Capitolul V: Şiruri şi srii d fucţii. Lct. dr. Lucia Maticiuc Facultata d Hidrothică, Godzi şi Igiria Mdiului Matmatici Suprioar, Smstrul I, Lctor dr. Lucia MATICIUC SEMINAR 9. Cap. V Şiruri şi srii d fucţii. Să s afl mulţima d covrgţă a sriilor d putri: ) a) + x, b) + ) β x,, β >, c) 5 9 4 3) 3 7 4 ) x, d)! Rzolvar: x Aplicăm Dfiiţia: Numim sri d putri o sri d forma a x ud a ) st u şir d umr ral. Torma lui Abl: Ptru oric sri d putri a x xistă R a.î. R şi: ) Sria st absolut covrgtă ptru oric x a.î. x < R chivalt x R, R)). ) Sria st divrgtă ptru oric x a.î. x > R. D asma avm că ptru oric ρ a.î. < ρ < R, sria st uiform covrgtă ptru oric x a.î. x ρ chivalt x [ ρ, ρ]) Numărul R s umşt raza d covrgţă a srii d putri. Torma lui Cauchy-Hadamard: Fi sria d putri a x şi R raza sa d covrgţă. Atuci R s poat calcula după formull: a) R a, b) R a) Avm sria + a x ud a covrgţă folosid prima formulă. a ) ) + + a + a. Est covabil să calculăm raza d ) + ) Lucia Maticiuc Dci R adică sria st st absolut covrgtă ptru oric x a.î. x < /, chivalt x /, /), sria st divrgtă ptru oric x a.î. x > / şi sria st uiform covrgtă ptru oric x a.î. x ρ, chivalt x [ ρ, ρ] ud ρ, /)
Capitolul V: Şiruri şi srii d fucţii. Lct. dr. Lucia Maticiuc Î captl x R şi x R covrgţa trbui studiată sparat. Astfl ptru x / obţim sria ) ) + + ) ) ) + ud b iar ptru x / obţim sria ) b ) ) + ) + S poat arăta!) că b dci sriil d mai sus sut divrgt doarc trmii grali ai clor două srii u tid la ). Dci mulţima d covrgţă st /, /). Idicaţi: b doarc ) + + ) ) + + ) + ) + + ) + ) [ + ) ] b + ) Ptru a găsi acastă ită st suficit să calculăm ita următoar, aplicâd L Hospital d două ori + x) x x x + ) b) Î acst caz a. Putm calcula raza după ambl formul. Astfl a β + ) β + β + Lucia Maticiuc Avm imdiat că +, s poat arăta acasta pri două mtod ) c + + c c + sau ) s arată mai îtâi cu L Hospital că x x + x + ) x... vzi Smiarul x x 8. Dci şi + ). β
Capitolul V: Şiruri şi srii d fucţii. Lct. dr. Lucia Maticiuc Dci a β adică raza R β şi avm că sria st st absolut covrgtă ptru oric x a.î. x < β/, chivalt x β/, β/), sria st divrgtă ptru oric x a.î. x > β/ şi sria st uiform covrgtă ptru oric x a.î. x ρ, chivalt x [ ρ, ρ] ud ρ, β/) Î captl x β/ şi x β/ covrgţa trbui studiată sparat. Astfl ptru x β/ obţim sria + ) β x + ) ) β + ) β ) + ) iar trmul gral al acsti srii st ) car vidt u tid la ci, p subşiruri, tid la şi. Dci sria d mai sus st divrgtă. Ptru x β/ obţim sria + ) β x + ) ) β + ) β + ) iar trmul gral al acsti srii st car vidt u tid la ci la. Dci sria d mai sus st divrgtă. Dci mulţima d covrgtă rămâ β/, β/) Tmă: să s calculz raza R folosid cl d al doila mod d calcul. c) Avm a calcul 5 9 4 3) şi st avatajos să calculăm folosid al doila mod d 3 7 4 ) a + a 5 9 4 3) 4 + ) 3 7 4 ) 3 7 4 ) 4 + 3) 5 9 4 3) 4 + 4 + 3 dci R adică avm că sria st st absolut covrgtă ptru oric x a.î. x <, chivalt x, ), sria st divrgtă ptru oric x a.î. x > şi sria st uiform covrgtă ptru oric x a.î. x ρ, chivalt x [ ρ, ρ] ud ρ, ). Î captl x şi x covrgţa trbui studiată sparat. Astfl ptru x obţim sria 5 9 4 3) 5 9 4 3) 3 7 4 ) x 3 7 4 ) ) S poat arăta!) că şi avm imdiat că 5 9 4 3) a 3 7 4 ) Lucia Maticiuc a + 4 + a 4 + 3 < adică şirul a ) dscrşt. Dci di critriul lui Libiz obţim că sria d mai sus st covrgtă. P d altă part ptru x obţim sria 5 9 4 3) 3 7 4 ) x 3 5 9 4 3) 3 7 4 )
Capitolul V: Şiruri şi srii d fucţii. Lct. dr. Lucia Maticiuc Avm că a + 4 + a 4 + 3 dci critriul raportului u spu imic. Aplicăm î cotiuar critriul lui Raab- Duhaml. ) ) a 4 + 3 a + 4 + 4 + < dci sria d mai sus st divrgtă. Mulţima d covrgţă st [, ). d) a + a + )! + ) +! + ) + ) + + ) + ) + ) dci R şi avm că sria st st absolut covrgtă ptru oric x a.î. x <, chivalt x, ), sria st divrgtă ptru oric x a.î. x > şi sria st uiform covrgtă ptru oric x a.î. x ρ, chivalt x [ ρ, ρ] ud ρ, ). Î captl x, x studim sparat. Astfl ptru x sria dvi! ) ) b ud b!. Avm că doarc s şti că b + b + )!+ + ) +! + ) + ) + + ) + ) + ) > şirul + ) tid crscător la Dci şirul b ) st crscător şi ar trmi pozitivi, dci avm că b şi dci ) b adică sria! ) ) b st divrgtă. Ptru x sria dvi ud b!. Avm ca mai sus că! b + b b + ) > Dci şirul b ) st crscător şi ar trmi pozitivi, dci avm că b adică sria! b st divrgtă. Dci mulţima d covrgţă a srii st, ). Lucia Maticiuc 4
Capitolul V: Şiruri şi srii d fucţii. Lct. dr. Lucia Maticiuc. Să s dzvolt î sri d putri fucţiil: a) f x), b) f x), c) f x), d) f x) arctgx + x x + x Rzolvar: Aplicăm Dfiiţia: Fi I u itrval şi a I. Fi f : I R o fucţi idfiit drivabilă î puctul a. S umşt sri Taylor a fucţii f î puctul a sria f a) + f a) x a) + f a) x a) + f a) x a) 3 + + f ) a) x a) +!! 3!! Torma: Sria Taylor a fucţii f î puctul a st covrgtă îtr-u puct x I cătr valoara f x) dacă şi umai dacă rsturil R x) al formuli lui Taylor formază u şir covrgt la. Î particular ptru a obţim sria Mac-Lauri asociată ui fucţii f. Dfiiţia Formula lui Taylor): Fi I u itrval dschis. Dacă f : I R st o fucţi d + ) ori drivabilă p I atuci ptru oricar două puct x, a I cu x a ar loc Poliomul f x) f a) + f a) x a) + f a) x a) + f a) x a) 3 +!! 3! + + f ) a) x a) + R x)! T x) f a) + f a) x a) + f a) x a) + f a) x a) 3 + + + f ) a) x a)!! 3!! s umşt poliomul Taylor d grad, ataşat fucţii f î puctul a. Catitata R x) st rstul di formula Taylor şi ar divrs form d xprimar x a) x ξ) a) R x) f +) ξ)! x a)+ b) R x) f +) ξ) + )! ud ξ st u puct îtr a şi x. rstul lui Cauchy rstul lui Lagrag Î particular ptru a obţim Formula lui Mac-Lauri: Fi I R u itrval dschis c coţi p. Dacă f : I R st o fucţi d + ) ori drivabilă p I atuci ptru oric puct x I ar loc f x) f ) + f ) x + f ) x + f ) x 3 + + f ) ) x + R x)!! 3!! Lucia Maticiuc a) Trbui calculat drivatl d ordi al fucţii. Astfl ) f x) + x) ) ) + x) + x f x) ) + x) ) ) ) + x) 3 )! + x) 3 f x) )! + x) 3) )! 3) + x) 4 ) 3 3! + x) 4 5
Capitolul V: Şiruri şi srii d fucţii. Lct. dr. Lucia Maticiuc dci iductiv dducm că dci f ) x) )! + x) +) f ) ) )! Obţim că sria Taylor asociată fucţii f î puctul a adică sria Mac-Lauri) st!! x +!! x 3! 3! x3 + + )!! x + x + x x 3 + + ) x + ) ) x Mai îtâi trbui dtrmiată raza d covrgţă a acsti srii. Avm că a ) dci a + ) + ) a adică R şi sria st absolut covrgtă ptru x cu x <. Tmă: d studiat covrgţa î puctl x, x sriil obţiut sut divrgt doarc trmul lor gral u tid la ) Ptru a dmostra că acastă sri ar suma f x) trbui sa aplicăm Torma 55. Formula lui Taylor asociată acsti fucţii î puctul a st adică f x) f a) + f a) x a) + f a) x a) + f a) x a) 3 +!! 3! + + f ) a) x a) + R x)! f x) x + x x 3 + + ) x + + R x) ud R x) st dat d aumit formull. S poat arăta!) că R x),. Dci, coform ui Torm avm că sria ) ar suma dată d f x), adică ar loc următoara dzvoltar importată + x + x x + x x 3 + + ) x + ) x, x cu x < b) Î dzvoltara d mai sus trcm x î x, dci ar loc altă dzvoltar importată x x) + x) x) 3 + + ) x) + + x + x + x 3 + + x + x, x cu x < Lucia Maticiuc c) Î dzvoltara lui + x trcm p x î x şi obţim + x x + x ) x ) 3 + + ) x ) + x + x 4 x + + ) x + ) x, x cu x <
Capitolul V: Şiruri şi srii d fucţii. Lct. dr. Lucia Maticiuc d) Rscriu dzvoltara d mai sus î y: + y y + y 4 y + + ) y +, y cu y < şi itgrz trm cu trm: + y dy dci obţim dzvoltara dy y dy + y 4 dy y dy + + ) y dy + arctgx x x3 3 + x5 5 x7 7 + + x + ) +, x cu x < + 3. Să s dzvolt î sri d putri fucţia f x) + x), R \ N Rzolvar: Avm f x) + x), f x) ) + x), dci pri iducţi f ) x) ) ) + ) + x) dci f ), f ), f ) ) adică f ) ) ) ) + ) Sria Taylor asociată fucţii f î puctul a st + ) x + x ) ) + ) + + x + )!!! Ptru a calcula raza d covrgţă a acsti srii să otăm cu a şi să calculăm ) ) + ) ) + )! ) ) + )! + a + a dci raza st R adică sria st covrgtă ptru oric x, ). Obsrvaţi: î captl x, x covrgţa trbui studiată sparat... P d altă part formula lui Taylor asociată acsti fucţii î puctul a st ) ) + )! + x) + ) x + x ) ) + ) + + x + R x)!!! S poat arăta!) că R x),. Dci, coform ui Torm avm că sria ) asociată fucţii f x) + x) ar suma dată d chiar f x) + x), adică ar loc următoara dzvoltar importată umită dzvoltara biomială + x) +! Lucia Maticiuc ) x+ x ) ) + ) + + x +, x cu x <!! 7
Capitolul V: Şiruri şi srii d fucţii. Lct. dr. Lucia Maticiuc 4. Să s dzvolt î sri d putri, dtrmiâd mulţima d covrgţă, următoarl fucţii: 5x a) 5x x, b) x x) + x) Rzolvar: a) Mai itâi dscompum fracţiil î fracţii simpl. Ptru acasta găsim divizorii umitorului. Astfl ştim că î gral ar loc scrira ax + bx + c a x x ) x x ) ud x, x sut rădăciil cuaţii ax + bx + c. Dci î cazul ostru 5x x x 5x + x ) x + ) x) x + ) doarc 49, x, x. Va ava loc dscompura 5x 5x x a x + b x + ud a, b trbui dtrmiaţi a.î. să aibă loc galitata dci { a b 5 a + b 5x a x + ) + b x) 5x x x) x + ) 5x x a b) + a + b) 5x x x) x + ) adică a, b 5x 5x x x + x + Acum ptru ficar fracţi simplă î part folosim dscompuril fudamtal vzi xrciţiul.). Dci x + x + x + x 3 + + x +, x cu x < x + x ) + + x x x ) x ) 3 + x ) + + ) + + ) ) 3 ) x + x + x 3 + + x + x cu x < x < Lucia Maticiuc Vom obţi dzvoltara 5x 5x x + x + x + x 3 + + x + + + ) x + x + [ ) ] + x, x cu x < 8 ) 3 x 3 + + ) x +
Capitolul V: Şiruri şi srii d fucţii. Lct. dr. Lucia Maticiuc b) Dtrmi a, b, c R a.î.ar loc x x) + x) a x + b x) + c + x aducâd la aclaşi umitor obţi x a x) + x) + b + x) + c x) x) + x) x a + c dci b c adică a /4, b /, c /4 a + b + c x x) + x) 4 x + x) + 4 + x Ptru trmii x şi ştim dzvoltăril vzi xrciţiul.). + x Să dtrmiăm î cotiuar dzvoltara lui. Plcăm d la x) şi drivz trm cu trm şi vom obţi Dar Dci x ) x + x + x + x 3 + + x + + + x + 3x + + x + x) + x + 3x + + x + + ) x + x + ) x x x) + x) 4 x + x) + 4 + x x + + ) x + ) x 4 4 [ 4 + ] + ) + 4 ) x [ + ] ) x x Lucia Maticiuc 9