Titranje_intro Periodičko gibanje i mehaničko titranje, uloga povratne sile, terminologija titranja, grafički prikazi titranja, odnos između akceleracije i elongacije, vlastita frekvencija i energija harmoničkog oscilatora, jednostavno njihalo, LC krug i analogija, rezonancija Periodičko gibanje i mehaničko titranje Jednoliko kružno gibanje vrsta je periodičkog gibanja - gibanja koje ima osobinu ponavljanja u vremenu. Razmatramo gibanje točke P po kružnici (slika 1.). U danom trenutku t koordinate točke P su x=r cos θ i y=r sinθ, pri čemu je r radijus kružnice i θ kut što ga dužina OP zatvara s pozitivnim dijelom x-osi. Na slici 1. vidimo kako se koordinata y (=r sinθ) mijenja tijekom kruženja točke P, pri čemu se θ mijenja od 0 o do 360 o. Krivulja koja pritom nastaje naziva se sinusoida. Vidjeti ćemo da takav tip krivulje opisuje gibanja koja nazivamo titranjem (osciliranjem). Slika 1. Jednoliko kružno gibanje i sinusoida Tipični titrajni sustavi jesu masa na opruzi i jednostavno njihalo. Na slici 2. nalazimo dodatnu potvrdu o povezanosti jednoliko kružnog gibanja i titranja. Na zastoru pratimo sjenu točke P (koja kruži) i točke Q (koja titra na opruzi). Pritom je frekvencija kruženja točke P prilagođena frekvenciji titranja točke Q. Slika 2. Povezanost kružnog gibanja i titranja
Uloga povratne sile Dok tijelo titra, na njega djeluje sila koja ga nastoji dovesti u ravnotežan položaj. Takva sila naziva se restitucijska sila, odnosno povratna sila. Ako je riječ o titranju tijela na opruzi tada je restitucijska sila elastična sila opruge, o kojoj je već bilo riječi pa ćemo samo navesti formulu: F = k x gdje preznak minus označuje da je smjer sile suprotan elongaciji titranja. U jednadžbi za elastičnu silu k označuje konstantu opruge. Elongacija titranja govori nam o trenutnom položaju tijela koje titra u odnosu na ravnotežni položaj. Dakle, za povratnu silu vrijedi: proporcionalna je pomaku iz ravnotežnog položaja (elongaciji), uvijek je usmjerena prema ravnotežnom položaju Terminologija titranja Tijelo titra oko određene točke u prostoru - središta titranja. Obično se takva točka naziva ravnotežnim položajem, u kojem tijelo zastane kada titranje prestane. Veličine koje opisuju titranje oko ravnotežnog položaja: eleongacija titranja - trenutna udaljenost tijela od ravnotežnog položaja. Često se označuje s x, ili y, ili s... a daje se u metrima, m. Može biti pozitivna, nula (ako je tijelo u ravnotežnom položaju), ili negativna. Ovisno o tipu zadatka uvode se ovakvi dogovori za predznake. amplituda titranja - najveća elongacija, tj. najveća udaljenost tijekom titranja od ravnotežnog položaja. Označuje se s A i izražava u metrima, m. Amplituda titranja se ne mijenja ukoliko govorimo o tzv. neprigušenom titranju - kada je zanemaren utjecaj okoline na titranje tijela. Ako se uzima u obzir utjecaj okoline na titranje tijela govorimo o prigušenom titranju. Isto tako, imamo i prislilna titranja prilikom kojih se titrajnom sustavu nadoknađuje izgubljena energija zbog utjecaja okoline na titranje tijela. Mi ćemo razmatrati neprigušena titranja. period titranja - vrijeme za koje titrajni sustav dođe u položaj iz kojeg započinje novi ciklus titranja. Označuje se s T i izražava sekundom, s. brzina titranja - se tijekom titranja mijenja. Najveća je u ravnotežnom položaju, a u amplitudnim položajima je nula. Označuje se s v, a izražava u metrima po sekundi, m/s. akceleracija titranja - budući da se mijenja brzina tijela tijekom titranja, mijenja se i akceleracija. Akceleracija titranja najveća je u amplitudnim položajima, a najmanja u ravnotežnom. Akceleracija je oznake a, i daje se u metrima po sekundi na kvadrat, m/s 2.
Grafički prikazi titranja Dosad smo samo spomenuli da je karakteristična funkcija za opis titranja trigonometrijska funkcija sinus, čiji graf je sinusoida. Pri opisu titranja, uobičajeno se crtaju grafovi (x,t), (v,t) i (a,t), prema sljedećim jednadžbama: x(t) = A sin(ωt +ϕ) v(t) = ω A cos(ωt +ϕ) a(t) = ω 2 A sin(ωt +ϕ) U danim jednadžbama imamo nove fizikalne veličine: kružna frekvencija ω - koja je povezana s periodom titranja prema jedinicom radijan po sekundi (rad/s)., s mjernom početni fazni pomak φ - govori gdje je tijelo koje započinje titranje u t=0 u odnosu na ravnotežni položaj. Izražava se u radijanima ili stupnjevima. Tipične grafove titranja vidimo na slici 3. ω = 2π T Slika 3. Grafovi titranja
Odnos između akceleracije i elongacije Za titranje kažemo da je jednostavno harmonijsko titranje ukoliko je akceleracija titranja: uvijek suprotno orijentirana elongaciji titranja, po iznosu proporcionalna elongaciji, što matematički zapisujemo a = ω 2 s pri čemu je ω = 2π T Vlastita frekvencija i energija harmoničkog oscilatora Pod pojmom harmonički oscilator uvesti ćemo tijelo mase m na opruzi konstante k. Prema Hookeovom zakonu naprezanje u opruzi, F, proporcionalno je produljenju opruge s, što možemo pisati kao F = k s, gdje je k konstanta opruge u njutnima po metru (N/m). Promotrimo oprugu s tijelom mase m na slici 4. Slika 4. Tijelo na opruzi Dok tijelo miruje u ravnotežnom položaju elestična sila izjednačena je po iznosu sa silom težom, tj. F 0 = mg Ako tijelo titra, elastična sila opruge mijenja se s elongacijom. Ukoliko je elongacija tijela s, tada je povratna sila F dana s F = k s
Akceleracija tijela na opruzi određena je djelovanjem povratne sile na tijelo, tj. a = povratna sila masa = F m = k s m = k m s Primjetimo da dana jednadžba jest u strukturi jednaka jednadžbi koja definira jednostavno harmonijsko titranje, a = ω 2 s iz čega zaključujemo da tijelo na opruzi izvodi jednostavno harmonijsko titranje. Usporedbom jednadžbi dobivamo ω 2 = k m što određuje vlastitu frekvenciju harmoničkog oscilatora. Kako je ω = 2π T dobivamo T = 2π m k period titranja tijela mase m na opruzi konstante k. Kakav je energijski tretman titranja tijela na opruzi? Ukupna energija tijela koje titra jednaka je zbroju elastične potencijalne energije titranja i kinetičke energije titranja. Elastična potencijalna energija dana je s E elasticna = 1 2 k x2 = 1 2 k A2 sin 2 (ωt +ϕ) Kinetička energija dana je s E kineticka = 1 2 m v2 = 1 2 m ω 2 A 2 cos 2 (ωt +ϕ) Ukupna energija jest E = E elasticna + E kineticka
Jednostavno njihalo Naziva se još i matematičko njihalo, a sastoji se od kuglice mase m ovješene na nerastezljivu nit duljine L. Ako takvo njihalo izvučemo iz ravnotežnog položaja nastaje titranje u vertikalnoj ravnini. Na slici 5. vidimo koje sile djeluju na masu m kada je otklonjena od ravnotežnog položaja za kut θ. Slika 5. Jednostavno njihalo Sila teža, mg, može se rastaviti na dvije komponente: paralelnu niti s iznosom mgcosθ, i okomitu na nit iznosa mgsinθ. Ovo rastavljanje na komponente načinite sami na papiru. Povratna sila na njihalo jest F = mg sinθ pa je akceleracija dana s a = povratna sila masa = mg sinθ m = g sinθ Nadalje, sinθ = x L gdje je L duljina niti, i x horizontalna udaljenost kuglice mase m od ravnotežnog položaja. Za vrlo male kuteve (do 10 0 ) možemo uvesti aproksimaciju x s, čime je sinθ = s L te za male oscilacije imamo
a = g sinθ = g s L = g L s = ω 2 s Za male oscilacije jednostavno njihalo harmonijski titra s periodom T = 2π L g LC krug i analogija Električni krug sa zavojnicom induktiviteta L i kondenzatorom kapaciteta C može proizvesti elektromagnetske titraje. U takvom krugu izmjenjuje se energija između zavojnice i kondenzatora. Period titranja dan je sa T = 2π L C Slika 6. prikazuje analogiju mehaničkih i električnih titrajnih sustava. Slika 6. Analogija titranja
Rezonancija Rezonancija je pojava izazivanja titranja u jednom tijelu zbog titranja drugog tijela pri čemu se njihove frekvencije titranja ne razlikuju. Pri rezonanciji je frekvencija titranja pobudnog sustava jednaka frekvenciji titranja pobuđenog sustava. Ujedno, pobudni sustav tada najlakše prenosi energiju na pobuđeni sustav - titrajni sustav. U tom smislu pojava rezonancije može biti korisna ili štetna. Primjeri rezonancije: - neki operni pjevači i pjevačice mogu glasom "razbiti" staklenu vinsku čašu, - vojnici prilikom prelaska mosta moraju promjeniti uređeni korak ( više od dvjesto vojnika na taj je način nastradalo 1850. godine) - u duhačkim instrumentima rezonantnim titranjem stupca zraka nastaju muzičke note - električna rezonancija nastupa kada električni titrajni sustav u radiju podesi svoju frekvenciju s frekvencijom dolaznog radio signala - rezonancija u sustavima poput strojeva, letjelica, mostova, zgrada, itd. ima posebno značenje te je važno imati na umu prirodne frekvencije svih djelova titrajnog sustava jer eventualna pojava titranja izvana (vjetar, potres,...) može opasno djelovati na pobuđeni sustav. Tako je 1940. vjetar izazvao rušenje mosta u Tacomi, SAD