Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 1 / 72

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 1 / 72

Ciljevi učenja Ciljevi učenja: Što su redovi potencija? Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 2 / 72

Ciljevi učenja Ciljevi učenja: Što su redovi potencija? Razvoj nekih elementarnih funkcija u red potencija i primjene Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 2 / 72

Ciljevi učenja Ciljevi učenja: Što su redovi potencija? Razvoj nekih elementarnih funkcija u red potencija i primjene Binomna formula i primjene Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 2 / 72

Ciljevi učenja Ciljevi učenja: Što su redovi potencija? Razvoj nekih elementarnih funkcija u red potencija i primjene Binomna formula i primjene Radijus konvergencije reda potencija Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 2 / 72

Ciljevi učenja Ciljevi učenja: Što su redovi potencija? Razvoj nekih elementarnih funkcija u red potencija i primjene Binomna formula i primjene Radijus konvergencije reda potencija Operacije s redovima potencija Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 2 / 72

Ciljevi učenja Ciljevi učenja: Što su redovi potencija? Razvoj nekih elementarnih funkcija u red potencija i primjene Binomna formula i primjene Radijus konvergencije reda potencija Operacije s redovima potencija Primjeri primjene za odredivanje beskonačnih polinoma nekih funkcija Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 2 / 72

Ciljevi učenja Ciljevi učenja: Što su redovi potencija? Razvoj nekih elementarnih funkcija u red potencija i primjene Binomna formula i primjene Radijus konvergencije reda potencija Operacije s redovima potencija Primjeri primjene za odredivanje beskonačnih polinoma nekih funkcija Definicije i svojstva hiperboličkih i area funkcija Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 2 / 72

Sadržaj Sadržaj: 1 Taylorova formula i Taylorov red Primjena 2 Newtonova binomna formula Primjena 3 Radijus konvergencije reda potencija 4 Operacije s beskonačnim polinomima Primjena 5 Hiperboličke funkcije 6 Area funkcije Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 3 / 72

Uvod Baveći se računom trigonometrijskih, eksponencijalnih i logaritamskih funkcija ustanovili smo da se one mogu prikazati kao beskonačni polinomi. To nam je omogućilo da vrijednosti tih funkcija računamo kao vrijednosti polinoma koristeći se samo osnovnim računskim operacijama +,, i :, te koristeći se aproksimacijom beskonačnog polinoma tako da smo odabrali njegov dovoljno veliki konačan komad. Polinomski prikaz funkcije koristan je i u mnogim drugim situacijama. Primjerice, antiderivacije mnogih jednostavnih funkcija ne mogu se izraziti pomoću elementarnih funkcija. Ako ih aproksimiramo polinomima tada će i njihove antiderivacije biti aproksimirane (lako izračunljivim) antiderivacijama polinoma. Zato ćemo ovo poglavlje početi s Taylorovom formulom koja objašnjava kako funkciju možemo aproksimirati polinomom, i koja pokazuje da su prikazi trigonometrijskih, eksponencijalnih i logaritamskih funkcija beskonačnim polinomima samo posebni slučajevi jednog mnogo općenitijeg načela. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 4 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Primjeri razvoja funkcija u red potencija Do sada su nam poznati sljedeći primjeri razvoja funkcija u beskonačne polinome (redove potencija): sinx = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! x11 11! +, x R Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 5 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Primjeri razvoja funkcija u red potencija Do sada su nam poznati sljedeći primjeri razvoja funkcija u beskonačne polinome (redove potencija): sinx = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! x11 11! +, x R cosx = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + x8 8! x10 10! +, x R Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 5 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Primjeri razvoja funkcija u red potencija Do sada su nam poznati sljedeći primjeri razvoja funkcija u beskonačne polinome (redove potencija): sinx = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! x11 11! +, x R cosx = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + x8 8! x10 10! +, x R e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! +, x R Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 5 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Primjeri razvoja funkcija u red potencija Do sada su nam poznati sljedeći primjeri razvoja funkcija u beskonačne polinome (redove potencija): sinx = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! x11 11! +, x R cosx = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + x8 8! x10 10! +, x R e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! +, x R ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + x5 5 x6 +, x < 1 6 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 5 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Taylorova formula OPĆENITO: ZA FUNKCIJU f (x) VRIJEDI TAYLOROVA FORMULA (OKO TOČKE x 0 = 0): f(x) = T n (x) + G n+1 (x) Taylorov polinom stupnja n greška T n (x) = f(0) + f (0)x + f (0) 2! x 2 + f (0) 3! x 3 + + f(n) (0) x n n! Greška: G n+1 (x) = f(n+1) (ξ) (n + 1)! xn+1 za neki ξ izmedu 0 i x Dakle: f(x) T n (x), uz grešku G n+1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 6 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Taylorov red Ako je lim n G n = 0 onda je f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) 2! x 2 + f (0) 3! x 3 + f(4) (0) x 4 + 4! To je TAYLOROV RED (Taylorov razvoj, Taylorov beskonačni polinom) funkcije f (x) oko točke x 0 = 0. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 7 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Taylorov red Ako je lim n G n = 0 onda je f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) 2! x 2 + f (0) 3! x 3 + f(4) (0) x 4 + 4! To je TAYLOROV RED (Taylorov razvoj, Taylorov beskonačni polinom) funkcije f (x) oko točke x 0 = 0. Ako je x 0 0 onda Taylorov polinom izgleda nešto kompliciranije: T n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) 2 + + f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! (Analogno prethodnom možemo pisati grešku i Taylorov red.) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 7 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Primjer PRIMJER 1. Provjerimo da su razvoji od sinx, cosx, e x i ln(1 + x) na str. 5 Taylorovi razvoji oko točke x 0 = 0. (U tim slučajevima vrijedi lim n G n = 0.) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 8 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Primjer PRIMJER 1. Provjerimo da su razvoji od Rješenje: sinx, cosx, e x i ln(1 + x) na str. 5 Taylorovi razvoji oko točke x 0 = 0. (U tim slučajevima vrijedi lim n G n = 0.) Primjerice za funkciju f(x) = e x vrijedi: f (x) = f (x) = f (x) = f (x) = = e x pa je f (0) = f (0) = f (0) = f (0) = = 1 = e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 8 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Zadaci ZADATAK 1. Napiši Taylorov razvoj oko točke x 0 = 0 za funkcije a) f(x) = sinx, b) f(x) = cosx, c) f(x) = ln(1 + x) (Napiši prvih nekoliko članova.) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 9 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Zadaci ZADATAK 1. Napiši Taylorov razvoj oko točke x 0 = 0 za funkcije a) f(x) = sinx, b) f(x) = cosx, c) f(x) = ln(1 + x) (Napiši prvih nekoliko članova.) ZADATAK 2. U istom koordinatnom sustavu skiciraj funkciju f(x) = sin x, te njezine Taylorove polinome prvog i trećeg stupnja T 1 (x) i T 3 (x). Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 9 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Zadaci ZADATAK 1. Napiši Taylorov razvoj oko točke x 0 = 0 za funkcije a) f(x) = sinx, b) f(x) = cosx, c) f(x) = ln(1 + x) (Napiši prvih nekoliko članova.) ZADATAK 2. U istom koordinatnom sustavu skiciraj funkciju f(x) = sin x, te njezine Taylorove polinome prvog i trećeg stupnja T 1 (x) i T 3 (x). Rješenje 1: Taylorov razvoj funkcije f (x) oko točke x 0 = 0 je: f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) 2! x 2 + f (0) 3! x 3 + f(4) (0) x 4 + 4! Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 9 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Zadaci a) Računamo: f (x) = sinx, f (0) = sin0 = 0 f (x) = cosx, f (0) = cos0 = 1 f (x) = sinx, f (0) = 0 f (x) = cosx, f (0) = 1 ponavlja se f IV (x) = sinx, f IV (0) = sin0 = 0. Uvrštavamo u Taylorov razvoj:. sinx = 0 + 1 x + 0 2! x 2 + ( 1) x 3 + 0 3! 4! x 4 + 1 5! x 5 + = x 1 3! x 3 + 1 5! x 5 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 10 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Zadaci b) Računamo: f (x) = cosx, f (0) = cos0 = 1 f (x) = sinx, f (0) = sin0 = 0 f (x) = cosx, f (0) = 1 f (x) = sinx, f (0) = 0 ponavlja se f IV (x) = cosx, f IV (0) = cos0 = 1. Uvrštavamo u Taylorov razvoj: cosx = 1 + 0 x + ( 1) 2! = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6. x 2 + 0 3! x 3 + 1 4! x 4 + 0 5! x 5 + ( 1) x 6 + 6! 6! + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 11 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Zadaci c) Računamo: f (x) = ln(1 + x), f (0) = ln1 = 0 f (x) = 1 1 + x = (1 + x) 1, f (0) = 1 f (x) = (1 + x) 2, f (0) = 1 f (x) = 2(1 + x) 3, f (0) = 2 f IV (x) = 6(1 + x) 4, f IV (0) = 6 f V (x) = 24(1 + x) 5, f V (0) = 24 Uvrštavamo: ln(1 + x) = 0 + 1 x + ( 1) x 2 + 2 2! 3! x 3 + ( 6) x 4 + 24 4! 5! x 5 + = x x 2 2 + x 3 3 x 4 4 + x 5 5 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 12 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Zadaci Rješenje 2: sinx = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + T 1 (x) = x T 3 (x) = x 1 6 x 3 = x (1 x 2 ) 6 nul-točke: x 1 = 0, x 2,3 = ± 6 ±2.45 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 13 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Zadaci PRIMJEDBA Aproksimacija funkcije y = sinx polinomima T 3, T 5, T 7, T 9 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 14 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Primjena PRIMJER 2. Približno izračunati sin(0.1) koristeći se Taylorovom aproksimacijom trećeg stupnja. Ocijeniti grešku aproksimacije. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 15 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Primjena PRIMJER 2. Približno izračunati sin(0.1) koristeći se Taylorovom aproksimacijom trećeg stupnja. Ocijeniti grešku aproksimacije. Rješenje: sinx = T 3 (x) + G 5 (x) sinx T 3 (x) = x x 3 3!, G 5(x) = cosξ 5! x 5, za neki ξ izmedu 0 i x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 15 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Primjena PRIMJER 2. Približno izračunati sin(0.1) koristeći se Taylorovom aproksimacijom trećeg stupnja. Ocijeniti grešku aproksimacije. Rješenje: sinx = T 3 (x) + G 5 (x) sinx T 3 (x) = x x 3 3!, G 5(x) = cosξ 5! x 5, za neki ξ izmedu 0 i x (Znamo da vrijedi: Apsolutna greška aproksimacije funkcije sinus ili kosinus manja je ili jednaka apsolutnoj vrijednosti prvog neupotrebljenog člana.) G 5 (x) cosξ x 5 x 5 5! 5! Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 15 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Primjena PRIMJER 2. Približno izračunati sin(0.1) koristeći se Taylorovom aproksimacijom trećeg stupnja. Ocijeniti grešku aproksimacije. Rješenje: sinx = T 3 (x) + G 5 (x) sinx T 3 (x) = x x 3 3!, G 5(x) = cosξ 5! x 5, za neki ξ izmedu 0 i x (Znamo da vrijedi: Apsolutna greška aproksimacije funkcije sinus ili kosinus manja je ili jednaka apsolutnoj vrijednosti prvog neupotrebljenog člana.) G 5 (x) cosξ x 5 x 5 5! 5! Za x = 0.1 imamo sin0.1 0.1 0.13 6 = 0.0998 Ocjena greške : G 5 (0.1) 0.15 120 = 10 5 120 < 10 5 10 2 = 10 7 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 15 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Zadaci ZADATAK 3. a) Koristeći se aproksimacijom funkcije f(x) = e x Taylorovim polinomom drugog stupnja izračunaj približno e 0.1, e 0.2 i e 0.08. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 16 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Zadaci ZADATAK 3. a) Koristeći se aproksimacijom funkcije f(x) = e x Taylorovim polinomom drugog stupnja izračunaj približno e 0.1, e 0.2 i e 0.08. b) Ocijeni grešku aproksimacije za e 0.1. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 16 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Zadaci ZADATAK 3. a) Koristeći se aproksimacijom funkcije f(x) = e x Taylorovim polinomom drugog stupnja izračunaj približno e 0.1, e 0.2 i e 0.08. b) Ocijeni grešku aproksimacije za e 0.1. ZADATAK 4. Izračunaj približno 1.1 pomoću Taylorovog polinoma drugog stupnja. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 16 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Zadaci Rješenje 3: e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + x 4 a) T 2 (x) e x 1 + x + x 2 2! 4! + b) x = 0.1 : e 0.1 1 + 0.1 + 1 2 0.12 = 1.105 x = 0.2 : e 0.2 1 + 0.2 + 1 2 0.22 = 1.22 x = 0.08 : e 0.08 1 0.08 + 1 2 ( 0.08)2 = 0.9232 G 3 (x) = f (ξ) x 3 = eξ 3! 3! x 3 G 3 (0.1) < 2 6 0.13 = 0.00033 < 5 10 4 (tj. tri decimale su točne) (KALKULATOR: e 0.1 = 1.10517091...) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 17 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Zadaci Rješenje 4: Koja funkcija f (x)? 1.1 možemo približno izračunati tako da koristimo razvoj funkcije f (x) = 1 + x (oko x 0 = 0) Za x = 0.1: f (x) = 1 + x = f (0) = 1 f (x) = 1 2 (1 + x) 1 2 = f (0) = 1 2 f (x) = 1 4 (1 + x) 3 2 = f (0) = 1 4 f (x) = 3 8 (1 + x) 5 2 = f (0) = 3 8. T 2 (x) = f (0) + f (0)x + f (0) 2! x 2 = = 1 + 1 2 x 1 8 x 2 f (x) T 2 (x) = 1 + x 1 + 1 2 x 1 8 x 2 1.1 1 + 1 2 0.1 1 8 0.12 = 1.04875 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 18 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Zadaci 1.1 možemo približno izračunati i tako da koristimo razvoj funkcije f (x) = x (oko x 0 = 1): f (x) = x = f (1) = 1 f (x) = 1 2 x 1 2 = f (1) = 1 2 f (x) = 1 4 x 3 2 = f (1) = 1 4 f (x) = 3 8 x 5 2 = f (1) = 3 8. T 2 (x) = f (1) + f (1)(x 1) + f (1) (x 1) 2 2! f (x) T 2 (x) = x 1 + 1 2 (x 1) 1 (x 1)2 8 Za x = 1.1: 1.1 1 + 1 2 0.1 1 8 0.12 = 1.04875 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 19 / 72

Taylorova formula i Taylorov red Napomena NAPOMENA Polinom T 1 (x) je LINEARNA APROKSIMACIJA FUNKCIJE koju smo upoznali u Matematici 1: f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) }{{} = T 1 (x) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 20 / 72

Newtonova binomna formula NEWTONOVA BINOMNA FORMULA specijalan je slučaj Taylorove formule: gdje je i (1 + x) α = 1 + ( ( α 1) x + α ) 2 x 2 + ( ) α 3 x 3 + + ( α ( ) n 1) x n 1 + α + x n ξ α n n }{{} G n (x) ( ) α α (α 1) (α k + 1) := k 1 2 k G n (x) 0 za x < 1. n DAKLE, TAYLOROV RAZVOJ VRIJEDI ZA x < 1. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 21 / 72

Newtonova binomna formula Zadaci ZADATAK 5. ( ) 5 Izračunaj, 3 ( ) 3, 2 ( ) 2, 4 ( ) ( 2 1 ), 3, 3 2 ( 1) ( 1 ) 2, 2. 3 3 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 22 / 72

Newtonova binomna formula Zadaci ZADATAK 5. ( ) 5 Izračunaj, 3 ( ) 3, 2 ( ) 2, 4 ( ) ( 2 1 ), 3, 3 2 ( 1) ( 1 ) 2, 2. 3 3 Rješenje 5: ( ) 5 = 5 4 3 3 1 2 3 = 10, ( ) 3 ( 3) ( 4) = = 6, 2 1 2 ( ) 2 = 2 1 0 ( 1) 4 1 2 3 4 = 0, ( ) 2 ( 2) ( 3) ( 4) = 3 1 2 3 = 4, ) = 2 ( 1 2 3 ( 1 3 ( 1 2 3 1 3 ( 2 ) 3 1 2 ) = ) = ( 1 2 1 2 ( 1 2 = 1 9, ) ( 3 2 1 2 3 ) ( 3 2 1 2 3 ) ( ) 5 2 ) = 1 16. = 5 16, Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 22 / 72

Newtonova binomna formula Primjer PRIMJER 3. Newtonovu binomnu formulu ( ) α (1 + x) α = 1 + x + 1 ispišimo za α = 2, α = 3 i α = 1. ( ) α x 2 + 2 ( ) α x 3 + + 3 ( ) α x n + n Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 23 / 72

Newtonova binomna formula Primjer PRIMJER 3. Newtonovu binomnu formulu ( ) α (1 + x) α = 1 + x + 1 ispišimo za α = 2, α = 3 i α = 1. Rješenje: ( ) α x 2 + 2 ( ) α x 3 + + 3 ( ) α x n + n Za α = 2,3,... prepoznajemo formule za BINOM NA KVADRAT, NA TREĆU POTENCIJU,...: (1 + x) 2 = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 + x + x 2 + x 3 + = 1 2 3 = 1 + 2x + x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 + = 1 + 2x + x 2 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 23 / 72

Newtonova binomna formula Primjer α = 3 (1 + x) 3 = 1 + ( ) 3 x + 1 ( ) 3 x 2 + 2 ( ) 3 x 3 + 3 ( ) 3 x 4 + = 4 = 1 + 3x + 3x 2 + x 3 + 0 x 4 + 0 x 5 + = 1 + 3x + 3x 2 + x 3 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 24 / 72

Newtonova binomna formula Primjer α = 3 (1 + x) 3 = 1 + α = 1 ( ) 3 x + 1 ( ) 3 x 2 + 2 ( ) 3 x 3 + 3 ( ) 3 x 4 + = 4 = 1 + 3x + 3x 2 + x 3 + 0 x 4 + 0 x 5 + = 1 + 3x + 3x 2 + x 3 (1 + x) 1 = 1 + ( ) 1 x + 1 = 1 x + x 2 x 3 + ( ) 1 x 2 + 2 ( ) 1 x 3 + = 3 Primjetimo da je 1 x + x 2 x 3 + GEOMETRIJSKI RED s q = x i 1 suma mu je (za q < 1). 1 + x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 24 / 72

Newtonova binomna formula Primjena ZADATAK 6. Koristeći se Newtonovom binomnom formulom napiši razvoj za funkcije f(x) = 1 + x i g(x) = 1 1 x. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 25 / 72

Newtonova binomna formula Primjena ZADATAK 6. Koristeći se Newtonovom binomnom formulom napiši razvoj za funkcije f(x) = 1 + x i g(x) = 1 1 x. ZADATAK 7. Koristeći se Newtonovom binomnom formulom do drugog stupnja izračunaj približno 1.1. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 25 / 72

Newtonova binomna formula Primjena ZADATAK 6. Koristeći se Newtonovom binomnom formulom napiši razvoj za funkcije f(x) = 1 + x i g(x) = 1 1 x. ZADATAK 7. Koristeći se Newtonovom binomnom formulom do drugog stupnja izračunaj približno 1.1. ZADATAK 8. Koristeći se samo linearnim dijelom (do prvog stupnja) Newtonove binomne formule izračunaj približno 26. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 25 / 72

Newtonova binomna formula Primjena Rješenje 6: f (x) = 1 + x = (1 + x) 1 1 2, tj. α = 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1 + x) 1 2 = 1 + 2 x + 2 x 2 + 2 x 3 + = 1 2 3 = 1 + 1 2 x 1 8 x 2 + 1 16 x 3 g(x) = 1 1 x = (1 + ( x)) 1 = (vidi Primjer 3. za α = 1 na str. 23 ) = 1 + x + x 2 + x 3 + Primjetimo da je 1 + x + x 2 + x 3 + GEOMETRIJSKI RED s q = x i 1 suma mu je (za q < 1). 1 x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 26 / 72

Newtonova binomna formula Primjena Rješenje 7: ( 1 ) ( 1 ) 1 1.1 = 1 + 0.1 = (1 + 0.1) 2 1 + 2 0.1 + 2 0.1 2 = 1 2 = 1 + 1 1 2 0.1 + 2 ( 1 ) 2 1 2 0.01 = 1 + 1 2 0.1 1 8 0.01 = 1 + 0.05 0.125 0.01 = 1.04875 Sada smo brže dobili rezultat Zadatka 4. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 27 / 72

Newtonova binomna formula Primjena Rješenje 7: ( 1 ) ( 1 ) 1 1.1 = 1 + 0.1 = (1 + 0.1) 2 1 + 2 0.1 + 2 0.1 2 = 1 2 = 1 + 1 1 2 0.1 + 2 ( 1 ) 2 1 2 0.01 = 1 + 1 2 0.1 1 8 0.01 = 1 + 0.05 0.125 0.01 = 1.04875 Sada smo brže dobili rezultat Zadatka 4. Rješenje 8: 26 = 25 + 1 = 25 ( 1 + 25) 1 = 25(1 + 0.04) 26 = 5 1 + 0.04 ( 1 ) (1 + 0.04) 1 2 1 + 2 0.04 = 1 + 0.02 = 1.02 1 26 5 1.02 = 5.1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 27 / 72

Radijus konvergencije reda potencija RADIJUS KONVERGENCIJE REDA POTENCIJA Red potencija a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ili kraće a n x n n=0 ima vrijednost (tj. suma postoji ili KONVERGIRA) za x < R. R nazivamo RADIJUS KONVERGENCIJE. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 28 / 72

Radijus konvergencije reda potencija RADIJUS KONVERGENCIJE REDA POTENCIJA Red potencija a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ili kraće a n x n n=0 ima vrijednost (tj. suma postoji ili KONVERGIRA) za x < R. R nazivamo RADIJUS KONVERGENCIJE. R se može računati formulama (Cauchy-Hadamard): R = lim n a n a n+1 ukoliko neki od tih limesa postoji. ili R = n lim n Napomenimo da red potencija oko točke x 0 R: 1 an a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 + ili kraće n=0 a n (x x 0 ) n konvergira za x x 0 < R i radijus konvergencije može se računati gore navedenim formulama. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 28 / 72

Radijus konvergencije reda potencija Primjer PRIMJER 4. Izračunajmo radijus konvergencije R redova (a) 1 + x + x 2 + x 3 + (b) 1 + x + x 2 2 + x 3 3 + (c) 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 29 / 72

Radijus konvergencije reda potencija Primjer PRIMJER 4. Izračunajmo radijus konvergencije R redova (a) 1 + x + x 2 + x 3 + (b) 1 + x + x 2 2 + x 3 3 + (c) 1 + x + x 2 2! + x 3 Rješenje: 3! + 1 (a) a n = 1 = R = lim n 1 = 1 (b) a n = 1 n (c) a n = 1 n! = R = lim n = R = lim n 1 n 1 n+1 1 n! 1 (n+1)! n + 1 = lim = 1 n n (n + 1)! = lim = lim (n + 1) = n n! n Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 29 / 72

Radijus konvergencije reda potencija Zadaci ZADATAK 9. Izračunaj radijus konvergencije sljedećih redova potencija a) x x 2 2 + x 3 3 x 4 4 + b) 1 + x 5 + x 2 2 5 2 + x 3 3 5 3 + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 30 / 72

Radijus konvergencije reda potencija Zadaci ZADATAK 9. Izračunaj radijus konvergencije sljedećih redova potencija a) x x 2 2 + x 3 3 x 4 4 + b) 1 + x 5 + x 2 2 5 2 + x 3 3 5 3 + Rješenje 9: a) }{{} 1 x 1 }{{} 2 a 1 =1 a 2 = 2 1 x 2 + 1 }{{} 3 a 3 = 3 1 a n = 1 n, n = 1,2,3,... = R = lim n a n a n+1 = lim n x 3 1 x 4 + }{{} 4 a 4 = 1 4 1 n 1 n+1 = lim n n + 1 n : n : n = lim 1 + 1 n n 1 = 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 30 / 72

Radijus konvergencije reda potencija Zadaci b) }{{} 1 + 1 5 a 0 =1 }{{} a 1 = 1 5 x + 1 2 5 2 }{{} a 2 = 1 2 5 2 a n = 1 n 5 n, n = 1,2,3,... = R = lim n 1 n 5 n 1 (n+1) 5 n+1 x 2 + 1 } 3 {{ 5 3 x 3 + } a 3 = 1 3 5 3 = lim n 5(n + 1) n : n : n = lim 5 ( 1 + 1 ) n = 5 n 1 Područje konvergencije reda potencija Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 31 / 72

Radijus konvergencije reda potencija Zadaci ZADATAK 10. Izračunaj radijus konvergencije R reda potencija (x 4) n n=1 n 3 n = 1 3 (x 4) + 1 18 (x 4)2 + 1 81 (x 4)3 + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 32 / 72

Radijus konvergencije reda potencija Zadaci ZADATAK 10. Izračunaj radijus konvergencije R reda potencija (x 4) n n=1 n 3 n = 1 3 (x 4) + 1 18 (x 4)2 + 1 81 (x 4)3 + Rješenje 10. : R = lim n 1 n3 n 1 (n+1)3 n+1 = lim n 3(n + 1) n : n : n = lim 3 ( 1 + 1 ) n = 3(1 + 0)= 3 n 1 Dakle, red konvergira za sve x 1,7. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 32 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Zbrajanje, oduzimanje i množenje konstantom OPERACIJE S BESKONAČNIM POLINOMIMA (REDOVIMA POTENCIJA) ZBRAJANJE I ODUZIMANJE BESKONAČNIH POLINOMA I MNOŽENJE BESKONAČNOG POLINOMA KONSTANTOM Neka je je f(x) = n=0 a n x n za x < R i g(x) = Neka je T = min{r,s} i c konstanta. Tada je tj. redovi n=0 f(x) ± g(x) = a n x n i c f(x) = n=0 n=0 n=0 n=0 (a n ± b n )x n, za x < T, (c a n )x n, za x < R, b n x n za x < S. b n x n zbrajaju se, oduzimaju i množe konstantom po načelu član po član uz manji radijus konvergencije. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 33 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Množenje beskonačnih polinoma MNOŽENJE BESKONAČNIH POLINOMA Neka su f, g i T kao na prethodnom slajdu. Tada je f(x) g(x) = n=0 gdje su koeficijenti c n definirani ovako: c 0 = a 0 b 0, c 1 = a 0 b 1 + a 1 b 0, c 2 = a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0,. c n x n, za x < T, c n = a 0 b n + a 1 b n 1 + + a n 1 b 1 + a n b 0. tj. redovi potencija množe se po načelu svaki sa svakim uz manji Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 34 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Množenje beskonačnih polinoma Pri množenju redova potencija svaki sa svakim prirodno je umnoške grupirati uz istu potenciju. b 0 b 1 x b 2 x 2 b 3 x 3 a 0 a 0 b 0 a 0 b 1 x a 0 b 2 x 2 a 0 b 3 x 3 a 1 x a 1 b 0 x a 1 b 1 x 2 a 1 b 2 x 3...... a 2 x 2 a 2 b 0 x 2 a 2 b 1 x 3......... a 3 x 3 a 3 b 0 x 3.......................... Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 35 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Primjena PRIMJER 5. Razvijmo funkciju f (x) = sinx + cosx u red potencija. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 36 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Primjena PRIMJER 5. Razvijmo funkciju f (x) = sinx + cosx u red potencija. Rješenje: sinx = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! +, x R cosx = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 6! +, x R sinx + cosx = 1 + x x 2 2! x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! x 6 6! x 7 R = min{, } = 7! + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 36 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Primjena PRIMJER 6. Razvijmo funkciju f (x) = ex 1 x u red potencija. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 37 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Primjena PRIMJER 6. Razvijmo funkciju f (x) = ex 1 x Rješenje: u red potencija. e x ( 1 x = 1+ 1 + 1 ) ( x + 1 + 1 1! 1! + 1 ) ( x 2 + 1 + 1 2! 1! + 1 2! + 1 ) x 3 + 3! R = min{,1} = 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 37 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima U sljedećim zadacima koristit ćemo ove redove potencija: 1 e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 2 sinx = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + x 9 9! x 11 3 cosx = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 6! + x 8 8! x 10 5! +, x R 11! +, x R 10! +, x R 4 ln(1 + x) = x x 2 2 + x 3 3 x 4 4 + x 5 5 x 6 +, x < 1 6 5 1 1 x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 +, x < 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 38 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci ZADATAK 11. Koristeći se poznatim redovima razvij u red potencija funkcije a) f (x) = 2e x cosx b) f (x) = 1 + x 1 x c) f (x) = sinx 1 x (primjejujući zbrajanje, oduzimanje, množenje redova potencija). Napiši nekoliko prvih članova razvoja. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 39 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci ZADATAK 11. Koristeći se poznatim redovima razvij u red potencija funkcije a) f (x) = 2e x cosx b) f (x) = 1 + x 1 x c) f (x) = sinx 1 x (primjejujući zbrajanje, oduzimanje, množenje redova potencija). Napiši nekoliko prvih članova razvoja. ZADATAK 12. Koristeći se poznatim redovima razvij u red potencija funkcije a) f (x) = 1 2 x b) f (x) = sin(3x) c) f (x) = e x d) f (x) = e x 2 e) f (x) = ln 1+x 1 x Napiši nekoliko prvih članova razvoja. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 39 / 72

Rješenje 11: a) 2e x cosx = Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci = 2 (1 + x + x 2 2! + x 3 ) 3! + (1 x 2 2! + x 4 ) 4! = 2 + 2x + x 2 + 1 3 x 3 + 1 + 1 2 x 2 1 24 x 4 + = 1 + 2x + 3 2 x 2 + 1 3 x 3 1 24 x 4 + za x R Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 40 / 72

Rješenje 11: a) 2e x cosx = Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci b) = 2 (1 + x + x 2 2! + x 3 ) 3! + (1 x 2 2! + x 4 ) 4! = 2 + 2x + x 2 + 1 3 x 3 + 1 + 1 2 x 2 1 24 x 4 + = 1 + 2x + 3 2 x 2 + 1 3 x 3 1 24 x 4 + za x R 1 + x 1 x = (1 + x) 1 1 x ( ) = (1 + x) 1 + x + x 2 + x 3 + = 1 + x + x + x 2 + x 2 + x 3 + x 3 + x 4 + = 1 + 2x + 2x 2 + 2x 3 + za x < 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 40 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci c) sinx 1 x ( = x + x 2 + 1 1 ) ( x 3 + 1 1 ) ( x 4 + 1 1 3! 3! 3! + 1 ) x 5 + 5! = x + x 2 + 5 6 x 3 + 5 6 x 4 + 101 120 x 5 + za x < 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 41 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci NAPOMENA Svaku od ovih funkcija mogli smo razviti u njezin Taylorov red oko x 0 = 0, no to je mnogo dulje i složenije. Npr. za Zadatak 11.c): f (x) = sinx = f (0) = 0 1 x f (x) = cosx 1 x + sinx (1 x) 2 = f (0) = 1 f (x) = 2cosx (1 x) 2 + 2sinx (1 x) 3 sinx 1 x = f (0) = 2 f (x) = 6cosx (1 x) 3 cosx 1 x + 6sinx (1 x) 4 3sinx (1 x) 2 = f (0) = 5. f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) x 2 + f (0) x 3 + 2! 3! sinx = 0 + 1 x + 2 1 x 2! x 2 + 5 3! x 3 + = x + x 2 + 5 6 x 3 + R = 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 42 / 72

Rješenje 12: Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci a) 1 2 x = 1 2 1 1 x 2 geometrijski red s q = x 2 = 1 ( 1 + x ( x ) 2 ( x 3 2 2 + + + ) 2 2) = 1 2 + x 4 + x 2 8 + x 3 16 + za x < 1, tj. x < 2 2 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 43 / 72

Rješenje 12: Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci a) 1 2 x = 1 2 1 1 x 2 geometrijski red s q = x 2 = 1 ( 1 + x ( x ) 2 ( x 3 2 2 + + + ) 2 2) = 1 2 + x 4 + x 2 8 + x 3 16 + za x < 1, tj. x < 2 2 b) sin(3x) = = 3x (3x)3 3! = 3x 33 + (3x)5 5! (3x)7 7! + 3! x 3 + 35 5! x 5 37 7! x 7 + za x R Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 43 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci c) e x = = 1 + ( x) + ( x)2 2! + ( x)3 3! + = 1 x + x 2 2! x 3 3! + x 5 5! za x R Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 44 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci c) e x = = 1 + ( x) + ( x)2 2! + ( x)3 3! + = 1 x + x 2 2! x 3 3! + x 5 5! za x R d) e x2 = 1 + ( x 2 ) + ( x2 ) 2 2! + ( x2 ) 3 3! + ( x2 ) 4 4! + = 1 x 2 + x 4 2! x 6 3! + x 8 4! za x R Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 44 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci c) e x = = 1 + ( x) + ( x)2 2! + ( x)3 3! + = 1 x + x 2 2! x 3 3! + x 5 5! za x R d) e x2 = 1 + ( x 2 ) + ( x2 ) 2 2! + ( x2 ) 3 3! + ( x2 ) 4 4! + = 1 x 2 + x 4 2! x 6 3! + x 8 4! za x R e) ln 1+x 1 x = ln(1 + x) ln(1 x) ( ) ( ) = x x 2 2 + x 3 3 x 4 4 + x 5 5 + x + x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 ( ) + = 2 x + x 3 3 + x 5 5! + za x < 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 44 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Dijeljenje beskonačnih polinoma DIJELJENJE BESKONAČNIH POLINOMA Redovi potencija dijele se na isti način kao konačni polinomi. Radijus konvergencije treba računati. PRIMJER 7. Dijeljenjem polinoma u brojniku s polinomom u nazivniku, razvijmo funkciju f (x) = 1 + x u red potencija (ista funkcija kao u Zadatku 11.b). 1 x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 45 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Dijeljenje beskonačnih polinoma Rješenje: Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 46 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Deriviranje i integriranje beskonačnih polinoma DERIVIRANJE I INTEGRIRANJE BESKONAČNIH POLINOMA Reda potencija derivira se i integrira tako da se derivira, odnosno integrira, član po član. Radijus konvergencije deriviranog i integriranog reda jednak je radijusu konvergencije početnog reda. PRIMJER 8. Izračunajmo f (x) i f (x)dx, ako je f (x) = n=0 x n. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 47 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Deriviranje i integriranje beskonačnih polinoma DERIVIRANJE I INTEGRIRANJE BESKONAČNIH POLINOMA Reda potencija derivira se i integrira tako da se derivira, odnosno integrira, član po član. Radijus konvergencije deriviranog i integriranog reda jednak je radijusu konvergencije početnog reda. PRIMJER 8. Izračunajmo f (x) i f (x)dx, ako je f (x) = Rješenje: n=0 x n. f (x) = 1 + x + x 2 + x 3 + R = 1 f (x) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + R = 1 f (x)dx = x 2 x + 2 + x 3 3 + x 4 4 + + C R = 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 47 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Deriviranje i integriranje beskonačnih polinoma PRIMJEDBA Budući je iz prethodnog slijedi 1 1 x = 1 + x + x 2 + x 3 + za x < 1 1 (1 x) 2 = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + za x < 1 ln(1 x) = x x 2 2 x 3 3 x 4 za x < 1 4 pri čemu je C = 0 jer je ln(1 0) = 0 = C. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 48 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci ZADATAK 13. a) Deriviraj red x x 3 b) Integriraj taj red. 3! + x 5 5! x 7 7! +. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 49 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci ZADATAK 13. a) Deriviraj red x x 3 b) Integriraj taj red. 3! + x 5 5! x 7 7! +. ZADATAK 14. a) Deriviraj red 1 x 2 + x 4 b) Integriraj taj red. 2! x 6 3! + x 8 4! x 10 5! +. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 49 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci ZADATAK 13. a) Deriviraj red x x 3 b) Integriraj taj red. 3! + x 5 5! x 7 7! +. ZADATAK 14. a) Deriviraj red 1 x 2 + x 4 b) Integriraj taj red. 2! x 6 3! + x 8 4! x 10 5! +. ZADATAK 15. Koristeći se razvojem funkcije f (x) = 1 1 + x funkcije g(x) = ln(1 + x). u red potencija naći razvoj Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 49 / 72

Rješenje 13: a) b) Operacije s beskonačnim polinomima (x x 3 3! + x 5 5! x 7 Zadaci (x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + 7! + )dx = x 2 2! x 4 4! + x 6 ) = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 6! + C 6! + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 50 / 72

Rješenje 13: a) b) Operacije s beskonačnim polinomima (x x 3 3! + x 5 5! x 7 Rješenje 14: a) b) Zadaci (x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + 7! + )dx = x 2 2! x 4 4! + x 6 ) = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 6! + C (1 x 2 + x 4 2! x 6 3! + x 8 4! x 10 ) 5! + = 2x + 4x 3 2! 6x 5 3! + 8x 7 4! 10x 9 + 5! = 2x + 2x 3 x 5 + 1 3 x 7 1 12 x 9 + ( (= 2x 1 x 2 + x 4 2! x 6 3! + x 8 4! )) (1 x 2 + x 4 2! x 6 3! + x 8 4! x 10 ) 5! + dx = x x 3 3 + x 5 5 2! x 7 7 3! + x 9 9 4! + C 6! + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 50 / 72

Rješenje 15: Operacije s beskonačnim polinomima prethodnog integriranjem slijedi Zadaci 1 1 + x = 1 x + x 2 x 3 + x 4 x 5 +, x < 1. Iz 1 ( 1 + x dx = 1 x + x 2 x 3 + x 4 x 5 + = x x 2 2 + x 3 3 x 4 4 + x 5 5 + C Integral na lijevoj strani znamo: 1 dx = ln(1 + x) + C, 1 + x ) dx ln(1 + x) = x x 2 2 + x 3 3 x 4 4 + x 5 5 + C C =? uvrstimo x = 0: }{{} ln1 = C C = 0, =0 pa je ln(1 + x) = x x 2 2 + x 3 3 x 4 4 + x 5, 5 x < 1 (što smo ionako znali). Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 51 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci ZADATAK 16. a) Izračunaj približno 1 0 sinx x dx. b) Integriraj približno površinu na slici: Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 52 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci Rješenje 16: a) 1 0 sinx x dx = = = 1 0 1 0 1 (x x 3 x 3! + x 5 5! x 7 ) 7! + dx (1 x 2 3! + x 4 5! x 6 ) 7! + dx (x x 3 3 3! + x 5 5 5! x 7 ) 1 7 7! + 0 Uzimamo samo prva dva člana: 1 0 sinx x dx (x x 3 ) 1 18 0 = 17 18 = 0.944 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 53 / 72

b) P = 0.3 0 Operacije s beskonačnim polinomima e x2 2 dx Zadaci e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + x 4 e x2 2 = 1 x 2 0.3 0 4! + 2 + x 4 8 x 6 48 + x 8 384 e x2 2 dx = x x 3 3 2 + x 5 5 8 x 7 7 48 + x 9 e x2 2 dx ( x x 3 P 0.2955 9 384 ) 0.3 = 0.3 0.0045 = 0.2955 6 0 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 54 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Primjer PRIMJER 9. Razvijmo u red potencija funkciju f (x) = arcsinx. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 55 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Primjer PRIMJER 9. Razvijmo u red potencija funkciju f (x) = arcsinx. Rješenje: Poznat je integral: arcsinx + C = dx = (1 x 2 ) 1/2 dx 1 x 2 N.B.F. (1 + x) α = 1 + ( ) α x + 1 ( ) α x 2 + 2 ( ) α x 3 +, x < 1 3 (1 x 2 ) 1/2 = 1 + 1 2 x 2 + 1 3 2 4 x 4 + 1 3 5 2 4 6 x 6 + arcsinx = x + 1 x 3 2 3 + 1 3 2 4 C =? uvrstimo x = 0: x 5 5 + 1 3 5 2 4 6 } arcsin0 {{} = C C = 0 =0 x 7 7 + + C, x < 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 55 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Primjer Dakle, arcsinx = x + 1 2 x3 3 + 1 3 2 4 x5 5 + 1 3 5 2 4 6 x7 +, x < 1 7 MOŽE SE DOKAZATI DA TAJ RED KONVERGIRA I ZA x = 1 Slijedi ( ) arcsin1 = π 2 = 1 + 1 2 1 3 + 1 3 2 4 1 5 + 1 3 5 2 4 6 1 7 + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 56 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Jednoznačnost reda potencija JEDNOZNAČNOST REDA POTENCIJA Ako se funkcija f može prikazati u obliku reda potencija: f(x) = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) 3 +, onda za taj red vrijedi c n = f (n) (a) n! (Dokaz: Uvrštavajući x = a u gornju jednakost dobivamo f (a) = c 0, pa smo odredili koeficijent c 0. Deriviranjem reda dobivamo f (x) = c 1 + 2c 2 (x a) + 3c 3 (x a) 2 +, odakle slijedi f (a) = c 1. Nastaljajući na isti način dobit ćemo f (n) (a) = n! c n, a to je i trebalo dokazati.) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 57 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Zadatak ZADATAK 17. a) Razviti u red potencija funkciju f (x) = sin(2x) 1 x/2 (napisati prva tri člana). Odredi radijus konvergencije. b) Pomoću dobivenog reda izračunaj f (0). Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 58 / 72

Operacije s beskonačnim polinomima Zadatak ZADATAK 17. a) Razviti u red potencija funkciju f (x) = sin(2x) 1 x/2 (napisati prva tri člana). Odredi radijus konvergencije. b) Pomoću dobivenog reda izračunaj f (0). Rješenje a): sin(2x) = 2x 23 3! x 3 + 25 5! x 5 27 7! x 7 +, x R x 2 + 3 8 x 2 4 + 5 16 x 3 8 + 35 128 x 4 +, x < 2 16 (1 x/2) 1/2 = 1 + 1 2 sin(2x) 1 x/2 = 2x + 1 2 x 2 55 48 x 3, x < min{,2}= 2 ( b) f (0) = 3! 55 ) = 55 48 8 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 58 / 72

Hiperboličke funkcije HIPERBOLIČKE FUNKCIJE e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + Samo neparne potencije podsjećaju na sinx, samo parne na cosx. Te funkcije zovemo hiperboličkim sinusom odnosno hiperboličkim kosinusom: sinx = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + shx = x + x 3 3! + x 5 5! + x 7 cosx = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 chx = 1 + x 2 2! + x 4 4! + x 6 7! + 6! + 6! + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 59 / 72

Hiperboličke funkcije Dakle: e x = shx + chx NEPARNI DIO sh( x) = shx PARNI DIO ch( x) =chx shx i chx mogu se prikazati pomoću eksponencijalne funkcije: e x = shx + chx e x = shx + chx chx = ex + e x 2 shx = ex e x 2 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 60 / 72

Hiperboličke funkcije Grafovi hiperboličkih funkcija GRAFOVI HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 61 / 72

Hiperboličke funkcije Svojstva hiperboličkih funkcija NEKA SVOJSTVA HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA (podsjećaju na svojstva trigonometrijskih funkcija) hiperboličke funkcije usp. trigonometrijske funkcije (1) ch 2 x sh 2 x = 1 cos 2 x + sin 2 x = 1 (2) ch(x + y) = chxchy+shxshy cos(x + y) = cosx cosy sinx siny (3) sh(x + y) = shxchy + chxshy sin(x + y) = sinx cosy + cosx siny (4) ch 2 x = 1 2 (ch(2x) + 1) cos2 x = 1 (cos(2x) + 1) 2 (5) sh 2 x = 1 2 (+ch(2x) 1) sin2 x = 1 (1 cos(2x)) 2 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 62 / 72

Hiperboličke funkcije Svojstva hiperboličkih funkcija ZADATAK 18. a) Izvedi formulu (1): ch 2 x sh 2 x = 1 polazeći od prikaza shx i chx pomoću eksponencijalne funkcije. b) Pokaži da vrijedi (5): sh 2 x = 1 2 (ch(2x) 1). Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 63 / 72

Hiperboličke funkcije Svojstva hiperboličkih funkcija ZADATAK 18. a) Izvedi formulu (1): ch 2 x sh 2 x = 1 polazeći od prikaza shx i chx pomoću eksponencijalne funkcije. b) Pokaži da vrijedi (5): sh 2 x = 1 2 (ch(2x) 1). Rješenje a): ch 2 x sh 2 x = 1 ( e x + e x) 2 1 ( e x e x) 2 4 4 = 1 ( e 2x + 2 + e 2x) 1 (e 2x 2 + e 2x) 2 4 4 = 1 ( e 2x + 2 + e 2x e 4 2x + 2 e 2x) 2 = 1 b) ch(2x) (2) = ch 2 x + sh 2 x (1) = 1 + sh 2 x + sh 2 x = 1 + 2sh 2 x sh 2 x = 1 2 (ch(2x) 1) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 63 / 72

Hiperboličke funkcije Hiperbolički tangens i kotangens Analogno trigonometrijskom tangensu i kotangensu definiramo hiperbolički tangens i kotangens: thx = shx chx, chx cthx = shx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 64 / 72

Hiperboličke funkcije Hiperbolički tangens i kotangens Analogno trigonometrijskom tangensu i kotangensu definiramo hiperbolički tangens i kotangens: thx = shx chx, Prikaz pomoću eksponencijalne funkcije: thx = ex e x e x + e x, chx cthx = shx cthx = ex + e x e x e x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 64 / 72

Hiperboličke funkcije Hiperbolički tangens i kotangens Analogno trigonometrijskom tangensu i kotangensu definiramo hiperbolički tangens i kotangens: thx = shx chx, Prikaz pomoću eksponencijalne funkcije: thx = ex e x e x + e x, chx cthx = shx cthx = ex + e x e x e x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 64 / 72

Hiperboličke funkcije Derivacije i integrali DERIVACIJE I INTEGRALI HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA Derivacije i antiderivacije hiperboličkih funkcija slične su derivacijama i antiderivacijama trigonometrijskih funkcija: d dx shx = chx, chxdx = shx + C d dx chx = shx, shxdx = chx + C d dx = thx + C dx thx = 1 ch 2 x, d 1 cthx = dx sh 2 x, ch 2 x dx sh 2 x = cthx + C Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 65 / 72

Hiperboličke funkcije Primjer PRIMJER 10. Izračunati a) d dx sh(x 2 2x) b) d dx eth(3x) c) P =? (osjenčano područje na slici desno) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 66 / 72

Hiperboličke funkcije Primjer PRIMJER 10. Izračunati a) d dx sh(x 2 2x) b) d dx eth(3x) c) P =? (osjenčano područje na slici desno) Rješenje: a) b) c) P = d dx sh(x 2 2x) = ch(x 2 2x) (2x 2) d dx eth(3x) = e th(3x) 1 ch 2 (3x) 3 1 0 chxdx = shx 1 0 = sh1 sh0 = e1 e 1 2 = 1 2 ( e 1 ) 1.1752 e Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 66 / 72

Hiperboličke funkcije Veza trigonometrijske hiperboličke funkcije VEZA TRIGONOMETRIJSKIH I HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA Sjetimo se: 1 = i = i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i i 4 = 1 i 5 = i i 6 = 1 i 7 = i Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 67 / 72

Hiperboličke funkcije Veza trigonometrijske hiperboličke funkcije VEZA TRIGONOMETRIJSKIH I HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA Sjetimo se: 1 = i = i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i i 4 = 1 i 5 = i i 6 = 1 i 7 = i Nema nikakvih prepreka da računamo razvoj e z = 1 + z 1! + z2 2! + z3 + i za kompleksne vrijednosti z. Za z = ix: 3! e ix = 1 + ix 1! + i2 x 2 + i3 x 3 + i4 x 4 + i5 x 5 + 2! 3! 4! 5! = 1 + ix x 2 3 2! ix 3! + x 4 5 4! + ix 5! = (1 x 2 2! + x 4 4! ) + i (x x 3 3! + x 5 5! = cosx + isinx EULEROVA FORMULA ) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 67 / 72

Hiperboličke funkcije Veza trigonometrijske hiperboličke funkcije Eulerova formula i uvrštavanje x za x u nju daju: e ix = cosx + isinx e ix = cosx isinx. Zbrajanjem i oduzimanjem gornjih jednakosti i dijeljenjem s 2: cosx = eix + e ix 2 isinx = eix e ix 2 = ch(ix) = sh(ix) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 68 / 72

Hiperboličke funkcije Veza trigonometrijske hiperboličke funkcije Eulerova formula i uvrštavanje x za x u nju daju: e ix = cosx + isinx e ix = cosx isinx. Zbrajanjem i oduzimanjem gornjih jednakosti i dijeljenjem s 2: cosx = eix + e ix 2 isinx = eix e ix 2 = ch(ix) = sh(ix) Kompleksni račun pokazuje da su trigonometrijske i hiperboličke funkcije zapravo eksponencijalne funkcije, a njima inverzne arkus i area funkcije su logaritamske funkcije! Inverzne funkcije hiperboličkih funkcija zovemo area funkcijama (area -lat. površina). Razmatrat ćemo ih u nastavku. Sjetimo se da smo inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama zvali arkus funkcijama (arcus - lat. luk). Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 68 / 72

Area funkcije INVERZNE FUNKCIJE HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA - AREA FUNKCIJE Trigonometrijski kosinus i sinus vezani su uz kružnicu: x = cost, y = sint parametarske su jednadžbe kružnice x 2 + y 2 = 1. Hiperbolički kosinus i sinus vezani su uz hiperbolu: x = cht, y = sht parametarske su jednadžbe hiperbole x 2 y 2 = 1. U slučaju parametrizacije kružnice parametar t daje mjeru luka kružnice. U slučaju parametrizacije hiperbole parametar t daje površinu omedenu hiperbolom koordinate točke koja definira tu površinu. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 69 / 72

Area funkcije INVERZNE FUNKCIJE HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA - AREA FUNKCIJE Trigonometrijski kosinus i sinus vezani su uz kružnicu: x = cost, y = sint parametarske su jednadžbe kružnice x 2 + y 2 = 1. Hiperbolički kosinus i sinus vezani su uz hiperbolu: x = cht, y = sht parametarske su jednadžbe hiperbole x 2 y 2 = 1. U slučaju parametrizacije kružnice parametar t daje mjeru luka kružnice. U slučaju parametrizacije hiperbole parametar t daje površinu omedenu hiperbolom koordinate točke koja definira tu površinu. Upotrebom testa invertibilnosti lako ćemo ustanoviti da je : funkcija shx invertibilna na području realnih brojeva,, funkcija chx invertibilna na intervalu [0,, funkcija thx invertibilna na području realnih brojeva,, funkcija cthx invertibilna na uniji intervala, 0 0,. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 69 / 72

Area funkcije Grafovi area funkcija GRAFOVI AREA FUNKCIJA Zrcaljenjem grafova hiperboličkih funkcija oko y = x lako dobivamo grafove area funkcija: Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 70 / 72

Area funkcije Prikaz area funkcija pomoću logaritamskih funkcija PRIKAZ AREA FUNKCIJA POMOĆU LOGARITAMSKIH FUNKCIJA y = arshx x = shy = ey e y 2 / 2e y 2e y x = e y e y e y e y (e y ) 2 2x (e y ) 1 = 0 e y = x + ( x 2 + 1 (jer e y > 0) y = ln x + ) x 2 + 1 Slično dobivamo: ( ) arshx = ln x + x 2 + 1 ( ) archx = ln x + x 2 1 za svaki x R za x 1 arthx = 1 ( ) 1 + x 2 ln 1 x arcthx = 1 ( ) x + 1 2 ln x 1 za x < 1 za x > 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 71 / 72

Area funkcije Derivacije i integrali DERIVACIJE I INTEGRALI AREA FUNKCIJA y = arshx x = shy d dy arshx = dx dx = 1 dx/dy = 1 chy = 1 = sh 2 y + 1 dx ) (x x 2 + 1 = arshx + C = ln + x 2 + 1 + C 1 x 2 + 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 72 / 72

Area funkcije Derivacije i integrali DERIVACIJE I INTEGRALI AREA FUNKCIJA y = arshx x = shy d dy arshx = dx dx = 1 dx/dy = 1 chy = 1 = sh 2 y + 1 dx ) (x x 2 + 1 = arshx + C = ln + x 2 + 1 + C 1 x 2 + 1 Slično dobivamo: d dx archx = 1, x > 1 dx (x = ln + ) x 2 1 + C, x > 1 x 2 1 x 2 1 d dx arthx = 1 1 x 2, x < 1 dx = 1 1 x 2 2 ln( ) 1+x 1 x + C, x < 1 d dx arcthx = 1 1 x 2, x > 1 dx 1 x 2 = 1 2 ln( x+1 x 1 ) + C, x > 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 72 / 72