GHEORGHE PROCOPIUC ANALIZĂ MATEMATICĂ

GHEORGHE PROCOPIUC ANALIZĂ MATEMATICĂ IAŞI, 2002

Cuprins 1 ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 6 1.1 Introducere................................... 6 1.1.1 Elemente de teori teori mulţimilor................. 6 1.1.2 Noţiune de plicţie.......................... 7 1.2 Definiţi spţiului metric........................... 9 1.3 Mulţimi de puncte dintr-un spţiu metric.................. 9 1.3.1 Spţii linire normte......................... 11 1.4 Mulţime numerelor rele........................... 13 1.4.1 Mulţimi mărginite de numere rele.................. 13 1.4.2 Intervle şi vecinătăţi......................... 15 1.5 Spţiul R n................................... 15 1.6 Funcţii cu vlori în R m............................ 16 2 ŞIRURI ŞI SERII 18 2.1 Şiruri de numere rele............................. 18 2.2 Şiruri în spţii metrice............................. 21 2.3 Principiul contrcţiei.............................. 24 2.4 Şiruri în R p................................... 25 2.5 Serii de numere rele.............................. 26 2.5.1 Serii convergente. Proprietăţi generle................ 26 2.5.2 Serii cu termeni pozitivi........................ 30 2.5.3 Serii cu termeni orecre....................... 33 2.6 Serii în R p................................... 35 3 LIMITE DE FUNCŢII 38 3.1 Limit unei funcţii rele de o vribilă relă................. 38 3.1.1 Limit într-un punct.......................... 38 3.1.2 Proprietăţi le limitei unei funcţii................... 38 3.2 Limit unei funcţii vectorile de o vribilă relă.............. 40 3.3 Limit unei funcţii de o vribilă vectorilă................. 41 4 FUNCŢII CONTINUE 42 4.1 Continuitte funcţiilor rele de o vribilă relă.............. 42 4.1.1 Continuitte într-un punct...................... 42 4.1.2 Proprietăţi le funcţiilor continue................... 43 2

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 3 4.1.3 Continuitte uniformă........................ 45 4.2 Continuitte funcţiilor vectorile....................... 46 4.2.1 Continuitte într-un punct...................... 46 4.2.2 Continuitte uniformă........................ 47 5 DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE 48 5.1 Derivt şi diferenţil funcţiilor de o vribilă............... 48 5.1.1 Derivt şi diferenţil unei funcţii rele de o vribilă relă.... 48 5.1.2 Derivt şi diferenţil unei funcţii vectorile de o vribilă relă. 49 5.1.3 Derivte şi diferenţile de ordin superior............... 51 5.1.4 Proprietăţi le funcţiilor derivbile.................. 53 5.2 Derivtele şi diferenţil funcţiilor de n vribile.............. 59 5.2.1 Derivtele prţile şi diferenţil funcţiilor rele de n vribile.. 59 5.2.2 Derivte prţile şi diferenţil funcţiilor vectorile de n vribile. 63 5.2.3 Derivte prţile şi diferenţile de ordin superior.......... 64 5.2.4 Derivtele prţile şi diferenţilele funcţiilor compuse....... 66 5.2.5 Proprietăţi le funcţiilor diferenţibile................ 69 6 FUNCŢII DEFINITE IMPLICIT 73 6.1 Funcţii definite implicit de o ecuţie..................... 73 6.1.1 Funcţii rele de o vribilă relă................... 73 6.1.2 Funcţii rele de n vribile...................... 75 6.2 Funcţii definite implicit de un sistem de ecuţii............... 76 6.3 Trnsformări punctule. Derivre funcţiilor inverse............ 77 6.4 Dependenţă şi independenţă funcţionlă................... 79 6.5 Schimbări de vribile............................. 80 6.5.1 Schimbre vribilelor independente................. 80 6.5.2 Schimbări de vribile independente şi funcţii............ 81 7 EXTREME PENTRU FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE 83 7.1 Puncte de extrem pentru funcţii de mi multe vribile.......... 83 7.2 Extreme pentru funcţii definite implicit................... 86 7.3 Extreme condiţionte............................. 86 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 90 8.1 Şiruri de funcţii rele.............................. 90 8.1.1 Şiruri de funcţii. Mulţime de convergenţă............. 90 8.1.2 Funcţi limită unui şir de funcţii.................. 90 8.1.3 Convergenţ simplă.......................... 91 8.1.4 Convergenţ uniformă......................... 91 8.1.5 Proprietăţi le şirurilor uniform convergente............. 92 8.2 Serii de funcţii................................. 94 8.2.1 Serii de funcţii. Mulţime de convergenţă.............. 94 8.2.2 Convergenţ simplă unei serii de funcţii.............. 94 8.2.3 Convergenţ uniformă unei serii de funcţii............. 95 8.2.4 Proprietăţi le seriilor uniform convergente............. 96 8.3 Serii de puteri................................. 97

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 4 8.4 Serii Tylor................................... 99 9 INTEGRALA RIEMANN ŞI EXTINDERI 100 9.1 Primitive. Integrl nedefinită......................... 100 9.2 Clculul primitivelor.............................. 101 9.2.1 Integrl sumei şi produsului cu o constntă............. 101 9.2.2 Integrre prin părţi.......................... 101 9.2.3 Schimbre de vribilă în integrl nedefinită........... 102 9.2.4 Integrre prin recurenţă....................... 103 9.3 Integrre funcţiilor rţionle......................... 104 9.3.1 Integrle reductibile l integrle din funcţii rţionle........ 105 9.4 Integrl definită................................ 107 9.4.1 Sume integrle Riemnn. Integrbilitte............... 107 9.4.2 Sume Drboux. Criteriu de integrbilitte.............. 110 9.4.3 Proprietăţi le funcţiilor integrbile................. 112 9.4.4 Formule de medie............................ 113 9.4.5 Existenţ primitivelor funcţiilor continue.............. 114 9.4.6 Metode de clcul integrlelor definite................ 115 9.5 Integrle improprii............................... 117 9.6 Integrle cre depind de un prmetru.................... 121 9.6.1 Trecere l limită sub semnul integrl................ 121 9.6.2 Derivre integrlelor cre depind de un prmetru......... 122 10 INTEGRALE CURBILINII 124 10.1 Noţiuni de teori curbelor........................... 124 10.2 Lungime unui rc de curbă.......................... 125 10.3 Integrle curbilinii de primul tip....................... 126 10.4 Integrle curbilinii de tipul l doile..................... 128 10.5 Independenţ de drum integrlelor curbilinii................ 130 10.6 Noţiuni elementre de teori câmpului.................... 132 10.7 Orientre curbelor şi domeniilor plne.................... 133 10.8 Clculul riei cu jutorul integrlei curbilinii................ 133 11 INTEGRALE MULTIPLE 135 11.1 Integrl dublă................................. 135 11.1.1 Definiţi integrlei duble........................ 135 11.1.2 Sume Drboux. Criteriu de integrbilitte.............. 136 11.1.3 Reducere integrlei duble l integrle simple iterte........ 137 11.1.4 Formul lui Green........................... 139 11.1.5 Schimbre de vribile în integrl dublă.............. 141 11.2 Integrl de suprfţă............................. 142 11.2.1 Noţiuni de teori suprfeţelor..................... 142 11.2.2 Ari suprfeţelor............................ 144 11.2.3 Integrl de suprfţă de primul tip................. 144 11.2.4 Integrl de suprfţă de tipul l doile............... 146 11.2.5 Formul lui Stokes........................... 148

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 5 11.3 Integrl triplă................................. 150 11.3.1 Definiţi integrlei triple........................ 150 11.3.2 Sume Drboux. Criteriu de integrbilitte.............. 151 11.3.3 Reducere integrlei triple l integrle iterte............ 152 11.3.4 Formul lui Guss-Ostrogrdski.................... 153 11.3.5 Schimbre de vribile în integrl triplă.............. 155 12 ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE 157 12.1 Ecuţii diferenţile de ordinul I........................ 157 12.1.1 Ecuţii diferenţile. Soluţii...................... 157 12.1.2 Interpretre geometrică unei ecuţii diferenţile de ordinul întâi 158 12.1.3 Condiţii iniţile. Problem lui Cuchy................ 159 12.1.4 Ecuţii diferenţile explicite, integrbile prin metode elementre. 159 12.1.5 Alte ecuţii de ordinul întâi, integrbile prin metode elementre. 166 12.1.6 Teorem de existenţă şi unicitte................... 170 12.2 Ecuţii diferenţile de ordin superior..................... 173 12.2.1 Soluţi generlă. Soluţii prticulre................. 173 12.2.2 Integrle intermedire. Integrle prime................ 174 12.2.3 Condiţii iniţile. Problem lui Cuchy................ 175 12.2.4 Ecuţii de ordin superior integrbile prin cudrturi........ 175 12.2.5 Ecuţii căror li se pote micşor ordinul.............. 178 13 ECUAŢII ŞI SISTEME DIFERENŢIALE LINIARE 181 13.1 Sisteme diferenţile linire de ordinul I.................... 181 13.2 Sisteme diferenţile linire omogene..................... 183 13.3 Sisteme diferenţile linire neomogene.................... 185 13.4 Sisteme diferenţile linire cu coeficienţi constnţi............. 186 13.5 Ecuţii diferenţile linire de ordinul n.................... 189 13.6 Ecuţii de ordinul n cu coeficienţi constnţi................. 192 13.6.1 Ecuţi crcteristică re rădăcini distincte............. 193 13.6.2 Ecuţi crcteristică re rădăcini multiple............. 193 13.7 Ecuţi lui Euler................................ 196

Cpitolul 1 ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 1.1 Introducere 1.1.1 Elemente de teori teori mulţimilor Noţiune de mulţime este o noţiune primră. O muţime X este preciztă fie prin indicre elementelor sle, X = {x 1, x 2,..., x n }, fie prin indicre unei proprietăţi P ce crcterizeză elementele mulţimii, X = {x x re propriette P }. Dcă x este element l mulţimii X scriem x X, dcă x nu este element l mulţimii X scriem x / X. Mulţimile X şi Y sunt egle dcă sunt formte din celeşi elemente. Deci X = Y pentru x X x Y. A este submulţime su prte mulţimii X şi se noteză A X su X A, dcă x A = x X. Evident că X = Y d.d. X Y şi Y X. Mulţime cre nu conţine nici un element se numeşte mulţime vidă, se noteză cu şi este submulţime oricărei mulţimi X. Mulţime părţilor unei mulţimi X se noteză P(X). Fie A şi B două mulţimi orecre. Mulţime A B = {x x A su x B} se numeşte reuniune mulţimilor A şi B, ir mulţime A B = {x x A şi x B} se numeşte intersecţi mulţimilor A şi B. Mulţimile A şi B se numesc disjuncte dcă A B =. Mulţime A \ B = {x x A şi x / B} se numeşte diferenţ mulţimilor A şi B, în cestă ordine. Dcă B A, diferenţ A \ B se noteză C A B şi se numeşte complementr mulţimii B reltivă l mulţime A. 6

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 7 Prin produs crtezin l mulţinilor A 1, A 2,..., A n, în cestă ordine, înţelegem mulţime sistemelor ordonte de n elemente (n-uple) ( 1, 2,..., n ) cu i A i, i = 1, n, dică A 1 A 2 A n = {( 1, 2,..., n ), i A i, i = 1, n}. Elementele ( 1, 2,..., n ) şi (b 1, b 2,..., b n ) sunt egle dcă i = b i, i = 1, n. Dcă A i = A, i = 1, n, se foloseşte notţi A A A = A n. 1.1.2 Noţiune de plicţie Fie X şi Y două mulţimi nevide. Se numeşte plicţie f mulţimii X în mulţime Y o corespondenţă prin cre fiecărui element x X i se sociză în mod unic un element y Y. Orice plicţie f : X Y trebuie concepută c nsmblul formt din trei elemente: mulţime X numită mulţime de definiţie, mulţime Y numită mulţime în cre f i vlori şi lege de corespondenţă f. Dcă y Y corespunde elementului x X, tunci notăm y = f(x) su x f(x). In cest cz y se numeşte imgine lui x prin f su vlore plicţiei f în x, ir x se numeşte contrimgine su imgine inversă lui y prin f. Pentru noţiune de plicţie se mi utilizeză denumirile de funcţie, trnsformre, opertor, su funcţionlă. Mulţime plicţiilor definite pe X cu vlori în Y se noteză cu F(X, Y ). Aplicţiile f 1, f 2 F(X, Y ) se numesc egle, f 1 = f 2, dcă f 1 (x) = f 2 (x), x X. Fie plicţi f : X Y şi A X, B Y. Mulţime f(a) = {y = f(x) x A} = {y Y x X, y = f(x)} Y se numeşte imgine mulţimii A prin f, ir mulţime f 1 (B) = {x X f(x) B} X se numeşte contrimgine mulţimii B prin f. Dcă B = {y} se foloseşte notţi f 1 (y) = f 1 ({y}), dică f 1 (y) = {x X f(x) = y} X. Mulţime G f = {(x, f(x)) x X} X Y se numeşte grficul plicţiei f : X Y. Aplicţi f : X Y se numeşte injectivă dcă x 1, x 2 X, x 1 x 2 = f(x 1 ) = f(x 2 ), cre este echivlentă cu implicţi f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2. Aplicţi f : X Y este injectivă dcă pentru orice y Y, mulţime f 1 (y) conţine cel mult un element. Aplicţi f : X Y se numeşte surjectivă su plicţie lui X pe Y dcă f(x) = Y, dică dcă oricre r fi y Y, există x X.î. f(x) = y. Aplicţi f : X Y se numeşte bijectivă dcă este injectivă şi surjectivă. Fie plicţiile f : X Y şi g : Y Z. Aplicţi g f : X Z definită prin (g f)(x) = g(f(x)), pentru orice x X, se numeşte compunere su produsul plicţiilor f şi g, în cestă ordine.

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 8 Dcă f : X Y, g : Y Z şi h : Z U, tunci h (g f) = (h g) f, deci compunere plicţiilor este socitivă. Aplicţi 1 X : X X (su i : X X) definită prin 1 X (x) = x, pentru orice x X, se numeşte plicţi identică mulţimii X. Aplicţi f : X Y se numeşte inversbilă dcă există plicţi f 1 : Y X, numită invers lui f,.î. Teorem 1.1 O plicţie inversbilă re inversă unică. f 1 f = 1 X, f f 1 = 1 Y. (1.1) Să presupunem că r exist două plicţii f 1 1, f 1 2 : Y X cre stisfc condiţiile (1.1). Atunci f 1 1 = 1 X f 1 2 = (f 1 1 f) f 1 2 = f 1 1 (f f 1 2 ) = f 1 1 1 Y = f 1 1. Teorem 1.2 Aplicţi f : X Y este inversbilă d.d. este bijectivă. Necesitte. Dcă f este inversbilă şi f 1 este invers s, re loc (1.1). Cu (1.1) 1 vem că x 1, x 2 X : f(x 1 ) = f(x 2 ) (f 1 f)(x 1 ) = (f 1 f)(x 2 ) x 1 = x 2. Deci f este injectivă. Aplicţi f este şi surjectivă deorece, din (1.1) 2 vem y = 1 Y (y) = (f f 1 )(y) = f(f 1 (y)), y Y, de unde rezultă că orice y Y este imgine unui element x X. Acest element este x = f 1 (y). Suficienţ. Fie f : X Y o plicţie bijectivă. Definim plicţi f 1 : Y X prin condiţi x = f 1 (y) y = f(x), x X, y Y. (1.2) Aplicţi f 1 este bine definită deorece f este injectivă şi surjectivă. In plus, vem f 1 (f(x)) = x, x X, y Y, dică plicţi definită prin (1.2) stisfce (1.1), şi ţinând sem de Teorem 1.1, rezultă că cest este invers plicţei f. O plicţie f : N X se numeşte şir de elemente din X. Se noteză x n = f(n) şi se numeşte termen generl l şirului. Un şir este bine determint de termenul său generl. Vom not un şir prin (x n ) n N su simplu (x n ).

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 9 1.2 Definiţi spţiului metric Fie X o mulţime nevidă. Teorem 1.3 Aplicţi d : X X R se numeşte metrică su distnţă pe X dcă stisfce următorele proprietăţi, numite xiomele metricii: 1 o. d(x, y) 0, x, y X şi d(x, y) = 0 d.d. x = y, 2 o. d(x, y) = d(y, x), x, y X, 3 o. d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z X. O mulţime X pe cre s- definit o metrică se numeşte spţiu metric, (X, d). Elementele unui spţiu metric se numesc puncte. Exemplul 1.1 Aplicţi d : R R R definită prin d(x, y) = x y, x, y R este o metrică pe R. Deci (R, d) este un spţiu metric. Exemplul 1.2 Mulţime Q numerelor rţionle împreună cu plicţi d(x, y) = x y este un spţiu metric. Exemplul 1.3 Pe mulţime C numerelor complexe, plicţi d(z 1, z 2 ) = z 1 z 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2, z k = x k + iy k C este o distnţă. Deci (C, d) este un spţiu metric. Exemplul 1.4 Mulţime punctelor spţiului fizic înzestrtă cu plicţi cre sociză fiecărei perechi P şi Q de puncte distnţ d(p, Q) dintre cele două puncte este o metrică. Dcă pe X se definesc metricele d 1 şi d 2, tunci (X, d 1 ) şi (X, d 2 ) sunt spţii metrice distincte. Metricele d 1 şi d 2 se numesc echivlente dcă există, b R, 0 < b.î. d 1 (x, y) d 2 (x, y) bd 1 (x, y), x, y X. 1.3 Mulţimi de puncte dintr-un spţiu metric Fie (X, d) un spţiu metric, x 0 X şi ε > 0. Se numeşte sferă deschisă cu centrul în x 0 şi de rză ε, mulţime S(x 0, ε) = {x X d(x, x 0 ) < ε}. Se numeşte sferă închisă cu centrul în x 0 şi de rză ε, mulţime Exemplul 1.5 In (R, d), sfer deschisă este intervlul deschis (x 0 ε, x 0 + ε). S(x 0, ε) = {x X d(x, x 0 ) ε}. S(x 0, ε) = {x R d(x, x 0 ) = x x 0 < ε}

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 10 Exemplul 1.6 In spţiul metric l punctelor din pln unde d(p, Q) este distnţ dintre punctele P şi Q le plnului, sfer deschisă S(P 0, ε) este mulţime punctelor din interiorul cercului cu centrul în P 0 şi de rză ε, ir sfer închisă S(x 0, ε) este formtă din mulţime punctelor din S(x 0, ε) l cre se dugă punctele de pe cercul cu centrul în P 0 şi de rză ε. Exemplul 1.7 In spţiul fizic, S(x 0, ε) este formtă din mulţime punctelor situte în interiorul sferei cu centrul în P 0 şi rză ε. Denumire generlă de sferă pentru mulţime S(x 0, ε) dintr-un spţiu metric îşi re origine în cest exemplu. Se numeşte vecinătte punctului x 0 X orice mulţime V X cre conţine o sferă deschisă cu centrul în x 0. Prin urmre, V este vecinătte lui x 0 dcă există ε > 0.î. S(x 0, ε) V. Orice sferă deschisă S(x 0, ε) este vecinătte lui x 0. O mulţime A X este mărginită dcă există o sferă închisă cre conţine pe A, dică cee ce este echivlent cu x 0 X, M > 0 pentru cre A S(x 0, M), x 0 X, M > 0 pentru cre d(x, x 0 ) M, x A. Punctul x A se numeşte punct interior l mulţimii A dcă există o vecinătte V lui x inclusă în A, V A. Ţinând sem de definiţi vecinătăţii unui punct, rezultă că x este punct interior l mulţimii A dcă există ε > 0.î. S(x 0, ε) A. Mulţime punctelor interiore le mulţimii A se numeşte interiorul lui A şi se noteză cu Int A. O mulţime formtă numi din puncte interiore se numeşte mulţime deschisă. Deci A este deschisă dcă A = Int A. Sferele deschise sunt mulţimi deschise. O mulţime deschisă este vecinătte pentru orice punct l ei. Intreg spţiul X este o mulţime deschisă. Un punct interior complementrei mulţimii A se numeşte punct exterior lui A ir Int CA se numeşte exteriorul lui A. Punctul x X se numeşte punct derent l mulţimii A dcă orice vecinătte V s conţine cel puţin un punct din A, dică V A =. Orice punct x A este punct derent l mulţimii A. Un punct x derent l lui A pote su nu să prţină mulţimii A. Mulţime punctelor derente le lui A se numeşte derenţ su închidere lui A şi se noteză cu A. O mulţime cre îşi conţine tote punctele derente se numeşte mulţime închisă. Deci A este o mulţime închisă dcă A = A. Sferele închise sunt mulţimi închise. Intreg spţiul este o mulţime închisă. Punctul x X se numeşte punct de cumulre l mulţimii A dcă orice vecinătte V s conţine cel puţin un punct din A, diferit de x, dică V (A \ {x}). O mulţime formtă din puncte de cumulre se numeşte mulţime perfectă.

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 11 Punctul x A se numeşte punct izolt l mulţimii A dcă nu este punct de cumulre l mulţimii A, dică dcă există o vecinătte V s.î. V (A \ {x}) =. O mulţime formtă numi din puncte izolte se numeşte mulţime discretă. Orice punct de cumulre este punct derent. Orice punct derent l unei mulţimi A cre nu prţine lui A este punct de cumulre l lui A. Orice vecinătte unui punct de cumulre l mulţimii A conţine o infinitte de puncte din A. De ici rezultă că o mulţime cre re un punct de cumulre este o mulţime infinită şi deci mulţimile finite nu u puncte de cumulre. Nu tote mulţimile infinite u însă puncte de cumulre. De exemplu, mulţime N numerelor nturle nu re puncte de cumulre. Teorem 1.4 Mulţime A este închisă d.d. îşi conţine tote punctele de cumulre. Dcă A este închisă îşi conţine punctele derente. Cum orice punct de cumulre este punct derent, rezultă că A îşi conţine tote punctele de cumulre. Reciproc, dcă A îşi conţine tote punctele de cumulre, tunci orice punct derent este în A. Dcă r exist un punct derent l lui A cre r fi din A, el r fi punct de cumulre pentru A şi deci A nu şi-r conţine tote punctele de cumulre. Contrdicţie. Deci A este închisă. Punctul x A se numeşte punct frontieră l mulţimii A dcă orice vecinătte V s conţine tât puncte din A cât şi puncte din complementr lui A. Un punct frontieră este punct derent tât pentru mulţime A cât şi pentru CA. Mulţime punctelor frontieră le mulţimii A se numeşte frontier lui A şi se noteză cu Fr A su A. 1.3.1 Spţii linire normte Fie V un spţiu linir peste corpul K (R su C). Definiţi 1.1 Aplicţi : V R se numeşte normă pe V dcă stisfce următorele xiome: 1 o. x 0, x V şi x = 0 d.d. x = 0, 2 o. αx = α x, α K, x V, 3 o. x + y x + y, x, y V. Numărul rel nenegtiv x se numeşte norm vectorului x. Un spţiu linir pe cre s- definit o nomă se numeşte spţiu linir normt. Dcă (V, ) este un spţiu normt, plicţi d : V V R, d(x, y) = x y, x, y V, defineşte o metrică pe V, numită metric indusă de normă. Fie V un spţiu linir rel. O plicţie lui V V în R se numeşte produs sclr pe V dcă stisfce următorele xiome: 1. x x 0, x V şi x x = 0 d.d. x = 0, 2. x y = y x, x, y V, 3. (αx) y = α(x y), α R, x, y V,

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 12 4. (x + y) z = x z + y z, x, y, z V. Numărul rel x y se numeşte produsul sclr l vectorilor x şi y. Se noteză cu x 2 = x x. Un spţiu linir rel pe cre s- definit un produs sclr se numeşte spţiu euclidin su spţiu prehilbertin. Se noteză cu E. Teorem 1.5 (Ineglitte lui Schwrz-Cuchy) Pentru orice x, y E vem x y x 2 y 2. (1.3) Dcă x = 0 su y = 0, cum x 0 = 0, 0 y = 0, (1.3) este devărtă. x, y E, x 0, oricre r fi λ R vem Pentru (λx + y) 2 = x 2 λ 2 + 2(x y)λ + y 2 0, (1.4) cre re loc d.d. (x y) 2 x 2 y 2 0, echivlentă cu (1.3). Teorem 1.6 (Ineglitte lui Minkowski) Pentru orice x, y E vem (x + y)2 x 2 + y 2. (1.5) Folosind ineglitte (1.3) putem scrie (x + y) 2 = x 2 + 2(x y) + y 2 x 2 + 2 x 2 y 2 + y 2 = ( x 2 + y 2 ) 2, de unde obţinem (1.5). Aplicţi : E R, definită prin x = x 2, x E (1.6) este o normă pe E. E se numeşte norm indusă de produsul sclr su norm euclidină. Un spţiu euclidin este deci un spţiu linir normt, cu norm indusă de produsul sclr. Norm euclidină pe E induce metric d : E E R, d(x, y) = x y = (x y) 2, (1.7) cre se numeşte metric euclidină. Deci un spţiu euclidin este un spţiu metric, cu metric euclidină. Cu notţi (1.6), ineglităţile lui Cuchy şi Minkowski se scriu x y x y, x, y E, x + y x + y, x, y E.

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 13 1.4 Mulţime numerelor rele In rport cu operţiile de dunre şi înmulţire R formeză un corp comuttiv. In rport cu celeşi două operţii R formeză un spţiu linir rel. Mulţime R pote fi orgniztă c spţiu metric. Fie x un număr rel. Se numeşte vlore bsolută su modul l numărului rel x numărul x definit prin x = x, x > 0, 0, x = 0, x, x < 0. Funcţi modul re următorele proprietăţi: 1 o. x 0, x R şi x = 0 d.d. x = 0, 2 o. x + y x + y, x, y R, 3 o. xy = x y, x, y R, 4 o. x < ε d.d. ε < x < ε. Din 1 o, 2 o şi 3 o rezultă că funcţi modul este o normă pe spţiul linir rel R. Deci R este un spţiu linir normt. Aplicţi d : R R R definită prin d(x, y) = x y, x, y R, determină pe R o metrică. In rport cu cestă metrică R formeză un spţiu metric. 1.4.1 Mulţimi mărginite de numere rele Fie A o mulţime nevidă de numere rele. Spunem că A este mărginită superior su mjortă dcă există un număr rel b.î. x b, pentru orice x A. Numărul b se numeşte mjornt l mulţimii A. Noţiune de mulţime mjortă se pote defini şi pentru mulţimi de numere rţionle. Cee ce deosebeşte mulţime R de mulţime Q numerelor rţionle este xiom lui Cntor mrginii superiore, cre stă l bz obţinerii tuturor rezulttelor profunde le nlizei mtemtice şi pe cre o enunţăm mi jos. Axiom lui Cntor. Orice mulţime nevidă mjortă A R dmite un cel mi mic mjornt. Cel mi mic mjornt l mulţimii mjorte A se numeşte mrgine superioră lui A su supremum de A şi se noteză sup A. Exemplul 1.8 Să considerăm mulţime A = {x Q x 2 3}. Mulţime A, c submulţime lui R, este mjortă, de exemplu de 2, dr şi de proximţiile succesive prin dos le lui 3: 1, 8, 1, 74, 1, 733 etc. precum şi de 3. Conform xiomei lui Cntor A dmite un cel mi mic mjornt. Se pote răt că sup A = 3. C submulţime lui Q, re numerele de mi sus c mjornţi, cu excepţi lui 3 cre nu prţine lui Q. Deci e nu dmite un cel mi mic mjornt număr rţionl. Numărul rel M este mrgine superioră mulţimii A, M = sup A, dcă M este mjornt l mulţimii A şi este cel mi mic mjornt. De unde teorem cre urmeză.

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 14 Teorem 1.7 (de crcterizre mrginii superiore) Numărul M = sup A d.d. 1 o. x M, x A (M este mjornt l mulţimii A), 2 o. ε > 0, x ε A.î. x ε > M ε (orice număr mi mic decât M nu este mjornt l lui A). Spunem că mulţime A de numere rele este mărginită inferior su minortă dcă există un număr rel.î. x, pentru orice x A. Numărul se numeşte minornt l mulţimii A. Folosind xiom lui Cntor se pote stbili următore Teorem 1.8 Orice mulţime nevidă minortă A R dmite un cel mi mre minornt. Cel mi mre minornt l mulţimii minorte A se numeşte mrgine inferioră lui A su infimum de A şi se noteză inf A. Numărul rel m este mrgine inferioră mulţimii A, m = inf A, dcă m este minornt l mulţimii A şi este cel mi mre minornt. De unde teorem: Teorem 1.9 (de crcterizre mrginii inferiore) Numărul m = inf A d.d. 1 o. m x, x A (m este minornt l mulţimii A), 2 o. ε > 0, x ε A.î. x ε < m + ε (orice număr mi mre decât m nu este minornt l lui A). O mulţime A R se numeşte mărginită dcă este mjortă şi minortă, dică dcă există numerele rele şi b.î. x b, pentru orice x A. Dcă A este mărginită tunci există sup A şi inf A şi inf A x sup A, pentru orice x A. Mulţime A constă dintr-un singur element d.d. inf A = sup A. Un mjornt l mulţimii A cre prţine lui A se numeşte cel mi mre element l mulţimii A. Un minornt l mulţimii A cre prţine lui A se numeşte cel mi mic element l mulţimii A. Aceste elemente, dcă există, sunt unice. Dcă sup A A tunci este cel mi mre element l mulţimii A. Dcă inf A A tunci este cel mi mic element l mulţimii A. Se pote întâmpl c o mulţime A să nu ibă cel mi mre su/şi cel mi mic element. Spre exemplu mulţime A{1/n, n N} nu re cel mi mic element deorece inf A = 0 / A. O mulţime A R nemjortă su/şi neminortă se numeşte mulţime nemărginită. Teorem 1.10 Dcă A R tunci: 1 o. A este mărginită d.d. există M > 0.î. x M, x A. 2 o. A este nemărginită d.d. M > 0 există un x M A.î. x M > M. Prezentre unitră unor rezultte fundmentle le nlizei mtemtice impune introducere simbolurilor şi +, numite minus infinit şi respectiv, plus infinit. Mulţime R = R {, + } se numeşte drept relă încheită. Operţiile lgebrice definite pe R se extind numi prţil l R. Următorele operţii nu sunt definite pe R:, 0, 0 0,, 00, 0, 1. Aceste se numesc operţii fără sens su czuri de nedeterminre.

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 15 1.4.2 Intervle şi vecinătăţi Fie, b R, < b. Numim intervle mărginite mulţimile: 1) (, b) = {x R < x < b} - intervl deschis; 2) [, b) = {x R x < b} - intervl închis l stâng, deschis l drept; 3) (, b] = {x R x < b} - intervl deschis l stâng, închis l drept; 4) [, b] = {x R x b} - intervl închis su segment. Numim intervle nemărginite mulţimile: 1) (, ) = {x R x > } - semidreptă deschisă nemărginită l drept; 2) [, ) = {x R x } - semidreptă închisă, nemărginită l drept; 3) (, b) = {x R x < b} - semidreptă deschisă nemărginită l stâng; 4) (, b] = {x R x b} - semidreptă închisă, nemărginită l stâng. Drept relă este de semene intervl nemărginit. Fie x 0 R. Se numeşte vecinătte lui x 0 orice mulţime V R cre conţine un intervl deschis l cre prţine punctul x 0, x 0 (, b) V. In prticulr, orice intervl deschis (, b) cre conţine pe x 0 este vecinătte lui x 0. O vecinătte lui x 0 de form (x 0 ε, x 0 + ε), cu ε > 0, se numeşte vecinătte simetrică lui x 0. Orice vecinătte lui x 0 conţine o vecinătte simetrică. Se numeşte vecinătte lui + orice mulţime V de numere rele cre conţine o semidreptă (, + ). Se numeşte vecinătte lui orice mulţime V de numere rele cre conţine o semidreptă (, b). 1.5 Spţiul R n Se noteză cu R n produsul crtezin l mulţimii R cu e însăşi de n ori, dică R n = R R R = {x = (x 1, x 2,..., x n ), x i R, i = 1, n}. Mulţime R n pote fi orgniztă c spţiu linir rel. Două elemente x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) din R n sunt egle, x = y, d.d. x i = y i, i = 1, n. Definim operţi de dunre în R n prin x, y R n, x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) R n şi operţi de înmulţire cu sclri prin α R, x R n, αx = (αx 1, αx 2,..., αx n ) R n. Elementul nul din R n este 0 = (0, 0,..., 0), ir opusul lui x = (x 1, x 2,..., x n ) este elementul x = ( x 1, x 2,..., x n ). Se verifică uşor restul xiomelor. Deci R n este un spţiu linir rel numit spţiul linir rel n-dimensionl, elementele sle x = (x 1, x 2,..., x n ) le vom numi vectori. Numerele x 1, x 2,..., x n se numesc componentele su coordontele vectorului x. Aplicţi n x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n = x k y k k=1

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 16 este un produs sclr pe R n şi deci R n este un spţiu euclidin numit spţiul euclidil n-dimensionl. După (1.6), norm indusă de produsul sclr v fi dtă de x = x 2 = n x 2 k. (1.8) k=1 Deci R n este un spţiu linir normt. Ineglităţile lui Cuchy şi Minkowski se trnscriu n n x k y k x 2 k n yk 2, k=1 k=1 Se verifică uşor că plicţiile k=1 n n (x k + y k ) 2 x 2 k + k=1 k=1 n yk 2. k=1 x 1 = mx{ x 1, x 2,..., x n }, x 2 = x 1 + x 2 + + x n, sunt de semene norme pe R n, echivlente cu norm (1.8). După (1.7), metric euclidină pe R n v fi dtă de n d(x, y) = x y = k=1 (x k y k ) 2. In concluzie, R n este un spţiu metric. Sfer deschisă cu centrul în x 0 = (x 0 1, x 0 2,..., xn) 0 şi rză ε este mulţime S(x 0, ε) = {x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, n (x k xk 0)2 < ε}. Aplicţiile δ, : R n R n R, δ(x, y) = x k y k, (x, y) = mx x k y k k=1 k=1,n sunt metrici pe R n echivlente cu metric euclidină. 1.6 Funcţii cu vlori în R m Fie E o mulţime nevidă orecre. O plicţie mulţimii E în R, f : E R, se numeşte funcţie relă, ir o plicţie mulţimii E în R m, m 2, f : E R m, se numeşte funcţie vectorilă. Prin funcţi vectorilă f, oricărui element x E i se tşeză în mod unic elementul y = (y 1, y 2,..., y m ) R m, y = f(x). n k=1

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 17 Fie f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f m (x)), pentru orice x E. Rezultă că funcţi vectorilă f defineşte în mod unic m funcţii f k : E R, k = 1, m, numite funcţii componente le funcţiei f. Funcţi f : R R, în cre E R, se numeşte funcţie relă de o vribilă relă. Numărul rel x E re c imgine prin f numărul rel y = f(x). Funcţi f : E R, în cre E R n, n 2, se numeşte funcţie relă de o vribilă vectorilă su funcţie relă de n vribile rele. Vectorul x = (x 1, x 2,..., x n ) R n re c imgine prin f numărul rel y = f(x) = f(x 1, x 2,..., x n ). Funcţi f : E R m, în cre E R se numeşte funcţie vectorilă de o vribilă relă. Numărul rel x E re c imgine prin f vectorul y = f(x) R m. Funcţiile componente sunt m funcţii rele de o vribilă relă y k = f k (x), k = 1, m. Funcţi f : E R m, în cre E R n, n 2, se numeşte funcţie vectorilă de o vribilă vectorilă su funcţie vectorilă de n vribile rele. Vectorul x = (x 1, x 2,..., x n ) R n re c imgine vectorul y = f(x) R m. Funcţiile componente sunt m funcţii rele de o vribilă vectorilă su de n vribile rele y i = f i (x) = f i (x 1, x 2,..., x n ), i = 1, m. Numim grfic l funcţiei f mulţime G f = {(x, y) R n R m x E R n, y = f(x) R m }. Numim curbă în R n mulţime Γ = {x R n x = f(t), t I R}, în cre I este un intervl l xei rele, ir funcţi f stisfce numite condiţii. Ecuţi x = f(t) se numeşte ecuţi vectorilă curbei. E implică eglităţile x i = f i (t), i = 1, n, numite ecuţiile prmetrice le curbei. Vribil t se numeşte prmetru pe curb Γ. Fie E R n, funcţi f : E R m, F = f(e) R m şi funcţi g : F R p. Funcţi g f : E R p definită prin z = (g f)(x) = g(f(x)), pentru orice x E, este compunere su produsul funcţiilor f şi g, şi re componentele z j = g j (f i (x i,..., x n ),..., f m (x i,..., x n )), j = 1, p. Fie E, F R n. O plicţie biunivocă f : E F se numeşte trnsformre punctulă mulţimii E pe mulţime F. Pentru fiecre x E, y = f(x) F. Dcă x = (x 1,..., x n ) şi y = (y 1,..., y n ), eglitte vectorilă y = f(x) este echivlentă cu eglităţile y i = f i (x 1, x 2,..., x n ), i = 1, n, numite ecuţiile trnsformării. Deorece f este biunivocă rezultă că f(e) = F. Aplicţi f 1 : F E se numeşte trnsformre punctulă inversă trnsformării f, dcă f 1 (y) = x d.d. f(x) = y. Se noteză cu F(E, R m ) mulţime funcţiilor definite pe E cu vlori în R m. In rport cu operţiile de dunre şi înmulţire funcţiilor, F(E, R m ) formeză un spţiu linir rel. Aplicţi definită pe F(E, R m ) cu vlori în R prin f = sup x E f(x), pentru orice f F(E, R m ), este o normă pe F(E, R m ), numită norm convergenţei uniforme. Deci F(E, R m ) este un spţiu linir normt. Notăm cu ρ metric indusă de normă: ρ = f g = sup f(x) g(x), f, g F(E, R m ), x E numită metric convergenţei uniforme. Deci F(E, R m ) este un spţiu metric.

Cpitolul 2 ŞIRURI ŞI SERII 2.1 Şiruri de numere rele Un şir de numere rele este o funcţie f : N R. Se noteză cu x n = f(n) şi se numeşte termenul de rng n l şirului. Vom not un şir prin (x n ) n N su (x n ). Definiţi 2.1 Spunem că şirul (x n ) re limit x R şi scriem lim x n = x su x n x, n dcă oricre r fi V o vecinătte lui x, există numărul nturl N = N(V ).î. pentru orice n > N : x n V. Acestă definiţie pote fi formultă şi stfel: Definiţi 2.2 Şirul x n re limit x R dcă în fr oricărei vecinătăţi V lui x se flă cel mult un număr finit de termeni i şirului, număr ce depinde de vecinătte V. Deorece şirurile de numere rele u fost studite în liceu, în cele ce urmeză vom formul principlele rezultte fără relu demonstrţiile. Teorem 2.1 Fie (x n ) un şir de numere rele. 1 o. Dcă (x n ) re limită tunci limit s este unică. 2 o. Dcă (x n ) re limit x tunci orice sub şir l său re limit x. 3 o. Dcă într-un şir cu limită schimbăm ordine termenilor, dăugăm su suprimăm un număr finit de termeni, obţinem un şir vând ceeşi limită. In consecinţă, dcă (x n ) re un subşir fără limită su dcă (x n ) re două subşiruri cu limite diferite, tunci (x n ) nu re limită. Şirurile fără limită se numesc oscilnte. Şirurile cu limită finită se numesc convergente. Şirurile cre nu sunt convergente se numesc divergente. Deci, un şir este divergent dcă nu re limită su re limită dr cest este su +. Teorem 2.2 (de crcerizre limitei) Fie (x n ) un şir de numere rele. 1 0. Şirul (x n ) este convergent şi re limit x R d.d. oricre r fi ε > 0, există un N(ε) N.î. d(x, x n ) = x n x < ε, pentru orice n > N. 18

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 19 FINITĂ CONVERGENTE ŞIRURI CU LIMITĂ INFINITĂ FĂRĂ LIMITĂ (OSCILANTE) DIVERGENTE 2 0. Şirul (x n ) re limit d.d. oricre r fi ε > 0, există un N(ε) N.î. x n < ε, pentru orice n > N. 3 0. Şirul (x n ) re limit + d.d. oricre r fi ε > 0, există un N(ε) N.î. x n > ε, pentru orice n > N. Teorem 2.3 (Operţii cu şiruri cre u limită) 1 0. Dcă şirurile (x n ) şi (y n ) u limită şi sum limitelor re sens, tunci şirul sumă (x n + y n ) re limită şi lim (x n + y n ) = lim x n + lim y n. n n n 2 0. Dcă şirurile (x n ) şi (y n ) u limită şi produsul limitelor re sens, tunci şirul produs (x n y n ) re limită şi lim (x ny n ) = ( lim x n)( lim y n). n n n In prticulr, dcă (y n ) este şirul constnt, y n = λ 0, pentru orice n N, tunci lim (λx n) = λ( lim x n). n n 3 0. Dcă şirurile (x n ) şi (y n ) u limită, y n 0, şi câtul limitelor re sens, tunci şirul cât (x n /y n ) re limită şi x lim x n n n lim = n y n lim y. n n 4 0. Dcă şirurile ( n ) şi (x n ) u limită, n > 0, n, x n x şi x re sens, tunci şirul ( xn n ) re limită şi lim n xn n = x. Teorem 2.4 (Criterii de existenţă limitei) Fie (x n ) un şir de numere rele. 1 0. (Criteriul mjorării) dcă pentru un x R există un şir (α n ) de numere nenegtive, α n 0,.î. d(x, x n ) = x n x α n, pentru orice n N, tunci x n x. 2 0. Dcă există şirul (y n ), y n,.î. x n y n, pentru orice n N, tunci x n. 3 0. Dcă există şirul (y n ), y n +,.î. x n y n, pentru orice n N, tunci x n +.

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 20 Şirul de numere rele (x n ) se numeşte mărginit dcă mulţime {x n n N} vlorilor sle este mărginită. Deci (x n ) este mărginit dcă există M > 0.î. x n M, pentru orice n N. Şirul (x n ) se numeşte nemărginit dcă mulţime {x n n N} este nemărginită, dică dcă oricre r fi M > 0 există un n M N,.î. x nm > M. Teorem 2.5 (Proprietăţi le şirurilor convergente) 1 0. Şirul x n x d.d. şirul d(x, x n ) = x n x 0. 2 0. Dcă şirul x n x, tunci şirul x n x. Reciproc nu este devărtă decât în czul x = 0. 3 0. Orice şir convergent este mărginit. Reciproc nu este devărtă. Există şiruri mărginite cre nu sunt convergente. Un şir nemărginit este divergent. 4 0. Dcă x n 0 şi (y n ) este mărginit, tunci x n y n 0. 5 0. Orice subşir l unui şir convergent este convergent şi re ceeşi limită. 6 0. Dcă (x n ) şi (y n ) sunt şiruri convergente, x n x şi y n y, ir x n y n, pentru orice n N, tunci x y. 7 0. Dcă şirurile (x n ), (y n ), (z n ) stisfc pentru orice n N condiţi x n y n z n, ir (x n ) şi (z n ) sunt convergente şi u ceeşi limită x, tunci (y n ) este convergent şi re limit x. Şirul de numere rele (x n ) se numeşte crescător dcă x n x n+1, pentru orice n N. Şirul (x n ) se numeşte descrescător dcă x n x n+1, pentru orice n N. Un şir crescător su descrescător se numeşte monoton. Teorem 2.6 (Existenţ limitei unui şir monoton) 1 0. Un şir monoton şi mărginit este convergent. 2 0. Un şir crescător şi nemărginit superior re limit +. 3 0. Un şir descrescător şi nemărginit inferior re limit. Un şir monoton este şir cu limită. Dcă (x n ) este crescător, lim x n = sup{x n n N}, ir dcă (x n ) este descrescător tunci lim x n = inf{x n n N}. Teorem 2.7 (Lem intervlelor închise, Cntor) Dcă (I n ), I n = [ n, b n ], este un şir de intervle închise de numere rele cre stisfc condiţi I n+1 I n, pentru orice n N, tunci intersecţi lor este nevidă. Dcă, în plus, lim (b n n ) = 0, tunci n intersecţi constă dintr-un singur punct. Teorem 2.8 (Lem lui Cesro) Un şir mărginit de numere rele conţine un subşir convergent. Şirul de numere rele (x n ) se numeşte şir fundmentl su şir Cuchy dcă ε > 0, N(ε) N pentru cre d(x n, x m ) = x m x n < ε, n, m > N. (2.1) Acestă definiţie este echivlentă cu următore: Şirul de numere rele (x n ) se numeşte sir fundmentl su şir Cuchy dcă ε > 0, N(ε) N pentru cre d(x n, x n+p ) = x n+p x n < ε, n > N, p N. (2.2)

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 21 Teorem 2.9 Orice şir fundmentl este mărginit. Dcă (x n ) este şir fundmentl, din (2.2), pentru ε = 1, rezultă că de unde, pentru n = N + 1, obţinem x m x n < 1 m, n > N = N(1), x n = (x n x N+1 ) + x N+1 x n x N+1 + x N+1 < 1 + x N+1, n N. Fie M = mx{ x 1, x 2,..., x N, 1 + x N+1 } > 0. Atunci x n M, pentru orice n N şi deci (x n ) este mărginit. Teorem 2.10 (Criteriul lui Cuchy) Un şir de numere rele este convergent d.d. este şir Cuchy. Necesitte. Dcă (x n ) este convergent l x, oricre r fi ε > 0, există un N(ε) N.î. x n x < ε/2, pentru orice n > N. De ici rezultă că pentru orice m, n > N putem scrie x m x n x m x + x n x < ε 2 + ε 2 = ε şi deci (x n ) este un şir Cuchy. Suficienţ. Dcă (x n ) este un şir Cuchy, din teorem precedentă rezultă că este mărginit, ir din Lem lui Cesro rezultă că (x n ) conţine un subşir convergent. Fie cest (x nk ) k N şi fie x limit s. Deorece x nk x ε > 0, K(ε) N pentru cre x nk x < ε 2, n k > K. Pe de ltă prte, deorece (x n ) este şir Cuchy ε > 0, N(ε) N pentru cre x n x m < ε, n, m > N. 2 Fie N = mx{n, K}. Pentru n, n k > N putem scrie de unde rezultă x n x nk < ε 2, x n k x < ε 2, x n x x n x nk + x nk x < ε 2 + ε 2 = ε, n > N, deci şirul (x n ) converge l x. 2.2 Şiruri în spţii metrice Fie (X, d) un spţiu metric şi (x n ) un şir de puncte din X. Definiţi 2.3 Spunem că şirul (x n ) converge l x X dcă oricre r fi o vecinătte V lui x, există un N(V ) N.î. pentru orice n > N, x n V.

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 22 Prin urmre, x n x dcă V (x), N(V ) N pentru cre n > N x n V (x). (2.3) Punctul x se numeşte limit şirului (x n ) şi se noteză lim x n = x su x n x. n Acestă definiţie este echivlentă cu următore: Definiţi 2.4 Şirul (x n ) este convergent l x dcă în fr oricărei vecinătăţi punctului x se flă un număr finit de termeni i şirului (x n ). Şirul (x n ) se numeşte divergent dcă nu este convergent. Teorem 2.11 Condiţi necesră şi suficientă c x n x este c ε > 0, N(ε) N pentru cre n > N = d(x, x n ) < ε. (2.4) Dcă x n x, fie, pentru un ε > 0 rbitrr, V (x) = S(x, ε). Din (2.3) rezultă tunci (2.4), deorece x n S(x, ε) este echivlentă cu d(x, x n ) < ε. Reciproc, oricărei vecinătăţi V (x) îi corespunde un ε > 0.î. S(x, ε) V (x). Din (2.4) rezultă tunci că pentru n > N, x n S(x, ε) şi deci x n V (x), dică x n x. Şirul (x n ) se numeşte mărginit dcă mulţime vlorilor sle este mărginită. Teorem 2.12 (Proprietăţi le şirurilor convergente) 1 0. Limit unui şir convergent este unică. 2 0. x n x d.d. d(x, x n ) 0. 3 0. (Criteriul mjorării) Dcă există un x X şi un şir de numere rele (α n ), α n 0,.î. d(x, x n ) α n, pentru orice n > N, tunci x n x. 4 0. Orice subşir l unui şir convergent este convergent. 5 0. Un şir convergent este mărginit. Reciproc nu este devărtă. Şirul (x n ), x n (X, d), se numeşte şir fundmentl su şir Cuchy dcă ε > 0, N(ε) N pentru cre d(x n, x m ) < ε, n, m > N. (2.5) su echivlent: Şirul (x n ) se numeşte şir fundmentl su şir Cuchy dcă ε > 0, N(ε) N pentru cre d(x n, x n+p ) < ε, n > N, p N. (2.6) Teorem 2.13 Orice şir fundmentl este mărginit. Dcă (x n ) este şir fundmentl, din (2.6) pentru ε = 1 rezultă că d(x n, x n+p ) < 1, n N, N = N(1), p = 1, 2,.... In prticulr, pentru n = N, obţinem d(x N, x N+p ) < 1, p = 1, 2,...

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 23 Fie M = mx{d(x N, x 1 ), d(x N, x 2 ),..., d(x N, x N 1 ), 1}. Rezultă tunci că şi deci şirul este mărginit. Reciproc teoremei nu este devărtă. d(x N, x n ) M, n N Teorem 2.14 Orice şir convergent este şir fundmentl. că Dcă x n x, ε > 0, N(ε) N.î. n > N = d(x.x n ) < ε/2. De ici rezultă d(x n, x m ) d(x, x n ) + d(x, x m ) < ε 2 + ε = ε, n, m > N, 2 dică (x n ) este şir Cuchy. Reciproc cestei teoreme nu este devărtă. Există spţii metrice în cre nu orice şir Cuchy este şir convergent. Exemplul 2.1 Fie (Q, d) spţiul metric l numerelor rţionle, în cre d(x, y) = x y, pentru orice x, y Q. Şirul (x n ), x n = (1 + 1/n) n Q, n N, este un şir Cuchy deorece (x n ) considert c şir de numere rele este convergent, x n e. Dr e / Q. Deci, deşi (x n ) este un şir fundmentl de numere din Q, el nu re limită în Q. Un spţiu metric în cre orice şir Cuchy este convergent se numeşte spţiu metric complet. Exemplul 2.2 Din Teorem 2.10 (Criteriul lui Cuchy) rezultă că mulţime R numerelor rele este un spţiu metric complet. Exemplul 2.3 Mulţime Q numerelor rţionle nu este spţiu metric complet. O mulţime A de puncte dintr-un spţiu metric se numeşte compctă dcă orice şir de puncte din A conţine un subşir convergent l un punct din A. Exemplul 2.4 Un intervl mărginit şi închis [, b] de numere rele este o mulţime compctă, conform Lemei lui Cesro. Teorem 2.15 O mulţime A X compctă este mărginită şi închisă. Reciproc cestei teoreme nu este devărtă. Există spţii metrice în cre nu orice mulţime mărgintă şi închisă este compctă. Teorem 2.16 Orice spţiu metric compct este complet. Avem de rătt că într-un spţiu metric compct este devărtă reciproc Teoremei 2.14, dică orice şir fundmentl de puncte dintr-un spţiu metric compct este convergent. Dcă (x n ) este un şir Cuchy de puncte din spţiul metric compct X, (x n ) conţine un subşir convergent. Fie cest (x nk ) k N şi fie x X limit s. Deorece x nk x ε > 0, K(ε) N pentru cre d(x, x nk ) < ε 2, n k > K.

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 24 Pe de ltă prte, deorece (x n ) este şir Cuchy ε > 0, N(ε) N pentru cre d(x n, x m ) < ε, n, m > N. 2 Fie N = mx{n, K}. Pentru n, n k > N putem scrie de unde rezultă d(x n, x nk ) < ε 2, d(x, x n k ) < ε 2, d(x, x n ) d(x, x nk ) + d(x n, x nk ) < ε 2 + ε 2 = ε, n > N, deci şirul (x n ) converge l x. Un spţiu linir normt (V, ) se numeşte spţiu Bnch dcă este spţiu metric complet în rport cu metric indusă de normă. Un spţiu euclidin complet în metric euclidină se numeşte spţiu Hilbert. 2.3 Principiul contrcţiei Definiţi 2.5 Aplicţi ϕ : X X, spţiului metric X pe el însuşi, se numeşte contrcţie lui X dcă există q (0, 1).î. Numărul q se numeşte coeficient de contrcţie. d(ϕ(x), ϕ(y)) q d(x, y), x, y X. (2.7) Definiţi 2.6 Punctul ξ X se numeşte punct fix l plicţiei ϕ : X X dcă ϕ(ξ) = ξ. Deci un punct fix l plicţiei ϕ este o soluţie ecuţiei ϕ(x) = x. Teorem 2.17 (Principiul contrcţiei) O contrcţie unui spţiu metric complet (X, d) re un punct fix şi numi unul. Unicitte. Dcă ξ 1 şi ξ 2 sunt puncte fixe le contrcţiei ϕ, dică ϕ(ξ 1 ) = ξ 1 şi ϕ(ξ 2 ) = ξ 2, tunci 0 d(ξ 1, ξ 2 ) = d(ϕ(ξ 1 ), ϕ(ξ 2 )) q d(ξ 1, ξ 2 ). De ici obţinem că (1 q) d(ξ 1, ξ 2 ) 0, cee ce implică d(ξ 1, ξ 2 ) = 0, echivlent cu ξ 1 = ξ 2. Existenţ. Pornind de l un x 0 X rbitrr, construim şirul x 0, x 1 = ϕ (x 0 ),..., x n = ϕ(x n 1 ),.... Acest şir se numeşte şirul proximţiilor succesive, x 0 se numeşte proximţi de ordinul zero su punctul de strt, ir x n se numeşte proximţi de ordinul n.

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 25 Fie δ = d(x 0, x 1 ). Dcă δ = 0, tunci x 0 = x 1 = ϕ(x 0 ), dică x 0 este punctul fix l plicţiei ϕ şi demonstrţi este încheită. Să presupunem că δ > 0. Atunci, pentru orice n N re loc ineglitte d(x n, x n+1 ) q n δ. Intr-devăr, pentru n = 0 este devărtă. Procedând prin inducţie, găsim că d(x n+1, x n+2 ) = d(ϕ(x n ), ϕ(x n+1 )) q d(x n, x n+1 ) q n+1 δ. Şirul (x n ) este convergent. In devăr, folosind ineglitte triunghiulră şi ineglitte precedentă, pentru p N rbitrr putem scrie succesiv Aşdr d(x n, x n+p ) d(x n, x n+1 ) + d(x n+1, x n+p ) d(x n, x n+1 ) + d(x n+1, x n+2 ) + + d(x n+p 1, x n+p ) δq n (1 + q + q 2 + + q p 1 ) = 1 qn 1 q < δ 1 q qn. d(x n, x n+p ) < δ 1 q qn, n N, n N. (2.8) Deorece q n 0, şirul (x n ) este şir Cuchy. X fiind spţiu metric complet, rezultă că (x n ) este convergent. Fie ξ limit s, dică lim x n = ξ su n lim d(ξ, x n) = 0. n Punctul ξ este punct fix l contrcţiei ϕ. In devăr, din (2.7) rezultă că ϕ este o plicţie continuă, deorece din y x urmeză ϕ(y) ϕ(x). Avem tunci ϕ(ξ) = ϕ( lim n x n) = lim n x n+1 = ξ, deci ϕ(ξ) = ξ. Teorem precedentă se mi numeşte şi teorem de punct fix lui Bnch. Metod de demonstrţie folosită se numeşte metod proximţiilor succesive. E ne permite să proximăm soluţi exctă cu x n. Pentru estimre erorii metodei, să fcem în (2.8), pentru n fixt, p, obţinem d(ξ, x n ) < δ 1 q qn, n N. 2.4 Şiruri în R p Un şir de vectori (x n ) N din R p, x n = (x n 1, x n 2,..., x n p ), pentru orice n N, determină în mod unic şirurile de numere rele (x n k ) n N, k = 1, p. Aceste se numesc şirurile componente le şirului de vectori (x n ).

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 26 Legătur dintre şirul de vectori (x n ) şi şirurile componente (x n k ) n N, k = 1, p, este dtă de teorem următore. Teorem 2.18 Fie (x n ) un şir de vectori din R p. 1 0. Şirul de vectori (x n ) este mărginit d.d. şirurile componente (x n k ) n N, k = 1, p sunt mărginite. 2 0. Şirul de vectori (x n ) converge l x 0 = (x 0 1, x 0 2,..., x 0 p) R p d.d. x n k x0 k, k = 1, p, când n. 3 0. Şirul de vectori (x n ) este şir Cuchy d.d. şirurile (x n k ) n N, k = 1, p sunt şiruri Cuchy. Studiul şirurilor de vectori din R p se reduce l studiul şirurilor componente. Proprietăţile 2 0 şi 3 0 din teorem precedentă rtă că spţiul R p este un spţiu metric complet în metric euclidină, dică un spţiu Hilbert. Teorem 2.19 (Lem lui Cesro) Un şir mărginit din R p conţne un subşir convergent. Teorem 2.20 Mulţime A R p este compctă d.d. este mărginită şi închisă. Mulţime A fiind compctă, după Teorem 2.15 este mărginită şi închisă. Reciproc, fie (x n ) un şir de vectori din A. Mulţime A fiind mărginită, şirl (x n ) este mărginit. Deci, după Lem lui Cesro, conţine un subşir convergent. Limit cestui subşir este în A deorece A este închisă. Prin urmre, orice şir de vectori din A conţine un subşir convergent l un vector din A, dică A este compctă. 2.5 Serii de numere rele 2.5.1 Serii convergente. Proprietăţi generle Fie ( n ) un şir de numere rele şi (s n ) şirul s 1 = 1, s 2 = 1 + 2,..., s n = 1 + 2 + + n,... (2.9) Pereche de şiruri (( n ), (s n )) se numeşte serie de numere rele şi se noteză 1 + 2 + + n + su n su n. (2.10) n=1 Şirul ( n ) se numeşte şirul termenilor seriei, ir şirul (s n ) se numeşte şirul sumelor prţile. Din definiţi precedentă rezultă că seri (2.10) determină în mod unic şirul (s n ) l sumelor prţile. Reciproc, dt şirul (s n ), există o serie cre re c şir l sumelor prţile şirul (s n ). Termenul generl l şirului termenilor cestei serii este n = s n s n 1 şi deci cestă serie este s 1 + (s 2 s 1 ) + + (s n s n 1 ) + (2.11) şi se numeşte seri telescopică şirului (s n ).

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 27 Acestă legătură dintre şiruri şi serii justifică o mre prte definiţiilor cre urmeză. Seri n este convergentă şi re sum s, dcă şirul (s n ) este convergent şi re limit s. In cest cz scriem n n = s = lim k. (2.12) n=1 n k=1 Seri n este divergentă dcă şirul (s n ) este divergent. Dcă s n ± spunem că sum seriei este ±. Dcă (s n ) nu re limită se spune că seri este oscilntă. Din definiţi precedentă şi Teorem 2.2 rezultă Teorem 2.21 Seri n este convergentă l s d.d. ε > 0, N(ε) N pentru cre s n s < ε, n > N. (2.13) Ţinând sem de observţi precedentă, rezultă că un şir (s n ) este convergent şi re limit s d.d. seri telescopică (2.11) este convergentă şi re limit s. Teorem 2.22 (Criteriul generl l lui Cuchy) Seri n este convergentă d.d. ε > 0, N(ε) N pentru cre n+1 + n+2 + + n+p < ε, n > N, p N. (2.14) Dcă (s n ) este şirul sumelor prţile le seriei, tunci pentru orice n, p N putem scrie s n+p s n = n+1 + n+2 + + n+p. Seri n este convergentă d.d. şirul (s n ) este convergent. Dr (s n ) este convergent d.d. este şir fundmenl, dică ε > 0, N(ε) N pentru cre s n+p s n < ε, n > N, p N. Inlocuind ici diferenţ s n+p s n cu expresi precedentă obţinem (2.14). Consecinţ 2.1 Dcă pentru seri n se pote indic un şir de numere pozitive (α n ), α n 0 şi un număr nturl N.î. tunci seri n este convergentă. n+1 + n+2 + + n+p < α n, n > N, p N, Prin ntur unei serii înţelegem crcterul ei de fi convergentă su divergentă. Ntur unei serii coincide cu ntur şirului sumelor ei prţile. Exemplul 2.5 Seri 1 1 2 + 1 2 3 + + 1 n(n + 1) + = 1 n(n + 1) este convergentă şi s = 1. In devăr, s n = 1 1 2 + 1 2 3 + + 1 n(n + 1) = n k=1 n=1 ( 1 k 1 ) = 1 1 k + 1 n + 1 1.

GHEORGHE PROCOPIUC - ANALIZĂ MATEMATICĂ 28 Exemplul 2.6 Seri 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n + = se numeşte seri rmonică, deorece pentru n 2, n este medi rmonică termenilor vecini n 1 şi n+1. Acestă serie este divergentă şi re sum +. In devăr, şirul (s n ) l sumelor prţile este strict crescător şi divergent, deorece n=1 1 n s 2n s n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + + 1 2n 1 2, cee ce rtă că (s n ) ne este şir fundmentl. Deci lim s n = +. Exemplul 2.7 Seri 1 1 + 1 1 + + ( 1) n 1 + = ( 1) n 1 este divergentă. E este o serie oscilntă deorece şirul (s n ) l sumelor prţile este şirul oscilnt: 1, 0, 1, 0,.... Exemplul 2.8 Seri 1 + q + q 2 + + q n 1 + = n=1 q n 1, q R se numeşte seri geometrică deorece şirul ( n ), n = q n 1, este o progresie geometrică cu rţi q. Ntur cestei serii depinde de vlorile lui q. Şirul sumelor prţile re termenul generl Obţinem s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = n=1 { 1 lim s n = 1 q, q < 1, n +, q 1. { 1 q n 1 q, q 1, n, q = 1. Pentru q 1 şirul (s n ) nu re limită. Astfel, seri geometrică cu rţi q este convergentă pentru q < 1 şi re sum 1/(1 q) şi divergentă pentru q 1. Fie seriile (A) n şi (B) b n şi λ un număr rel. Numim sumă seriilor (A) şi (B) seri ( n + b n ). Numim produs l seriei (A) cu sclrul λ seri (λ n ). Deci: n + b n = ( n + b n ), λ n = (λ n ). n=1 n=1 n=1 n=1 n=1