Exerciţii de Aliză Mtemtică October, 5 Şiruri si serii de umere rele. Să se stbilescă dcă şirul cu termeul geerl x =... este su u fudmetl.. Petru răt că şirul este fudmetl: Petru răt că şirul este fudmetl: () Se determiă şirul (y ) N stfel îcât x +p x y petru orice, p N si lim y =... Petru răt că şirul u este fudmetl: () Se rtă şirul u este mărgiit, su () Petru orice N se setermiă p() N stfel îcˆt: lim x +p() x =.. Să se studieze covergeţ şirului cu termeul geerl x =..... Petru răt că şirul este coverget: () Se rtă că şirul este moot şi mărgiit, su () Se rtă că este şir fudmetl.
.. Petru răt că şirul u este coverget: () Se rtă că există subşiruri le sle cu limite diferite, su () Se rtă că u este mărgiit, su (3) Se rtă că u este fudmetl..3 Să se determie limitele extreme le şirului cu termeul geerl x =... () Se determiă mulţime puctelor de cumulre le şirului dt, determiâd limitele î R le subşirurilor compoete; () Se determiă mrgie superioră şi mrgie iferioră cestei mulţimi..4 Să se studieze tur seriei x ude x =... şi să se clculeze sum s î cz de covergeţă Î exerciţiile di cestă ctegorie, sumele prţile u o expresie litică simplă şi se pote reliz efectiv studiul covergeţei şirului (s ) N. Petru rezolvre se procedeză stfel: () Se scrie s () Se prelucreză s, de exemplu pri descompuere lui x i frcţii simple su pri utilizre uor formule cuoscute, obţiâdu-se o expresie litică simplă; (3) Se studiză covergeţ şirului (s ) N, determiâd, dcă există, limit s, cre, dcă este fiită, reprezită sum seriei..5 Să se studieze tur seriei geertă de şirul x =..., N. Î cest tip de probleme sumele prţil u u expresii litice simple, ir studiul direct l şirului (s ) N u este posibil. De cee, petru studiul seriei dte, se ìcercă plicre uui criteriu de covergeţă covebil:
() Dcă seri re toţi termeii pozitivi, se îcercă plicre uui criteriu decvt petru serii cu termei pozitivi; () Dcă seri re termei rbitrri, se studiză covergeţ bsulută; (3) Dcă seri este bsolut covergetă, tuci este şi covergetă, ir dcă u este bsolut covergetă, u se pote spue imic, ì geerl, despre covergeţ s, ìcercâdu-se î ces cz plicre criteriului lui Abel su Leibiz; (3) Dcă lim x, tuci seri x este divergetă. Exerciţiul. Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: () x = + 3 + 5, N; () x = + + 3 +... +, N ; (3) x = + +... +, N ; (4) x = k= cos(k!) k(k + ), N; (5) x = +, N; Exerciţiul. Stbiliţi dcă următorele şiruri sut covergete: () x = + +, N; () x = +, N;! (3) x =, N ; (4) x = k, N ; k= 3
(5) x = (6) x = k= k= cos(k!) k(k + ), N ; k, N ; Exerciţiul.3 Determiţi limitele extreme le şirurilor: () x = + ( ) + ( ) () x = ( ), N ; +, N ; Exerciţiul.4 Să se studieze ture seriilor următore şi să se clculeze sum î cz de covergeţă: + ; () () ( + l ) ; Exerciţiul.5 Să se studieze ture seriilor următore : () 7 + 3 + 5 ; () (3) ( + + +... + ), > ; 3 5... ( ) ; 4 6... () Exerciţiul.6 Demostrţi că următorele şiruri sut fudmetle: () x = + 3 5 + 4, N; () x = + 3 +... + 3, N ; 4
(3) (4) (5) k= k= k= cos(k + 3) k, N ; rct(kx) k 3, N ; k (k + )k!, N ; Exerciţiul.7 Stbiliţi dcă următorele şiruri sut covergete: () x = + 3 +, N; () x = 3 + 3 + N; (3) x = (4) x = k= k= k 3 N ; cos(k!) k N ; Exerciţiul.8 Determiţi limitele extreme le şirurilor: () x = ( ( ) + si π ), N ; () x = ( + ( ) ), N; (3) x = ( ) + + ( ), N ; Exerciţiul.9 Determiţi limitele şirurilor: () x = + () x = l() k= k= k k, N; k, N, ; 5
(3) x = (( + )( + )... ()), N, ; Exerciţiul. Să se studieze tur seriilor următore şi să se clculeze sum ì cz de covergeţ: () () (3) (4) ( + )( + + ), ;, ; + +, ; ) ( +, ; (5) + + ( + ), ; Exerciţiul. Folosid criteriul rădăciii să se studieze covergeţ următorelor serii: () ( ) rct ; (), > ; (3) (4) ( t + ) ; si ( π 4 + ) ; (5) ( ) ; 3 Exerciţiul. Folosid criteriul rportului, să se studieze covergeţ următorelor serii: 6
()! ; () (3) (4) (5) (!) ()! ; ( ) ; 3 e ;! + ; Exerciţiul. Să se studieze covergeţ următorelor serii lterte. Î cz de covergeţă, să se precizeze dcă seriile sut semicovergete: () () ( ) ; ( ) ; (3) (4) ( ) ; + ( ) ( + ) ; Exerciţiul.3 Să se determie sum seriei de terme geerl x dcă: () x = + ( + ), N ; () x = l ( ) +, N ; ( + 3) Exerciţiul.4 Să se stbilescă tur seriilor următore: 7
() () cos(), p >, (, π); p ( ) + + 3 ; (3)! ; (4) ( π ) si ; Exerciţiul.5 Folosid Lem lui Stolz-Cezàro, să se clculeze: lim + +... +. Exerciţiul.6 Să se clculeze limitele următorelor şiruri ( N): () = ( )! ; ( ) ( + )... () = ; ( ) l(!) (3) = ; (4) = p + p +... + p (5) = p + p +... + p p+ ; p + ; 8
Serii de puteri rele. Dezvoltări î serie. Să se determie mulţime de covergeţă şi sum seriei de puteri x () Se determiă rz de covergeţă r (cu formul Cuchy-Hdmrd) şi ( r, r) A c ; () Se studiză seprt x = r şi x = r; (3) Dcă r este covergetă, tuci r A c ; (4) Dcă ( r) este covergetă, tuci r A c ; (5) Se stbileşte mulţime de covergeţă; (6) Dcă r e covergetă, tuci r A c ; (7) Petru clculul sumei se folosesc formule cuoscute, su se deriveză (itegreză) seri terme cu terme. Di cotiuitte sumei i r su r (dcă ceste sut pucte de covergeţă), se decuce vlore s î ceste pucte.. Să se rte că f : I R, f(x) =... este dezvoltbilă î serie de puteri () Se scrie R (x) şi se rtă că R (x) petru orice x A c su () Se rtă că există M R stfel îcât f () (x) < M petru orice x A c şi orice N..3 Să se dezvolte î serie de puteri fucţi f(x) =... () Se determiă mulţime pe cre f este dezvoltbilă î serie de puteri; () Se clculeză f (x), f (x),..., f () (x) demostrâd pri iducţie formul lui f () (x), şi se scrie dezvoltre, su 9
(3) Se fc substituţii cuoscute (petru x, ex, si(x), cos(x), etc. (4) Se scrie fucţi c sumă fiită de fucţii căror dezvoltre este cuoscută şi se îsumeză terme cu terme dezvoltările. (5) Se dezvoltă î serie de puteri f (x) şi se itegreză rezulttul, determiâd costt de itegrre cu jutorul vlorii f()..4 Să se clculeze f() cu k zecimle excte () Se rtă că f este dezvoltbilă î serie de Tylor i jurul lui x pe o mulţime cre îl coţie pe ; () Se scrie dezvoltre î serie de Tylor (3) Se cosideră seri umerică f () (x ) ( x ) şi se evlueză seri! sumei, cre este de fpt f() cu k zecimle excte (după modelul de l serii umerice rele). Exerciţiul. Să se determie mulţime de covergeţă şi sume seriilor de puteri: () () + x ( ) + x+ ( ) + Exerciţiul. Să se determie mulţime de covergeţă seriei: () ( ) ( ) + x + +, x x Exerciţiul.3 Fie f : (, + ) R, f(x) = () Arătţi că f este cotiuă pe (, + ) () Clculţi l 3 l f(x)dx e x. =
Exerciţiul.4 Să se rte că fucţiile f(x) = si(x), g(x) = cos(x) şi h(x) = e x, x R sut dezvoltbile î serii de puteri pe R şi să se determie seriile coprespuzătore. Exerciţiul.5 Să se dezvolte î serie de puteri fucţi f(x) = ( + x), cu x >, R Exerciţiul.6 Să se dezvolte î serie de puteri fucţi f(x) = l (x + ) + x, cu x R Exerciţiul.7 Să se clculeze cu trei zecimle excte cos(x )dx Exerciţiul.8 Să se determie mulţime de covergeţă seriilor următore: () x!, x R x () ( ) + ( )( )!, x R (3) (4) x ( + ), x R ( + ), x R Exerciţiul.8 Să se determie mulţime de covergeţă şi sum seriilor următore: () () x 4 3 4 3, x R ( ) + x + ( + ), x R Exerciţiul.9 Să se determie sumele următore, folosid seriile de puteri:
() () (3) (4) (5) = = = = = ( ) + 3 ; ( ) + 4 3 ; ( ) + ( ) ; ( ) + 3 ; ( ) + 6 + ; Exerciţiul. Să se determie mulţime de covergeţă şi sum următorelor serii de puteri: () ( + )x ; () (3) (4) ( + )( + ) x+ ; ( ) x + ; x + + x+ ; Exerciţiul. Să se dezvolte î serii de puteri următorele fucţii idicâd şi mulţimile de covergeţă: () f(x) = l( + x); () f(x) = x 3 (x ) ; (3) f(x) = 3x 5 x 4x + 3 ;
(4) f(x) = xe x ; (5) f(x) = si(3x) + x cos(3x); ( ) + x (6) f(x) = l ; x Exerciţiul. Să se clculeze cu trei zecimle excte itegrl si(x) x dx. 3 Fucţii cotiue de mi multe vribile rele 3. Să se studieze covergeţ şirului (x ) N de elemete di R p () Se studiză şirurile compoete: () Dcă tote şirurile compoete sut covergete tuci şirul dt este coverget; (3) Dcă cel puţi u şir compoet u este coverget tuci şirul u este coverget; 3. Să se determie limit şirului (x ) N de elemete di R p () Se determiă limit fiecărui şir compoet. Dcă x = (x, x,..., x p ), tuci lim x = ( lim x, lim x,..., lim x p ). 3.3 Petru of fucţie f : A R p R şi A să se determie lim f(x) () Îlocuire directă, dcă u se obţi operţii f ră ses; () Folosid diverse substituţii se trsformă îtr-o limită uei fucţii de o vribilă, poi se folosesc limite fudmetle su metode specifice cuoscute di liceu; 3
(3) Folosre criteriului cu şiruri: se cosideră u şir (x ) N cu lim x = şi se determiă l = lim f(x ); poi, dcă f(x) l g(x) îtr-o veci tte puctului şi lim g(x) =, tuci l = lim f(x). x x 3.4 Petru of fucţie f : A R p R şi A să se rte că f u re limită î puctul () Se rtă că există două şiruri ( ) N şi (b ) N di A\{} cu lim = lim b = stfel îcât lim f( ) lim f(b ). 3.5 Să se rte că fucţi f : A R p R, f(x) =... este cotiuă î puctul A A. () Dcă f, g : A R p R, A A dcă eistă U V() stfel îcât petru orice x U A vem f(x) f() g(x) şi dcă lim g(x) =, tuci, evidet, f este cotiuă î puctul. 3.6 Petru o fucţie f : A R p R, f(x) =... u este cotiuă î puctul A A. () Dcă există u şir ( ) N de elemete di A cu lim =, stfel îcât lim f( ) f(), tuci, evidet, f u este cotiuă î puctul. 3.7 Să se studieze cotiuitte fucţiei f : A R p R () Se determiă domeiul de defiiţie l fucţiei f; () Se idetifică mulţime de pucte î cre fucţi este cotiuă petru că este obţiută pri operţii cu fucţii cotiue (3) Se studiză cotiuitte fucţiei î fiecre di puctele domeiului de defiiţie exceptte l psul terior clculâd limit corespuzătore (4) Se precizeză mulţime de cotiuitte. 4
3.8 Să se rte că fucţi f : A R p R este cotiuă după orice direcţie î puctul A A dr u este cotiuă î cest puct () Se rtă că lim t f( + tv) = f(), petru orice v; () Se rtă poi că f u re limită î puctul su că f() u este limit fucţiei f î puctul ; 3.9 Să se studieze cotiuitte uiformă fucţiei f pe mulţime A () Se verifică dcă A este compctă; () Dcă A este compctă, di cotiuitte lui f pe A rezultă cotiuitte uiformă pe cestă mulţime; (3) Dcă A u este compctă, se verifică îdepliire codiţiei di defiiţie; (4) Oricum r fi A, dcă f u este cotiuă pe A tuci u este ici uiform cotiuă. 3. Se dă f : A R p R. Să se rte că ecuţi f(x) = re cel puţi o soluţie î A () Se rtă că A este o mulţime coexă; () Se rtă că f este cotiuă pe A; (3) Se idetifică, b A stfel îcât f() f(b) <. Rezultă, că ecuţi f(x) = re cel puţi o soluţie î A. 3. Petru o fucţie dtă f : A R p R m şi A să se determie lim x f(x). () Se determiă limit pe compoete; 5
3. Petru o fucţie dtă f : A R p R m şi A să se rte că f u re limită î puctul. () Se rtă că măcr o compoetă că u re limită î puctul ; 3.3 Să se rte că fucţi f : A R p R m, f(x) =... este cotiuă î puctul A A. () Se rtă că fiecre compoetă este cotiuă; 3.4 Să se rte că fucţi f : A R p R m, f(x) =... u este cotiuă î puctul A A. () Se rtă că măcr o compoetă u este cotiuă î ; 3.5 Să se studieze cotiuitte fucţiei f : A R p R m. () Mulţime de cotiuitte fucţiei f este itersecţi mulţimilor de cotiuitte le compoetelor; Exerciţiul 3. Studiţi covergeţ următorelor şiruri di R 3 : ( () x = +, +, ) ; ( () x = ( )), 3, cos ; (3) x = ( +, ( )+, + Exerciţiul 3. Să se clculeze: t(x + y ) () lim ; (x,y) (,) x + y ( ) cos x + y () lim (x,y) (,) x + y ; ) ; 6
Exerciţiul 3.3 Să se demostreze că următorele fucţii u u limită î (, ): () f(x, y) = x y x + y, x + y ; x () f(x, y) = y e, x ; y + e x Exerciţiul 3.4 Să se demostreze că următorele fucţii sut cotiue î (, ): () f(x, y) = x + y () ) y l ( + x, y, x R y f(x, y) = y =, x R (3) ( ) (x + y ) si, (x, y) (, ) x + y (x, y) = (, ) Exerciţiul 3.5 Să se demostreze că următorele fucţii u sut cotiue î (, ): () f(x, y) = x y x + y, x + y, x + y = () x 3 y, (x, y) (, ) x + y, (x, y) = (, ) 7
Exerciţiul 3.6 Să se studieze cotiuitte fucţiilor: () () si(x 3 + y 3 ), (x, y) (, ) f : R R, f(x, y) = x + y, (x, y) = (, ) + x + y + z, (x, y, z) (,, ) f : R 3 R, f(x, y, z) = x + y + z, (x, y, z) = (,, ) Exerciţiul 3.7 Fie f : R R, f(x, y) = x 3 y, (x, y) (, ) x 6 + y 3, (x, y) = (, ). Să se demostreze că fucţi f este cotiuă după orice direcţie î origie, dr f u este cotiuă î origie. Exerciţiul 3.8 Să se studieze cotiuitte uiformă următorelor fucţii pe mulţimile A idicte: () () f(x) = x + x, x R, A = R x + ( ) x si, x x f(x) =, x =, A = (, ] π 8
Exerciţiul 3.9 Să se rte că fucţi f(x) = x x, >, se uleză îtr-u puct ξ (, ). Exerciţiul 3. Să se rte că fucţi f(x, y) = x 3 + y 3 3x y +, se uleză îtr-u puct di mulţime A = {(x, y) : x + y }. ( Exerciţiul 3. ) Demostrţi că fucţi f : R \{(, )} R, f(x, y) = x y 3 x + y, x y u re limită i (, ) x + y Exerciţiul 3. Să se studieze cotiuitte fucţiei f : R R 3 : ( si(5x), cos(x) ), ex, x x x f(x) = x ( 5,, ), x = Exerciţiul 3. Să se studieze covergeţ următorelor şiruri di R 3 : ( () x = 3 +, +, ) (( () x = + ) (, π ) ), si ( + ( ) (3) x =, ( + ( ) ), ) Exerciţiul 3.3 Să se demostreze că: xy () lim (x,y) (,) x + y = si(x 3 + y 3 ) () lim = (x,y) (,) x + y (x ) y 3 (3) lim (x,y) (,) (x ) + y = x + y (4) lim (x,y) (,) x + y = 9
Exerciţiul 3.4 Să se demostreze că fucţi f(x, y) = limită î puctul (, ). xy x + y u re Exerciţiul 3.5 Să se studieze dcă următorele fucţii u limită î origie: () f(x, y) = x y x 4 + y () f(x, y) = x y x + y (3) f(x, y, z) = x + yz x + y + z (4) f(x, y, z) = (x + y) si(x + y ) x + y Exerciţiul 3.6 Să se studieze cotiuitte fucţiilor: () () (3) f(x, y) = x 3 y, (x, y) (, ) x + y, (x, y) = (, ) xy, (x, y) (, ) f(x, y) = (x + y ) 3, (x, y) = (, ) cos(x 3 + y 3 ), (x, y) (, ) (x f(x, y) = + y ), (x, y) = (, ) () () (3)
(4) (5) ) y l ( + x, y y f(x, y) =, y = f(x, y) = x y e x y, x y, (x, y) = (, ) (4) (5) (6) ( ) (x + y) cos, x x f(x, y) =, x = Exerciţiul 3.7 Să se studieze cotiuitte uiformă fucţiilor următore pe mulţimile idicte: () f(x) = x + x, x [, + ) + x () f(x) = x + x, x (, + ) + x (3) f(x) = si(x ), x R Exerciţiul 3.8 Să se rte că fucţi f(x) = x 5 x se uleză cel puţi o dtă ître x = şi x =. 4 Fucţii difereţibile. Extreme locle 4. Să se clculeze derivtele prţile le fucţiei f î x () Petru clcul derivt prţilă î rport cu x i, se cosideră costte tote celellte vribile şi se deriveză f c şi cum x i r fi sigur vribilă. Se folosesc regulile de derivre cuoscute. () Se foloseşte defiiţi. (6)
4. Să se demostreze că fucţi f(x) =... este difereţibilă pe A şi să se scrie difereţil s () Dcă f : A R R se rtă că f este derivbilă pe A şi df : A L(R, R) este dtă de df x (h) = f (x) h; () Dcă f : A R p R se clculeză derivtele prţile petru fiecre puct di A : (3) Dcă ele sut fucţii cotiue pe A, deducem că f este difereţibilă pe A; (4) Dcă există măcr o derivtă prţilă discotiuă î x A, tuci difereţibilitte se studiză stfel: (5) Se cosideră fucţi liiră L x (h) = f (x ) h + f (x ) h +... + f (x ) h p x x x p ude h = (h, h,..., h p ). (6) Se determiă rportul R(h) = f(x + h) f(x ) L x (h) h orice h Θ R p. petru (7) Se studiză existeţ limitei lui R(h) î Θ R p. Dcă R(h) u re limită î Θ R p, su dcă limit este eulă, rezultă că f u este difereţibilă î x, ir dcă limit este rezultă că f este difereţibilă î x şi df x = L x. Dcă f este difereţibilă pe A, tuci: df x (h) = f (x ) h + f (x ) h +... + f (x ) h p ude h = (h, h,..., h p ). x x x p (8) Dcă f : A R p R m se demostreză că tote compoetele lui f sut difereţibile pe A. Î cest cz df x(h) = J f (x) h. 4.3 Să se rte că fucţi f(x) =... u este difereţibilă î x A () Dcă f u este cotiuă î x rezultă că u este difereţibilă î x su, dcă f e cotiuă î x, se procedeză stfel: () Dcă f : A R R se rtă că f u este derivbilă î x.
(3) Dcă f : A R R m se rtă că cel puţi u di compoetele lui f u este derivbilă î x. (4) Dcă f : A R p R se rtă că f u este derivbilă prţil î rport cu u di vribile î x. Dcă există tote derivtele prţile î x, se cosideră fucţi L x (h) = f (x ) h + f (x ) h +... + f (x ) h p x x x p şi se rtă că rportul R(h) = f(x + h) f(x ) L x (h) u re h limită câd h su, dcă limit există, cest este diferită de. (5) Dcă f : A R p R m se rtă că cel puţi u di compoetele lui f u este derivbilă î x. 4.4 Să se clculeze derivtele prţile de ordiul doi le fucţiei f : A R p, f(x,..., x p ) =... () Se clculeză derivtele prţile de ordiul îâi şi poi derivtele prţile le cestor, folosid regulile de derivre uzule su folosid defiiţi. 4.5 Să se determie puctele de extrem locl le fucţiei f : D R p R, f(x,..., x p ) =... () Se determiă D D pe cre f este de clsă C () Se clculeză f x j : D R, j =,,..., p (3) Se rezolvă sistemul f x j =, j =,,..., p, obţiâdu-se coordotele puctelor stţiore. (4) Se clculeză f x i x j : D R, j =,,..., p (5) Se scrie mtrice hessiă fucţiei f î fiecre puct stţior. (6) Cu jutorul vlorilor proprii su miorilor pricipli decidem dcă u semee puct este su u extrem locl petru f. 3
(7) Petru puctele cre se flă î D\D se studiză direct semul creşterii f(x) f(x ) şi se decide dcă puctul este de extrem locl folosid defiiţi. Exerciţiul 4. Să se demostreze că fucţi f : R R si (x), x < f(x) = x, x (7) este difereţibilă pe R şi să se determie difereţil s. Exerciţiul 4. Să se demostreze că fucţi f : R R, f(x, y) = x 3 + xy este difereţibilă pe R şi să se determie difereţil s. Exerciţiul 4.3 Să se demostreze că fucţi f : R R 3, f(x, y) = (xy, y si(x), x + y) este difereţibilă pe R şi să se determie difereţil s. Exerciţiul 4.4 Să se demostreze că fucţi f : R R ( ) x si, x x f(x) =, x = (8) u este difereţibilă î x =. Exerciţiul 4.5 Să se demostreze că fucţi f : R R xy, (x, y) (, ) x + y f(x) =, (x, y) = (, ) (9) u este difereţibilă î (, ). 4
Exerciţiul 4.6 Fie f : R R xy x y, (x, y) (, ) f(x, y) = x + y, (x, y) = (, ). () Demostrţi că f x y (, ) f (, ). y x Exerciţiul 4.7 Să se determie puctele de extrem locl petru fucţi f : R 3 R, f(x, y, z) = x + y + z xy + x z. Exerciţiul 4.7 Să se demostreze că origie este puct de miim globl petru fucţi f : R R, ) y l ( + x, y y f(x, y) = (), y =. Exerciţiul 4.8 Să se clculeze derivtele prţile de ordiul îtâi le următorelor fucţii, precizâd şi domeiul lor de defiiţie: () f(x, y) = x + y 3xy () f(x, y) = x y x + y (3) f(x, y) = l (x + ) x + y ( ) (4) f(x, y) = si x + y (5) f(x, y) = xy, (x, y) (, ) x + y, (x, y) = (, ). () 5
Exerciţiul 4.9 Demostrţi că fucţi z(x, y) = y Φ(x y ) verifică ecuţi x z x + y z y = z y ude Φ este o fucţie de clsă C pe R. ( y Exerciţiul 4. Demostrţi că fucţi z(x, y) = xy + x Φ verifică x) ecuţi x z x + y z y = xy + z ude Φ este o fucţie de clsă C pe R. Exerciţiul 4. Să se clculeze z x şi z y dcă z(x, y) = f(x +y, x y, xy) ude f este o fucţie de clsă C pe R 3. Exerciţiul 4. Să se determie extremele locle le următorelor fucţii: () f(x) = x 3 3x + ; ( ) x () f(x) = rct ; + x (3) f(x) = x + x + x x ; (4) f(x, y) = x 3 + y 3 3xy; (5) f(x, y) = x 3 + 8y 3 6xy + ; (6) f(x, y) = x 3 xy + 5x + y ; (7) f(x, y) = xy e x y ; 5 Fucţii implicite. Extreme codiţiote 5. Să se determie y si y dcă y = y(x) este o fucţie defiită implicit de ecuţi F (x, y) = () Teorem Fie ecuţi F (x, y) = ude F : D R este o fucţie dtă, defiită pe mulţime deschisă D R. Fie (x, y ) D. Dcă sut îdepliite codiţiile: 6
() F (x, y ) = ; () F este de clsă C pe o veciătte puctului (x, y ); (3) F y (x, y ), tuci () Există U V(x ), V V(y ) şi o explicitre uică f : U V (î rport cu y) ecuţiei F (x, y) = stfel îcât f(x ) = y ; () Explicitre f este de clsă C pe U şi petru orice x U, F (x, f(x)) f(x) = x. F y (x, f(x)) () Dcă sut îdepliite codiţiile teoremei precedete, se plică formul F (x, f(x)) y (x) = x. F y (x, f(x)) (3) Se clculeză y folosid regul de derivre câtului şi regul de derivre fucţiilor compuse. 5. Să se determie derivtele prţile de ordiul îtâi şi doi le fucţiei z = z(x, y) defiită implicit de ecuţi dtă F (x, y, z) = Teorem Fie ecuţi F (x, y) = ude F : D R este o fucţie dtă, defiită pe mulţime deschisă D R p+. Fie (x, y ) = (x, x,..., x p; y ) D. Dcă sut îdepliite codiţiile: () F (x, y ) = ; () F este de clsă C pe o veciătte puctului (x, y ); (3) F y (x, y ), tuci 7
() Există U V(x ), V V(y ) şi o explicitre uică f : U V (î rport cu y) ecuţiei F (x, y) = stfel îcât f(x ) = y ; () Explicitre f este de clsă C pe U şi petru orice x U, şi orice j =,,..., p vem: F (x, f(x)) f x j (x) =. x j F y (x, f(x)) () Dcă sut îdepliite codiţiile Teoremei, se plică formulele F z (x, y, z(x, y)) (x, y) = x, x F z (x, y, z(x, y)) F (x, y, z(x, y)) z y (x, y) =, y F z (x, y, z(x, y)) () Se clculeză z x, z x y, z folosid regul de derivre fucţiilor z compuse. Dcă F este de clsă C tuci z este de clsă C şi deci z x y = z y x. 5.3 Să se determie extremele uei fucţii y = y(x) defiită implicit de ecuţi dtă F (x, y) = () Se studiză plicbilitte Teoremei () Se pue codiţi ecesră y (x) =, cre este echivletă cu F (x, y) = F (x, y) = x F (x, y). y 8 (3)
Se obţi stfel puctele critice. (3) Se flă semul lui y î fiecre puct critic şi se precizeză ce fel de extrem este. 5.4 Să se determie extremele uei fucţii z = z(x, y) defiită implicit de ecuţi dtă F (x, y, z) = () Se studiză plicbilitte Teoremei. () Se determiă puctele critice rezolvâd sistemul z x = z y =. (4) cre este echivlet cu F (x, y, z) = F (x, y, z) = x F (x, y, z) = y (5) F (x, y, z). z z z x x y (3) Se reţi puctele critice x, y î cre = este pozi- z z x y y tiv. Aceste sut pucte de extrem. Petru ceste se determiă semul lui z x. Dcă z x (x, y ) > tuci (x, y ) este puct de miim ir dcă z x (x, y ) < tuci (x, y ) este puct de mxim. 9
Teorem 3 Fie f(x, y) de clsă C 3 îtr-o mulţime deschisă U R. U puct (x, y ) este u miim locl (strict) lui f dcă se stisfc următorele trei codiţii: () f x (x, y ) = f y (x, y ) = ; () f x (x, y ) > ; ( ) ( f f (3) D = (x x, y ) y ) ( ) f >. x y Dcă i () vem < î loc de >, fără schimb codiţi (3), vem u mxim locl (strict). Teorem 4 (Teorem multiplictorului lui Lgrge) Fie f : U R R şi g : U R R fucţii suve dte. Fie x U şi g(x ) = c şi fie S mulţime de ivel petru g cu vlore c (cest este mulţime puctelor x R cu g(x) = c). Să presupuem că g(x ). Dcă f S reprezită f restrâsă l S, re u mxim su u miim î S, î x, tuci există u umăr rel λ sfel îcât f(x ) = λ g(x ). Exerciţiul 5. Să se determie y şi y dcă y = y(x) este o fucţie defiită implicit de ecuţi (x + y ) 3 3(x + y ) + =. Exerciţiul 5. Să se determie derivtele de ordiul îtâi şi l doile le uei fucţii z defiită implicit de ecuţi x y + 3z yz + y =. z Exerciţiul 5.3 Să se clculeze (, ) dcă z este defiită implicit x y de ecuţi x + y + 3z + xy z 9 = şi de codiţi z(, ) =. Exerciţiul 5.4 Să se determie extremele uei fucţii implicite y = y(x) defiită de ecuţi x 3 + 8y 3 6xy =. Exerciţiul 5.5 Fie f : R R defiită pri f(x, y) = x y, şi fie S circumferiţ de rză, cu cetrul i origie. Să se găsescă extremul lui f S. 3
Exerciţiul 5.6 Să se determie if f(a) şi sup f(a) dcă f : R R este f(x, y) = 5x + 3xy + y şi A = {(x, y) R : x + y }. Exerciţiul 5.7 Să se determie y şi y dcă y = y(x) este fucţi defiită implicit de ecuţi y 5 + x y 3 + x + y = î veciătte puctului (, ). Exerciţiul 5.8 Să se determie z z şi dcă z = z(x, y) este fucţi x y ( defiită de ecuţi x + y + 3z = şi puctul,, ). 6 Itegrlă simplă. Itegrlă cu prmetru 6. Să se demostreze u fucţi f : [, b] R este itegrbilă pe [, b] () Se rtă că f este mootoă; () Se rtă că f re u umăr fiit de pucte de discotiuitte; (3) Se rtă că f este cotiuă; (4) Se utilizeză (mi rr) criteriul lui Drboux; 6. Să se demostreze u fucţi f : [, b] R u este itegrbilă pe [, b] () Se rtă că f este mărgiită su () Se rtă că există două şiruri de sume de Riem cu limite diferite su (3) Se rtă (mi rr) că f u stisfce codiţi di criteriul lui Drboux; 6.3 Folosid itegrl simplă, să se clculeze limit şirului =..., N () Se precizeză o fucţie f : [, b] R, o diviziue d itervlului [, b] şi u sistem ξ de pucte itermedire stfel îcât = σ (d, ξ) 3
este sum Riem socită, de obicei d se cosideră stfel îcât: x i x i = b, i =,,..., ir sistemul ξ se obţie puâd ξ i = x i su ξ i = x i, i =,,..., () Se demostreză că f este itegrbilă pe [, b] (rătâdu-se că este mootoă, su că este cotiuă); (3) Utilizâd oţiue de fucţie itegrbilă, se deduce că lim = 6.4 Să se demostreze că f : I R re primitive () Se rtă că f este cotiuă; () Se costruieşte o fucţie F : I R petru cre se rtă că F (x) = f(x), x I; 6.5 Să se demostreze că f : I R u re primitive () Se rtă că f u re propriette lui Drboux; b f(x)dx () Se presupue că f re primitive şi se găseşte form geerlă F (x, c) utilizâd fucţii elemetre, pe subitervle şi cotiuitte primitivelor; (3) Se rtă că există x I îcât F u este derivbilă i x su F (x ) f(x ). 6.6 Să se demostreze că f : [, b] R este itegrbilă pe [, b] dr u re primitive pe [, b] () Se rtă că f este mootoă şi că u re propriette lui Drboux. 6.7 Să se demostreze că f : [, b] R re primitive pe [, b] dr u este itegrbilă pe [, b] () Se costruieşte o fucţie F : [, b] R stfel îcât F (x) = f(x), x [, b] () Se rtă că f u este mărgiită 3
6.8 Să se demostreze că b f(x)dx b g(x)dx () Se rtă că f(x) g(x), x [, b] şi se foloseşte propriette de mootoie itegrlei 6.9 Să se demostreze că A b f(x)dx B () Se determiă M = sup x [,b] f(x) şi m = if x [,b] f(x) () Se ţie sem de ieglitte evidetă m(b ) (3) Se rtă că A m(b ) şi că M(b ) B 6. Să se clculeze b f(x)dx b () Se determiă o primitivă fucţiei f pe itervlul [, b]; f(x)dx M(b ); () Se plică formul lui Leibiz-Newto: b f(x)dx = F (b) F () 6. Să se determie ri domeiului D R, mărgiit de grficul fucţiei f : [, b] R, f(x) =..., x Ox şi dreptele x = şi x = b () Se plică formul (D) = b f(x) dx. 6. Să se determie volumul corpului Ω R 3, obţiut pri rotire grficul fucţiei f : [, b] R, f(x) =..., î jurul xei Ox () Se plică formul v(ω) = π b f (x)dx. 33
6.3 Să se determie lugime grficului fucţiei f : [, b] R, f(x) =... () Se plică formul l(γ) = b f (x)dx. 6.4 Fie A R, J = [, b], f : A J R, şi F : A R, F (x) = b f(x, t)dt. Să se rte că F este derivbilă pe A şi să se determie derivtele ei () Se rtă că f este cotiuă pe A J; () Se clculeză f x ; (3) Se rtă că f x (4) Se plică formul F (x) = este cotiuă pe A J; b f (x, t)dt petru orice x A. x 6.5 Utilizâd itegrlele cu prmetru, să se clculeze b g(t)dt. () Se cută o fucţie f(x, t), x A, t [, b], sfel îcât g(t) = f(x, t), x A cuoscut; () Se determiă F (x) = b f(x, t)dt şi poi se îlocuieşte x cu x, obţiâduse vlore itegrlei cerute. Exerciţiul 6. Să se demostreze că fucţiile următore sut itegrbile pe itervlele de defiiţie precizte: 34
() f : [, ] R, () f : [, ] R,, x f(x) =, x [, ] 3, x = 3 f(x) =, x 3 ( ] (6) 3, (7) (3) f : [, ] R, si(x) f(x) = x, x, x = (8) Exerciţiul 6. Să se demostreze că fucţi următore u este itegrbilă pe itervlul de defiiţie precizt: f : [, ] R, x, x, N f(x) =, x = (9), N lim Exerciţiul 6.3 Folosid itegrl simplă, să se clculeze p+ (p + p +... + p ), p >. R: Exerciţiul 6.4 Să se rte că fucţi următore dmite primitivă: ( ) e x si, x x f : R R, f(x) =, x = () Exerciţiul 6.5 Să se rte că fucţiile următore u dmit primitive pe 35
() f : R R, f(x) =, x >, x = (), x < () x, x Q f : R R, f(x) = x 3, x R\Q () Exerciţiul 6.6 Să se rte că fucţi următore dmite primitive pe [, ], dr u este itegrbilă pe cest itervl: ( ) x si x ( ) x x cos, x (, ] f : [, ] R, f(x) = (3), x = Exerciţiul 6.7 Să se rte că l( + x)dx > x + x. Exerciţiul 6.8 Să se clculeze următorele itegrle: () () (3) (4) π π 4 x dx e x dx si(x) + si (x) dx si(x) cos(x) + 5 dx 36
(5) (6) 3 x 4 x dx dx ( + x) x dx Exerciţiul 6. Să se determie volumul corpului Ω R 3 obţiut pri rotire î jurul xei Ox grficul fucţiei f(x) : [, π] R, f(x) = cos(x). Exerciţiul 6. Să se determie lugime grficul fucţiei f(x) : [, ] R, f(x) = rcsi(e x ). Exerciţiul 6. Să se rte că fucţi F : (, + ) R, F (x) = este cotiuă pe (, + ). Exerciţiul 6.3 Fie F : (, ) R, F (x) = l( + x cos(t))dt. cos(t) Să se rte că F este derivbilă pe (, ) şi să se determie derivt ei. Exerciţiul 6.4 Folosid posibilitte de derivre î rport cu prmetrul, π ( ) + x cos(t) să se clculeze itegrl: F (x) = cos(t) l dt, x x cos(t) (, ). Exerciţiul 6.5 Să se demostreze că fucţiile următore sut itegrbile dr u posedă primitive: π π l(x si (t))dt () f : [, ] R, f(x) = [ si(x), x, ] ( ] (4), x, () f : [, ] R, x, x [, ] f(x) = x, (, ] (5) 37
(3) f : [, ] R, cos f(x) = ( ), x x, x = (6) Exerciţiul 6.6 Să se demostreze că fucţiile următore posedă primitive pe R şi sut itegrbile pe orice itervl compct: () () si(x) f(x) = x, x, x = x cos ( x), x f(x) =, x =. (7) (8) Exerciţiul 6.7 Fără clcul itegrlele, să se cerceteze cre ditre ele re vlore mi mre: () I = () I = e x dx, I = e x dx; rct(x)dx, I = Exerciţiul 6.8 Să se clculeze: l( + x )dx. () () (3) π π π 3 π 4 π π 4 si(x + x )dx; dx si(x) dx si 3 (x) 38
(4) (5) (6) (7) (8) (9) () () () (3) 3 π 5π 4 π π 4 π π π 3 mx(x, x )dx mi(si(x), cos(x))dx si(x) si 4 (x) + cos 4 (x) dx l( + t(x))dx cos 3 (x) si 3 (x) + cos 3 (x) dx l( + x) + x dx + si(x) + cos(x) ex dx dx 3 + cos(x) dx dx x x + 5x + dx x x dx Exerciţiul 6.9 Să se determie ri domeiului mărgiit de: () f(x) = x x +, x Ox, x =, x = ; () f(x) = cos(x) + cos(x), x Ox, x =, x = 3π 4 ; Exerciţiul 6. Să se determie volumul corpului Ω R 3 obţiut pri rotire î jurul xei Ox grficul fucţiei f(x) : [, e] R, f(x) = x l(x). Exerciţiul 6. Să se determie lugime grficul fucţiei f(x) : [, 4] R, f(x) = x 3. 39
7 Itegrlă improprie 7. Să se studieze tur itegrlei improprii b f(x)dx şi să se determie vlore s î cz de covergeţă Î problemele di cestă ctegorie se pote determi o primitivă fucţiei f cu metode elemetre şi se pote sudi efectiv existeţ limitei di formul Leibiz-Newto. Petru rezolvre, se procedeză stfel: () Se verifică dcă fucţi f este itegrbilă pe orice itervl compct iclus î [, β ) ; () Se determiă o primitivă F fucţiei f pe itervlul [, β ) ; (3) Se studiză existeţ limitei lim x β F (x); (4) (5) Î czul limitei fiite, cu formul lui Leibiz-Newto se flă vlore itegrlei; Î uele czuri, problem se simplifică, plicâd direct formul de itegrre pri părţi su formul schimbării de vribilă. 7. Să se studieze tur itegrlei improprii b f(x)dx O semee problemă pre î situţi î cre u este posibil să se determie o primitivă petru f, şi, pri urmre, plicre directă formulei Leibiz- Newto u este posibilă. Îtr-o semee situţie u se mi pretide se găsi vlore itegrlei î cz de covergeţă. Petru preciz tur itegrlei, se îcercă plicre uui criteriu de covergeţă covebil. Teorem 5 Fie > şi f : [, + ) R + o fucţie itegrbilă pe orice itervl compct iclus î [, + ). Presupuem c u exist u λ R îcât fucţi x x λ f(x) re limită câd x. Fie l = lim x λ f(x), x () Dcă λ > şi l, tuci f(x)dx este covergetă; 4
() Dcă λ şi < l, tuci f(x)dx este divergetă; Teorem 6 Fie f : [, + ) R + o fucţie itegrbilă pe orice itervl compct iclus î [, + ). Presupuem c u exist u λ R îcât fucţi x (b x) λ f(x) re limită câd x b. Fie l = lim (b x) λ f(x), x () Dcă λ < şi l < ifty, tuci () Dcă λ şi < l, tuci f(x)dx este covergetă; f(x)dx este divergetă; Teorem 7 Fie > şi φ : [, + ) R + o fucţie cotiuă cre dmite o primitivă mărgiită pe [, + ). Atuci, petru orice λ >, itegrl φ(x) improprie dx este covergetă. x λ Teorem 8 Fie φ : [, + ) R + o fucţie cotiuă cre dmite o primitivă mărgiită pe [, + ). Atuci, petru orice λ >, itegrl improprie (b x) λ φ(x)dx este covergetă. () Dcă f re umi vlori pozitive, se plică Teorem 5 su Teorem 6; () Dcă f re umi vlori egtive, se plică Teorem 5 su Teorem 6 petru f; (3) Dcă f u re sem costt pe itervlul de itegrre, se studiză covergeţ bsolută (utilizâd, după cz, Teorem 5 su Teorem 6); (4) Dcă itegrl este bsolut covergetă, tuci e este şi covergetă; (5) Dcă itegrl u este bsolut covergetă, u se pote spue imic, î geerl, despre covergeţă; î cest cz se îcercă Teorem 7 su Teorem 8. (6) Dcă itegrl u este covergetă î sesul vlorii priciple Cuchy, tuci e este divergetă. 4
β 7.3 Să se determie V p f(x)dx Defiiţie Fie f : [, b) \{c} R o fucţie emărgiită, itegrbilă pe orice itervl compct [, c ε] [, c) su [c + ε, b] (c, b]. Dcă există [ c ε b ] b f(x)dx + f(x)dx şi este fiită, tuci itegrl f(x)dx lim ε c+ε se umeşte covergetă î sesul vlorii priciple Cuchy ir cestă limită se umeşte vlore priciplă Cuchy itegrlei. Se oteză: V p b [ c ε b ] f(x)dx = lim f(x)dx + f(x)dx. ε c+ε Defiiţie Fie f : R R o fucţie itegrbilă pe orice itervl compct [ b, b] R. Dcă există lim f(x)dx şi este fiită, tuci itegrl improprie Se oteză: b b b f(x)dx se umeşte covergetă î sesul vlorii priciple Cuchy. V p b f(x)dx = lim f(x)dx. b b () Se verifică dcă itegrl se îcdreză î codiţiile Defiiţiilor su. () Se determiă o primitivă fucţiei f; (3) Se clculeză, după cz, c ε f(x)dx şi β c+ε (4) Se studiză, după cz, existeţ î R limitelor: b su lim f(x)dx. b b f(x)dx su [ c ε b ] lim f(x)dx + f(x)dx ε c+ε b b f(x)dx; 4
7.4 Fie A R, J = [, β ), β R şi f A J R o fucţie dtă. Să se demostreze că itegrl β coverge simplu (puctul) pe mulţime A f(x, t)dt () Se presupue x A fixt şi se plică u criteriu de covergeţă covebil les; () Î uele czuri, petru x A fixt şi b [, β ), se clculeză itegrl simplă β f(x, t)dt; β (3) Se clculeză poi lim f(x, t)dt, î cz că există. Dcă limit există b β şi este fiită, itegrl este covergetă, ir limt este tocmi F (x); dcă petru u x A limit u există, su u este fiită,tuci itegrl u este puctul covergetă pe A. 7.5 Fie A R, J = [, β ), β R şi f : A J R o fucţie dtă. Să se demostreze că itegrl coverge uiform pe mulţime A β () Dcă este posibil, se determiă, petru fiecre x A, F (x) = () Se obicei se îcercă o mjorre îcât β f(x, t) g(t), (x, t) A J f(x, t)dt β f(x, t)dt; g(t)dt să fie covergetă şi se plică criteriul lui Weierstrss; 7.6 Fie A R, J = [, β ), β R şi f : A J R o fucţie dtă. Fie F : A R, F (x) = β f(x, t)dt. Să se demostreze că F este cotiuă pe mulţime A () Se rtă că f este cotiuă pe A J; 43
β () Se rtă că f(x, t)dt este uiform covergetă pe A; 7.7 Fie A R, J = [, β ), β R şi f : A J R o fucţie dtă. Fie F : A R, F (x) = β f(x, t)dt. Să se demostreze că F este derivbilă pe mulţime A şi să se clculeze F () Se rtă că bie defiită; β f(x, t)dt coverge puctul pe A, deci fucţi F este () Se rtă că f este cotiuă pe A J; (3) Se clculeză f x ; (4) Se rtă că f este cotiuă pe A J; x (5) Se rtă că β (6) Se obţie F (x) = f (x, t) este uiform covergetă pe A; x β f (x, t). x Teorem 9 Fie A R, J = [, β ), β R şi f A J R o fucţie cotiuă pe A J, cu derivt prţilă î rport cu prmetrul x cotiuă pe A J. Dcă itegrl β F : A R ir itegrl f(x, t)dt coverge puctul pe mulţime A către fucţi β derivbilă pe A şi re loc eglitte: f(x, t)dt coverge uiform pe A, tuci F este F (x) = β f (x, t)dt x petru orice x A. Î plus, F este cotiuă pe A. 44
β 7.8 Utilizâd Teorem 9, să se clculeze A () Se rtă că β () Se rtă că itegrl (3) Se oteză β (4) Se obţie F (x) = f (x, t), x A şi se clculeză cestă ite- x grlă. f(x, t)dt coverge puctul pe A; β f(x, t)dt, x A; β f(x, t)dt coverge puctul pe A; f(x, t)dt, x 7.9 Utilizâd Teorem 9, să se clculeze R β h(t)dt, β () Se rtă că itegrl este covergetă; () Se cută o fucţie f(x, t) îcât să existe x stfel c h(t) = f(x, t), t [, β ); (3) Se determiă F (x) = β f(x, t)dt; (4) Se îlocuieşte x cu x şi se obţie: β h(t)dt = F (x ) 7. Să se exprime vlore uei itegrle improprii β h(t)dt covergete, cu jutorul fucţiei Γ su le fucţiei B () Se utilizeză o schimbre de vribilă covebilă t = φ(s) îcât h(φ(s)) φ (s) = s x e s (petru u ume x > ), lim φ(s) =, lim φ(s) = β. s s 45
Î cest cz se obţie; β h(t)dt = Γ(x ); () Se utilizeză o schimbre de vribilă covebilă t = φ(s) îcât h(φ(s)) φ (s) = s x ( s) y (petru ume x >, y > ), lim φ(s) =, s lim φ(s) = β. Î cest cz se obţie; s β h(t)dt = B(x, y ); Exerciţiul 7. Să se studieze tur următorelor itegrle improprii: () () (3) (4) (5) b cos(x) dx x 3 dx (x )(b x) l (x)dx dx x l(x) x cos ( x ) dx (6) x ( )dx 3 + x Exerciţiul 7. Să se studieze tur următorelor itegrle improprii şi să se determie vlorile cestor î cz de covergeţă: () dx x 46
() (3) (4) 3 π rcsi ( x) x( x) dx x si cos(x)dx ( ) dx x Exerciţiul 7.3 Să se clculeze π Exerciţiul 7.4 Să se demostreze că itegrl l(si(x))dx (itegrl lui Euler). π 3 cot(x)dx este divergetă, dr coverge î sesul vlorii priciple Cuchy. π 4 Exerciţiul 7.5 Fie f : (, + ) (, + ) (, ) (, + ) fucţi defiită pri f(x, y, t) = t x ( t) y. Să se demostreze că itegrl Γ(x) = f(x, y, t)dt coverge simplu (puctul) pe (, + ) (, + ). Fucţi Γ este cuoscută sub umele de fucţi gm lui Euler. Observţie Se pote defii itegrl improprie cu doi prmetri, B : (, + ) (, + ) (, + ) pri B(x, y) = t x ( t) y dt cuoscută sub umele de fucţi bet lui Euler. xdt Exerciţiul 7.6 Să se demostreze că itegrl + t x, x R coverge simplu (puctul) dr u coverge uiform pe R. Exerciţiul 7.7 Să se demostreze că fuţi Γ : (, + ) (, + ) (, + ) defiită pri Γ(x) = Γ(x) = t x e t dt este derivbilă pe (, + ) şi t x e t l(t)dt. 47
Exerciţiul 7.8 Folosid fucţiile bet şi gm. să se clculeze: () () x p ( x m ) q dx, p, q, m >. x p e xq dx, p >, q >. Exerciţiul 7.9 Să se studieze tur urmă torelor itegrle improprii şi să se clculeze vlorile cestor î cz de covergeţă: () () (3) 3 π e x cos(bx)dx, >, b R; x si ( ) dx; x dx x + x + Exerciţiul 7. Să se demostreze că urm torele itegrle improprii sut covergete şi să se detrmie vlorile cestor: () () l(x)dx; dx x +. Exerciţiul 7. Să se clculeze: () V p () V p 5 dx x + 9 dx; dx x. 48
π Exerciţiul 7. Demostrţi că e t cos(xt)dt = e x ; e xt Exerciţiul 7.3 Utiliâd Teorem 9 petru itegrl cos(t)dt, x >, t e t să se clculeze cos(t)dt. t Exerciţiul 7.4 Fie Γ : (, + ) (, + ) (, + ) defiită pri Γ(x) = Demostrţi că Γ(x + ) = xγ(x), x >, şi deduceţi că Γ( + ) =!, N. Exerciţiul 7.5 Folosid fucţiile bet şi gm, să se clculeze t x e t dt. () () π x p l q (x)dx, p, q > ; si p (x) cos q (x)dx, p, q > ; 8 Itegrlă curbiliie de primul tip 8. Să se clculeze γ F (x, y, z)dl () Se scriu ecuţiile prmetrice le lui γ : x = f(t) y = g(t) z = h(t), t [, b] (9) () Dcă γ este o curbă di R dtă pri ecuţi implicită F (x, y) =, se pote îcerc folosire coordotelor polre stfel: îlocuid x = r cos(θ), y = r si(θ) î ecuţi F (x, y) =, se obţie o relţie ce evideţiză legătur ître rz polră r şi ughiul polr θ. Rezolvâd 49
ecuţi obţiută se obţie r = r(θ), cu θ [, b] [, π] şi deci x = r cos(θ) y = r si(θ), θ [, b] (3) cre reprezită ecuţiile prmetrice le curbei. î uele probleme se precizeză direct legătur ître r şi θ şi de ici se obţi, c mi îite, ecuţiile prmetrice. (3) Se trsformă itegrl curbiliie î itegrl defiită pri formul γ F (x, y, z)gl = b (4) Se clculeză itegrl defiită. F (f(t), g(t), h(t)) [f (t)] + [g (t)] + [h (t)] )dt 8. Să se clculeze lugime curbei γ dtă de cuţiile... () Se scriu ecuţiile prmetrice le curbei; () Se scrie lugime coform formulei l γ = (3) Se clculeză itegrl curbiliie rezulttă. 8.3 Să se clculeze ms firului de mteril cre este imgie curbei de ecuţii..., dcă desitte î fiecre puct este ρ(x, y, z) =... () Se scriu ecuţiile prmetrice le curbei; () Se plică formul m = ρ(x, y, z)dl; (3) Se clculeză itegrl curbiliie rezulttă. γ γ dl; 5
8.4 Să se determie coordotele cetrului de greutte l firului mteril cre este imgie curbei de ecuţii..., dcă desitte s î fiecre puct este ρ(x, y, z) =... () Se scriu ecuţiile prmetrice le curbei; () Se plică formul xρ(x, y, z)dl γ x G = γ ρ(x, y, z)dl ; y G = yρ(x, y, z)dl γ γ ρ(x, y, z)dl ; z G = γ γ zρ(x, y, z)dl ; ρ(x, y, z)dl (3) Se clculeză itegrl curbiliie rezulttă. 8.5 Să se determie mometul de ierţie î rport cu x Ox (su Oy su Oz) l firului mteril cre este imgie curbei de ecuţii..., dcă desitte s î fiecre puct este ρ(x, y, z) =... () Se scriu ecuţiile prmetrice le curbei; () Se plică formul I x = (y + z )ρ(x, y, z)dl γ I y = (x + z )ρ(x, y, z)dl γ I z = (x + y )ρ(x, y, z)dl (3) Se clculeză itegrl curbiliie rezulttă. γ 8.6 Să se determie trcţi exercittă supr puctului mteril M(x, y, z ) ude se flă ms m de către firul mteril,..., vâd desitte î fiecre puct ρ(x, y, z) =... () Se scriu ecuţiile prmetrice le curbei; 5
() Se plică formul F x = km F x = km F x = km γ γ γ (x x )ρ(x, y, z) dl [(x x ) + (y y ) + (z z ) ] 3 (y y )ρ(x, y, z) dl [(x x ) + (y y ) + (z z ) ] 3 (z z )ρ(x, y, z) dl [(x x ) + (y y ) + (z z ) ] 3 (3) Se clculeză itegrl curbiliie rezulttă. Exerciţiul 8. Să se clculeze xydl, ude γ este dtă de x = t, y = t, t [, ] γ Exerciţiul 8. Să se clculeze x [, ] γ xydl, ude γ este dtă de y = x, Exerciţiul 8.3 Să se clculeze xydl, ude γ : x + y =, >. γ Exerciţiul 8.4 Să se clculeze I = (x + y + z)dl, ude γ este dtă de x = cos(t), y = si(t), z = t, t [, π]. Exerciţiul 8.5 Să se clculeze I = (x + y + z)dl, ude γ este triughiul cu vârfurile î A(,, ), B(,, ), C(,, ). γ γ Exerciţiul 8.6 Să se clculeze lugime curbei γ defită pri reprezetre prmetrică: x = cos(t), y = si(t), z = bt, t [, π] 5
Exerciţiul 8.7 Să se clculeze ms şi coordotele cetrului de greutte l firului mteril cre este imgie curbei γ : x = 4t 5 ; y = 5t 4 ; z = t 3, t [, ] dcă desitte î puctul (x, y, z) este ρ(x, y, z) = z Exerciţiul 8.8 Să se clculeze mometul de ierţie î rport cu x Oz primei spirle elicei x = cos(t), y = si(t), z = bt, vâd desitte costtă ρ. Exerciţiul 8.9 Să se clculeze următorele itegrle curbiliii de primul tip: () xydl; γ [, ] R, γ(t) = (t, t); () (3) (4) (5) (6) γ γ γ γ γ γ (x + y )dl; γ [, π] R, γ(t) = (cos(t), si(t)); 4x 6 ydl; γ [, ] R, γ(t) = (e t, e t ); y dl; γ [, π] R, γ(t) = ( si(t), cos(t)); z(x + y )dl; γ [, ] R 3, γ(t) = (t cos(t), t si(t), t); (x + y ) l(z)dl; γ [, ] R 3, γ(t) = (e t cos(t), e t si(t), e t ); Exerciţiul 8. Să se clculeze lugimile următorelor itegrle curbe: () x = e kt cos(t), y = e kt si(t), z = e kt, t [, ], >, k > ; () x = t(t), y = cot(t), z = [ l(t(t)), t π 4, π ] ; 3 (3) x = t, y = l(si(t)), t [ π 4, 3π 4 ] ; 53