Napravimo neformalnu rekapitulaciju osnovnih pojmova koje smo obradili na prethodnom predavanju.

Predikatske formule rekapitulacija Napravimo neformalnu rekapitulaciju osnovnih pojmova koje smo obradili na prethodnom predavanju. Izraz je proizvoljan niz simbola. Naravno, većina izraza nema nikakav smisao u predikatskoj logici, ali postoje izrazi koji su sa aspekta predikatske logike veoma interesantni. To su termi atomične formule (atomi) druge (pravilno formirane) formule Matematička logika 2 Predikatska logika - II deo

Predikatske formule rekapitulacija Termi u predikatskoj logici igraju ulogu sličnu onoj koju u običnom jeziku igraju imenice i zamenice. To su izrazi koji mogu biti interpretirani kao imenovanje objekata. Termi su izrazi koji se grade od znakova konstanti, znakova promenljivih i odgovarajućih funkcijskih (operacijskih) znakova. Atomične formule su one formule koje se grade koristeći jedino terme i predikatske, odnosno relacijske znakove. Dakle, atomične formule ne sadrže niti logičke veznike niti kvantifikatore. Formule su oni izrazi koji se grade iz atomiňih formula korišćenjem logičkih veznika i kvantifikatora. Matematička logika 3 Predikatska logika - II deo

Predikatske formule primeri Neka je data sledeća argumentacija (1) Za svaki ceo broj x postoji ceo broj koji je veći od x. (2) 500 je ceo broj. (3) Postoji ceo broj koji je veći od 500. Prevedimo to na jezik predikatske logike, uzimajući za domen skup realnih brojeva, i koristeći predikate: Simbol N(x) Značenje x je ceo broj G(y, x) y je veći od x Matematička logika 4 Predikatska logika - II deo

Predikatske formule primeri Prevod enjem na jezik predikatske logike dobijamo sledeće: (1) ( x)(n(x) ( y)(n(y) G(y, x))) (2) N(500) (3) ( y)(n(y) G(y, 500)) Da li su gornje formule pravilno formirane? Naravno da jesu. Pokazaćemo postupno kako su one izgrad ene. Matematička logika 5 Predikatska logika - II deo

Predikatske formule primeri Razmotrimo način na koji se izgrad uju formule ( x)(n(x) ( y)(n(y) G(y, x))) i N(500) termi x, y atomi N(x), N(y), G(y, x) formule (N(y) G(y, x)) ( y)(n(y) G(y, x)) (N(x) ( y)(n(y) G(y, x))) ( x)(n(x) ( y)(n(y) G(y, x))) term 500 atom N(500) Matematička logika 6 Predikatska logika - II deo

Kombinovanje kvantifikatora Primer 17: Neka je sa Q(x, y) označen predikat x + y = 0. Ako je domen skup realnih brojeva, koja je od formula ( y)( x)q(x, y) i ( x)( y)q(x, y) je tačna? Rešenje: Formulom ( y)( x)q(x, y) je predstavljen iskaz: Postoji realan broj y tako da za svaki realan broj x važi x + y = 0. Ako bi to bilo tačno, onda bi bilo x = y, za svaki realan broj x, što očigledno nije moguće. Dakle, ovo tvrd enje nije tačno. Matematička logika 7 Predikatska logika - II deo

Kombinovanje kvantifikatora Formulom ( x)( y)q(x, y) je predstavljen iskaz: Za svaki realan broj x prostoji realan broj y tako da je x + y = 0. Ovo tvrd enje je tačno, jer za proizvoljan realan broj x možemo uzeti da je y = x, i za tako izabrano y očigledno važi x + y = 0. Ovaj primer pokazuje koliko je redosled pojavljivanja kvantifikatora u formuli bitan, jer zamena mesta kvantifikatora u formuli može potpuno izmeniti njen smisao. Matematička logika 8 Predikatska logika - II deo

Kombinovanje kvantifikatora Kada vršimo kvantifikovanje po dve i više promenljive, može biti korisno razmišljati o njima kao o višestrukim petljama. Na primer, da bi smo videli da li je ( x)( y)p(x, y) tačno, možemo formirati petlju po svim vrednostima za x, i za svaki x možemo formirati petlju po svim vrednostima za y. Ako ustanovimo da je P(x, y) tačno za sve vrednosti x i y, onda je ( x)( y)p(x, y) tačno. U suprotnom, ako pogodimo takvu vrednost za x, za koju dalje pogodimo vrednost za y takvu da je P(x, y) netačno, onda smo dokazali da je ( x)( y)p(x, y) netačno. Matematička logika 9 Predikatska logika - II deo

Kombinovanje kvantifikatora Pregled svih mogućih kombinacija kvantifikatora po dvema promenljivim dat je sledećom tabelom: Tvrd enje Kada je tačno? Kada je netačno? 1. ( x)( y)p(x, y) ( y)( x)p(x, y) P(x, y) je tačno za svaki par x, y 2. ( x)( y)p(x, y) Za svaki x postoji y za koji je P(x, y) tačno 3. ( x)( y)p(x, y) Postoji x takvo da je P(x, y) tačno za svaki y Postoji par x, y za koji je P(x, y) netačno Postoji x takvo da je P(x, y) netačno za svaki y Za svaki x postoji y za koji je P(x, y) netačno 4. ( x)( y)p(x, y) ( y)( x)p(x, y) Postoji par x, y za koji je P(x, y) tačno P(x, y) je netačno za svaki par x, y Matematička logika 10 Predikatska logika - II deo

Negacija kvantifikatora Često se javlja potreba da razmatramo negaciju kvantifikovanog izraza. Na primer, razmotrimo tvrd enje Svaki student u grupi pohad a kurs iz matematike. Ako je domen skup svih studenata iz date grupe, ovo tvrd enje se može prevesti sa ( x)p(x), gde P(x) znači x pohad a kurs iz matematike. Negacija ovog tvrd enja je Nije tačno da svaki student u grupi pohad a kurs iz matematike, što je ekvivalentno sa Postoji student u grupi koji ne pohad a kurs iz matematike a to se može izraziti sa ( x) P(x) Matematička logika 11 Predikatska logika - II deo

Negacija kvantifikatora Sa druge strane, razmotrimo tvrd enje Postoji student u grupi koji pohad a kurs iz matematike. Ako je domen skup svih studenata iz te grupe, ovo se može prevesti sa ( x)p(x), gde je P(x) tvrd enje x pohad a kurs iz matematike. Negacija ovog tvrd enja je Nije tačno da postoji student u grupi koji pohad a kurs iz matematike, što je ekvivalentno sa Svaki student u grupi ne pohad a kurs iz matematike a to se može izraziti sa ( x) P(x) Matematička logika 12 Predikatska logika - II deo

Negacija kvantifikatora Zapažanja vezana za negaciju kvantifikatora mogu se prikazati sledećom tabelom: Negacija Ekvivalentan izraz Kada je negacija tačna? 1. ( x)p(x) ( x) P(x) P(x) je netačno za svaki x 2. ( x)p(x) ( x) P(x) Postoji x za koji je P(x) netačno Kada je negacija netačna? Postoji x za koji je P(x) tačno P(x) je tačno za svaki x Matematička logika 13 Predikatska logika - II deo

Semantika predikatske logike Razmotrimo, na primer, predikatsku formulu Šta možemo reći o noj? ( x)( y)p(x, y). O ovoj formuli možemo govoriti jedino sa aspekta sintakse. Sve što možemo reći je da formula sadrži dve promenljive, x i y, od kojih su obe vezane kvantifikatorima ( x) i ( y), koji deluju na predikat P(x, y), i ništa više. Šta je sa istinitošću ove formule? O tome ništa ne možemo reći, jer ne znamo ni njeno značenje. Da bi smo o tome govorili, neophodno je da se precizira značenje semantika te predikatske formule. Matematička logika 14 Predikatska logika - II deo

Interpretacija Setimo se da se svaka predikatska formula sastoji od sledećih elemenata simbola konstanti, simbola promenljivih, funkcijskih simbola, relacijskih simbola, logičkih veznika, kvantifikatora, pomoćnih simbola. Logički veznici, kvantifikatori i pomoćni simboli u svim formulama imaju svoje uobičajeno značenje. Da bi se preciziralo značenje ostalih simbola u formuli, potrebno je da se izvrši interpretacija te formule, koja se neophodno vezuje za neku relacijsko-operacijsku strukturu, osnosno algebarsku strukturu. Matematička logika 15 Predikatska logika - II deo

Interpretacija (1) Interpretacija formule počinje preciziranjem nekog nepraznog skupa D domena interpretacije, u okviru koga se vrši interpretacija. (2) Drugi korak u interpretaciji je interpretacija simbola konstanti svakom simbolu konstanti pridružuje se neka konkretna individualna konstanta iz domena D, interpratacija tog simbola. (3) Da bi se interpretirali funkcijski simboli, neophodno je da za svaki n-arni funkcijski simbol koji se javlja u formuli, na skupu D bude definisana odgovarajuća n-arna operacija, kojom interpretiramo taj funkcijski simbol. (4) Slično, za svaki n-arni relacijski znak koji se javlja u formuli, neophodno je da na skupu D bude definisana odgovarajuća n-arna relacija, kojom interpretiramo taj relacijski znak. Matematička logika 16 Predikatska logika - II deo

Interpretacija Prema tome, funkcijski simbol izvesne arnosti može se interpretirati samo funkcijom (operacijom) iste te arnosti; relacijski simbol izvesne arnosti može se interpretirati samo relacijom iste te arnosti. (5) Simboli promenljivih interpretiraju se kao promenljive koje mogu uzeti proizvoljne vrednosti u skupu D. Kada se formula interpretira, onda ona postaje rečenica kojom se nešto tvrdi o elemetima domena interpretacije. Matematička logika 17 Predikatska logika - II deo

Interpretacija Formalno, interpretacija formule ili skupa formula definiše kao ured eni par D = (D, φ), gde je D domen interpretacije, a φ je pridruživanje (preslikavanje) izvršeno na sledeći način: (a) Uoče se svi simboli konstanti, funkcijski i relacijski simboli koji učestvuju u izgradnji tih formula; (b) svakom simbolu konstanti a pridruži se neki fiksirani element φ(a) iz D (interpretacija konstanti); (c) svakom funkcijskom simbolu f dužine n pridruži se neka konkretna n-arna operacija φ(f) na D, tj. funkcija iz D n u D (interpretacija funkcijskih simbola); (d) svakom relacijskom znaku R dužine n pridruži se neka konkretna n-arna relacija φ(r) na D (interpretacija relacijskih simbola). Matematička logika 18 Predikatska logika - II deo

Interpretacija Primer 18: Neka su date formule: (1) P(f(x, y), b) (2) ( y)q(f(x, y), b) (3) ( x)(p(x, a) ( y)p(f(x, y), a)) i neka je domen interpretacije skup realnih brojeva R. Konstante a i b interpretiraćemo redom kao brojeve 0 i 1. Funkcijski simbol f dužine 2 in terpretiraćemo kao operaciju množenja. Relacijske simbole P i Q, oba dužine 2, interpretiraćemo redom kao relaciju manje, <, i relaciju jednakosti, =. Matematička logika 19 Predikatska logika - II deo

Interpretacija Interpretaciju gornjih formula tako čini skup R i navedeno pridruživanje, tj. ured eni par D = (R, φ), gde je ( a b f P Q φ = 0 1 < = Gornje formule u ovoj interpretaciji postaju redom tvrd enja (1) Proizvod brojeva x i y je manji je od 1 (tj. x y < 1 ); (2) Postoji broj y tako da je x y = 1 (tj. ( y)x y = 1 ); (3) Za svaki broj x manji od 0 postoji broj y takav da je x y < 0 (tj. ( x)(x < 0 ( y)(x y < 0)) ). Šta se može reći o istinitosti ovih tvrd enja? Matematička logika 20 Predikatska logika - II deo ).

Interpretacija Jedino za tvrd enje (3) možemo odmah reći da je tačno: ako je x bilo koji negativan broj, onda za bilo koji pozitivan broj y imamo da je i proizvod x y negativan. O istinitosti tvrd enja (1) ne možemo ništa konkretno reći, jer ona zavisi od toga kako smo izabrali par brojeva x i y. Za neke vrednosti brojeva x i y, njihov će proizvod biti manji od 1, dok će za neke vrednosti taj proizvod biti veći od 1. Takod e, istinitost tvrd enja (2) zavisi od toga kako smo izabrali broj x ako je x = 0, onda tvrd enje neće biti tačno, dok će za x 0 tvrd enje biti tačno. Matematička logika 21 Predikatska logika - II deo

Interpretacija Iz svega ovog zaključujemo sledeće: Ako formula ne sadrži slobodne promenljive, tj. ako su sve promenljive u njoj vezane, onda u proizvoljnoj interpretaciji ta formula postaje rečenica koja je ili tačna ili netačna. Formule koje ne sadrže slobodne promenljive nazivaju se zatvorene formule ili rečenice. Ako formula sadrži slobodne promenljive, onda istinitost njene interpretacije zavisi od vrednosti koje u toj interpretaciji uzimaju slobodne promenljive u toj formuli. Upravo to će biti predmet daljih razmatranja. Matematička logika 22 Predikatska logika - II deo

Valuacije U definicijama koje slede uzimamo da je D = (D, φ) intepretacija datog skupa predikatskih formula. Niz v = (c 1, c 2, c 3,... ) elemenata iz D zove se valuacija domena D. Kao i u iskaznoj logici, svrha valuacije je da pridruži odred ene vrednosti promenljivama koje se javljaju u formuli, tako da promenljivoj x i treba da bude pridružena vrednost c i, gde je i N. Prema tome, valuacija je zapravo preslikavanje koje skup svih promenljivih {x 1, x 2,..., x n,... } slika u domen interpretacije D, tako da proizvoljnoj promenljivoj x i dodeljuje vrednost v(x i ) = c i D. Matematička logika 23 Predikatska logika - II deo

Valuacije Budući da u konačnom skupu formula učestvuje konačno mnogo promenljivih x 1,..., x n, valuacija može biti i konačan niz, ured ena n-torka v = (c 1,..., c n ) elemenata iz D. Med utim, uglavnom je jednostavnije dozvoliti da niz bude beskonačan, jer posle nekog elementa u tom nizu, ostali elementi i neće uticati na vrednost terma u toj valuaciji. Ako se koriste promenljive x, y, z,..., onda je njihov redosled leksikografski, pa im tim redom odgovaraju elementi valuacije. Matematička logika 24 Predikatska logika - II deo

Vrednost terma u valuaciji Vrednost terma t u valuaciji v, u oznaci v(t), definiše se induktivno, po složenosti tog terma, i to na sledeći način: (i) Ako je t promenljiva x i, onda je v(t) = c i. (ii) Ako je t simbol konstante a, onda je v(t) = φ(a), tj. element koji je u interpretaciji D dodeljen simbolu a (interpretacija tog znaka konstante). (iii) Ako je t = f(t 1,..., t n ), gde je f operacijski znak dužine n, a t 1,..., t n su termi, onda je v(t) = f D (v(t 1 ),..., v(t n )), gde je f D = φ(f) operacija na skupu D kojom je interpretiran funkcijski simbol f. Matematička logika 25 Predikatska logika - II deo

Vrednost terma u valuaciji Primer 19: a) Neka je dat term f(a, g(x, y)) i interpretacija D = (R, φ), gde je R skup realnih brojeva i ( ) a f g φ = 5 +. Jasno, u ovoj interpretaciji ovaj term postaje 5 + x y. Neka je data i valuacija v = (2, 3). Vrednost gornjeg terma za ovu valuaciju iznosi 5 + 2 3, tj. 11. b) Term x 2 +3y 3 5 u uobičajenoj interpretaciji u skupu R, za valuaciju (1, 2) ima vrednost 1 2 + 3 2 3 5 = 20. Matematička logika 26 Predikatska logika - II deo

Istinitosna vrednost predikatske formule Istinitosna vrednost predikatske formule A u valuaciji v, u oznaci v(a), se takod e definiše induktivno, po složenosti formule: (1) Neka je A = R(t 1,..., t n ) atomična formula. Tada je { 1 ako je (v(t1 ),..., v(t n )) φ(r) v(a) = 0 inače (2) Neka je A = B. Tada je v(a) = v(b). Matematička logika 27 Predikatska logika - II deo

Istinitosna vrednost predikatske formule (3) Neka je A = B C, gde označava bilo koji od logičkih veznika,, i. Tada je v(a) = v(b) v(c). Drugim rečima v(b C) = v(b) v(c) v(b C) = v(b) v(c) v(b C) = v(b) v(c) v(b C) = v(b) v(c) Matematička logika 28 Predikatska logika - II deo

Istinitosna vrednost predikatske formule (4) Neka je A = ( x i )B. Tada je v(a) = { 1 ako za svaki d D važi v i d (B) = 1 0 inače gde je v i d valuacija dobijena iz valuacije v zamenom njene i-te koordinate sa d, dok sve ostale koordinate ostaju iste. Neformalno govoreći, v(a) = 1 ako i samo ako svako dodeljivanje vrednosti iz domena D promenljivoj x i, pri čemu sve ostale promenljive u A dobijaju vrednosti odred ene valuacijom v, daje tačno tvrd enje. Matematička logika 29 Predikatska logika - II deo

Istinitosna vrednost predikatske formule Primer 20: Neka je sa A označena formula: ( x)(x y) koju interpretiramo na skupu N prirodnih brojeva, i neka je sa B označena formula x y. Prema prethodnoj definiciji, formula A je tačna u nekoj valuaciji (m, n) ako je formula B tačna u valuaciji (k, n), za svaki k N. Jasno, B je tačna u valuaciji (k, n), za svaki k N jedino u slučaju da je n = 1. To znači da je formula A tačna u valuaciji (m, n) jedino u slučaju kada je n = 1, a u ostalim valuacijama je netačna. Kao što vidimo, tačnost formule A u valuaciji (m, n) uopšte ne zavisi od m, jer je promenljiva x vezana univerzalnim kvantifikatorom. Matematička logika 30 Predikatska logika - II deo

Istinitosna vrednost predikatske formule (5) Neka je A = ( x i )B. Tada je v(a) = { 1 postoji d D tako da je v i d (B) = 1 0 inače Neformalno govoreći, v(a) = 1 ako i samo ako postoji dodeljivanje vrednosti iz domena D promenljivoj x i, pri čemu sve ostale promenljive u A dobijaju vrednosti odred ene valuacijom v, koje daje tačno tvrd enje. Matematička logika 31 Predikatska logika - II deo

Istinitosna vrednost predikatske formule Primer 21: Neka je sa A označena formula: ( x)(x < y) koju interpretiramo na skupu N prirodnih brojeva, i neka je sa B označena formula x < y. Prema prethodnoj definiciji, formula A je tačna u nekoj valuaciji (m, n) ako postoji k N tako da je formula B tačna u valuaciji (k, n). Jasno, takvo k postoji ako je n 2, a ne postoji za n = 1. Dakle, formula A je tačna u valuaciji (m, n) ako je n 2, a netačna je ako je n = 1. I opet vidimo da tačnost formule A u valuaciji (m, n) ne zavisi od m, jer je promenljiva x sada vezana egzistencijalnim kvantifikatorom. Matematička logika 32 Predikatska logika - II deo

Istinitosna vrednost predikatske formule Ako je v(a) = 1, onda kažemo da je formula A tačna u valuaciji v, ili da valuacija v zadovoljava formulu A. Preciznije, govorimo da je formula A tačna u valuaciji v interpretacije D, ili da valuacija v u interpretaciji D zadovoljava formulu A. U tom slučaju pišemo D = v A. Matematička logika 33 Predikatska logika - II deo

Istinitosna vrednost predikatske formule Primer 22: (a) Neka su date formule R(y, f(x, a)) i ( y)r(x, y) i interpretacija D = (N, φ), gde je N skup prirodnih brojeva, a ( ) a f R φ =. 1 + > U valuaciji (1, 3) je tačna prva formula, jer je tačno 3 je veće od 1 + 1, ali nije tačna druga: prema (5), nije tačno da postoji prirodan broj b takav da je 1 > b. Sa druge strane, u valuaciji (2, 3) nije tačna prva, a tačna je druga formula. Matematička logika 34 Predikatska logika - II deo

Istinitosna vrednost predikatske formule (b) Posmatrajmo formulu ( x)(x y = y) u interpretaciji čiji je domen skup Z celih brojeva, a operacijski i relacijski znaci imaju uobičajena značenja. Prema (4), ta formula je tačna u svakoj valuaciji oblika (b, 0), gde je b proizvoljan realan broj. (c) Ako je domen interpretacije skup R, a osnovni simboli se interpretiraju uobičajeno, onda formulu ( x)(x 0 ( y)(x y = 1)) zadovoljava svaka valuacija. Matematička logika 35 Predikatska logika - II deo

Istinitosna vrednost predikatske formule Neka je data predikatska formula A, interpretacija D i valuacija v u D. Ako sve slobodne promenljive u formuli A zamenimo odgovarajućim komponentama u valuaciji v, onda dobijamo iskaz (rečenicu koja ima svojstvo da je tačna ili netačna), i taj iskaz označavamo sa A v. Očigledno, formula A je tačna u valuaciji v ako i samo ako A v tačan iskaz. Primer 23: U prethodnom primeru pod (a), ako je A = R(y, f(x, a)) i valuacija je v = (1, 3), onda je A v iskaz 3 je veće od 1 + 1. Matematička logika 36 Predikatska logika - II deo

Model formule Za formulu A kažemo da je tačna u interpretaciji D ako je tačna u svakoj valuaciji te interpretacije D. Ako je formula A tačna u interpretaciji D, onda kažemo i da je D model formule A, što zapisujemo sa D = A. Analogna definicija se uvodi i za skup formula A : Ako je svaka formula iz A tačna u interpretaciji D, onda je D model skupa A, što zapisujemo sa D = A. Matematička logika 37 Predikatska logika - II deo

Model formule Primer 24: Formula ( x)(x < y), uz uobičajeno tumačenje simbola, je tačna u strukturi (Z, <) celih brojeva sa relacijom <. Dakle, ta struktura je dakle model ove formule. Struktura (N, <) je takod e jedna interpretacija ove formule, ali to nije i njen model, jer formula nije tačna u svim valuacijama. Odavde se vidi da ako je formula A tačna u interpretaciji D, tj. ako joj je D model, onda ta formula govori o nekim svojstvima strukture D. Na primer, gornja formula kaže da u skupu Z (za razliku od N) od svakog broja postoji manji. To nije opšte pravilo zaključivanja, već konkretno svojstvo modela. Matematička logika 38 Predikatska logika - II deo

Zatvorenje formule Potsetimo se da se formula A naziva zatvorenom formulom ili rečenicom, ako A nema slobodnih promenljivih, tj. sve promenljive u A su vezane. Ako je A zatvorena formula, onda u proizvoljnoj interpretaciji A jeste tačna ili netačna, nezavisno od valuacije. Primer 25: Uz uobičajeno tumačenje simbola, formula ( y)( x)(x < y), je tačna u strukturi (Z, <) celih brojeva sa relacijom <, nezavisno od valuacije, a nije tačna u strukturi (N, <). Primetimo da je i formula ( x)(x < y) tačna u (Z, <), bez obzira na to što sadrži slobodnu promenljivu y. Matematička logika 39 Predikatska logika - II deo

Zatvorenje formule Prethodno zapažanje koje se tiče formule ( x)(x < y) sa slobodnom promenljivom y može se pretočiti u opšte svojstvo predikatskih formula. Neka je A formula i x 1, x 2,..., x k su sve slobodne promenljive u A. Tada je ( x 1 )( x 2 )... ( x k )A zatvorena formula koju nazivamo zatvorenjem formule A. Za formulu A i njeno zatvorenje važi sledeće: Tvrd enje 1: Formula A je tačna u interpretaciji D ako i samo ako je njeno zatvorenje tačno u interpretaciji D. Matematička logika 40 Predikatska logika - II deo

Valjane formule Kao što smo već ranije rekli, ako je formula A tačna u nekoj interpretaciji D, onda ona opisuje izvesno svojstvo strukture D. Med utim, ako je formula A tačna u svakoj interpretaciji, onda ona više ne opisuje svojstvo neke konkretne strukture, već opšte svojstvo svih struktura, odnosno opšte pravilo zaključivanja. Takve formule, koje su tačne u svim svojim interpretacijama, nazivaju se opšte-važećim formulama ili valjanim formulama. Ako je formula A valjana, to onda beležimo sa = A. Ako su A i B predikatske formule takve da je A B valjana formula, tada kažemo da su A i B logički ekvivalentne formule. Matematička logika 41 Predikatska logika - II deo

Valjane formule Valjane formule u predikatskoj logici predstavljaju ono što u iskaznoj logici predstavljaju tautologije. Med ujtim, postoje i izvesne razlike. Kod iskaznih formula, problem dokazivanja da li je data iskazna formula tautologija ili ne je odlučiv. To znači da postoji algoritam pomoću koga se za proizvoljnu iskaznu formulu A može ustanoviti da li je A tautologija ili ne. Na primer, to se može učiniti formiranjem istinitosne tablice za formulu A. Med utim, problem dokazivanja da li je proizvoljna predikatska formula valjana ili ne nije odlučiv ne postoji algoritam pomoću koga se za datu predikatsku formulu može ustanoviti da li je ona valjana ili nije. Matematička logika 42 Predikatska logika - II deo

Valjane formule Ipak, za neke formule se može ustanoviti da li su valjane ili ne. Takve su, na primer, formule koje nazivamo izvodima iz tautologija. Za predikatsku formulu F kažemo da je izvod iz tautologije ako postoji tautologija A takva da se formula F može dobiti iz A zamenom iskaznih slova nekim predikatsklim formulama, pri čemu se isto slovo svuda zamenjuje istom formulom. Za izvode iz tautologija važi sledeće: Tvrd enje 2: Izvod iz tautologije je valjana formula. Matematička logika 43 Predikatska logika - II deo

Valjane formule U daljem tekstu dajemo spisak nekih najznačajnijih valjanih formula. Nećemo dokazivati da su one valjane, ali ćemo to nadalje koristiti kao da smo dokazali. Takod e, daćemo i neke komentare vezane za te valjane formule. (a) ( x)a ( x)a Ako A važi za svaki x, onda je jasno da postoji x takav da važi A. (b) ( x)( y)a ( y)( x)a (c) ( x)( y)a ( y)( x)a Ove dve valjane formule nam zapravo kažu ono što smo već ranije konstatovali da dva istorodna kvantifikatora mogu slobodno zameniti mesta. Matematička logika 44 Predikatska logika - II deo

Valjane formule (d) ( x)( y)a ( y)( x)a Ovde vidimo da prethodna konstatacija ne važi za raznorodne kvantifikatore, tj. da raznorodni kvantifikatori ne mogu zameniti mesta. Ako postoji x tako da za svaki y važi A, taj x je isti za sve y, pa je jasno da za svaki y postoji x tako da važi A. Obratna implikacija ne važi ako za svaki y postoji x tako da važi A, taj x ne mora biti isti za sve y, pa ne mozemo reći da postoji x tako da za svaki y važi A. Da obratna implikacija nije valjana, dokazaćemo u daljem tekstu. (e) ( x) A ( x)a (f) ( x) A ( x)a Ove dve formule su DeMorganovi zakoni za kvantifikatore, koji kažu da negacija prolazi kroz kvantifikatore na sličan način kao kroz konjunkciju i disjunkciju. Matematička logika 45 Predikatska logika - II deo

Valjane formule (g) ( x)(a B) ( x)a ( x)b Ova formula nam kaže da se univerzalni kvantifikator dobro slaže sa konjunkcijom on može ući u konjunkciju i delovati na svaki član konjunkcije ponaosob, i obratno. (h) ( x)(a B) ( x)a ( x)b Ovde se vidi da se egzistencijalni kvantifikator ne slaže dobro sa konjunkcijom on može ući u konjunkciju, ali se ne može izvući iz nje. Naime, ako postoji x tako da važi A i postoji x tako da važi B, to x ne mora da bude isto za A i B, pa ne mora da postoji x tako da važi A B. (i) ( x)(a B) ( x)a ( x)b Ova formula kaže da se egzistencijalni kvantifikator dobro slaže sa disjunkcijom, na isti način na koji se univerzalni kvantifikator slaže sa konjunkcijom. Matematička logika 46 Predikatska logika - II deo

Valjane formule (j) ( x)a ( x)b ( x)(a B) Ova formula kaže da se univerzalni kvantifikator ne slaže dobro sa disjunkcijom on se može izvući iz disjunkcije, ali ne može ući u nju. Jasno, ako za svaki x važi A i za svaki x važi B, onda za svaki x važi A B. Med utim, ako za svaki x važi A B, tada za neke x može da važi A a za neke druge B, ali A ne mora da važi za svaki x, niti B mora da važi za svaki x. (k) ( x)(a B) (( x)a ( x)b) (l) ( x)(a B) (( x)a ( x)b) (m) ( x)(a B) (( x)a ( x)b). Matematička logika 47 Predikatska logika - II deo

Valjane formule Kao što smo videli, tautologije označene sa (d), (h) i (j) sadrže implikacije samo u jednom smeru. Sada ćemo dokazati da obratne implikacije ne važe, tj. izokretanjem smera implikacija u tim formulama se dobijaju formule koje nisu valjane. Tvrd enje 3: Neka su A i B proizvoljne predikatske formule. Tada sledeće formule nisu valjane: (d ) ( y)( x)a ( x)( y)a; (h ) ( x)a ( x)b ( x)(a B); (j ) ( x)(a B) ( x)a ( x)b. Matematička logika 48 Predikatska logika - II deo

Valjane formule Dokaz: (d ) ( y)( x)a ( x)( y)a nije valjana formula: Neka je domen interpretacije skup N prirodnih brojeva i A(x, y) se interpretira kao x je veće od y. Tada ( y)( x)a(x, y) znači za svaki prirodan broj y postoji prirodan broj x veći od y što je očigledno tačno. Sa druge strane, ( x)( y)a(x, y) znači postoji prirodan broj x veći od svakog prirodnog broja y što, naravno, nije tačno. Prema tome, gornja implikacija nije tačna u datoj interpretaciji, pa formula nije valjana. Matematička logika 49 Predikatska logika - II deo

Valjane formule (h ) ( x)a ( x)b ( x)(a B) nije valjana formula: Neka je domen interpretacije skup N prirodnih brojeva i A(x) se interpretira kao x je neparan broj, a B(x) kao x je paran broj. Tada ( x)a ( x)b znači postoji neparan broj i postoji paran broj što je očigledno tačno. Med utim, ( x)(a B) znači postoji prirodan broj x takav da je x paran i neparan što očigledno nije ta v cno. Prema tome, gornja implikacija nije tačna u datoj interpretaciji, pa formula nije valjana. Matematička logika 50 Predikatska logika - II deo

Valjane formule (i ) ( x)(a B) ( x)a ( x)b nije valjana formula: Razmortimo ponovo istu interpretaciju kao u (h ). Tada ( x)(a B) znači svaki prirodna broj je neparan ili paran što je tačno. Med utim, ( x)a ( x)b znači svaki prirodan broj je neparan ili svaki prirodan broj je paran što nije ta v cno. Prema tome, gornja implikacija nije tačna u datoj interpretaciji, pa formula nije valjana. Matematička logika 51 Predikatska logika - II deo

Semantičke posledice Neka su A 1, A 2,..., A n i A predikatske formule. Za A kažemo da je semantička posledica formula A 1, A 2,..., A n ako za svaku interpretaciju D i svaku valuaciju v u D u kojoj su sve formule A 1, A 2,..., A n tačne, važi da je tačna i formula A, tj. D = v A 1, A 2,..., A n povlači D = v A. Kao i u iskaznoj logici, i ovde formule A 1, A 2,..., A n nazivamo hipotezama, a formulu A njihovom posledicom. Matematička logika 52 Predikatska logika - II deo

Semantičke posledice Primer 26: Razmotrimo sledeću argumentaciju: Premisa 1: ( x)( y)(l(x, y) L(y, x)) Premisa 2: ( x)( y)( z)(l(x, y) L(y, z) L(x, z)) Zaključak: ( x)( y)(l(x, y) L(x, x)) Dokazaćemo da je argumentacija ispravna, tj. da je zaključak semantička posledica premisa. Primetimo prethodno da se ovde zapravo tvrdi da ako je relacija L simetrična i tranzitivna, tada ona zadovoljava i neku oslabljenu formu refleksivnosti. Matematička logika 53 Predikatska logika - II deo

Semantičke posledice Dokaz: Ispravnost ove argumentacije dokazaćemo na dva načina: (1) direktno i (2) svod enjem na protivrečnost. (1) Neka je D = (D, φ) proizvoljna interpretacija gornjih formula u kojoj su tačne obe premise. Neka je ( ) x y v = a b proizvoljna valuacija u D. Za formulu L(x, y) L(x, x) dokazaćemo da je tačna u toj valuaciji, tj. da važi (1) (a, b) φ(l) (a, a) φ(l). Matematička logika 54 Predikatska logika - II deo

Semantičke posledice Prema pretpostavci, formula L(x, y) L(y, x) tačna u valuaciji v, što znači da (2) (a, b) φ(l) (b, a) φ(l). Takod e, formula L(x, y) L(y, z) L(x, z) je tačna u valuaciji ( ) x y z w =, a b a odakle dobijamo da (3) (a, b) φ(l) (b, a) φ(l) (a, a) φ(l). Sada iz (1.2) i (1.3) dobijamo (1.1), što je i trebalo dokazati. Matematička logika 55 Predikatska logika - II deo

Semantičke posledice (2) Pretpostavimo suprotno, da argumentacija nije ispravna. To znači da postoji interpretacija D = (D, φ) u kojoj su premise tačne a zaključak nije. Ako zaključak nije tačan, tačna je njegova negacija ( x)( y)(l(x, y) L(x, x)), što znači da postoje elementi a, b D takvi da važi (4) (a, b) φ(l) (a, a) / φ(l). Matematička logika 56 Predikatska logika - II deo

Semantičke posledice Med utim, iz tačnosti prve premise dobijamo da (a, b) φ(l) (b, a) φ(l), dok iz tačnosti druge premise sledi da (a, b) φ(l) (b, a) φ(l) (a, a) φ(l). Iz svega toga zaključujemo da je (a, a) φ(l), što je u suprotnosti sa (1.4). Dakle, polazna pretpostavka da argumentacija nije ispravna nije dobra. Matematička logika 57 Predikatska logika - II deo

Semantičke posledice Primer 27: Razmotrimo sledeću argumentaciju: Premisa 1: ( x)( y)(l(x, y) L(y, x)) Premisa 2: ( x)( y)( z)(l(x, y) L(y, z) L(x, z)) Premisa 3: ( y)l(a, y) Zaključak: ( x) L(x, x) Dokazaćemo da argumentacija nije ispravna, tj. semantička posledica premisa. da zaključak nije Matematička logika 58 Predikatska logika - II deo

Semantičke posledice Dokaz: Dokazujemo da argumentacija nije ispravna. Uzmimo da je D skup svih nepraznih reči nad nekim alfabetom A, neka je a fiksirana reč iz D i L(x, y): x i y imaju zajednički pravi prefiks. Tada su premise tačne, ali zaključak nije. Matematička logika 59 Predikatska logika - II deo