ΑΠΟ 8//06 έως τις 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Ιανουαρίου 07 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω η συνάρτηση () στο (0, ) και ισχύει Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ( ), δηλαδή Μονάδες 0 Α Πότε μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο o του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 5 Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής σ ένα σημείο o, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό β) Αν για μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [ αβ, ] ισχύει ( α) ( β) 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα 0 ( αβ, ) τέτοιο ώστε ( 0 ) 0 γ) Για κάθε 0 ισχύει ln δ) Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα σε ένα ανοιχτό διάστημα ( αβ,, ) τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα ( ), ( ) α β ε) Αν ισχύει ( ) ( 0), τότε η δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 0 0 Μονάδες 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ
ΑΠΟ 8//06 έως τις 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln με 0 Β Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται Β Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Μονάδες 8 και στη συνέχεια να δείξετε ότι η εξίσωση ln 06 έχει ακριβώς μία λύση ( β) ( a) Β Αν 0 α β τότε να δείξετε ότι η εξίσωση 0 ρίζα στο διάστημα (,) ΘΕΜΑ Γ Έστω : R R μια συνάρτηση συνεχής για την οποία ισχύει: Μονάδες 9 έχει τουλάχιστον μία Μονάδες 8 ημ ( ), για κάθε και η συνάρτηση g ( ) λe Γ Να δείξετε ότι ημ, αν 0 ( ), αν 0 Μονάδες 6 Γ Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M(0, (0)) είναι η ε : y Μονάδες 5 Γ Να βρείτε το λ, ώστε η εφαπτομένη ε του ερωτήματος Γ να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g Μονάδες 7 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ
ΑΠΟ 8//06 έως τις 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Γ4 Για λ, να βρείτε το ( ) g ( ) ΘΕΜΑ Δ Μονάδες 7 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : R R, με σύνολο τιμών ( R) R για την οποία ισχύει: Δ Να αποδείξετε ότι ( ) t ( ) t t t t 4 t, ( ) ( ) 4 για κάθε Δ Να αποδείξετε ότι: i) η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα Μονάδες 4 ii) η αντιστρέφεται και στη συνέχεια ότι αν η γραφική παράσταση της βρίσκεται κάτω από την ευθεία y τότε η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από την y Μονάδες 7 Δ Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός ρ με ρ(,0), τέτοιος ώστε ( ρ) 0 Δ4 Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (0,) τέτοιο ώστε Δ5 Να υπολογίσετε τα όρια: i) 9 (4) 5 ii) ( ) Μονάδες 4 ( ξ) 07 π Μονάδες 4 Μονάδες 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ
ΑΠΟ 8//06 έως τις 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Ιανουαρίου 07 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Απόδειξη Α Ορισμός Α α Λάθος β Λάθος γ Σωστό δ Σωστό ε Σωστό ΘΕΜΑ Β Β Για κάθε, (0, ) με έχουμε ln ln και οπότε ln ln ln ln ( ) ( ) Άρα η είναι γνησίως αύξουσα, επομένως - οπότε αντιστρέφεται Β Η είναι συνεχής στο (0, ) και γνησίως αύξουσα ( ) (ln ) ( ) ( ) 0 0 ( ) (ln ) ( ) 0 Άρα το σύνολο τιμών της είναι ( A) Επομένως D ( A) Είναι ln 06 ln 06 ( ) 07 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 6
ΑΠΟ 8//06 έως τις 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Το 07 ( A) άρα η εξίσωση ( ) 07 ln 06 έχει μία τουλάχιστον λύση η οποία είναι μοναδική αφού η είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της Β Για (,) είναι ( β) ( a) Επομένως έχουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση τουλάχιστον ρίζα στο (,) Η g είναι συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική g() ( a) 0 g() 7 ( β) 0 0 ( ) ( β) ( ) ( a) 0 διότι α β ( a) () ( β) ( a) 0 ( β) Άρα g() g() 0 g( ) ( ) ( β) ( ) ( a) έχει μία Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, η g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,) ΘΕΜΑ Γ Γ Για 0 είναι: ημ ( ) Η είναι συνεχής στο ( ) ημ ημ ( ) επομένως θα είναι συνεχής και στο 0 οπότε: ημ ημ 0 0 0 (0) ( ) 0 αφού Άρα u ημ ημu 0 u0 u ημ, αν 0 ( ), αν 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 6
ΑΠΟ 8//06 έως τις 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Γ Έχουμε (0) και ημ u ( ) (0) ημ ημu 0 0 0 0 u0 u Η εφαπτομένη της C στο 0 0 είναι η ευθεία με εξίσωση: οπότε (0) y (0) (0)( 0) y y Γ Είναι g ( ) λe με και g( ) λe, Η ευθεία ε: y θα εφάπτεται της C g όταν υπάρχει 0 ώστε: g 0 0 λe 0 0 g 0 λe 0 ( ) 0 0 ( ) λ Άρα για λ η ευθεία ε εφάπτεται της Γ4 Για λ είναι g( ) e, C g στο 0 0 Είναι ημ ( ) ημ g( ) e e Για (0, ): ημ ημ ημ Είναι 0 Επομένως από το κριτήριο παρεμβολής Επίσης 0 οπότε e ( ) 0 (0 ) 0 g ( ) ημ 0 ΘΕΜΑ Δ Δ Για κάθε έχουμε: t ( ) ( ) t ( ) t ( ) t t t t t t t t t0 t t ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 6
ΑΠΟ 8//06 έως τις 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 t ( ) ( ) t 0 0 t t Επομένως: ( ) ( ) 4 για κάθε Δ ( ) ( ) 4 () Έστω ότι υπάρχουν, με τέτοια ώστε ( ) ( ) Τότε ( ) ( ) () και ( ) ( ) () Με πρόσθεση κατά μέλη των () και () έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 0 ( )( ) 4( ) 0 * ( )( 4) 0 0 που είναι άτοπο Επομένως για κάθε, με ισχύει ( ) ( ), οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα * 4 0 8 0 ( ) 8 0 που ισχύει ii) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο οπότε και άρα αντιστρέφεται Επειδή η γραφική παράσταση της βρίσκεται κάτω από την ευθεία y έχουμε ( ) για κάθε Είναι Άρα η γραφική παράσταση της ( ) ( ) ( ( )) (), για κάθε βρίσκεται πάνω από την ευθεία y ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 6
ΑΠΟ 8//06 έως τις 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Δ Στη σχέση ( ) ( ) 4 για έχουμε ( ) ( ) ( ) 4( ) ( ) ( ) 4 και επειδή ( ) 0 θα είναι ( ) 0 Όμοια για 0 έχουμε: (0)[ (0) ] και επειδή Η συνάρτηση είναι συνεχής στο [,0] (0) ( ) 0 (0) 0 θα είναι (0) 0 Άρα από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι θα υπάρχει ένας τουλάχιστον ρ(,0) τέτοιος ώστε ( ρ) 0 Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, το ρ είναι μοναδικό Δ4 Είναι 0 (0) () π π και όμοια (0) () 07 Με πρόσθεση κατά μέλη βρίσκουμε: (0) () 07 π 07 π Οπότε (0) () 07 π Επειδή η συνεχής στο [0,] και (0) () από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών θα υπάρχει ξ (0,) τέτοιο ώστε: 07 π ( ξ) ( ξ) 07 π Επειδή η συνάρτηση είναι - το ξ θα είναι μοναδικό ος τρόπος : Με Θεώρημα Bolzano για την g( ) ( ) 07 π στο [0,] Δ5 i) Είναι 0 4 (0) (4) και επειδή (0) 0 θα είναι (4) 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ 6
ΑΠΟ 8//06 έως τις 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Επομένως 9 (4) 5 (4) (4) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ii) Είναι 4 4 ( ) ( ) για κάθε Επειδή 4 είναι ( ) Για την φετινή σχολική χρονιά 06-07 σύμφωνα με τις οδηγίες του ΥΠΠΕΘ για την επίλυση των ασκήσεων μπορεί να χρησιμοποιηθεί χωρίς απόδειξη η παρακάτω πρόταση Έστω, g δύο συναρτήσεις που είναι ορισμένες κοντά στο R 0, Αν ισχύουν : α) ( ) g( ) κοντά στο 0 β) g ( ) 0 τότε θα ισχύει και ( ) 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 6 ΑΠΟ 6