REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo da je f reala fukcija od realih ezaviso-promjeljivih. Na primjer, f(x,y,z) = x + y - z, x,y,z R je reala fukcija od tri ezaviso-promjeljive x,y,z.
Neka je f reala fukcija jede ezaviso-promjeljive čiji je dome DR. Kako svakom uređeom paru realih brojeva odgovara jeda tačka Dekartove ravi, to svakom paru (x 0, f(x 0 )) odgovarajućih vrijedosti argumeta i fukcije f: DR odgovara jeda (jedia) tačka Dekartove ravi Oxy. Skup svih tačaka Dekartove ravi koje odgovaraju uređeim parovima (x, f(x)), xd zove se grafik fukcije f.
y (x 0, y 0 ) y 0 x 0 x
Nizovi Realu fukciju jede reale promjeljive čija je oblast defiisaosti skup prirodih brojeva zovemo izom. Nezavisu promjeljivu iza običo ozačavamo sa, a odgovarajuću vrijedost fukcije sa a() ili, češće, sa a. Vrijedost iza za dato zovemo i člaom iza. Za iz a kažemo da mootoo raste ako je a < a +1 za svako N. Ako je a a +1, " N, kažemo da iz a e opada. Aalogo se defiiše moootoo opadaje odoso erašćeje iza a. Za iz a kažemo da je ograiče ako postoji reala broj M > 0, takav da je a M, " N.
Primjeri izova a 1 Primjer 1. Niz mootoo opada jer je, " N. Ovaj iz je i ograiče jer je, " N. 1 1 1 a 1 + + 1 1 1 a + 1 Primjer. Niz 1 za 1,,... ima vrijedosti, 3,,,... 3 4 i, očigledo, ije mooto. Kako je + 1 + 1 1, " N dati iz je ograiče. 4 5
ARITMETIČKI NIZ ARITMETIČKI NIZ ili ARITMETIČKA PROGRESIJA je iz od realih brojeva kod kojih je razlika svaka dva uzastopa člaa ovog koačog iza (proizvoljog i jemu prethodog) kostata. Neka je d kostata razlika odoso diferecija. Slijede relacije: a a1 + d Odoso a3 a + d a1 + d ai a1 + ( i 1) d, i 1,,,
ARITMETIČKI NIZ Primjejujući posledju relaciju imamo da je: a + a a + ( ) d 1 1 1 Odoso a + a 1 a1 + d + a1 + ( ) d a1 + ( 1) d a + a a + a 1 1 Na isti ači se provjerava da važi: a + a a3 + a a4 + a 1 3
ARITMETIČKI NIZ Kako je za: To je i k 1,,..., i i + k 1 aik a1 + ( i k 1) d ai+ k a1 + ( i + k 1) d,,..., i, k N a + a a + ( i 1) d a + ( i 1) d a i k i+ k 1 1 1 Odoso: a i a + a i k i+ k Proizvolji čla aritmetičkog iza je aritmetička sredia dva u odosu a jega simetriča člaa.
ARITMETIČKI NIZ Zbir prvih člaova aritmetičkog iza je: Kako je, takođe: a i a1 + a + + a i1 a i a + a + + a + a i1 1 1 Slijedi: ai ( a1 + a ) + ( a + a 1) + + ( a + a1) ( a1 + a ) i1 Odoso: ai a 1 + a ( ) i1
GEOMETRIJSKI NIZ GEOMETRIJSKI NIZ je iz realih brojeva takvih da je količik svaka dva uzastopa člaa (proizvoljog i jemu prethodog) kostata. a a a 3 1 a q a q a q a 1 q 1 1 a a a i i k i+ k proizvolji čla ai, i je, 3,..., 1 geometrijska sredia dva u odosu a jega simetriča člaa a i a1 i1 1 q a1 a1 1 q 1 q q q 1 Zbir prvih uzastopih člaova geometrijskog iza
GEOMETRIJSKI NIZ GEOMETRIJSKI NIZ je iz realih brojeva takvih da je količik svaka dva uzastopa člaa (proizvoljog i jemu prethodog) kostata. a a a 3 1 a q a q a q a 1 q 1 1 a a a i i k i+ k proizvolji čla ai, i je, 3,..., 1 geometrijska sredia dva u odosu a jega simetriča člaa a i a1 i1 1 q a1 a1 1 q 1 q q q 1 Zbir prvih uzastopih člaova geometrijskog iza
Kovergecija iza Za iz a kažemo da kovergira broju a ako za svako e > 0 postoji broj 0 N takav da a (ae, a+e), za svako > 0. Za iz a koji kovergira broju a kažemo, takođe, da ima graiču vrijedost ili graicu a i pišemo: a a, ili lim a a a čitamo a teži a, kad teži beskoačosti ili limes a, kad teži beskoačosti, jedak je a. Kako a (ae, a+e) a e < a < a + e a a < e, to kovergeciju iza a broju a možemo da defiišemo i a sledeći ači: Niz a kovergira broju a ako za svako e > 0 postoji 0 N takvo da je a a < e, " > 0
Za iz koji e kovergira ekom broju kažemo da divergira. Ako za proizvolji broj M > 0 postoji 0 N takvo da je a > M, " > 0, oda za iz a (koji je, očigledo, divergeta jer ije ograiče) kažemo, takođe, da kovergira plus beskoačosti i pišemo a +, ili lima + Za (divergeta) iz a kažemo da kovergira beskoačosti ili da je beskoačo veliki, ako za dato M > 0 postoji 0 N takvo da je a > M, " > 0. Simbolički: a, ili lima
OPERACIJE SA GRANIČNIM VRIJEDNOSTIMA NIZOVA Neka su a i b dva iza koji kovergiraju broju a odoso b. Tada je iz a + b, (a b, i za b 0 i a b 0, ) takođe kovergeta i jegova je b a graica a + b (ab, ). b
Dokaz (za zbir) Iz kovergecije izova a i b slijedi da postoje brojevi o ' i o " takvi da je a a e b b e "> o ' gdje je e proizvolja broj. Tada je e e a + b a + b a a + b b + e za svako veće od 0 ' i 0 ". Dakle, za poizvoljo dato e > 0 postoji broj 0 (a primjer, 0 max( 0 ', 0 ")) takvo da je a + b a + b e, " 0 " > o " što zači da iz a + b kovergira ka broju a + b
Primjer 1. Ako je a iz koji kovergira broju a i b c kostati iz, oda je lim a a limca limc lima ca Primjer. Izvlačejem čiioca iz brojioca i imeioca iza 3 5 + 4 kovergeta iza 3 lim1 4 lim5 iz a postaje količik dva 3 1 a 4 5 + 3 lim1 lim 4 lim 5 + lim 1 1 3 lim 1 5 + 4 lim 1 3 0 5 + 4 0 1 5
Neka tvrđeja Ako iz a ima graicu, oda je ta graica jedozača. Svaki kovergeti iz je ograiče. Svaki ograičei eopadajući ili erastući iz kovergira.
Ojlerov broj e,718 e lim m f ( m) lim m 1 + 1 m m
REALNA FUNKCIJA JEDNE REALNE PROMJENLJIVE Dome je D=(a,b)R, tj f:(a, b)r osove elemetare fukcije Kostata fukcija y = a, a R, D = R
Lieara fukcija y = ax + b, a 0, D = R 0
Fukcija obrute proporcioalosti, y a x, D = R\{0} 1
Kvadrata fukcija y = ax, D = R
Kuba fukcija y = x 3, D = R 3
Ekspoecijala fukcija y = a x, a R + \{1}, D = R 0<a<1 a>1 4
Logaritamska fukcija y = log a x, a R + \{1}, D = R + 5
Trigoometrijske fukcije: y = six, D = R y = cosx, D = R 6
y = tgx, D = {xr x (k-1)p/, kz}. y = ctgx, D = {xr x kp, kz} 7
SLOŽENA FUNKCIJA Neka je D oblast defiisaosti i G skup vrijedosti fukcije g i, dalje, G - oblast defiisaosti i V skup vrijedosti fukcije h 8
Ako je x proizvolji elemet skupa D, oda jemu odgovara (tačo) jeda elemet g(x) skupa G, a ovome (tačo) jeda elemet h[g(x)] skupa V. Na taj ači svakom elemetu x D odgovara tačo jeda elemet h[g(x)] skupa V. Preslikavaje x h[g(x)] je, dakle, fukcija čiji je dome D i skup vrijedosti V. Tako određea fukcija, ozačimo je sa f, zove se kompozicija fukcija g i h, ozaka h o g, tj f(x) = (h o g)(x) = h[g(x)] Za fukciju f kažemo, takođe, da je složea fukcija argumeta x. 9
Primjeri PRIMJER 1. Ako je g(x) = x - 1 i h(x) = logx, oda je kompozicija fukcija g i h fukcija f(x) = (h o g)(x) = h[g(x)] = h(x - 1) = log(x - 1). PRIMJER. Fukcija f(x) = (x - 3) 4 je kompozicija fukcija g(x) = x - 3 i h(x) = x 4. 30
INVERZNA FUNKCIJA Pretpostavimo da je y f(x) fukcija defiisaa i mootoa a itervalu D (a,b) i da joj je skup vrijedosti iterval V(c,d) tj. x(a,b)f(x)(c,d) Tada, za svako y 0 (c,d), postoji jedo jedio x 0 (c,d) takvo da je y = f(x 0 ). Dakle, postoji fukcija x = g(y) čiji je dome (c,d), skup vrijedosti (a,b) i pri čemu je f[g(y)] = y. 31
Ako, sada, u fukciji g argumet ozačimo sa x, a zaviso promjeljivu sa y dobijamo fukciju y = g(x) za koju kažemo da je iverza fukciji y = f(x). Iverzu fukciju fukcije f ozačavamo sa f -1. Iz defiicije slijedi da, ako tačka M(x,y) pripada grafiku fukcije y = f(x), oda tačka M 1 (y,x) pripada grafiku joj iverze fukcije (ukoliko postoji). To zači da su grafici fukcije y = f(x) i joj iverze fukcije y = g(x) simetriči u odosu a pravu y = x. 3
Primjer 1. Fukcija y six je mootoa a itervalu i je skup vrijedosti je iterval [1,1], 11, pa postoji fukcija g:,, pri čemu svakom y[1,1] pridružuemo oo za koje je y = six. x,
GRANIČNA VRIJEDNOST FUNKCIJE Koristeći pojam graiče vrijedosti iza defiisaćemo graiču vrijedost fukcije y = f(x) u datoj tački. Neka je y = f(x) fukcija defiisaa u ekoj okolii tačke a sem, možda, u samoj tački a i x 1, x,..., x,... proizvolji iz koji kovergira tački a i za koji postoji iz odgovarajućih vrijedosti fukcije, tj. iz f(x 1 ), f(x ),..., f(x ),... Ako za svaki takav iz x odgovarajući iz vrijedosti fukcije kovergira istom broju A, kažemo da u tački x = a fukcija ima graiču vrijedost A, a pišemo: f( x) A ili xa lim f( x) A xa
Primjer 1. Uzmimo fukciju f(x) x i tačku a. Niz x + 1 kovergira i jegova graica je a. Niz odgovarajućih vrijedosti fukcije je 1 1 1 +, +,..., +,... 1 9, 5 4 (ili x 4, ako x ) Ovaj iz kovergira i jegova graica je 4 + 4 + 1,...,,... 4 + 4 lim + 1 Ako uzmemo proizvolji drugi iz x koji kovergira broju, oda odgovarajući iz vrijedosti fukcije f(x ) 4 kovergira broju A 4. Prema tome, lim x x 4
Pretpostavimo da fukcija y = f(x) ima sledeću osobiu: za proizvoljo ε > 0 postoji δ(ε) takvo da je f(x) - A < ε za svako x a za koje je x - a < δ. Dokazaćemo da, tada, u tački x = a fukcija ima graicu A, tj. da f(x ) A, za svaki iz x a. Zaista, iz kovergecije iza x i avedee (pretpostavljee) osobie fukcije f(x) slijedi da postoji broj 0 takav da je x - a < δ, > 0 No, tada je i f(x ) - A < ε, za > 0 što zači da iz f(x ) kovergira broju A, odoso da u tački x =a fukcija ima graicu A.
Dokazuje se i tvrđeje obruto prethodom: ako je y = f(x) fukcija koja u tački x = a ima graicu A oda za svako ε > 0 postoji δ > 0 takvo da je f(x) - A < ε, za svako x za koje je x - a < δ. Graiču vrijedost fukcije, zato možemo da defiišemo a sledeći ači: Broj A je grača vrijedost ili graica fukcije f(x) u tački x = a, ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 takvo da je: f(x) - A < ε, za svako x a za koje je x - a < δ.
Primjer. Fukcija f(x) c (kostata) u svakoj tački x a ima graicu A c jer je za proizvoljo e > 0 f(x) A c c 0 < e za svako x iz (proizvolje) d-okolie tačke x a, pa je lim xa c Primjer 3. Fukcija f(x) x u svakoj tački x a ima graicu A a jer je za proizvoljo e > 0 f(x) A x a < e, "x: x a < d e. c
Pored graiče, defiišu se i lijeva i desa graiča vrijedost fukcije: Za broj A kažemo da je desa graiča vrijedost ili desa graica fukcije f(x) u tački x a ako za svaki iz x koji kovergira tački a i čiji su člaovi veći od a odgovarajući iz vrijedosti fukcije f(x) kovergira broju A. Aalogo se defiiše lijeva graiča vrijedost.za desu i lijevu graiču vrijedost koristimo ozake: lim f ( x) xa0 A 1 lim f ( x) x a+ 0 A
Primjer 5. Fukcija f( x) x x +,, x x 0 0 u tački x 0 ima desu graicu A 1 i lijevu graicu A 0
Ako je lim f( x) x A ili lim f( x) x+ A oda se prava y A zove horizotala asimptota grafika fukcije f(x).
Vertikala asimtota Ako je fukcija f(x) kad xa ili x a+0, ili x a-0, beskoačo velika veličia, oda se prava x = a zove vertikala asimptota grafika te fukcije. Iz defiicija graiče vrijedosti i vertikale asimptote slijedi da grafik fukcije može da ima vertikalu asimptotu x = a samo ako je tačka a kraj otvoreog itervala a kome je fukcija defiisaa. lim f( x) + lim f( x) xa xa Sličo za x a+0, ili x a-0 4
NEDOREĐENI IZRAZI Graiče vrijedosti izraza 1 ( x) ( x) 1 ( x) ( x) gdje su 1 (x) i (x) beskoačo male, a 1 (x) i (x) beskoačo velike veličie kad xa pripadaju klasi tzv. eodređeih izraza. Naime, ozačimo li, uslovo, sa 0 beskoačo malu, a sa beskoačo veliku pozitivu veličiu i sa 1 fukciju čija je graica 1, kad x a, oda se izrazi oblika 0 0,, 0,, 1, 0 zovu eodređei izrazi kad x a. 43
KOSA ASIMPTOTA Za pravu y = kx + kažemo da je kosa asimptota grafika fukcije y = f(x) ako je lim[f(x) - (kx + )] = 0, kad x+ ili x - Odavde f( x) k lim i lim f ( x) kx x x x 44
Teoreme T1. Ako su f(x) i g(x) fukcije koje u tački x a imaju graice A i B, oda i fukcije f(x) ± g(x), f(x)g(x) i (ako je u ekoj okolii tačke a g(x) 0 i B 0), f(x) g(x) imaju graiče vrijedosti u tački x a i te graiče. vrijedosti su, redom A ± B, A B, A B 45
T. Ako fukcije f(x) i g(x) u tački x = a imaju istu graicu A i ako je h(x) fukcija za koju u ekoj okolii tačke a važe ejedakosti f(x) h(x) g(x), oda i fukcija h(x) u tački x = a ima graicu A. 46
NEPREKIDNOST FUNKCIJE Za fukciju y f(x) kažemo da je eprekida u tački x x 0, ako u toj tački ima graiču vrijedost i ako je ta graiča vrijedost jedaka vrijedosti fukcije u tački x 0, tj. ako je lim f( x) f( x ) xx 0 Za tačku u kojoj fukcija ije eprekida, a u čijoj je ekoj okolii defiisaa, kažemo da je tačka prekida fukcije. 0
Primjeri Primjer 1. Fukcija f(x) x + 3 je eprekida u svakoj tački x 0 R jer je defiisaa u ekoj (čak svakoj) okolii te tačke i, pritom, lim x + 3 x + 3 f( x ) xx 0 0 0 Primjer. Fukcija f( x) x, x + 1, x x u tački x ema graiču vrijedost (ima samo lijevu i desu), pa u toj tački, dakle, ije eprekida.
Ekoomske fukcije Osove ekoomske veličie (kategorije) Cijea Tražja Pouda Proizvodja Prihod Troškovi Dobit
Pretpostavka sa rastom cijee tražja opada; ajveću vrijedost, max, ima pri cijei p = 0, dok ajmaju vrijedost dostiže ili edostiže zaviso od toga da li je u pitaju luksuzi proizvod (cigareta, automobil) ili proizvod od vitalog začaja (hljeb, lijek)
Pouda sa cijeom raste. Proizvod se udi pri cijei pri kojoj se traži, pa su oblasti defiisaosti poude i tražje iste. Iz pretpostavke o eprekidosti fukcije tražje i poude ekog proizvoda i mootoosti tih fukcija slijedi da postoji eka vrijedost p 0 argumeta p za koju se te fukcije izjedačavaju. Tu vrijedost argumeta p zovemo ravotežom cijeom.
Troškovi T rastu sa proizvodjom. Pri proizvodji x = 0 troškovi takođe postoje (a primjer, zbog amortizacije) i te troškove zovemo fiksim (ozaka T f ) za razliku od varijabilih T v astalih zbog proizvodje. (Ukupi) troškovi su zbir fiksih i varijabilih troškova
Prosječi troškovi pri proizvodji x su troškovi po jediici proizvodje: T T x Prihod je jedak proizvodu cijee i tražje (proizvodje). Pretpostavljamo da, do određee cijee, prihod raste, a zatim opada. Pri cijei p = 0 i prihod je P = 0
Dobit D(x) pri proizvodji x je razlika odgovarajućih prihoda i troškova: D(x) = P(x) - T(x). D x Iterval proizvodje a kome je dobit pozitiva zove se iterval retabiliteta, a jegovi krajevi su doja i gorja graica retabiliteta.