. METODE RJEŠAVANJA NELINEARNE JEDNADŽBE S JEDNOM NEPOZNANICOM. METODA BISEKCIJE.. METODA Nakon početnog stražvanja unkcje poznat su nam Kako može zgledat na ntervalu [ l, d ]? < <. l d l d, tako da je: Ako je unkcja nepreknuta mora presjeć -os barem jednom, odnosno postoj barem jedan realn korjen zmeđu l d. Kako mu se prblžt? Raspolovmo nterval: l + d s =
Ako je s =, tada je s tražen korjen = s, a ako ne gdje je? Ako je l s <, tada je l, s. Ako je s d <, tada je [ s, d ]. U oba slučaja dobjemo nov nterval upola manj od prethodnog u kome je postupak položaj korjena je bolje poznat. [ ]. Ako nastavmo Ime metode : bsecton method = bnary chopng = nterval halvng = Bolzano s method.. KONVERGENCIJA Ako je unkcja nepreknuta, konvergencja metode je sgurna. Brzna konvergencje: gornja ocjena greške u -tom koraku je očto: pa je: Tako ako želmo nać - početna greška, odnosno: =, l d + =. s točnošću moramo učnt n koraka, tj. = n = n = n n = log. =... = n..3 SVOJSTVA [ d Ako unkcja ma prekd na l, ] može bt l d < bez korjena u tom ntervalu, pa metoda neće konvergrat.
Kada konvergra, konvergra dosta sporo, tj. ma bržh metoda...4 PSEUDOKOD Da b se zašttl od moguće dvergencje na unkcjama s prekdom, najbolje je kao krterj zaustavljanja uzet < ogrančt broj teracja. s ter= DO ter=ter+ s=l+d/ err= s IF err> IF l s < d=s ELSE l=s WHILE err> and der<mat 3
. NEWTONOVA METODA.. METODA Ako možemo zračunat vrjednost unkcje vrjednost dervacje unkcje koj je blzu traženog korjena, možemo nelnearnu unkcju zamjent pravcem najslčnjm toj unkcj tangentom! ako znamo nek u okoln točke, Mjesto gdje ta tangenta sječe -os lako zračunamo: = ' + = + ' Ponovmo st postupak vše puta: Newton-Raphsonova ormula 4
Ako smo krenul dovoljno blzu korjenu ako je unkcja na tom djelu dovoljno dobra metoda će konvergrat! Ime metode: Newtonova metoda = Newton-Raphsonova metoda = metoda tangente.. KONVERGENCIJA Pretpostavmo da je dva puta dervablna tako da u okoln vrjed Taylorova ormula: + ' ξ " = + Posebno za tražen korjen : uz ξ = ξ " + ' dok z Newton-Raphsonove ormule sljed: = + ' +, oduzmanjem ovh jednakost dobvamo: " ξ = ' + + odnosno: " ξ + = ' te je konvergencja kvadratčna! = + + ϑ ϑ <, >,..3 SVOJSTVA Metoda ma slabu globalnu konvergencju: ako nsmo dovoljno blzu korjenu metoda će vrlo lako dvergrat problem je u horzontalnm kvaz-horzontalnm tangentama! 5
No kada smo dovoljno blzu korjenu kvadratčna konvergencja metode znač da se broj točnh znamenk udvostručava sa svakm korakom! Zato je ovo najkorštenja od svh metoda za traženje korjena...3 PSEUDOKOD Da b se zašttl od dvergencje kod ove metode osm ogrančenja broja teracja uzmanja za krterj zaustavljanja < treba pazt na horzontalne tangente! ter= DO ter=ter+ d= IF d >TINY = - /d err= IF err> = WHILE d >TINY and err> and ter>mat 6
.3 METODA SEKANTE.3. METODA Pretpostavmo da su nam poznate dvje točke koje su blzu traženog korjena, tada možemo unkcju zamjent pravcem kroz točke,, tj. sekantom. Mjesto gdje sekanta sječe -os lako zračunamo: 3 3 3 = = Da l je blže korjenu? 3 U teratvnom postupku deju sekante možemo korstt na dva načna: Ako su dva uzastopna prblžna rješenja uzmmo za duće: = + 7
Ime metode: metoda sekante Ako su l d takv da je l d < umjesto da djelmo nterval [ l, d u sredn djelmo ga tamo gdje sekanta sječe -os tj. u: d l d s = d l d zatm nastavljamo kao u metod bsekcje tj.: ako je < =, l s d s a ako je d s < l = s. Ime metode: alse poston method=regula als=lnear nterpolaton method ].3. KONVERGENCIJA Metoda sekante: može se pokazat da je:,68 + = c.68 = golden rato Regula als metoda: buduć da je bolja od metode bsekcje ma barem lnearnu, a često superlnearnu konvergencju. 8
.3.3 SVOJSTVA ' Metoda senkante: evaluacja je u nekm slučajevma nemoguća, pa je tada od Newton- Raphsonove bolja ova metoda. To se međutm plaća sporjom konvergencjom s reda padamo na red,68. Metoda može dvergrat z slčnh razloga tj. zbog lokalnog ponašanja baš kao Newton-Raphsonova matoda. Regula als metoda: ako je l blže nego d vjerojatnje je da je blže l nego r, to metoda bsekcje ne uzma u obzr, a regula als metoda da! Zato je ova metoda bolja od metode bsekcje tj. brže konvergra, a sto kao metoda bsekcje ne može dvergrat za neprekdne. 9
3 Usporedba metode sekante regula als metoda: kada konvergra metoda sekante konvergra brže, al može dvergrat dok se to sa regula als metodom ne može dogodt! Ima unkcja na kojma su obje metode spore čak slabje od metode bsekcje:.3.4 PSEUDOKOD Metoda sekante ter= DO ter=ter+ d=- IF d >TINY 3=- -/d err= 3 IF err > = =3 WHILE d >TINY and err > and ter<mat
Regula als metoda ter= DO ter=ter+ d=l-d IF d >TINY s=d-d l-d/d err= s IF err > IF l s< d=s ELSE l=s WHILE d > TINY and err > and ter<mat
.4 METODA FIKSNE TOČKE.4. METODA Ako je korjen jednadžbe: ako denramo: onda za vrjed: = g = + = g tj. je ksna točka unkcje g. Tada ako je blzu onda je pa je možda: još blže! = g + g
Ime metode: teracjska metoda = metoda ksne točke.4. KONVERGENCIJA Izračunajmo red konvergencje: = g g = teorem srednje vrjednost = g ξ = g' ξ + = + ' Prema tome, ako je g ' <, metoda konvergra to lnearno, a ako je g ' metoda dvergra! Uočmo još da ako je g'>, se monotono mjenja, a ako je g '<, osclra..4.3 SVOJSTVA Može se prmjent samo ako se zna da u blzn traženog korjena je konvergencja sgurna, al je najvše lnearna. g = + ma g ' <, tada.4.4 PSEUDOKOD Ogrančenje g ' < nećemo provjeravat! ter= DO ter=ter+ =+ err= IF err> = WHILE err> and ter<mat.5 OSTALE METODE Van Wjngaarden-Dekker-Brentova metoda: Lokalno zamjenjuje se unkcja kvadratnom parabolom traž njen presjek sa -os superlnearna konvergencja! samo ako ta točka spada z ntervala u kome tražmo korjen korak se zamjenjuje ' občnom bsekcjom => super-strategja preporučljva za sve za koje ne možemo računat. 3