ME.9 Trnsformte Fourier prin sinus şi cosinus Cuvinte cheie Trnsformre Fourier prin cosinus, trnsformre Fourier prin sinus, trnsformt Fourier prin sinus, trnsformt Fourier prin cosinus, formule de inversre, ecuţii integrle ME.9. Definiţii. Proprietăţi. În numite condiţii sunt devrte formulele directă şi formul de inversre pentru Trnsformt Fourier vezi ME.7. şi ME.7.4. Prin combinre celor două formule se obţine integrl Fourier ME.8 cre se pote duce l următorele forme: pentru funcţiile pre f = + cos + fy cos ydy d. respectiv pentru funcţiile impre f = + sin + fy sin ydy d. Fiind dt o funcţie f :, C etensi ei l o funcţie pră, respectiv impră pe, v verific formul, respectiv, deci pentru, funcţi f v verific ceste formule. Integrlele interiore pot fi considerte c trnsformări le funcţiei f, ir formulele şi devin formule de inversre. Fie f L, continuă pe porţiuni. Definiţie Funcţi F c f] = f c = + fy cos ydy 3
se numeşte trnsformt Fourier prin cosinus TFC funcţiei f :, C. Funcţi + F s f] = f s = fy sin ydy 4 se numeşte trnsformt Fourier prin sinus TFS funcţiei f. Opertorii F c şi F s se numesc respectiv trnsformre Fourier prin cosinus şi trnsformre Fourier prin sinus. Înlocuind integrlele din şi cu ceste trnsformte obţinem formulele de inversre vlbile pentru, : F c f c ] = f = F s f s ] = f = + + f c cos d 5 f s sin d 6 Legătur cu trnsformre Fourier Fie funcţi f :, C. Considerăm etensi ei l o funcţie pră pe,, f p = f şi f p = f+. Clculăm trnsformt Fourier funţiei f p : + Ff p ] = f p e i d = f p e i d + + f p e i d În prim integrlă efectuăm schimbre de vribilă şi pe, înlocuim f p cu f. Obţinem, cu formulele lui Eule cos = ei +e i, sin = e i e i : Ff p ] = fe i d + fe i d = f e i +e i d = f cos d = F c f]. Considerăm etensi funcţiei f l funcţi impră f i = signf. Procedând în mod nlog, obţinem: Ff i ] = f i e i d = f e i d+ fe i d = fe i d + fe i d = i i f sin d = if s f]. Rezultă: f ei e i i d = F c f] = Ff p], F s f] = i Ff i] 7
3 Proprietăţi. Liniritte Pentru f, g L,, α, β C F c αf + βg] = αf c f] + βf c g]; F s αf + βg] = αf s f] + βf s g]. 8 Se obţin din liniritte integrlei: F c αf +βg] = α fcosd + β. Asemănre schimbre sclei timpului F c f] = f c + αf+βg]cosd = gcosd = αf c f] + βf c g] şi nlog pentru F s., F s f] = f s >. 9 Se demonstreză cu schimbre de vribilă t = : F c f] = ftcos t dt = ftcos t dt = f c şi nlog pentru F s. 3. Întârziere Pentru > u loc următorele eglităţi: F c f + f + ] = f c cos ; F s f f + ] = f s sin ; F c sign f + f + ] = f c sin ; F s sign f f + ] = f s cos. fcosd = Pentru demonstrţie se utilizeză etensiile pră, respectiv impră le funcţiei f: f p = f, f i = sign f. Avem, folosind propriette de liniritte şi poi schimbre de vribilă t = +, resspectiv t = : F c f p + + f p ] = f p tcost dt+ dt + f p tcost dt + + f p + cosd + f p tcost dt = f p tcost dt. f p cosd = f p tcost dt f p tcost Cu formulele cosα ± β = cos α cos β sin α sinβ obţnem mi deprte, ţinând sem şi de fptul că f p este pră şi f p t = ft pentru t > :
4 f p t cos t cos + sin t sin dt+ f p t cos tdt cos f p t sin tdt sin = f p t sin tdt sin + f p t cos t cos sin t sin dt f p t cos tdt f p t cos tdt cos = f c cos. Am utilizt fptul că f p t şi cos t sunt pre şi sin t impră, deci f p t cos tdt şi f p t sin tdt = f p tsintdt, rezultând reducere cestor integrle. cos f p t cos tdt = Celellte formule se deduc în mod nlog, de eemplu l ultim formulă se plecă de l clculul epresiei F s f i + f i + ]. 4. Deplsre Pentru b > F c ft cos bt] = f c + b + f c b]; F c ft sin bt] = f s + b f c s b]; F s ft cos bt] = f s + b + f s b]; F s ft sin bt] = f c + b f c b]. Clculăm f c + b = f cos + bd = f cos b cos d f sin b sin d = F c f cos b] F s f sin b]. Anlog f c b = F c f cos b] + F s f sin b]. Adunând, respectiv scăzând cele două eglităţi şi împărţind l obţinem primele două formule. Ultimele două se obţin clculând f s + b şi f s b şi procedând l fel. Combinând propriette de semănre 9 cu obţinem pentru, b >
5 formulele: F c ft cos bt] = F c ft sin bt] = F s ft cos bt] = F s ft sin bt] = + b f c f s + b f s + b f c + b 5. Derivre în domeniul timp ] + f b c ; ] f b s ; ] + f b s ; f c b ]. Dcă lim f =, lim f = şi f C,, tunci F c f ] = f s f; F s f ] = f c ; F c f ] = fc f ; 3 F s f ] = fs + f. Aceste formule se demonstreză integrând prin prţi. F c f ] = f cos d = f cos + f sin d = f sin d + lim f cos lim f cos = f s f. F s f ] = + f sin d = f sin + f cos d = f c. F c f ] = f cos d = f cos + f sin d = f + f sin d = f + f cos + f cos d = fc f. F s f ] = f sin d = f sin + f cos d = f cos + f sin d = fs + f. Observţie Se demonstreză în mod nlog că în ipotezele f C 3, şi lim f k =, k =,,, 3 sunt devărte eglităţile: F c f IV ] = 4 fc + f f ; F s f IV ] = 4 fs 3 f + f.
6 De semene, dcă f şi f sunt continue pe, cu ecepţi unui punct şi slturile în sunt σ = f + f, σ = f + f, tunci sunt devărte eglităţile F c f ] = f s f σ cos ; F s f ] = f c + σ sin ; F c f ] = fc f σ sin σ cos ; F s f ] = fs + f σ cos σ sin 6. Derivre în domeniul frecvenţă Dcă funcţi f este continuă pe porţiuni în, şi n f, n+ f L, tunci n N f c n = F c n n f]; f c n+ = F s n+ n+ f]; f s n = F s n n f]; 4 f s n+ = F c n n+ f]. Demonstrţi se fce prin inducţie. Considerăm prim formulă. Pentru n = derivăm de două ori în rport cu şi vem f c = f sin d = formul este devărtă. O presupunem devărtă pentru n. n+ n pentru n+ vem f c = f c = + f cos d = f cos d = F c n n f] deci În mod nlog, n n f cos d = n+ n+ f cos d = F c n+ n+ f], deci formul este devărtă n N. Celellte trei formule se demonsteză în celşi mod. 7. Integrre în domeniul timp Dcă f L, şi f este continuă pe porţiuni, tunci Dcă în plus F c fd = tunci F s ftdt = f s 5 ftdt = f c 6
Pentru demonstrţi formulei 5 notăm g = 7 ftdt, de unde g = f şi plicăm derivre în domeniul timp dou formulă 3: F s g ] = ] F s f] = ĝ c = f s, de unde ĝ c = f s, dică F c ftdt = f s. În mod nlog, fie h = ftdt, deci h = f şi h = ftdt =, de unde cu prim formulă 3 vem F c h ] = F c f] = ] ĥs h = f c = ĥs = f c, dică F s ftdt = f c. Condiţi lim h = impus condiţi fd =. 8. Integrre în domeniul frecvenţă Dcă următorele integrle sunt convergente, tunci F s ] f = f c tdt; F c f ] = f s tdt 7 Considerăm funcţi g = f. Aplicăm opertorul F c şi obţinem F c g] = F c f]. Conform ultimei formule 4 plicte funcţiei g pentru n = vem ĝ s = F c g], deci ĝ s = f c. Integrăm pe intervlul, şi ţinem sem de fptul că lim ĝ c =. Obţinem ĝ stdti = f c tdt = ĝ s t = f c tdt = ĝ s = f c tdt, dică F s f] = f c tdt. În mod nlog se demonstreză dou formulă 7. 9. Produsul de convoluţie Fie f, g L, şi etensiile lor pre, respectiv impre f p = f, f i = signf, g p şi g i. C în ME.7. se defineşte produsul de convoluţie f p g p = f p tg p tdt ir din propriette 8 din ME.7. rezultă Ff p g p ] = Ff p ]Fg p ] Scriem integrl c o sumă de integrle f p g p = f p tg p tdt + f p tg p tdt. În prim integrlă efectuăm schimbre de vribilă t t şi e devine f p tg p + tdt = ftg+tdt, ir dou integrlă este ftg t dt, deci obţinem
8 f p g p = ftg + t + g t dt şi se pote răt că f p g p este o funcţie pră. Aplicăm opertorul ] F şi obţinem Ff p ]Fg p ] = F ftg + t + g t dt. Dr conform 7 Ff p ] = F c f] si în generl pentru orice funcţie pră h, Fh] = F c h]. Prin simplificre cu obţinem f c ĝ c = F c ftg + t + g t dt. 8 În mod similr pot fi demonstrte şi eglităţile similre de mi jos. f, g L, tunci u loc următorele eglităţi: Dcă f s ĝ s = F c f s ĝ c = F s ftg + t + sign tg t dt ; f c ĝ s = F s ftg t g + tdt ; 9 gtf t f + tdt. ME.9. Probleme rezolvte Să se determinetrnsformtele Fourier prin cosinus şi sinus le funcţiilor următore:,,, Funcţi puls rectngulr r =,, /, =. sin Rezolvre: F c r ] = r cos d = cos d = sin =. cos F s r ] = r sin d = sin d = cos =.,,. Funcţi rmpă f =,, /, =
Rezolvre: Se integreză prin părţi F c f] = sin d = Anlog F c f] = sin + cos = sin + cos sin d = 9 cos d = sin. cos + sin. 3. f = Rezolvre: Se utilizeză integrl improprie I = e it dt = + i. Cu schimbre de vribilă t = se obţine t = /, deci I = e i / cos +i sin d de unde d = + i. Eglăm ] respectiv părţile rele şi imginre şi înlocuim cu. Rezultă F c = ] cos d = şi F s = sin d =. 4. f =, Re >. Să se clculeze F + c f]. Rezolvre: Se procedeză c în ME.7.7, Problem, unde s- obţinut eglitte e F c ] = i d = + + e.. Se în locuieşte e i = cos + i sin şi cos eglând părţile rele se obţine d = + e, de unde F c ] = + cos d = + e deorece,. 5. f = e, Re >. Rezolvre: Clculăm e e i d = e i d = i e i = i deorece e i = e Re cre tinde l când. Amplificăm cu conjugt şi utilizăm e i = cos + i sin. rezultă f c + i f s = e e i d = e cos +i sin d = +i +. Eglăm respectiv părţile rele şi imginre şi obţinem f c =, f + s =. + 6. f = e. Să se clculeze F c f]. Rezolvre: Se procedeză c în ME.7., Eemplul, unde s- obţinut rezulttul F c e ] = e e i d = 4. Luând prte relă se obţine f c = e cos d = e e cosd = e 4, deci fc =
e 4. sin. 7. f = Rezolvre: sin sin F c f] = cos d. Din Problem vem F c r ] = şi ] plicând formul de inversiune 5 rezultă r = Fc sin = sin cos d. /,, sin Schimbând rolurile lui şi se obţine cos d = r =,, /4, =. Se pote răt în mod nlog F s f] = ln +, clculând prin integrre prin părţi F s ln + ] = sin şi plicând formul de inversiune pentru F s. ] 8. Să se clculeze F s şi F 3 + c ]. + 3 Rezolvre: Se observă că derivt funcţiei f = este f =. + + Atunci din 3 F s + ] = F s f ] = f c = e = ] 4 e. Mi deprte, f = 3 şi din nou din 3 se obţine F 3 + 3 c = + 3 F c f ] = fc = e = 4 ie. 9. Să se clculeze F c ]. + Rezolvre: Notăm f = şi utilizăm ultim formulă derivre în domeniul frecvenţei: f + ] s = F c f], deci,conform problemei 8, F c = + ] F c = + 4 e = 4 e.. Să se clculeze F c sin Rezolvre: F c sin +b ] = sin +b ] +b cos d =, >, Re b >. sin cos d. Am utilizt fptul +b că integrndul este funcţie pră. Czul I <. Folosim formul sin α cos β = sinα + β + sinα β şi obţinem f c = sin+ sin 4 d + d. +b +b Considerăm conturul Γ din figur de mi jos şi integrl I = ze i+z 4 z + b dz + ze i z z + b dz Γ Γ
Funcţiile din integrle u în domeniul mărginit de Γ polul simplu bi şi plicând teorem reziduurilor obţinem cu formul Rez P z Qz, = P Q I = 4 Rez i ze i+z, bi + Rez ze i z, bi bie i+bi z +b z +b = i bi + biei bi bi i e +b +e b = i e b e b +e b = i e b ch b. Rezultă f c = Im I = e b ch b. Czul II >. Se efectueză un clcul similr, plecând de l formul sin cos = sin + sin ]. Se junge l I = ze i+z 4 dz ze i z dz = i e +b e b z +b z +b = Γ Γ i e b e b e b = i e b sh b, deci f c = Im I = e b sh b. ME.9.3 Aplicţii le trnsformărilor Fourier prin cosinus şi sinus Aceste trnsformări pot fi utilizte pentru rezolvre mi multor tipuri de probleme, de l ecuţii diferenţile şi cu derivte prţile, l ecuţii integrle su l procesre semnlelor şi imginilor.. Ecuţii diferenţile Considerăm problem cu condiţii l frontieră formtă din ecuţi diferenţilă cu condiţiile l frontieră y y = f,, y = şi y =, A,, b unde f este pulsul rectngulr f = Ar b =, b,, b, A >. A, = b =
Aplicăm opertorul F c şi utilizăm formul de derivre în domeniul timp F c f ] = fc f şi Problem pentru trnsformt pulsului rectngulr. Ecuţi diferenţilă cu condiţiile se trnsformă în ecuţi lgebrică ŷ c ŷ c = A sin b, deci soluţi problemei în domeniul frecvenţă este ŷ c = A + sin b, cre se pote descompune în frcţii simple ŷ c = A sin b sin b +. Din nou din Problem, sin b = F c r b ]. Pentru sin b + determin semnlul din domeniul timp corespunzător funcţiei ĝ c = utilizăm formul de inversre g = sin b cos d. Clculăm integrl + cu Problem, schimbând rolurile vribilelor { şi. A e b ch, < Rezultă soluţi problemei y = A e sh b, >.. Ecuţii integrle Considerăm ecuţii integrle cu funcţi necunoscută y şi nucleul cos, respectiv sin. Ecuţi y cos d = f,, se pote scrie y cos d = f. Comprând cu formul de inversre 5 rezultă că soluţi este y = f c = f cos d. 3 Se presupne că funcţi f re trnsformtă Fourier prin cosinus. În mod nlog, dcă f re trnsformtă Fourier prin sinus, ecuţi y sin d = f,, 4 re soluţi y = f s = f sin d. 5 Eemple,,. y cos d =,,, =. Rezolvre Membrul drept este funcţi puls rectngulr r. Aplicăm 3 şi rezulttul din Problem şi obţinem soluţi y = sin. {,,. y cos d =,,. Rezolvre
Cu formul 3, integrând prin părţi, se obţine: y = cos d = sin + sin d = cos = cos. sin 4,, 3. y sin d =,, 4, =. Rezolvre Se plică formul 5 şi formul sin α sin β = cosα β cosα + β] şi se obţine y = sin 4 sin d = cos/4 d +4 /4 sin/4 /4+ sin/ + = 4 sin/4 + cos +4 ME.9.4 Probleme propuse = 4 cos = 6 6 cos. Să se clculeze următorele trnsformte: 3,,. F c f] şi F s f] pentru f =,,, 3/,,. F c f], f = +5. 3 cos/4 +d = sin/ 3. Fc f c ], f c = e, >. 4. F c f], f =. Răspuns: + e. 5. Fc f c ], f c = i. Răspuns: + e. + 6. F c f], f = e cos 4 +. Răspuns:. + 4 7. F s f], f =. Răspuns: + 4 e. 8. F s e 4 ]. Răspuns: e. ] + 9. Fs, Re > Răspuns: e.. Să se rezolve ecuţi integrlă cos,, y cos d = f, f =,, 4, =. Răspuns: sin.. Să se rezolve ecuţi integrlă
4,, y sin d = f, f =,, ],,. Răspuns: sin + cos.
ME.9.5 Tbele cu trnsformte prin cosinus - sinus 5.. 3. 4. 5. f F cf F sf f, > f cosb, {, b} R + f sinb, {, b} R + Fc f + b F c f b + F c f + b F s f b F s f Fs f + b F s f b + F s f + b F c f b F c f n f, n N n F cf n n F sf n n+ f, n N n F sf n+ n+ F cf n+ 6. f =, < <, f =, > sin cos 7. 8., dcă < <,, dcă < <,, dcă >. cos cos sin sin 9., dcă <<,, dcă >. cos t dt t sin t dt t., dcă < <,, dcă >. cos sin cos + sin.. + α α e α, Reα >. e α Eiα + α + e α Ei α ], α >. e α Eiα α e α Ei α ], α >, + Ei = t e t dt, < rg <. e α, α >.
6 f F cf F sf 3. ν = e ν ln ν Γν cos ν, ν Γ ν cos ν, < Reν <.? < Reν <. 4. e α α, Reα >. + α + α 5. / e α α +, Reα > + α + α α + α + α 6. ν e α, Reα > Γν + α / cos ν rctg Γν + α /, sin ν rctg, α α Reν >. Reν >. 7. e α, Reα > /4αF /4α α e ; 3 ;, 4α α e F α; γ; z = + + αα +...α + k γγ +...γ + k zk k= 8. sinα, α >, dcă < α,, dcă = α, 4 ln + α α, dcă > α 9.. sin e rctg cosα, α > α, dcă < < α,, dcă > α 4 ln + + + ln α + α ln + α α