Skripta iz matematike

Skripta iz matematike Kristina Perdić Strossmayerova 1a, Osijek www.anura.hr e-mail: matematika@anura.hr, anura@anura.hr mob. 098-184-3163, 091-733-1635, 095-528-7269

<Sadržaj Sadržaj Sadržaj... 2 Brojevi... 4 Realni brojevi... 4 Kompleksni brojevi... 4 Intervali... 5 Okolina... 6 Supremum i infimum... 6 Apsolutna vrijednost realnog broja... 6 Binomna formula... 7 Matematička indukcija... 9 Funkcije... 10 Pojam funkcije... 10 Kompozicija funkcija... 10 Inverzna funkcija (injekcija, surjekcija i bijekcija)... 10 Svojstva funkcije... 11 Grafičko prikazivanje funkcije... 12 Elementarne funkcije... 12 Opća potencija... 13 Polinomi... 14 Eksponencijalna funkcija... 15 Logaritamska funkcija... 17 Trigonometrijske funkcije... 18 Ciklometrijske funkcije... 21 Nizovi realnih brojeva... 24 Pojam niza... 24 Aritmetički niz... 24 Geometrijski niz... 24 Harmonijski niz... 25 Limes niza realnih brojeva... 25 Redovi realnih brojeva... 27 Pojam reda... 27 Kriteriji konvergencije... 27 Poredbeni kriterij... 27 D'Alembertov kriterij... 28 Cauchyjev kriterij... 28 Limes funkcije... 29 Pravila za limese... 29 Neki važni limesi... 30 Asimptote funkcije... 30 Neprekidnost funkcije... 30 Derivacije... 31 Deriviranje realnih funkcija... 32 Derivacije elementarnih funkcija... 33 Derivacije višeg reda... 33 Osnovni teoremi diferencijalnog računa... 33 Primjena derivacija... 34 2

<Sadržaj Monotonost i derivacija... 34 Lokalni ekstremi... 34 Konveksne funkcije i derivacija... 34 L'Hospitalovo pravilo... 35 Ispitivanje tijeka funkcije... 35 Integrali... 36 Neodređeni integrali... 36 Tablica neodređenih integrala... 36 Svojstva integrala... 37 Metode integracije... 37 Financijska matematika... 38 Postotni račun... 38 Kamate... 39 Jednostavni kamatni račun... 39 Složeni kamatni račun... 40 Konformna i relativna kamatna stopa... 41 Potrošački kredit... 42 Otplata zajma... 44 Otplata zajma jednakim periodičnim anuitetima... 44 Otplata zajma proizvoljnim anuitetima... 45 Plan otplate zajma... 46 Konačna i sadašnja vrijednost jednakih uplata... 46 Renta... 47 Prenumerando renta... 47 Postnumerando renta... 48 Vječna renta... 48 Matrice... 50 Vrste matrica... 50 Operacije s matricama... 51 Gaussova metoda za invertiranje matrice... 51 Rang matrice... 52 Sustav linearnih algebarskih jednadžbi... 52 Determinanta... 52 Još neka pravila i formule za računanje... 54 Neki primjeri pitanja s usmenog dijela ispita... 56 Literatura... 57 3

Brojevi Brojevi Sve brojeve možemo podijeliti na: 1. Realne brojeve 2. Kompleksne brojeve Realni brojevi Skup realnih brojeva označavamo slovom R. Skup R sastoji se od racionalnih (skup Q) i iracionalnih (skup I) brojeva (R=QUI). U skup racionalnih brojeva ubrajamo: a. Skup prirodnih brojeva N (1,2,3,...) b. Skup cijelih brojeva Z (...-3,-2,-1,0,1,2,3,...) c. Decimalne razlomke s konačnim brojem znamenki (npr. 163/100=1.63) i beskonačne periodične razlomke (npr. 7/22=0.3181818181818...) gdje su brojnik i nazivnik iz skupa cijelih brojeva Z i nazivnik je različit od nule Svi ostali brojevi iz skupa R, koji nisu racionalni, nazivaju se iracionalni. Skup iracionalnih brojeva I sadrži skup neperiodičnih decimalnih razlomaka s beskonačno mnogo znamenki. To su npr. : = 1.414213562... log2 = 0,30103... π = 3,14159... e = 2,71828... Kompleksni brojevi Kompleksne brojeve dobijemo ako pokušamo izvaditi drugi korijen iz negativnog broja. Bilo koji broj kvadriran daje pozitivno rješenje te se stoga uvodi i i naziva se imaginarna jedinica ( ). C - skup kompleksnih brojeva oznaka za kompleksni broj - realni dio, označavamo ga s Re z - imaginarni dio, označavamo ga s Im z - kompleksni broj (opći oblik kompleksnog broja) - imaginarna jedinica ( ili ) Jednakost kompleksnih brojeva: Dva kompleksna broja i jednaki su samo u slučaju kada vrijedi i. Zbrajanje kompleksnih brojeva: 4

Brojevi Množenje kompleksnih brojeva: dva kompleksna broja množimo kao dva binoma ( svaki sa svakim ): Primjer kompleksnog broja: 1,2 uvodimo imaginarnu jedinicu 1,2 ovo je kompleksni (imaginarni) broj Grafički kompleksne brojeve prikazujemo u Gaussovoj ili kompleksnoj ravnini: y b a x -b Slika 1. Gaussova ili kompleksna ravnina Svakom kompleksnom broju odgovara jedinstvena točka (a,b). Ravninu u kojoj se svakom kompleksnom broju pridružuje točka nazivamo Gaussova ili kompleksna ravnina. Brojevi z i simetrično su smješteni u odnosu na x-os. broj broja Intervali za kompleksan broj (čitamo: z potez) kažemo da je kompleksno-konjiugiran - modul, norma ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z. Intervali su skupovi realnih brojeva koji imaju svojstvo da njihovi elementi zadovoljavaju određene nejednakosti. Otvoreni interval: ili To znači da nam brojevi a i b ne pripadaju intertvalu. Otvoreni interval koristimo i kada imamo interval neograničen s negativne strane (npr. ) ili neograničen s pozitivne strane (npr. ). Zatvoreni interval ili segment: To znači da brojevi a i b pripadaju intervalu. Ako u ovom slučaju imamo neograničen skup s jedne strane pišemo ga ili. Poluotvoreni interval je interval s jedne strane otvoren, a s druge zatvoren, npr. ako imamo nejednakost tada interal zapisujemo ili ako je tada imamo interval. Beskonačni intervali su intervali:,, i. 5

Brojevi Ukoliko su nam rješenja nekog zadatka dva intervala tada je rješenje unija ta dva intervala, a to zapisujemo pomoću znaka za uniju (npr. ). Okolina Otvorena okolina realnog broja - svaki otvoreni interval realnih brojeva koji sadrži broj Simetrična okolina realnog broja - okolina kojoj je sredina Slika 2. Prikaz simetrične okoline realnog broja Sve simetrične okoline broja su oblika gdje je ( - čitamo epsilon). Tu okolinu nazivamo -okolina broja. Duljina -okoline je. Realan broj pripada -okolini onda i samo onda ako je. Supremum i infimum Supremum je najmanja majoranta skupa S, tj. najmanja gornja granica skupa S. Označavamo ga s. Ako je nazivamo ga maksimalnim elementom skupa S i označavamo s. Neka postoji skup. Majoranta ili gornja međa (granica) skupa S je svaki broj M sa svojstvom ( - čitamo svaki). U tom slučaju skup S je odozgo omeđen ili ograničen, u suprotnom on je odozgo neomeđen. Infimum je najveća minoranta skupa S, tj. najveća donja granica skupa S. Označavamo ga s. Ako je nazivamo ga minimalnim elementom skupa S i označavamo s. Neka postoji skup svojstvom je odozdo neomeđen.. Minoranta ili donja međa (granica) skupa S je svaki broj M sa. U tom slučaju skup S je odozdo omeđen ili ograničen, u suprotnom on Skup je omeđen, ako je i odozgo i odozdo omeđen. U protivnom on je neomeđen. Svaki odozgo omeđen skup ima supremum, a svaki odozdo omeđen skup ima infimum. Apsolutna vrijednost realnog broja - apsolutna vrijednost realnog broja Apsolutnu vrijednost realnog broja definiramo s: 6

Brojevi 1. 2. 3. 4. Svojstva apsolutne vrijednosti: 5. - nejednakost trokuta 6. 7. 8. y x Slika 3. Graf funkcije Binomna formula Izraz gdje su a i b kompleksni brojevi i n prirodan broj računamo: Postavlja se pitanje kako naći opću formulu za. Svaki izraz započinje članom i završava članom. Ukupan broj članova je n+1, a zbroj eksponenata svakog člana je n. Faktorijeli (čitamo en faktorijela) umnožak prirodnih brojeva Za cijele brojeve n i k ( ) definiramo binomni koeficijent (čitamo n povrh k): 7

Brojevi Svojstva binomih koeficijenata: 1., k=1,2,...,n 2., k=1,2,...,n (simetrija binomnih koeficijenata) Ako uvedemo binomne koeficijente tada navedene jednakosti za binome na n-tu potenciju možemo zapisati i ovako: itd... Binomni koeficijenti mogu se odrediti i pomoću tzv. Pascalovog trokuta: BINOM BINOMNI KOEFICIJENTI 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Prema tome možemo poopćiti izraz za navesti binomnu formulu:. 8

Brojevi Matematička indukcija Matematička (potpuna) indukcija je metoda matematičkog dokazivanja. Neka (i) (M je podskup skupa N) ima ova dva stvojstva: (ii) (. Tada je. Matematičku indukciju dokazivanja ispravnosti tvrdnje provodimo kroz 3 koraka: 1. Prvi korak ili baza indukcije - dokazujemo da zadana tvrdnja vrijedi za. 2. Drugi korak je pretpostavka indukcije - pretpostavljamo da tvrdnja vrijedi za neki proizvoljni prirodni broj k, pa je. 3. Treći korak je korak indukcije - dokazujemo da tvrdnja vrijedi i za sljedbenika prirodnog broja k, uvrštavamo. Iz svega toga zaključujemo da tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj. 9

Funkcije Funkcije Pojam funkcije Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Funkcija (preslikavanje) - postupak koji svakom elementu domene pridružuje točno jedan element kodomene. To zapisujemo:. Domena - područje definicije funkcije, to su svi brojevi za koje funkcija postoji. Kodomena - skup brojeva koje funkcija može poprimiti, to su ili. ili - funkcija - nezavisna varijabla ili argument - zavisna varijabla(neka funkcija pretvara neki broj x u neki novi broj y) Ako funkcija ima oblik zove se konstanta. Taj pravac paralelan je s ordinatom (osi y). Funkcija, između ostalog (u obliku tablice, grafički, riječima), može biti zadana analitičkim izrazom (eksplicitno i implicitno). Ova funkcija zadana je eksplictno, općeniti oblik eksplicitno zadane funkcije je. Funkcija je zadana implicitno ako je analitički izraz kojim je funkcija zadana prenesen na lijevu stranu tako da je na desnoj strani nula: Kompozicija funkcija Neka su dvije funkcije, takve da je. Tada funkciju definiranu formulom označavamo s i zovemo kompozicija funkcija i. Inverzna funkcija (injekcija, surjekcija i bijekcija) Za funkciju kažemo da je injekcija skupa D u skup K ako različite elemente domene D preslikava u različite elemente kodomene K, tj. ako vrijedi. Linearna funkcija (pravac) je injekcija jer iz proizlazi da je. Nasuprot tome, kvadratna funkcija nije injekcija jer različite elemente domene x i x,, preslikava i isti element kodomene i. Za funkciju kažemo da je surjekcija ako je svaki element kodomene K slika barem jednog elementa iz domene D, tj. ako za svaki postoji barem jedan takav da je. Za funkciju koja je i injekcija i surjekcija kažemo da je bijekcija (obostrano jednoznačno preslikavanje). Neka je bijekcija. Tada postoji jedna i samo jedna bijekcija takva da je: i. Tu jedinstvenu bijekciju g označavamo s i nazivamo inverzna funkcija funkcije ili inverz od. 10

Funkcije Inverzna funkcija je funkcija suprotna od početne funkcije pa je tako. Tako su i inverzne funkcije jer je. Svojstva funkcije Nultočke Neka je funkcija. Kažemo da je nul-točka, ako je. Nultočke funkcije su one vrijednosti argumenta za koje je funkcija jednaka nuli, tj. to su točke u kojima funkcija siječe os apscisa ( -os). Nutočke dobijemo tako da funkciju izjednačimo s nulom, vrijednosti koje dobijemo su nultočke funkcije. Parnost funkcija Parna funkcija - Neparna funkcija - Funkcija može biti niti parna niti neparna! - simetrična je s obzirom na -os - simetrična je s obzirom na ishodište Konveksnost, konkavnost i točke infleksije Funkcija je konveksna (okrenuta prema gore ) na intervalu ako za sve vrijedi Funkcija je konkavna (okrenuta prema dolje ) na intervalu ako za sve vrijedi Funkcija je strogo konveksna na intervalu ako za sve vrijedi Funkcija je strogo konkavna na intervalu ako za sve vrijedi Monotonost funkcije Za funkciju vrijedi, kažemo da monotono raste na skupu D ako za sve tj. da monotono pada na skupu D ako za sve vrijedi Za funkciju vrijedi, kažemo da strogo monotono raste na skupu D ako za sve 11

Funkcije tj. da strogo monotono pada na skupu D ako za sve vrijedi Lokalni ekstremi funkcije Funkcija u točki postiže lokalni minimum ako postoji okolina broja takva da je za svaki. Funkcija u točki postiže lokalni maksimum ako postoji okolina broja takva da je za svaki. Ukoliko vrijedi onda govorimo o strogom lokalnom minimumu, a ako vrijedi govorimo o strogom lokalnom maksimumu. Globalni ekstrem Funkcija u točki postiže globalni minimum na D ako je za svaki. Ako vrijedi tada govorimo o strogom globalnom minimumu. Funkcija u točki postiže globalni maksimum na D ako je za svaki. Ako vrijedi tada govorimo o strogom globalnom maksimumu. Periodičnost Periodična funkcija ponavlja se nakon nekog perioda Za periodičnu funkciju vrijedi: je za svaki gdje je Najpoznatije periodične funkcije su trigonometrijske funkcije. Grafičko prikazivanje funkcije Funkcije grafički prikazujemo u koordinatnom sustavu. Svaka točka određena je brojevima koji određuju njen položaj, a nazivaju se koordinate. Koordinate očitavamo na koordinatnim osima apscisi (x-os) i ordinati (yos). Sjecište koordinatnih osi naziva se ishodište koordinatnog sustava i ima koordinate (0,0). Ako se funkcija u koordinatnom sustavu nalazi iznad x-osi tada je ona pozitivna jer su rješenja funkcije, tj. f(x) veća od nule. Suprotno, ako su rješenja manja od nule, tada se funkcija nalazi ispod x-osi te je ona negativna. Elementarne funkcije Elementarne funkcije su funkcije koje se dobivaju iz osnovnih elementarnih funkcija pomoću konačnog broja aritmetičkih operacija (+, -, *, /) i konačnog broja kompozicija osnovnih elementarnih funkcija. Osnovne elementarne funkcije su: 1. Opća potencija 2. Polinomi 3. Eksponencijalna funkcija 4. Logaritamska funkcija 5. Trigonometrijske funkcije 6. Ciklometrijske funkcije 12

Funkcije Opća potencija Opća potencija je funkcija i. Postoje neki posebni slučajevi: a) ako je eksponent neki prirodan broj tada je funkcija definirana za svaki realan broj x. b) ako je eksponent tada je funkcija definirana samo za ako je n paran broj, tj. za svaki realan broj x ako je n neparan broj. y-os x-os Slika 4. Graf opće potencije u ovisnosti o eksponentu Pravila za potencije 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 13

Funkcije Polinomi Funkciju definiranu sa: nazivamo polinomom n-tog stupnja nad. - koeficijenti polinoma - najstariji ili vodeći koeficijent - slobodni koeficijent Ako je, onda za polinom kažemo da je n-tog stupnja. Ako je onda kažemo da je polinom normiran. Polinom je nulpolinom onda i samo onda ako je za svaki. Polinomi i, su jednaki onda i samo onda ako vrijedi: i za svaki. Linearna funkcija Linearna funkcija je polinom prvog stupnja i ima oblik pravca. Opći oblik: koeficijent smjera (što je veći pravac je strmiji; ako je pozitivan funkcija raste, ako je negativan funkcija pada) odsječak na osi ordinata - odsječak na osi apscisa (nultočka) Kvadratna funkcija Kvadratna funkcija polinom je drugog stupnja, a graf je parabola. Opći oblik: Slika 5. Linearna funkcija ( - funkcija raste) a vodeći koeficijent b linearni koeficijent c slobodni koeficijent, odsječak na osi ordinata 14

Funkcije Odsječke na osi apscisa (nultočke točke u kojima funkcija siječe -os ) računamo pomoću formule: gdje je diskriminanta. O diskriminanti ovisi položaj parabole u koordinatnom sustavu (slika 6.), a o vodećem koeficijentu ovisi da li je parabola konveksna ili konkavna te širina parabole (što je apsolutna vrijednost veća parabola je šira) (slika 6.). Svaka kvadratna funkcija ima jedan ekstrem ako je konveksna tada ima minimum, a ako je konkavna tada ima maksimum. Tu točku nazivamo tjeme parabole, a koordinate računamo: x y Slika 6. Parabola u ovisnosti o i Eksponencijalna funkcija Eksponencijalne funkcije, ukratko rečeno, su one funkcije koje u eksponentu imaju x. Eksponencijalnu funkciju s bazom definiramo:. Domena eksponencijalne funkcije je skup svih realnih brojeva ( ). Eksponencijalna funkcija je uvijek pozitivna, tj. iznad apscise. Baza mora biti pozitivna ( ) i različita od jedan ( ). Kod grafičkog prikazivanja za eksponencijalna funkcija je rastuća, dok je za eksponencijalna funkcija padajuća. Karakterističnost svake eksponencijalne funkcije je da siječe ordinatu u točki 1. Razlog toga je što svaki broj s potencijom nula daje rezultat 1. U slučaju da je 15

Funkcije, što je veći od 1 to je funkcija brže rastuća te je bliža ordinati. Ako je u intervalu tada što je bliži nuli, tj. što je razlomak manji to je funkcija bliža ordinati, strmija je. Graf eksponencijalne funkcije s obziom na a: y-os 1 Slika 7. Eksponencijalna funkcija u ovisnoati o x-os y-os 1 Slika 8. Eksponencijalna funkcija u ovisnosti o x-os 16

Funkcije Logaritamska funkcija Logaritamska funkcija je inverzna funkcija eksponencijalne funkcije. Logaritamsku funkciju s bazom definiramo izrazom: Zbog inverznosti funkcija vrijedi:, za svaki. Domena logaritamske funkcije je interval, dakle, ona se u koordinatnom sustavu nalazi desno od ordinate. To znači da x mora biti veći od nule ( ). Baza kao i kod eksponencijalne mora biti pozitivna i različita od 1 ( i ). Logaritme s bazom nazivamo dekadski logaritam i ne pišemo bazu, pa umjesto pišemo. Ako je baza logaritma takav logaritam zovemo prirodni logaritam i umjesto pišemo. y-os x-os Slika 9. Graf logaritamske funkcije i njene inverzne eksponencijalne funkcije (simetrične su s obzirom na pravac ) y-os 1 x-os Slika 10. Graf logaritamske funkcije s obzirom na bazu 17

Funkcije Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije su sinus, kosinus, tangens i kotangens: Periodičnost trigonometrijskih funkcija Trigonometrijske funkcije su periodične funkcije. Budući da se rotacijom za 2π, -2π, 4π, -4π, 6π, -6π... vraćamo u istu točku na kružnici iz koje smo i krenuli očito je da vrijedi:. Sinus i kosinus imaju period, neprekidne su i domena im je cijeli skup realnih brojeva R. Vrijednosti funkcija sinus i kosinus nalaze se u intervalu te kažemo da su one omeđene funkcije. Kažemo da je sinus neparna funkcija jer vrijedi:, a za kosinus kažemo da je parna jer vrijedi:. Rotacijom po kružnici dolazimo do zaključka da se i vrijednosti za tangens i kotangens ponavljaju pa vrijedi:. Tangens i kotangens imaju period. Funkcije tangens i kotangens su neomeđene funkcije jer tangens poprima vrijednosti iz intervala, a kotangens iz intervala. Tangens i kotangens su prekinute funkcije. Tangens i kotangens su neparne funkcije jer vrijedi:. Trigonometrijske funkcije definirane su na jediničnoj kružnici polumjera : cosx ctgx tgx x sinx 1 Slika 11. Definicija trigonometrijskih funkcija 18

Funkcije Iz slike možemo zaključiti da je: Veze između trigonometrijskih funkcija: 1) 2) 3) 4) Slika 12. Grafički prikaz funkcija sinus i kosinus Slika 13. Grafički prikaz funkcija tangens i kotangens 19

Funkcije Jedinice za mjeru kuta 1. Kutna ili geometrijska jedinica je stupanj ( o ) 2. Lučna ili analitička jedinica je radijan (rad) Odgovarajući luk kuta Slika 14. Kut i odgovarajući luk kuta Puni krug ima 360 o i 2 radijana (računamo opseg jedinične kružnice) što znači da je ili. Ova relacija je veza između kutne i lučne mjere kuta. Iz nje dobivamo formule za pretvaranje stupnjeva u radijane i obrnuto: 20

Funkcije Stupnjevi Radijani 0 0 0 1 0 30 45 1 1 60 90 1 0 0 180 0 0 270 0 0 360 0 1 0 Tablica 1. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za kuteve izražene u stupnjevima i u radijanima Ciklometrijske funkcije Ciklometrijske funkcije su funkcije inverzne od trigonometrijskih. To su arkussinus, arkuskosinus, arkustangens i arkuskotangens: Arkussinus je strogo rastuća i neparna funkcija u intervalu. Arkuskosinus je strogo padajuća funkcija u intervalu. Arkustangens i arkuskotangens definirane su za sve u intervalu. 21

Funkcije -1-1 Slika 15. Grafički prikaz ciklometrijskih funkcija arkus sinus i arkus kosinus Slika 16. Grafički prikaz ciklometrijskih funkcija arkus tangens i arkus kotangens 22

Funkcije Slika 17. Graf funkcija arkus sinus i arkus kosinus Slika 18. Graf funkcija arkus tangens i arkus kotangens 23

Nizovi realnih brojeva Nizovi realnih brojeva Pojam niza Funkciju nazivamo niz realnih brojeva. Vrijednost niza na prirodnom broju označava se s i naziva n-ti ili opći član niza. Sam niz označava se s ili jednostavno Beskonačnim nizom realnih brojeva nazivamo niz gdje je n-ti ili opći član niza. Domena je cijeli skup prirodnih brojeva N, iz njega uzimamo vrijednosti za kojih ima beskonačno mnogo pa tako i članova niza ima beskonačno mnogo te se takav niz zove beskonačan. Kodomena je cijeli skup realnih brojeva R. Aritmetički niz Aritmetički niz je niz realnih brojeva kod kojeg je razlika između svakog člana (osim prvog) i člana ispred njega uvijek jednaka (konstantna) za svaki par susjednih brojeva:, tj.,. Razlika naziva se još i diferencija aritmetičkog niza. Za k-ti ili opći član aritmetičkog niza vrijedi formula:. Suma prvih članova aritmetičkog niza računa se pomoću formule: Svaki član (osim prvog i posljednjeg) aritmetička je sredina(po čemu je i dobio ime) njemu susjednih članova: pa tako za k-ti ili opći član aritmetičkog niza vrijedi formula: Aritmetički niz je strogo rastući za, strogo padajući za i stacionaran za. Primjer aritmetičkog niza: niz glasi: Geometrijski niz Geometrijski niz je niz realnih brojeva kod kojega je kvocijent između svakog člana (osim prvog) i člana ispred njega uvijek jednak za svaki par susjednih brojeva:, tj., Kvocijent naziva se i kvocijent geometrijskog niza. Geometrijski niz dobio je taj naziv zato što svaki njegov član, osim prvog i posljednjeg (ako je riječ o konačnom nizu), geometrijska sredina dvaju njegovih susjednih članova: 24

Nizovi realnih brojeva pa tako za k-ti ili opći član geometrijskog niza vrijedi formula:. Suma prvih članova geometrijskog niza računa se pomoću formule: Primjer geometrijskog niza: niz glasi. Harmonijski niz Harmonijski niz je niz kojem je svaki član (osim prvog) harmonijska sredina dvaju neposredno susjednih članova. Niz zadan općim članom je harmonijski niz. Harmonijska sredina brojeva a i b: Limes niza realnih brojeva Kažemo da je realan broj gomilište ili točka gomilanja niza realnih brojeva ako svaka ε- okolina broja sadrži beskonačno mnogo članova niza. Bolzano-Weierstrass-ov teorem: Svaki omeđen niz realnih brojeva ima barem jedno gomilište. Kažemo da je niz konvergentan ako postoji realan broj takav da za svaki realan broj postoji prirodan broj takav da:. Isto vidimo na slici 19.: Slika 19. Broj zovemo limes ili granična vrijednost niza i pišemo: ili. To čitamo: niz teži kada teži u beskonačno. Za niz koji nije konvergentan kažemo da je divergentan. Svaki konvergentan niz realnih brojeva ima samo jedan limes. Konvergentan niz realnih brojeva ima samo jedno gomilište. To je ujedno i njegov limes. Svaki konvergentan niz realnih brojeva je omeđen. Svaki omeđen i monoton niz realnih brojeva je konvergentan. 25

Nizovi realnih brojeva Za niz realnih brojeva kažemo da divergira k i pišemo, ako za svaki postoji prirodan broj, takav da. Za niz realnih brojeva kažemo da divergira k i pišemo, ako za svaki postoji prirodan broj, takav da. Posebno je značajan niz čiji je opći član. Riječ je o konvergentnom nizu čija je granična vrijednost, tj.. Eulerov broj upravo se i definira kao limes niza čiji je opći član. Algebarske operacije s nizovima Neka su nizovi realnih brojeva i konvergentni i neka je,. Tada: 1. Niz je konvergentan i vrijedi: 2. Niz je konvergentan i vrijedi: 3. Niz je konvergentan i vrijedi: 4. Ako je za svaki, onda je niz konvergentan i vrijedi: 5. Ako je za svaki, onda je niz konvergentan i vrijedi: 6. Ako je za svaki bilo koji realan broj, onda je niz konvergentan i vrijedi: Ako funkcija teži k s lijeve strane kažemo da ima limes slijeva u točki i to zapisujemo:, a ako funkcija teži k s desne strane kažemo da ima limes zdesna u točki i pišemo:. 26

Redovi realnih brojeva Redovi realnih brojeva Pojam reda Beskonačni red je izraz oblika: ili skraćeno: gdje su, članovi reda. Dakle, red možemo shvatiti kao zbroj članova nekog (beskonačnog) niza. Neka je niz realnih brojava. Pomoću njegovih članova definiramo niz parcijalnih suma gdje predstavlja sumu prvih članova niza : Uređeni par nizova realnih brojeva zovemo red realnih brojeva i označavamo s. Pri tome zovemo općim članom, a zovemo n-tom parcijalnom sumom reda. Red je konvergentan ako je konvergentan pripadni niz parcijalnih suma. Graničnu vrijednost ili limes tog niza parcijalnih suma nazivamo sumom zadanog reda i označavamo s, tj. Ako je niz parcijalnih suma divergentan, kažemo da je red divegentan. Primjer: suma beskonačnog reda je beskonačna (ne postoji) pa je red divergentan. U suprotnom, ako suma postoji (konačni red) red je konvergentan. Nužan uvjet konvergencije reda (ali ne i dovoljan!) je da mu članovi teže nuli, tj. nužan uvjet za konvergenciju reda je. Aritmetički red je red kod kojeg je razlika susjednih članova konstantna, tj. aritmetički red je suma članova aritmetičkog niza. Red je aritmetički ako vrijedi:. Geometrijski red je red kod kojega je kvocijent susjednih članova konstantan, tj. geometrijski red je suma članova geometrijskog niza. Red je geometrijski ako vrijedi:. Kriteriji konvergencije Poredbeni kriterij Neka su i bilo koja dva reda s nenegativnim članovima i neka postoje realan broj i prirodan broj takvi da je. 27

Redovi realnih brojeva Tada vrijedi: a) Ako red konvergira, onda konvergira i red, b) Ako red divergira, onda divergira i red. Poredbeni kriterij u formi limesa Neka je red s nenegativnim članovima, red s pozitivnim članovima i neka postoji gdje je. a) Za red konvergira onda i samo onda ako red konvergira, b) Ako je i ako red konvergira, onda i red konvergira, c) Ako je i ako red divergira, onda i red divergira. D'Alembertov kriterij Neka je red s pozitivnim članovima. a) Ako postoje prirodan broj i realan broj takvi da je onda je red konvergentan. b) Ako postoji prirodan broj takav da je onda je red divergentan. D Alembertov kriterij u formi limesa Neka je red s pozitivnim članovima. Ako postoji, tada je red konvergentan za i divergentan za. Cauchyjev kriterij Neka je red s nenegativnim članovima. a) Ako postoje prirodan broj i realan broj takav da je za svaki onda je red konvergentan, b) Ako je za beskonačno mnogo indeksa, onda je red divergentan. Cauchyjev kriterij u formi limesa Neka je red s nenegativnim članovima. Ako postoji, onda red kovergira za i divergira za. 28

Limes funkcije Limes funkcije Neka je i. ii., gdje je. Tada kažemo da je granična vrijednost ili limes funkcije u točki jednaka L i pišemo: ako za svaki niz iz koji konvergira prema, niz funkcionalnih vrijednosti konvergira prema L. Neka je i. ii., gdje je iii. postoje i Tada 1. postoji i vrijedi: 2. postoji i vrijedi: 3. ako je i ako je u nekoj okolini broja, tada postoji i vrijedi: Pravila za limese 4. 29

Limes funkcije Neki važni limesi Asimptote funkcije Kažemo da je pravac desna kosa asimptota funkcije ako vrijedi a lijeva kosa asimptota ako vrijedi Koeficijenti k i l desne kose asimptote iznose Koeficijenti k i l lijeve kose asimptote iznose Ako je k=0 pravac nazivamo horizontalna asimptota. Pravac je vertikalna asimptota funkcije ako je Neprekidnost funkcije Za funkciju kažemo da je neprekidna u točki ako vrijedi: 30

Derivacije Derivacije Derivacije ili diferencijalni račun smatraju se jednim od najvažnijih matematičkih otkrića. Do tog otkrića doveo je engleskog znanstvenika Newtona problem brzine, a njemačkog znanstvenika Leibniza problem tangente. -os -os Slika 20. Definicija derivacije Ovisnost veličine o veličini dana je formulom. Ovisna veličina može se brže ili sporije mijenjati od neosvisne veličine. Prirast neovisne varijable usporedit ćemo s prirastom ovisne varijable. Prirast ovisne varijable jednaka je. Omjer prirasta ovisne i neovisne varijable služi nam kao mjera relativne promjene funkcije i neovisne varijable. Ako tu mjeru relativne promjene funkcije promatramo kada teži nuli dobijemo izraz: gdje je brzina promjene ovisne varijable u ovisnosti o promjeni neovisne varijable. Ako je realna funkcija definirana i neprekinuta na intervalu, i postoji onda se broj zove derivacija funkcije u točki. Kaže se da je funkcija derivabilna u točki. 31

Derivacije Derivacija funkcije je granična vrijednost kojoj teži kvocijent diferencija ovisne i neovisne varijable, kada prirast neovisne varijable teži nuli, tj. Supstitucijom ova formula prelazi u ekvivalentnu formulu: Broj nazivamo kvocijentom diferencija.u brojniku je diferencija (razlika) vrijednosti funkcije u točkama i, a u nazivniku odgovarajuća diferencija (razlika) nezavisne varijable. Kvocijent diferencija mjeri brzinu promjene funkcije u odnosu ne promjenu nezavisne varijable što je derivacija veća funkcija se brže mijenja, što je manja funkcija se sporije mijenja, a ako je derivacija nula, funkcija se ne mijenja. Dakle, derivacija funkcije u točki je limes kojem konvergira kvocijent diferencija kada. Realna funkcija je derivabilna ili diferencijabilna na interval ako je derivabilna u svakoj točki. Derivaciju označavamo s,, ili. Deriviranje realnih funkcija Pravila za deriviranje funkcija: 1. Derivacija zbroja (razlike) dviju realnih funkcija: 2. Derivacija umnoška dviju realnih funkcija: 3. Derivacija kvocijenta dviju realnih funkcija: 4. Derivacija umnoška konstante c i funkcije: 5. Derivacija složene funkcije (kompozicije funkcija): 32

Derivacije Derivacije elementarnih funkcija Red.br. Funkcija Derivacija funkcije Red.br. Funkcija Derivacija funkcije 1 0 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6 13 7 14 Tablica 2. Derivacije elementarnih funkcija Derivacije višeg reda Ako je funkcija derivabilna njenu derivaciju nazivamo prvom derivacijom funkcije. Označavamo s ili. Prva derivacija može, i ne mora biti derivabilna. Ako je prva derivacija derivabilna te ju deriviramo, tj. funkciju dva puta deriviramo, tada dobijemo drugu derivaciju funkcije i nju označavamo s ili. To bismo mogli zapisati ovako:. Dakle, bilo koju n-tu derivaciju funkcije možemo zapisati ovako:. Po dogovoru je. Osnovni teoremi diferencijalnog računa Fermatov teorem: Neka funkcija u točki ima lokalni ekstrem. Ako je derivabilna u točki, onda je. Rolleov teorem: Neka je funkcija neprekidna na segmentu i derivabilna na intervalu. Ako je, onda postoji točka takva da je. Lagrangeov teorem: Ako je funkcija neprekidna na segmentu i derivabilna na intervalu, onda postoji točka takva da je. 33

Derivacije Cauchyjev teorem: Neka su i neprekidne funkcije na segmentu i derivabilne na intervalu. Ako je za svaki, onda postoji točka takva da je. Taylorov teorem: Neka je interval,, funkcija koja ima -vu derivaciju na intervalu i bilo koji prirodan broj. Tada za svaki postoji realan broj ( za, odnosno ), takav da vrijedi: gdje je. Primjena derivacija Monotonost i derivacija Intervale monotonosti pravimo pomoću prekida funkcije i stacionarnih točaka. Stacionarne točke su točke u kojima prva derivacija ima vrijednost nula. Dakle, pronalazimo ih tako da prvu derivaciju funkcije izjednačimo s nulom. Neka imamo neki skup i funkciju koja je derivabilna na intervalu, tada vrijedi: a. Funkcija monotono raste na skupu onda i samo onda ako je za svaki. Ako je za svaki, onda funkcija strogo monotono raste na skupu. b. Funkcija monotono pada na skupu onda i samo onda ako je za svaki. Ako je za svaki, onda funkcija strogo monotono pada na skupu. Lokalni ekstremi Lokalni ekstremi su minimum i maksimum. Ekstreme pronalazimo pomoću stacionarnih točaka koliko ima stacionarnih točaka toliko ima ekstrema. Neka je dvaput derivabilna funkcija na nekoj okolini svoje stacionarne točke c. Stacionarne točke uvrštavamo u drugu derivaciju funkcije kako bismo utvrdili da li ona predstavlja minimum ili maksimum: a. Ako je, onda ima strogi lokalni maksimum u točki c. b. Ako je, onda ima strogi lokalni minimum u točki c. Konveksne funkcije i derivacija Intervale konveksnosti, tj. konkavnosti pravimo pomoću prekida funkcije i točaka infleksije Točke infleksije su točke u kojima funkcija prelazi iz konveksnosti u konkavnost ili obrnuto. U točkama infleksije vrijednost druge derivacije je nula, dakle, pronalazimo ih tako da drugu derivaciju funkcije izjednačimo s nulom ). Neka je funkcija dva puta derivabilnana intervalu. Konveksnost i konkavnost ovise o : 34

Derivacije a. Funkcija je konveksna na onda i samo onda ako je za svako. b. Funkcija je konkavna na onda i samo onda ako je za svako. L'Hospitalovo pravilo L'Hospitalovo pravilo koristimo za računanje limesa pomoću derivacija. Koristimo ga kada se pojave neodređeni oblici tipa:,,,,, i. Neka su realne funkcije i definirane na intervalu, neka je za neko i neka u intervalu postoje derivacije i, pri čemu je još. Ako postoji, onda postoji i i jednak je, tj. Ispitivanje tijeka funkcije Pod ispitivanjem tijeka funkcije podrazumjevamo određivanje: A. Područja definicije funkcije (domena) B. Točke u kojima funkcija ima prekid C. Nultočke funkcije D. - odsječak na ordinati E. Lokalne ekstreme funkcije F. Asimptote funkcije (vertikalne, horizontalne i kose) G. Intervale u kojima funkcija raste i pada (intervali monotonosti) H. Intervale u kojima je funkcija konveksna i konkavna (intervali konveksnosti) I. Parnost funkcije J. Periodičnost funkcije 35

Integrali Integrali Neodređeni integrali Integrali su inverzna funkcija od derivacija. Ako je (antiderivaciju) zapisujemo, tada neodređeni integral Pri čemu je znak integrala, podintegralna funkcija, primitivna funkcija, a podintegralni izraz. Izraz označava integraciju po x-u. Primitivna funkcija funkcije na skupu I je svaka funkcija sa svojstvom: za svaki. Za funkciju kažemo da je integrabilna na I, ako ona na I ima primitivnu funkciju. Tablica neodređenih integrala Red.br. Integrali Red.br. Integrali 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10 11 Tablica 3. Neodređeni integrali 36

Integrali Svojstva integrala Neka je I jedan od skupova:. Ako je derivabilna na I, tada vrijedi: 1. 2. 3. Aditivnost: 4. Homogenost: Metode integracije Metode integracije služe da bi složene podintegralne funkcije sveli na jednostavnije, osnovne integrale, navedene u tablici. Metode su: A. Direktna integracija metoda se svodi na drugačiji zapis podintegralne funkcije B. Metoda supstitucije dio podintegralne funkcije zamjenimo za varijablu kako bismo dobili jednostavniji integral C. Parcijalna integracija u podintegralnoj funkciji odredimo i te koristimo formulu: 37

Financijska matematika Financijska matematika Definirajmo neke osnovne oznake koje ćemo koristiti: - kapital - početni kapital ili početna vrijednost konačni kapital ili konačna vrijednost - broj obračunskih razdoblja (broj anuiteta) - broj obračunskih razdoblja u godini (m=1 god. ukamaćivanje, m=2 polugodišnje, m=4 kvartalno, m=12 mjesečno, m=365 (366) dnevno) godišnja kamatna stopa (kamatnjak) - ispodgodišnja kamatna stopa - godišnji kamatni faktor ( ) - ispodgod. kamatni faktor ( ) vrijednost anuiteta (rate) pojedini iznosi kojima otplaćujemo kredit ili ih uplaćujemo - kamate Uplata ili isplata mogu biti: 1. Prenumerando na početku razdoblja 2. Postnumerando na kraju razdoblja Postotni račun Postotni račun je račun kojim računamo postotke. Linearna funkcija, tj. pravac koji prolazi ishodištem i točkom (G,100) glasi:. Ako uzmemo da je x=w tada dobijemo. Y sada označavamo s p i nazivamo postotak, a W je postotni iznos ili u financ. matematici kamata:. Kažemo da je W "p posto" (p%) od G. Ako neka vrijednost S naraste za p% i postigne novu vrijednost N tada je N: (početna vrijednost+kamate), ako izlučimo S:. Iz te jednakosti možemo izračunati i S:. Ako se S smanjuje za p% to računamo:. Postotni račun za više od 100: ili 38

Financijska matematika Iz i slijedi: Postotni račun za manje od 100: ili Iz i slijedi: Kamate Za izračunavanje kamata koriste se jednostavni i složeni kamatni račun. Kod jednostavnog kamatnog računa kamate se izračunavaju na istu glavnicu (početni kapital) za svako razdoblje ukamaćivanja, dok se kod složenog kamatnog računa kamate izračunavaju na glavnicu uvećanu za prethodno obračunate kamate svakog vremenskog razdoblja, tj. obračunavaju se kamate na kamate. To je ujedno i razlika između jednostavnog i složenog kamatnog računa. Kamate se mogu obračunavati: 1. Anticipativno na početku razdoblja (npr. kod potrošačkog kredita) Anticipativni način obračuna kamata znači da se njihov obračun se vrši i isplaćuje ili pribraja unaprijed za neko vremensko razdoblje, pri čemu se kamate obračunavaju od konačne vrijednosti iznosa. 2. Dekurzivno na kraju razdoblja (npr. kod zajma) Dekurzivni način obračuna kamata znači da se njihov obračun vrši i isplaćuje ili pribraja danom iznosu C na kraju danog vremenskog razdoblja, pri čemu se kamate obračunavaju od početne vrijednosti iznosa. Jednostavni kamatni račun Ako ulažemo kapital uz p% kamata uz jednostavni obračun kamata tada računamo kamate uvijek na početnu vrijednost : 39

Financijska matematika Sada možemo zaključiti da će za n godina kapital biti: Za ispodgodišnje ukamaćivanje umjesto p koristimo relativnu kamatnu stopu. Osim te razlike, izvod formule je isti kao prethodni: koju računamo: Sada možemo zaključiti da će za n razdoblja kapital biti: Složeni kamatni račun Ako ulažemo kapital uz p% kamata uz složeni obračun kamata tada računamo kamate na početnu vrijednost uvećanu za već obračunate kamate: Pa prema tome, dobijemo formulu za kapital nakon n godina: Za ispodgodišnje ukamaćivanje koristimo ispodgodišnju kamatnu stopu kamatni faktor : i ispodgodišnji Pa prema tome, dobijemo formulu za kapital nakon n razdoblja: 40

Financijska matematika U ovom slučaju složenog ispodgodišnjeg ukamaćivanja koristimo ispodgodišnju kamatnu stopu koju nazivamo i konformna kamatna stopa, a računamo ju: Ovu formulu izvodimo ovako: Kapital nakon n razdoblja možemo izračunati i pomoću godišnjeg kamatnog faktora r: Konformna i relativna kamatna stopa Konformna kamatna stopa uvijek je manja od relativne. Konformnu i relativnu kamatnu stopu možemo grafički prikazati kao funkciju godišnje kamatne stope: 0 p Slika 21. Relativna i konformna kamatna stopa 41

Financijska matematika Potrošački kredit Potrošački kredit je poseban imovinsko pravni-odnos kreditora (banke ili trgovačkog poduzeća) i korisnika kredita ( individualnog potrošača), kojim se povečava kupovna snaga potrošača radi nabavke netrajnih i trajnih potrošnih dobara. Kredit se vraća jednakim otplatnim kvotama, kojima se dodaju jednostavne anticipativne kamate obračunate na ostatak duga. Rata na početku prvog obračunskog razdoblja iznosi (sadrži n-ti dio kredita (otplatna kvota) i kamate):, kamate obračunavamo pomoću jednostavnog kamatnog računa pa je:. Druga rata sadrži također n-ti dio kredita i kamate na ostatak duga :. Općenito ratu na početku k-tog razdoblja računamo:. Zbroj svih rata iznosi: Izraz u zagradi predstavlje aritmetički niz gdje je prvi član, a razlika. Suma prvih n članova aritmetičkog niza je, pa je stoga: Gdje su ukupne kamate: svih rata:. Da bi sve rate bile jednake računa se aritmetička rata U praksi se postupa na sljedeći način: prvo se od iznosa odobrenog potrošačkog kredita C obračunava i oduzima udio (učešće) u gotovini U i time se određuje stvarni iznos kredita C 0. Na iznos C 0 obračunavaju se i dodaju ukupne kamate I i time se utvrđuje ukupno dugovanje C 2. Kamate se za svaki mjesec računaju uz fiksnu kamatnu stopu po jednostavnom kamatnom računu. Na kraju, iznos konstantne mjesečne rate a izračunavamo dijeljenjem ukupnog dugovanja C 2 s brojem rata n. Klasični način obračuna potrošačkih kredita karakterizira: (1) primjenjuje se relativna mjesečna kamatna stopa godišnje kamatne stope, (2) mjesečne kamate računamo po jednostavnom kamatnom računu uz primjenu 'prosječne' kamatne stope obračuna kamata. i (3) primjenjuje se anticipativni način 42

Financijska matematika To preglednije možemo zapisati ovako: Iznos odobrenog potrošačkog kredita Učešće u gotovini Iznos stvarnog kredita Ukupne kamate Ukupno dugovanje C U C0 I C2 Ako je stopa učešća u gotovini q, onda je iznos učešća u gotovini:. Nakon što se uplati učešće u gotovini preostaje:. Na dug obračunavaju se kamate po jednostavnom kamatnom računu uz 'prosječnu' stopu, koju zovemo anticipativni kamatni koeficijent, a računamo:, gdje je fiksna kamatna stopa. To znači da su ukupne kamate jednake, gdje je broj mjeseci. Dug dobijemo tako da dugu dodamo ukupne kamate :. Ukupan dug vraća se kroz n jednakih mjesečnih iznosa (rata). Prema tome, ukupan dug jednak je, što znači da je mjesečna rata. 43

Financijska matematika Otplata zajma Zajam su financijska sredstva potrebna za investicije, koja treba vratiti uz obračun dekurzivnih složenih kamata. Može se vratiti jednokratno ili u više otplatnih anuiteta (rata). Svaki anuitet sadrži prispjele kamate i otplatnu kvotu (dio anuiteta koji otplaćuje sam zajam): Zajam možemo vraćati: 1. Jednakim periodičnim (godišnjim ili ispodgodišnjim) anuitetima 2. Proizvoljnim anuitetima Otplata zajma jednakim periodičnim anuitetima Najčešće primjenjivani model zajma je model otplate zajma jednakim anuitetima. Pretpostavke tog modela su sljedeće: 1. Obračun kamata je složen i dekurzivan (kamate se obračunavaju na kraju razdoblja) 2. Anuiteti su jednaki i dospijevaju u jednakim vremenskim periodima i to krajem razdoblja (postnumerando) 3. Kamatnjak je stalan (fiksan) u cijelom razdoblju 1 2.......... Slika 22. Otplata zajma Iz slike 22. dobivamo sljedeće: 44

Financijska matematika Izraz u zagradi, čitan s desna na lijevo, predstavlja zbroj prvih članova geometrijskog niza čiji je prvi član, a kvocijent. Budući da je zbroj prvih članova geometrijskog niza, iznos zajma možemo izračunati pomoću formule: Ostatak duga nakon k-tog anuiteta računamo ovako: Možemo zaključiti da je: Ako izlučimo dobijemo: Izraz u zagradi, čitan s desna na lijevo, predstavlja zbroj prvih članova geometrijskog niza čiji je prvi član, a kvocijent. Budući da je zbroj prvih članova geometrijskog niza, ostatak duga nakon k-tog anuiteta računamo koristeći formulu: Godišnje ukamaćivanje Ispodgodišnje ukamaćivanje Početni kapital Anuitet Ostatak duga nakon plaćenog -tog anuiteta Otplata zajma proizvoljnim anuitetima Osim jednakim periodičnim anuitetima, zajam možemo otplaćivati proizvoljnim anuitetima. U tom slučaju proizvoljna je veličina anuiteta i dužina razdoblja ili oboje. 45

Financijska matematika Veličinu zajma računamo pomoću formule: gdje je vrijeme od uzimanja zajma do prvog anuiteta, vrijeme od uzimanja zajma do drugog anuiteta, vrijeme od uzimanja zajma do trećeg anuiteta itd. Plan otplate zajma Plan otplate računamo pomoću slijedećih formula: Redni broj Anuitet Kamate Otplatna kvota Ostatak duga 0 0 0 50.000,00 1 10.000,00 10.000,00 0 50.000,00 2 15.000,00 10.000,00 5.000,00 45.000,00 3 20.000,00 9.000,00 11.000,00 34.000,00 4 40.800,00 6.800,00 34.000,00 0 Ukupno: 85.800,00 35.800,00 50.000,00 Tablica 4. Primjer plana otplate zajma Konačna i sadašnja vrijednost jednakih uplata Sadašnja vrijednost je vrijednost više uplata na početku prvog razdoblja dok je konačna vrijednost vrijednost više uplata na kraju razdoblja. Uplate mogu biti godišnje ili ispodgodišnje i uplaćivati se početkom (prenumerando) ili krajem (postnumerando) razdoblja. Uplate mogu biti periodične ili proizvoljne. Uplaćuju se uz kamatnu stopu. Neka je dekurzivna godišnja kamatna stopa. Početkom svakog od razdoblja uplaćujemo neki iznos. Suma vrijednosti svih uplata na kraju -tog obračunskog razdoblja je: Ako su sve uplate jednake tada je: Izraz u zagradi predstavlja geometrijski niz gdje je i, pa konačnu vrijednost jednakih periodičnih uplata koje se uplaćuju početkom godine (prenumerando) računamo: 46

Financijska matematika Sadašnju vrijednost računamo: Ako su sve uplate jednake, sadašnju vrijednost jednakih periodičnih uplata koje se uplaćuju početkom godine (prenumerando) računamo: Godišnje ukamaćivanje Ispodgodišnje ukamaćivanje Konačna vrijednost jednakih periodičnih prenumerando uplata Sadašnja vrijednost jednakih periodičnih prenumerando uplata Renta Iz uplaćenog kapitala isplaćuje se renta. Isplate mogu biti godišnje ili ispodgodišnje, jednake periodične ili proizvoljne te prenumerando ili postnumerando. U slučaju jednakih periodičnih isplata rentu možemo podijeliti na prenumerando rentu i postnumerando rentu: Prenumerando renta Uplaćen je kapital (sadašnja vrijednost rente) u trenutku te se početkom svakog razdoblja isplaćuje iznos : Godišnje ukamaćivanje Ispodgodišnje ukamaćivanje Sadašnja vrijednost rente ( ) Anuitet 47

Financijska matematika Ostatak rente nakon -tog anuiteta Postnumerando renta Uplaćen je kapital (sadašnja vrijednost rente) u trenutku te se krajem svakog razdoblja isplaćuje iznos : Godišnje ukamaćivanje Ispodgodišnje ukamaćivanje Sadašnja vrijednost rente ( ) Anuitet Ostatak rente nakon -tog anuiteta U slučaju da je renta proizvoljna, za izračune koristimo formulu za zajam s proizvoljnim anuitetima. Vječna renta Vječna renta je renta gdje se na osnovu jednog uloženog iznosa može vječno podizati nominalno jednake postnumerando iznose uz pretpostavku da je obračun kamata složen, godišnji i dekurzivan uz primjenu fiksne godišnje kamatne stope, tj. renta kod koje se isplaćuju samo kamate na početni kapital. Sadašnju vrijednost n jednakih postnumerando iznosa uz pretpostavku da je obračun kamata složen, godišnji i dekurzivan uz primjenu fiksne godišnje kamatne stope računamo: S obzirom da se traži vječna renta, to možemo zapisati kao limes kada n teži u : 48

Financijska matematika Vrijednost vječne rente računamo:, vrijednost anuiteta (isplate) jednaka je kamatama na početni kapital:, a godišnju kamatnu stopu računamo:. 49

Matrice Matrice Matrica A tipa je pravokutna shema elemenata koji su poredani u m redaka i n stupaca. Matricu A zapisujemo: Tip ili format matrice pokazuje koliko matrica ima elemenata (m n) i na koji način su ti elementi poredani (u m redaka i n stupaca). Dvije matrice A i B jednake su ako su istog tipa i ako su im odgovarajući elementi jednaki:, tj. za sve i=1,2,...,m i j=1,2,...,n. Glavna dijagonala kvadratne matrice sastavljena je od elemenata dijagonala kvadratne matrice sastavljena je od elemenata. Vrste matrica Pravokutne matrice su matrice kojima je broj redaka različit od broja stupaca, ako je matrica je kvadratna.. Sporedna Simetrična matrica je kvadratna matrica kod koje su elementi, simetrično raspoređeni s obzirom na glavnu dijagonalu, jednaki, tj. za sve uređene parove (i,j). Anitsimetrična matrica je kvadratna matrica za koju vrijedi za sve (i,j). Dijagonalna matrica je kvadratna matrica za koju vrijedi čim je, tj. kada su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki 0. Skalarna matrica je dijagonalna matrica za koju je, tj. kod skalarne matrice svi elementi na glavnoj dijagonali su jednaki. Jedinična matrica je skalarna matrica koja na glavnoj dijagonali ima jedinice. Nul-matrica je matrica koja ima sve elemente jednake nula. Gornja trokutasta matrica je kvadratna matrica za koju vrijedi čim je. Donja trokutasta matrica je kvadratna matrica za koju vrijedi čim je. Vektor-redak je matrica koja ima samo jedan redak, a vektor-stupac je matrica koja ima samo jedan stupac. Trag kvadratne matrice A je zbroj elemenata na glavnoj dijagonali:. Transponirana matrica matrice A formata m n je matrica,formata m n, tako da bude. Reci (stupci) matrice su stupci (reci) matrice A, pa vrijedi. Ortogonalna matrica je kvadratna matrica U n-tog reda za koju vrijedi:. Za kvadratnu matricu A kažemo da je regularna ili invertibilna, ako postoji kvadratna matrica B takva da je AB=BA=I. U protivnom matrica je singularna. Skup svih regularnih matrica n-tog reda ima sljedeća svojstva: a) b) 50

Matrice Operacije s matricama 1. Zbrajanje matrica Zbroj matrice i matrice, obje formata, definira se kao matrica formata s elementima:. 2. Množenje matrice skalarom Matrica množi se skalarom tako da se svaki njen element pomnoži skalarom: 3. Množenje matrica Produkt matrica i definira se samo onda kada su te matrice ulančane, tj. ako prva matrica ima onoliko stupaca koliko druga matrica ima redaka. Ako je matrica formata i formata, produkt je matrica formata, čiji se elementi računaju po formuli: Množenje matrica nije komutativno, tj.. U slučaju da ipak vrijedi kažemo da matrice komutiraju. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Svojstva zbrajanja i množenja matrica: 0 nul-matrica tipa Gaussova metoda za invertiranje matrice 8. Asocijativnost: 9. Distributivnost slijeva: 10. Distributivnost zdesna: Neka je A kvadratna matrica. S označimo matricu A proširenu jediničnom matricom istog reda. Elementarnim operacijama nad recima matricu svodimo na oblik. Ako je to moguće, A je regularna i, a ako to nije moguće, onda je A singularna matrica. Pod Gaussovim elementarnim operacijama nad recima matrice podrazumjevamo: 1. permutiranje redaka, 2. množenje redaka skalarom različitim od nule te 3. dodavanje retku nekog drugog retka prethodno pomnoženog proizvoljnim skalarom. 11. 12. 51

Matrice Rang matrice Maksimalan broj linearno-nezavisnih stupaca matrice A zovemo rang stupaca matrice A, a maksimalan broj linearno-nezavisnih redaka zovemo rang redaka matrice A. Ako je rang stupaca matrice A jednak je rangu redaka matrice A, taj broj zove se rang matrice A i označava se s r(a). Sustav linearnih algebarskih jednadžbi Sustav linearnih algebarskih jednadžbi možemo rješavati matricama. Gaussova metoda (metoda eliminacije) je metoda gdje proširenu matricu svodimo na gornje trokutasti oblik, dok u Gauss- Jordanovoj metodi proširenu matricu svodimo na dijagonalni oblik te direktno očitavamo rješenje. Uvjet rješivosti sustava linearnih jednadžbi Kronecker-Capelli-Rouché Sustav ima rješenje onda i samo onda ako matrica A tog sustava i proširena matrica imaju isti rang. Determinanta Determinanta je funkcija definirana za sve kvadratne matrice, a svodi matricu na broj. Zapisujemo kao:. Determinanta matrice prvog reda je računamo: računamo: je broj. Determinantu matrice drugog reda. Determinantu matrice trećeg reda. Determinanta matrice n-tog reda je Matrica i transponirana matrica imaju jednake determinante:. Ako je matrtica A trokutasta matrica n-tog reda, onda je determinanta. Matrica A je regularna onda i samo onda ako je. Svojstva determinante: 1. Determinantu množimo brojem tako da elemente bilo kojeg retka (stupca) pomnožimo tim brojem. 2. Ako su dva retka (stupca) jednaka, determinanta je nula. 3. Ako dva retka (stupca) zamijene mjesta, determinanta mijenja predznak. 4. Determinanta se ne mijenja ako jedan redak pomnožimo brojem i dodamo drugom retku. 52

Matrice Laplaceov razvoj determinante Laplaceov razvoj determinante govori nam da se determinanta može razviti po bilo kojem stupcu ili retku. Laplaceov razvoj determinante po i-tom stupcu računamo: a po j-tom retku: 53

Još neka pravila i formule za računanje Još neka pravila i formule za računanje Kvadrat i kub binoma Razlika kvadrata, razlika i zbroj kubova Financijska matematika Jednostavni i složeni kamatni račun Jednostavni kamatni račun - kamate se obračunavaju na početnu vrijednost Složeni kamatni račun obračunavaju se kamate na kamate Vrijednost kapitala za neko prošlo razdoblje: Konačna vrijednost n jednakih periodičnih uplata koje se uplaćuju početkom godine Otplata zajma jednakim periodičnim anuitetima 54