I A. Matematičke osnove U fiici se ralikuju skalarne, vektorske i tenorske veličine. kalarne veličine definirane su jednim brojem (skalarom), a takve su veličine npr. masa m, volumen, gustoća ρ, specifična unutarnja energija u itd. ektorske veličine su određene smjerom, intenitetom i orijentacijom, odnosno s pomoću tri komponente (npr. tri projekcije na osi koordinatnog sustava), a takve su veličine brina v, ubranje a, sila F, vektor površinske gustoće snage toplinskog toka q itd. ektorske veličine se u literaturi još onačavaju i masno otisnutim slovima (v, a, F, q). Tenorske veličine mogu biti drugog, trećeg ili višeg reda. Tenori drugog reda definirani su s devet komponenti, tenori trećeg reda s 27 komponenti, odnosno općenito broj komponenti tenora n-tog reda je 3 n. Tako bi se i skalari mogli smatrati tenorima nultog reda, a vektori su tenori prvog reda. Tipični tenori drugog reda u mehanici fluida su: tenor napreanja T, tenor brine deformacije D, tenor vrtložnosti itd. A.1 GIBBO ILI imbolički apis vektora Gore navedeni primjeri onačavanja vektorskih i tenorskih veličina se naiva simboličkim ili Gibbsovim, a takav apis ne avisi od ibora koordinatnog sustava. Tako bi drugi Newtonov akon primijenjen na tijelo mase m, na kojeg djeluje reultantna sila F, glasio: ma = F I navedenog apisa se može aključiti da su vektor a, ubranja tijela, i vektor sile F kolinearni vektori i da je vektor sile ramjeran umnošku mase i ubranja. Također se može aključiti da ako na isto tijelo djeluje dva puta veća sila, da će i ubranje biti dva puta veće. U fiici se, međutim, ne adovoljava s ovakvim relativnim odnosima među veličinama, nego se sadržaj svake veličine želi brojčano definirati. Brojčano iskaivanje sadržaje vektorske fiikalne veličine podraumijeva ibor koordinatnog sustava, te prika vektora s pomoću komponenti, koje su projekcije tog vektora na osi iabranog koordinatnog sustava. Tada je svaka komponenta jedna skalarna veličina čiji se sadržaj iskauje mjernim brojem i mjernom jedinicom. lika 1. prikauje desni karteijski koordinatni sustav O u kojem su i, j i k jedinični vektori (ortovi) u smjeru osi, i a i k a O j a a lika 1. Koordinatni sustav. kup triju jediničnih vektora u smjerovima koordinatnih osi se naiva baom vektorskog prostora, a svi vektori u prostoru se mogu prikaati kao linearna kombinacija tih banih vektora. Koeficijenti te linearne kombinacije su komponente vektora, odnosno projekcije vektora na smjer triju osi. Projekcije vektora a na smjer pojedinih osi dobivaju se njegovim skalarnim množenjem (vidjeti poglavlje A.2.3) s ortovima i, j i k. Tako bi se vektor a prikaao brojem: a = a i + a j a k +
ila F MEHANIKA FLUIDA MATEMATIČKE ONOE se također može prikaati s pomoću komponenti: F = F i + F j F k + II Uvrštavanjem ira prelai u oblik: m a i + a j + a k = F ( ) i + F j F k + ektorska jednadžba se može raložiti na tri skalarne jednadžbe. Ijednačavajući koeficijente u jedinične vektore i, j i k, na lijevoj i desnoj strani gornjeg iraa slijede te tri skalarne jednadžbe: m a = F m a = F m a = F A.2 Operacije s vektorima A.2.1 Zbrajanje vektora Zbroj dvaju vektora je vektor. Ako je broj vektora a i b jednak vektoru apisu glasilo: c = a + b c, to bi u Gibbsovom vektorska jednadžba se može raspisati u tri skalarne jednadžbe: c a b = + c = a + b c = a + b Ira iražava ponato pravilo a analitičko brajanje vektora, po kojemu se vektori brajaju tako da im se broje pripadajuće komponente. A.2.2 Množenje vektora skalarom Umnožak skalara i vektora je vektor. Ako je vektor c jednak umnošku skalara λ s vektorom a tada se može pisati: c = λ a Jednadžba se može raložiti na tri skalarne jednadžbe c c c = λ a = λ a = λ a
III Ira iskauje ponato pravilo koje kaže da se vektor množi skalarom tako da mu se skalarom pomnoži svaka komponenta. A.2.3 kalarni produkt dvaju vektora kalarni ili unutarnji produkt dvaju vektora je skalar koji je po veličini jednak umnošku inteniteta obaju vektora i kosinusa kuta među njima. kalarni produkt onačuje se točkicom. lika 2. prikauje c vektore a i c, koji međusobno čine kut α. Ako se sa λ onači njihov skalarni produkt, može se pisati: a c λ = a c = ac cos α = aca = acc α a U gornjem su irau a i c inteniteti vektora a i c, a c a i a c c projekcije vektora c na vektor a a, odnosno projekcije vektora a na vektor c. kalarni produkt dvaju vektora lika 2. kalarni produkt jednak je umnošku prvog vektora s projekcijom drugog dvaju vektora vektora na smjer prvog, ili obrnuto. I gornjeg iraa je jasno da je skalarni produkt dvaju ortova jednak kosinusu kuta imeđu njih, te da je skalarni produkt okomitih vektora jednak nuli. kalarni produkt vektora samog sa sobom daje kvadrat njegova inteniteta. kalarni produkt iražen preko komponenti vektora definiran je iraom λ = ac + ac + ac A.2.4 ektorski produkt dvaju vektora ektorski ili vanjski produkt dvaju vektora je vektor, koji je okomit na oba vektora koja čine produkt, a po veličini je jednak umnošku inteniteta tih vektora i sinusa kuta među vektorima. Orijentacija vektora koji je reultat vektorskog v = a c produkta dvaju vektora određuje se pravilom desne ruke. Ako se prstima desne ruke ide od prvog vektora u produktu prema drugom vektoru, palac će c pokaivati orijentaciju vektorskog produkta. ektorski produkt vektora onačuje se nakom. α lika 4. prikauje vektorski produkt vektora a i c. a ektorski produkt je onačen sa v. ektor v je okomit i na vektor a i na vektor c, a orijentacija mu je određena pravilom desne ruke. Jasno je da ako se vektorima u vektorskom produktu amjene v = c a mjesta da će prema pravilu desne ruke i vektorski produkt promijeniti prednak, kao što je nanačeno na slici 3. lika 3. ektorski produkt Intenitet vektora v je prema rečenom pravilu: dvaju vektora v = ac sinα
I I gornjeg iraa je jasno da će vektorski produkt dvaju kolinearnih vektora biti jednak nuli (vektorski produkt vektora samog sa sobom je također jednak nuli), a da će intenitet vektorskog produkta okomitih vektora biti jednak umnošku njihovih inteniteta. ektorski produkt dvaju ortova jednak je sinusu kuta među njima. Geometrijski gledano intenitet vektorskog produkta ima načenje površine paralelograma čije su stranice vektori a i c. Ako se vektori u vektorskom produktu v = a c prikažu s pomoću komponenti, slijedi: v = a c = ( a c a c ) i + ( a c a c ) j + ( a c a c ) k A.2.5 loženi produkt vektora ektorski produkt dvaju vektora je vektor kojeg možemo također skalarno ili vektorski množiti s drugim vektorima tako da se dobivaju vektorsko-vektorski ili vektorsko-skalarni produkti vektora. kalarno-vektorski produkt vektora a, b i c je skalar λ = a ( b c ), jer je vektorski produkt u agradi također vektor. Geometrijski gledano skalarno-vektorski produkt je volumen paralelopipeda kojemu su bridovi vektori a, b i c. ektorski produkt vektora b i c, po intenitetu odgovara površini bae paralelopipeda, a skalarni produkt odgovara projekciji trećeg brida na smjer okomice na tu bau, odnosno umnošku visine paralelopipeda i rečene površine bae. Ovaj produkt se može prikaati preko determinante trećeg reda u kojoj su redci komponente vektora koji čine produkt i to u redoslijedu u kojem se pojavljuju u produktu, kako slijedi: a a a λ = a b c = b b b = abc + abc + abc abc abc abc vrijedi: ( ) a a c c c ( b c ) = c ( a b ) = b ( c a) ( b c) = a ( c b ) A.2.6 Tenorski produkt dvaju vektora Tenorski produkt dvaju vektora je tenor drugog reda. Ako među vektorima nema onake niti a skalarni niti a vektorski produkt, podraumijeva se tenorski produkt 1. Ako je tenor T reultat množenja vektora a i c, može se pisati: T = a c Tenori se kao i vektori prikauju s pomoću komponenti. Prikaom vektora u gornjem irau s pomoću komponenti slijedi: 1 Poneki autori tenorski produkt onačavaju posebnim simbolom, npr..
ac ac ac Tij = ac i j = ac ac ac ac ac ac Tenor drugog reda ima dva slobodna indeksa i 3 2 =9 komponenti. Dijagonala koje se proteže od lijevog gornjeg do desnog donjeg člana u gornjoj tablici se naiva glavnom dijagonalom tenora. A.2.6 Unutarnji produkt vektora i tenora Kao što je rečeno vektori, kao tenori prvog reda, se mogu množiti skalarno, vektorski ili tenorski, a reultat množenja je skalar vektor ili tenor. Također je pokaano da se od tenorskog produkta vektora dolai do njihova skalarnog produkta jednostavnom kontrakcijom (ijednačavanjem) indeksa u tenorskom produktu. Kod tenora višeg reda definiraju se samo unutarnji produkt, i tenorski produkt. Pri unutarnjem produktu red tenora umnoška se smanjuje, a pri tenorskom produktu se povećava. Tako je unutarnji produkt vektora i tenora drugog reda vektor, produkt se onačuje točkicom pa se može simbolički apisati u obliku a = b T. Prikaom sadržaja vektora i tenora preko komponenti slijedi: a= b T = ( bt + bt + bt ) i+ ( bt + bt + bt ) j( bt + bt + bt ) k Tipičan primjer primjene skalarnog produkta u mehanici kontinuuma je određivanje vektora napreanja na elementarnoj površini orijentiranoj vektorom jedinične normale n. Kao što je prije spomenuto tenor napreanja definira stanje napreanja u točki prostora, a svaki redak tog tenora sadrži tri komponente vektora napreanja na površinama orijentiranim vektorima normale u smjeru osi, i, kao što pokauje slika 4. ektor napreanja na površini orijentiranoj vektorom jedinične normale n (onačen sa σ, odnosno u indeksnom apisu sa σ i ) je definiran iraom: σ = n T A.2.7 Tenor napreanja T T T T T T T T lika 4. Komponente tenora napreanja T Tipični tenor drugog reda koji je pojavljuje u mehanici kontinuuma je tenor napreanja. U tenoru napreanja komponente na glavnoj dijagonali onačavaju normalna napreanja, a komponente ivan glavne dijagonale tangencijalna napreanja. lika 4. ilustrira sadržaj komponenti tenora napreanja na primjeru elementarnog paralelopipeda dimenija d, d i d. Na tom su paralelopipedu tri karakteristične površine, čiji vektori vanjske normale (vektori okomiti na površinu i gledaju od paralelopipeda) gledaju u poitivnim smjerovima osi. Na svakoj toj površini djeluje vektor napreanja koji se može raložiti u tri komponente, jednu okomitu (normalnu) na površinu i dvije tangencijalne.
I tanje napreanja u točki prostora jednonačno je definirano tenorom napreanja. Komponente tenora napreanja definirane su komponentama triju vektora napreanja koji djeluju na površinama orijentiranim normalama u smjeru osi koordinatnog sustava, kao na slici. vaki vektor napreanja ima jednu normalnu komponentu (okomitu na σ površinu) i dvije tangencijalne (smične) komponente. σ Tablični apis komponenti tenora napreanja σ σ σ σ σ σ σ σ σ lika u definiciju komponenti tenora napreanja σ σji = σ σ σ σ σ σ Prvi indeks onačuje redak, tj. smjer normale na površinu, a drugi stupac odnosno pravac djelovanja komponente tenora napreanja. Tenor napreanja je simetričan postoje maseni i površinski momenti). ea imeđu vektora i tenora napreanja: (vektor napreanja je projekcija tenora napreanja na smjer normale) σ( n) = n T = ( nσ + nσ+ nσ) i + + ( n σ + n σ + n σ ) j+ ( n σ + n σ + n σ )k σ = σ ij ji (osim ako Dogovor o prednacima napreanja: Poitivna napreanja na površinama orijentiranim normalama u poitivnom smjeru koordinatnih osi također gledaju u poitivne smjerove tih osi i obrnuto, poitivna napreanja na površinama orijentiranim normalama koje gledaju u negativnom smjeru koordinatnih osi, također gledaju u negativne smjerove tih osi. A.3 Diferencijalni operatori A.3.1 Diferencijalni operatori Nabla Operator nabla: grad = = i + j + k A.3.2 Derivacija u smjeru jediničnog vektora n Φ = n gradφ (projekcija vektora gradijenta na smjer normale) n
II A.3.3 Totalni prirast polja na putu dr = d i + d j + d k Φ Φ Φ dφ = dr gradφ = d+ d+ d Prirast polja je najveći pri pomaku u smjeru gradijenta (gradijent pokauje smjer najbržeg porasta polja). manjenje polja je najveće pri pomaku u smjeru suprotnom od smjera gradijenta. Pri pomaku u smjeru okomitom na smjer gradijenta nema prirasta polja (vektor grad Φ je okomit na plohu Φ =konst.) A.3.4 Geometrijska interpretacija gradijenta na primjeru funkcije dviju varijabli Prostorni prika polja Φ= Φ (, ) Crte onačuju presjeke sa Φ =konst. Polje gradijenta je vektorsko polje. ektorsko polje se viualiira vektorskim krivuljama koje svojim tangentama pokauju smjer vektora vektorskog polja. Desna slika prikauje vektorske krivulje koje viualiiraju polje gradijenta Φ gornjeg primjera. Dvodimenijski prika polja iolinijama ektori onačuju smjer gradijenta
III A.4 Gaussova formula n d d Poveuje volumenski integral s površinskim integralom po atvorenoj površini koja opasuje volumen : nd = d gdje umjesto točkice može stajati skalarno, vektorsko ili tenorsko polje. Primjeri: O lika u Gaussovu formulu pnd= p d ili pnd = grad d v nd = vd p ili v nd = div d v