I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A Quod ert demostrdum. [ Što je treblo dokzti. Skrćeo: Q.e.d.] LATINSKI PREVOD EUKLIDOVIH RIJEČI. P r e d v j z š e s t u s e d m i u s t v e u kdemskoj 8/9. odii G L A V A 3 REALNE FUNKCIJE REALNE PROMJENLJIVE Opšt svojstv, osove elemetre ukije i esi U ovom polvlju se stvlj izlje osov ižejerske mtemtičke lize. Glvi ilj ove lve je usvjje pojm rele ukije jede rele ezviso promjeljive te riče vrijedosti ukije skupu relih brojev, ko i pojmov ekih speijlih kls ukij jedo rumet oričee i eoričee ukije, mootoe ukije, pre i epre ukije, periodiče ukije te klse osovih elemetrih ukij. U prethodom polvlju su proučve speijle rele ukije, tj. beskoči izovi ukije deiire skupu prirodih brojev, u ovom polvlju se t proučvj proširuju rele ukije koje su zdte deiire bilo kkvom iksirom podskupu skup R relih brojev, tj. detljije se ispituju rele ukije u opštem slučju. Od sd i dlje u ovom kursu, ko dručije e bude kzo zčeo, riječ ukij ozčv relu ukiju jede rele ezviso promjeljive. Npomeimo d je proučvje ukij etrli zdtk ižejerske mtemtike. Moe vrijble od iteres z ižejere, pr, po U, otpor R, jči struje I, vrijeme t, s P, mou se povezti odoso opisti, koristeći pojmove ukij. U okviru ovo kurs rzmtrt ćemo eke osove ižejerske ukije P = I R, R E = R R V,, U = IR, v t Ve, t, t, = RC vremesk kostt i dr.. 3.. Pojm i osobie rele ukije rele promjeljive 3... Pojm i zdvje rele ukije rele promjeljive U odjeljku..3. smo više uobičjeih či ituitivo i ormlo, odoso s i bez upotrebe pojm bire relije uveli opšti pojm preslikvj ukije, te deiirli pojmove: rik ukije, jedkost i ejedkost dviju ukij, ulje ikluzij, idetitet idetičo preslikvje, bir operij, operij kompoziije preslikvj slože ukij, prošireje ekstezij preslikvj, sužeje restrikij preslikvj, slik A skup A X pri preslikvju : X Y, iverz slik - B skup B Y ili oriil skup B, sirjekij preslikvje, ijekij -preslikvje, bijekij obostro jedozčo preslikvje, iverzo preslikvje iverz ukij. No, ovdje ćemo vesti deiiiju pojm rele ukije rele promjeljive, te s više detlj pojsiti zdvje ukije ormulom litički. Deiiij 3... Svko preslikvje : X Y, deiiro ekom podskupu X skup R relih brojev i s vrijedostim iz eko podskup Y skup R, zove se rel ukij jede rele ezviso promjeljive * ili krće rel ukij rele promjeljive, ili ukij rele promjeljive. Dkle, rel ukij rele promjeljive je svk uređe trojk X, Y,, koj se sstoji od skup X R, koje zovemo oblst deiirosti, skup Y R, koje zovemo područje vrijedosti, te eko prvil, pomoću koje svkom elemetu X pridružujemo tčo jed elemet Y koji ovisi o. Pridružei elemet zove se vrijedost ukije elemetu ili u i ozčv se s ili. * Umjesto jede rele ezviso promjeljive kže se još i jede rele ezvise vrijble ili jedo relo rumet. Pri tome se o elemetim = Y ovori ko o zvisoj promjeljivoj preslikvj.
Oblst deiirosti deiiioo područje, deiiioi skup, dome, područje deiiije, ulzi skup rele ukije rele promjeljive jčešće ozčvmo s D ili D, ili D ili kd je iz dto kotekst jso o kojoj se ukiji rdi s D odoso D. U šim rzmtrjim ukij je jčešće zd itervlu otvoreom, poluotvoreom, ztvoreom ili uiji itervl. Oblst područje vrijedosti kodome, tidome, ulzi /dolzi/ skup rele ukije često ozčvmo s K, dok skup D: ={ D } K R svih vrijedosti ukije r ukije : D K ozčvmo s R ili R, ili R. No, kd m u dtom kotekstu ije bito svojstvo surjektivosti, običo umjesto rel ukij : D K rele promjeljive pišemo ukij : DR rele promjeljive ili ukij : D R, D R, ili ukij deiir skupu D R, i sl.. Fukij može biti zdt rze čie litički, tbliči, rički, riječim, itd.. No, u mtemtičkoj lizi se rel ukij jčešće zdje ekom ormulom ili, kko se to dručije kže, litičkim izrzom. Npr. ko ukiju zdmo s: 3 : =, 3.. od je ov ukij zdt ormulom. Z dome ove ukije možemo uzeti ko pod ukijom podrzumijevmo relu ukiju rele promjeljive bilo koji eprz podskup skup R. Ako ukiju zdmo s: : =, 3.. od je i ov ukij zdt ormulom, li z dome te rele ukije rele promjeljive možemo uzeti svki podskup od R \, li e i širi u smislu ikluzije od R \,. Međutim, ko ije dručije zčeo rečeo, pod domeom rele ukije rele promjeljive dte litičkim izrzom običo se podrzumijev mksiml u smislu ikluzije podskup skup R koji tj izrz dopušt, tj. dome D ukije zde litičkim izrzom zd je ormulom D : = { R deiiro im smisl u R }. Kd tko postupmo u vezi s domeom ukije zde litički, od kžemo d smo tu ukiju deiirli jeom prirodom domeu. Tko, pr. z ukiju dtu litičkim izrzom 3... prirodi dome je skup R, z ukiju dtu s 3... prirodi dome je, ] [, +. U ormuli se pomoću mtemtičkih simbol određuje koje operije treb izvršiti d ezvisom promjeljivom i kojim ih redom treb vršiti d bi se dobil odovrjuć vrijedost zdte ukije. Npomeimo d pojm ormule ije preizo deiir pojm, jer ije jedom z svd određeo koje sve operije mou ulziti u ormulu. Z sd smtrmo d u ormulu kojom se zdje ukij ulze osove rčuske rdje, stepeovje, korjeovje, loritmirje, trioometrijske operije i sl. Ksije, kd uvedemo ove operije operij prelsk es te operije diereirj i iterirj, od ćemo i tkve operije uključivti u ormule kojim se zdju rele ukije rele promjeljive. Tkođe pomeimo d se kod ukij zdih litički mou pojviti slučjevi u kojim z dome e uzimmo prirodi dome, tj. postoje situije kd eku ukiju zdjemo uţoj oblsti od oe koju litički izrz dozvoljv. Npr., ek je mterijl tčk tijelo u mometu t = pušte d slobodo pd s visie h >. Ako s s = s t ozčimo dužiu put u metrim koje je t tčk tijelo prešl z vrijeme t, u sekudm mjereo od početk pd, od ko što je iz mehike pozto vrijedi: s t t, 9,8 ms - 3..3 No, ov ormul iz iziklih rzlo vrijedi smo z svki t[, t h ] dje je t h = h, to je momet udr tčke tijel u Zemlju izrz z t h se dobije iz 3..3. ko se izrz s t zmijei s h, t s t h. Jso je d litički izrz u mtemtičkom smislu u 3..3 dopušt svki tr, li ko izučvmo slobodi pd tijel, od je ukiju s zdtu ormulom s t t, prirodo posmtrti smo semetu [, t h ]. 94
Z kodome relih ukij rele promjeljive zdih litički običo se uzim skup R ili posebo, ko se rzmtr i postojje iverze ukije skup svih vrijedosti r posmtre ukije, osim kd se posebo istke dručije. Fukij se često zdje i s više litičkih izrz. Npr., ukij h, zd ormulom deiir je s tri litičk izrz. 95,, h,, 3..4,, No, ukiju često zdjemo e koristeći ikkvu ormulu litički izrz u opisom smislu. Nime, vžo je smo d zmo prvil po kojem se svkoj vrijedosti ezviso promjeljive pridružuje tčo jed određe broj. Posmtrjmo pr. ukiju * : : =, R 3..5 koj se ziv ijeli dio od, deiiru ovko: je jveći ijeli broj koji ije veći od. 3..6 Npomeimo d em jse rie između ukij koje su zde s jedom ormulom izrzom i koje isu zde ormulom, te oih s zdte s više ormul izrz. Npr. ukij h dt s 3..4 deiir je s tri litičk izrz. No, primjeom iterlo rču, pokzuje se d se t ukij h može deiirti i smo jedom ormulom. dje je D: = si t h si t dt, t t dt tzv. Dirihletov iterl z koji se pokzuje d je D = s. 3..7 Fukij : = ijeli dio relo broj, deiir opiso riječim u 3..6 dkle ije zdt litičkim izrzom/ormulom, može se deiirti i beskočim skupom litičkih izrz koji u jelii predstvljju zko korespodeije ove ukije: ili krće: : = = k, [k, k+, k Z.,, :,, 3..8,,,,, 3, 3... Grik rele ukije rele promjeljive Nek je u ekoj rvi zd prvouli Dekrtov koorditi sistem s osm O, O. Td svkoj tčki iz te rvi odovr potpuo određe uređe pr relih brojev. Ti brojevi zivju se koordite te tčke. Obruto, svkom uređeom pru relih brojev odovr tčo određe tčk posmtre rvi koju još zovemo i rv. Zbo to ćemo tu rv idetiiirti s skupom svih uređeih prov relih brojev, tj. s skupom RR =R. Dkle, e prvi se rzlik između skup R Dekrtovo proizvod skup R s smim sobom i rvi. Isto tko ećemo prviti rzliku između uređeo pr, relih brojev, i jemu odovrjuće tčke M iz rvi. Zbo to ćemo pisti M =, i ovoriti tčk, umjesto tčk s koorditm,. * Ozk koristi se u ovije vrijeme od kd se koristi i ozk : = z jmji ijeli broj koji ije mji od relo broj. Rije se koristil ozk E, ztim i ozk [], z ozčvje ukije ijeli dio od.
Nek je : X Y rel ukij rele promjeljive. Td se skup svih oih tčk, R kod kojih je X i = ziv rikom ili rom ukije. Ozčvmo s G ili G, ili, ili F. Prem tome, po deiiiji je G =, X} X Y R v. sl. 3... 3..9 96 G, Sl. 3... Umjesto termi rik r u upotrebi su još i eki drui termii. Kže se d je to dijrm ili kriv liij ili, krće, kriv. Z jedčiu jeddžbu = kže se d je jedči krive liije ormire pomoću ukije, tj. d je to jedči rik ukije. Ndlje ćemo često, jedostvosti izržvj rdi, ovoriti d je = kriv umjesto d ovorimo kriv čij je jedči = u prvoulom Dekrtovom koord. sistemu O. Npomeimo d svk ukij, p dkle i svk rel ukij, im rik koji se može prikzti litički u obliku ko u 3..9, li d postoje i rele ukije jede rele promjeljive čiji se rik e može eometrijski predstviti rtti u prvoulom Dekrtovom koorditom sistemu. Tkođe pomeimo d se osim prvoulo Dekrtovo koordito sistem koriste i drui koorditi sistemi ko što su ii / kosouli /, polri, trouoi koord. sistem, te ukijsk skl i dr.. Npr., rik Dirihletove ukije hi r. slovo zde s = ko je riol broj i = ko je iriol broj e može se rtti. Postoje i eprekide ukije čiji se rik e može rtti. No, pojm ukije može se uvesti i ovj či: Deiiij 3... Nek su X i Y dv skup i ek je F m koji podskup od XY. Td se uređe trojk F, X, Y ziv ukijom preslikvjem ko u F em elemet koji predstvljju uređee prove s jedkim prvim i rzličitim druim kompoetm. Ako su pri tome X R i Y R, od se F, X, Y zove rel ukij rele promjeljive. U deiiiji 3... skup X predstvlj oblst deiisosti, skup Y predstvlj oblst vrijedosti ukije. Fukij s oblsti deiisosti X i oblsti vrijedosti ukije Y zove se ukij tip XY i t se čijei može ormulisti sljedeći či. Fukij je deiis u X i dobij svoje vrijedosti u Y, što se simbolizuje u obliku XY, ili : XY, ili :, X, Y, ili, X, Y. Nek je : = F, X, Y proizvolj ukij. Ako je, F, elemet se zove vrijedost ukije ili u, se zove oriilom, slikom ikso elemet, z ukiju se kže d preslikv elemet u elemet. Vrijedost ukije u ozčv se s, pri čemu se piše =. Fukij : = F, X, Y ije idje deiir ko je F =. 3..3. Fukije zde prmetrski Osim ekspliitro zdvj ukije poekd impliito zdvje ukije. se koristi i prmetrsko zdvje i Nek su dt ov preslikvj : MX i : MY, od kojih je br jedo, pr., bijekij. Td postoji iverzo preslikvje : XM i preslikvje tkvo d - : XY.
Z ovko deiiro preslikvje kžemo d je zdo prmetrski s preslikvjim ukijm i, pri čemu elemete iz skup M zivmo prmetrim. Speijlo, ko su M, X, Y podskupovi skup R relih brojev, od z ukiju F = : XY, tj. z ukiju F : =, kžemo d je zd prmetrski sistemom skupom relih ukij i, odoso d je ukij : = prmetrski zdt sistemom * = t, = t, t M R. U opštem slučju sistem = t, = t tm deiir se višezčo preslikvje višezč ukij = ili =. Osim to, često ije mouće iz sistem = t, = t eiirti prmetr t, tj. dobiti zvisost = iti zvisost =, li to e zči d i td e možemo ispitivti tok i rtti rik jedozče ukije ili višezče ukije prmetrski zdte tim sistemom jedči. Primjer 3... Nrtjmo krivu u Dekrtovom prvoulom koor. sist. zdu prmetrski sistemom: t 3, t te ustovimo d li dobive kriv predstvlj rik eke jedozče ukije iz R u R. Rješeje: Fukije i, prmetrski zdte s t : = t 3, t : = 4t, su deiire z svki t R, tj. prirode domee D, D su skup R. N osovu sljedeće tblie vrijedosti t... - - 3/...... -6-7/4... +... 4 3 4 3 4 3 4 9/4 3 4... kostruišemo odovrjuće tčke M i = i, i u Dekrtovoj rvi O koje pripdju zdoj krivoj, p spjjem tčk M i ltkom krivom dobijemo sljedeći rik krivulje tzv. semikub prbol: 3 4; 97 Sl. 3... Prmetr t e ubi svoj eometrijski smiso t se e odvj eometrijski. 3 Npisti ekspliiti oblik ukije :, u jedostvijem prmetrskom obliku od zdo oblik. Y R +. Očito d kriv sl. 3... predstvlj rik jedozče ukije : RY YR dte s 3, * Prmetrske jedčie = t, = t ; t, R predstvljju prmetrske jedčie krive u rvi i ove su jedčie često podesije z ispitivje krive z ispitivje impliite ukije, i z izržvje višezče ukije jedozčim ukijm.
98 Zdtk 3... Po prvoj O kotrlj se bez klizj kru poluprečik. Kriv koju opisuje određe tčk perierije to kru zove se ikloid. Dokžite d se o može prmetrski opisti jedčim. = t si t, = os t, tr, ztim rtjte tu krivu. 3..4. Nek svojstv relih ukij jede rele promjeljive U dljjem tekstu rzmtrmo rele ukije jede rele promjeljive, tj. preslikvj kod kojih su dome D i kodome K podskupovi skup R, te umjesto : DK, često pišemo : D R. Z tkve dvije ukije deiirmo: i zbir zbroj + : D R ukije i ukije : + : = + ; ii rzlik : D R ukije i ukije : : = ; iii proizvod produkt : D R ukije i ukije : = ; iv količik kvoijet ukije i ukije / : D o R, D o =D : :. Prilikom proučvj ispitivj tok i kostrukije rik rele ukije jede rele vrijble promtrju se jee promjee pri čemu se pretpostvlj d se ezvis promjeljiv mijej od jmje do jveće vrijedosti iz domee, odoso svkom od dijelov domee ko se te vrijedosti dostižu, pri čemu se u evetulim tčkm omilj dome posmtre ukije koje mu e pripdju određuju riče vrijedosti te ukije. Pri tome se često koriste pojmovi: ule korijei, ul tčke; prost i eprost; periodičost; mootoost; oričeost; eoričeost; iimum i supremum; lokli i lobli totli, psoluti ekstremum; te koveksost, kokvost i prevoje tčke tčke ileksije. Neke od tih osobi su jedostve i istovremeo određuju speijle klse relih ukij: klse prih i eprih ukij, kls periodičih ukij, kls mootoih ukij, te klse oričeih i eoričeih relih ukij jede rele vrijble. Deiiij 3..3. Z skup DR kžemo d je simetrič u odosu ultu tčku tj. tčku ko z svki D broj tkođe pripd skupu D. Kžemo d je ukij : DK D, K R, deiir simetričom skupu D, pr ko je = z svki D, epr ko je z svki D ispujeo =. Očiledo, rik pre ukije oso je simetrič u odosu osu s obzirom orditu, rik epre ukije etrlo je simetrič u odosu kooriditi početk ishodište O: =,. To svojstvo olkšv rtje rik tkvih ukij. Primjer 3... Fukije, si, e imju prirodu domeu R. Prv od ovih ukij je pr jer je =, dru je epr budući d je si = si, treć tj. ukij e ije i pr i epr, jer ije ispuje jedkost e = e z svki R iti vži e = e z svki R. Npomeimo d jveći broj ukij isu i pre i epre, li se lko pokzuju d se svk rel ukij jede rele vrijble deiir simetričom skupu u odosu ultu tčku može prikzti u obliku zbir jede pre i jede epre ukije. Nime, z tkvu ukiju vrijedi d je = + h z svki iz domee D, pri čemu je : pr ukij, h : epr ukij. Deiiij 3..4. Kžemo d je ukij : D R periodič ko postoji broj pr\{} koji se ziv periodom ukije, tkv d vži: i D + p D ; ii D +p =. Njmji pozitiv broj p ko postoji z koji su ispujei uslovi i i ii ziv se osovi temelji period ukije i običo se ozčv s T.
Primjer 3..3. Fukij : = A si + A,, R je periodič i z A i im osovi period T dt s ukije A,. T. Isto svojstvo im i ukij : = A os +, dok : = A t + i : = A t + imju osovi period T dt s Poekd je zodije dtu ukiju predstviti u obliku: = + +... +, pri čemu su ukije,..., periodiče s osovim periodim T,..., T, respektivo. Ako je pri tom T T i j T T i j Q z sve i, j,...,, od je i ukij periodič. Ako ije ispuje uslov d je Q z sve i, j,...,, od ukij ije periodič. No, kko se svki iriol broj može proksimirti po volji tčo riolim brojevim, može se pokzti d im uvijek ijelih brojev r, s tkvih d su rt i i st j otovo jedki t čijei je dovel do rzvoj ove teorije otovo periodičih ukij koj je vž i u teoriji relih ukij i u primjem u mtemtičkoj izii i tehii. Nime, ko je zbir od dvije periodiče ukije, s osovim periodim T p T, T i ko je, dje su p i q ijeli brojevi, od je pt = qt, p je ukij T q periodič s osovim periodom T jedkim zjedičkoj vrijedosti pt ili qt. Otud, primjeom metod mtemtičke idukije, lko zključujemo d se ovo svojstvo z zbir dvije ukije proširuje sumu od ukij z svki N. Međutim, ko br jed od ukij,..., ije periodič, to još e zči d je ukij i i T 99 : eperiodič, jer pr. ukij dt s = je periodič s osovim periodom T = iko : = i : = isu periodiče ukije. Zdtk 3... Ispitti periodičost i odrediti osove periode ko postoje ukij: = si + os3; e 6t 7t b = si + os; 7 = A os + B si, A,B, R; d = os, Q, ;, R \ C. Rezultt: Fukij je periodič, T = ; b T Q p ukij ukij je periodič i, z A i, im osovi period T ije periodič; T, d ije periodič; e periodič s osovim periodom T = 7 ; Dirihletov ukij je periodič, jer z svki p vrijede uslovi i i ii iz deiiije 3..4., li e postoji je jmji pozitiv period, jer je i pr p =. Deiiij 3..5. Nek je E D R. Z ukiju : D K K R kžemo d je:. o eopdjuć skupu E ko, E ;. o rstuć skupu E ko, E ; 3. o erstuć skupu E ko, E ; 4. o opdjuć skupu E ko, E.
Z ukiju koj zdovoljv bilo koji od uslov. o 4. o kžemo d je mooto, z ukiju koj zdovoljv uslov. o ili uslov 4. o d je stroo mooto skupu E. Ako je u deiiiji 3..5. skup E jedk domeu D ukije, od se često izostvlj zk skupu E uz riječ mootoost, odoso jeu verziju. Npomeimo d se umjesto termi eopdjuć, rstuć, erstuć i opdjuć koriste termii rstuć, stroo rstuć, opdjuć i stroo opdjuć, respektivo. Primjer 3..4. Fukij : = 3 je rstuć. Fukij : = e =/e je opdjuć, ukij h e,,,, je erstuć, ukij h je opdjuć, i ije stroo mooto R. Fukij F = je opdjuć,, rstuć, +, dok R ije mooto, već mooto po dijelovim F ije bijekij s R, +, te em jedozče iverze ukije. Deiiij 3..6. Z ukiju : D K D, K R kžemo d je oriče odozo odoso oriče odozdo skupu E D ko je tkv skup jeih vrijedosti E E, tj. ko postoji broj PR odoso pr, tkv d z sve E vrijedi P odoso p. Z ukiju koj je oriče odozdo i oriče odozo skupu E kžemo d je oriče skupu E. Sd se lko deiirju i pojmovi miimum, mksimum, te iimum i supremum ukije. Lko se vidi d je ukij : D K D, K R oriče E D ko postoji M, tkv d z sve E vrijedi M ili, što je ekvivleto, M. Tkođe se lko dobije eometrijsk iterpretij oriče ukije podskupu dome, odoso oričee domeu. Primjer 3..5. Fukij : =rt je oriče domeu D = R, i = -, sup = ; em totlo ekstrem, jer - R =,,,. b Fukij : = k kn je oriče odozdo, li e i odozo R. Međutim, o je oriče svkom kočom rzmku, b,br. 3.. Pojm riče vrijedosti es rele ukije jede rele promjeljive. Ekvivletost Cuhjeve i Heieove deiiije es ukije Ituitivo ovoreći, es ili rič vrijedost eke ukije u dtoj tčki je vrijedost koj se priključuje, stvlj vrijedosti koje t ukij prim u okolim tčkm. Jso je sto d o esu ukije im smisl ovoriti smo kd ije izolov izolir tčk, tj. kd je tčk omilj dome te ukije koj mu može e mor pripdti, R. Deiiij 3... Po Cuhju. * Nek je : X Y rel ukij rele promjeljive i R tčk omilj skup X. Kžemo d je R rič vrijedost es ukije u tčki ili d ukij teži ričoj / vrijedosti kd teži vrijedosti i simbolički to ozčvmo s = ili =, ko z svku okoliu V tčke postoji okoli U tčke, tkv d vrijedi X U, V. 3.. Ako je pri tome iz R, od kžemo d ukij im koču riču vrijedost,
ko je = ili +, od kžemo d im beskoču riču vrijedost u tčki kočoj tčki ili beskočosti / ili + /. Npome 3... Grič vrijedost iz deiiije 3... deiir se eoviso o vrijedosti. Zto deiiij 3... z es im smisl i primjejuje se i u slučju kd je deiiro smo X \. Ako je U =UX ek okoli u skupu X tčke, od ovisi smo o U \ tj. ovisi smo o restrikiji ukije skup UX \, dje je U proizvolj okoli tčke R / okoli u R ko je R, odoso okoli u R ko je = ili = + /. Ako je U ek okoli tčke R, od s Ủ ozčvmo skup U \, s Ủ X ozčvmo skup Ủ X. Skup Ủ X se ziv šuplj ili probuše okoli u skupu X tčke. Koristeći tkvu ozku okolie tčke, vidimo d deiiiju 3... možemo izreći i u sljedećem ekvivletom obliku: Nek je : XY rel ukij rele promjeljive i R tčk omilj skup X. Kžemo d ukij teži k R i pišemo = ili kd, ko z svku okoliu V tčke postoji ek okoli U tčke tkv d vrijedi Ủ X V. 3.. D bismo dobili opertiviju deiiiju riče vrijedosti, treb odvojeo posmtrti slučjeve kočih, odoso beskočih vrijedosti,. Tko, pr. ko su i koči brojevi, immo u termioloiji,, - '': = : = X. 3..3 N slič či se zpisuju odovrjući uslovi kd su jed ili ob broj, jedk + ili. U tom smislu, beskoč rič vrijedost + = +, može se uvesti sljedećom deiiijom koj se dobije iz deiiije 3... ko se z tčku : = + uzme okoli U : = N, +], z tčku : = + okoli V : = M, +] u prošireom prostoru R relih brojev. Deiiij 3... Nek je : XY rel ukij rele vrijble i + tčk omilj skup X. Kžemo d ukij im z riču vrijedost + kd rumet teži k +, ko z proizvolj uprijed dti broj M koliko se hoće veliki postoji tkv broj N d je ejedkost > M ispuje z sve vrijedosti X z koje je N, tj. + = + MR NR X N M. 3..4 Geometrijsk iterpretij: o Z slučj riče vrijedosti =, pri čemu su R i R, posmtrjmo pojs u Dekrtovoj rvi O oriče prvm prlelim psisoj osi: = i = + + >, koji im širiu. + = Postojje ejedkosti, odoso joj ekvivlete dvostruke ejedkosti +, pri uslovim + i z ukiju kojoj se rik može eometrijski predstviti eometrijski zči d, m kko bio uz posmtri pojs, tčke rik ukije, osim, možd tčke,, + Sl. 3...
Y sdrže su u uutršjosti to pojs, ko se vrijedosti rumet sdrže u itervlu, +, tj. u - okolii tčke o v. sl. 3... i reliju 3..3. o Z slučj beskoče riče vrijedosti u = beskočosti + =+ immo : Z proizvoljo veliki uprijed dti broj M, z sve vrijedosti rumet veće od N, rik ukije : = sdrži se izd M prve dte u prvoulom Dekrtovom koorditom sistemu Sl. 3... O s = M v. sl. 3... i reliju 3..4. Aloo se može dti eometrijsk iterpretij es = i u ost slučjevim jso, ko je mouće rik / ili br jed jeov odovrjući dio / ukije eometrijski predstviti. Primjer 3... o Ako je : = 5, osovu deiiije riče vrijedosti dokzti d je 4 =. Dokz: Nek je dt broj. Iz ejedkosti, tj. iz 5 4, slijedi 4 5. Uzimjući z ukiju od : : = = 5, dobijemo d je z sve vrijedosti rumet z koje je 4 ispuje ejedkost, što, po deiiiji zči d je zist 4 = u ovom slučju tčk omilj : = 4 pripd domeu D = R ukije. Q.E.D. o N osovu deiiije riče vrijedosti pokžite d je:. Dokz: Fukij iz R u R zd litičkim izrzom : = im prirodi dome D : = {R } = {R, } = -, ], +. Očiledo je + tčk omilj skup D koj mu e pripd, p im smisl es + i pri tome se rzmtrje može oričiti vrijedosti rumet z koje je. Kko je z svki, + pri čemu je zk psolute vrijedosti izostvlje, jer z sve vrijedi d je i, to je, z svki, ejedkost, tj. ejedkost, ispuje z sve vrijedosti rumet z koje je, tj. z. U ovom slučju, uzimjući d je N = broj N : = N R odoso N : = N N tkv d je D N, te je zist =. odoso N =, immo d z svki postoji 3 o Z Dirihletovu ukiju * χ, tj. z ukiju χ zdu s,, Q, R \ Q, * Lko se vidi d je χ = m os m!, R. Nime, Q m o N m m o m!z, odvde slijedi os m! =. Ndlje, R\Q mn os m!.
3 χ e postoji i z jedo R, jer se u svkoj okolii U tčke lze kko rioli, tko i irioli brojevi. Ako je : XY rel ukij rele vrijble, A podskup od X i R tčk omilj skup A, od se može posmtrti es ukije u tčki s obzirom skup A, tj. A. Tj se es ozčv s A ili ili ili,a A, A. Ako je A A, p je R tčk omilj skup A, od je i tčk omilj skup A i postojje A povlči postojje A i vrijedi jedkost. 3..5 A Zist, iz ezisteije es : A A, immo d z proizvolju okoliu V tčke postoji okoli Ủ A tčke tkv d je V z svki Ủ A. Kko je A A, to je V ko je Ủ A, tj. A. Obruti zključk od oo u prethooj čijeii vezoj z jedkost 3..5 e vrijedi. Nime, pr., ek je X = Y = R, ek je : X Y ukij deiir ormulom,,, 3..5, i ek je A =,, A =,, =, =. Td je očito. Ipk e postoji A jer se lko vidi d je A -, ] v. prim. 3... i sl. 3..3. Deiiij 3..3. Nek je o R tčk omilj skup R + X : = {X } i : XY XR, YR. Vrijedost ko postoji ozčv se s ili ili R X ili ili + ili + i zove des rič vrijedost ukije u tčki ili es zdes u tčki. Speijlo, ko je =, pišemo ili ili + ili +. Aloo se deiir lijev rič vrijedost ukije u tčki ili es slijev u tčki ili odoso / ili /ko je =. Iz čijeie veze z jedkost 3..5 eposredo slijede ove posljedie: i Nek je : DR, DR, ukij rele promjeljive, D i D podskupovi skup D i ek je o R tčk omilj ovih skupov. Ako je A D, B D i A B, od D e postoji. Speijlo, ko je, od e postoji. - Sl. 3..3.
4 ii Ako zmo d postoji D, od je z jeovo izrčuvje dovoljo izdvojiti proizvolj podskup D D pri čemu je R tčk omilj skup D i ći D. Speijlo, ko postoji, od je + i imju smisl, li iz ezisteije i ko i slijedi d br jed od + i im smisl, tj. d je tčk tčk omilj br jedo od skupov: skup vrijedosti rumet većih od i skup vrijedosti rumet mjih od. Primijetimo d svk izolov tčk skup D po deiiiji pripd skupu D, dok tčk omilj, lijev tčk omilj i des tčk omilj skup D R mou e morju pripdti skupu D. Npr., ek je D : =,9{}. Td je tčk izolov tčk skup D. Sve ostle tčke skup D su ujedo i tčke omilj to skup. Te tčke omilj, dkle, pripdju skupu D. No, očiledo je d su tčke i 9 tkođe tčke omilj skup D je des, ije lijev tčk omilj, dok je 9 lijev ije des tčk omilj skup D, li oe tom skupu e pripdju. Ako je des li ije lijev tčk omilj skup D, od između pojm es i deso es ukije : DR u tčki em rzlike. Isto tko, ko je lijev li ije des tčk omilj skup D, od između pojm es i lijevo es ukije : DR u tčki em rzlike. No, ko je i lijev i des tčk omilj skup D, od vrijedi sljedeće: Grič vrijedost vrijedi = postoji kko postoje ob es. U slučju d je ovj uslov zdovolj, od vrijedi = = i i ko 3..6 Npome 3... Deiiiju 3... z slučj R možemo iskzti i ovko: Vrijedi kd ko se rzlik može po spolutoj vrijedosti učiiti po volji mlom približi li se X,, dovoljo blizu tčke. Primjer 3... o Z ukij dtu ormulom 3..5 očito vrijedi - = = +, p prem prethodoj posljedii i slijedi d e postoji. o Fukij s: RR deiir pomoću, s, -,,,. Z tu ukiju je - s = + s =, tj. s e postoji. No, primijetimo d je s = s v. sl. 3..4.. 3 o + = = v. sl. 3..5., dok e postoji jer - = + = s - Sl. 3..4. - - Sl. 3..5. = +.
4 o - = + = = + v. sl. 3..6, 5 o N =, jer z = N vrijedi = p je = = dje je, z svki R, /doji/ ijeli dio od, tj. jveći ijeli broj koji ije veći od, dok je : = {} rzlomljei dio od. Primijetimo d je slučj 5 o primjer 3... speijl slučj sljedeće situije: Nek je : D R ukij rele promjeljive i ek je pri tome + tčk omilj skup DN. U tom slučju zjedo s ukijom možemo posmtrti ukiju DN, tj. iz, dje je =, je deiir z dovoljo velike vrijedosti N. Otud vidimo d je pojm riče vrijedosti iz relih brojev uvede u okviru izlj teorije izov zprvo speijl slučj pojm riče vrijedosti rele ukije rele promjeljive opise u deiiiji 3.., jer je jedostvo dru ozk z N+. Prem već rečeom, jso je d ko postoji +, od postoji i, dok obruto e mor d vži v. primjere 3...5 o i 3..3.. U opštem slučju vez između riče vrijedosti ukije i riče vrijedosti izov z rze izove z koje je = može se preizo izrziti sljedećom teoremom koj pokzuje d se pojm riče vrijedosti ukije može u potpuosti opisti pomoću pojm riče vrijedosti iz. Teorem 3... Grič vrijedost rele ukije : DK rele promjeljive u tčki R jedk je R, tj., kko z svki iz, tkv d je D \{ } z svki N i =, vrijedi =. Nvedei potrebi i dovolji uslovi u ovoj teoremi mou se uzeti z deiiiju pojm riče vrijedosti ukije jeziku izov, koju je prvi koristio H. E. HEINE 87. * Deiiij 3..4. Po Heieu. Z ukiju : D R rele promjeljive kže se d im u tčki R riču vrijedost jedku R, ko z svki iz,,...,,... tčk iz D, z koji je z svki N i =, vži =. U Heieovoj koepiji deiiije es ukije ko polz tčk se jvlj pojm es iz, dok se pojm es ukije jvlj ko izvedei pojm. Z pojm ričo težej ukije u opštoj deiiiji 3..4 bito je d svki či težej rumet broju koji može, li e mor pripdti području deiiije rumet, tj. bilo koji iz iz područj deiiije rumet, kojem su svi človi rzličiti od, teže k, vodi do iste riče vrijedosti. Vidjet ćemo iz redo primjer d rzličiti čii težej promjeljive mou voditi do rzličitih vrijedosti, p se u tom slučju e ovori o jedistveoj ričoj vrijedosti u orjem smislu. Međutim, vžo je primijetiti d je dovoljo zhtijevti d je z svki iz iz područj promjeljive koji teži vrijedosti iz vrijedosti ukije koveret, jer iz to već slijedi d svi izovi teže istoj ričoj vrijedosti. Zist, ko bi iz težio vrijedosti ' kd teži k, iz druoj vrijedosti '', kd i teži k, težio bi i iz,,,,, 5 koji stje iz zdih izov uzimjući izmjeičo po redu člove prvo i druo iz, tkođer ekoj vrijedosti, jer je i to iz vrijedosti ukije koje odovrju vrijedostim rumet iz jeov područj deiiije koje teže k. No, izovi i su podizovi iz ovo vedeo iz, p, prem teoremu o jedozčosti riče vrijedosti iz, teže i oi istoj ričoj vrijedosti. Iz teoreme 3... i uprvo dokze čijeie eposredo slijedi sljedeć teorem: * E. Edudrd Heie 8 88 - jemčki Sl. 3..6.
6 Teorem 3... Nek je skupu D R deiis rel ukij i ek je R tčk omilj skup D. Td su dvije sljedeće tvrdje međusobo ekvivlete: Postoji. Z svki iz tčk iz D z svki N koji teži k postoji. Primijetimo d se teoremom 3.. - iskzuje ekvivletost deiiije 3... riče vrijedosti ukije, tj. Košijeve Cuh deiiije, koj se još ziv i deiiijom jeziku okoli ili jeziku -, ko se uzme u obzir je zpis z koče i, i Hjeove Heie deiiije riče vrijedosti ukije tj. deiiije 3..4. Zto se teorem 3... može iskzti i u ovom ekvivletom obliku: Teorem 3..3. Cuhjev deiiij es ukije i Heieov deiiij es ukije su međusobo ekvivlete. Dokz: Nek ukij : D R rele promjeljive im u tčki R riču vrijedost R, tj. ek je, u smislu Cuhjeve deiiije es ukije. To zči d z svku okoliu V tčke postoji okoli U tčke, tkv d je Ů D V. Fiksirjmo okoliu V tčke. Nek je sd proizvolj iz z koji je D \{ } z svki N i =. Iz slijedi d postoji tkv prirod broj = U d vrijedi U D z svki. Po pretpostvi je td i Ů D jer je z svki N, p dobijemo d je V z svki. Primijetimo d broj zvisi od okolie U tčke. No, kko okoli U zvisi od okolie V, to zvisi od okolie V, p dkle vrijedi d z svku okoliu V tčke postoji prirod broj koji zvisi od okolie V tkv d vrijedi V z svki. No, to zči d je = =. Kko ovo vrijedi z svki iz D, i =, to je zdovolje i uslov Heieove deiiije es ukije. Time je dokzo d posmtr ukij im u tčki R riču vrijedost jedku i u smislu Heieove deiiije es ukije. o Obruto, ek ukij : DR rele promjeljive im u tčki R riču vrijedost R u smislu Heieove deiiije es ukije. Treb d dokžemo d dt ukij im u tčki R riču vrijedost jedku vrijedosti i u smislu Cuhjeve deiiije es ukije. Pretpostvimo d t tvrdj ije tč. To zči d ije tčo d z svku okoliu V tčke postoji okoli U tčke tkv d vrijedi Ů D V. Ovo pk zči d postoji ek okoli tčke, ozčimo je s V, tkv d z svku okoliu U tčke vrijedi Ů D V. No, to pk zči d z svku okoliu U tčke postoji br jed U U D, U, U V. Ako je R, ozčimo s U okoliu tčke, ko je = + s U ozčimo okoliu, +, dok u slučju = s U ozčimo okoliu, z svki N. Tko dobijemo iz U okoli u R tčke. Kko je Ů D V, to z svki N postoji br jed Ů D tkv d je V. Kostruisi iz ispujv očiledo uslove D\{ } z svki N i =, li. Dkle, ko ije po Cuhju, tj. ko ije rič vrijedost dte ukije u tčki u smislu Cuhjeve deiiije es ukije, od ije ispuje uslov u Heieovoj deiiiji es ukije. Do ove kotrdikije je dovel pretpostvk d je es ukije u tčki u smislu Heieove deiiije d ije es u smislu Cuhjeve deiiije. Dkle, ko je es ukije u tčki u smislu Heieove deiiije, od je es te ukije u i u smislu Cuhjeve deiiije es ukije, što je i treblo dokzti. Ovim je ekvivleij Cuhjeve i Heieove deiiije es ukije dokz i dokz teoreme 3..3. zvrše. Primjer 3..3. Dokzti d e postoji. Rješeje: Fukij dt ormulom : = im prirodi dome D:=R i vrijedi v. sl. 3..7
7,,,,,, Kko je : = + tčk omilj dome dte ukije, to dti es im smisl. Z ' : = immo ' + i ' =, z '' : = +, dje je pr., = ½, immo tkođe '' +, li '' = + + = + =. Zto e može postojti vrijedost R kojoj bi težio iz z svki iz koji teži k +, p prem prethodoj teoremi 3..3. slijedi d e postoji +. U jedom od redih odjeljk dokzt ćemo d vrijede sljedeće vže jedkosti: si ; e, koje se često koriste u rješvju zdtk. 3.3. Opšte osobie kočih i beskočih ričih vrijedosti ukij Osove teoreme teorije ričih vrijedosti ukij U prethodom prru 3.. izvede je vez između pojm riče vrijedosti ukije i riče vrijedosti iz. T se vez koristi kod određivj es izov pr., si es iz si se može odrediti pomoću es ukije : = u tčki, jer = 3 Slik 3..7. z = immo d je : = si =, p iz = i = slijedi d je = = =, li se može koriso primijeiti, između ostlo i pri dokzu moih osobi koje su u vezi s ričim vrijedostim ukij. Zprvo, preko odovrjućih osobi izov, primjeom teoreme o ekvivletosti Cuhjeve i Heieove deiiije riče vrijedosti ukij, možemo prktičo z sve osobie ričih vrijedosti izov koje su pozte i izvedee u teoriji izov dokzti loe kd su u pitju esi relih ukij rele promjeljive. N tj či se mou dokzti svi stvovi teoreme koje vodimo u okviru ovo prr, ovdje ćemo rdi uvježbvj upotrebe pojmov deiiije 3... i ekih jeih ekvivlet dokzti eke od jih jeziku okoli ili jeziku, z slučjeve kočo es ukije u kočoj tčki. Teorem 3.3.. Fukij : DK D, K R e može imti u tčki R dvije rzličite riče vrijedosti tj. ko ukij im es u tčki, o je jedozčo određe. Teorem 3.3.. Ako ukij : DK D, K R im koču riču vrijedost u tčki R, od postoji okoli U tčke, tkv d je ukij oriče skupu Ů D. Dokz: Kko je { Ů D } = Ů D V z proizvolju okoliu V tčke R i poodo odbru okoliu U tčke R, dje je :, i kko okliu V možemo izbrti tko d bude oriče skup, to je i skup { Ů D } oriče. Q.E.D. O simptotskim ozkm o mlo o, O veliko O, ~ ekvivleto simbole o i O zivmo simboli Ldu, prem E. Ldu i jihovim osobim izlžemo u posebom odjeljku ovo polvlj.
8 Npomeimo d obrut teorem od teoreme 3.3. e vži. Deiiij 3.3.. Ako je R, kžemo d je ukij rele promjeljive : DR beskočo ml kd beskočo ml /veliči/ u tčki. Fukij : DR D R ziv se beskočo velikom kd R beskočo velik veliči kd ko z svki MR postoji okoli U tčke, tkv d z svki Ů D vrijedi >M. Ako je beskočo ml kd, pišemo * = o čitmo: je mlo o od. Teorem 3.3.3. i Z svku ukiju : DK D, K R vži d je = b br, R kko je = b +, dje je beskočo ml kd. Iz = b R slijedi b =. ii Zbir i rzlik dvije beskočo mle ukije kd su beskočo mle kd pri čemu se podrzumijev d su zbir i rzlik deiiri presjeku dome sbirk, tko d je tčk omilj to presjek. iii Ako je : DR D R beskočo ml ukij kd, ukij oriče skupu Ů D z eku okoliu U tčke, od je beskočo ml kd. Ako je = R z svki iz eke okolie tčke, od je, očito,. Teorem 3.3.4. Ako je = A R, od je = A, tj. =, R. Dokz: Tčost ove teoreme slijedi iz ejedkosti A A. Sljedeć teorem odosi se osobie es ukije koje su u vezi relije poretk u R. Teorem 3.3.5. O ejedkostim. i Ako je <, R, od postoji okoli U tčke, tkv d je < z svki Ů D, dje je D presjek dome D i D. Speijlo, ko je = b <, dje je rel broj, od postoji okoli U tčke tkv d je < z svki Ů D dje je D dome od. Aloo vži kd se zk < zmijei zkom > ili s, odoso s. ii Ako postoje riče vrijedosti koče ili beskoče i R, pri čemu je z eku okoliu U tčke ispujeo z sve Ů D dje je D presjek dome D i D kojem je tčk tčk omilj, od je i. Aloo vži kd se zk zmijei zkom. iii Teorem o dv ţdr, teorem o stezju / uklješteju /. Nek su,, h tri rele ukije jede rele promjeljive, D presjek dome D, D i Dh kojem je tčk tčk omilj i ek je h z sve Ů D, dje je U ek okoli tčke Ů D : = U D \ {}. Ako je = h = b, b R, od je i = b. Sljedeć teorem dje jedostvu vezu između lebrskih operij u skupu ričo prelz z ukije. R i
9 Teorem 3.3.6. O lebrskim operijm z ese ukij. Nek je = = b i = b, R, dje je tčk R tčk omilj presjek D R dome D i D relih ukij i. Td je :. ; ;, ; je ko b d b k k k b b R Dokz: d Kko je =, to prem teoremi 3.3.5. i postoji okoli U ' tčke tkv d je z svki Ů ' D. Iz = R slijedi d je ukij oriče u ekoj okolii Ů '' D tčke, tj. postoji okoli U '' tčke tkv d je < < +, dje je, z pr., <, z sve Ů '' D. Iz > : = r > z sve Ů '' D slijedi d je i z sve Ů '' D ; zto odovrjuć pretpostvk o ije i uključe u uslove dijel d ove teoreme. / Pri tome, dkle, čk e zhijevmo d bude deiiro z sve D, D, ipk ovorimo o esu količik. /. Postoji okoli U tčke, koj je sdrž u okolim U ' i U '' tkv d je, :., M tj z sve Ů D, p je ukij oriče u okolii Ů tčke. N osovu teoreme 3.3.3. i immo, b b b b dje su i beskočo mle kd. Iz prethodo je ' : M M z sve Ů D, p je ukij oriče Ů D. Primjeom teoreme 3.3.3. iii zključujemo d je. b Q.E.D. Npome: Ako je = i =, od o ričoj vrijedosti ukije u tčki e možemo osovu prethodih teorem išt određeo kzti. Svojstv i b mou se proširiti lieru kombiiju i i i k, svojstvo proizvod i i i, speijlo, stepe N. Teorem 3.3.7. O ekim svojstvim beskočih ričih vrijedosti.. Ako je ili, R, od je.. Ako je R, od je.
3. Ako je i ko je u ekoj okolii Ů D dje je DR dome ukije, od je, R. 4. Ako je R, ukij oriče odozdo u ekoj okolii Ů* D, dje je D presjek dome D i D kojem je tčk omilj, i, speijlo ko je br, od je. 5. Ako je AR i, od je s A z A i. Dokz: 4. Iz uslov dijel 4. ove teoreme slijedi d postoji broj pr, tkv d je p < z svki Ů* D, i d z svki dovoljo veliki broj > postoji okoli U ' tčke tkv d je > p z svki Ů ' D. Otud slijedi d postoji okoli U, sdrž u okolim U * i U ', tkv d je + > z svki Ů D, p je. Polzeći od deiiije es ukije, iz ezisteije zčeo es lko se dokžu i ostli dijelovi tj.. 3. i 5. ove teoreme. Q.E.D. I kod ukij deiirju se es ierior i es superior, sličo ko kod izov. Limes ierior odoso es superior ukije : DK D, K R kd, u ozi i ili odoso sup ili, je jmj odoso jveć rič vrijedost iz po svim izovim D koji teže k. Z rzliku od es, es ierior i es superior uvijek postoje u R. Lko se vidi d ukij : DK D, K R im riču vrijedost A kd kko je i sup A, A R, R, dje je tčk omilj od D. Npr., i si sup si, p si e postoji. 3.4. Osove elemetre ukije rele promjeljive Osove elemetre ukije rele promjeljive su kostte i idetičk ukij i ekspoeijle i loritmske ukije, stepee ukije, trioometrijske i iverze trioometrijske ukije. U redom polvlju ćemo vidjeti d se sve tzv. elemetre ukije mou izrziti smo pomoću ekspoeijle i koritmske ukije, koje su, prem tome, osove ukije u mtemtii. To prktičo zči d, ko se ove dvije ukije dovoljo riorozo stroo deiirju u relom i u kompleksom domeu, time je riješeo pitje stroe deiiije svih ostlih elemetrih ukij. Zto ćemo ovdje detljo opisti smo stroo uvođeje ekspoeijle ukije i ustoviti ezisteiju jeejedozče iverze ukije u relom domeu koj se ziv loritmskom ukijom. Iče, osove elemetre ukije mou se deiirti ili eposredo pomoću osovih rčuskih operij ili polzeći od eometrijske iterpretije. Međutim, ulvom oe imju određeu očiledost, što i oprvdv jihov ziv. U skldu s vedeom koveijom u 3.., pod domeom osove elemetre i, uopšte, elemetre, ko i proizvolje rele ukije jede rele promjeljive dte litičkim izrzom ukije podrzumijev mksiml u smislu ikluzije podskup skup R koji dopušt izrz kojim je t ukij zd ko ije dručije rečeo.
3.4.. Pojmovi stepe, korije i loritm. Ekspoeijle i loritmske ukije U prethodim odjeljim operirli smo s ukijm ko što su pr. ekspoeijl ukij, d ih zprvo ismo deiirli u svim slučjevim koji imju smisl u relom domeu. Izrzi oblik, dje je prirod broj, mou se deiisti svođejem operiju možej. Nime, stepe s prirodim izložioem i bzom iz R deiir se ko poovljeo možeje:..., N, R. 3.4. put Z = i z svki R\{}, stepe deiirmo ormulom =, 3.4. z etive ijele izložioe i z svki R\{}, deiirmo. 3.4.3 Ovim je deiir pojm stepe s ije izložioem. Izrzi oblik, dje su m i prirodi brojevi, mou se tkođe svesti osove operije stepeovj i korjeovj. Ali, izrzi oblik, dje je iriol broj, e mou se utomtski svesti osove operije, već se morju deiirti. Jed prirod či d se to deiirje urdi je sljedeći: Ako je r k iz riolih brojev koji koverir k relom broju R, z svki R +, deiirmo rk :. 3.4.3 k D bi ovo bilo dobro vljo deiiro, treb dokzti d es u 3.4.3 postoji i d e zvisi od izbor iz r k riolih brojev koji koverir k. To se može postići polzeći od osobi ukije r r deiire skupu Q riolih brojev. Drui či, z koji se pokzuje d je ekvivlet vedeom, d se deir stepe s relim e užo riolim izložioem R i bzom osovom R +, odoso d se deiir ekspoeijl ukij R, <, jeste d se stvi r r : sup i, 3.4.4 Qr Qr pri čemu treb pokzti d supremum i iimum u 3.4.4 postoje i d su jedki. Loritmsk ukij lo R +, < se deiir ko ukij iverz ekspoeijloj ukiji R, <, ztim se pomoću ovih ukij mou deiirti i sve ostle elemetre ukije ko što je već rečeo. No, primijetimo d i opis deiiij ije stro, jer se bzir ituitivom zčeju operij stepeovj i korjeovj. U potpuo stroom zsivju elemetrih ukij, polzi se od ksiom relih brojev ili od eko kostruktivo či uvođej relih brojev, ztim se dokzuje postojje stepe i riolih korije. U tom smislu djemo sljedeći postupk: Pomoću priip mtemtičke idukije, z svki N, deiirmo či opis u odjeljku o relim brojevim zbir sumu i proizvod relih brojev i i m i i,,, ko i pojm stepe poteije s prirodim ekspoetom izložioem svki R. Koristeći se ije brojevim, proširujemo pojm stepe ovko: R\{} =, = z svki N. z
Aksiom eprekidosti omoućv m d uvedemo korjeovje ili što je isto, stepeovje s riolim izložioem. U tom smislu immo sljedeću teoremu. Teorem 3.4.. Z svki dti pozitiv rel broj i z svki prirod broj postoji i jedozčo je određe pozitiv rel broj, tkv d je =, ili simbolički: N, R +! R + =. Dokz: Ozčimo s A skup { z[, + z }. Ov jskup A je očiledo eprz jer sdži pr. elemet i oriče odozo pr. brojem ko je i brojem ko je. Otud prem teoremu o supremumu postoji sup A u R koje ćemo ozčiti s, tj. : = sup A. Očito vrijedi d je >. Dokžimo d je tržei broj, tj. d je =. Pretpostvimo suproto, tj. pretpostvimo d je. Dokžimo d je < emouće. Ako bi bilo <, od bi vrijedilo >. Ozčimo rzliku s. Z svki h, ], prem Newtoovoj biomoj ormuli,vži: k k k k k h. h h h h h. k k k k k k N osovu posljedie Arhimedovo svojstv uređeo polj R, prem kojoj z sve, b R z koje je < b, postoji riol broj, tkv d je < < b, postoji h, ] tkv d je h < / [+ ]. Otud je + h + =, to zči d postoji elemet + h u skupu A koji je veći od, š to je u suprotosti s = sup A. Prem tome emouće je d bude <. Sličo se dokzuje d je > emouće. Zto je =, čime je zvrše dokz ezisteije tržeo elemet. Jedozč određeost elemet R + s osobiom = js je, jer ko bi postojl dv međusobo rzličit elemet, R +, tkv d je = i = od bi z, pr., <, bilo = < =, što je emouće. Time je dokz teoreme 3.4.. zvrše. Deiiij 3.4.. Broj R + z koji je = N, R +, čij je ezisteij i jedozčost osiur prethodom teoremom 3.4.., ziv se ti korije broj i ozčv s : ili :. Prem tome, pojm stepe s riolim izloţioem r, rq, može se deiirti z svki > s: m r m m m z r, m, N ; r r = z r = ; m m r, m, N. m z Z ovouvedeu operiju korjeovj, odoso stepeovj s riolim izloţioem vrijede pozt prvil z sve, br + ; m, N; r, r, r Q : m m i b b, ; r r r r r r r r r r r ii,, b b.. Nek je R, tkv d je >. Td se lko vidi d, osim osobi i i ii, vrijede i ove osobie: r iii r, r Q r < r r ; iv ko je r Q, od je r r. Qrr Nš sljedeći kork je d pojm stepe s riolm izložioem r >, rq proširimo pojm stepe s proizvoljim relim izložioem >, R, tj. d deiirmo št ćemo podrzumijevti pod ko je rel broj p, dkle, i ko je riol broj. No, prije to rzmotrimo ovj primjer: Veći korisik mtemtike i e rzmišlj o tome kko bi se deiiro izrz time i izrčul jeov vrijedost, 3 pr.,. Ako eko im potrebu d izrču vrijedost ovo izrz, izrčuće je pomoću eko tehičko poml diitro / klkultor, elektrosko rčur. Tko može dobiti d je
3 3 3,399784, tj. dobiće smo približu vrijedost, s određeim brojem deiml. Pomoću stdrde proksimij 3, 73 3,73 73 možemo dobiti, čime smo izrz izrčut približ vrijedost izrz 3 sveli stepe s riolim izložioem. Ovko 3 izosi 3,37. Ako 3 proksimirmo s više deimlih mjest, 3,73 73 pr., 3,73, dobijemo 3,388. Još tčije, dobijemo d je 3,735 735 3,39956, itd. Ovj loritm m dje ideju kko se u opštem slučju može deiirti stepe, z proizvolj R >, što smo već i iskzli kroz ormule 3.4.3 i 3.4.4. Sd ćemo dti postupk stroo uvođej pojm stepe >, ko je proizvolj rel broj. U tom smislu stvimo zpočetu proeduru z slučj kd je >. Nek je, dkle,, + i R. Skupove { r rq, r < } i { r rq, r > } ozčimo s A i B, respektivo. Iz svojstv i slijedi d je skup A oriče odozo proizvoljim elemetom skup B, skup B oriče odozdo proizvoljim elemetom skup A. Prem teoremm o supremumu i iimumu postoje koči sup A i i B. Očiledo je sup A i B. Dokžimo d je zprvo sup A = i B. Zist, z r < < r r, r Q je r sup A i B r, odkle je r r r r r r r i B sup A sup A No, osovu svojstv ii, z svki > postoji >, tkv d vrijedi r r, r Q r r r. sup A Otud slijedi d je i B sup A <, odkle, zbo proizvoljosti broj >, slijedi d je sup A = i B. Prem tome, pojm stepe >, R, smim tim i pojm ekspoeijle ukije R, s osovom >, može se deiirti sljedeći či. Deiiij 3.4.. Stepe s relim izloţioem ekspoetom i osovom bzom, >, je izrz deir s = sup A = i B. Fukij zove se ekspoeijl ukij s osovom bzom. Lko se provjerv d je ovko uvede ukij prošireje ukije Q r r, te d o zdržv osov svojstv ukije Q r r, im i ek ov. Sljedećim stvom su dt osov svojstv ekspoeijlih ukij s osovom >. Stv 3.4.. Nek je >. Td: r R Q r ; b, R ;, R, ; d R ;. R e ukij preslikv skup R skup, +, tj. r svke ekspoeijle ukije > je skup R +.. Z slučj R, < <, opis proedur u slučju. z > se može pooviti, uz očilede izmjee. N tj či se dolzi do pojm stepe < < s relim izložioem, odoso do ukije koj im osobie ko i ukij >, osim što se osobi b u stvu 3.4.. zmjejuje s osobiom b', R, tj. ekspoeijl ukij je rstuć ko je >, opdjuć z < <. 3.º Ako je = deiirmo = z svki R +, z = još stvljmo = z svki R.
4 Primjer 3.4.. Grii ekspoeijlih ukij: : =, e = e, = su prikzi sl. 3.4.. i svi su isto oblik, ko i rik proizvolje ukije iz milije { > } ekspoeijlih ukij : =, s tim što ekspoeijl ukij brže rste rik je strmiji ko joj je bz već. Grii ekspoeijlih ukij:, e, su prikzi sl. 3.4.. i svi su isto oblik e ko i rik proizvolje ukije iz milije { : < < } ekspoeijlih ukij : =, s tim što ekspoeijl ukij osove, sporije opd što joj je bz već. = = e = e = > = < < Sl. 3.4.. Sl. 3.4.. U mtemtii i jeim primjem posebo je vž ekspoeijl ukij s osovom e Eulerov * broj. Z ekspoeijlu ukiju s osovom e koristi se ozk ep, tko d je ep : = e z svki R. Tkođe se z ukiju koristi simbol ep. Fukij : RR +, dt s = z R, >,, prem svojstvim b i e u stvu 3.4.., jeste bijekiij, p im jedozču iverzu ukiju : R + R, tj. im smisl sljedeć deiiij. Deiiij 3.4.3. Iverz ukij :, +R ukije : R, + dte s = <, tj. ukije ep : RR + ziv se loritmsk ukij s osovom bzom i ozčv simbolom lo : R + R. Pri tome, lo, >, pišemo ko lo, i zovemo loritm broj po bzi ili u odosu bzu. Dkle, = lo =. Loritmsku ukiju ili loritm s osovom = e zivmo prirodi loritm i ozčvmo l : R + R l = lorithmus turlis, tj. l : = lo e. No, u ovije vrijeme preovlđuje ozk lo koj je rije korište z loritme z osovu umjesto ozke l. Tkođe se poekd koristi i ozk l z loritme s osovom pr., u ruskoj literturi, posebo strijoj. * Leohrd Euler 77 783 rođe je u Švjrskoj, li se rzdoblje jeov jplodije rd povezuje s Berliom u vrijeme Frederik Veliko i St Petersburom u vrijeme Ktrie Velike. Uz Joseph Louis Lre 736 83, rusko mtemtičr koji je većiu svojih rdov urdio u Berliu, dje je slijedio Euler u Akdemiji, smtr se jvećim i jplodijim mtemtičrom 8. stoljeć. Objvio je broje rdove iz teorijske i primijejee mtemtike. Njemu se pripisuju ds stdrde ozke :, e, i, te ozke z sumiju i vrijedost ukije.
5 Pozvjući rik ekspoeijle ukije, rik ukije lo možemo dobiti ko rik iveze ukije tko d prvimo oso simetriču sliku r ekspoeijle ukije ep s obzirom simetrlu I. i III. kvdrt, tj. prv dto s =. Iz sl. 3.4.3. se vidi d je loritmsk ukij z > stroo rstuć, z < < stroo opdjuć ukij. Jedi ul loritmske ukije lo je = jer je = z svki R\{}. Po deiiiji loritmske ukije, ko iverze od ekspoeijle ukije s osovom <, immo: R lo =,R + lo. Neposredo iz deiiije 3.4.3. i stv 3.4.. slijede osove osobie loritmske ukije. Stv 3.4.. Nek je <, ;,, >. Td: lo =, lo = ; lo = lo + lo ; 3 < lo < lo, ko je >, < lo > lo, ko je < < ; 4 skup svih vrijedosti ukije lo : R + R je skup R svih relih brojev; 5 lo lo. Dokz: Svojstv 4 slijede iz odovrjućih osobi ekspoeijle ukije i deiiije loritmske ukije, odoso loritm. Tko je lo = =, što je tčo osovu deiiije stepe. Isto tko je lo = =, što vrijedi z svki < čk z svki R\{}. Ostje d se dokže svojstvo 5. No, osovu je ' lo lo = lo. Zto su ejedkosti < lo lo < ekvivlete s lo lo lo, odoso, osovu svojstv 3, s z > i z < <. U svkom slučju dobijemo d je z > ili z < <, odoso < lo lo <. Time smo dokzli d je lo lo. Q.E.D. R R Rzlikujući slučjeve kd je = N; = ; = ; =, N; = m Q; Q r R, dokzuje se d vrijedi i vžo svojstvo: 6 br +, R lo b = lo b, odkle odmh slijedi d z sve, R i z svki R + vrijedi jedkost: =. Primijetimo d se relije i ' mou poopštiti tko d vži: lo = lo + lo, i lo lo lo z sve R + ;, R tko d je >. Tkođe pomeimo d vrijedi relij lo lo, z sve N, R\{} i R +. Z < ukij iz R u R zd = lo > = lo < < Sl. 3.4.3. Grik loritmske ukije z dvije vrijedosti osove. ormulom = deiir je smo z oe R z kojeje = ili = q p, dje su p i q reltivo prosti ijeli brojevi i q epr. Dome tkve ukije je siromš, p jčešće tkve ukije isu od određeo iteres. Aloo vži i z jihove iverze ukije : = lo. Zbo ovo i rečeo u 3, ulvom se oričvmo, kod ukij zdih relijom : =, slučjeve <.