm expresia rotorului vedem că aceasta se poate calcula cu ajutorul determinantului formal (rot v)(x 0 ) = i j k x 1 x 2 x 3 v 1 v 2 v 3 (x 0 ) = ( v)(x 0 ). Într un punct oarecare x, vom avea ( v)(x) = (rot v)(x) = i j k x 1 x 2 x 3 v 1 (x) v 2 (x) v 3 (x).

MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 29 Definiţia 15.6.2. Un câmp vectorial v F(D, IR 3 ), diferenţiabil în domeniul D, se numeşte câmp vectorial irotaţional sau câmp vectorial lamelar dacă rot v = 0. Teorema 15.6.1. Un câmp potenţial v F(D, IR 3 ), al cărui potenţial ϕ C 2 (D), este lamelar. Demonstraţie. Într-adevăr, câmpul vectorial v fiind potenţial, v(m) = grad ϕ(m). Calculând rotorul acestui câmp, găsim v = ( 2 ϕ x 2 x 3 2 ϕ ) ( 2 ϕ i + x 3 x 2 x 3 x 1 2 ϕ ) ( 2 ϕ j + x 1 x 3 x 1 x 2 2 ϕ ) k. x 2 x 1 Deoarece ϕ este de clasă C 2 (D), derivatele parţiale mixte de ordinul doi ale lui ϕ sunt egale şi deci v = 0. q.e.d. 15.7 Reguli de calcul cu operatorul lui Hamilton O parte a acestor reguli au fost menţionate în (15.29) unde operatorul s a aplicat unor funcţii scalare. Mai mult, gradientul poate fi aplicat şi unui produs scalar a două câmpuri vectoriale. Am văzut mai sus că operatorul aplicat scalar unui câmp vectorial, sau unei sume de câmpuri biscalare, dă ca rezultat divergenţa acelor câmpuri, iar dacă se aplică vectorial unor asemenea câmpuri se obţine rotorul acelor câmpuri vectoriale, adică ϕ = grad ϕ; u = div u; v = rot v. În baza celor prezentate mai sus, se pot demonstra următoarele formule de calcul cu operatorul vectorial a lui Hamilton (pentru simplitate, renunţam la scrierea variabilei vectoriale x): (u + v) = u + v; (u + v) = u + v; (ϕ u) = ϕ( u) + u ( ϕ); (u v) = v ( u) u ( v); (ϕ u) = ϕ( u) u ( ϕ); (u v) = v ( u) + u ( v) + (v )u + (u )v; ( v) = ( v) 2 v, unde 2 = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 este operatorul lui Laplace sau laplacean. Avem z2 2 ϕ = div (grad ϕ) = 2 ϕ x 2 + 2 ϕ y 2 + 2 ϕ z 2. Ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale de ordinul al doilea 2 ϕ x 2 + 2 ϕ y 2 + 2 ϕ z 2 = 0,

30 se numeşte ecuaţia lui Laplace. Orice soluţie a ecuaţiei lui Laplace se numeşte funcţie armonică. Pentru alte operaţii cu operatorul, obţinem: (u v) = u( v) v( u) + (v )u (u )v; (15.81) ( ϕ) = rot (grad ϕ) = 0; ( v) = div (rot v) = 0. 15.8 Formule integrale Fie o suprafaţă închisă ce mărgineşte domeniul, care are următoarele proprietăţi: o dreaptă paralelă la oricare dintre axele de coordonate ale reperului cartezian ortogonal Oxyz intersectează suprafaţa în cel mult două puncte; se proiectează pe planul xoy după un domeniu D şi cilindrul proiectant al lui cu generatoarele paralele cu Oz este tangent la în lungul unei curbe (Γ) care împarte în două suprafeţe (condiţii analoage se pot pune şi pentru planele yoz şi zox); suprafaţa este cu două feţe şi presupunem că este formată dintr un număr de porţiuni netede. Pentru astfel de suprafeţe şi domeniile mărginite de ele au loc următoarele formule integrale (legături între tipurile de integrale cu vectori sau cu câmpuri scalare): n v dσ = div v dω; (15.82) Σ Σ Σ Σ nϕ dσ = n v dσ = ϕ dψ dn dσ = grad ϕ dω; (15.83) rot v dω, (15.84) (grad ϕ grad ψ + ϕ 2 ψ)dω, (15.85) Σ ( ϕ dψ dn ψ dϕ ) dσ = dn (ϕ 2 ψ ψ 2 ϕ)dω, (15.86) Formulă integrală (15.82) este forma vectorială a formulei integrale Gauss Ostrogradski (15.63). Aceasta este întâlnită şi sub denumirea formula integrală a divergenţei sau ca teorema divergenţei. Identitatea (15.83) se numeşte formula integrală a gradientului. Relaţiei (15.84) i se poate spune formula integrală a rotorului. Egalitatea (15.85) este cunoscută sub denumirea de prima identitate integrală a lui Green. Relaţia (15.86) este a doua identitate integrală a lui Green. Dacă () este o porţiune de suprafaţă regulată orientabilă (cu două feţe) având frontiera o curbă închisă rectificabilă (Γ), iar câmpul vectorial v F(, IR 3 ) este diferenţiabil şi, atunci are loc formula integrală a lui tokes v dr = n rot v dσ. (15.87) Γ