Rentový počet. Rentový počet. Monika Molnárová. Technická univerzita Košice.

Σχετικά έγγραφα
Úrokovanie. Úrokovanie. Monika Molnárová. Technická univerzita Košice.

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

POISŤOVNÍCTVO cvičenia

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Obvod a obsah štvoruholníka

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

Ekvačná a kvantifikačná logika

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

Motivácia pojmu derivácia

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Matematika 2. časť: Analytická geometria

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

1. písomná práca z matematiky Skupina A

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

2.1. ZLOŽENÉ ÚROKOVANIE. Pri jednoduchom úrokovaní počítame úrok vždy zo začiatočného kapitálu K

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.

Využití finanční matematiky v praxi

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %

x x x2 n

4. domáca úloha. distribučnú funkciu náhodnej premennej X.

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Cenník VÚB, a.s. pre produkty vydávané v spolupráci so spoločnosťou Consumer Finance Holding, a.s.

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Gramatická indukcia a jej využitie

Integrovanie racionálnych funkcií

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

Goniometrické funkcie

Metódy vol nej optimalizácie

Ján Buša Štefan Schrötter

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Teória pravdepodobnosti

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R

Hydromechanika II. Viskózna kvapalina Povrchové napätie Kapilárne javy. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre EF Dušan PUDIŠ (2013)

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla

Cenník VÚB, a.s. pre produkty vydávané v spolupráci so spoločnosťou Consumer Finance Holding, a.s.

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Funkcie - základné pojmy

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Tomáš Madaras Prvočísla

Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií

Rozsah akreditácie 1/5. Príloha zo dňa k osvedčeniu o akreditácii č. K-003

Modelovanie dynamickej podmienenej korelácie kurzov V4

Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.

Test. Matematika. Forma A. Štátny pedagogický ústav, Bratislava NUPSESO. a.s.

1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti

Porovnanie ekonomickej výhodnosti práce vykonávanej v zamestnaneckom pomere, na živnosť a cez jednoosobovú s.r.o.

3. prednáška. Komplexné čísla

Reálna funkcia reálnej premennej

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení

1. Goniometrické funkcie, rovnice a nerovnice

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet

Základy matematickej štatistiky

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických

Model redistribúcie krvi

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh

množiny F G = {t1, t2,, tn} T a pre ľubovoľný valec C so základňou B1, B2,, Bn v bodoch t1, t2,, tn, takou, že pre t G - F je Bt = E, platí PF(C) = PG

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium

STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY

Maturitné úlohy. Matematiky. Pre gymnázium

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

Rozdiely vo vnútornej štruktúre údajov = tvarové charakteristiky

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014

JKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti Komplexné čísla... 8

Analýza údajov. W bozóny.

P Y T A G O R I Á D A

Základy metodológie vedy I. 9. prednáška

LIBOR tržního modelu (LMM)

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Výpočet. grafický návrh

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

Meranie na jednofázovom transformátore

Numerické metódy matematiky I

Riadenie elektrizačných sústav

Transcript:

entový počet Monika Molnárová Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk

Obsah 1 entový počet Úvod Polehotná renta s konštantnou splátkou Polehotná renta s rovnomerne rastúcou splátkou Predlehotná renta s konštantnou splátkou Odložená renta s konštantnou splátkou Prerušená renta s konštantnou splátkou Večná renta enta so spojitým úrokovaním

Úvod Pojem finančnej renty Definícia Finančnou rentou (dôchodkom) nazývame postupnosť platieb (anuít) v rovnako veľkých časových intervaloch (perióda renty). splátka 0 1 2... n-2 n-1 n perióda renty doba splatnosti renty Obr.: Finančná renta

Úvod Klasifikácie renty - I 1 Klasifikácia renty podľa podmienok splácania: renta podmienená - výplata je viazaná na splnenie určitých podmienok renta nepodmienená - výplata nie je viazaná na splnenie žiadnych podmienok 2 Klasifikácia renty podľa doby splatnosti renty: renta konečná - výplata je viazaná na konečný časový úsek renta nekonečná (večná) - výplata nie je viazaná na časový úsek

Úvod Klasifikácie renty - II 3 Klasifikácia renty podľa dĺžky periódy renty, resp. podľa počtu splátok za rok: ročná renta p = 1 polročná renta p = 2 štvrťročná renta p = 4 mesačná renta p = 12 p-termínová renta p 4 Klasifikácia renty podľa veľkosti splátok: renta konštantná - výška splátky sa nemení renta premenlivá - výška splátky sa mení, najčastejšie rovnomerne rastie

Úvod Klasifikácie renty - III 5 Klasifikácia renty podľa termínu splátky v časovej perióde splácania: polehotná renta (ordinárna) - splátky na konci periódy renty predlehotná renta (duálna) - splátky na začiatku periódy renty 6 Klasifikácia renty podľa termínu pripočítania úrokov v perióde úrokovania: renta s dekurzívnym úrokom - úroky sa pripočítavajú na konci úrokovej periódy renta s anticipatívnym úrokom - úroky sa pripočítavajú na začiatku úrokovej periódy

Polehotná renta s konštantnou splátkou Zaradenie podľa klasifikácie Polehotná renta s konštantnou splátkou atribúty: nepodmienená konečná konštantná polehotná s počtom splátok za rok 1 p = 1 2 p ľubovoľné

Polehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Budúca hodnota renty - Ilustrácia Príklad: Pán Oravec si chce našetriť na kúpu záhradky. ozhodol sa, že na konci každého z nasledujúcich 8 rokov uloží do banky 500 eur pri 6% ročnej úrokovej miere. Koľko eur si našetrí?

Polehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Budúca hodnota renty - Definícia Každá splátka narastie za príslušný počet periód o úroky na novú hodnotu. Súčet týchto nových hodnôt na konci doby splatnosti je budúca hodnota polehotnej renty S n. S n 0 1 2... n-2 n-1 n (1+i) 0 (1+i) 1 (1+i) 2 (1+i) n-2 (1+i) n-1 Obr.: Budúca hodnota renty

Polehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Budúca hodnota renty - Príklad Príklad: Pán Oravec si chce našetriť na kúpu záhradky. ozhodol sa, že na konci každého z nasledujúcich 8 rokov uloží do banky 500 eur pri 6% ročnej úrokovej miere. Koľko eur si našetrí? Zápis: n = 8 = 500 i = 0,06 S n =?

Polehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Výpočet budúcej hodnoty renty S n = + (1+i)+ (1+i) 2 + + (1+i) n 2 + (1+i) n 1 konkrétne S 8 = 500+500 (1+0,06)+500 (1+0,06) 2 + +500 (1+0,06) 7 na pravej strane je súčet prvých n = 8 členov geometrickej postupnosti s kvocientom q = 1 + 0,06, ktorý nahradíme výrazom a 1 qn 1 q 1 všeobecne S 8 = 500 (1 + 0,06)8 1 (1 + 0,06) 1 S 8 = 500 (1 + 0,06)8 1 0,06 S n = (1 + i)n 1 i

Polehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Polehotný sporiteľ Definícia Polehotným sporiteľom nazývame výraz s n\i = (1 + i)n 1 i ktorý udáva, koľkokrát sa zväčší pravidelne polehotne platená renta so splátkou = 1 peňažnej jednotky za n periód pri úrokovej sadzbe i za jednu periódu. Platí teda: S n = (1 + i)n 1 i }{{} s n\i S n = s n\i

Polehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Súčasná hodnota renty - Ilustrácia Príklad: Pán Podolník sa dohodol s pánom Podhorom, že dlžobu vyrovná piatimi splátkami po 200 eur koncom každého nasledujúceho roka pri 6% ročnej úrokovej miere. Koľko eur si pán Podolník požičal?

Polehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Súčasná hodnota renty - Definícia Každá splátka mala pôvodnú hodnotu. Súčet týchto pôvodných hodnôt na začiatku doby splatnosti je súčasná hodnota polehotnej renty A n. A n 1+ 1 ( i) ( i) 1+ 2 n 1+ i n 1+ i n 1+ i ( ) ( ) ( ) 2 1 0 1 2... n-2 n-1 n

Polehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Súčasná hodnota renty - Príklad Príklad: Pán Podolník sa dohodol s pánom Podhorom, že dlžobu vyrovná piatimi splátkami po 200 eur koncom každého nasledujúceho roka pri 6% ročnej úrokovej miere. Koľko eur si pán Podolník požičal? Zápis: = 200 i = 0,06 n = 5 A 5 =?

Polehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Výpočet súčasnej hodnoty renty A n = konkrétne 1 + i + (1 + i) 2 + + (1 + i) n 1 + (1 + i) n A 5 = 200 1 + 0,06 + 200 (1 + 0,06) 2 + 200 (1 + 0,06) 3 + 200 (1 + 0,06) 4 + 200 (1 + 0,06) 5 súčet prvých n = 5 členov geometrickej postupnosti s kvocientom q = 1 1+0,06 všeobecne A 5 = 200 1+0,06 1 (1+0,06) 5 1 1 1+0,06 1 200 = 1+0,06 (1+0,06) 5 1 = 200 1 (1+0,06) 5 1 1 0,06 0,06 1+0,06 A n = 1 (1 + i) n i

Polehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Polehotný zásobiteľ Definícia Polehotným zásobiteľom nazývame výraz a n\i = 1 (1 + i) n i ktorý udáva, prítomnú hodnotu renty so splátkou = 1 peňažnej jednotky za n periód pri úrokovej sadzbe i za jednu periódu. Platí teda: A n = A n = a n\i 1 (1 + i) n }{{ i } a n\i

Polehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Vzťah medzi súčasnou a budúcou hodnotou renty - Príklad Veta (vzťah medzi súčasnou a budúcou hodnotou renty) Nech A n je súčasná a S n budúca hodnota polehotnej renty s konštantnou splátkou pri ročnej úrokovej sadzbe i a s jednou splátkou za rok. Potom S n = A n (1 + i) n Príklad: Pán Podolník sa dohodol s pánom Podhorom, že dlžobu vyrovná piatimi splátkami po 200 eur koncom každého nasledujúceho roka pri 6% ročnej úrokovej miere. Pán Podolník nemohol zaplatiť prvú splátku a preto sa dohodli, že celý dlh splatí jednou ekvivalentnou splátkou po 5 rokoch. Určme veľkosť splátky.

Polehotná renta s konštantnou splátkou p ľubovoľné - Budúca hodnota renty - Ilustrácia Príklad: Koľko sa nám podarí našetriť za tri roky, ak ukladáme na účet v banke polehotne 150 eur štvrťročne pri 6% ročnej úrokovej miere a polročnom úrokovaní?

Polehotná renta s konštantnou splátkou p ľubovoľné - Terminológia a označenie Použité skratky: A n súčasná hodnota renty S n budúca hodnota renty n doba splatnosti renty splátka (anuita) p počet splátok za rok m počet úrokových periód (konverzií) za rok i ročná úroková sadzba, ak m = 1 j ročná úroková sadzba, ak m > 1

Polehotná renta s konštantnou splátkou p ľubovoľné - Budúca hodnota renty - Ilustrácia Príklad: Koľko sa nám podarí našetriť za tri roky, ak ukladáme na účet v banke 150 eur štvrťročne pri 6% ročnej úrokovej miere a polročnom úrokovaní? Zápis: = 150 j = 0,06 p = 4 m = 2 n = 3 S n =?

Polehotná renta s konštantnou splátkou p ľubovoľné - Budúca hodnota renty S 3 0 1 4 2 4... 10 4 11 12 4 4 2 1 0,06 1 4 + 2 2 2 0,06 1 4 + 2 2 10 0,06 1 4 + 2 2 11 0,06 1 4 + 2 Obr.: Budúca hodnota renty

Polehotná renta s konštantnou splátkou p ľubovoľné - Výpočet budúcej hodnoty renty ] S n = + [(1 + j 1 ] m )m p + [(1 + j 2 ] m )m p n + + [(1 + j 1 m )m p konkrétne [ S 3 =150+150 (1+ 0,06 2 )2 ] 1 4 +150 [(1+ 0,06 S 3 = 150 2 )2 1+ 0,06 2 ] 2 4 + +150 [(1+ 0,06 2 )2 súčet prvých np = 12 členov geometrickej postupnosti s kvocientom [ ] q = (1+ 0,06 1 ( ) 2 )2 4 = 1+ 0,06 2 4 2 ( ) 2 4 12 1 všeobecne ( 1+ 0,06 2 ) 2 4 1 ( m n 1+ m) j 1 S n = ( ) 1+ j m p m 1 ] 11 4

Polehotná renta s konštantnou splátkou p ľubovoľné - Výpočet budúcej hodnoty renty - Príklad Príklad: Počas desiatich rokov si budeme mesačne polehotne ukladať 15 eur pri 10% ročnej úrokovej miere a štvrťročnom úrokovaní. Akú sumu budeme mať na konte po poslednej splátke? Zápis: = 15 j = 0,1 p = 12 m = 4 n = 10 S 10 =?

Polehotná renta s konštantnou splátkou p ľubovoľné - Súčasná hodnota renty - Ilustrácia Príklad: Koľko si budeme môcť mesačne polehotne vyberať počas nasledujúcich desiatich rokov z našetreného kapitálu pri tých istých podmienkach úrokovania? Zápis: A 10 = 3058,25217 j = 0,1 p = 12 m = 4 n = 10 =?

Polehotná renta s konštantnou splátkou p ľubovoľné - Súčasná hodnota renty A 10 4 1 1 0,06 + 12 4 4 2 0,06 1+ 12 4 4 119 0,06 1+ 12 4 4 120 1+ 0,06 12 4 0 1 12 2 12... 119 120 12 12 Obr.: Súčasná hodnota renty

Polehotná renta s konštantnou splátkou p ľubovoľné - Výpočet súčasnej hodnoty renty A 10 = [ ] (1+ 0,06 1 + [ ] 4 )4 12 (1+ 0,06 2 + +[ ] 4 )4 12 (1+ 0,06 119 + [ ] 4 )4 12 (1+ 0,06 120 4 )4 12 súčet prvých 120 členov geometrickej postupnosti s kvocientom 1 1 q = = [(1+ 0,06 4 )4 12 ] 1 (1+ 0,06 12 4 ) 4 = A 10 = A n = (1+ 0,06 12 4 ) 4 ( 1 ( 1+ j m 1 (1+ 0,06 4 ) 4 12 120 1 1+ j m ) m p 1 (1+ 0,06 12 4 ) 4 ) m n 1 1 = ( 1+ 0,06 4 ( 1 ) 4 12 120 1 1+ 0,06 4 ) 4 12

Polehotná renta s konštantnou splátkou p ľubovoľné - Vzťah medzi súčasnou a budúcou hodnotou renty Veta (vzťah medzi súčasnou a budúcou hodnotou renty) Nech A n je súčasná a S n budúca hodnota polehotnej renty s konštantnou splátkou pri ročnej úrokovej sadzbe j s počtom konverzií m a s počtom splátok p za rok. Potom ( S n = A n 1+ j ) m n m Príklad: Pán Podolník sa dohodol s pánom Podhorom, že dlžobu vyrovná piatimi splátkami po 200 eur koncom každého nasledujúceho roka pri 6% ročnej úrokovej miere a polročnom pripisovaní úrokov. Pán Podolník nemohol zaplatiť prvú splátku a preto sa dohodli, že celý dlh splatí jednou ekvivalentnou splátkou po 5 rokoch. Určme veľkosť splátky.

Polehotná renta s rovnomerne rastúcou splátkou Zaradenie podľa klasifikácie Polehotná renta s rovnomerne rastúcou splátkou atribúty: nepodmienená konečná polehotná ročná, t. j. s počtom splátok za rok p = 1 s rovnomerne rastúcou splátkou, t. j. výška splátky sa zvyšuje pravidelne s ročnou sadzbou α, t. j. postupnosť splátok má tvar:, (1 + α), (1 + α) 2,..., (1 + α) n 1

Polehotná renta s rovnomerne rastúcou splátkou Budúca hodnota renty - Ilustrácia Príklad: Na konci každého roka počas 5 rokov budeme vkladať do banky sumu, ktorej hodnotu budeme každoročne zvyšovať o 10 %. Prvý vklad bude mať výšku 1 500 eur. Banka poskytuje 5% ročnú úrokovú mieru. Akú sumu našetríme? Zápis: = 1 500 n = 5 i = 0,05 α = 0,1 S 5 =?

Polehotná renta s rovnomerne rastúcou splátkou Budúca hodnota renty S n (1+α) (1+α) 2 (1+α) 3 (1+α) 4 0 1 2 3 4 5 (1+α) 4 (1+α) 3 (1+i) 1 (1+α) 2 (1+i) 2 (1+α) 1 (1+i) 3 (1+α) 0 (1+i) 4 Obr.: Budúca hodnota renty

Polehotná renta s rovnomerne rastúcou splátkou Výpočet budúcej hodnoty renty S 5 = 1 500(1 + 0,1) 4 + 1 500(1 + 0,1) 3 (1 + 0,05)+ +1 500(1 + 0,1) 2 (1 + 0,05) 2 + 1 500(1 + 0,1)(1 + 0,05) 3 + +1 500(1 + 0,05) 4 súčet prvých n = 5 členov geometrickej postupnosti s kvocientom q = 1+0,05 1+0,1 nahradíme výrazom a 1 qn 1 q 1 ) 5 1 S 5 = 1 500(1+0,1) 4 ( 1+0,05 1+0,1 ( 1+0,05 1+0,1 ( 1+0,05 1+0,1 = 1 500(1+0,1) 5 = 0,05 1 = 1 500(1+0,1) 5 (1+0,05) 5 (1+0,1) 5 = 1 500(1+0,05) 5 [1 ) = 1 500(1+0,1) 4 1 ) 5 1 1 (1+0,1) 5 0,05 0,1 ( ) ] = 5 1+0,1 1 1+0,05 0,05 0,1 ( ) 1+0,05 5 1 1+0,1 = 1+0,05 1 0,1 1+0,1

Polehotná renta s rovnomerne rastúcou splátkou Budúca a súčasná hodnota renty všeobecne budúca hodnota renty S n = (1+i) n [1 S n = A n (1+i) n = ( ) 1 + α n ] 1 1 + i i α súčasná hodnota renty A n = [ 1 ( ) 1 + α n ] 1 + i 1 i α

Polehotná renta s rovnomerne rastúcou splátkou Súčasná hodnota renty - Príklad Príklad: odičia uložili do banky sumu 8 000 eur pri 4% ročnej úrokovej miere, aby ich syn mohol po dobu šiestich rokov dostať na konci roka sumu, ktorá sa bude každoročne zvyšovať o 5 %. Aká bola výška prvej splátky, ktorú dostal? Zápis: A 6 = 8 000 n = 6 i = 0,04 α = 0,05 =?

Predlehotná renta s konštantnou splátkou Zaradenie podľa klasifikácie Predlehotná renta s konštantnou splátkou atribúty: nepodmienená konečná konštantná predlehotná s počtom splátok za rok 1 p = 1 2 p ľubovoľné

Predlehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Budúca hodnota renty - Ilustrácia Príklad: ozhodli sme sa, že na začiatku každého z nasledujúcich rokov uložíme do banky sumu 5 000 eur pri 4% ročnej úrokovej miere. Chceme ušetriť 28 200 eur. Koľko vkladov musíme urobiť?

Predlehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Budúca hodnota renty - Definícia Každá splátka narastie za príslušný počet periód o úroky na novú hodnotu. Súčet týchto nových hodnôt na konci doby splatnosti je budúca hodnota predlehotnej renty S n. S && n 0 1 2... n-2 n-1 n (1+i) 1 (1+i) 2 (1+i) n-2 (1+i) n-1 (1+i) n Obr.: Budúca hodnota renty

Predlehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Výpočet budúcej hodnoty renty Pomocou budúcej hodnoty polehotnej renty S n určíme budúcu hodnotu predlehotnej renty S n S n = (1 + i) + (1 + i) 2 + + (1 + i) n 1 + (1 + i) n = = = (1 + i) [ + (1 + i) + + (1 + i) n 2 + (1 + i) n 1] = }{{} S n = (1 + i) S n S n = (1 + i) (1 + i)n 1 i

Predlehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Predlehotný sporiteľ Definícia Predlehotným sporiteľom nazývame výraz s n\i = (1 + i) (1 + i)n 1 i ktorý udáva, koľkokrát sa zväčší pravidelne predlehotne platená renta so splátkou = 1 peňažnej jednotky za n periód pri úrokovej sadzbe i za jednu periódu. Platí teda: S n = (1 + i) (1 + i)n 1 i }{{} s n\i S n = s n\i

Predlehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Budúca hodnota renty - Príklad Príklad: ozhodli sme sa, že na začiatku každého z nasledujúcich rokov uložíme do banky sumu 5 000 eur pri 4% ročnej úrokovej miere. Chceme ušetriť 28 200 eur. Koľko vkladov musíme urobiť? Zápis: = 5 000 i = 0,04 S n = 28 200 n =?

Predlehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Súčasná hodnota renty - Definícia Každá splátka mala pôvodnú hodnotu. Súčet týchto pôvodných hodnôt na začiatku doby splatnosti je súčasná hodnota predlehotnej renty Ä n. A && n ( 1+ i) 1 ( 1+ i) 2 n ( 1+ i) n 1+ i ( ) 2 1 0 1 2... n-2 n-1 n Obr.: Súčasná hodnota renty

Predlehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Výpočet súčasnej hodnoty renty Analogicky pomocou súčasnej hodnoty polehotnej renty A n určíme súčasnú hodnotu predlehotnej renty Ä n Ä n = + 1 + i + (1 + i) 2 + + (1 + i) n 2 + (1 + i) n 1 = = [ ] = (1 + i) 1 + i + (1 + i) 2 + + (1 + i) n 1 + (1 + i) }{{ n } A n = (1 + i) A n Ä n = (1 + i) 1 (1 + i) n i =

Predlehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Predlehotný zásobiteľ Definícia Predlehotným zásobiteľom nazývame výraz ä n\i = (1 + i) 1 (1 + i) n i ktorý udáva, prítomnú hodnotu renty so splátkou = 1 peňažnej jednotky za n periód pri úrokovej sadzbe i za jednu periódu. Platí teda: Ä n = 1 (1 + i) n (1 + i) }{{ i } ä n\i Ä n = ä n\i

Predlehotná renta s konštantnou splátkou p = 1 - Súčasná hodnota renty - Príklad Príklad: Pôžičku na byt vo výške 240 000 eur treba splatiť 30 rovnakými splátkami pri 5% ročnej úrokovej miere. Nájdime výšku ročnej splátky, ak sa tieto platia 1 predlehotne, 2 polehotne. Zápis: 1. Ä n = 240 000 n = 30 i = 0,05 =? 2. A n = 240 000 n = 30 i = 0,05 =?

Predlehotná renta s konštantnou splátkou Vzťah medzi polehotnou a predlehotnou splátkou Každá predlehotná splátka úročí jednu periódu a stáva sa splátkou polehotnou = (1 + i) k-tá splátka predlehotná k-tá splátka polehotná * 0... k-1 k... n Obr.: Vzťah medzi polehotnou a predlehotnou splátkou

Predlehotná renta s konštantnou splátkou p ľubovoľné - Terminológia a označenie Použité skratky: Ä n súčasná hodnota renty S n budúca hodnota renty n doba splatnosti renty splátka (anuita) p počet splátok za rok m počet úrokových periód (konverzií) za rok i ročná úroková sadzba, ak m = 1 j ročná úroková sadzba, ak m > 1

Predlehotná renta s konštantnou splátkou p ľubovoľné - Budúca a súčasná hodnota renty budúca hodnota renty ( ( S n = 1+ j ) m n m p 1+ m) j 1 ( ) m 1+ j m p m 1 súčasná hodnota renty ( Ä n = 1+ j ) m p m ( 1 ( 1+ j m 1+ j m ) m p ) m n 1

Predlehotná renta s konštantnou splátkou p ľubovoľné - Budúca hodnota renty - Príklad Príklad: Počas nasledujúcich šiestich rokov uložíme v banke na začiatku polroka 3 000 eur pri 4% nominálnej úrokovej miere a polročnom úrokovaní. Akú sumu našetríme? Zápis: = 3 000 j = 0,04 p = 2 m = 2 n = 6 S 6 =?

Odložená renta s konštantnou splátkou Zaradenie podľa klasifikácie Odložená renta s konštantnou splátkou atribúty: nepodmienená konečná konštantná s počtom splátok za rok 1 p = 1 2 p ľubovoľné

Odložená renta s konštantnou splátkou p = 1 - Súčasná hodnota renty - Ilustrácia Príklad: Získali sme pôžičku vo výške 10 000 eur pri 6% ročnej úrokovej miere. Chceme ju splatiť desiatimi rovnakými splátkami vždy na konci roka. Prvá splátka pôžičky bude zaplatená na konci 6. roka. Vypočítajme veľkosť splátky.

Odložená renta s konštantnou splátkou Odložená renta - Definícia Definícia Odloženou rentou nazývame takú rentu, pri ktorej sa prvá splátka uskutoční až po určitom čase t (t > 1 p, t. j. t je väčšie ako perióda renty) od začiatku renty. Čas t nazývame čakacou dobou.

Odložená renta s konštantnou splátkou Terminológia a označenie Použité skratky: ta n súčasná hodnota renty ts n budúca hodnota renty t čakacia doba renty n doba splatnosti renty splátka (anuita) p počet splátok za rok m počet úrokových periód (konverzií) za rok i ročná úroková sadzba, ak m = 1 j ročná úroková sadzba, ak m > 1

Odložená renta s konštantnou splátkou p = 1 - Súčasná hodnota renty - Príklad Príklad: Získali sme pôžičku vo výške 10 000 eur pri 6% ročnej úrokovej miere. Chceme ju splatiť desiatimi rovnakými splátkami vždy na konci roka. Prvá splátka pôžičky bude zaplatená na konci 6. roka. Vypočítajme veľkosť splátky. Zápis: 5A 10 = 10 000 i = 0,06 n = 10 t = 5 =?

Odložená renta s konštantnou splátkou p = 1 - Súčasná hodnota renty - Definícia ta n 1 ( 1+ i) ( 1+ i) 1 5 2 ( 1+ i) ( 1+ i) 1 8 ( 1+ i) ( 1+ i) 1 9 ( 1+ i) ( 1+ i) 1 5 5 5 10 ( 1+ i) ( 1+ i) 1 5 0 1... 5 6 7... t=5 n=10 13 14 15 Obr.: Súčasná hodnota odloženej polehotnej renty t A n

Odložená renta s konštantnou splátkou p = 1 - Výpočet súčasnej hodnoty renty Pomocou súčasnej hodnoty polehotnej renty A n určíme súčasnú hodnotu odloženej polehotnej renty t A n 5A 10 = 1 + i 1 (1 + i) 5 + + (1 + i) 9 (1 + i) 2 1 (1 + i) 5 + + 1 (1 + i) 5 = 1 (1 + i) 5 + (1 + i) 10 [ ] 1 = (1 + i) 5 1 + i + (1 + i) 2 + + (1 + i) 9 + (1 + i) }{{ 10 = } A 10 = (1 + i) 5 A 10 = (1 + i) 5 1 (1 + i) 10 i ta n = (1 + i) t 1 (1 + i) n i

Odložená renta s konštantnou splátkou p = 1 - Budúca hodnota renty - Definícia ts n 0 1... 5 6 7... 13 14 15 ( i) ( i ) 1+ 1 1+ 2 ( i ) 1+ 8 ( i ) 1+ 9 t=5 n=10 Obr.: Budúca hodnota odloženej polehotnej renty t S n

Odložená renta s konštantnou splátkou p = 1 - Výpočet budúcej hodnoty renty Odklad renty nemá vplyv na jej budúcu hodnotu = ts n = S n ts n = (1 + i)n 1 i

Odložená renta s konštantnou splátkou p ľubovoľné - Budúca a súčasná hodnota renty budúca hodnota renty ( m n 1+ m) j 1 ts n = S n = ( ) 1+ j m p m 1 súčasná hodnota renty ta n = ( 1+ j m) m t An = = ( 1+ j m ( ) m t 1 ( 1+ j m 1+ j m ) m p ) m n 1

Odložená renta s konštantnou splátkou p ľubovoľné - Príklad Príklad: Koľko si budeme môcť mesačne polehotne vyberať po dobu desiatich rokov z kapitálu vo výške 3 058,25217 eur pri 10% nominálnej úrokovej miere, ak sa úroky pripisujú štvrťročne a prvý výber sa má realizovať o 2 roky a 1 mesiac? Zápis: 2A 10 = 3 058,25217 j = 0,1 n = 10 t = 2 p = 12 m = 4 =?

Prerušená renta s konštantnou splátkou Prerušená renta - Ilustrácia Príklad: Peter sa dohodol s bankou, že pôžičku na štúdium začne splácať 5 a 1/4 roka po získaní pôžičky štvrťročnými splátkami vo výške 100 eur. 11 rokov po získaní pôžičky nebol schopný v splátkach pokračovať. Obnovil ich 12 rokov po získaní pôžičky polročnými splátkami na konci polroka vo výške 200 eur a štúdium splatil na konci 16. roka. Banka má mesačné úrokovanie s nominálnou úrokovou mierou 3 %. Vypočítajme výšku pôžičky a jej hodnotu na konci 16. roku.

Prerušená renta s konštantnou splátkou Prerušená renta - Definícia Definícia Prerušenou rentou nazývame takú rentu, pri ktorej je medzi niektorými splátkami renty čakacia doba dlhšia ako je perióda renty. V princípe sa jedná o súčet odložených rent.

Prerušená renta s konštantnou splátkou Súčasná hodnota - 1. časť A 1 = 5A 6 1 1 1 1 1 0 1... 5 2 5 5 6... 1 4 5 3 4 4 11 t 1 =5 n 1 =6 Obr.: Súčasná hodnota prerušenej renty - 1. časť

Prerušená renta s konštantnou splátkou Súčasná hodnota - 1. časť Zápis: 1 = 100 p 1 = 4 t 1 = 5 n 1 = 6 j = 0,03 m = 12 5A 6 =?

Prerušená renta s konštantnou splátkou Súčasná hodnota - 2. časť A 2 = 12A 4 2 2 2 0 1... 12 1 12 13 2... 16 t 2 =12 n 2 =4 Obr.: Súčasná hodnota prerušenej renty - 2. časť

Prerušená renta s konštantnou splátkou Súčasná hodnota - 2. časť Zápis: 2 = 200 p 2 = 2 t 2 = 12 n 2 = 4 j = 0,03 m = 12 12A 4 =?

Prerušená renta s konštantnou splátkou Budúca hodnota - 1. časť 1 1 1 1 1 5S 6 S 1 0 1... 5 2 5 5 6... 1 4 5 3 4 4 11 16 t 1 =5 n 1 =6 n=5 Obr.: Budúca hodnota prerušenej renty - 1. časť

Prerušená renta s konštantnou splátkou Budúca hodnota - 1. časť Zápis: 1 = 100 p 1 = 4 t 1 = 5 n 1 = 6 j = 0,03 m = 12 5S 6 =? ( ) m 5 S 1 = 5 S 6 1+ j m

Prerušená renta s konštantnou splátkou Budúca hodnota - 2. časť 2 S 2 2 2 = 12S 4 0 1... 12 1 12 13 2... 16 t 2 =12 n 2 =4 Obr.: Budúca hodnota prerušenej renty - 2. časť

Prerušená renta s konštantnou splátkou Budúca hodnota - 2. časť Zápis: 2 = 200 p 2 = 2 t 2 = 12 n 2 = 4 j = 0,03 m = 12 12S 4 =?

Večná renta Zaradenie podľa klasifikácie Večná renta atribúty: nepodmienená nekonečná polehotná s konštantnou splátkou s počtom splátok za rok p

Večná renta Večná renta - Ilustrácia Príklad: Aký zabezpečovací fond zabezpečí vyplácanie ceny vo výške 1 000 eur víťazovi každoročnej literárnej súťaže do neobmedzenej budúcnosti pri 4% ročnej úrokovej miere? Zápis: p = 1 i = 0,04 n = 1 000 A =?

Večná renta Večná renta - Definícia Definícia Večnou rentou nazývame takú rentu, pri ktorej je počet splátok neohraničený. Platí teda: n

Večná renta Výpočet súčasnej hodnoty renty p = 1 A = lim n A n = 1 (1 + i) n = lim n i = i A = i p ľubovoľné A = ( 1+ j m ) m p 1

Večná renta Výpočet súčasnej hodnoty renty - Príklad Príklad: Aký zabezpečovací fond nám a našim dedičom zaistí štvrťročný polehotný večný dôchodok vo výške 1 000 eur pri 5% nominálnej úrokovej miere, ak sa úroky pripisujú mesačne? Zápis: p = 4 j = 0,05 n = 1 000 m = 12 A =?

Večná renta Výpočet budúcej hodnoty renty p = 1 S = lim n S n = = lim (1 + i)n 1 = n i S = p ľubovoľné S =

enta so spojitým úrokovaním Zaradenie podľa klasifikácie enta so spojitým úrokovaním atribúty: nepodmienená s dobou splatnosti 1 ohraničenou - konečná renta 2 neohraničenou - večná renta polehotná s konštantnou splátkou s počtom splátok za rok p s neohraničeným počtom konverzií m, t. j. so spojitým úrokovaním

enta so spojitým úrokovaním enta so spojitým úrokovaním - konečná - Definícia Definícia entou so spojitým úrokovaním nazývame takú rentu, pri ktorej je počet konverzií neohraničený. Platí teda: m

enta so spojitým úrokovaním Výpočet súčasnej hodnoty renty - konečná A = lim m A n = ( 1 = lim ( m 1+ j m ) m p 1+ j m ) m n 1 = 1 e j n e j p 1 A = 1 e j n e j p 1

enta so spojitým úrokovaním Výpočet budúcej hodnoty renty - konečná S = lim m S n = = lim m ( m n 1+ m) j 1 ( ) 1+ j m p m 1 = e j n 1 e j p 1 S = e j n 1 e j p 1

enta so spojitým úrokovaním Výpočet súčasnej hodnoty renty - Príklad Príklad: Aký veľký musí byť zabezpečovací fond v banke, ak je uložený pri spojitom úrokovaní pri nominálnej úrokovej miere 5 % a má poskytovať pravidelné štvrťročné splátky polehotne v sume 1 000 eur 1 po dobu 10 rokov, 2 po dobu nekonečne dlhú. Zápis: 1. = 1 000 n = 10 j = 0,05 p = 4 m A =? 2. = 1 000 n j = 0,05 p = 4 m A =?

enta so spojitým úrokovaním enta so spojitým úrokovaním - večná - Definícia Definícia Večnou rentou so spojitým úrokovaním nazývame takú rentu, pri ktorej je počet konverzií neohraničený a počet splátok neohraničený. Platí teda: m a n

enta so spojitým úrokovaním Výpočet súčasnej a budúcej hodnoty renty - večná súčasná hodnota A = lim n 1 e j n e j p 1 = e j p 1 A = budúca hodnota e j p 1 S = lim e j n 1 = n e j p 1 S =

Ďakujem za pozornosť.