ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ; A. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού. Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο f ( ) ελάχιστο, το 0 Λάθος, όταν f ( ) f ( ) για κάθε A 0. 0 A (ολικό) β. Ανάμεσα σε δύο ρίζες μιας πολυωνυμικής συνάρτησης, υπάρχει πάντα τουλάχιστον μια ρίζα της παραγώγου της. Σωστό γ. Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα και,,, τότε ισχύει: Σωστό f ( t) dt f ( t) dt c, c δ. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής, 0 0, πραγματικός αριθμός. Τότε ισχύει η ισοδυναμία: Σωστό a lim ( ) lim ( ) 0 f l f l 0 0 και l ένας ε. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα και δεν μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή είναι θετική για κάθε. Λάθος
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με f ( ) ln 3. Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Β3. Να ορίσετε την f. Β4. Να λύσετε την ανίσωση: f f ln5. ΛΥΣΗ Β. Για να ορίζεται η, πρέπει:, που αληθεύει για κάθε. Άρα, το πεδίο ορισμού της είναι Β. Για κάθε με έχουμε: Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα «-» οπότε αντιστρέφεται. 3 Σχόλιο: Θα μπορούσαμε να αποδείξουμε εύκολα ότι f ( ) 0,, άρα η f 3 είναι γνησίως αύξουσα, άρα «-» οπότε αντιστρέφεται. Β3. Έχουμε:
οπότε: Άρα: Β4. Έχουμε: ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται συνάρτηση f ( ) ln. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ. i. Να βρείτε το σύνολο τιμών της και να λύσετε την εξίσωση f ( ) 0. ii. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. Γ3. Αν για τους αριθμούς, ισχύει: a με 0 και 0, ln ln να υπολογίσετε τους a,. 3
Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, ΛΥΣΗ τους άξονες και y y και την ευθεία. Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το διάστημα. Γ. Έχουμε: και. Επειδή για κάθε, έπεται ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα. Επίσης, άρα για και για. Επιπλέον και έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα: 4
Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο, οπότε παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το. Γ. i. Έχουμε:, αφού και. Άρα το σύνολο τιμών της είναι το. Η εξίσωση έχει στο πεδίο ορισμού της, μοναδική λύση την, αφού: για και για. ii. Αναζητούμε τις ασύμπτωτες της Κατακύρυφες: Επειδή lim f lim κατακόρυφη ασύμπτωτη της C. Οριζόντιες: Η ( ) ln, η ευθεία f C f δεν έχει οριζόντια ασύμπτωση αφού: ln( ) f ( ) ln lim lim lim, διότι είναι: είναι 5
lim Πλάγιες: Επειδή: 0, 0 0 ( ) ln( ) lim D L lim lim lim 0 ln( ) ( ) ln f ln( ) lim lim lim lim lim lim lim ln( ) lim 0 0 η C f δεν έχει πλάγιες ασύμπτωτες Γ3. Η δοσμένη σχέση γίνεται ισοδύναμα: Από την τελευταία σχέση έπεται ότι: (), () γιατί αν υποθέσουμε ότι π.χ. τότε, επειδή για κάθε, θα πρέπει και η () μας δίνει: οποίο είναι άτοπο. Επομένως δηλαδή, το 6
οπότε από την () και. Από την () και από το ερώτημα iii) έχουμε ότι:. Γ4. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: 0 0 0 0 0 0 f ( ) d f ( ) d ln d d ln d d ln( ) d ln I ln I 0 0 0 0 I d 0 d 0 d 0 d 0 ln 0 ln 0 Επομένως: ΘΕΜΑ 4 ο ln ln ln. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο, με f ( ) 0 για κάθε που ικανοποιεί τη σχέση: f ( ) ln, για κάθε με f ( ) f ( ) ln Δ. Να αποδείξετε ότι f ( ) ln, καθώς και ότι οι συναρτήσεις g( ), h( ) ln δεν έχουν κοινό σημείο στο,. Δ. i). Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία της και να βρείτε το σύνολο τιμών της. ii). Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f ( ) με,. Δ3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο της A, f ( ). Δ4. i. Να αποδείξετε ότι: ii. Να αποδείξετε ότι: 3 f ( ) ( ) 5 5 4 f ( ) d 4 7
Δ5. Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) για κάθε,, f f f ΛΥΣΗ Δ. Έχουμε διαδοχικά: Για f ( ) ln f ( ) ln f ( ) ln(ln ) ( ) ln ( ) f f ln ln ( ) ln(ln ) ln f ( ) ln(ln ) έχουμε: Επομένως ln f ( ) ln(ln ) (). Επειδή η f είναι συνεχής στο αφού ( ) 0 f c ln f ( ) ln(ln ) c ln c c c 0 f, για κάθε,, και αφού f ( ) 0 θα είναι ( ) 0 Άρα από την σχέση () έχουμε:, (ως παραγωγίσιμη στο, ) και δεν έχει ρίζες, η συνάρτηση f θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο f, για κάθε,. ln f ( ) ln(ln ) ln f ( ) ln(ln ) ln ln f ( ) ln ln f ( ) ln, Θα αποδείξουμε τώρα ότι οι συναρτήσεις g( ), h( ) ln δεν έχουν κοινό σημείο, δηλαδή ότι η εξίσωση: g( ) h( ) ln ln 0 δεν έχει ρίζα στο, Θεωρούμε την συνάρτηση K( ) ln,, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο, (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με K ( ),. Η συνάρτηση K ( ) είναι επίσης παραγωγίσιμη στο, (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με K ( ) 0,. Άρα η K ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο,. Άρα: K ( ) K () K ( ) 0, 8
Επομένως η συνάρτηση K( ) είναι είναι γνησίως αύξουσα στο,.άρα: K( ) K() 0 K( ) 0, Οπότε η συνάρτηση K( ) δεν έχει ρίζα στο,, δηλαδή ισοδύναμα οι συναρτήσεις g( ), h( ) ln,. δεν έχουν κοινό σημείο στο Δ. i) Η συνάρτηση f ( ) ln, παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με: είναι παραγωγίσιμη στο f ( ) ln 0, για κάθε, (ως γινόμενο Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα,. Για το σύνολο τιμών της έχουμε: (, ) lim ( ), lim ( ) f f f Είναι:, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα Αρα f (, ) 0, lim f ( ) lim lim f ( ) lim ln 0 ln,. ii) Έχουμε f ( ) f ( ) ( ),, όπου ( ) f ( ), η οποία είναι παραγωγίσιμη στο, (ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με: ( ) f ( ) f ( ) ln ln ln ln ln ln 0,, για κάθε Άρα η συνάρτηση ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, και επομένως το σύνολο τιμών της είναι (, ) lim ( ), lim ( ) 0, Άρα: Αν 0 η εξίσωση f ( ), αφού: lim ( ) lim lim f ( ) lim f ( ) 0 f ( ) δεν έχει ρίζα στο, 9
Αν 0 η εξίσωση f ( ), (ως γνησίως αύξουσα στο έχει μοναδική ρίζα στο,, αφού είναι «-» στο, ). Δ3. Η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιμη στο, (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με: f ( ) ln ln ln ln 0, Αφού για κάθε, είναι : 0 0 ln 0 Επομένως η συνάρτηση f είναι κυρτή στο,. Η εξίσωση της εφαπτομένης της, αφού C f στο σημείο της, ( ) ln 0, 0 A f είναι: y y y f ( ) Δ4. i) Αφού η συνάρτηση f είναι κυρτή στο, η γραφική της παράσταση θα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη (στο σημείο επαφής Α ιχύει η ισότητα). Επομένως θα έχουμε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), για κάθε ii) Ολοκληρώνοντας την προηγούμενη ανισοισότητα έχουμε: f ( ) 3 3 3 3 3 d d f ( ) d ( ) 3 9 4 3 5 f ( ) d ( ) 3 f ( ) d ( ) 5 5 5 5 3 3 f ( ) d f ( ) d Το βήμα αυτό χρειάζεται απόδειξη: Αν f, g συνεχείς στο a, με f ( ) g( ), a, f ( ) d g( ) d. Απόδειξη: f ( ) g( ) 0 για κάθε a a,,άρα:, τότε f ( ) g ( ) 0 f ( ) g ( ) d 0 f ( ) d g ( ) d 0 f ( ) d g ( ) d a a a a 0
Δ5. Επειδή η συνάρτηση f είναι κυρτή στο, (προηγούμενο ερώτημα) η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. του διαφορικού λογισμού στα διαστήματα, και,, αντίστοιχα, αφού πληρούνται οι προϋποθέσεις (η f είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής στα, και, ). Επομένως υπάρχουν, και, τέτοια, ώστε: f f f f ( ) f Από το γεγονός ότι η f είναι γνησίως αύξουσα έχουμε: f f f ( ) f f ( ) f ( ) f f ( ) f ( ) f f ( ) f ( ) f f Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα www.mathp.gr Συντονισμός: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών.