. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam. NŢIUNILE FUNDAMENTALE ŞI TEREMELE GENERALE ALE DINAMIII Reolvarea problemelor de damă se fae u ajutorul uor teoreme, umte teoreme geerale, deduse pr aplarea prplor mea, folosd âteva oţu fudametale: lurul mea, puterea meaă, radametul mea, eerga etă, eerga poteţală, eerga meaă, mpulsul sau attatea de mşare, mometul et... Lurul mea... Lurul mea al ue forţe are aţoeaă asupra uu put materal Se osderă î fgura. u put materal M are se deplaseaă pe traetora ( Γ ) sub aţuea ue forţe varable F. La mometul t putul materal se află î poţa M deftă de vetorul de poţe r, ar la mometul t + dt putul se află î poţa M deftă de vetorul de poţe r + dr. ( t ) M 0 = 0 k s A( t A ) r r + dr a M ( t) v M ( t + dt) α d r F B( t B ) j Fg.. Se umeşte luru mea elemetar al forţe F, orespuător deplasăr elemetare d r, o mărme dl egală u produsul salar dtre forţa Fş deplasarea elemetară d r dl = F dr (.) 95
Deoaree elemetar ma poate f srsă: Dama d r = vdt ş d r = ds = vdt epresa lurulu mea dl = F v dt = F v dt osα = F ds osα (.) udeα este ughul dtre vetorul forţă ş vetorul vteă. Folosd epresa aaltă a vetorlor F ş d r relaţa (.) deve: dl = F d + F d + F d = F v dt + F v dt F v dt (.3) + D defţa lurulu mea elemetar reultă âteva propretăţ mportate: - Lurul mea elemetar este o mărme salară avâd a utate de măsură î sstemul teraţoal de utăţ joule-ul [J] ( J = N m ). π - Lurul mea elemetar este potv âdα 0, ş se umeşte luru mea motor. π - Lurul mea elemetar este egatv âd α,π ] ş se umeşte luru mea restet. π - Daă α =, dl = 0ş se umeşte luru mea ul. orespuător ue deplasăr fte a putulu ître două poţ A ş B pe traetora urble ( Γ ) sub aţuea forţe varable F, lurul mea ft sau total are epresa: L A B B = F dr = F d + Fd + F d = F vdt + F vdt + F vdt = Fdsos α = = A t t B A B A Fvdtosα t t B A B A (.4) Se demostreaă ă lurul mea elemetar al uu uplu de momet M 0, orespuător ue rotaţ elemetare d θ este egal u: dl = M dθ = M ωdt = ( M ω + M ω M ω )dt (.5) ar lurul mea total sau ft: 0 0 + 96
θ. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam Lθ M dθ M dθosβ M ωdtosβ ( M ω M ω M ω )dt θ = 0 = 0 = 0 = + + θ θ θ t t (.6) S-a otat u β ughul dtre M 0 ( mometul uplulu) ş ω (vtea ughulară) ş s-a ţut seama ă d θ = ωdt. Î geeral, lurul mea ft al ue forţe depde atât de modul um varaă forţa ât ş de forma traetore... Lurul mea al forţelor oservatve forţă este oservatvă daă dervă dtr-o fuţe de forţă, adă (,) U U U F = grad U = U = + j + k (.7) U = U, oordoatele putulu de aplaţe al forţe. D (.7) reultă ă: t t se umeşte fuţe de forţă a forţe F ş depde uma de F U U U = ; F = ; F = (.8) Petru a o forţă să admtă o fuţe de forţă trebue îdeplte odţle lu auh: F F = ; F F = ; F F = (.9) Î aest a lurul mea al forţe F este: U U U dl = Fdr = d + d + d = du (.0) Lurul mea total va f: Fdr = du = U B L = U (.) A B B A B A A 97
Dama A = A A A B B B B Reultă ă lurul mea total al ue forţe oservatve este depedet de forma traetore, depâd uma de poţle ţală ş fală a putulu de aplaţe al forţe. U eemplu de forţă oservatvă este forţa gravtaţoală (fg..). ude U U(,, ), U = U(,, ) h A A B k j G B Fg.. Î aest a: G = G = 0 ; G U = G =. Reultă: U = G + (.) ( ) = Gh L A B = G B A ± (.3) Pr urmare lurul mea al ue greutăţ u depde de forma traetore pe are se deplaseaă putul e de aplaţe, depde uma de poţle reme ître are se efetueaă mşarea, fd egal u produsul dtre valoarea umeră a forţe ş dfereţa de otă dtre poţle ţală ş fală ş avâd semul (+) âd deplasarea se fae î sesul forţe ş semul (-) âd deplasarea se fae î ses otrar. 98
. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam..3 Lurul mea al ue forţe elaste Se osderă î fgura.3 u ar deal u ostata elastă k. Se oteaă u -alugrea ş u F e = k -forţa elastă. l 0 A A B F e M d B Fg..3 Putem sre: F e = k ; dr = d ; dl = -k d (.4) Lurul mea total orespuător ue alugr este: L = k d = k (.5) ar lurul mea total ître poţ A ş B ale apătulu arulu: 0 99 ( ) B L A B = kd = k B A (.6) A..4. Lurul mea elemetar al uu sstem de forţe are aţoeaă asupra uu sold rgd Se osderă î fgura.4 u sold rgd lber supus aţu uu sstem de forţe F ( =,,3,...,) are se redue î putul al orpulu la u torsor avâd elemetele: R = F ; M = r F (.7) 0 = = La u momet dat t rgdul are vtea ughulară ω ş putul vtea v 0. Se ere determarea lurulu mea elemetar al sstemulu de forţe orespuător deplasăr elemetare dr0 a putulu ş rotaţe elemetare d θ a rgdulu.
Dama Pr defţe: dl = F dr = F v dt (.8) = = F r A M0 r 0 A ω dθ d r r dr 0 R A v 0 v A.I.R. () F F Fg..4 Dar, Reultă: dl = v = v + ω r (.9) 0 ( v + ω r ) dt = F v dt + F ( ω r ) F 0 0 = = = dt = = F v dt r F 0 + ωdt = R v0dt + M0 ωdt = R dr0 + M0 dθ = = (.0)..5. Lurul mea al forţelor teroare Două pute materale M ş M j aparţâd uu sstem de pute materale teraţoeaă, forţele teroare fd otate orespuător u F, respetv r F j. Vetor de poţe a putelor î raport u putul f sut ş r j (fg..5). oform prpulu aţu ş reaţu Lurul mea elemetar aferet forţelor deplasărlor elemetare ale elor două pute este: 00 F j ş F j = F. j j F j orespuător
Deoaree j dl t. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam = F j = F d j F = λ M M dl t dr + F j ( M M ) = F d( M M ) j j, reultă: dr j = F j j dr F j j dr λ ( M M ) = d( M M ) j = F j d ( r r ) j = (.) λ = λ MM j d j j = d MM j (.) M F j F j M j Daă putele materale aparţ uu sstem materal rgd dstaţa dtre pute M M = j r Fg..5 r j ostat ş a urmare dl t = 0. Putem spue ă î aul uu sstem materal rgd suma lururlor meae elemetare ale forţelor teroare este ulă petru ore deplasare a sstemulu... Puterea meaă Pr puterea meaă a ue maş se îţelege attatea de luru mea produsă de maşă î utatea de tmp. dl = = R v0 + M ω (.3) dt P 0 Utatea de măsură î sstemul teraţoal de utăţ este watt-ul [W]; J W =. Î prată se ma foloseşte ş alul putere (P); kw=,36p. s Puterea este o mărme salară potvă, egatvă sau ulă osttud o araterstă de baă a tuturor agregatelor eergete ş orăre maş. Î aul motoarelor lare: P = R v ar a elor rotatve: P = M ω (s-a otat M mometul uplulu). Daă este uosută puterea uu motor P[W] ş turaţa [rot/m], mometul motor M [N.m] se obţe u relaţa: 0
Dama 30 M = P (.4) π Daă puterea P este dată î P, turaţa î rot/m, mometul motor M î N.m este P M = 707 (.5).3. Radametul mea re maşă î tmpul fuţoăr e î regm permaet prmeşte u luru mea motor L m, respetv o putere motoare P m, are î permte să devolte u luru mea utl L u, respetv o putere utlă P u, măsurate la eşrea d maşa respetvă. Dfereţa Lm - Lu = Lp se umeşte luru mea perdut, ar Pm - Pu = Pp se umeşte putere perdută. Raportul dtre lurul mea utl ş el motor, egal u raportul dtre puterle utlă ş motoare se umeşte radamet mea. L L L P P u Pu m p m p η = = = = = ϕ L P L P m m m m (.6) oefetul ϕ = L p = L u P P p m se umeşte oefet de perdere. Radametul total al uu laţ de maş sau measme legate î sere este egal u produsul radametulu maşlor laţulu: η = η = (.7) Radametul total al uu agregat format d maş sau stalaţ motate î paralel este egal u suma produselor dtre radametele maşlor ş otele părţ d puterea absorbtă de feare maşă d totalul puter motoare e almeteaă îtregul agregat. ηα ; α = = = η = (.8) 0
.4. Eerga etă.4.. Defţ. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam r M, a, m t F v ( Γ) M ( m ) v r M, a, m t v F ( Γ) M ( m ) v Fg..6 Fg..7 Se osderă î fgura.6 u put materal M de masă m are se deplaseaă sub aţuea forţe F pe o traetore urble ( Γ ) avâd la mometul t vtea v. Se umeşte eerge etă a putulu materal mărmea salară egală u semprodusul dtre masa ş pătratul vtee putulu: E (& + & + & ) = mv = mv = m (.9) Eerga etă este o mărme salară strt potvă are aratereaă starea de mşare a putulu la u momet dat. Utatea de măsură î sstemul teraţoal de utăţ este joule-ul [J]. Pr defţe eerga etă a uu sstem de pute materale M de mase m (fg..7) avâd vteele v ( =,,..., ) este egală u suma eerglor etă ale putelor ompoete: E = mv = mv = = = = m ( + & + & ) & (.30) U sold rgd poate f osderat ompus dtr-o ftate de pute materale de masă elemetară dm avâd vtea v (fg..8). Petru alulul 03
Dama eerge ete se poate utla relaţa (5.30) î are semul se îloueşte u semul, vtea v u vtea v ş masa m u dm. E = v dm = v dm (.3) ( Γ ) r ( ),, M dm t v Fg..8.4.. Teorema lu Kög petru eerga etă ω r δ v ' α ω v M(dm) r v r () Fg..9 04 ( ) A.I.R.R
. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam Î fgura.9 este repreetat u sold rgd ( ) aflat î mşare geerală. Se uoaşte masa M a orpulu, vtea v a etrulu de masă, vtea ughulară stataee ω ş mometul de erţe mea J al orpulu faţă suportul vetorulu ω plasat î etrul de masă al orpulu. Se demostreaă relaţa: E = Mv + J ω (.3) umtă teorema lu Kög petru eerga etă: Eerga etă a uu sold rgd î mşare geerală este egală u suma dtre eerga etă a etrulu de masă al soldulu rgd î are se osderă oetrată îtreaga masă a orpulu ş eerga etă a soldulu rgd î mşarea relatvă faţă de etrul maselor. D emată se şte ă vtea uu put oareare al rgdulu are epresa: v = v + ω r (.33) E + = Folosd relaţle (.3) ş (.33) se obţ suesv v ( ) ( ) dm = ( ) ( ) ( v + ω r) dm = v dm + v ( ω r) ( ω r) dm = v dm + ( v ω) rdm + ω ( r s ) {} ( ) S-a ţut seama ă ( ω r) = ω r = ω r s α Îtruât, dm = M ; ( ) rdm = Mr ( ) r ( ) ( ) ( ) α dm = δ ( ) dm + α dm = 0 ; s dm = relaţa (.34) deve: E J (.34) = Mv + J ω (.35) 05
Dama.4.3. Eerga etă î aul uor mşăr partulare ale uu sold rgd a) Sold rgd î mşare de traslaţe Fe u sold rgd (), avâd masa M ş vtea etrulu de masă aflat î mşare de traslaţe (fg..0). v, r v Fg..0 Deoaree ω = 0, epresa (.35) deve E = Mv (.36) Î oformtate u (.36) eerga etă a uu sold rgd aflat î mşare traslaţe este egală u eerga etrulu de masă ş are se osderă oetrată îtreaga masă a orpulu. b) Sold rgd î mşare de rotaţe î jurul ue ae fe Î fgura. este repreetat uu sold rgd () aflat î mşare de rotaţe î jurul ae fe ( ) u vtea ughulară ω. Se presupue de asemeea uosut ş mometul de erţe mea J al orpulu î raport u aa ( ). D emată se uoaşte ă vtea uu put oareare al rgdulu are epresa: v = ω r (.37) 06
. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam ( ) v = ω r ω δ α r dm Fg.. E = v dm = = ω ( ) δ dm = ( ω r) J ω dm = ω r ( ) dm = ω r ( ) s α dm = (.38) ) Sold rgd î mşare de roto-traslaţe ( ) v = v 0 + ω r v 0 δ ω α r dm Fg.. 07
Dama Se osderă î fgura. u sold rgd aflat î mşare elodală î lugul ş î jurul ae( ) u vtea lară v ş vtea ughulară ω. Se uoaşte masa M a orpulu ş mometul de erţe mea J al aestua faţă de aa mşăr de roto-traslaţe ( ). Se şte ă vtea uu put oareare al rgdulu are epresa: E = Deoaree, v = v + ω r (.39) Eerga etă a rgdulu î aest a este: v dm = ( v0 + ω r) dm = v + v0 ( ω r) dm = v0 dm + ω r 0 dm + + ( v ω) 0 ( ω r) rdm dm + (.40) dm = M ; ω r dm = ω r s α dm = ω δ dm = ω J ; v0 ω = 0 epresa eerge ete dată de (.40) deve: E = Mv0 + J ω (.4) Se poate afrma ă eerga etă a uu sold rgd aflat î mşare de roto-traslaţe este egală u suma dtre eerga etă de traslaţe u vtea v 0 ş ea provetă d mşarea de rotaţe î jurul ae fe u vtea ughulară ω. d) Plaă aflată î mşare plaă plaă avâd masa M ş mometul de erţe mea J î raport u aa, ormală î etrul de masă pe plaul plă, se află î mşare îtr-u pla f u vtea etrulu de masă v ş vtea ughulară ω (fg..3). Eerga etă plă este dată de formula lu Kög: E = Mv + J ω (.4) 08
. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam Ître v ş ω substă relaţa: v = ω I = ω d (.43) Îloud (.43) î (.4) se obţe relaţa: E ( J + Md ) = J ω = ω (.44) I î are J I este mometul de erţe mea al plă î raport u aa stataee de rotaţe I. I = A.I.R. r v h ω r I ω h I Fg..3 ( ) P m e) Sold rgd î mşare sferă (mşare de rotaţe î jurul uu put f) ( ) A.I.R. ω α v =ω r δ dm r () Fg..4 09
Dama Se osderă î fgura.4 u sold rgd are efetueaă o mşare de ω, ω, ω. Se rotaţe î jurul putulu f u vtea ughulară ω ( ) presupu uosute mometele de erţe meae ale rgdulu î raport u aele sstemulu de referţă. Î mşarea sferă vtea uu put oareare are epresa: E v = ω r (.45) Eerga etă a rgdulu u put f se determă u relaţa: = v dm= ( ω r) dm= ω r = ω r s αdm ω δ dm J ω = = (.46) Ţâd seama de legea de varaţe a mometelor de erţe meae î raport u ae ourete, J = J α + J β + J γ J αβ - J βγ J γα, (.47) ude α, β, γ sut osusurle dretoare ale suportulu al vetorulu ω, ş de relaţle: se obţe: E = α ω = ω ; βω = ω ; γω = ω (.48) ( J ω + J ω + J ω J ω ω J ω ω J ω ω ) (.49) Daă aele sstemulu de referţă mobl sut ae prpale de erţe, mometele de erţe etrfugale sut ule, ar (.49) a forma smplfată: E = J ω + J ω + J ω (.50).5. Eerge poteţală. Eerge meaă Se îtâles ssteme materale (o greutate stuată la o aumtă îălţme, u ar îts sau omprmat, u repet u ga sub presue, et.) are au eerge datortă poţe pe are o oupă, fd apabl să produă luru mea 0
. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam daă se suprmă legăturle e meţ sstemul î poţa respetvă. Eerga de poţe a uor astfel de ssteme se umeşte eerge poteţală. Eerga poteţală a uu orp aflat îtr-o poţe oareare este egală u lurul mea osumat petru a adue orpul dtr-o poţe î are eerga poteţală se osderă ulă î poţa dată, luat u sem shmbat. ( F d + F d + F d ) E = L = = U = U (.5) p = ude U este fuţa de forţe a sstemulu. Utatea de măsură petru eerga poteţală î SI este joule-ul [ J ]. Î aul uu sstem materal suma dtre eerga etă ş eerga poteţală se umeşte erge meaă..6. Impulsul E = E + E (.5) m p Se osderă u put materal M de masă m are se deplaseaă pe traetora ( Γ ), avâd la u momet dat vtea v (fg..5). Se defeşte mpulsul sau attatea de mşare a putulu materal u vetor egal u produsul dtre masa putulu ş vtea sa. p = mv (.53) r M( m) v p = mv k 0 Fg. 5.5 Alegâd u sstem de referţă artea ş proetâd (.53) pe aele aestua se obţ relaţle: p = m; & p = m; & p = m& (.54)
Dama î are &,, & & sut ompoetele arteee ale vtee putele M. Utatea de măsură a mpulsulu î SI este klogram metru pe sudă [ kg m/s]. M ( m ) v K 0 r r v M ( m ) p = m v v P = Mv v Fg..6 Î aul uu sstem de pute matrale aflat î mşare (fg.5.6) mpulsul sstemulu este egal u suma mpulsurlor putelor. P = m v (.55) = Aeastă relaţe se poate pue ş sub o altă formă ţâd seama ă vtea stataee a putulu este egală u dervata î raport u tmpul a vetorulu de poţe al putulu. P = = m dr dt = d dt = m r = d dt ( Mr ) = Mr& = Mv& (.56) Aşadar mpulsul total al uu sstem de pute materale este egal u mpulsul total al uu sstem de pute materale este egal u mpulsul etrulu de masă al sstemulu î are se presupue oetrată î îtreaga masă a aestua. ompoetele arteee ale mpulsulu se obţ proetâd relaţa (.56) pe aele sstemulu de referţă. P = M& ; P = M& ; P = M& (.57)
. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam Soldul rgd poate f osderat ompus dtr-o ftate de pute materale de masă dm ş vteă v (fg..7). a urmare mpulsul total se obţe u relaţa P = vdm (.58) dm v ω K K r r v P = Mv r Fg..7 a ş î aul preedet dr d d P = dm = rdm = ( Mr ) = Mr& = Mv dt dt (.59) dt Relaţa (.59) arată ă mpulsul uu rgd este egal u mpulsul etrulu de masă î are ar f oetrată îtreaga masă a rgdulu..7. Mometul et.7.. Defţ a) Mometul et al uu put materal Pr defţe mometul et al uu put materal aflat î mşare (fg..5) î raport u u pol f este egal u mometul vetorulu mpuls faţă de aelaş pol. k = r mv (.60) 3
Dama Proeţle aestu vetor pe aele uu sstem de ae u orgea î putul vor f: k ( & & ); k = m( & & ); k = m( & & ) = m (.6) Utatea de măsură petru mometul et î SI este klogram metru pe seudă [kg m /s]. b) Mometul et al uu sstem de pute materale Pr defţe mometul et al uu sstem de pute materale aflat î mşare (fg..6) î raport u u put f este egal u suma mometelor ete ale putelor î raport u aelaş. K = r mv (.6) = ) Mometul et al uu sold rgd Î aul uu sold rgd (fg..7) se defeşte mometul et faţă de putul f, pr relaţa: K = r vdm (.63) ş mometul et al rgdulu î mşarea relatvă faţă de etrul maselor pr relaţa: ( v v ) ( ) K = r dm = r ω r dm (.64) Relaţa (.64) poate f trasrsă matreal: K K K J = J J J J J J J J ω ω ω ; sau [ K ] = [ J] [ ω] (.65) Matrea: J J J [ J] = J J J (.66) J J J 4
. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam se umeşte matrea mometelor de erţe sau tesor erţal..7.. Teorema lu Kög petru mometul et Se osderă u rgd () aflat î mşare geerală faţă de u sstem de referţă f, avâd la u momet dat t vtea etrulu de masă v ş vtea ughulară ω (fg..7). Fd uosută masa M a orpulu ş mometele de erţe meae ale aestua î raport u sstemul de ae, legate de orp, se ere determarea relaţe dtre mometul et al orpulu faţă de putul f ş mometul et al orpulu î mşarea relatvă faţă de etrul de masă. Îloum î (.63) egaltăţle r = r + r; v = v + ω r K ( r + r) ( v + ω r) = dm = r + r v dm + r ( ω r) dm = v dm + + r ( ω r) dm + = r v dm + r ω rdm + rdm v + ( ) r ω r dm (.67) Îtruât, dm = M; rdm = M r = 0; r ( ω r) dm = K, relaţa (.67) deve: K = r Mv + K (.68) Relaţa (.68) eprmă teorema lu Kög petru mometul et oform ărea, mometul et al uu sold rgd (sstem materal) î raport u u put f este egal u suma dtre mometul et al etrulu de masă î are se osderă oetrată îtreaga masă a orpulu (sstemulu materal) ş mometul et K reultat d mşarea relatvă a orpulu (sstemulu materal) î raport u etrul maselor. 5
Dama.7.3. Mometul et î aul uor mşăr partulare ale rgdulu a) sold rgd aflat î mşare de traslaţe Fe u sold rgd aflat î mşare de traslaţe (fg..8), avâd masa M ş vtea stataee a etrulu de masă v. r v K Fg..8 Îtruât ω = 0 K = 0 (.69) K = r Mv (.70) b) Sold rdg aflat î mşare de rotaţe î jurul uu put f Se osderă u sold rgd are efetueaă o mşare de rotaţe î jurul putulu f (fg..9) u vtea ughulară ω. Se uos mometele de erţe meae ale orpulu î raport u aele sstemulu de referţă, soldar u rgdul. oform (.63), daă = ş r = r, 6 K = r vdm (.7) Avâd î vedere legea dstrbuţe vteelor î mşarea sferă a rgdulu v = ω r (.7) ( ω r) ( ) K = r dm = r ωdm ω r rdm (.73)
. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam v ( ) A.I.R ω r K,, M dm Fg. 5.9 () Epresle aalte ale vetorlor are terv (.73) sut K = K + K j + K k; r = + j + k; ω = ω + ω j ω k (.74) + Îloud (.74) î (.73) ş ţâd seama de epresle mometelor de erţe meae aale ş etrfugale, pr detfarea oefeţlor versorlor d e do membr, se obţ proeţle vetorulu momet et pe aele sstemulu de rferţă mobl. Aestea pot f eprmate sub formă matreală: K J J J ω K = J J J ω (.75) K J J J ω sau restrâs [ K ] = [ J ] [ ω] (.76) Daă aele sstemulu de referţă mobl sut ae prpale de erţe, atu mometele de erţe etrfugale sut ule ş: K J ; K J ; K = J = ω = ω ω (.77) ) Sold rgd î mşare de rotaţe î jurul uu a f Î fgura (.0) este repreetat u sold rgd aflat î mşare de rotaţe î jurul uu a f oareare ( ). Se uos vtea ughulară ω ş mometele 7
Dama de erţe aale ş etrfugale ale rgdulu î raport u sstemul de referţă, legat varabl de soldul rgd. Mometul et al rgdulu î raport u putul f de pe aa ( ) se poate alula a ş î aul mşăr sfere deoaree mşarea de rotaţe î jurul uu a f este u a partular al mşăr sfere î are aa stataee de rotaţe deve fă. Astfel, proeţle vetorulu momet et pe aele sstemulu de referţă mobl sut date de (.75) sau (.77), după um aest sstem u este sau este sstem de ae prpale de erţe.,, M dm v ( ) r ω K 0 ( ) Fg. 5.0 Daă aa ( ) ode u aa, atu K Daă î plus aa ( ) = J ω; K = J ω; K J ω (.78) = este aă prpală de erţe, atu: K = K = 0; K = Jω; K = Jωk (.79) d) Plaă aflată î mşare plaă Se osderă o plaă moblă ( P m ) î mşare î plaul f u vtea etrulu de masă v ş vtea ughulară ω (fg..). Se uoaşte masa plă ş mometul de erţe J faţă de aa, ormală î etrul de masă al plă pe plaul plă. D putul de vedere al dstrbuţe de vtee mşarea plaă repretă o suprapuere a două mşăr: o mşare de traslaţe u vtea v a etrulu de masă ş o mşare de rotaţe u vtea ughulară ω î jurul ue ae perpedulare î pe plaul mşăr. 8
. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam Fg.. Mometul et î mşarea relatvă faţă de etrul de masă este dat de relaţa (.79) K = Jω k; K = Jω (.80) ar mometul et faţă de de formula lu Kög. K [ M( v v ) + J ω] k = r Mv + K = (.8).8. Teorema de varaţe a eerge ete M ( m ) F a k K 0 M ( m ) r r v ϕ ω v Fg.. k K F t F ( ) I A.I.R. I ( Γ ) a F + F a j j ϕ ( ) P m t M ( m ) F 9
Dama Se osderă u sstem de pute materale M, avâd masele m, vteele v, aeleraţle a ş vetor de poţe r îtr-u sstem de referţă, aflat î mşare sub aţuea uu sstem de forţe eroare F (=,,,). Asupra putulu M aţoeaă forţa F ş reultata t forţele teroare F = F, j =, j, u are elelalte - pute j= j teraţoeaă u putul M (fg..). Petru feare put materal putem sre legea fudametală a dam: t m a = F + F (.8) Îmulţd salar amb membr a relaţe (.8) u relaţle obţute petru =, reultă d r ş îsumâd Dar = = = 0 m a dr = F dr + F dr (.83) dv d d m a dr = m dr = mv dv = mv = mv = de = dt = = dt dt = (.84) = F dr = dl ; = t = t F dr = dl t, (.85) t ude dl ş dl repretă repretă lurul mea al forţelor eroare, respetv al forţelor teroare. Se obţe: t de = dl + dl (.86) relaţe e eprmă matemat teorema de varaţe a eerge ete sub formă elemetară sau dfereţală î aul uu sstem de pute materale: varaţa elemetară a eerge ete a uu sstem de pute materale este egală u suma dtre lurul mea elemetar al forţelor eroare ş lurul mea al forţelor teroare, orespuător deplasăr elemetare a sstemulu materal î tervalul de tmp dt. Itegrâd relaţa (.86) se obţe forma ftă sau tegrală a teoreme de varaţe a eerge ete.
. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam î are E etă a sstemulu la mometul t, + t E = L L (.87) E este eerga etă a sstemulu la mometul t, E este eerga L repretă lurul mea total al t forţelor eroare î tervalul de tmp t tş L repretă lurul mea total al forţelor teroare î aelaş terval de tmp. Î aul soldulu rgd, avâd î vedere ă dl t t = 0 ; dl = 0 (.88) forma dfereţală a teoreme de varaţe a eerge ete este: ar ea ftă: E de = dl (.89) E = L (.90).9. Teorema de varaţe a mpulsulu M ( m ) P & = Ma F R K & M r r a M ( m ) Fg..3 M ( m ) v F F a t F F + F t Aeastă teoremă va f demostrată tot î aul uu sstem de pute materale, reultatele fd apo se petru u sold rgd sau u sstem de orpur rgde. Fe u sstem de pute materale vteele F ( ) v ş aeleraţle M de mase m aflat î mşare u a sub aţuea uu sstem de forţe eroare =. Asupra putulu M aţoeaă atât forţa F ât ş reultata
j= Dama t F = F ( j =, j ) a forţelor teroare u are elelalte pute j teraţoeaă u putul M (fg..3). Petru feare put separat d sstem este valabl prpul al dolea al mea srs sub forma: t m a = F + F (.9) Srd relaţ de forma (.9) petru toate putele sstemulu ş îsumâdu-le membru u membru obţem: = Dar, dv d d ma = m = dt dt dt = = t m a = F + F (.9) = = = d dt ( m v ) = m v = ( P) = P = î raport u tmpul a vetorulu mpuls total; F = = t F = = R 0 -vetorul reultat al forţelor eroare; &, adă dervata -deoaree forţele teroare sut două âte două egale î modul, avâd aelaş suport ş sesur otrar. Reultă: P & = R (.93) Relaţa (.93) eprmă teorema de varaţe a mpulsulu petru u sstem de pute materale: dervata î raport u tmpul a vetorulu mpuls total al uu sstem de pute materale este egală u vetorul reultat al forţelor eroare aplate putelor sstemulu. Deoaree P = Mv, P & = Mv& = M a, (.94) ude: M-este masa sstemulu de pute materale; v -este vtea etrulu de masă al sstemulu de pute materale; a -este aeleraţa aeluaş etru de masă,
. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam se obţe: M a = R (.95) Teorema de varaţe a mpulsulu sub forma (.95) poartă umele de teorema mşăr etrulu de masă u următorul euţ: etrul de masă al uu sstem de pute materale are mşarea uu sgur put a ăru masă este egală u masa totală a sstemulu âd asupra ărua ar aţoa vetorul reultat al forţelor eroare. Ehvaleţele salare ale euaţlor vetorale (.93) ş (.95) sut: P & = M & = R ; P & = M & = R ; P & = M & = R (.96) Itegrâd (.93) petru două ofguraţ la mometele t ş t obţem forma ftă a teoreme de varaţe a mpulsulu: t P P = R dt (.97) ude: P = Mv, P = Mv Daă vetorul reultat al forţelor eroare este ul sau proeţa sa pe o aă fă este permaet ulă ( R = 0, respetv de eemplu R = 0 ), mpulsul total, respetv proeţa mpulsulu pe aea aă este varabl î tmp (se oservă). Se obţ astfel tegralele prme: t P = Mv = t., respetv P = M& t. (.98) = Î aest a etrul de masă are o mşare retle ş uformă sau, î partular, rămâe î repaus, respetv proeţa etrulu maselor pe aea aă se mşă uform sau, î partular, rămâe pe lo. Reultatele obţute sut valable ş petru u sold rgd sau u sstem de orpur rgde..0. Teorema de varaţe a mometulu et î raport u u put f Fe u sstem de pute materale M de mase m, avâd vteele ş aeleraţle stataee v ş a ş vetor de poţe r îtr-u sstem de referţă f. Putele se află î mşare sub aţuea uu sstem de forţe 3
eroare F ( ) Dama =. Asupra putulu M aţoeaă forţa eroară t ş reultata F F, ( j =, j ) = j= j 4 F a forţelor eroare u are elelalte - pute teraţoeaă u M (fg..3). Srem petru putul M legea fudametală a dam t m a = F + F (.99) Îmulţm vetoral la stâga e do membr a relaţe (.99) u r ş îsumăm relaţle obţute dâd lu valor de la la. Se obţe: Î relaţa (5.00): = = t r m a = r F + r F (.00) = = d dr d ma = dt dt = dt = r ( r mv ) mv = r mv = K = K adă dervata î raport u tmpul a mometulu et faţă de putul ; = = r F = M t - mometul reultat al forţelor eroare faţă de polul. r F = 0 - deoaree forţele teroare sut două âte două egale î modul, avâd aelaş suport ş sesur opuse. Reultă: K & = M d dt &, (.0) Relaţa (.0) eprmă teorema mometulu et î raport u u put f petru u sstem de pute materale, oform ărea: dervata vetorală î raport u tmpul a mometulu et al uu sstem de pute materale alulat faţă de u put f este egală u mometul reultat al sstemulu forţelor eroare aplate putelor sstemulu, alulat faţă de aelaş put f. Daă mometul reultat al forţelor eroare î raport u u put f este ul ( M 0) = atu K & = 0 ş de K = t. (.0)
. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam adă mometul et se oservă. Euaţa (.0) este o tegrală prmă a teoreme mometulu et. Ehvaletele salare ale euaţe (.0) sut K & = ; M K & = ; M K & = (.03) M Daă mometul reultat al forţelor eroare î raport u o aă fă (de eemplu ) este ul atu faţă de aa respetvă mometul et se oservă: M = 0 ; K& = 0 ş de K = t. (.04) Itegrâd (.0) se ajuge la forma ftă a teoreme de varaţe a mometulu et t K K = M dt (.05) t Reultatele obţute sut valable ş î aul sstemelor de orpur rgde... Teorema de varaţe a mometulu et î raport u etrul maselor Se osderă u rgd () aflat î mşare î raport u u sstem de referţă f sub aţuea uu sstem de forţe eroare F (,,..., ) =. De orp este varabl legat de sstemul de referţă, u orgea î etrul de masă (fg..4). Se urmăreşte determarea relaţe dtre mometul et al orpulu î mşarea relatvă faţă de etrul de masă ş mometul reultat al forţelor eroare faţă de aelaş put. Srem teorema lu Kög petru mometul et ş o dervăm î raport u tmpul & K & = r Mv + r Ma + K (.06) oform teoreme mometulu et faţă de putul f ş teoreme mşăr etrulu de masă se poate sre: & ude: K & = M ; M a = R (.07) 5
Dama M = r F este mometul reultat al forţelor eroare faţă de ş = R = F este vetorul reultat al forţelor eroare. = Termeul, r & Mv = v Mv = 0 r dm r A v r r A ω F ε v a & K = M K & P = Ma = R K r F A P F & K = M Fg..4 Astfel, relaţa (.06) deve: M = r R + K sau & K & = M r R (.08) oform leg de varaţe a mometulu reultat la shmbarea polulu de reduere : M r R = M ; M = r F (.09) = Se obţe: K & = M, (.0) relaţe e eprmă teorema de varaţe a mometulu et î raport u etrul maselor oform ărea: dervata î raport u tmpul a vetorulu momet et al uu sstem materal î mşarea relatvă faţă de etrul de masă al sstemulu este egală u mometul reultat al forţelor eroare alulat î raport u aelaş etru de masă. 6