. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili ±. Ako postoji realan broj L, kojem se funkcija y f () približava kad je varijabla blizu a, tada taj broj zovemo es funkcije f () u točki a, odnosno L f ( ) a L f ( ) ako je a. Ovakva proizvoljna definicija je opisna, ali nije potpuno točna. Na primjer, trigonometrijska funkcija f ( ) sin zadovoljava: sin ± ako je. Međutim, brojevi i nisu esi funkcije f ( ) sin u, nego dva različita gomilišta. Prema ovome, da bismo učinili razliku između esa i gomilišta, potrebno je iskazati preciznu definiciju esa i gomilišta dane funkcije y f () u a koristeći pojmove ε okoline ( epsilon okoline). Realan broj L je gomilište funkcije y f () u ako vrijedi: za svaki ε > 0 postoji M > 0 takav da za beskonačno mnogo > M vrijedi f ( ) ( L ε, L + ε ). Realan broj L je es funkcije y f () u ako vrijedi: za svaki ε > 0 postoji M > 0 takav da za svaki > M vrijedi f ( ) ( L ε, L + ε ). Kako vidimo, za preciznu definiciju esa i gomilišta koristimo pojam ε -okoline broja L, a to je interval ( L ε, L + ε). Nije teško pokazati da iz ove dvije definicije slijedi da je es jedinstveno gomilište. Na primjer, ako funkcija ima dva različita gomilišta u, tada funkcija nema es u.
70 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI Analogno se definira es funkcije u bilo kojoj konačnoj točki a (vidi poglavlje?.). U računanju esa dane funkcije y f () u, ne koristimo se definicijom, nego svojstvima esa u odnosu na algebarske operacije među funkcijama, te prelazom sa beskonačno velikih na konačne i proizvoljno male (dijeljenje s najvećom potencijom). U tom smislu treba znati da je 0, q 0, za q <. Svojstva esa u odnosu na algebarske operacije među funkcijama su: ( f ( ) ± g( )) f ( ) ± g( ), a ( α f ( )) α f ( ), a ( f ( ) g( )) ( f ( )) ( g( )), a f ( ) f ( ) a, a g( ) g( ) ( f ( ) a g ( ) a a ) ( f ( )) a a a a a g ( ) a, pod uvjetom da svi esi koji se pojavljuju na desnim stranama u prethodnim jednakostima postoje, odnosno konačni su brojevi.. NEODREĐENI OBLIK U ovoj točki ćemo računati ese racionalnih funkcija koristeći prethodno opisana svojstva esa funkcija. RIJEŠENI PRIMJERI U slijedećim zadacima izračunati ese racionalnih funkcija. + + (+ )/.. ( )/
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 7 + + ( )/ +.. + ( + )/ + 7 + + 7 ( 7 )/ + 6.. + ( + )/ + + + ( )/ + 0 7. 0. + ( + )/ + 6 + 6 + (6 )/ + 6 8.. + ( + )/ + 0 ( )/ 9.. + ( + )/ + + + ( + )/ 0. +. + (+ )/ + + + + [ + + + ]/. + [ + ]/ + + + +. + + + + ( ) [ + + ( )]/. + + [ + + ]/ + + +. + + +
7 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI ( ) ( ) +. ( ) + + + + ( + )/. ( + )/ + + ( ) ( ) + ( ). ( ) + ( ) + [ ]/. + [ + ]/ + ZADACI ZA VJEŽBU +.. + + 0 6.. + + 7.. + + 7 + 8.. + + 7 + 9.. + + + 0.. + + + + + 7.. + + +
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 7 + + + 7.. + + + RJEŠENJA R.. R 6. 0. R.. R 7.. R.. R 8.. R 9.. R0... NEODREĐENI OBLIK U ovoj točki ćemo računati ese funkcija kod kojih se nakon uvrštavanja pojavljuje neodređeni oblik. U tom slučaju je potrebno danu funkciju transformirati raznim trikovima (racionaliziranje, faktoriziranje, itd.) na oblik, te nastaviti u smislu prelaza sa beskonačno velikih na konačne i proizvoljno male veličine (dijeljenje brojnika i nazivnika sa najvećom potencijom), što je objašnjeno u prethodnom poglavlju. RJEŠENI PRIMJERI U slijedećim zadacima izračunati ese funkcija. + +. ( ) ( ) + + 0. + + + + + + + + ( )/. + + [ + + ]/ + +. ( ) ( )
7 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI + + + + + +. ( ) ( ) + ( 9)/ + + [ + + ]/ 9. + + + + + 6. ( + ) ( + ) + + + + + + ( ) 7 [ + + ]/ [ + + ]. 7 / 7 7 7. ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ] + + + + + + + [ + + + ] [ + + + ] + + + + + + ( + )/ + + + [ + + + ]/ +. + + + + ZADACI ZA VJEŽBU 8. ( + + ). 9. ( + ). 0. ( + + + ).
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 7. ( + ).. ( + + ). RJEŠENJA R 8.. R9.. R0.. R.. R... NEODREĐENI OBLIK U ovoj točki računamo ese funkcija oblika g ( ) y f ( ) kod kojih nakon uvrštavanja dobivamo oblik. Osim svojstava esa, nabrojanih na početku ovog poglavlja, koristit ćemo važan identitet: ( + ) e. Nadalje, treba primijeniti određene «trikove» pomoću kojih se dani oblik y f ( ) transformira na eksponencijalni oblik e, pa potom u eksponentu primijeniti rješavanje oblika s početka ovog poglavlja. g ( ) RJEŠENI PRIMJERI U slijedećim zadacima izračunati ese funkcija. +. + + e. + a + a a. + + + a a a a + e. a a a
76 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI. e. + + + e a 6. e. a a + + a + a e + 7. + + e. + 8. + + + + + + ( ) + + e e. + + a a b a 9. + + b b b b ( b a) ( ) b a b ( ) b a b b a + e e. b b a ZADACI ZA VJEŽBU + 60.. + 6.. + 6.. + + 6.. +
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 77 / 6.. + + RJEŠENJA R 6 60. e. R 6. e. R6. e. R6. e. R6. e.. KOSE ASIMPTOTE Desna kosa asimptota funkcije y f () je pravac y k + l kojem se funkcija f približava kada je blizu +. Lijeva kosa asimptota funkcije y f () je pravac y k + l kojem se funkcija f približava kada je blizu. Prema tome, kose asimptote (ako postoje) opisuju ponašanje funkcije za neizmjerno pozitivne i negativne, odnosno precizira desni i lijevi dio grafa funkcije. Efektivno pronalaženje kosih asimptota se svodi na precizno računanje nekoliko esa. Što više, za koeficijente kosih asimptota vrijede formule: desna kosa asimptota y k + l k f ( ), lijeva kosa asimptota y k k f ( ), l l ( f ( ) k ); + l ( f ( ) k funkcije y funkcije y ). f ( ) : f ( ) : Ako iz ovakvog računa barem jedan od brojeva k i l ne postoji, tada funkcija y f () nema desnu kosu asimptotu. Ako pak barem jedan od brojeva k i l ne postoji, tada funkcija y f () nema lijevu kosu asimptotu. Ako je u jednoj od kosih asimptota prvi koeficijent jednak nuli tada je ona specijalno horizontalna asimptota. Nužnost prethodnih formula za koeficijente k, l, k i l nije teško opravdati direktno iz definicije esa i kosih asimptota. Naime, iz definicije desne kose asimptote imamo da je:
78 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI y k + l f ( ) ako je +. Ako podijeo sa ovu aproksimativnu jednakost, dobivamo izraz za k, a potom prebacivanjem na drugu stranu, dobivamo izraz za l, odnosno: ( k + l k + l f ( )) / f ( ) l k + l / f ( ) / k f ( ) k ako je +. f ( ) ako je +, RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima izračunati kose asimptote danih funkcija. 6. f( ) + ; D( f) (, ] [0, +); f( ) + / + k ; / + + + l ( f( ) k) ( + ) + + + + ; + + Desna asimptota je: y k+ l + ; k f ( ) l ( f ( ) k ) + ( + + ) ( + ( ) + + Lijeva asimptota je : y k + l ; / / ) ; ; +
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 79 66. f( ) + ; D( f) (,0] [, +); f( ) + k + ; + l ( f( ) k) ( + ) ( ) + ; + + Desna asimptota je: y k + l ; k + f ( ) + l ( f ( ) k + 0; ) ( + + + + ( + ) + + Lijeva asimptota je : y k + l ; ) ( + + + + ) ; + + 67. f ( ) arctg ; 9 D( f ) (, ) (, +); π iz razloga arctg ( + ) k 0; π l ( f ( ) k) arctg arctg arctg ; 9 9 π Desna asimptota je: y ; π iz razloga arctg ( ) k l ( f ( ) k) arctg π Lijeva asimptota je : y ; 0; arctg 9 9 π arctg ;
80 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI 68. f( ) ; D( f) (,]; nema desnog dijela domene pa nema ni desnu asimptotu ; f( ) + k ; l ( f( ) k ) ( ) ( ) ; Kako ne postoji l, to nema ni lijeve asimptote. ZADACI ZA VJEŽBU U slijedećim zadacima naći kose asimptote danih funkcija. 69. f ( ). 70. f ( ) + 6. 7. f ( ) + +. 7. f ( ) th. + + 7. f ( ) +. RJEŠENJA R69. D( f ) [, ], nema kosih asimptota. R70. D( f) (, 6] [, ), desna y +, lijeva y. R7. D( f) (, ] [0, ), desna y +, lijeva y.
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 8 R7. D( f) (, +), desna y, lijeva y. R7. D( f) (, +), desna y, lijeva y.