Integrali. Pojam neodre denog integrala Uvod u površinski problem Iako većina razmišlja o integralu isključivo kao o obratu izvoda, osnove integralnog računa sežu mnogo dalje u prošlost od modernih vremena. Jedan od velikih problema više matematike je: Definicija.. Ako je data realna funkcija f koja je neprekidna i nenegativna na intervalu [a, b], nadjite površinu koja se nalazi izme du grafa funkcije f i intervala [a, b] na x-osi. Uvod u površinski problem Uvod u površinski problem Površinske formule za osnovne geometrijske figure, kao što su pravougaonici, poligoni i krugovi idu nazad do najranijih matematičkih zapisa. Prvi pravi napredak od najprimitivnih pokušaja je napravio starogrčki matematičar Arhimed ( Aρχιµηδης), koji je razvio genijalnu, ali napornu tehniku, koja se zove tehnika iscrpljenja, kako bi našao površine regija koje su ograničene parabolama, spiralama i raznim drugim krivim. Do 7-og stoljeća mnogi su matematičari otkrili načine kako izračunati ove površine koristeći limese. Me dutim, svim ovim metodama je nedostajala generalnost.
Uvod u površinski problem Veliki napredak su napravili nezavisno jedan od drugoga Newton i Leibnitz, koji su otkrili da se površine mogu dobiti obrćući proces diferencijacije. Newtonov rad De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas izdat 7 se smatra početkom više matematike. Sir Isaac Newton FRS Gottfried Wilhelm Leibniz Početak moderne matematike 2
Neodre deni integral Definicija.2. Funkciju F definisanu na intervalu I, nazivamo primitivom ili primitivnom funkcijom ili prim funkcijom ili anti-izvodom ili integralom funkcije f(x), ako je na tom intervalu f(x) izvod funkcije F (x), tj. ako vrijedi relacija F (x) = f(x), x I. () Definicija.2 se može formulisati tako da umjesto termina izvod koristimo termin diferencijal i tada vrijedi Primitiv d F (x) = F (x)dx = f(x)dx, x I. (2) Primjer.3. Funkcija 3 x3 je primitiv funkcije f(x) = x 2 na intervalu (, ), zato što je za svako x (, ) F (x) = d [ ] dx 3 x3 = x 2 = f(x). Primjetite da ovo nije jedini primitiv funkcije f na ovom intervalu. Ako dodamo bilo koju konstantu C na 3 x3, onda je funkcija F (x) = 3 x3 +C tako der primitiv funkcije f(x) = x 2, jer je x (, ) F (x) = ( 3 x3 + C) = 3 (x3 ) + C = x 2. 3
Primitiv Teorema.4. Neka je F (x), na intervalu I, primitiv funkcije f(x). Tada je i funkcija F (x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta, tako der primitiv funkcije f(x). Primitiv Teorema.5. Neka su F (x) i Φ(x) različiti primitivi funkcije f(x) na intervalu I. Tada je Φ(x) = F (x) + C, C R. (3) Dokaz. Na osnovu pretpostavke teoreme je F (x) = f(x), Φ (x) = f(x), odakle slijedi da je Φ (x) F (x) = [Φ(x) F [x]] = 0, odnosno, vrijedi Φ(x) F (x) = C Φ(x) = F (x) + C. Neodre deni integral Proces nalaženja primitiva nazivamo anti-izvo denjem ili, poznatije, integracijom. Skup svih primitiva funkcije f(x) nazivamo neodre denim integralom funkcije f(x) i označavamo ga sa f(x)dx = F (x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta. Neodre deni integral Produženo S koje se pojavljuje s lijeve strane definicije neodre denog integrala se zove znak integracije, što je notacija koju je izumio Leibnitz 675 godine. Funkcija f(x) se zove integrand ili podintegralni izraz. C se naziva konstanta integracije. Pridjev neodre den se odnosi na činjenicu da integracija ne daje jednu, odre- denu funkciju, već čitav snop funkcija (zbog konstante integracije). 4
Neodre deni integral Primjer.6. Provjeriti da je ln x x dx = ln2 x 2 + C. Kako je ( d ln 2 ) x + C = 2 ln x dx 2 2 x = ln x x, to je prema definicije neodre denog integrala funkcija ln2 x 2 + C neodre deni integral funkcije ln x x. Neke osobine neodre denog integrala Iz definicije neodre denog integrala direktno slijedi [ f(x)dx] = [F (x) + C] = F (x) = f(x), (4) d f(x)dx = d[f (x) + C] = F (x)dx = f(x)dx, (5) df (x) = F (x)dx = f(x)dx = F (x) + C, (6) F (x)dx = f(x)dx = F (x) + C. (7) Jednostavnija pravila integracije Pravilo. Neka je a R konstanta. Tada vrijedi af(x)dx = a f(x)dx (8) Pravilo 2. Ako postoje f i (x)dx, (f +f 2 +...+f n )(x)dx = i =, 2,..., n, tada vrijedi f (x)dx+ f 2 (x)dx+... f n (x)dx. (9) Jednostavnija pravila integracije Pravilo 3. Neka je f(t)dt = F (t) + C. Tada je f(ax + b)dx = F (ax + b) + C. (0) a Dokaz. Kako je df (t) = F (t) = f(t), dt d dt F (ax + b) = a F (ax + b) = a f(ax + b), imamo da je d dt [ F (ax + b) a ] = a a F (ax + b) = F (ax + b) = f(ax + b). 5
.2 Tablica osnovnih integrala Tablica osnovnih integrala Integracija je u osnovi čisto poga danje - no obrazovano poga danje! Mi u osnovi pokušavamo da pogodimo šta je funkcija iz njenog izvoda. Veliki broj integrala možemo riješiti koristeći se nekim, osnovnim integralima standardnih funkcija. Ovdje ćemo navesti neke od njih. Tablica osnovnih integrala. 0 dx = C; dx = x + C, 2. x a dx = a + xa+ + C, a ±, a R, 3. dx = ln x + C, x Tablica osnovnih integrala 4. dx = arc tg x + C; + x2 dx = arc ctg x + C, + x2 5. dx = arcsin x + C; x 2 dx = arccos x + C, x 2 6. a x dx = ax ln a + C, e x dx = e x + C, Tablica osnovnih integrala 7. sin xdx = cos x + C; cos xdx = sin x + C, 8. cos 2 dx = tg x + C; x sin 2 dx = ctg x + C, x 9. x2 ± a 2 dx ln x + x2 ± a 2 + C. 6
Tablica osnovnih integrala 0. sec x tan xdx = sec x + C; csc x ctg xdx = csc x + C, Primjer.7. Primjer.8. (x 3 + 2x 5)dx. xdx. Primjer.9. sin(mx)dx. Primjer.0. x + 3 dx. Primjer.. 2x + 5 x 2 + 5x + dx. Primjer.2. tg 2 xdx. 7
Primjer.3. Primjer.4. Primjer.5. x e x2 + dx. dx x ln x dx. 2dx sin 2x dx. Primjer.6. cos x sin 2 x dx = cos x sin x sin x dx = Primjer.7. t 2 2t 4 ( ) t 4 dt = t 2 2 =.3 Integracija metodom smjene Integracija smjenom = t 2t + C = 2t + C. t csc x ctg xdx = csc x + C t 2 dt + ( 2)dt U dosadašnjim primjerima smo se samo koristili osnovnim pravilima i tablicama integrala. Takvi slučajevi su rijetki i u nekim slučajevima uvo denjem smjene nezavisne promjenljive podintegralne funkcije možemo svesti integral na tablični slučaj. Neka trebamo izračunati f(x)dx. () Umjesto nezavisne promjenljive x uvedimo novu promjenljivu t, i neka je x = g(t), dx = g (t)dt. (2) 8
Integracija smjenom Tada integral () glasi f[g(t)]g (t)dt. (3) Teorema.8. Neka su J i J 2 otvoreni integrali u skupu R. Neka je f : J 2 R, x J 2, neprekidna funkcija na J 2 i neka funkcija g : J J 2 ima neprekidne izvode na J. Tada za svako t J i svako x = g(t) J 2 vrijedi f(x)dx = f[g(t)]g (t)dt. (4) Integracija smjenom Tačnost tvrdnje prati na osnovu definicije izvoda posredne funkcije i definicije neodre denog integrala. Primjer.9. sin 3 x cos xdx. Uvodimo smjenu sin x = t, cos xdx = dt. Tada posmatrani integral glasi sin 3 x cos xdx = t 3 dt = 4 t4 + C = 4 sin4 x + C. Integracija smjenom Primjer.20. xe x2 dx. Primjer.2. dx + 4x dx. 9
Integracija smjenom Primjer.22. Primjer.23. dx + x dx. cos x + sin 2 x dx. Primjer.24. sin 3 xdx..4 Metoda parcijalne integracije Parcijalna integracija Neka su u = f(x) i v = g(x) funkcije promjenljive x i neka imaju izvode u = f (x) i v = g (x). Tada je po pravilu diferenciranja proizvoda d(u v) = u dv + v du, odakle slijedi odnosno u dv = d(u v) v du v du = d(u v) u dv. Iz prethodnih jednakosti integracijom dobivamo Parcijalna integracija odnosno u dv = u v v du = u v v du (5) u dv. (6) Gornje relacije daju pravila parcijalne integracije. 0
Primjer.25. Neka treba naći xe 2x dx. Uzmimo da je u = x, du = dx, dv = e 2x v = e 2x dx = 2 e2x. Tada je prema relaciji (5) xe 2x dx = x 2 e2x 2 e 2x dx = x 2 e2x 4 e2x + C. Primjer.26. = x3 ln x 3 x 2 ln x = 3 u = ln x du = dx x dv = x 2 dx v = 3 x3 x 3 dx x = x3 ln x 3 = x3 ln x 3 x9 9 + C. 3 x 2 dx Primjer.27. Izračunati e ax cos(bx)dx. Označimo dati integral sa J i neka je Tada je prema relaciji (5) J = e ax cos(bx)dx = u = e ax, dv = cos(bx)dx. u = e ax du = ae ax dx dv = cos(bx)dx v = b sin(bx) = b eax sin(bx) a b e ax sin(bx)dx. Ako se za izračunavanje e ax sin(bx)dx uzme u = e ax (du = ae ax dx), dv = sin(bx)dx (v = b cos(bx) ), tada slijedi
J = b eax sin(bx) a b [ b eax cos(bx) + a b ] e ax cos(bx)dx, J = b eax sin(bx) + a b 2 eax cos(bx) a2 b 2 J. Rješavanjem prethodne jednačine po J dobijamo ili J = e ax cos(bx)dx = b sin(bx) + a cos(bx) a 2 + b 2 e ax, b sin(bx) + a cos(bx) a 2 + b 2 e ax + C. Primjer.28. Primjer.29. Izračunati dx (x 2 + a 2 ) n, n N. J = x2 + a 2 dx. 2