Symerie diferenciálnych rovníc Bakalárska práca Luká² Tomek UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakula maemaiky, fyziky a informaiky Kaedra eoreickej fyziky a didakiky fyziky udijný odbor: 4.1.1 FYZIKA Vedúci bakalárskej práce: doc. RNDr. Marián Fecko, PhD. BRATISLAVA 2009
ƒesné prehlásenie Prehlasujem, ºe som bakalársku prácu vypracoval samosane s pouºiím lieraúry uvedenej v zozname. Braislava 6. 6. 2009 Luká² Tomek
Po akovanie Na omo miese chcem po akova doc. RNDr. Mariánovi Feckovi, PhD., ºe zadal akúo peknú ému a akieº akujem za rady a in²pirujúce nápady, koré dopomohli vzniku ejo práce.
Absrak Auor: Luká² Tomek Názov práce: Symerie diferenciálnych rovníc kola: Univerzia Komenského v Braislave Fakula: Fakula maemaiky, fyziky a informaiky Kaedra: Kaedra eoreickej fyziky a didakiky fyziky Vedúci práce: doc. RNDr. Marián Fecko, PhD. Mieso: Braislava Dáum: 6.6.2009 Po e srán: 66 Druh závere nej práce: Bakalárska práca Absrak: Práca sa zaoberá aplikáciou Lieových grúp na diferenciálne rovnice. Za ína sa laickým úvodom do problemaiky symerií. alej sa iae zoznámi so základnými pojmami z diferenciálnej geomerie (vekorovými po ami a ich okmi), koré sú porebné pri ²údiu symerií diferenciálnych rovníc. Na inuiívnej úrovni sa objas uje pojem symerie diferenciálnej rovnice. Na jednoduchých príkladoch sa posupne vysve uje, ako sa symerie h adajú a ukazuje sa, ako sa dajú symerie vyuºi na výrobu nových rie²ení rovnice zo známych rie²ení. K ú ové slová: symerie, diferenciálne rovnice, Lieove grupy, jeový priesor
5 Predhovor Táo bakalárska práca sa venuje symeriám diferenciálnych rovníc a jednou z mnohých aplikácii symerií - h adaniu nových rie²ení rovnice zo známych rie- ²ení pouºiím nájdených symerií. Práca sa snaºí sprísupni ému napriek jej náro nosi o naj²ir²ej iae skej obci. Je písaná s úmyslom, aby sa o najvac jej iae ov do íalo o naj alej a aby í, o sa dosanú aº nakoniec, mohli zobra pero a papier a nájs si pomocou posupu, korému porozumejú v práci, symerie nejakej zaujímavej diferenciálnej rovnice. Ide predov²ekým o inuiívne pochopenie problemaiky a omu je prispôsobená aj miera rigoróznosi práce a mnoºsvo obrázkov (je ich aº 28). Nebude sa rozvádza v²eobecná eória a nebudú sa dokazova ºiadne vey. Pre maemaických nad²encov sú v kapiole 5 uvedené formulácie dvoch vie, koré sa v práci pouºívajú. Auor úo kapiolu napísal, aby sa mal kde pozrie na presné znenie vie (v preh adnej²ej verzii neº na²iel v lieraúre), keby bolo reba. Nenad²enci môºu úo as pokojne presko i. Hlavným cie om práce je na jednoduchých príkladoch ukáza, ako sa o celé robí. Nájdu sa symerie niekorých diferenciálnych rovníc známych z predná²ok z fyziky (napríklad vo ný pád, rovnica vedenia epla) a predvedie sa, ako sa pomocou symerií vyrábajú nové rie²enia zo známych rie²ení. Práca nepredpokladá znalos diferenciálnej geomerie. V kapiole 2 sa zavedie nieko ko porebných pojmov z ejo oblasi, nepôjde v²ak o ni zloºié. V exe sa vyskynú pojmy Lieova grupa a Lieova algebra. Ak iae o nich ve a nevie, nemusí zúfa. Apará Lieových grúp nie je nevyhnuný k omu, aby sme sa nau ili h ada symerie. Úplne sa í po u, ºe za ým, o budeme robi, sú nejaké Lieove grupy.
Obsah Predhovor 5 1 Úvod - o sú o symerie 8 1.1 Denícia symerie.......................... 8 1.2 Symerie fyzikálnych zákonov.................... 9 1.3 Symerie diferenciálnych rovníc................... 10 2 Vekorové polia 11 2.1 Úvod.................................. 11 2.2 Vekorové pole ako diferenciálny operáor............. 12 2.3 Transformácia komponenov vekorového po a........... 13 2.4 Inegrálne krivky a ok vekorového po a.............. 15 2.4.1 Inegrálne krivky vekorového po a............. 15 2.4.2 Tok vekorového po a.................... 16 3 Symerie diferenciálnych rovníc 18 3.1 Úvod.................................. 18 3.2 Geomerický poh ad na diferenciálne rovnice........... 20 3.3 ƒo na symerie vymyslel Sophus Lie................ 22 3.4 Pouºiie symerií........................... 24 4 H adanie symerií DR I. 25 4.1 Rovnica sáia............................. 25 4.2 Vo ný pohyb po priamke....................... 29 4.3 Vo ný pád............................... 40 4.4 Súvis medzi vo. pohybom po priamke a vo. pádom....... 42 4.4.1 Zámena súradníc....................... 42 4.4.2 Transformácia Lieových algebier.............. 43 4.4.3 Grupa symerií vo ného pádu................ 44 5 Základné vey a denície 49 5.1 Vea o pred ºení vekorového po a................. 49 5.2 Kriérium inniezimálnej invariannosi.............. 50 5.3 Denícia grupy symerií....................... 51 6 H adanie symerií DR II. 52 6.1 Rovnica vedenia epla........................ 52 6.2 Rozpadová rovnica.......................... 57 6
OBSAH 7 A Rie²enia deerminujúcich rovníc 61 A.1 Vo ný pohyb po priamke....................... 61 A.2 Vo ný pád............................... 62 A.3 Rovnica vedenia epla........................ 63 Záver 65 Zoznam pouºiej lieraúry 66
KAPITOLA 1. ÚVOD - ƒo SÚ TO SYMETRIE 8 Kapiola 1 Úvod - o sú o symerie 1.1 Denícia symerie Slovo symeria udia pouºívajú zvä ²a v dvoch významoch. Prvý nie je presne denovaný a znamená nie o sebepodobné, harmonické a vyrovnané. Ak hovoríme, ºe srom je symerický, myslíme ým, ºe jedna jeho as sa nejak podobá na druhú. Je zaujímavé zamyslie sa nad ým, kde sa v nás berie zmysel pre symeriu a pre o lovek preºíva iné pociy pri poh ade na symerický objek neº na asymerický. Ke sa pozrieme okolo seba, v²imneme si, ºe príroda rada vyvára veci, koré sú symerické. Kry²ály, sromy, kvey, udské elo, ale aj ve ké objeky, ako planéy, hviezdy a galaxie vykazujú isý supe symerie. My sa ale budeme zaobera symeriou z iného poh adu. Ten je exaknej²í a dá sa presne maemaicky formulova. Ako symeriu denova? Jedna moºná denícia 1 hovorí: Objek je symerický, ke na om môºeme spravi nejakú operáciu, po korej bude rovnaký ako predým. Inak povedané, predme je invarianný vzh adom na operáciu symerie. Napríklad váza je invarianná vzh adom na operáciu roácie. Ke ju oo íme okolo zvislej osi, vyzerá rovnako. 2 Na symerie sa dá pozera aj z druhej srany. Ke vyrábame nejaký symerický predme, nemusíme ho v isom zmysle prácne vyrába celý. Napríklad ke kreslíme srom, nereba ho kresli celý. Sa í si dobre namo i ²eec, nakresli polovicu sromu na avú sranu papiera, preloºi papier a na pravú polovicu odla i nakreslenú as a srom máme hoový (Obr. 1.1). Na nakeslenie ²vorlíska sa í nakresli len jeden lupienok (skúsení maliari kreslia dokonca len pol lupienka) a osané dosa prekladaním papiera. peciálne na nakreslenie kolesa sa í spravi malú iarku, preklada papier sredom budúceho kolesa a odlá a iarku dookola (nekone ne ve akrá). Cíime, ºe symeria kolesa je vo svojej 1 Feynmanova inerpreácia Weylovej denície symerie. Pozri [2] kapiola 11. 2 Pekne denoval symeriu aj Joseph Rosen: Symeria je imunia vo i moºnej zmene. Pozri [5].
KAPITOLA 1. ÚVOD - ƒo SÚ TO SYMETRIE 9 Obr. 1.1: Ako kresli symerické obrázky. podsae iná neº symeria sromu. Srom je zrkladlovo symerický, o je druh diskrénej symerie. Koleso je roa ne symerické 3 a hovoríme o spojiej symerii. (Spojiými symeriami sa bude zaobera aj áo práca.) ƒím je obrázok symerickej²í, ým menej z neho sa í nakresli a zvy²ok dorobi pouºiím symerií. So symeriami diferenciálnych rovníc je o rovnako. ƒím viac symerií rovnica má, ým menej rie²ení sa í pozna na o, aby sme pomocou symerií vyrobili v²eky osané rie²enia. 1.2 Symerie fyzikálnych zákonov V duchu denície symerie z predchádzajúceho lánku budeme hovori o symeriách fyzikálnych zákonov. Zoberme si napríklad známy fyzikálny jav - spadnuie chleba z ruky na zem. Fyzikálne ide o vo ný pád (odpor vzduchu neuvaºujeme). Asi kaºdému niekedy vypadol z ruky chlieb a (pod a v²ekých hisorických záznamov) vºdy spadol na zem. 4 Keby sme merali, ako dlho padal, 5 namerali by sme vºdy rovnaký as (za predpokladu rovnakých po iao ných podmienok). Rovnako by dopadli aj al²ie merania. Fyzikálne javy fungujú rovnako nezávisle na om, kedy sa za ali. Táo symeria sa nazýva ranslácia v ase. al²ia symeria je ranslácia v priesore. Chlieb padá na zem rovnako v kuchyni aj v obýva ke. Je nuné doda, ºe aby v²eko fungovalo rovnako (aj pri ranslácii v ase), reba zabezpe i nielen rovnaké po iao né podmienky (vý²ku, nulovú po iao nú rýchlos ), ale musíme dba na o, aby vo nému pádu nezavadzala soli ka a aby v²eko, o môºe ma vplyv na ná² experimen, bolo na rovnakých miesach. Spome me e²e Galileiho (resp. Lorenzovu) ransformáciu, o je pohyb po priamke kon²annou rýchlos ou. Vo ný pád funguje rovnako v kuchyni aj v idúcom vlaku. Na o sme si uº zvykli, ale je pozoruhodné, ºe fyzikálne zákony majú akúo symeriu. Fyzikálny zákon popisujúci nejaký jav povaºujeme za symerický vzh adom na nejakú operáciu, ak po ejo operácii bude jav vyzera úplne rovnako a vý- 3 Túo symeriu ²ikovne vyuºívajú súsruºníci a hrn iari. Súsruºník chce vyrobi roa ne symerický svienik. Preo nevyrezáva celý svienik ru ne, ale pouºije súsruh, na korom rozo í kus dreva a reguluje len vzdialenos noºa od sredu oá ania. Sa í mu nakresli len prol svieniku. (Podobne posupuje hrn iar pri výrobe vázy.) 4 Samozrejme, pod a Murphyho zákona, vºdy omasenou sranou dole. 5 Treba by pripravený a v druhej ruke vºdy nosi sopky a pohoovo ich spusi, ke chlieb vypadne.
KAPITOLA 1. ÚVOD - ƒo SÚ TO SYMETRIE 10 sledky v²ekých na²ich meraní budú zhodné. Symerie fyzikálnych zákonov majú fundamenálny a ove a hlb²í význam neº symerie predmeov. 6 1.3 Symerie diferenciálnych rovníc Na rli sme, ºe pojem symerie sa dá z predmeov zov²eobecni na absrakné veci. Too zov²eobecnenie hovorí, ºe akýko vek objek (napríklad aj maemaický) je symerický, ak na om vykonáme nejakú (maemaickú) operáciu a bude vyzera úplne rovnako ako predým. Fyzikálne zákony majú isé symerie a ým pádom aj (diferenciálne) rovnice, koré maemaicky vyjadrujú fyzikálne zákony, majú zodpovedajúce symerie. Na deníciu symerií diferenciálnych rovníc budeme porebova nieko ko pojmov z diferenciálnej geomerie, o korých si nie o povieme v nasledujúcej kapiole. V kapiole 3 sa k denícii symerie diferenciálnej rovnice vráime. 6 Zo symerií fyzikálnych zákonov dokonca vyplývajú niekoré symerie predmeov. Napríklad hviezdy sú sféricky symerické kvôli omu, ºe gravia ný zákon má akúo symeriu.
KAPITOLA 2. VEKTOROVÉ POLIA 11 Kapiola 2 Vekorové polia 2.1 Úvod Vekorové polia sú k ú ovým objekom pre h adanie symerií diferenciálnych rovníc. Pod pojmom vekor si predsavujeme ²ípku, korá má nejaký smer a d ºku. Vekory (v dvoch rozmeroch) zvykneme zapisova v vare v = (a, b) = a e x + b e y Kde ísla a, b nazývame zloºky vekora a vekory e x, e y sú prvky bázy (2-rozmerného) vekorového priesoru. Vekorové pole poznáme ako predpis, korý nám v kaºdom bode priesoru zadáva vekor. Maemaicky o vyzerá V ( r) = A(x, y) e x + B(x, y) e y (2.1) kde r (x, y) je mieso, v korom nám predpis zadáva vekor. Funkcie A(x, y), B(x, y) nazývame zloºky alebo komponeny vekorového po a a vekorovým poliam e x, e y sa hovorí báza vekorových polí. Pre poreby ejo bakalárskej práce, ale aj pre mnoho iných zaujímavých vecí, je porebné ieo predsavy preformulova a upresni. Niekedy hovoríme o vekoroch a vekorových poliach nielen v rovine a rojrozmernom priesore, ale aj na nie om v²eobecnej²om (napr. na krivých plochách). Pod nie ím v²eobecnej²ím máme na mysli varieu. Variea je pojem z diferenciálnej geomerie. Je o maemaický priesor, korý sa v dosao ne malom okolí kaºdého bodu podobá na euklidovský priesor (R n ) nejakého rozmeru. Teno rozmer sa volá rozmer variey. Napríklad priamka a kruºnica sú jednorozmerné variey. Rovina, povrch gule a plávacieho kolesa (orus) sú dvojrozmerné variey. 1 Celková ²rukúra variey môºe by v²ak zloºiej²ia. Variea je v²eko, na om sa v okolí kaºdého bodu dajú zavies lokálne súradnice. Vekor v bode P leºiacom na variee M je prvok (doykového) vekorového priesoru (T P M), korý je spojený s bodom P. Vekor eda ºije len v bode P 1 Na²a Zem je dobrým príkladom na objasnenie pojmu variey. Kedysi sme si mysleli, ºe Zem je doska (lokálne vyzerá ako R 2 ) a aº neskôr sme zisili, ºe ºijeme na povrchu gule, o je zloºiej²ia dvojrozmerná variea.
KAPITOLA 2. VEKTOROVÉ POLIA 12 a ²ípka, korou ho znázor ujeme, nemá ni s osanými bodmi, cez koré ju kreslíme. S kaºdým bodom variey je spojený jeden vekorový priesor a vekorové pole na variee je predpis, korý v kaºdom bode vyberá z príslu²ného priesoru jeden vekor. 2.2 Vekorové pole ako diferenciálny operáor V ejo práci budeme pouºíva pre vekorové polia formalizmus, v korom pole (2.1) bude ma var V = A(x, y) x + B(x, y) y Zmenilo sa iba o, ºe namieso ozna enia e x, e y pí²eme parciálne derivácie x, y. Pre parciálne derivácie budeme v celej práci pouºíva skráené ozna enia x x y y alebo x i i Vekorové pole je v novom formalizme diferenciálny operáor 1. rádu s nekon²annými koecienami. Keby nás s ním zavreli do prázdnej miesnosi, po pár hodinách nudy nás zrejme napadne pusi ho na nejakú funkciu f(x, y). Zoberme vekorové pole (Obr. 2.2) V = x (eda A = 1, B = 0). Po aplikovaní na funkciu f(x, y) dosaneme y y V f = 1 f x + 0 f y = lim f(x + ε, y) f(x, y) ε 0 ε x Obr. 2.1: Jednokové vekory x, y. o je derivácia f v smere súradnicovej osi x. Hovorí o om, ako sa zmení f, ke urobíme inniezimálny (mali ký) krok v smere súradnice x. V²imnime si, ºe v sarom zápise ohoo po a: V = e x, majú ²ípky rovnaký smer ako derivácia v novom formalizme. Podobne o funguje pre pole V = y. Operáory x, y eda majú zmysel nejakých smerov, podobne ako mali v sarom formalizme ²ípky. Ak aplikujeme v²eobecné pole y x V = A(x, y) x + B(x, y) y na f, dosaneme v kaºdom pevnom (x, y) deriváciu f v smere (A(x, y), B(x, y)), 2 korá hovorí o om, ako sa mení f v bode (x, y), ke spravíme mali ký krok v smere (A(x, y), B(x, y)). Schopnos vekorového po a sledova malé zmeny nejakej funkcie sa vyuºije pri h adaní symerií rovníc. Je vidie, ºe medzi sarými ²ípkami a novými deriváciami v smere je nejaký súvis. V skuo nosi sú 2 Presnej²ie deriváciu v smere vynásobenú A 2 + B 2. x Obr. 2.2: Vekorové pole V = x. x
KAPITOLA 2. VEKTOROVÉ POLIA 13 ieo formulácie ekvivalenné. Úplne pocivou deníciou vekorov a vekorových polí sa u zaobera nebudeme. 3 V²eobecne v n rozmeroch budeme ma pole 4 kde x (x 1,..., x n ). V = V i (x) x i i = 1,..., n (2.2) 2.3 Transformácia komponenov vekorového po a pri zámene súradníc V práci budeme porebova zapísa vekorové pole vo viacerých súradniciach. Bázové vekory v polárnych súradniciach (Obr. 2.3) zavádzame ak, ºe r smeruje radiálne a ϕ má smer narasania súradnice ϕ. Mohlo by nás napadnú kresli ϕ ako zaá ajúcu ²ípku idúcu sále po jednej kruºnici so sredom v po- iaku. ípky v²ak sále kreslíme rovné. Nie je dôvod ich kresli zao ené. Ako sme uviedli v závere odseku 2.1, vekor je spojený len s bodom, v korom ho pouºívame (v om kreslíme za iaok ²ípky). Podobne na sfére, ak máme v nejakom bode sféry vekor, eda rovnú ²ípku, nereba sa znepokojova, ºe uº kúsok od za iaku je ²ípka nad sférou. Vekor je iso bodová záleºios a ²ípky sú len pomocný násroj pre na²u predsavivos. Majme v polárnych súradniciach vekorové pole y φ φ r r Obr. 2.3: Bázové vekory v polárnych súradniciach. V = ϕ 0 r + 1 ϕ (2.3) Je o pole, koré má v²ade smer ϕ, a eda sa o í okolo po iaku (Obr. 2.4). Chceli by sme vedie, aký bude zápis po a v karézskych súradniciach. Robíme y x x Obr. 2.4: Vekorové pole ϕ. 3 ƒiae o om viac nájde v knihe [1] v kapiole 2. 4 V zápise (2.2) a v celej práci pouºívame Einseinovu suma nú konvenciu. Tu s íavame cez opakujúci sa index i.
KAPITOLA 2. VEKTOROVÉ POLIA 14 zámenu súradníc x = r cos ϕ y = r sin ϕ Vekorové pole v novom formalizme je diferenciálny operáor. Predsavme si, ºe pole (2.3) pôsobí na funkciu Pôsobenie vyzerá f(x, y) = f(x(r, ϕ), y(r, ϕ)) ϕ f = f x x ϕ + f y y ϕ = ( y x + x y )f Pole (2.3) má eda v karézskych súradniciach podobu V = y x + x y Derivova pod a ϕ je o isé, ako derivova pod a x a y akýmo spôsobom. 5 Vo v²eobecnosi sa komponeny vekorových polí ransformujú nasledovne. Máme vekorové pole a o isé pole v iných súradniciach V = V i (x) i i = 1,..., n x (x 1,..., x n ) V = V i (x ) i i = 1,..., n x (x 1,..., x n ) Ak máme zámenu súradníc x x (x) (o je n vzorcov), poom vz ah medzi komponenami po a v iarkovaných a ne iarkovaných súradniciach dosaneme jednoducho. Je o o isé pole, akºe V i (x) i! = V i (x ) i Prepí²eme derivácie, podobne ako v príklade s po m ϕ. ( ) i f = f x i = f x j x j x j x i = x i f x j Poom vychádza V i (x) x j x i j = V i (x ) i Po premenovaní indexov na avej srane (i j) získavame na prepis komponenov univerzálny vzorec V i (x ) = Jj(x)V i j (x) Jj(x) i = x i (2.4) x j pri om pravú sranu, samozrejme, reba vyjadri v nových súradniciach x. 5 V²imnime si, ºe ím sme alej od po iaku, ým vä ²ia je d ºka vekorov. Ale v zápise po a v polárnych súradniciach sojí pred ϕ koecien 1. Z oho vyplýva, ºe d ºka bázového vekora ϕ nie je v²ade rovnaká. Na na²ej úrovni úplne sa í inuiívne vedie, ako smer ²ípok v sarom formalizme súvisí s diferenciálnym operáorom (smerovou deriváciou) v novom formalizme a ºe s d ºkami je o komplikovanej²ie.
KAPITOLA 2. VEKTOROVÉ POLIA 15 2.4 Inegrálne krivky a ok vekorového po a 2.4.1 Inegrálne krivky vekorového po a Ke lovek bezradne sedí v bode P variey M, mal by sa (skôr neº upadne do depresie) rozhliadnu, i náhodou v bode P nezbadá nejaký vekor. 6 Ak má o ² asie, ºe na variee je dané vekorové pole V, nie je dôvod smúi. ƒlovek sa môºe rýchlo pobali a vykro i v smere vekora V P (ur eného po om V ) a rýchlos ou, korú mu predpisuje d ºka vekora. Príde do inniezimálne blízkeho bodu a nájde v om al²í vekor. Pou ený predchádzajúcou skúsenos ou, neoá a a krá a alej v smere vekora. Tako môºe ís sále alej. Vznikne cesi ka, korá má v kaºdom bode smer príslu²ného vekora. Takáo cesi ka sa volá inegrálna krivka vekorového po a a budeme ju ozna- ova γ(). Ak máme zadané vekorové pole V = V i (x) i, inegrálne krivky sa nájdu vyrie²ením rovníc ẋ i = V i (x) i = 1,..., n (2.5) Sú o oby ajné diferenciálne rovnice 1. rádu a sú zre azené. 7 Rie²ením je x() (x 1 (),..., x n ()) Sú o v²eky inegrálne krivky (²arujúce z rôznych bodov). Ak nás zaujíma len á na²a - ²arujúca v ase = 0 v bode P, pouºijeme po iao nú podmienku x(0)! = P Predvedieme si o na jednoduchom príklade. Máme v rovine vekorové pole Rovnice pre inegrálne krivky sú V = ϕ 0 r + 1 ϕ (2.6) Rie²enie je ṙ = 0 ϕ = 1 r() = c 1 ϕ() = + c 2 kde c 1, c 2 sú ubovo né reálne kon²any. Tako sme dosali v²eky inegrálne krivky po a (2.6). Sú o paramerizované kruºnice, korými je vyplnená celá rovina (Obr. 2.5). 6 Presnej²ie povedané, reba sa rozhliadnu v doykovom vekorovom priesore T P M a pozrie sa, i je v om rozsvieený niekorý vekor. Pozri záver asi 2.1. 7 Pre o rovnice pre inegrálne krivky majú podobu (2.5), u nebudeme presne zdôvod ova. Do h bky sa omu porozumie po pre(po) íaní así 2.1-2.3 z knihy [1]. Idea je áká, ºe derivácia hocijakej krivky ur í k nej doykový vekor v kaºdom bode, korým prechádza ( avá srana v (2.5)). Ak má by áo krivka inegrálna, musia by vekory ou ur eé (v kaºdom bode) ooºné s ými, koré udáva pole (pravá srana v (2.5)).
KAPITOLA 2. VEKTOROVÉ POLIA 16 y x Obr. 2.5: Inegrálne krivky vekorového po a ϕ. Krivka ²arujúca v bode (r 0, ϕ 0 ) má paramerické vyjadrenie r() = r 0 ϕ() = + ϕ 0 (, ) Krá a po inegrálnej krivke u znamená o i sa do nekone na po kruºnici proi smeru hodinových ru i iek. 8 Inegrálne krivky majú dôleºiú vlasnos - nikde sa nepreínajú. Vyplýva o z oho, ºe ak sme na variee v bode P, pre z neho sa ide dopredu v smere (jednozna ne ur eného) vekora V P alebo dozadu v smere V P, a eda kaºdým bodom variey ide jedna krivka. 2.4.2 Tok vekorového po a Vekorové pole V na variee M prirodzene rozvlák uje varieu na inegrálne krivky. Ak kaºdý bod P M posunieme o paramerickú vzdialenos po inegrálnej krivke, na korej leºí, vznikne zobrazenie G : M M pobodovo P γ( 0 ) γ( 0 + ) koré sa volá ok vekorového po a. 9 Je o vlasne jednoparamerická mnoºina zobrazení (pre kaºdú hodnou máme jedno zobrazenie). Pre pole ϕ v hlavných úlohách ú inkujú M R 2 P (r 0, ϕ 0 ) γ() : r() = r 0 ϕ() = + ϕ 0 Tok G je o ením roviny o uhol. Tok má dôleºiú skladaciu vlasnos vo i parameru (Obr. 2.6). Ke sa posúvame o (paramerickú) vzdialenos + s, je o o isé, akoby sme sa najprv posunuli o a poom e²e o s (alebo opa ne). G r 0,φ 0 y φ 0 r 0,φ 0 G +s = G G s = G s G (2.7) 8 Rovnaký výsledok by sme dosali, aj keby sme pracovali v karézskych súradniciach. 9 Niekedy hovoríme aj ok generovaný vekorovým po om. x
KAPITOLA 2. VEKTOROVÉ POLIA 17 Obr. 2.6: Skladacia vlanos oku. Zobrazeniu G sa niekedy hovorí aj jednoparamerická grupa ransformácií variey. Grupa je o z oho dôvodu, ºe prvky mnoºiny zobrazení G sa dajú násobi spôsobom uvedeným v (2.7) a výsledok násobenia je prvkom ej isej mnoºiny (splnené sú aj poºiadavky na grupové násobenie - asociaívnos, jednokový prvok (G =0 ) a inverzný prvok (G )). Jednoparamerická grupa preo, lebo prvky v grupe sú paramerizované jedným paramerom. Vz ah medzi vekorovým po om V a jeho okom G je vzájomne jednozna ný. Po u V vieme priradi ok G a naopak ok G jednozna ne ur uje pole V. y y x x Obr. 2.7: Medzi vekorovým po om a jeho okom je jednozna ný súvis. Táo jednozna nos je k ú ová pre skúmanie symerií diferenciálnych rovníc. Symerie diferenciálnej rovnice voria jednoparamerické grupy ransformácií nejakej variey, a eda nejaké oky. Namieso oho, aby sme h adali ok, nájdeme najprv vekorové pole (zv. lokálnu ransformáciu), s korým sa pracuje ove a jednoduch²ie a aº nakoniec vypo íame jeho ok.
KAPITOLA 3. SYMETRIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC 18 Kapiola 3 Symerie diferenciálnych rovníc 3.1 Úvod Ako denova symeriu diferenciálnej rovnice? Zhruba povedané, symeria diferenciálnej rovnice je ransformácia, korá ransformuje rie²enia rovnice na iné rie²enia. Transformácia pracuje na priesore nezávislých a závislých premenných, koré v rovnici vysupujú. Geomericky ransfrormácia funguje ak, ºe zoberie graf nejakého rie²enia rovnice a ransformuje ho na graf iného rie²enia. 1 Predsavme si, ºe máme diferenciálnu rovnicu f(x; y, y ) = 0 (3.1) kde iarka na y ozna uje deriváciu pod a x a f je nejaká funkcia roch premenných. Rovnica (3.1) môºe ma napríklad var y + y 2 + y sin x = 0 V ejo chvíli nie je dôleºié, ako presne (3.1) vyzerá. alej si predsavme, ºe sme na²li nejaké rie²enie rovnice, funkciu y(x). Symeria rovnice je u ransformácia v rovine R 2 [x, y], korá ransformuje na²e rie²enie (krivku v rovine) na iné rie²enie (Obr. 3.1). Teda y(x) ŷ(ˆx) V závere asi 2.4.2 sme prezradili, ºe symeria je okom G vhodného (a jednozna ne priradeného) vekorového po a. V romo prípade G : R 2 R 2 Rie²enie y(x) sa bude ransformova na ŷ(ˆx) ak, ºe kaºdý bod grafu rie²enia ode ie po svojej inegrálnej krivke (po ej, na korej leºí) o paramerickú vzdialenos, o zapisujeme (x, y(x)) (ˆx, ŷ(ˆx)) G (x, y(x)) Fungovanie symerie je na rnué na Obr. 3.1. 1 Presnej²iu deníciu symerií uvedieme v asi 5.3.
KAPITOLA 3. SYMETRIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC 19 y y x y x x Obr. 3.1: Uná²anie krivky y(x) okom G. Krivky so ²ípkami sú inegrálne krivky prislúchajúce oku. Pri viacerých premenných symeria funguje podobne. Je okom vekorového po a v priesore v²ekých nezávislých a závislých premenných. Teno priesor budeme ozna ova X U kde X je priesor nezávislých premenných a U je priesor závislých premenných (v predchádzajúcom príklade X = R[x] a U = R[y]). Ak nieko napí²e ransformáciu a vrdí o nej, ºe je symeriou, jednoducho o overíme, ak ju aplikujeme na nejaké známe rie²enie. Ak výsledok nie je rie²ením, ransformácia nie je symeriou. Ak výsledok je rie²ením, ransformácia je naozaj symeriou. V kapiole 4 si na jednoduchých príkladoch ukáºeme, ako sa symerie h adajú. Dôleºié pozorovanie je, ºe symerie voria grupu. Prvkami sú jednolivé symerie a grupovým násobením je skladanie symerií ako zobrazení. Ak G a H s sú (rôzne) symerie rovnice, poom symeriou je aj ich kompozícia G H s Teda ak spravíme na rie²ení najprv jednu ranformáciu a poom druhú (posunieme rie²enie o s po inegrálnych krivkách prislúchajúcich H s a poom e²e o po iných inegrálnych krivkách prislúchajúcich G ), dosaneme opä nejaké rie- ²enie rovnice. Ak G a H s majú ie isé inegrálne krivky, grupovos vyplýva z oho, ºe ok je jednoparamerickou grupou ranformácií. 2 Grupa symerií je spojiá grupa, korej prvky sú paramerizované spojiými paramerami (, s), eda prvky voria koninuum (dajú sa osúradnicova, nie o íslova ). Takáo grupa sa volá Lieova grupa. Typickým príkladom spojiej symerie je ranslácia v ase, korá sa objaví vo v²ekých (fyzikálnych) rovniciach diskuovaných v ejo práci (práve kvôli omu, ºe fyzikálne zákony sú invarianné 2 Pozri as 2.4.2.
KAPITOLA 3. SYMETRIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC 20 vzh adom na posunuia v ase). Rovnice vo v²eobecnosi môºu ma aj diskréne symerie (napr. zrkadlenie v priesore alebo ase). Tie sa v²ak h adajú inými meódami a v ejo práci sa nimi nebudeme zaobera. 3.2 Geomerický poh ad na diferenciálne rovnice Zo ²koly poznáme diferenciálnu rovnicu ako rovnicu, v korej je kopa v²elijakých (oby ajných alebo parciálnych) derivácií a funkcií. Napríklad y sin(x 6 ) 2 z x y + (x 2y) 2 z z z y 2 + x2 y x = 5xy3 + e y (3.2) kde z = z(x, y). Pri poh ade na akúo rovnicu je loveku nevo no e²e predým, ako sa ju pokúsi vyrie²i. Napí²me nejakú ah²iu rovnicu. y = y kde y = y(x) (3.3) Tá vyzerá na poh ad príulnej²ie a rýchlo by sme ju auomaicky vyrie²ili. Diferenciálnu rovnicu vnímame ako úlohu, korá sa zadá (dúfame, ºe bude ahká) a rozmý² ame, ako ju rie²i. V ejo asi sa pokúsime ieo reexy pribrzdi a ukáza diferenciálne rovnice z iného poh adu. Na rnuá hmlisá predsava o diferenciálnych rovniciach nie je pre poreby ejo práce dobrá. Preo si povieme nie o o diferenciálnych rovniciach ako geomerických objekoch v isých jeových priesoroch. Geomerický poh ad si vysvelíme na rovnici (3.3). Vysupuje v nej jedna nezávislá premenná x a jedna závislá premenná y. Rie²enia y(x) sú krivky v priesore (rovine) R 2 [x, y] (Obr. 3.2). Priesor pred ºime o jednu dimenziu na R 3 [x, y, v] v y Nová súradnica v bude derivácia y. Takýo priesor sa volá jeový priesor alebo priesor 1-jeov, budeme ho ozna ova J 1 (jednoka je za o, ºe najvy²²ia derivácia je prvá). Rovnicu (3.3) upraceme ak, ºe v²eko dáme na avú sranu. V ozna ení y v máme Na Φ budeme pozera ako na funkciu Φ(x, y, v) = v y = 0 Φ : J 1 R V bodoch, kde je diferenciálna rovnica splnená, nadobúda Φ nulovú hodnou. Predpis Φ = 0 implicine zadáva plochu M J 1 (resp. varieu M, korá je podvarieou J 1 ). Táo plocha reprezenuje diferenciálnu rovnicu. V na²om prípade je rovnica (3.3) reprezenovaná rovinou v J 1 (Obr. 3.3). Ak máme zadanú funkciu f : R R y = f(x) poom sa v jeovom priesore indukuje funkcia pr (1) f : R R 2 (y, y ) = pr (1) f(x) ( f, f ) x
KAPITOLA 3. SYMETRIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC 21 Funkcia pr (1) f sa volá prvé pred ºenie funkcie f. Teda ak máme nejakú krivku v rovine, auomaicky máme aj krivku v jeovom priesore. Zoberme rie²enia rovnice (3.3), o sú funkcie (Obr. 3.2) y(x) = y(0)e x ahko ich vieme nakresli v J 1. Kreslíme o isé, o v rovine [x, y] a na os z vyná²ame deriváciu, korá je y (x) = y(0)e x. 1.0 1.0 0.5 y 0.0 0.5 1.0 y Obr. 3.2: Rie²enia rovnice y = y. x 0.5 v 0.0 0.5 1.0 1.0 0.5 0.0 x 0.5 1.0 Obr. 3.3: Diferenciálna rovnica (modrá plocha) a jej rie²enia ( ervené iary) nakreslené v J 1. Vidíme, ºe rie²enia leºia v rovine (danej predpisom Φ = 0) reprezenujúcej diferenciálnu rovnicu (3.3). 3 Vo v²eobcecnosi posupujeme podobne. Máme parciálnu diferenciálnu rovnicu n-ého rádu nezávislými premennými x 1,..., x p pre u = u(x 1,..., x p ). Upraceme ju na var ( Φ x 1,..., x p, u; u x 1, u ) x 2,... = 0 Najprv kon²ruujeme ve arozmerný jeový priesor J n, v korom budú súradnice nezávislé premenné, závislá premenná a v²eky moºné derivácie aº po n-é. Priesor v²ekých derivácií po n-é budeme ozna ova U (n). Poom J n X U U (n) 3 Geomerický poh ad by sa dal ukáza aj na menej sympaickej rovnici (3.2), iba by o bolo menej názorné. Z ohoo poh adu diferenciálna rovnica nie je aºká alebo ahká. Kaºdá rovnica je nejaká (nad)plocha vo svojom jeovom priesore a o (nad)plochách nehovoríme, i sú aºké alebo ahké.
KAPITOLA 3. SYMETRIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC 22 Funkcia Φ je zobrazenie Φ : J n R Diferenciálna rovnica bude nadplocha M J n daná predpisom Φ = 0 a rie²enia budú podmnoºinami M. 4 Poznamenajme, ºe v²eobecný apará dovo uje h ada symerie sysému diferenciálnych rovníc. Niekoré na²e formulácie sú pre jednoduchos napísané pre jednu rovnicu a jednu závislú premennú. Ma²inéria sa v²ak dá zov²eobecni a v kapiole 5 si uvedieme v²eobecné vey, koré sa dajú pouºi aj na h adanie symerií sysému diferenciálnych rovníc. 3.3 ƒo na symerie vymyslel Sophus Lie V predchádzajúcej asi sme si predsavili diferenciálne rovnice ako (nad)plochy (resp. podvariey) v jeových priesoroch. Na ejo kon²rukcii eraz vybudujeme inuiívnu predsavu o om, ako fungujú symerie diferenciálnych rovníc. Symeria je aký ok v priesore X U, korý ransformuje rie²enia na iné rie²enia. Podobne, ako sme pred ºili rie²enia z priesoru X U do J n, reba pred ºi aj ok (pôsobenie jednoparamerickej grupy symerií). Ako o reba spravi, je pomerne zloºié. Treba vedie dos ve a z diferenciálnej geomerie a nebudeme sa omu venova. Idea je v²ak rovnaká ako pri predlºovaní funkcie: vieme, ako ok vyzerá na X U, a ok v J n uº je jednozna ne ur ený. Predsavme si, ºe sa nám podarilo ok pred ºi do J n. Ak je pôvodný ok v X U symeriou, budú sa aj pred ºené rie²enia ransformova okom v J n na iné pred ºené rie²enia. Tako o funguje na v²ekých rie²eniach, a eda na celej variee M, reprezenujúcej diferenciálnu rovnicu. Z oho vyplýva, ºe ok z M ni nekradne a ani ni z oho, o bolo mimo M, do M nepríde. Tok pekne e ie pozd º M. Inak povedané, M je invarianná vo i ransformácii priesru J n, korá je symeriou. V²eky objeky sú symbolicky znázornené na Obr. 3.4, korý si reba predsavi vºdy, ke sa hovorí o symeriách diferenciálnych rovníc. 5 Sophus Lie objavil, ºe namieso oho, aby sa rápil s komplikovanou nelineárnou ²rukúrou Lieovej grupy, oplaí sa mu ²udova podsane jednoduch²í a lineárny objek - Lieovu algebru priradenú Lieovej grupe. V jazyku Lieových algebier sa zloºié nelineárne podmienky invariannosi M vzh adom na grupové ransformácie nahradia ekvivalennými a ove a jednoduch²ími lineárnymi podmienkami inniezimálnej invariannosi M vzh adom na generáory grupy. To bolo pre znalcov Lieových grúp a eraz o isé povieme pouºiím uº zavedených pojmov. Namieso oho, aby sme sa rápili invariannos ou M vz adom na ok (pôsobenie Lieovej grupy), oplaí sa na vec pozrie z poh adu vekorového po a (generáora grupy - prvku Lieovej algebry) jednozna ne priradeného oku. 6 Na var vekorového po a bude jednoduché kriérium, koré hovorí, ºe vekory vekorového po a majú by v bodoch P M doykové k M (Obr. 3.4). Je o inuiívne jasné: doykovos znamená, ºe vekory nevy ajú z M a ke pôjdeme z bodu P inniezimálnymi krokmi v smere vekorov, inegrálna krivka nevyjde z M, a eda celkovo M bude invarianná vzh adom na ok. 4 Pozri Obr. 3.4. 5 Kvôli preh adnosi chýbajú oky, koré si ale môºme ahko domyslie. 6 Spome me si na Obr. 2.7.
KAPITOLA 3. SYMETRIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC 23 Obr. 3.4: Pôvodne v J (n) ºila osamelým ºivoom len diferenciálna rovnica M. Predl- ºovaním sme k nej povyná²ali v²eko z X U. ikovne nahradíme ok, korý robí na J n ve ké zmeny vekorvým po om, koré robí malé zmeny a k u ové je, ºe ve ké zmeny sa dajú posupne zrekon- ²ruova viacnásobným vykonaním malých. Hlavnou nápl ou ejo práce je ukáza, ako sa polia s opísanými schopnos- ami h adajú. Posup je nasledovný: 1. Napí²eme v²eobecný var vekorového po a V v priesore X U. Pre rovnicu (3.3) by o bolo V = A(x, y) x + B(x, y) y 2. Pouºiím vey o pred ºení skon²ruujeme n-é pred ºenie po a V. Budeme ho ozna ova V (n) pr (n) V. Pre rovnicu (3.3) by sme mali V (1) = A(x, y) x + B(x, y) y + G(x, y, v) v kde G(x, y, v) sa vypo ía z A(x, y), B(x, y) pomocou vey o pred ºení. 3. Na v²eobecný var pred ºeného po a sa nasadí kriérium inniezimálnej invariannosi a ur ia sa komponeny po a V. Pre rovnicu (3.3) sa ur ia A(x, y), B(x, y). Laicky povedané, najprv napí²eme dole (Obr. 3.4) v²eobecné pole, vynesieme ho hore a am zisíme, ako má pole dole vyzera (v aka omu, ºe pole hore zree ne vidí diferenciálnu rovnicu, korá dole vidie nebola). 7 V kapiole 4 si na jednoduchých príkladoch ukáºeme, ako sa o celé robí. Veu o pred ºení a kriérium inniezimálnej inariannosi, koré sú najdôleºiej²ími vrdeniami pre h adanie symerií, uvedieme v kapiole 5. 7 Táo geniálna my²lienka má pekný lozocký podón. Problémy sa niekedy ah²ie rie²ia, ke sa na ne pozrieme z vý²ky (resp. zo ²ir²ieho konexu). Výsup hore je náro ný, ale ím sme vy²²ie, ým máme lep²í výh ad.
KAPITOLA 3. SYMETRIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC 24 3.4 Pouºiie symerií Ke nájdeme grupu symerií diferenciálnej rovnice, máme k dispozícii mnoºsvo aplikácií. Pre lep²iu moiváciu k al²iemu ²údiu si uve me zopár príkladov. V práci sa budeme zobera iba prvými roma. Kon²rukcia nových rie²ení zo známych sa priam núka uº z denície symerií diferenciálnych rovníc. Ak poznáme len nejaké rie²enia a na²li sme symerie, dokáºeme pomocou nich zo známych rie²ení vyrába nové, neznáme rie²enia. V práci sa budeme venova hlavne omuo pouºiiu. Vlasnosi rie²ení rovnice. Ob as sa (aj v ejo práci) v aka symeriám dozvieme nie o o rie²eniach bez oho, aby sme poznali nejaké konréne. To je obzvlá² zaujímavé, ke ma²inériu pusíme na rovnice popisujúce fyzikálne problémy. Klasikácia diferenciálnych rovníc. Grupy symerií sú dobrým prosriedkom na rozpoznanie ried rovníc, koré majú isé spolo né vlasnosi. Napríklad, ako sa ukáºe v asi 4.4, aj niekoré fyzikálne rovnice, koré spolu na prvý poh ad vôbec nesúvisia, sú v ur iom zmysle ekvivalenné. Meódy rie²enia rovníc. V ²kole sme sa nau ili, ako rie²i niekoré jednoduché ypy diferenciálnych rovníc, napr. homogénne, i separovae né. Sophus Lie si v²imol, ºe za ým je nie o hlb²ie. Meódy, korými sme sa u ili rie²i ieo rovnice, sú ²peciálnymi prípadmi echník rie²enia zaloºených na symeriách. Zníºenie rádu diferenciálnej rovnice. V prípade oby ajných diferenciálnych rovníc výsky isých symerií umoº uje zníºi rád rovnice. Tým sa zoznam z aleka nekon í. V oblasi symerií diferenciálnych rovníc sa dodnes akívne pracuje. Symerie sa naozaj oplaí h ada!
KAPITOLA 4. H ADANIE SYMETRIÍ DR I. 25 Kapiola 4 H adanie symerií diferenciálnych rovníc I. V ejo kapiole na roch jednoduch²ích príkladoch opí²eme, ako sa h adajú symerie diferenciálnych rovníc. Kapiola 6 je pokra ovaním kapioly 4 a môºu sa ía za sebou. Je v²ak uºio né si pred íaním kapioly 6 pozrie v kapiole 5 formulácie vie, koré budeme pouºíva, aby sme sa poe²ili, ºe inuiívna predsava o kriériu inniezimálnej invariannosi naozaj nie je aleko od jeho presného znenia a aby sme v kapiole 6 uº vedeli pouºi veu o pred ºení vekorového po a. 4.1 Rovnica sáia Posup h adania symerií si predvedieme na jednoduchej rovnici 1 ẏ = 0 Bodka nad y znamená deriváciu pod a asu. Fyzikálne je o vlasne pohybová rovnica sáia. Rie²enia sú priamky y() = kon². rovnobeºné s osou. Najprv si len ozna íme deriváciu ẏ v. Budeme pracova v jeovom priesore J 1 R 3 [, y, v]. Rovnicu reba prepísa do anulovaného varu. Príli² sa nenarápime a dosávame Φ(, y, v) = v = 0 Je o rovnica roviny v J 1 a pred ºené rie²enia sú priamky leºiace v ejo rovine (Obr. 4.1). Symerie rovnice sú ransformácie v rovine R 2 [, y], koré ransformujú vodorovné priamky na vodorovné priamky. V²eobecný var vekorového po a v R 2 [, y], koré bude reprezenova symerie, je V = A(, y) + B(, y) y 1 Po pre íaní ejo asi by e²e nemalo by úplne jasné, ako sa o celé robí. Ide len o na- rnuie posupu a v²eobecná ma²inéria sa posupne ujasní na al²ích príkladoch.
KAPITOLA 4. H ADANIE SYMETRIÍ DR I. 26 1.0 1.0 0.5 y 0.0 0.5 1.0 0.5 v 0.0 0.5 1.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 Obr. 4.1: Diferenciálna rovnica ẏ = 0 je rovina v J 1 priamky v ejo rovine. a rie²enia ( ervené iary) sú Pred ºenie vekorového po a Skon²ruujeme prvé jeové pred ºenie po a V. V (1) = A(, y) + B(, y) y + G(, y, v) v (4.1) Zloºka G v smere osi v sa vyrába z A, B akýmo spôsobom G = D B v (D A) kde D = + v y je operáor úplnej derivácie pod a. Komponeny A, B po a V (1) sa zoberú rovno z V a o, ako má pole pôsobi na deriváciách, sa uº z V dopo ía. Za vz ahom pre G je vea o pred ºení, korú uvedieme v kapiole 5. Deerminujúca rovnica Ke uº máme pole V (1), reba mu pripomenú, ako sme ho vychválili v asi 2.2. Hovorili sme, ºe je diferenciálnym operáorom a vie sledova malé zmeny funkcie, na korú pôsobí. Po u sa u núka funkcia Φ. Rýchlo si spomenie na chvály, prisko í k nej z ava a sleduje jej zmeny v smere svojich vekorov V (1) (Φ) Teraz mu povieme, nech nasaví svoje v²eobecné komponeny A, B ak, aby zmeny funkcie v smere jeho vekorov boli nulové v miesach, kde plaí diferenciálna rovnica (kde Φ = 0). Inak povedané, aby pri malých krô ikoch v smere po a V (1) funkcia Φ nemenila svoju hodnou a sále bola nulová. Maemaicky V (1) (Φ) = 0 (4.2) Φ=0! To v kone nom dôsledku zabezpe í, ºe rovina bude invarianná vzh adom na ok po a V (1). Pole V (1) si môºme predsavi ako na Obr. 4.2. Vz ahu (4.2) sa
KAPITOLA 4. H ADANIE SYMETRIÍ DR I. 27 y 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.0 0.5 v 0.0 0.5 1.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 Obr. 4.2: Predsava vekorového po a, korého ok nehýbe rovinou v = 0. vedecky hovorí kriérium inniezimálnej invariannosi a jeho presné znenie je v kapiole 5. Aplikujeme V (1) na na²e Φ a dosávame podmienku V (1) (Φ) = [A(, y) + B(, y) y + G(, y, v) v ] (v) v=0 = Φ=0 = G(, y, v) v=0 = 0 Vy²lo nám, ºe zloºka po a v smere osi v má by na rovine nulová, o je inuiívne jasné z Obr. 4.2. Dosadením za G prídeme k deerminujúcej rovnici pre funkcie A, B. G v=0 = [(D B v (D A)] v=0 = [( B + v y B) v ( A + v y A)] v=0 = 0 Dosávame deerminujúcu rovnicu V²eobecné rie²enie je Lieova algebra symerií H adané vekorové pole má var B = 0 B = B(y) A = A(, y) V = A(, y) + B(y) y a je v²eobecným prvkom (nekone norozmernej) Lieovej algebry symerií rovnice ẏ = 0. Na A(, y) a B() sa nekladú ºiadne al²ie obmedzenia. 2 Môºme dosadi nájdené A, B do (4.1) a overi, ºe V (1) vychádza ak, ako sme porebovali. V (1) = A + B y + [v y B v ( A + v y A)] v 2 To sa nesáva aso, iba pri akýcho jednoduchých rovniciach. -rozmernos okomenujeme aº v asi 6.1, ke budeme ma skúsenosi s Lieovými algebrami symerií iných rovníc.
KAPITOLA 4. H ADANIE SYMETRIÍ DR I. 28 Pre v = 0 je zloºka v smere v naozaj nulová. Pole V sa dá rozloºi na sú e dvoch bázových vekorových polí koré sú generáormi symerií. Symerie a výroba nových rie²ení V B = B(y) y V A = A(, y) Teraz reba vypo ía oky ýcho polí. Tok vekorového po a je u zobrazenie G ε : R 2 R 2 (, y) (ˆ(ε;, y), ŷ(ε;, y) ) kde ε hovorí, ako dlho reba cesova po poli. 3 Pre ε = 0 zosávame doma, o sa maemaicky zapí²e ˆ(0;, y) = ŷ(0;, y) = y Kvôli preh adnosi nebudeme vypisova argumeny, y v závorke za ˆ, ŷ. Tok sa h adá ak, ºe sa najprv rie²ia rovnice pre inegrálne krivky. 4 Vypo íajme ok po a V B. Ozna íme ho G B ε. Rovnice pre inegrálne krivky sú dˆ dε dŷ dε = 0 ˆ = c (4.3) dŷ = B(ŷ) B(ŷ) = ε (4.4) Po dosadení po iao nej podmienky ˆ(0) = nám (4.3) hovorí, ºe zosane aké, aké bolo. Inegrál v (4.4) obsahuje ubovo nú funkciu B(ŷ). Treba inegrál vypo ía, vyjadri ŷ(ε), splni po iao nú podmienku ŷ(0) = y a dosaneme, ako sa má meni y pôsobením G B ε. Pre názornos, napríklad ak B(ŷ) = 1, dosaneme rie²enie (paramerické vyjadrenie inegrálnej krivky ²arujúcej v bode (, y)) γ(ε) : ˆ(ε) = ŷ(ε) = y + ε Pre eno ²peciálny prípad má ok G B ε var G B ε : (, y) (, y + ε) ε R Takéo G B ε je symeriou vzh adom na posunuia v smere osi y. Ak y = f() je rie²ením rovnice (4.1), ak poom nové rie²enie dosaneme ako ŷ (ˆ ) = y() + ε = f() + ε = f(ˆ) + ε Napríklad zo známeho rie²enia y() = 1 2 vyrobíme nové (Obr. 4.3) ŷ (ˆ ) = 1 2 + ε 3 V asi 2.4.2 sme pouºívali namieso ε. Tu by v²ak nasal drobný zmäok. 4 Pozri as 2.4.1.
KAPITOLA 4. H ADANIE SYMETRIÍ DR I. 29 Teraz uº môºme srie²ky k udne zmaza a máme nové rie²enie y() = 1 2 + ε Pomocou G B ε (pre v²eky moºné ε) ak vyrobíme z jediného rie²enia v²eobecné rie²enie. 5 Skuo nos, ºe oo ²peciálne G B ε je naozaj symeria 6, môºme overi aj bez znalosi konkréneho rie²enia (y() = 1 2 ). Overíme (uº bez srie²ok), ºe y() = f() + ε je ieº rie²ením rovnice ẏ = 0. ẏ() = d(f() + ε) d = f() = 0 V poslednom kroku sme vyuºili, ºe f() je rie²ením rovnice ẏ = 0. y G ε B y 0.5 y Obr. 4.3: Výroba nového rie²enia pomocou G B ε. V²eobecný prípad (ke v (4.4) ponecháme ubovo né B(ŷ)) hovorí o akejo symerii: body (, y) leºiace na grafe rie²enia y() = kon². posúvame v smere osi y akoko vek, ale len v závislosi od hodnoy y. Je jasné, ºe dosaneme opä rie²enie - vodorovnú priamku, ke ºe pre v²eky bola hodnoa y() rovnaká. Pole V A = A(, y) hovorí o pomerne nezaujímavej symerii. Na rie²ení mô- ºeme vykonáva ubovo nú ransformáciu v ase a ni sa nesane. Je o zrejmé, ke ºe v rie²eniach y() = kon². nevysupuje asová závislos. 7 4.2 Vo ný pohyb po priamke Na príklade ẏ = 0 sme si ukázali, ako sa posupuje pri h adaní symerii. Nedosali sme v²ak ni zaujímavé. Pridajme e²e jednu bodku na y a skúsme 5 V ejo chvíli o môºe celé vyzera ako hra ka na pobavenie, ale v asi 6.1 zisíme, ºe symeriami môºeme niekedy z jednoduchých rie²ení dosa symeriami úplne neriviálne rie²enia. 6 Presnej²ie jednoparamerická grupa symerií. 7 Ke sojím celý (nekone ný) ºivo v jednom bode a áo symeria mi poradí, ºe ke chcem vyskú²a nie o nové, mám si posunú hodinky ((, y) ( + ε, y)), alebo mám sá rochu rýchlej²ie ((, y) (, y)), ak sa na mojom celoºivonom sáí v jednom bode ni nezmení. 2
KAPITOLA 4. H ADANIE SYMETRIÍ DR I. 30 h ada symerie rovnice ÿ = 0 (4.5) Je o rovnica vo ného pohybu po priamke (bez pôsobenia síl). Rie²enia dobre poznáme, majú var y() = y 0 + v Kde y 0 je poloha v ase = 0 a v je rýchlos pohybu. Sú o v²eky priamky v rovine R 2 [, y] (okrem zvislých, koré nie sú funkciami). H adanie symerií u vlasne znamená h adanie ransformácií, koré z priamok vyrábajú priamky. Ozna íme si derivácie ẏ v, ÿ w. Na rovnicu (4.5) budeme pozera ako na nadplochu v jeovom priesore J 2 R 4 [, y, v, w] zadanú predpisom Chceme nájs pole Φ(, y, v, w) = w = 0 korého ok ransformuje rie²enia na nové rie²enia. 8 Pred ºenie vekorového po a V = A(, y) + B(, y) y (4.6) Kon²ruujeme druhé jeové pred ºenie po a V. Too sa kon²ruuje z prvého, koré sme uº po íali v asi 4.1 a malo var kde V (1) = V + G(, y, v) v G = D B v(d A) D = + v y Druhé pred ºenie V (2) sa robí ak, akoby sme robili prvé pred ºenie po a V (1). kde V (2) = V (1) + H(, y, v, w) w (4.7) H = D G w(d A) D = + v y + w v V operáore oálnej derivácie pribudol len w v, lebo G závisí aj od v. 9 Deerminujúca rovnica Poºadujeme, aby nadplocha Φ = 0 bola invaranná vzh adom na pôsobenie V (2). Aplikujeme kriérium inniezimálnej invariannosi. V (2) (Φ) = 0 Φ=0! Dosávame podmienku ] [V (1) + H(, y, v, w) w (w) = 0 w=0 8 Ako uvidíme v omo príklade, nové rie²enie nemusí by nune iné neº o saré (priamka sa bude niekedy ransformova do ej isej priamky). Takáo siuácia nasala uº v asi 4.1 (symeria súvisiaca s po om V A ). 9 Vy²²ie pred ºenia sa dajú vºdy kon²ruova rekurenne aj v problémoch s viacerými premennými, prípadne vy²²ími deriváciami.
KAPITOLA 4. H ADANIE SYMETRIÍ DR I. 31 Ke ºe vo V (1) derivácia pod a w nevysupuje, máme H(, y, v, w) w=0 = 0 o je poºiadavka na nulovos zloºky po a V (2) v smere w na nadploche w = 0. Dosadenie za H nás privedie k deerminujúcej rovnici pre A a B. H w=0 = {D [D B v(d A)] w(d A)} w=0 = = [D D B 2w(D A) vd D A] w=0 = = [D D B vd D A] w=0 = = [ 2 B + 2v y B + w y B + v 2 2 yb v ( 2 A + 2v y A + w y A + v 2 2 ya )] w=0 Po dosadení nuly za w a poupraovaní dosávame deerminujúcu rovnicu 2 B + v(2 y B 2 A) + v 2 ( 2 yb 2 y A) + v 3 ( 2 ya) = 0 (4.8) Vyrie²ením diferenciálnej rovnice (4.8) ur íme komponeny A, B po a V. Je o lineárna parciálna diferenciálna rovnica s nekon²annými koecienami, s roma nezávislými premennými, y, v a dvoma neznámymi funkciami A, B. Znie o zloºio, ale v²imnime si, ºe avá srana je polynóm v premennej v (funkcie A, B od v nezávisia). Jediný spôsob, ako zabezpe i rovnos (pre ubobo né v), je poloºi koecieny pri kaºdej mocnine v rovné nule. Rovnica (4.8) sa rozpadne na súsavu jednoduch²ích rovníc. Pri jednolivých mocninách máme v 0 2 B = 0 (i) v 1 2 y B 2 A = 0 (ii) v 2 yb 2 2 y A = 0 (iii) v 3 ya 2 = 0 (iv) Táo súsava sa uº rie²i jednoducho. Podrobné rie²enie iae nájde v dodaku A. Funkcie A(, y), B(, y) vychádzajú Lieova algebra symerií A(, y) = (c 8 + c 6 )y + c 7 2 + c 3 + c 1 B(, y) = (c 7 y + c 5 ) + c 8 y 2 + c 4 y + c 2 Spomenieme si, ºe sme vlasne po íali komponeny vekorováho po a V a dosadíme ich do (4.6). V = A(, y) + B(, y) y = [ (c 8 + c 6 )y + c 7 2 + c 3 + c 1 ] + + [ (c 7 y + c 5 ) c 8 y 2 + c 4 y + c 2 ] y = c 1 + c 2 y + c 3 + c 4 y y + c 5 y + +c 6 y + c 7 ( 2 + y y ) + c8 ( y + y 2 y ) kde c 1,..., c 8 sú ubovo né reálne ísla. Podobne, ako sme o urobili v asi 4.1, mohli by sme sa dosadením funkcií A(, y), B(, y) do (4.7) presved i, ºe V (2) má naozaj vlasnosi, aké sme poºadovali.
KAPITOLA 4. H ADANIE SYMETRIÍ DR I. 32 Pole V je v²eobecným generáorom symeií. Vidíme, ºe je lineárnou kombináciou bázových vekorových polí V 1 = V 2 = y V 3 = V 4 = y y V 5 = y V 6 = y V 7 = 2 + y y V 8 = y + y 2 y (4.9) koré voria bázu (8-rozmernej) Lieovej algebry symerií rovnice ÿ = 0, ozna íme ju L. Pole V je v²eobecným prvkom ejo algebry. Ak chceme zisi, i sme dosali naozaj Lieovu algebru, reba overi, i 1. L vorí vekorový priesor 2. L obsahuje násobenie L L L, pre koré plaí (a) je bilineárne (b) je anisymerické (c) sp a Jacobiho ideniu L vorí (8-rozmerný) vekorový priesor, ke ºe lineárna kombinácia vekorových polí je vekorové pole. Vekor v omo absraknom priesore sa zadáva 8-icou reálnych ísel (c 1,..., c 8 ). Násobením je u komuáor vekorových polí [V, W ] Denujeme ho cez pôsobenie na funkciu [V, W ]f = V (W f) W (V f) Po ía sa ako komuáor diferenciálnych operáorov. Too násobenie má vlasnosi (a) (c). 10 Ak chceme overi, i násobenie správne funguje ( i výsledok násobenia prvkov z L leºí v L), reba vypo ía komuáor dvoch v²eobecných prvkov. Uvedomíme si, ºe aký komuáor by sa (v aka vlasnosi (a)) rozbil na po íanie komuáorov bázových vekorových polí, akºe sa í vypo ía len ie. Napríklad [V 1, V 5 ]f(, y) = [, y ]f = ( y f) y ( f) = = y f + y f y f = y f = V 2 f Sú in vekorov 11 V 1, V 5 je V 2 o naozaj leºí v L. Podobne vypo íame v²eky osané komuáory. Zapí²eme ich do ab ky, kde v i-om riadku a j-om s pci je komuáor [V i, V j ]. 10 Pozri [1] príklad (4.3.6). 11 ƒiae je moºno zmäený, ºe raz nazývame V i vekorovými poliami a raz vekormi. Treba si ujasni, ºe v konexe Lieovej algebry je pravda oboje. Ako objeky sú o vekorové polia a zárove sú prvkami vekorového priesoru L, akºe sú vekormi.
KAPITOLA 4. H ADANIE SYMETRIÍ DR I. 33 V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8 V 1 0 0 V 1 0 V 2 0 2V 3 + V 4 V 6 V 2 0 0 0 V 2 0 V 1 V 5 V 3 + 2V 4 V 3 V 1 0 0 0 V 5 V 6 V 7 0 V 4 0 V 2 0 0 V 5 V 6 0 V 8 V 5 V 2 0 V 5 V 5 0 V 3 V 4 0 V 7 V 6 0 V 1 V 6 V 6 V 3 + V 4 0 V 8 0 V 7 2V 3 V 4 V 5 V 7 0 0 V 8 0 0 V 8 V 6 V 3 2V 4 0 V 8 V 7 0 0 0 V abu ke vidíme, ºe násobenie nevybehlo z L (vidno navy²e aj anisymeriu), a eda vekorové polia V (s ubovo nými kon²anami c 1,..., c 8 ) voria 8-rozmernú Lieovu algebru s bázou (4.9). Lieova grupa symerií a výroba nových rie²ení Porebujeme nájs Lieovu grupu symerií, korej prislúcha Lieova algebra L. Vypo íame, ako vyzerajú grupové prvky - symerie zodpovedajúce vekorovým poliam V 1,..., V 8. Ozna íme ich G 1 ε,..., G 8 ε. Symeriu G i ε po íame ako ok po a V i. 12 Symeria G 1 ε: Rie²ime rovnice pre inegrálne krivky po a V 1 =. dˆ dε dŷ dε ˆ = 1 ˆ = ε + ŷ = 0 ŷ = y Pri om sme vyuºili po iao nú podmienku ˆ(0) =, ŷ(0) = y. Pre sru nos zavádzame pre derivácie pod a ε ozna enia ˆ, ŷ. Poom ok po a V 1 má podobu G 1 ε : (, y) (ˆ, ŷ) = ( + ε, y) Symeria je ransláciou v ase. Hovorí, ºe rovnica ÿ = 0 je (ako nadplocha v J 2 ) invarianná vzh adom na posunuia v premennej. Ak známe rie²enie je y = f(), nové rie²enie ŷ (ˆ ) sa z neho vyrába jednoducho ŷ (ˆ ) = y() = f() = f(ˆ ε) Napríkad rie²enie y = 2 prejde na y = 2( ε). Treba si v²imnú, ºe na nezávislej premennej robíme inverznú ransformáciu. Dôvodom je, ºe musíme vyjadri nové rie²enie ŷ (ˆ ) ako funkciu ˆ. Ke nám vyjde, ºe sa zobrazuje na 12 Poznamenajme, ºe vºdy ide o jednoparamerickú grupu symerií, ale budeme skráene hovori symeria. Poznámka pre znalcov grúp: Zobrazenie, koré vekorovému po u priradí jeho ok, u vysupuje v úlohe exponenciálneho zobrazenia, koré vyná²a prvky z Lieovej algebry do Lieovej grupy (presnej²ie do jej jednoparamerickej podgrupy). Niekedy sa omu hovorí exponenciácia vekorového po a. Too zobrazenie zapisujeme exp : L G V i exp(εv i ) G i ε Viac sa o ýcho veciach moºno dozvedie v knihe [3] v asi 1.3.
KAPITOLA 4. H ADANIE SYMETRIÍ DR I. 34 ˆ = F (), do f() reba pri po íaní nového rie²enia za dosadi = F 1 (ˆ ). Dá sa o vidie aj inuiívne z Obr. 4.4. Rie²enie posúvame doprava (v smere po a), akºe ( ε). Symeria G 2 ε: Tok po a V 2 = y sa po ía podobne ako G 1 ε, len zameníme y. G 2 ε : (, y) (, y + ε) Je o symeria vzh adom na ranslácie v priesore a nové rie²enia vyrábame posúvaním sarého v smere osi y. Explicine ŷ (ˆ ) = y() + ε = f() + ε = f (ˆ ) + ε Symeria G 3 ε: Inegrálne krivky po a V 3 = sa h adajú ieº ahko Poom symeria G 3 ε funguje ako ˆ = ˆ ˆ = e ε ŷ = 0 ŷ = y G 3 ε : (, y) (e ε, y) Ide o ²kálovanie asu, eda zrých ovnie (pre ε < 0) alebo spoma ovanie (ε > 0) jeho plynuia. To, o rvalo po srarom as T bude po novom rva e ε T. To znamená pre záporné ε kra²ie. Pri výrobe nových rie²ení posupujeme ako ŷ (ˆ ) = y() = f() = f ( e εˆ ) Opä si v²imnime inverznú ransformáciu asu. Symeria G 4 ε: Pri výpo e oku po a V 4 = y y posupujeme podobne ako pri G 3 ε, len zameníme y. G 4 ε : (, y) (, e ε y) Je o ²kálovanie priesoru. Výroba nových rie²ení funguje ako ŷ (ˆ ) = e ε y() = e ε f() = e ε f (ˆ ) Je o vlasne násobenie rie²enia kladnou kon²anou e ε. Ale vieme, ºe aj ke vynásobíme priamku záporným íslom 2, dosaneme priamku. Tak pre o o nevy²lo? Dôvod je jednoduchý. Takáo symeria je zloºením G 4 ε a priesorovej inverzie (násobenie íslom 1), korá je diskénou symeriou. Meódami pouºívanými v ejo práci sa dajú nájs len spojié symerie. 13 Rovnaká siuácia je aj pri symerii G 3 ε. 13 Pozri posledný odsek v asi 3.1.
KAPITOLA 4. H ADANIE SYMETRIÍ DR I. 35 Na nasledujúcich obrázkoch sú nakreslené vekorové polia V 1,..., V 4 a výroba nového rie²enia pomocou G 1 ε,..., G 4 ε. 14 V 1 y V 2 y y V 3 y V 4 y y y Obr. 4.4: Výroba nového rie²enia (preru²ovaná iara) pomocou G 1 ε,..., G 4 ε z rie²enia y = 2 1 (plná iara). Symeria G 5 ε: Nájdeme inegrálne krivky po a V 5 = y ˆ = 0 ˆ = ŷ = ˆ ŷ = ε + y 14 Mohli by sme kresli aj inegrálne krivky namieso vekorových polí, ale v omo prípade sú polia názornej²ie - vidíme, akými ve kými krokmi sa v korom miese krá a. Inegrálne krivky sú priamky a ve kos krokov je zakódovaná v ich pramamerizácii, korá sa nedá dobre nakresli.