ALULUL NUMERI AL VALORILOR PROPRII ŞI AL VETORILOR PROPRII A mtrice pătrtică de ordiul cu elemete rele vlore proprie mtricei A dcă, R : A ; () vector propriu l mtricei A socit vlorii () (A I), I mtrice uitte de ordiul () Scriere sub formă dezvolttă relţiei ():!! sistem liir şi omoge () Soluţii eble A să ibă vlori proprii şi vectori proprii determitul sistemului să fie ul: ( A I ) P () c c c c det " () Ecuţi () ecuţi crcteristică mtricei A ; fucţi poliomilă ( ) P poliomul crcteristic l mtricei A
lculul umeric l vlorilor proprii şi l vectorilor proprii Observţie: Î () se cuoşte vlore coeficietului c domit, ( ) Altă formă prctică ecuţiei crcteristice şi, corespuzător, poliomului crcteristic pri îmulţire relţiei () cu ( ) ' ( ) ( ) ' ' I A ' ' P c c c c det ", (5) ' î cre c Asmblul vlorilor proprii le mtricei A spectrul mtricei A : σ ( A) {,, ", } ; (6) umărul: ρ(a) m i (7) i A se umeşte rz spectrlă lui A A re vectori proprii liir idepedeţi simplă su edefectivă; î cz cotrr defectivă O mtrice simplă re tote vlorile proprii simple Două mtrice pătrtice de ordiul A şi B sut semee su similre dcă eistă o trei mtrice pătrtică de ordiul esigulră S stfel îcât: B S - A S (8)
Metode globle directe Notţie: A ~ B ; (8) trsformre de similritte Teorem : Două mtrice semee u celşi poliom crcteristic Demostrţie: Fie A şi B stfel îcât A ~ B det det ( B I ) S AS S I S det det S ( A I ) det (8) S ( A I ) ( S) det det det S S det( A I ) () I det( A I ) det( A I ) S oseciţă: Două mtrice semee u celeşi vlori proprii Teorem : Dcă A este simplă este semee cu mtrice digolă Λ dig(,,", ) : Λ S - A S, (9) ude S re pe coloe cei vectori proprii: [ ] S " () Demostrţie:,,, sut vlori proprii [ A A " A ] [ " ] A [ " ] [ " ] " " # "
lculul umeric l vlorilor proprii şi l vectorilor proprii A S S Λ Îmulţire l drept cu S - (9) Relţi (9) foloseşte clculului vlorilor proprii câd se cuosc vectorii proprii Observţie: Petru o mtrice (superior su iferior) triughiulră su digolă vlorile proprii sut chir elemetele digolei priciple Teorem : Dcă ( ) P poliomul crcteristic () l mtricei A idetitte lui yley-hmilto: ( ) c A c A c A c I P ", () dică poliomul crcteristic l uei mtrice este poliomul ult l ei Metodele de determire vlorilor proprii se ctegorisesc: - după umărul vlorilor proprii determite:! metode globle determiă tote cele vlori proprii şi toţi cei vectori proprii,! metode prţile determiă umi umite vlori proprii şi vectorii proprii fereţi; - după tur lgoritmului de clcul:
Metode globle directe 5! metode directe determiă eplicit poliomul crcteristic şi clculeză vlorile proprii pri rezolvre ecuţiei crcteristice (),! metode idirecte su itertive evită rezolvre ecuţiei crcteristice () determiâd vlorile proprii pri procedee de proimţii succesive bzte pe trsformări de similritte Metode globle directe Determiă tote vlorile proprii le mtricei A pri obţiere eplicită ecuţiei crcteristice (), cre pote fi rezolvtă poi cu uul di lgoritmii di cpitolul următor După determire vlorii proprii i se prcurg etpele petru determire vectorului propriu i : () Se îlocuieşte i î sistemul () liir şi omoge, de ordiul, cu mtrice coeficieţilor sigulră (b) Se fieză rbitrr vlore uei vribile (de regulă, ) (c) Se îlocuieşte vlore fită î sistemul de l () şi se reuţă l ecuţi corespuzătore vlorii proprii respective, i
6 lculul umeric l vlorilor proprii şi l vectorilor proprii (d) Se rezolvă sistemul liir de ordiul de l puctul (c) plicâd u di metodele di cpitolul terior Metodă globlă metod Leverrier, bztă pe oţiue B b defiită: [ ] de urmă uei mtrice ij i j,, tr( B) b, () ii i Algoritmul metodei Leverrier etpe: (I) Determire coeficieţilor c i, i, i poliomului crcteristic () Se prcurg etpele ) ): ) Se fieză petru primul coeficiet vlore c ) Se iiţilizeză mtrice jutătore B sub form: B [ ] b j A i i, j, () (idicele superior psul curet de clcul) şi se determiă vlore coeficietului c : c b ii () i ) L u ps orecre k, se determiă vlore curetă mtricei B : B k k ( c I ) A B k ()
şi poi se clculeză vlore coeficietului c k : c k k b i k ii Metode globle directe 7 (5) (II) lculul vlorilor proprii pri rezolvre ecuţiei crcteristice () (III) Determire vectorilor proprii corespuzători vlorilor proprii de l etp II) pri prcurgere etpelor () (d) specificte terior Eemplu: Să se clculeze cu metod Leverrier vlorile proprii şi vectorii proprii petru mtrice Soluţie: Se prcurg etpele (I) (III) le lgoritmului: (I) ) c A 5 ) B A 5 ( 5 ) 7 c ) Psul k Se plică () şi (5)
8 lculul umeric l vlorilor proprii şi l vectorilor proprii ( ) ( ) 8 8 6 6 5 7 7 7 5 c A I A B B c Psul k Se plică di ou () şi (5) ( ) ( ) 6 6 6 6 6 6 6 8 5 c I A B B c (II) S- obţiut ecuţi crcteristică: ( ) 6 7 P, cu soluţiile: 6,, (III) Sistemul () re epresi: ) ( ) (5 ) ( Se clculeză vectorul propriu corespuzător vlorii proprii Se fieză, se reuţă l prim ecuţie şi se fc îlocuirile î celellte 7
Metode globle directe 9 Se rezolvă sistemul, primul vector propriu: Urmeză Se fieză, se reuţă l dou ecuţie di sistem, se fc îlocuirile î celellte Se rezolvă sistemul, Î fil, se clculeză vectorul propriu corespuzător vlorii proprii 6 Se fieză, se reuţă l trei ecuţie şi se fc îlocuirile î primele două 5 Se rezolvă sistemul, l treile vector propriu,
lculul umeric l vlorilor proprii şi l vectorilor proprii Metode de loclizre vlorilor proprii Aplicţii l liz stbilităţii sistemelor dimice liire Se cosideră o mtrice pătrtică relă A de ordiul Se pue problem loclizării tuturor celor vlori proprii le cestei mtrice fără le clcul î mod distict Aplicţie: liz stbilitţii sistemelor dimice liire l cre A este mtrice sistemului suficietă determire uor domeii le plului comple ude se găsesc cu sigurţă tote vlorile proprii le mtricei A Metod bztă pe discurile lui Gerschgori Două tipuri de discuri: { } l, i L i,, () ii i l i j, j i ij () (iteriorul cercului cu cetrul î elemetul digol ii şi de rză l i );
Metode de loclizre vlorilor proprii j r, j, jj j, () r j i, i j ij () Fiecre vlore proprie mtricii A se flă î cel puţi uul di discurile L i şi î cel puţi uul di discurile j Notţii: L $ i L i $, j j, (5) rezulttul eseţil: ( ) L σ A % ; (6) eglitte re loc umi petru mtrice digole (petru cre rzele discurilor sut ule)! Eemplu: Utilizâd metod discurilor lui Gerschgori, să se determie u domeiu l plului comple î cre se flă vlorile proprii le mtricei di eemplul terior: A 5 Soluţie: Discurile u următorele epresii coform relţiilor () ():
lculul umeric l vlorilor proprii şi l vectorilor proprii { } { } { } { } { } { },, 5,, 5, L L L L L L L Domeiul cerut se flă î iteriorul zoelor hşurte: Aplicţie metodelor de loclizre: metodele de liză stbilităţii sistemelor dimice liire cu timp cotiuu l cre mtrice sistemului este A Oferă codiţii ecesre şi suficiete petru c tote vlorile proprii le lui A să fie situte strict î semiplul comple stâg (să ibă prte relă strici egtivă) zo hşurtă:
Metode de loclizre vlorilor proprii riteriul de stbilitte Routh Se îcepe cu clculul poliomului crcteristic l mtricei A : () det( I A) µ " (7) (ecesr c > eseţil!) ostruire schemei Routh, cu, liii şi coloe Primele două liii se completeză cu coeficieţii lui µ (), ir restul schemei pe bz formulelor: b i r i,, i, r i,, (8) r r b r, i, j i i, j i ; j,, (9) i, j, oeficieţii de pe colo eseţili coeficieţi Routh Schem Routh:
lculul umeric l vlorilor proprii şi l vectorilor proprii () () () ( j ) ( j ) () r () b r - r - r - r,j r,j su r,j r,j su () b r r r,j r,j (i ) b i- r i-, r i-, r i-,j r i-,j ( i ) b i r i, r i, r i,j r i,j (i) b i r i, r i, r i,j r i,j () b r, r, ( ) () b r, Euţul criteriului Routh: sistemul dimic liir cu timp cotiuu cu mtrice sistemului A este stbil (tote vlorile proprii u prte relă strict egtivă) dcă şi umi dcă toţi coeficieţii Routh sut strict pozitivi Avtje: Petru vlori mri le lui
Metode de loclizre vlorilor proprii 5 Dcă elemetele mtricei A depid de umiţi prmetri, se pot determi codiţii pe cre trebuie să le stisfcă ceşti prmetri petru c sistemul să fie stbil Eemplu: Să se determie codiţiile pe cre trebuie să le stisfcă prmetrul petru c mtrice: A să ibă tote vlorile proprii cu părţile rele strict egtive Soluţie: Prticulrizre î czul Poliomul crcteristic l mtricei A: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 det A I µ coeficieţii:,,, 6 Schem Routh: () () () () r () b r 6 () b 6 5 r 6 5 ) (6 () 6 6 5 6 r
6 lculul umeric l vlorilor proprii şi l vectorilor proprii r r > 5 6 > 5 6 codiţiile:, > 6 > Aplicţie metodelor de loclizre: metodele de liză stbilităţii sistemelor dimice liire cu timp discret l cre mtrice sistemului este A Oferă codiţiile şi suficiete petru c tote vlorile proprii le lui A să fie situte strict î iteriorul discului cetrt î origie şi de rză uitte (să ibă modulul subuitr) zo hşurtă: Vrită: se defieşte mtrice trsformtă B : ( A ) B I I () riteriul de stbilitte bzt pe şirul puterilor mtricei B : sistemul dimic liir cu timp discret cu mtrice sistemului A este stbil (re tote vlorile proprii de modul k subuitr) B petru k ()
Metode de loclizre vlorilor proprii 7 Prctic: ridicre mtricei B l putere stfel îcât fiecre mtrice să fie pătrtul celei precedete: B k m m m ( k ) b ij B B B " () i, j, Petru c sistemul să fie stbil este suficiet să eiste * k N stfel îcât: ( k ) b ij, i, j, () clculele se îtrerup tuci câd este stisfăcută () Eemplu: Să se verifice dcă mtrice: A 8 5 re tote vlorile proprii de modul subuitr Soluţie: Prticulrizre (), () şi () petru 8 A I 5 ; ( ) T 8 A I 5 ; ( A I ) 6 8 7 58 ; ( ) 5 I det ( I ) A 8 ; ( ) ( ) 6 A I A I 5 8 A det ; ( ) 9 8 76 8 A B I I 6 76 6 5 Nu este verifictă () este evoie de clculul lui B :
8 lculul umeric l vlorilor proprii şi l vectorilor proprii 76 8 76 8 8 56 B 6 5 6 5 6 86 Nu este verifictă () v fi clcultă B : B B B 8 6 56 86 8 6 56 86 5 7 5 () este verifictă tote vlorile proprii u modulul subuitr Metode prţile itertive Utilizte î situţiile î cre u se cer tote vlorile proprii le uei mtrice ci umi uele ditre ceste şi ici u se determiă poliomul crcteristic Vlore proprie domită (priciplă) uei mtrice ce cre re modulul mim Petru clculul vlorii proprii domite, l vectorului propriu socit cestei şi l rzei spectrle: vrită metodei puterii directe ( lui Ryleigh) su metodei puterii su metodei itertive directe Fie vectorul u o primă iterţie soluţiei reprezetâd vectorul propriu corespuzător vlorii proprii domite u este o combiţie liiră ecuoscută (de coeficieţi α i ) vectorilor proprii i presupuşi liir idepedeţi i mtricei A:
Metode prţile itertive 9 u α i i () i Următorele iterţii se clculeză pe bz relţiei: u A u, u A u,, u k A u k-, () Pri substituţii repette di () î () şi ţiâd sem de: A i i i, i, () epresi vectorului propriu corespuzător vlorii proprii domite l iterţi k: u k k [α α i ( i / ) k i ] () i Presupuere: vlorile proprii le mtricei A sut ordote stfel îcât să verifice (evetul, o permutre): > > >, (5) petru u umăr suficiet de iterţii (petru u k suficiet de mre) rportul ( i / ) k v coverge către zero sum di () v coverge către zero u k k α p k, cu p k k α (6) u k proporţiol cu şi (p k /p k- ) (7)
lculul umeric l vlorilor proprii şi l vectorilor proprii rz spectrlă: ρ(a) (8) Implemetre: după fiecre iterţie se eecută ormre vectorului u k pri împărţire cu elemetul de modul mim v k A u k, u k [/m(v k )] v k, k,,,, (9) cu m(v k ) elemetul de modul mim l vectorului v k Algoritmul prcurgere repettă relţiilor (9) pâă l tigere covergeţei, dică pâă câd este stisfăcută codiţi de termire procesului itertiv de clcul: m { u k j u k j } ε, j, () j cu erore ε > prestbilită Odtă stisfăcută (), m(v k ) v fi vlore proprie domită / priciplă ir modulul său v fi rz spectrlă Algoritmul metodei puterii directe etpe: ) Se iiţilizeză cu u (rbitrr les): u k, () (idicele superior umărul iterţiei curete) ) L u ps orecre k l procesului itertiv de clcul, k,,,, se determiă vlore curetă vectorului v k şi ou vlore vectorului, u k, plicâd (9)
Metode prţile itertive ) lculul este cosidert termit tuci câd se stbilizeză vectorul propriu, dică este verifictă codiţi () de termire procesului itertiv de clcul ) Vlore proprie priciplă se determiă c eglă cu ultimul fctor de ormre: m(v k ), () vectorul propriu corespuzător este ultimul vector u k : u k, () ir rz spectrlă se obţie plicâd formul (8): ρ(a) (8) Remrcă: Vitez de covergeţă lgoritmului este cu tât mi mre cu cât rportele i /, i sut mi mici Algoritmul este eficiet î czul mtricelor esimetrice