Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava
Formule : Adicijske formule : ( y y y ( y y y ( y y y ( y y y tg ctg ( y ( y tg tgy tgtgy ctgctgy ctgy ctg tg ctg ( y ( y tg tgy tgtgy ctgctgy ctgy ctg Formule dvostrukog kuta: tg tg tg ctg ctg ctg Formule trostrukog kuta: Formule polovičnog kuta: ± ± tg ± ctg ± Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto: y y y y [ ( y ( y ] y y y y [ ( y ( y ] y y y y [ ( y ( y ] y y y y [ ( y ( y ]
Riješeni primjeri zadataka :. Odredi vrijednosti dvostrukog kuta ostalih trigonometrijskih funkcija ako je α, < α <. Primjenom formula na početku izračunaj: β a Ako je zadano α β,tgα odredi tgβ, tg bez određivanja vrijednosti kutova. Kutovi se nalaze u prvom kvadrantu. b Odredi ctg,, bez određivanja vrijednosti kuta aki je zadano,, ( c Odredi tg y i bez određivanja vrijednosti kutova ako je,, i y, y,. Dokaži: a b tg. Pojednostavi korištenjem adicijskih formula izraz: tg ( ctg
Rješenja primjera:. a α, < α < Ako pogledamo formule dvostrukih kutova na početku vidimo da nam trebaju vrijednosti svih trigonometrijskih funkcija da bi izračunali vrijednosti dvostrukih kutova. Kako je α kut trećeg kvadranta ostale funkcije izračunavamo pomoću formula: α ± α predznak inusa u trećem kvadrantu je pa od predznaka ispred korijena u formuli uzimamo samo njega. α 8 Tangens i kotangens izračunamo pomoću formula: α tg α α Racionaliziramo nazivnik : ctg α tgα tg α Sad možemo izračunati sve vrijednosti trigonometrijskih funkcija dvostrukog kuta: tg tg tg 6 6 6 8 6 7 6 8 7
ctg ctg ctg ( 8 7 Racionalizacija nazivnika: 7 7 ctg 7 8 β. a Ako je α β, tgα odredi tgβ, tg bez određivanja vrijednosti kutova. Kutovi se nalaze u prvom kvadrantu. Iz zadanih podataka možemo izračunati α β / tg tgα tgβ / tgβ tgβ tgβ tg β tgβ tg β ( tgβ tg ( α β tg β tg tgα tgβ tgα tgβ uvrstimo umjesto tg α Kako je β β tg ± potrebno je najprije izračunati β β β ± tg β kut je prvog kvadranta, pa uzimamo predznak, ispred korijena. β pa je: ( β tg ( β tg
.b Odredi ctg,, bez određivanja vrijednosti kuta ako je zadano,, Kad pogledamo formule za tražene vrijednosti polovičnog kuta: ±, ±, ctg ± vidimo da iz, moramo izračunati. ±, kao je iz četvrtog kvadranta, ostavljamo samo ispred korjena 6 6 pa sad možemo izračunati: ( ispred korijena zadržavamo predznak za, predznak za, predznak - za ctg, jer je, pa je, a to je kut drugog kvadranta 8 8
(. c Odredi tg y i bez određivanja vrijednosti kutova ako je,, i y, y, Pogledajmo formule za ono što se traži: tg tgy tg( y, tgtgy iz kojih je očito da treba izračunati, tg, tgy, y ± Uzimamo predznak jer je u drugom kvadrantu tg ± Uzimamo predznak jer je u četvrtog kvadrantu y tgy y Sad možemo izračunati: tg ( y. a 6 6 tg tgy tgtgy 0 6 6 Pojednostavljivanjem lijeve strane trebali bi dobiti koji je na desnoj strani: koristimo formule:
i dobijemo: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (. b tg Da bi dokazali jednakost treba pojednostavniti izraz na lijevoj strani jednakosti. Pri tome koristimo formule: i dobijemo: tg ( tg
tg ( ( tg tg. a Pojednostavi korištenjem adicijskih formula izraz: tg( ctg? Primijenimo adicijske formule za tangens, kotangens i kous: ( y y y tg tgy tg( y tgtgy ctgctgy ctg( y ctgy ctg ctg ctg tg tg? tgtg ctg ctg tg 0 0 ctg tg 0 tg 0 0 ctg ctg tg tg tg
Zadatci za vježbu:. Odredi vrijednosti dvostrukog kuta ostalih trigonometrijskih funkcija ako je: a, < < b, < < c tg, < < d ctg, < < 0 e, < < f 6, < < 6 g tg, < < 6 h ctg, < < Ove zadatke je moguće riješiti pomoću primjera i prvog dijela osnova trigonometrije, primjeri pod.. Primjenom formula na početku izračunaj: β a Ako je zadano α β, tg α odredi tg β, tg bez određivanja kutova. Kutovi se nalaze u prvom kvadrantu. 7 b Ako je α β, β, < α < koliko je α? 8 c Odredi tg,, bez određivanja vrijednosti kuta ako je zadano, < < d Odredi tg, ctg bez određivanja vrijednosti kuta, ako je zadano, < <. e Odredi tg, ctg, bez određivanja vrijednosti kuta, ako je zadano, < <.
f Odredi, ctg, tg, < <. g Odredi bez određivanja vrijednosti kuta, ako je zadano ctg,, bez određivanja vrijednosti kuta aki je zadano 0,, h Odredi tg( y ako je,, i y, y, i Izračunaj ( α β i ( α β β, β IV. j Za kutove α ako je α, α II. i 0,, β 0, zadano je α,β ( α β bez računanja vrijednosti kutova. k Neka je, y, < <, < y < 0. Odredi.Odredi ctg( y l Ako je y 0,, y, izračunaj: ( y, tg ( y,, Zadatak. a i b može se riješiti pomoću rješenja primjera. a Zadatak. c, d, e, f i g mogu se riješiti pomoću rješenja primjera. b Zadatak. h, i, j, k i l mogu se riješiti pomoću rješenja primjera. c. Dokaži: a b d ctg e c
f g tg h t t t t t ctg i ctg Zadatak. a, b, c, d, e, f, g, h i i mogu se riješiti pomoću rješenja primjera. a i b. Dapače, oni su značajno jednostavniji u odnosu na predznanje učenika od kojih se očekuje da ih riješe.. Pojednostavi korištenjem adicijskih formula slijedeće izraze: a ( 6 b ( e tg( ctg f tg ctg c tg ( g ( ( h ( ( d ctg( i ctg ( Rj. Zadatak. a, b, c, d, e, g, hi i mogu se riješiti pomoću rješenja primjera. a. Dapače, oni su značajno jednostavniji u odnosu na predznanje učenika od kojih se očekuje da ih riješe.
Zadatci za nadobudne:. Izračunaj:. Izračunaj: ctg ctg 8 8 7 ctg ctg 8 8 8 08 6 Rj. - Rj.. Izračunaj: Rj.. Svedi na što jednostavniji oblik: (uputa: grupirati pribrojnika i primijeniti formulu pretvorbe. Izračunaj: 7 Rj. 6. Napiši u obliku umnoška: α α 6 Rj. α 6 7. Izračunaj: 8.. Izračunaj: 8 Rj.