Διδασκαλία και η απόδειξη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Σχετικά έγγραφα
Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. Εµβαδά., x 1 x f

2018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προετοιµασίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Γενικού Λυκείου. Θετικών Σπουδών / Σπουδών Οικονοµίας & Πληροφορικής

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΙ & ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΒΑΣΙΜΕΝΑ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΓΙΑ ΤΟ ΘΕΜΑ Α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της?

και γνησίως αύξουσα στο 0,

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

γ. H εικόνα f( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 2 Μονάδες 2 ε.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ- ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

1. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο x 0 την ευθεία y = αx + β, µε α 0, όταν. είναι + είναι -

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

20 επαναληπτικά θέματα

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι:

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ)

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Ημερομηνία:

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Λύσεις θεμάτων επαναληπτικών πανελληνίων εξετάσεων. Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας. Δευτέρα, 10 Ιουνίου 2013 ΕΣΠΕΡΙΝΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ / ΤΜΗΜΑ : ΘΕΤΙΚΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΤΕΛΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ 2018

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. f (f )(x) x f (f )(x) x f (f )(x) (f ) (x)

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

f κυρτή στο [1,5] f x x f η Επαναληπτική f [ 2,10], επιπλέον για την f ισχύουν lim 2 x f 8 1,0 και

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

x R, να δείξετε ότι: i)

Εξεταστέα ύλη Άλγεβρας Α Λυκείου Σχολικό έτος Εξεταστέα ύλη Γεωμετρίας Α Λυκείου Σχολικό έτος

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

στο (α, β). Μονάδες 7 A2. Έστω Α ένα μη κενό υποσύνολο του. Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Μονάδες 4

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Απαντήσεις ισχυρισμών και αντιπαραδείγματα. Για το Α Θέμα των Πανελληνίων Εξετάσεων

g είναι παραγωγίσιμες στο x 0, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f x 0 και ισχύει

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( )

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α4. α) Λάθος. Το θεώρημα ισχύει για διάστημα και όχι για ένωση διαστημάτων που είναι το σύνολο Α. Π.χ.

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Πες το με μία γραφική παράσταση

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 18 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x = x 6x + 3, x 1, 1. Η f είναι συ-

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1o ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

20 επαναληπτικά θέματα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συλλογή. Γενικού Λυκείου. Ημερησίου-Εσπερινού-Ομογενών

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 3 Ιανουαρίου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

40 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ)

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Λύσεις θεμάτων πανελληνίων εξετάσεων. Στο μάθημα: «Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής» Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας. Δευτέρα, 20 Μαΐου 2013

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 142 Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Fermat: Στο σημείο (x o, f(x o )) η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια.

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Transcript:

Διδασκαλία και η απόδειξη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Δύο λόγοι για να διδάσκονται αποδείξεις: H απόδειξη είναι η ουσία των Μαθηματικών H απόδειξη είναι χρήσιμη για τις εξετάσεις

2006

2000 x x 0 f x x 0 x 0 2 1

Kαλή γνώση της θεωρίας Καλή τεχνική κατάρτιση Αποδεικτική ικανότητα

Θεωρία δεν είναι ένα σύνολο κανόνων αλλά μία οργανική ενότητα. Τα σχολικά βιβλία δεν έχουν θεωρία αλλά πληροφορίες. Το ζητούμενο δεν είναι λιγότερη (= «συνοπτική») θεωρία αλλά η πληρέστερη ανάπτυξη της.

Στόχος: Θεωρητική ανάπτυξη με «πυκνότητα» αποδείξεων ανάλογη με εκείνη της Γεωμετρίας

Γεωμετρία: Μελέτη βασικών σχημάτων (τρίγωνο, τετράπλευρο, κύκλος) Ανάλυση: Επίλυση δύο προβλημάτων

Πρόβλημα 1 Να βρεθεί η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης σε ένα σημείο της.

Πρόβλημα 2 Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζεται από την γραφική παράσταση μίας συνάρτησης πάνω από ένα διάστημα.

Εισαγωγή: Λόγος Μεταβολής: Mία ενοποιός έννοια

Ο λόγος μεταβολής μπορεί να περιγράψει τη μονοτονία

τα ακρότατα

την κυρτότητα

Ο λόγος μεταβολής έχει αλγεβρικές ιδιότητες ανάλογες της παραγώγου cf x, x c x, x 1 2 f 1 2 x, x x, x x, x f g, 1 2 f 1 2 g 1 2 x, x x, x g x x, x f x fg, 1 2 f 1 2 1 g 1 2 2 1 x, x x, x 1 1 2 g 1 2 g g x1 g x2 x, x f x, f x x, x g f 1 2 g 1 2 f 1 2 Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Μέρος Ι, Το όριο ως έννοια χωρίς ορισμό Η εισαγωγή στο όριο μπορεί να γίνει από το πρόβλημα της εφαπτομένης όηαν M P ηόηε ηέμνοςζα εθαπηομένε

όηαν M P ηόηε ηέμνοςζα εθαπηομένε όηαν x x ηόηε ηέμνοςζα εθαπηομένε 0 όηαν x x ηόηε 0 ηέμνοςζαρ εθαπηομένερ όηαν x x ηόηε f x f x 0 0 εθαπηομένερ x x0 εθαπηομένερ lim xx 0 f x f x x x 0 0

Μερικές απλές εφαπτομένες 2 f x x x0 1 f x x x 0 1 2 x 1 lim x1 x 1 1 1 1 lim x x1 x1 x 1 f x x x0 1 lim x1 x 1 εμx f x εμx x0 0 lim x0 x ζςνx εμx 1 x ζςνx Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Η ανάπτυξη των ορίων μπορεί αρχικά να γίνει μέσω της γραφικής παράστασης

Να περάσει στα όρια των στοιχειωδών συναρτήσεων lim x e x e 0 R lim εμx x εμ * R Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Να συνδεθούν τα όρια με τις πράξεις f xg x f x g x lim lim lim x x x f g οπίδεηαι κονηά ζηο ηα όπια ηος β μέλοςρ ςπάπσοςν Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής g x limσχολής g x κονηά Σμύρνης ζηο ε ππάξε ζηο β μέλορ επιηπέπεηαι lim lim lim x u g x x f g οπίδεηαι κονηά ζηο f g x f u ηα όπια ηος β μέλοςρ ςπάπσοςν x

Να γίνει σύνδεση με την διάταξη lim x f x g x f x lim g x f x g x x κονηά ζηο κονηά ζηο lim x f x lim g x x x x lim f 0 f x,lim f x x ομόζεμα κονηά ζηο Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

f x g xhxκονηά ζηο lim x h x lim x f x lim x f x lim h x x R lim g x lim g x R lim gx x x x Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Συνεχείς Συναρτήσεις 0 x Tα όπια lim f βπίζκoνηαι xx με «ανηικαηάζηαζε» Όηαν δεν διακόπηεηαι ηο D f δεν «διακόπηεηαι» και ηο C f

Μέρος ΙΙ, Η παράγωγος Πρόβλημα Εφαπτομένης εθαπηομένερ lim h0 f x h f x 0 0 h Πρόβλημα Στιγμιαίας Ταχύτητας t 0 lim t 0 f t t f t 0 0 t Μία «Θεωρία» f x f x h f x f x f x ' lim lim 0 0 0 0 h0 h xx0 x x0

Η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται την συνέχεια: Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο είναι συνεχής σε αυτό

Αλλά και η συνέχεια μπορεί να περιγράψει την παραγωγισιμότητα: ςπάπσει ηέηοιο ώζηε ε ζςνάπηεζε, f x x0 x x 0 f παπαγωγίζιμε ζηο x0 f x x x0 να είναι ζςνεσήρ ζηο x 0

Η «παρατήρηση του Καραθεοδωρή» ή αλλιώς ο ορισμός της παραγώγου κατά Καραθεοδωρή. f παπαγωγίζιμε ζηο 0 0 0 ςπάπσει ζςνάπηεζε fˆ ζςνεσήρ ζηο x ηέηοια ώζηε f x f x fˆ x x x Σε αςηή ηεν πεπίπηωζε x 0 fˆ x f ' x 0 0

Οι τύποι για τις παραγώγους και οι κανόνες παραγώγισης μπορούν να παραχθούν με την ακόλουθη σειρά 1 1) Υπολογίδονηαρ ηιρ παπαγώγοςρ ηων c, x,, x x, x x 2) Υπολογίδονηαρ ηεν παπάγωγο ηερ εμx x x 3) Υπολογίδονηαρ ηεν παπάγωγο ηερ e σπεζιμοποιώνηαρ μόνο ηεν e 1x 4) Υπολογίδονηαρ ηεν παπάγωγο ηερ ln x σπεζιμοποιώνηαρ ηεν ln x x1

5) Aποδεικνύονηαρ ηοςρ ηύποςρ για ηιρ παπαγώγοςρ ηων γινομένων γὰρ πάντων κατὰ τὸν λόγον 1 f cf, f g, f g,, g g 6) Aποδεικνύονηαρ ηον ηύπο για ηεν παπάγωγο ηερ g f : g f ' x lim xx 0 lim xx g ' 0 ˆ 0 gˆ f x lim xx 0 g f x g f x 0 0 0 0 0 x g f x g f x f x f x g f x f x f ' x 0 0 f x f x x x x x x 0 0 0

7) Υπολογίδονηαρ ηιρ παπαγώγοςρ ηων x, x ζςν x, x, log x

Μέρος γινομένων ΙΙΙ, Τα βασικά γὰρ πάντων θεωρήματα κατὰ των τὸν λόγον παραγώγων

Μέρος ΙV, Το ορισμένο ολοκλήρωμα

Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

,

Σας Ευχαριστώ Ν.Σ. Μαυρογιάννης MSc, PhD Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης