Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije September 5, 008 Brojevna kružnica. Mjerenje kuteva pretpostavimo da se po kružnici jediničnog radijusa pomaknemo za kut t u smjeru suprotnom od kazaljke na satu II T(t) O t I III IV Slika : Definicija kuta pomoću jedinične kružnice kut t u radijanima po definiciji je jednak duljini prijed enog luka ravninu dijelimo na četiri kvadranta prvi kvadrant: 0 / drugi kvadrant: / treći kvadrant: 3/ četvrti kvadrant: 3/

FUNKCIJE SINUS I KOSINUS ako obid emo cijelu kružnicu, duljina prijed enog luka iznosi (opseg jedinične kružnice) stoga je kut t + k, k Z ekvivalentan kutu t tj. točke T(t) i T(t + k) se poklapaju osim u radijanima, kuteve možemo mjeriti i u stupnjevima u tom slučaju krug dijelimo na 360 jednakih dijelova svaki dio odgovara kutu od 0 puni krug odgovara kutu od 360 0 kut izražen u radijanima pretvaramo u stupnjeve po formuli t (stupnjevi) = 360 t (radijani) () t (rad) 0 /6 /4 /3 / 3/ t ( 0 ) 0 30 0 45 0 60 0 90 0 80 0 70 0 360 0 Funkcije sinus i kosinus. Definicija i osnovna svojstva funkcije sinus i kosinus definiramo na brojevnoj kružnici funkcija sinus je ordinata, a funkcija kosinus apscisa točke T(t) na brojevnoj kružnici T(t) sin t T(t) O t cost t O Slika : Definicije funkcija sinus i kosinus na brojevnoj kružnici

FUNKCIJE SINUS I KOSINUS 3 apsolutna vrijednost obje funkcije mora biti manja od radijusa jedinične kružnice pa dolazimo do prvog važnog svojstva funkcija sinus i kosinus sin i cos () koordinate točke T(t): (T, T ) = (cost, sin t) točka T(t) (cost, sin t) pripada jediničnoj kružnici samo ako vrijedi (Pitagorin poučak) T + T = (3) drugo važno svojstvo funkcija sinus i kosinus sin t + cos t = (4) točki T(t) na brojevnoj kružnici pridruženi su svi realni brojevi t + k, gdje je k cijeli broj sve točke T(t + k), k Z se poklapaju pa vrijedi cos (t + k) = cost sin (t + k) = sin t, k Z (5) funkcije sinus i kosinus su periodične s periodom prema konvenciji, kut t je pozitivan ako brojevnu kružnicu obilazimo u smjeru suprotonom od kazaljke na satu i negativan ako brojevnu kružnicu obilazimo u smjeru kazaljke na satu sin T() T() O O cos sin T( ) T( ) Slika 3: Parnost funkcija sinus i kosinus

FUNKCIJE SINUS I KOSINUS 4 sa slike vidimo da vrijedi sin ( t) = sin t i cos ( t) = cost (6) funkcija sinus je neparna, dok je funkcija kosinus parna funkcija sinus iščezava u točkama = k, k Z (7) funkcija kosinus iščezava u točkama ( = k + ), k Z (8). Grafički prikaz funkcija sinus i kosinus graf funkcije sinus konstruiramo pomoću brojevne kružnice na os nanesemo kut u radijanima, dok na os prenesemo ordinatu točke T() postupak ponavljamo dok ne obid emo cijelu kružnicu T() sin sin 3 Slika 4: Konstrukcija grafa funkcije sinus period funkcije sinus iznosi pa je dovoljno konstruirati graf na intervalu [0, ] na sličan način konstruiramo graf fukncije kosinus na os nanesemo kut u radijanima, dok na os prenesemo apscisu točke T()

FUNKCIJE SINUS I KOSINUS 5 cos T() cos cos 3 Slika 5: Konstrukcija grafa funkcije kosinus neke karakteristične vrijednosti funkcija sinus i kosinus φ 0 /6 /4 /3 pi/ 3/ sin φ 0 / / 3/ 0 0 cosφ 3/ / / 0 0 Tablica : Karakteristične vrijednosti funkcija sinus i kosinus.3 Adicione formule u primjenama trigonometrije često moramo izračunati vrijednost trigonometrijske funkcije za zbroj ili razliku dva kuta tada koristimo adicione formule cos ( + ) = coscos sin sin (9) sin ( + ) = sin cos + cossin (0) formulu (9) možemo izvesti promatrajući slike

FUNKCIJE SINUS I KOSINUS 6 T( + ) T() T() O d T(0) O d T(0) T( ) Slika 6: Izvod adicionih formula na lijevoj slici smo označili tri točke: T( + ) = (cos ( + ), sin ( + )) T() = (cos (), sin ()) T(0) = (, 0) udaljenost izmed u točaka T( + ) i T(0) iznosi d = (cos ( + ) ) + (sin ( + ) 0) = cos ( + ) cos( + ) + + sin ( + ) = cos ( + ) + sin ( + ) + cos ( + ) iskoristimo relaciju cos ( + ) + sin ( + ) = d = cos ( + ) () sada zarotiramo sve tri točke za kut u smjeru kazaljke na satu (desna slika) udaljenost d izmed u točaka T() i T( ) ostaje nepromijenjena d = (cos cos ( )) + (sin () sin ( )) = (cos cos) + (sin () + sin ) = cos cos cos + cos + sin + sin sin + sin = cos + sin + cos + sin + sin sin coscos = + (sin sin coscos ) ()

FUNKCIJE SINUS I KOSINUS 7 usporedbom izraza () i () dolazimo do zaključka cos ( + ) = + (sin sin cos cos) (3) adiciona formula za funkciju kosinus = cos ( + ) = coscos sin sin (4) odmah možemo izvesti formulu za kosinus razlike kuteva cos ( ) = cos ( + ( )) = coscos ( ) sin sin ( ) = coscos + sin sin (5) primjenom adicione formule na slučaj = / možemo doći do veze izmed u funkcija sinus i kosinus ( ) cos = cos cos + sin sin (6) iskoristimo poznate vrijednosti funkcija sinus i kosinus cos = 0 i sin = (7) ( ) = sin = cos (8) ako napravimo supstituciju = / dolazimo do formule ( ) sin = cos (9) došli smo do veze izmed u funkcija sinus i kosinus ( ) ( ) cos = sin i sin = cos (0) sada možemo izvesti i adicione formule za funkciju sinus sinus razlike kuteva [ ] sin ( ) = cos ( ) [( ) ] = cos + = cos ( ) cos sin ( ) sin = sin cos cossin ()

FUNKCIJE SINUS I KOSINUS 8 sinus zbroja kuteva sin ( + ) = sin [ ( )] = sin cos cossin ( ) = sin cos + cos sin () iz adicionih formula možemo izvesti i formule za zbroj i razliku funkcija sinus i kosinus polazimo od adicionih formula cos ( + ) = cos cos sin sin (3) cos ( ) = cos cos + sin sin (4) sin ( + ) = sin cos + cos sin (5) sin ( ) = sin cos cossin (6) zbrojimo formule (3) i (4) coscos = cos ( + ) + cos ( ) (7) napravimo supstitucije + = u i = v = = u + v i = u v (8) slijedi formula za zbroj dva kosinusa cosu + cosv = cos u + v cos u v (9) zbrojimo formule (5) i (6) sin cos = sin ( + ) + sin ( ) (30) napravimo supstitucije (8) slijedi formula za zbroj dva sinusa sin u + sin v = sin u + v cos u v (3)

FUNKCIJE SINUS I KOSINUS 9.4 Općeniti oblik funkcije sinus Funkcija oblika: f() = a sin funkcija sinus poprima vrijednosti izmed u i stoga funkcija f() poprima vrijednosti izmed u a i a broj a zovemo amplituda f() a 3 a Slika 7: Graf funkcije a sin. Funkcija oblika: f() = sin (ω) period funkcije sin iznosi možemo izračunati period funkcije f() ωτ = = τ = ω (3) ako je ω > period se skraćuje u odnosu na funkciju sin, a ako je ω < period se produžuje f() ω = ω = 3 ω = 0.5 5 3 7 4 9 Slika 8: Funkcije sinus s različitim periodima.

3 FUNKCIJE TANGENS I KOTANGENS 0 Funkcija oblika: f() = sin ( + φ) nultočke funkcije sin 0 = (k + ), k Z (33) nultočke funkcije sin ( + φ) 0 + φ = (k + ), k Z = 0 = (k + ) φ (34) graf funkcije sin ( + φ) dobije se translacijom grafa funkcije sin duž osi za φ f() sin sin ( /3) 3 3 sin ( + /3) 3 Slika 9: Funkcije sinus s različitim početnim fazama φ. 3 Funkcije tangens i kotangens funkciju tangens definiramo kao omjer funkcija sinus i kosinus tan = sin cos (35) tangens nije definiran u nul-točkama funkcije kosinus 0 = (k + ), k Z (36) tangens je periodička funkcija s periodom tan( + ) = sin ( + ) cos ( + ) = sin cos = tan (37)

3 FUNKCIJE TANGENS I KOTANGENS tangens je neparna funkcija graf funkcije tangens tan( ) = sin ( ) cos ( ) = sin cos = tan (38) 0 3 5 Slika 0: Graf funkcije tangens. funkciju kotangens definiramo kao omjer funkcija kosinus i sinus cot = cos sin (39) kotangens nije definiran u nul-točkama funkcije sinus kotangens je periodička funkcija s periodom cot( + ) = kotangens je neparna funkcija cot( ) = 0 = k, k Z (40) cos ( + ) sin ( + ) = cos sin cos ( ) sin ( ) = cos sin = cot (4) = cot (4)

4 HARMONIJSKA GIBANJA graf funkcije kotangens 0 3 5 Slika : Graf funkcije kotangens. 4 Harmonijska gibanja harmonijska gibanja možemo opisati funkcijama oblika f(t) = A sin (ωt + φ) (43) pritom koristimo sljedeće pojmove amplituda: A kružna frekvencija: ω početna faza: φ period gibanja dan je s τ = ω (44) superpozicija harmonijskih gibanja iste kružne frekvencije ω ponovno je harmonijsko gibanje kružne frekvencije ω f(t) = A sin (ωt + φ ) + A sin (ωt + φ ) = A sin ωtcosφ + A cos ωtsin φ + A sin ωtcosφ + A cosωtsin φ = (A cosφ + A cosφ ) sin ωt + (A sin φ + A sin φ ) cosωt

4 HARMONIJSKA GIBANJA 3 koristimo oznake B A cos φ + A cosφ i B A sin φ + A sin φ (45) = f(t) = B sin ωt + B cosωt (46) ako je bar jedan od brojeva B i B različit od nule možemo naći realne brojeve A i φ sa svojstvom B = A sin φ i B = A cosφ (47) funkcija f(t) svodi se na Primjer: f(t) = A sin φ cosωt + A cosφsin ωt = A sin (ωt + φ) (48) prikažite u obliku A sin (ωt + φ) sumu funkcija prvo iskoristimo adicione formule f(t) = 5 sin (3t + /6) + 3 sin(3t /3) (49) sin (3t + /6) = sin 3tcos (/6) + cos 3t sin (/6) 3 = sin 3t + cos 3t (50) sin (3t /3) = sin 3tcos (/3) cos 3tsin (/3) = sin 3t 3 cos 3t (5) sada računamo zbroj (49) 3 f(t) = 5 sin 3t + 5 cos 3t + 3 3 sin 3t 3 cos 3t = ( 5 ) 3 + 3 sin 3t + ( 5 3 ) 3 cos 3t (5) tražimo amplitudu A i fazu φ tako da vrijedi f(t) = A sin (3t + φ) = A sin 3t cosφ + A cos 3tsin φ (53) usporedba s izrazom (5) A cosφ = ( 5 ) 3 + 3 i A sin φ = ( 5 3 ) 3 (54)

4 HARMONIJSKA GIBANJA 4 podijelimo A sin φ s A cosφ = tanφ = 5 3 3 5 3 + 3 = 0.068 = cos φ (55) amplituda A = ( 5 ) 3 + 3 (56) (5 3 + 3) 5 3 f(t) = f (t) + f (t) f (t) t 3 5 (5 3 + 3) f (t) Slika : Zbroj funkcija f (t) = 5 sin(3t + /6) i f (t) = 3 sin (3t /3). često susrećemo i superpoziciju harmonijskih funkcija različitih frekvencija promotrimo najjednostavniji primjer superpozicije dva titranja jednakih amplituda i početnih faza φ = φ = 0 f(t) = f (t) + f (t) = A sin ω t + A sin ω t (57) iskoristimo formulu za zbroj sinusa (3) ( ) ( ) ω + ω ω ω f(t) = A sin t cos t (58) Primjer: superpozicija funkcija sin i sin primjenimo formulu za zbroj sinusa (3) sin + sin = sin 3 cos (59)

4 HARMONIJSKA GIBANJA 5 dobivena funkcija ima period f(t) sin + sin sin sin t Slika 3: Zbroj funkcija f(t) = sin t + sint Primjer: udari posebno je zanimljiv primjer kada su frekvencije ω i ω približno jednake ω ω = ω ω i ω ω + ǫ (60) superpozicija takve dvije funkcije ( ǫ ) f(t) = A sin (ωt)cos t (6) radi se o titranju frekvencije ω čija se amplituda sporo mijenja ( ǫ ) promjenu (modulaciju) amplitude daje faktor cos t superpoziciju titranja bliskih frekvencija zovemo udari na slici je superpozicija dva sinusa bliskih frkvencija (crvena linija) i linija koja prikazuje promjenu amplitude (zelena linija)

5 CIKLOMETRIJSKE FUNKCIJE 6 f(t) t Slika 4: Grafički prikaz udara. 5 Ciklometrijske funkcije ciklometrijske funkcije su inverzne funkcije trigonometrijskih funkcija 5. Funkcija arcsin() funkcija sin preslikava interval [ /, /] na interval [, ] definiramo inverznu funkciju arcsin za koju vrijedi arcsin (sin ) = [ /, /] (6) sin (arcsin ) = [, ] (63) bitno je uočiti da je funkcija sin definirana za svaki R, dok je funkcija arcsin definirana samo na intervalu [, ] jer sin poprima vrijednosti samo u tom intervalu graf funkcije arcsin dobijemo zrcaljenjem grafa funkcije sin s obzirom na pravac =

5 CIKLOMETRIJSKE FUNKCIJE 7 = sin = = arcsin Slika 5: Graf funkcije arcsin. 0 /6 /4 /3 pi/ sin 0 / / 3/ arcsin 0 /6 /4 /3 / Tablica : Nekoliko vrijednosti funkcija sinus i arcsin 5. Funkcija arccos() funkcija cos takod er preslikava interval [ /, /] na interval [, ] opet definiramo inverznu funkciju arccos za koju vrijedi arccos (cos) = [ /, /] (64) cos (arccos) = [, ] (65) kao i u prethodnom slučaju, funkcija cos definirana je za svaki R, dok je funkcija arccos definirana samo na intervalu [, ] graf funkcije arccos dobijemo zrcaljenjem grafa funkcije cos s obzirom na pravac =

5 CIKLOMETRIJSKE FUNKCIJE 8 = arccos = O = cos Slika 6: Graf funkcije arccos. 0 /6 /4 /3 pi/ cos 3/ / / 0 arccos 0 /6 /4 /3 / Tablica 3: Nekoliko vrijednosti funkcija cos i arccos 5.3 Funkcija arctan() funkcija tan preslikava interval /, / na interval, definiramo inverznu funkciju arctan za koju vrijedi arctan (tan) = /, / (66) tan (arctan) =, (67) za razliku od funkcija cos i sin funkcija tan nije ograničena pa je funkcija arctan definirana na cijelom skupu realnih brojeva graf funkcije arctan dobijemo zrcaljenjem grafa funkcije tan s obzirom na pravac =

6 ZADACI ZA VJEŽBU 9 = tan / = arctan = / O Slika 7: Graf funkcije arctan. na isti način bi definirali i funkciju arccot 6 Zadaci za vježbu Zadatak Dokažite sljedeće relacije (sin + cos)(cos sin ) = cos (sin cos 3) cos 5 = (sin 7 sin 3 cos cos 8) (sin + cos)(sin + cos ) = sin 3 + cos Zadatak Dokažite da za [0, /] vrijede sljedeće relacije cos sin = i cos = + cos Zadatak 3 Dokažite da za / {/ + m, m Z} vrijedi sljedeća relacija tan( ) = tan tan + tantan