ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO INŽENJERSKA FIZIKA I -- pednj -- MEHANIKA MATERIJALNE ČESTICE.1 Kinemik meijlne čeice Mehnik je dio fizike koj pouč zkone kenj/gibnj ijel, j. emenku pomjenu položj ijel u poou. Mehnik e dijeli n kinemiku, dinmiku i iku ko pecijlni lučj dinmike. Kinemik (od gčke iječi kinein-kei) pouč kenj/gibnje, bez obzi n uzoke kenj i n oj ijel koj e keću, j. ne uzimjući u obzi njihou mu i ile koje n njih djeluju. Dinmik (dynmi-il) pouč uzoke kenj/gibnj i ujecj ile i me n gibnje; dinmik z zliku od kinemike, dje fiziklnu ušinu kenj. Sik pouč ujee noeže ijel. Tijelo e keće/ gib ko mijenj položj pem nekom dugom ijelu. D bi mo u pomjenu položj izmjeili, z okolinu ežemo odeđeni efeenni iem/u e kžemo: ijelo e keće ko mijenj položj pem om efeennom uu. Sko kenje/gibnje je elino kenje/gibnje pem odeđenom efeennom iemu. Ponekd e pi poučnju kenj mogu znemii dimenzije ijel i ko čio ijelo pedočii jednom čkom me m. To je z. meijln čk koju čeo nzimo i čeicom, odnono inim ijelom. Nno nije uijek moguće činii ku pokimciju; np. pi ociji oko lie oi momo uzei u obzi dimenzije ijel m kko one bile mle. U kim poblemim ijelo zmišljmo ko kup meijlnih očk čiji međuobni zmci oju uijek lni, j. uodimo pokimciju kuog ijel. Kuo ijelo e dkle ne defomi kd n njeg djeluju ile Položj meijlne očke njčešće odeđujemo pomoću njenih koodin u pokunom /puglom koodinnom uu./iemu. Tko n c..1 položj meijlne čke odeđen je i boj j. udljenoim x, y i z od koodinnih nin. Umjeo x, y i z položj meijlne očke možemo odedii i diju ekoom koji pj ihodiše koodinnog iem meijlnom čkom. Veko zoe e eko položj meijlne čke. 1
C..1 Ako e meijln čk keće, njene e koodine mijenjju u emenu, ko d on u poou opiuje neku kiulju, čij je jedndžb: ( ) x( ) i y( ) j z( ) k (.1) Punj (jekoij) je dkle kup ih čk koz koje polzi meijln čk koj e keće, o je geomeijko mjeo kje eko () Dio punje koji meijln čk peđe z odeđeno ijeme zoe e pu.pu je jednk dijelu luk punje AB. Veko Δ 1, koji pj čku A i B, zoe e eko pomk meijlne čke. Pomk je dkle pomjen eko položj. Pomk Δ je eko, pu Δ je kl. Očigledno Δ. Jedino ko e čk keće po pcu lno u iom mjeu, peđeni pu jednk je iznou eko pomk.. Bzin meijlne čke Količnik pomjene eko položj Δ i inel emen u kojem je pomjen nl, zoe e eko ednje bzine: Δ Veko je, dkle, eko pleln pomjenjem Δ.
D bi mo odedili enunu bzinu u momenu kd e meijln očk nlzi u položju A, puimo d emenki inel eži nuli, šo e memički može izzii u obliku: Δ d Δ lim Tenun bzin jednk je pom izodu eko položj pokene čke po emenu. Pem ome, eko enune bzine im pc ngene u doj čki punje upeen u mjeu kenj očke. U Deceoom pouglom iemu bzin ko eko im i komponene duž o: x, y i z. d dx dy dz i j k S duge ne, eko bzine može e ko i ki eko ii n komponene duž koodinnih o i počii u obliku: i x y j k Upoeđinjem dobimo: z dx dy x x; y ; y z dz z.3 Ubznje meijlne čke Pi poizoljnom kenju čke po punji njen eko bzine e mijenj. Pomjmo kenje čkea po kiolinijkoj punji c... Veko pomjene bzine Δ koji e deio u inelu emen jednk je zlici eko bzin u pomnim enucim i j. Δ 1 3
C.. Odno eko pomjene bzine Δ i emenkog inel u kome je pomjen nl zoe e eko ednjeg ubznj čke A: Δ S obziom d je kln eličin i eć od nule, eko im ii pc i mje ko i eko Δ. Gničn ijedno oog izz zoe e eko enunog ubznj čke A u enuku emen, j. Δ d lim Pošo je eko bzine.. d U pokunom koodinnom iemu ubznje o x, y i z. S duge ne, eko i j k x y z d,ljnjem oe ijednoi u jedndžbu dobimo: d x d y d z k i j ko ki eko može e pedočii ko Upoeđinjem koeficijen iped iih jediničnih eko dobimo: ko eko im i komponene duž 4
d x d y d z...... x, y, z x y z Izno eko ubznj je: x y z Ubznje je eko koji im ii pc ko enun pomjen bzine. Pošo e pc bzine mijenj u mjeu ijnj punje, ubznje je uijek umjeeno u pcu udubljenoi kiulje i u općem lučju pc ubznj nije ni ngen nii noml n kiulju, oc..3. C..3 Ubznje možemo ii n dije međuobno nomlne komponene: n ngencijlno ubznje u pcu ngene i nomlno u pcu ubznj n u pcu nomle. Td je n C..4 Veko ukupnog ubznj je po definiciji Δ Δ n lim lim lim Δ 5
Uzimjući u obzi d z Δ, Δθ Δθ, R R, dobimo Δ n Δθ i Δ Δθ.Td u komponene ubznj: R Δ lim n Δ lim n Ukupno ubznje R d τ R d Δ lim n n R.4 Ve kinemičkih kenj Pojmoi eko položj, bzine i ubznj i njihoi odnoi omogućuju popuno odeđinje kenj meijlne čke bez poznnj uzok og kenj. Kenj meijlne čke dijele e: Pem obliku punje n polinijk i kiolinijk kenj Pem bzini kenj n jednoliko i pomjenljio kenje Pem ubznju n jednko ubzn (odnono upoen) i nejednko ubzn (upoen ) kenj..4.1 Jednoliko kenje/gibnje duž pc Njjednonije kenje je jednoliko kenje/gibnje po pcu. Z poznnje oog gibn/jkenj poebno je definii položj og pc u poou u odnou n koodinni iem i odedii zkon pu. Položj pokene očke A u kom enuku biće odeđen jedndžbom: () τ Oo je ekok jedndžb polinijkog kenj. Bzin oog gibnj odeđuje e difeencinjem oe jedndžbe po emenu j. d d τ τ τ. Pem gonjoj jedndžbi eko bzine je ln eko po pcu i mjeu, njego izno zii od pomjene pu u oku emen j. d Ineginjem dobimo peđeni pu u oku emen C 6
C..5 gdje je C konn inegcije i odeđuje e iz počenih uje. N pimje, z nek je o d je i C o p će jedndžb imi oblik N c..6 di u - i - dijgmi z jednoliko polinijko kenje. C..6..4. Polinijko jednko ubzno kenje Mnog ubzn ili upoen kenj/gibnj (ubznje ili kočenje uomobil, lobodni pd id.) možemo dobo pokimii oim kenjem. Kod oog kenj/gibnj ekoi pomjenj, bzine i ngencijlnog ubznj u iog mje i pc. Pošo je d con. Ineginjem gonje jedndžbe dobimo C 1 Nek je z, o d je C 1 o p jedndžb dobi oblik koj pedlj zkon pomjene bzine u oku kenj čke. Pošo je bzin pi izod pu po emenu gonju jedndžbu možemo npii u obliku: d ili d odkle ineginjem dobimo: 7
1 C Nek je z o, o d je C o p pehodnu jedndžbu možemo npii u obliku: 1 o N c..7 gfički u pedočene funkcije pu, bzine i ubznj polinijkog jednko ubznog kenj C.7.4.3 Kužno kenje/gibnje Kd ubznje meijlne čke nem ii pc ko bzin, eć bzinom z ugo zliči od nule, meijln čk uijek će e kei po zkiljenoj liniji. Pimje kog kenj je kužno kenje/ gibnje. Kenje meijlne čke po kužnici je kenje u ni. Nek kužnic leži u (x, y) nini Ceijeog koodinnog u (c. 3.8). Položj meijlne očke možemo opii Ceijeim koodinm x i y ili polnim koodinm i. Kko je punj kužnic, izno diju eko je konnn, e e pi kenju mijenj mo poln koodin. 8
C..8 Vez između Ceijeih i polnih koodin meijlne čke je: x co y in Ku/ugo e obično izž u dijnim i jednk je količniku luk i pulupečnik 18 ( d ) 1 d 57,3 π Iz oe elcije lijedi izz z peđeni pu: Deiinjem pu po emenu, dobi e z. obodn (linen) bzin : d d gdje je d ugon/kun bzin. Jedinic z ugonu/ kunu bzinu je d -1 ili -1, budući d dopunku jedinicu d čeo ne pišemo. Kun/ugon bzin je eko; čiji je mje n pcu oe ocije i odeđen je pilom dene uke. Ako pi dene uke lijede meijlnu očku, plc pokzuje mje. 9
C..9 Pc ugone/kune bzine uijek je okomi n ninu kuženj. Obodn/peifen bzin uijek je okomi i n eko i n eko (c..9). Ku između i je π, j inα 1. Zbog og može e ekoki npii ko: ili Jednoliko kužno kenje/gibnje je kuženje konnnom ugnom bzinom: d kon. Ineginjem dobimo gdje je ugo u momenu. Z opiinje jednolikog kužnog kenj koino je definii fekenciju i ijeme poebno z jedn puni kug-peiod. Očio je z jednoliko kužno kenje: πf, T 1 f Jednoliko kužno kenje je zpo ubzno kenje, je e pi njemu lno mijenj mje obodne/peifene bzine, c..1, iko joj izno oje konnn. Izno pomjene bzine Δ jednk je Δ Δ. Podijelimo li obje ne oe elcije uz gnični pijelz, dobimo izno z ubznje koj mijenj mje bzine : 1
Δ lim lim Δ O kcelecij im mje pem edišu kužnice i zbog og, zoemo je dijln (nomln) ili cenipeln kcelecij. C..1 Ako oznčimo jedinični diju eko umjeen pem edišu kužnice, izz z dijlnu kceleciju možemo pii ekoki:.4.4 Nejednoliko kužno gibnje Pi nejednolikom kuženju izno obodne/peifene bzine nije iše konnn eć e mijenj emenom. Zbog og je ukupn kcelecij ljen od dijlne kcelecije kcelecije. Rdijln komponene kcelecije je u mjeu. Tngencijln komponen kcelecije je u mjeu ngene. i ngencijlne Tngencijln kcelecij nje zbog pomjene izno peifene/obodne bzine: ( ) d d d α gdje je 11
d d α ugon/ kun kcelecij (ubznje). Jedinic ugone/kune kcelecije je d -. Ako ugonu kceleciju definimo ko eko čiji je mje okomi n n kuženj, d možemo npii u ekokom obliku: α Pi jednolikom kenju po kužnici kcelecij nul. kon. odnonoα e je i ngencijln Pi nejednolikom kužnom kenju pooji i dijln i ngencijln kcelecij. Rdijln im mje, dkle pem edišu kužnice, dok je dug u mjeu ngene. One u okomie jedn n dugu p ukupnu kceleciju dobimo ko Poebn lučj nejednolikog kužnog kenj je kenje konnom ugonom kcelecijom ( α kon. ). Zkone kog kenj možemo dobii uzimjući u obzi d je α kon. i d je u enuku, ku,. Inegijući izz d dobimo: d odnono α α α Ineginjem izz ( α ) dobimo izz z ugo/ ku: d ( α ) α d odnono 1 α Oi izzi nlogni u izzim z polinijko kenje. Tblic pokzuje fomlnu nlogiju među fomulm polinijkog i kužnog kenj. Ako u fomule polinijkog kenj umjeo, i uimo,, α dobimo fomule kužnog kenj. 1
Polinijko kenje Kužno kenje 1 d d 1 α α α d d 13