Sala: 2103 Octombrie 2014 CURS 1: ALGEBRĂ. Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare.

Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 1: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat. distribuit numai cu permisiunea autorului. El poate fi Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare. 1.1 Definiţia spaţiului vectorial (liniar Definiţie 1.1.1 O mulţime V φ se numeşte spaţiu vectorial peste K (sau K-spaţiu vectorial V dacă pe V se poate defini o operaţie algebrică internă (x, y V V + x + y V (numită adunarea vectorilor împreună cu care V are o structură de grup abelian, adică îndeplineşte axiomele precum şi o operaţie algebrică externă astfel încât să îndeplinească axiomele A1 x + y = y + x, x, y V A2 (x + y + z = x + (y + z, x, y, z V A3 0 V V a.î. x + 0 V = x, x V A4 x V, x V a.î. x + ( x = 0 V (α, x K V α x V (numită înmulţirea cu scalari A5 (α + β x = α x + β x α, β K, x V A6 α (x + y = α x + α y α K, x, y V A7 (α β x = α (β x α, β K, x V A8 1 x = x x V. Remarcă 1.1.1 Elementele corpului K se numesc scalari şi se notează cu litere ale alfabetului grec iar elementele K spaţiului vectorial V se numesc vectori şi se notează cu litere ale alfabetului latin. Remarcă 1.1.2 Elementul 0 V se numeşte vectorul nul iar x opusul vectorului x. Remarcă 1.1.3 Pentru spaţiul vectorial V peste corpul K se foloseşte notaţia (V, K sau V/K. Dacă K = R atunci spaţiul vectorial (V, R se numeşte spaţiu vectorial real iar dacă K = C atunci spaţiul vectorial (V, C se numeşte spaţiu vectorial complex. Exerciţiul 1.1.1 Fie K corp comutativ şi K n = K... K = }{{} de n ori unde n N, n 2. Pe K n definim operaţiile { } (x 1,..., x n T xi K, i = 1,..., n 1-1

CURS 1: ALGEBRĂ 1-2 - adunarea: unde (x 1,..., x n T, (y 1,..., y n T K n ; - înmulţirea cu scalari: unde α K, (x 1,..., x n T K n. (x 1,..., x n T + (y 1,..., y n T def = (x 1 + y 1,..., x n + y n T α (x 1,..., x n T = (α x 1,..., α x n T Să se arate că mulţimea K n înzestrată cu operaţiile + şi are o structură de spaţiu vectorial peste corpul K, numit spaţiu aritmetic n-dimensional (sau spaţiul coordonatelor. Demonstraţie. Elementul 0 V = (0,..., 0 T, respectiv x = ( x 1,..., x n T, este vectorul nul din K n, respectiv, opusul lui x din K n. Probăm A1 din Definiţia 1.1.1. Pentru aceasta observăm că pentru orice x = (x 1,..., x n T, y = (y 1,..., y n T K are loc x + y = (x 1,..., x n T + (y 1,..., y n T def = (x 1 + y 1,..., x n + y n T = (y 1 + x 1,..., y n + x n T = (y 1,..., y n T + (x 1,..., x n T = y + x, adică axioma A1 a fost verificată. Absolut analog se verifică axiomele A2 A8 ceea ce arată că mulţimea K n este un spaţiu vectorial peste corpul K. Remarcă 1.1.4 Pentru K = R obţinem spaţiul aritmetic n-dimensional R n. 1.2 Reguli de calcul într-un spaţiu vectorial Propoziţie 1.2.1 Dacă (V, K este spaţiu vectorial atunci i 0 x = 0 V x V, ii α K avem α 0 V = 0 V, iii ( 1 x = x x V, iv α x = 0 V α = 0 sau x = 0 V v α (x y = α x αy x, y V, α K vi (α β x = α x β x α, β K, x V 1.3 Subspaţii vectoriale Definiţie 1.3.1 Fie (V, K spaţiu vectorial şi X V, X φ. Mulţimea X se numeşte subspaţiu vectorial al lui (V, K dacă i x, y X = x + y X; ii α K, x X = αx X. Exemplul 1.3.1 Orice spaţiu vectorial (V, K are cel puţin două subspaţii {0 V } şi V numite subspaţii vectoriale improprii ale lui (V, K. Orice alt subspaţiu vectorial se numeşte subspaţiu propriu. Exemplul 1.3.2 Dacă K n este spaţiul aritmetic n-dimensional definit în Exerciţiul 1.1.1 atunci E = {x = (x 1,..., x i 1, 0, x i+1,..., x n T } x K n

CURS 1: ALGEBRĂ 1-3 este un subspaţiu vectorial al lui (K n, K. Într-adevăr, fie x = (x 1,..., x i 1, 0, x i+1,..., x n T şi y = (y 1,..., y i 1, 0, y i+1,..., y n T elemente arbitrare din E. Observăm că x + y = (x 1 + y 1,..., x i 1 + y i 1, 0, x i+1 + y i+1,..., x n + y n T E αx = (αx 1,..., αx i 1, 0, αx i+1,..., αx n T E α K şi deci E este un subspaţiu vectorial al lui K n. Remarcă 1.3.1 Relaţiile i, ii din Definiţia 1.3.1 sunt echivalente cu α, β K şi x, y X rezultă αx+βy X. Remarcă 1.3.2 Un subspaţiu vectorial are o structură de spaţiu vectorial în raport cu operaţiile induse. 1.4 Acoperire liniară a unei submulţimi. Combinaţie liniară de vectori Definiţie 1.4.1 Fie (V, K spaţiu vectorial, A V nevidă şi x 1,..., x n V. i Spunem că vectorul x V este o combinaţie liniară de vectorii x 1,..., x n dacă există scalarii α 1,..., α n K astfel încât x = n α i x i. i=1 ii Spunem că vectorul x V este o combinaţie liniară de vectori din A, dacă n N, α i K, şi vectorii x i A, i = 1,..., n, a.î. x = n α i x i. i=1 iii Mulţimea L K (A def = a tututror combinaţiilor liniare de vectori din A V se numeşte acoperire liniară a lui A. În particular, dacă A = {x 1,..., x n } atunci } L K (A def = { n α i x i α i K, i = 1,..., n Propoziţie 1.4.1 Dacă A V, A φ atunci L K (A este subspaţiu vectorial al lui V. i=1. (1.4.1 Remarcă 1.4.1 L K (A se numeşte şi subspaţiul vectorial generat de mulţimea A şi este cel mai mic subspaţiu vectorial ce conţine mulţimea A. În loc de L K (A se mai folosesc notaţiile span K (A, span (A, sp (A, < A > sau L (A. 1.5 Sistem de generatori Fie (V, K spaţiu vectorial. Definiţie 1.5.1 Spunem că sistemul X V este un sistem de generatori pentru V, dacă orice vector din V se scrie ca o combinaţie liniară de vectori din X. Cu alte cuvinte, X este un sistem de generatori pentru V, dacă V = L (X. Remarcă 1.5.1 Dacă X este un sistem de generatori pentru V şi X Y V, atunci Y este un sistem de generatori al lui V.

CURS 1: ALGEBRĂ 1-4 Remarcă 1.5.2 Dacă X este un sistem de generatori pentru V şi x X este o combinaţie liniară cu vectori din X, atunci X\ {x} este un sistem de generatori pentru V. Definiţie 1.5.2 Se spune că un K-spaţiu vectorial V este de dimensiune finită, dacă conţine un sistem de generatori {x 1,..., x n }, în număr finit. Exemplul 1.5.1 Spaţiul aritmetic n-dimensional K n este de dimensiune finită, deoarece sistemul de vectori { e 1 = (1,..., 0 T,..., e n = (0,..., 1 T } este sitem de generatori în K n. Exemplul 1.5.2 Spaţiul vectorial al funcţiilor reale, definite pe segementul [a, b] nu este de dimensiune finită, deoarece funcţiile f 0 (t = 1, f 1 (t = t,..., f n (t = t n,... realizează un sistem de generatori, cu n N arbitrar.

Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 2: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat. distribuit numai cu permisiunea autorului. El poate fi 2.1 Familie de vectori liniar independentă/dependentă Fie (V, K spaţiu vectorial şi I o mulţime de indici. Definiţie 2.1.1 O familie de vectori X = {x i } i I V se numeşte liniar independentă dacă pentru orice familie I 0 I finită i I 0 α i x i = 0 V dacă şi numai dacă α i = 0 i I 0. Definiţie 2.1.2 O familie de vectori X = {x i } i I V se numeşte liniar dependentă dacă există α i K, i I nu toţi nuli astfel încât α i x i = 0 V. i I 2.2 Operaţii cu familii de vectori Propoziţie 2.2.1 Intersecţia unei familii de subspaţii vectoriale ale unui spaţiu vectorial este un subspaţiu vectorial (echivalent: dacă {S i } i I este o familie de subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial (V, K atunci S i este un subspaţiu vectorial în (V, K. i I Remarcă 2.2.1 În general, reuniunea a două subspaţii vectoriale nu este neapărat un subspaţiu vectorial. Definiţie 2.2.1 Se numeşte suma unei familii {S i } i I de subspaţii vectoriale din spaţiul vectorial (V, K, mulţimea { } def S i = v i v i S i, pentru orice i I. i I i I Remarcă 2.2.2 Suma unei familii de subspaţii vectoriale este un subspaţiu vectorial. Remarcă 2.2.3 Dacă {S i } i I este o familie de subspaţii vectoriale din spaţiul vectorial (V, K atunci ( S i = span S i, i I (echivalent: suma subspaţiilor coincide cu subspaţiul generat de reuniunea subspaţiilor. i I 2-1

CURS 2: ALGEBRĂ 2-2 2.3 Bază a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţie 2.3.1 Fie (V, K spaţiu vectorial. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: i B este liniar independentă; ii B este sistem de generatori pentru spaţiul V. Exemplul 2.3.1 Fie e 1 = (1, 0,..., 0 T,..., e n = (0,..., 1 T. Familia de vectori B c = {e 1,..., e n } este o bază a spaţiului vectorial R n numită baza canonică. Definiţie 2.3.2 Familia de vectori X V este o familie liniar independentă maximală, dacă X este liniar independentă şi din faptul că X Y V şi X Y rezultă că Y nu este liniar independentă. Definiţie 2.3.3 Sistemul de vectori X V este un sistem minimal de generatori pentru V, dacă X este sistem de generatori pentru V şi din faptul că Y X şi X Y rezultă că Y nu este un sistem de generatori pentru V. În următorul rezultat sunt sugerate definiţii echivalente ale bazei: Propoziţie 2.3.1 Fie B o mulţime de vectori în (V, K. Sunt echivalente afirmaţiile: i B este liniar independentă şi maximală; ii iii B este sistem de generatori minimal; B este bază. Remarcă 2.3.1 Dacă pentru o bază se ţine cont şi de ordinea vectorilor în bază, atunci în locul cuvântului bază se va folosi cuvântul reper. Teoremă 2.3.1 (Teorema de existenţă a bazei Fie (V, K spaţiu vectorial. Daca familia finită (x i i=1,n este sistem de generatori pentru V în care subfamilia (x i i=1,r, r n, este liniar independentă, atunci există o bază B a lui V astfel încât {x 1,..., x r } B {x 1,..., x r,..., x n }. Definiţie 2.3.4 Numărul elementelor unei baze a spaţiului vectorial (V, K, de dimensiune finită, se numeşte dimensiunea spaţiului. În cazul când (V, K nu este de dimensiune finită, se spune că (V, K este infinit dimensional. Remarcă 2.3.2 Dacă G = (x 1, x 2,..., x m este sistem de generatori în spaţiul vectorial finit dimensional V {0 V } peste corpul K atunci există o bază B a lui V conţinută în G. Teoremă 2.3.2 Într-un spaţiu vectorial finit dimensional orice două baze au acelaşi număr de elemente. Definiţie 2.3.5 Fie (V, K spaţiu vectorial finit dimensional. Dimensiunea lui (V, K este prin definiţie egală cu numărul de vectori dintr-o bază a acestuia. Pentru a pune în evidenţă dimensiunea spaţiului vectorial finit dimensional (V, K se foloseşte notaţia dim K V. Evident dim K {0 V } = 0. Remarcă 2.3.3 Conform Teoremei 2.3.2 dim K V nu depinde de alegerea bazei.

CURS 2: ALGEBRĂ 2-3 Lemă 2.3.1 (Lema de completare Într-un spaţiu vectorial de dimensiune finită orice familie de vectori liniar independentă poate fi extinsă la o bază. Teoremă 2.3.3 (Teorema de caracterizare a bazei Fie (V, K spaţiu vectorial finit dimensional. O familie de vectori B = {x 1,..., x n } este bază a lui V dacă şi numai dacă pentru orice x V există şi sunt unici α 1,..., α n K astfel încât x = α 1 x 1 +... + α n x n. Demonstraţie. Cum B este bază a lui V deducem că este şi sistem de generatori pentru V. Aşadar, pentru orice x V există α 1,..., α n K astfel încât x = α 1 x 1 +... + α n x n. (2.3.1 Pe de altă parte dacă α 1,..., α n K nu ar fi unici ar exista β 1,..., β n K astfel încât Ar rezulta din relaţiile (2.3.1 şi (2.3.2 că sau echivalent x = β 1 x 1 +... + β n x n. (2.3.2 α 1 x 1 +... + α n x n = β 1 x 1 +... + β n x n (β 1 α 1 x 1 +... + (β n α n x n = 0 V = β 1 = α 1,...,β n = α n unde am folosit faptul că x 1,..., x n sunt liniar independente. Presupunem că pentru orice x V există şi sunt unici α 1,..., α n K astfel încât x = α 1 x 1 +... + α n x n. Aceasta implică că B este sistem de generatori. Rămâne să demonstrăm că este şi liniar independent. Observăm că α 1,..., α n K astfel încât α 1 x 1 +... + α n x n = 0 V putem scrie α 1 x 1 +... + α n x n = 0 V = 0 x 1 +... + 0 x n. Ţinând cont că scrierea lui 0 V este unică deducem că α 1 =... = α n = 0. Remarcă 2.3.4 formează o bază. Într-un spaţiu vectorial n dimensional, un sistem format din n vectori liniar independenţi Remarcă 2.3.5 Scalarii α 1,..., α n K din relaţia (2.3.1 se numesc coordonatele vectorului x în baza B, iar vectorul x B = (α 1,..., α n T se numeşte vectorul coordonatelor lui x în baza B. 2.4 Rangul unui sistem de vectori Definiţie 2.4.1 Dacă M V este un sistem de vectori din V, atunci rangul lui M este dimensiunea subspaţiului vectorial generat de M (rangm = diml(m. Teoremă 2.4.1 (Teorema rangului Pentru o matrice rangul sistemului de vectori linie este egal cu rangul sistemului de vectori coloană. Definiţie 2.4.2 Rangul comun al sistemelor de vectori linii sau coloane a unei matrice se numeşte rangul ei. Remarcă 2.4.1 Prin transformări elementare aplicate sistemului de vectori linie sau coloane, rangul unei matrice nu se modifică.

CURS 2: ALGEBRĂ 2-4 Remarcă 2.4.2 Prin transformări elementare asupra liniilor şi coloanelor, orice matrice A poate fi transformată într-o matrice B, având toate elementele nule cu excepţia primelor r elemente de pe diagonala principală, care să fie egale cu 1. Matricea A are atunci rangul r. Remarcă 2.4.3 Familia de vectori {x 1,..., x n } a spaţiului vectorial real (R n, R este liniar independentă dacă şi numai dacă rangul matricei ce are pe coloane componentele vectorilor x 1,..., x n are rangul n. Remarcă 2.4.4 Familia de vectori {x 1,..., x n } a spaţiului vectorial real (R n, R este liniar dependentă dacă şi numai dacă rangul matricei care are pe coloane (sau linii componentele vectorilor {x 1,..., x n } are rangul k mai mic decât n. Mai mult, orice subfamilie a acesteia care conţine vectori ce au componente într-un minor de ordinul k, nenul este liniar independentă. Numărul maxim de elemente al unei subfamilii liniar independente este egal cu rangul k al matricei.

Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 3: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat. distribuit numai cu permisiunea autorului. El poate fi 3.1 Teorema schimbului a lui Steinitz Teoremă 3.1.1 Dacă (V, K este spaţiu vectorial cu dim K V N, I = {v 1,..., v r } V este sistem liniar independent iar G = {u 1,..., u m } V este sistem de generatori pentru V atunci există i 1,..., i m r {1, 2,..., m} astfel încât { v 1,..., v r, u i1,..., u im r } este sistem de generatori pentru V. 3.2 Metoda pivotului Gauss-Jordan. Lema substituţiei Teoremă 3.2.1 (Lema substituţiei Fie (V, K spaţiu vectorial cu dim K V = n 1, B = {a 1,..., a n } bază a lui V iar x = ξ 1 a 1 +... + ξ i a i +... + ξ n a n şi y = η 1 a 1 +... + η n a n. Are loc: i Dacă F = {a 1,..., a i 1, x, a i+1,..., a n } este bază pentru V atunci ξ i 0. ii Dacă ξ i 0 atunci F = {a 1,..., a i 1, x, a i+1,..., a n } este bază pentru V şi avem unde η i = ηi ξ i şi η j = η j ηi ξ i ξ j, j i, j = 1, n. y = η 1a 1 +... + η i x +... + η na n Demonstraţie. i (Necesitatea. Fie F bază pentru V. Dacă prin absurd ξ i = 0 atunci sau echivalent x = ξ 1 a 1 +... + ξ i a i +... + ξ n a n (3.2.1 ξ 1 a 1 +... + ξ i a i + ( 1 x + ξ i+1 a i+1 +... + ξ n a n = 0 V relaţie care arată că vectorii din F sunt liniar dependenţi. Ori, aceasta este o contradicţie cu F bază pentru V. Deci ξ i 0. ii (Suficienţa. Presupunem ξ i 0 şi fie combinaţia liniară sau folosind scrierea (3.2.1 echivalent cu λ 1 a 1 +... + λ i 1 a i 1 + λ i x +... + λ n a n = 0 V λ 1 a 1 +... + λ i (ξ 1 a 1 +... + ξ i a i +... + ξ n a n +... + λ n a n = 0 V ce implică { λi ξ i = 0 λ j + λ i ξ j = 0, j i = λ i = 0 şi respectiv λ j = 0 3-1

CURS 3: ALGEBRĂ 3-2 adică vectorii a 1,..., a i 1, x, a i+1,..., a n formează o bază în V (sunt liniar independenţi şi sunt în număr de n = dim K V. Coordonatele vectorului y în raport cu baza F se obţin astfel: y = η 1a 1 +... + η i n ξ j a j +... + ηna n = (η1 + ηi ξ 1 a 1 +... + ηi ξ i a i +... + (ηn + ηi ξ n a n j=1 adică η 1 = η1 + ηi ξ 1... η1 = η 1 ηi ξ i ξ 1...... η i = η i ξ i = η i = ηi ξ i......... η n = ηn + ηi ξ n ηn = η n ηi ξ i ξ n formule care determină noile coordonate ale vectorului y V în raport cu baza F din V. Remarcă 3.2.1 Câteva din aplicaţiile lemei substituţiei sunt: rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare, calculul inversei unei matrice, determinarea rangului unei matrice, extragerea unei baze dintr-un sistem de generatori, determinarea coordonatelor unui vector într-o bază etc. În rezolvarea acestor probleme ea se reprezintă astfel B x y a 1 ξ 1 η 1......... a i ξ i 0 η i......... a n ξ n η n = B x y a 1 0 η1 = ξiη1 ηiξ1 ξ i......... x 1 η1 = ηi ξ i......... a n 0 ηn = ηnξi ηiξn ξ i (numită şi metoda pivotului a lui Gauss-Jordan ξ i se numeşte pivot. 3.3 Matricea de trecere de la un reper la altul Definiţie 3.3.1 Fie (V, K spaţiu vectorial cu dim K V = n N iar E = {a 1,..., a n } şi F = {b 1,..., b n } baze ale sale. Matricea ale cărei coloane sunt formate de coordonatele vectorilor bazei F în raport cu baza E se numeşte matricea de trecere de la baza E la baza F. Remarcă 3.3.1 Dacă b i = n j=1 α ija j, i = 1, n atunci matricea de trecere de la baza E la baza F este A E,F = α 11... α n1.......... (3.3.1 α 1n... α nn Teoremă 3.3.1 (Schimbarea bazei Fie (V, K spaţiu vectorial cu dim K V = n N, E = {x 1,..., x n } şi F = {y 1,..., y n } baze ale sale. Dacă trecerea de la baza E la baza F se face prin matricea A E,F definită în (3.3.1 atunci trecerea de la coordonatele lui x în baza E la coordonatele lui x în baza F se face prin matricea (A E,F 1. Are loc formula x F = (A E,F 1 x E. Demonstraţie. Din E bază deducem că x V,! α 1,..., α n K astfel încât x = α 1 x 1 +... + α n x n. Fie y i = α i1 x 1 +... + α in x n, i = 1,..., n şi β 1,..., β n coordonatele lui x faţă de baza F, adică x = β 1 y 1 +... + β n y n. Stabilim o legătură între coordonatele α 1,..., α n şi β 1,..., β n. Avem x = α 1 x 1 +... + α n x n = β 1 y 1 +... + β n y n = β 1 (α 11 x 1 +... + α 1n x n +... + β n (α n1 x 1 +... + α nn x n = n n (β 1 α 11 +... + β n α n1 x 1 +... + (β 1 α 1n +... + β n α nn x n = β j α ji x i. i=1 j=1

CURS 3: ALGEBRĂ 3-3 Cum reprezentarea vectorului x în baza B este unică deducem că α i = n β j α ji pentru orice i = 1,..., n j=1 ori în scrierea matriceală, relaţie echivalentă cu x E = A E,F x F. Rezolvând ecuaţia matriceală în raport cu x F, obţinem x F = (A E,F 1 x E. 3.4 Definiţia izomorfismului de spaţii vectoriale. Spaţii vectoriale de tip finit izomorfe Fie (U, K şi (V, K spaţii vectoriale. Definiţie 3.4.1 Aplicaţia f : U V se numeşte morfism de spaţii vectoriale (sau: aplicaţie liniară, operator liniar, homomorfism de spaţii vectoriale... dacă pentru orice x, y U şi orice α, β K. f (αx + βy = αf (x + βf (y (3.4.1 Remarcă 3.4.1 Notăm prin L K (U, V sau prin Hom K (U, V mulţimea tuturor morfismelor f : U V. Dacă U = V atunci f se numeşte endomorfism al lui U. Remarcă 3.4.2 i Compunerea a două (sau mai multe aplicaţii liniare este tot o aplicaţie liniară. ii Dacă f : U V este un morfism de spaţii vectoriale atunci f (0 U = 0 V. Definiţie 3.4.2 Fie f : U V aplicaţie liniară. Spunem că i f este injectivă dacă pentru orice u 1, u 2 U următoarea implicaţie f (u 1 = f (u 2 = u 1 = u 2 este adevărată. ii f este surjectivă dacă pentru orice v V există u U astfel încât f (u = v. iii f este bijectivă dacă este injectivă şi surjectivă (echivalent: pentru orice v V există şi este unic u U astfel încât f (u = v. Definiţie 3.4.3 Spaţiile vectoriale (U, K şi (V, K se numesc izomorfe, notăm (U, K = (V, K, dacă există un morfism bijectiv f : U V. Se mai spune că f este izomorfism sau transformare liniară nesingulară. 3.5 Teoreme de izomorfism Teoremă 3.5.1 (Teorema fundamentală de izomorfism Dacă (U, K şi (V, K sunt spaţii vectoriale cu dim K U = dim K V N atunci (U, K = (V, K. Demonstraţie. Presupunem că dim K U = dim K V = n N. Fie {v 1,..., v n } bază (V, K. v U,!a 1,..., a n K astfel încât Demonstrăm că aplicaţia f : U V definită prin v = a 1 v 1 +... + a n v n. f (a 1 v 1 +... + a n v n = a 1 w 1 +... + a n w n (U, K şi {w 1,..., w n } bază

CURS 3: ALGEBRĂ 3-4 este liniară şi bijectivă. Într-adevăr, dacă v = a 1v 1 +... + a n v n U, w = b 1 v 1 +... + b n v n V şi a, b K sunt arbitrari atunci f (av + bw = f ((aa 1 + bb 1 v 1 +... + (aa n + bb n v n = (aa 1 + bb 1 w 1 +... + (aa n + bb n w n = a (a 1 w 1 +... + a n w n + b (b 1 w 1 +... + b n w n = af (v + bf (w adică f este aplicaţie liniară. Pentru a proba că f este bijectivă este suficient să observăm că pentru orice w V,!a 1,..., a n K astfel încât w = a 1 w 1 +... + a n w n şi deci v = a 1 v 1 +... + a n v n este unicul element din U astfel încât f (v = w, adică f este bijectivă. Remarcă 3.5.1 Dacă (V, R este spaţiu vectorial real cu dim K V = n N atunci (V, R = (R n, R. Remarcă 3.5.2 Dacă (U, K, (V, K sunt spaţii vectoriale, f : U V izomorfism iar B bază în U atunci f (B este bază în V. Teoremă 3.5.2 Fie (U, K şi (V, K spaţii vectoriale. Dacă f : U V este izomorfism de spaţii vectoriale atunci aplicaţia inversă f 1 : V U este izomorfism de spaţii vectoriale. 3.6 Spaţiul cât Fie (V, K spaţiu vectorial şi X subspaţiu vectorial al său. Definim o relaţie binară ρ astfel x, y V avem xρy x y X. Remarcăm că ρ îndeplineşte proprietăţile R1 reflexivitatea: xρx, x V ; R2 simetria: dacă xρy atunci yρx, x, y V ; R3 tranzitivitatea: (xρy şi yρz atunci xρz, x, y, z V, adică ρ este o relaţie de echivalenţă (congruenţa modulo X, se notează. Definiţie 3.6.1 Fie x V. Mulţimea x = {y V y x (modulo X} = {y V y x X} se numeşte clasa de echivalenţă asociată vectorului x în raport cu ρ sau clasa de echivalenţă a lui x în raport cu ρ. Remarcă 3.6.1 Mulţimea V/X = { x x V } notată şi V/ (numită spaţiul factor sau spaţiul cât al lui V în raport cu relaţia de echivalenţă ρ a tuturor claselor de echivalenţă, admite o structură de spaţiu vectorial în raport cu următoarele operaţii Remarcă 3.6.2 Au loc: i 0 = X. Într-adevăr, adunarea: înmulţirea cu scalari: x + ŷ def = x + y pentru orice x, y V α x def = α x pentru orice x V şi α K. 0 = {y V y 0} = {y V y 0 X} = {y V y X} = X. ii Dacă X = {0} atunci spaţiul cât al lui V/ {0} = V. Într-adevăr, x V, x = {y V y x {0}} = {y V y x = 0} = {x}. Teoremă 3.6.1 Fie (V, K spaţiu vectorial cu dim K V < şi X subspaţiu vectorial al său. Dacă dim K V = n şi dim K X = m atunci dim K (V/X = n m.

Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 4: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat. distribuit numai cu permisiunea autorului. El poate fi 4.1 Suma şi intersecţia a două subspaţii vectoriale Amintim următorul rezultat: Teoremă 4.1.1 Dacă (V, K este spaţiu vectorial iar V 1, V 2 sunt subspaţii vectoriale în V atunci sunt subspaţii vectoriale ale lui V. V 1 V 2 = {v V v V 1 şi v V 2 } V 1 + V 2 = {v 1 + v 2 v 1 V 1 şi v 2 V 2 } = {v V v 1 V 1 şi v 2 V 2 astfel încât v = v 1 + v 2 } Remarcă 4.1.1 V 1 V 2 este numit subspaţiul vectorial intersecţie iar V 1 + V 2 este numit subspaţiul vectorial sumă. 4.2 Teorema lui Hermann Günther Grassmann (1809 1877 Teoremă 4.2.1 Dacă (V, K este spaţiu vectorial cu dim K V N iar V 1, V 2 sunt subspaţii vectoriale în V atunci dim K (V 1 + V 2 dim K V 2 = dim K V 1 dim K (V 1 V 2. Demonstraţie. Fie B V1 V 2 = {v 1,..., v m } bază în V 1 V 2. Dacă extindem această bază la atunci B V1 = {v 1,..., v m, u m+1,..., u r } bază V 1 şi B V2 = {v 1,..., v m, w m+1,..., w s } bază V 2 S = {v 1,..., v m, u m+1,..., u r, w m+1,..., w s } este sistem de generatori pentru V 1 + V 2. Arătăm că S este liniar independent. Realizăm o combinaţie liniară, egală cu vectorul nul 0 V = Σ m i=1a i v i + Σ r j=m+1b j u j + Σ s k=r+1c k w k. Rezultă că v definit prin v = Σ m i=1a i v i + Σ r j=m+1b j u j }{{} V 1 s = Σk=r+1c k w k }{{} V 2 este un vector din V 1 V 2 şi b j = 0 (j = m + 1,..., r deoarece B V1 este liniar independent. Mai mult 0 V = Σ m i=1a i v i + Σ s k=r+1c k w k iar deoarece B V 2 este liniar independent deducem că a i = c k = 0. Aşadar dim K (V 1 + V 2 = dim K V 1 + dim K V 2 dim K (V 1 V 2. 4-1

CURS 4: ALGEBRĂ 4-2 4.3 Sumă directă de subspaţii vectoriale Definiţie 4.3.1 Fie (V, K spaţiu vectorial. Spunem că suma V 1 +V 2 a subspaţiilor vectoriale V 1, V 2 din spaţiul vectorial V este directă, dacă oricare ar fi v V 1 + V 2 există v 1 V 1 şi v 2 V 2 unici, astfel încât v = v 1 + v 2. Notăm această situaţie prin V 1 V 2. Aşadar V 1 V 2 = {v V!v 1 V 1 şi!v 2 V 2 astfel încât v = v 1 + v 2 }. Teoremă 4.3.1 Fie (V, K spaţiu vectorial. Dacă V 1, V 2 sunt subspaţii vectoriale în V atunci suma V 1 + V 2 este directă dacă şi numai dacă V 1 V 2 = {0 V }. Demonstraţie. Presupunem v V 1 V 2. Atunci v = v V1 + 0 V = 0 V + v V2 iar ţinând cont că scrierea lui v este unică, deducem că v = 0 V. Dacă v 1 + v 2 = v 1 + v 2 pentru v 1, v 2 V 1 iar v 1, v 2 V 2 atunci v 1 v 1 }{{} V 1 adică reprezentarea ca sumă este unică. = v v 1 = v 1 şi v 2 = v 2 deoarece v 1 v 1 V1 V2={0 V } deoarece v 2 v 2 V1 V2={0 V } 2 v 2. Aşadar }{{} V 2 Remarcă 4.3.1 Dacă (V, K este spaţiu vectorial cu dim K V N iar V 1, V 2 sunt subspaţii vectoriale în V astfel încât suma V 1 + V 2 este directă, atunci dim K (V 1 + V 2 = dim K V 1 + dim K V 2. Demonstraţie. Deoarece dim K (V 1 V 2 = 0 rezultatul este o consecinţă a Teoremei 4.2.1. 4.4 Teorema de caracterizare a sumei directe Definiţie 4.4.1 Fie V 1, V 2,..., V m subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial de tip finit (V, K. Spunem că V este sumă directă de V 1, V 2,..., V m şi scriem V = m V i sau V = V 1... V m dacă orice vector din V i=1 se scrie în mod unic ca o sumă de vectori din V 1, V 2,..., V m. În această situaţie se mai spune că subspaţiile vectoriale V 1, V 2,..., V m sunt suplimentare. Dăm următoarea caracterizare a sumei directe. Teoremă 4.4.1 Fie (V, K spaţiu vectorial de dimensiune finită. Următoarele sunt echivalente i V = m V i. i=1 ii V = V 1 +... + V m = Σ m i=1 V i şi V i ( Σ m j=1,j i V j = {0 V } i = 1,..., m. iii V = Σ m i=1 V i şi dim K V = dim K V 1 +... + dim K V m = Σ m i=1 dim K V i.

CURS 4: ALGEBRĂ 4-3 4.5 Teorema de existenţă a suplimentului Teoremă 4.5.1 Fie (V, K spaţiu vectorial cu dim K V = n N. Dacă X V este subspaţiu vectorial în V atunci există Y V subspaţiu vectorial astfel încât V = X Y. Demonstraţie. Fie p = dim K X n şi B X = {b 1,..., b p } o bază a lui X. Cum dim K V = n putem completa B X până la o bază B V a lui V, astfel B V = {b 1,..., b p, g 1,..., g n p }. Demonstrăm că Y = Span {g 1,..., g n p } are proprietatea că V = X Y. Evident Pe de altă parte v V, v = Σ p i=1 α ib i }{{} x X Relaţiile (4.5.1 şi (4.5.2 implică Mai mult, observăm că X + Y V. (4.5.1 + Σ n p i=1 β ig i = x + y X + Y = V X + Y. (4.5.2 }{{} y Y V = X + Y. (4.5.3 dim K X + dim K Y = p + (n p = n = dim K V = n. (4.5.4 În final (4.5.3 şi (4.5.4 arată că este aplicabil punctul iii al Teoremei 4.5.1 şi deci V = X Y. 4.6 Exemple de operatori liniari Exemplul 4.6.1 Fie (V, K spaţiu vectorial. 1 Aplicaţia 1 V : V V definită prin 1 V (x = x pentru orice x V este un operator liniar, numit operatorul identic. 2 Dacă V 1, V 2 sunt subspaţii vectoriale în V atunci aplicaţia O : V 1 V 2 definită prin O (x = 0 V2 pentru orice x V 1 este un operator liniar, numit operatorul nul. 3 Notăm cu C 1 [a,b] mulţimea tuturor funcţiilor f ( : [a, b] R derivabile pe [a, b] cu derivata continuă. Aplicaţia D : C 1 [a,b] C0 [a,b], D (f = f este un operator liniar numit operator de derivare. 4 Notăm cu C[a,b] 0 mulţimea tuturor funcţiilor f ( : [a, b] R continue pe [a, b]. Aplicaţia este un operator liniar numit operatorul de integrare. x I : C[a,b] 0 C1 [a,b], I (f = f (t dt, x [a, b] a 4.7 Proprietăţi ale operatorilor liniari Teoremă 4.7.1 Fie (V 1, K şi (V 2, K spaţii vectoriale iar f : V 1 V 2 operator liniar. Următoarele au loc i f (0 V1 = 0 V2.

CURS 4: ALGEBRĂ 4-4 ii f ( x = f (x x V 1. iii f (Σ m i=1 α ix i = Σ m i=1 α if (x i, α i K, x i V 1 cu i = 1,..., m. iv Dacă X este subspaţiu vectorial în V 1 atunci f (X este subspaţiu vectorial în V 2. 4.8 Operaţii cu operatori liniari. Operator invers Teoremă 4.8.1 Fie (V 1, K şi (V 2, K spaţii vectoriale. Dacă pe mulţimea L K (V 1, V 2 considerăm operaţiile i (f + g (x = f (x + g (x ii (αf x = αf (x unde f (x, g (x L K (V 1, V 2 iar α K, atunci (L K (V 1, V 2, K are o structură de spaţiu vectorial în raport cu operaţiile definite. Definiţie 4.8.1 Fie (V 1, K, (V 2, K şi (V 3, K spaţii vectoriale. Dacă f : V 1 V 2 şi g : V 2 V 3 sunt operatori liniari atunci aplicaţia (g f ( : V 1 V 3 definită prin (g f (x = g (f (x pentru x V 1 se numeşte produsul (sau compunerea operatorilor liniari f, g. Remarcă 4.8.1 Fie (V 1, K, (V 2, K şi (V 3, K spaţii vectoriale. Dacă f : V 1 V 2 şi g : V 2 V 1 sunt operatori liniari atunci (g f ( : V 1 V 3 este operator liniar. Definiţie 4.8.2 Fie (V 1, K şi (V 2, K spaţii vectoriale. Operatorul liniar f : V 1 V 2 se numeşte inversabil dacă există un operator g : V 2 V 1 astfel încât (g f (x = x x V 1 şi (f g (y = y y V 2. Dacă există g îndeplinind aceste condiţii atunci se notează cu f 1 şi se numeşte inversul operatorului liniar f. Teoremă 4.8.2 Fie (V 1, K şi (V 2, K spaţii vectoriale. Operatorul liniar f : V 1 V 2 este inversabil dacă şi numai dacă este bijectiv.

Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 5: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat. distribuit numai cu permisiunea autorului. El poate fi 5.1 Nucleul şi imaginea unui operator liniar. Rangul unui operator liniar şi defectul lui Definiţie 5.1.1 Fie (X, K şi (Y, K spaţii vectoriale şi U : X Y operator liniar. i Mulţimea Ker U = {x X U (x = 0 Y } se numeşte nucleul operatorului U iar dim K KerU se numeşte defectul lui U. ii Mulţimea ImU = {y Y x X astfel încât U (x = y} se numeşte imaginea operatorului U iar dim K ImU se numeşte rangul lui U. Remarcă 5.1.1 Sunt adevărate: i Ker U este subspaţiu vectorial în (X, K iar ImU în (Y, K. ii Dacă Ker U = {0 X } atunci operatorul liniar U este injectiv, şi reciproc. Se mai spune că U este monomorfism. iii Dacă Im U = Y atunci operatorul liniar U este surjectiv. Se mai spune că U este epimorfism. Teoremă 5.1.1 (Teorema fundamentală de izomorfism II Dacă (X, K, (Y, K sunt spaţii vectoriale iar U : X Y este operator liniar atunci există un izomorfism g : X/KerU ImU. 5.2 Teorema dimensiunii pentru operatori liniari Teoremă 5.2.1 Dacă (X, K, (Y, K sunt spaţii vectoriale finit dimensionale nenule iar U : X Y este operator liniar atunci dim K X = dim K KerU + dim K ImU. Demonstraţie. Fie {v 1,..., v d } bază baza extinsă KerU iar {v 1,..., v d, v d+1,..., v n } X. Arătăm că {U (v d+1,..., U (v n } bază ImU. Remarcăm că pentru w ImU există v X astfel încât U (v = w. Demonstrăm că {U (v d+1,..., U (v n } este sistem de generatori în ImU. Într-adevăr, din {v 1,..., v d, v d+1,..., v n } bază X 5-1

CURS 5: ALGEBRĂ 5-2 deducem că există α 1,...,α n K astfel încât Aplicând U avem v = α 1 v 1 +... + α d v d + α d+1 v d+1 +... + α n v n. U (v = U (α 1 v 1 +... + α d v d + α d+1 v d+1 +... + α n v n = α 1 U (v 1 +... + α d U (v d + α d+1 U (v d+1 +... + α n U (v n }{{}}{{} =0 Y deoarece v 1 KerU =0 Y deoarece v d KerU = α d+1 U (v d+1... + α n U (v n şi deci {U (v d+1,..., U (v n } Span (ImU. Demonstrăm că {U (v d+1,..., U (v n } este liniar independent în ImU : α d+1 U (v d+1 +... + α n U (v n = 0 Y = U (α d+1 v d+1 +... + α n v n = 0 Y şi deci α d+1 v d+1... + α n v n KerU. Dar {v 1,..., v d } bază KerU = există β 1,..., β d K astfel încât α d+1 v d+1 +... + α n v n = β 1 v 1 +... + β d v d echivalent β 1 v 1 +... + β d v d α d+1 v d+1... α n v n = 0 Y. Cum {v 1,..., v d, v d+1,..., v n } bază X deducem că β 1 =... = β d = α d+1 =... = α n = 0 şi deci {U (v d+1,..., U (v n } este liniar independent în ImU. Notă: 1 dacă d = n = KerU = X iar din Teorema fundamentală de izomorfism II avem că X/KerU = {0 X } izomorf cu ImU = dim K ImU = dim K {0 X } = 0. 2 dacă d = 0 = KerU = {0 X } iar din Teorema fundamentală de izomorfism II avem că X/ {0 X } = X izomorf cu ImU = dim K ImU = dim K X = n. 5.3 Reprezentarea matriceală a operatorilor liniari definiţi pe spaţii vectoriale de tip finit Definiţie 5.3.1 Fie (X, K, (Y, K spaţii vectoriale de dimensiune finită n N, respectiv m N, U : X Y operator liniar, E = {x 1,..., x n } reper X iar F = {y 1,..., y m } reper Y. Matricea ale cărei coloane sunt coordonatele vectorilor U (x 1,..., U (x n în raport cu reperul F se numeşte matricea lui U în raport cu reperele E şi F. Remarcă 5.3.1 Dacă U (x 1 = α 11 y 1 +... + α m1 y m... U (x n = α 1n y 1 +... + α mn y m atunci matricea lui U în raport cu reperele E şi F este... [A] U E,F = (α ij i=1,..n = [U (x 1 ] F... [U (x n ] F j=1,...,m... = α 11... α 1n......... α m1... α mn ( not = A. În plus, are loc (U (x F reperul E. = [A] U E,F x E unde x E este vectorul coordonatelor elementului x X în raport cu

CURS 5: ALGEBRĂ 5-3 Remarcă 5.3.2 Fie (X, K, (Y, K spaţii vectoriale finit dimensionale nenule şi U : X Y operator liniar. reper canonic reper canonic Dacă E (X, K, F (Y, K iar [A] U E,F este matricea lui U corespunzătoare reperelor canonice E, F atunci U admite următoarea reprezentare U (x = [A] U E,F x. Definiţie 5.3.2 Fie (X, K spaţiu vectorial de dimensiune finită n N iar U : X X endomorfism. Dacă E = {x 1,..., x n } bază X iar U (x i = α 1i x 1 +... + α ni x n pentru orice i = 1,..., n atunci... [A] U E = (α α 11... α 1n ij i=1,...,n = [U (x 1 ] E... [U (x n ] E =......... ( not = A, j=1,...,n α n1... α nn... se numeşte matricea endomorfismului U în raport cu reperul E. Exerciţiul 5.3.1 Fie P 2 [X] spaţiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult 2 şi operatorul liniar U : P 2 [X] P 2 [X] definit prin U (f (x = f (x+f (x. Să se determine matricea endomorfismului U în raport cu reperul canonic B c = { 1, x, x 2} din P 2 [X]. Demonstraţie. Metoda I. Observăm că iar, conform teoriei U (1 = (1 + (1 = 0 U (x = (x + (x = 1 U ( x 2 = ( x 2 + ( x 2 = 2x + 2 0 = α 11 1 + α 21 x + α 31 x 2 1 = α 12 1 + α 22 x + α 32 x 2 2x + 2 = α 13 1 + α 23 x + α 33 x 2 sistem din care, prin identificarea coeficienţilor polinoamelor, obţinem matricea operatorului U α 11 α 12 α 13 0 1 2 [A] U B c = α 21 α 22 α 23 = 0 0 2. α 31 α 32 α 33 0 0 0 Metoda II. Deoarece P 2 [X] izomorf R 3 deducem că U este operator liniar de la R 3 la R 3, dat de o matrice A de tip 3 3. Vom determina [A] U B c. Dacă f (x = a + bx + cx 2 atunci putem scrie operatorul U astfel U ( a + bx + cx 2 = ( a + bx + cx 2 + ( a + bx + cx 2 = (b + 2cx + 2c = (b + 2c + 2cx. Vom scrie f (x = a + bx + cx 2 şi U (f (x = (b + 2c + 2cx în coordonate în raport cu reperul canonic B c = { 1, x, x 2} din P 2 [X]: Scriem coordonatele operatorului U astfel b + 2c (U (f (x Bc = 2c = 0 Matricea este matricea operatorului U. f (x = a + bx + cx 2 U U (f (x = (b + 2c + 2cx (f (x BC = (a, b, c T (U (f (x Bc = ((b + 2c, 2c, 0 T. 0 1 2 0 0 2 0 0 0 [A] U B c = 0 1 2 0 0 2 0 0 0 a b c = 0 1 2 0 0 2 0 0 0 (f (x BC.

CURS 5: ALGEBRĂ 5-4 5.4 Legătura dintre operaţiile cu operatori liniari şi operaţiile cu matricele corespunzătoare lor Teoremă 5.4.1 Fie (X, K, (Y, K, (Z, K spaţii vectoriale de dimensiune finită nenule. Presupunem că X, F reper Y, G reper Z, U 1 : X Y, U 2 : X Y şi U 3 : Y Z operatori liniari. Dacă E reper [A 1 ] U1 E,F este matricea lui U 1 în raport cu reperele E şi F (respectiv [A 2 ] U2 E,F a lui U 2 în raport cu reperele E şi F iar [A 3 ] U3 F,G matricea lui U 3 în raport cu reperele F şi G atunci i operatorului liniar U 1 + U 2 îi corespunde matricea [A] U1+U2 E,F = [A 1 ] U1 E,F + [A 2] U2 E,F ; ii iii iv operatorului liniar αu 1 (α K îi corespunde matricea [A] αu1 E,F = α [A 1] U1 E,F ; operatorului liniar U 3 U 1 îi corespunde matricea [A] U3 U1 E,G = [A 1] U1 E,F [A 3] U3 F,G ; ( sub ipoteza că U 1 este inversabilă operatorului liniar U1 1 îi corespunde matricea [A] U 1 1 F,E = [A 1 ] U1 E,F 1. 5.5 Modificarea matricei unui operator liniar la schimbarea reperelor Teoremă 5.5.1 Fie (X, K, (Y, K spaţii vectoriale de dimensiune finită nenule şi U : X Y operator liniar. Dacă [A] U E 1,F 1 este matricea lui U în raport cu reperele E 1 X, F 1 Y iar [B] U E 2,F 2 este matricea lui U în raport cu reperele E 2 X, F 2 Y atunci [B] U E 2,F 2 = (D F1,F 2 1 [A] U E 1,F 1 C E1,E 2 unde C E1,E 2 este matricea de trecere de la reperul E 1 la E 2 iar D F1,F 2 este matricea de trecere de la reperul F 1 la F 2. Remarcă 5.5.1 Fie (X, K spaţiu vectorial de dimensiune finită nenul şi U : X X endomorfism. Dacă [A] U E este matricea lui U în raport cu reperul E al lui X, iar [B] U F este matricea lui U în raport cu reperul F X atunci [B] U F = (C E,F 1 [A] U E C E,F unde C E,F este matricea de trecere de la reperul E la reperul F. Exemplul 5.5.1 Fie ( R 2, R spaţiu vectorial şi U : R 2 R 2 definit prin U (x, y = (x + y, 2x + 4y. Dacă unde B c = [A] U B c = ( 1 1 2 4 atunci să se arate că [B] U B = ( 2 0 0 3 {(1, } 0 T, (0, 1 T reper canonic R 2, B = {(1, } 1 T, (1, 2 T reper R 2. Demonstraţie. Observăm că ( 1 1 C Bc,B = = 1 Bc 2 Bc ( 1 1 1 2 şi deci (C Bc,B 1 = ( 2 1 1 1. Atunci [B] U B = ( 2 1 1 1 ( 1 1 2 4 ( 1 1 1 2 = ( 2 0 0 3

Sala: 2103 Noiembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 6: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat. distribuit numai cu permisiunea autorului. El poate fi 6.1 Valori proprii şi vectori proprii ai unui operator liniar care este endomorfism. Subspaţii proprii. Dimensiunea algebrică şi geometrică a unei valori proprii Fie (X, K spaţiu vectorial nenul şi U : X X endomorfism. Definiţie 6.1.1 Vectorul x X, x 0 X se numeşte vector propriu al lui U dacă există λ K astfel încât U (x = λx. (6.1.1 Definiţie 6.1.2 Un scalar λ K se numeşte valoare proprie a lui U dacă există x X, x 0 X ce verifică (6.1.1. Definiţie 6.1.3 Fie λ valoare proprie a lui U. Mulţimea X λ = {x X U (x = λx} se numeşte subspaţiul propriu al lui U corespunzător valorii proprii λ. (Notăm că în X λ este inclus şi 0 X. Remarcă 6.1.1 X λ = Ker (U λ1 X este subspaţiu vectorial în X. Definiţie 6.1.4 Mulţimea tuturor valorilor proprii se notează prin ΛU şi se numeşte spectrul operatorului U. Numărul R s = max { λ λ ΛU} se numeşte raza spectrală a operatorului U. Remarcă 6.1.2 Dacă dim K X = n N iar A not = [A] U B este matricea lui U în raport cu reperul B X atunci λ K este valoare proprie pentru U (se mai spune pentru A dacă şi numai dacă det (A λi n = 0. (6.1.2 În plus, vectorul propriu x corespunzător valorii proprii λ se determină din sistemul (A λi n x B = 0 X. (6.1.3 Definiţie 6.1.5 Dimensiunea subspaţiului propriu X λ peste K se numeşte multiplicitatea geometrică a valorii proprii λ. Se notează dim K X λ prin m gλ. Definiţie 6.1.6 Multiplicitatea algebrică a valorii proprii λ este multiplicitatea lui λ ca rădăcină a ecuaţiei (6.1.2. Notăm prin m aλ multiplicitatea algebrică a valorii proprii λ. Remarcă 6.1.3 Dacă dim K X = n N m gλ m aλ. iar λ K este o valoare proprie a endomorfismului U atunci 6-1

CURS 6: ALGEBRĂ 6-2 6.2 Polinoame de endomorfisme sau de matrice pătratice. Polinom caracteristic al unui endomorfism sau al unei matrice pătratice. Teorema Hamilton-Cayley. Consecinţe Fie (X, K spaţiu vectorial cu dim K X = n N, U : X X endomorfism iar A not = [A] U B raport cu reperul B X. matricea lui U în Definiţie 6.2.1 Polinomul P A (λ = det (A λi n = p 0 λ n + p 1 λ n 1 +... + p n 1 λ + p n, p i K cu i = 0,..., n ce intervine în (6.1.2 se numeşte polinomul caracteristic al endomorfismului U iar ecuaţia P A (λ = 0 ce-i corespunde lui P A (λ, se numeşte ecuaţia caracteristică a lui U. Invarianţa polinomului caracteristic la schimbarea reperelor este redată în: Teoremă 6.2.1 Prin schimbarea reperului în spaţiul vectorial (X, K, polinomul caracteristic al operatorului liniar U nu se modifică. Demonstraţie. Fie E, F reper reperele E, F. Observăm că X. Notăm A = [A] U E, B = [B]U F iar prin C = [C] E,F matricea de legătură între P B (λ = B λi n = C 1 AC λi n = C 1 (A λi n C = (A λi n = P A (λ, şi deci polinomul caracteristic nu depinde de alegerea reperului. Teoremă 6.2.2 (Teorema Hamilton-Cayley Fie M n (K spaţiul vectorial al matricelor de tip n n. Dacă B reper X, U : X X este endomorfism iar A M n (K este matricea lui U în reperul B atunci P A (A = 0 Mn(K. Demonstraţie. Observăm că (A λi n (A λi n = A λi n I n pentru λ / ΛU (6.2.1 unde (A λi n = β11 0 + β (1 11 λ +... + β(n 1 11 λ n 1... β1n 0 + β (1 1n......... βn1 0 + β (1 n1 λ +... + β(n 1 n1 λ n 1... βnn 0 + β (1 λ +... + β(n 1 1n λ n 1 nn λ +... + β nn (n 1 λ n 1 (6.2.2 este matricea adjunctă a lui A λi n. Notaţiile introduse sunt reprezentate de β11 0 + β (1 α 22 λ... α n2 11 λ +... + β(n 1 11 λ n 1 =......... α 2n... α nn λ... Descompunând (6.2.2 în sume de n matrice avem β 0 (A λi n 11... β1n 0 =........ + βn1 0... βnn 0 } {{ } not =B 0 β (1 11... β (1 1n........ β (1 n1... β nn (1 } {{ } not =B 1 λ +... + β (n 1 11... β (n 1 1n......... β (n 1 n1... β nn (n 1 } {{ } not =B n 1 λ n 1

CURS 6: ALGEBRĂ 6-3 Egalitatea (6.2.1 devine = B 0 + B 1 λ +... + B n 1 λ n 1. (A λi n ( B 0 λ + B 1 λ 2 +... + B n 1 λ n 1 = ( p 0 λ n + p 1 λ n 1 +... + p n 1 λ + p n In. Efectuând produsul în membrul întâi şi identificând coeficienţii polinoamelor, obţinem B n 1 = p 0 I n AB n 1 I n B n 2 = p 1 I n... AB 1 I n B 0 = p n 1 I n AB 0 = p n I n. Înmulţind prima relaţie cu A n a 2-a cu A n 1,..., n + 1-a cu I n respectiv şi adunând rezultă p 0 A n + p 1 A n 1 +... + p n 1 A + p n I n = 0 Mn(K sau echivalent P A (A = 0 Mn(K. Remarcă 6.2.1 Dacă det A = p n = P A (0 0 atunci ( p n I n = λ n 1 Σ p kλ n k 1 şi deci A 1 = 1 n 1 Σ p ka n k 1. k=0 k=0 λ=a p n 6.3 Operator liniar diagonalizabil. Matrice diagonalizabilă. Puterile unei matrice diagonalizabile. Teorema de diagonalizare Fie (X, K spaţiu vectorial cu dim K X = n N şi U : X X endomorfism. Definiţie 6.3.1 O matrice A = (a i,j i=1,...,n M n (K se numeşte diagonală dacă a i,j = 0 i j. j=1,...,n Remarcă 6.3.1 Dacă A M n (K este o matrice diagonală de forma λ 1 0... 0 A = 0 λ 2... 0............ atunci Ak = 0 0... λ n λ k 1 0... 0 0 λ k 2... 0............ 0 0... λ k n. Definiţie 6.3.2 O matrice A M n (K se numeşte diagonalizabilă dacă există C o matrice nesingulară (inversabilă astfel încât matricea D = C 1 AC este o matrice diagonală. Remarcă 6.3.2 Dacă A M n (K este diagonalizabilă atunci A k = C D k C 1 unde D = C 1 A C şi C este matricea de trecere ce permite diagonalizarea. Într-adevăr, D = C 1 A C = A = C D C 1 = A k = ( C D C 1 k ( = C D C 1 ( C D C 1... ( C D C 1 = C D } {{... D } C 1 = C D k C 1. de k ori Are loc următorul rezultat general:

CURS 6: ALGEBRĂ 6-4 Teoremă 6.3.1 O matrice A M n (K este diagonalizabilă dacă şi numai dacă are n vectori proprii ce formează o bază. Algoritmul de diagonalizare pentru o matrice A M n (K este următorul: Etapa 1: Dacă A M (n; K determinăm P A (λ şi spectrul ΛU = {λ 1,..., λ p } cu multiplicităţile m aλ1,..., m aλp respective. Etapa 2: Pentru λ = λ 1 determinăm spaţiul X λ1 şi o bază B 1 a sa. Dacă m gλ1 m aλ1 atunci matricea A nu se diagonalizează. Însă dacă m g λ1 = m aλ1,..., m gλp = m aλp atunci determinăm bazele B 1,..., B p pentru X λ1,..., X λp. Etapa 3: Considerăm matricea C punând pe coloane la rând vectorii bazei B 1, apoi ai lui B 2,..., B p. Atunci C 1 A C = D este matrice diagonală. Totodată, A k = C D k C 1. Definiţie 6.3.3 Spunem că operatorul U L K (X, X este diagonalizabil dacă există o bază a lui X în raport cu care matricea sa este diagonală. Teoremă 6.3.2 (Teorema de caracterizare a diagonalizării Fie A M n (K matricea lui U într-un reper al lui X. Sunt echivalente: i U diagonalizabil. ii Rădăcinile λ 1,..., λ p ale polinomului caracteristic P A (λ sunt în K, m gλi = m aλi pentru orice i = 1,..., p şi m gλ1 +... + m gλp = n. Remarcă 6.3.3 Fie λ 1,..., λ p K cele p valori proprii distincte ale lui U. U este diagonalizabil dacă şi numai dacă X = X λ1... X λp unde X λi (i = 1,..., p este subspaţiul propriu corespunzător lui λ i. Algoritmul de diagonalizare pentru endomorfismul U este următorul: Etapa 1: bază. Determinăm o bază B X şi scriem matricea A M n (K asociată endomorfismului U în această Etapa 2: Determinăm P A (λ şi spectrul ΛU = {λ 1,..., λ p } cu multiplicităţile m aλ1,..., m aλp respective. Etapa 3: Pentru λ = λ 1 determinăm spaţiul X λ1 şi o bază B 1 a lui. Dacă m gλ1 m aλ1 atunci operatorul U nu se diagonalizează. Însă, dacă m g λ1 = m aλ1,..., m gλp = m aλp vom determina bazele B 1,..., B p pentru X λ1,..., X λp. Etapa 4: Scriem baza B a spaţiului vectorial în raport cu care matricea asociată lui U are forma diagonală canonică, adică B = B 1... B p. Matricea asociată lui U în baza B este matrice diagonală şi are pe diagonala principală valorile proprii λ 1,..., λ p fiecare dintre acestea apărând de un număr de ori egal cu ordinul său de multiplicitate: λ 1 0..... 0 [D] U B = 0 λ 1...... 0........................ λ p 0. 0 0...... λ p Etapa 5: Construim matricea de trecere de la reperul B la reperul B, adică C B,B. Etapa 6: Verificăm corectitudinea calculelor testând valabilitatea relaţiei [D] U B = (C B,B 1 A C B,B.

Sala: 2103 Noiembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 7: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat. distribuit numai cu permisiunea autorului. El poate fi 7.1 Forma diagonală/forma canonică Jordan a unui endomorfism Fie (X, K spaţiu vectorial cu dim K X = n N, U : X X endomorfism şi λ K valoare proprie a lui U. Definiţie 7.1.1 Se numeşte celulă Jordan de ordin p ataşată scalarului λ K o matrice de tip p p de forma: λ 1 0... 0 0 0 λ 1... 0 0 J p (λ = 0 0 λ............................ 0 0...... λ 1 0 0...... 0 λ Definiţie 7.1.2 Se numeşte bloc Jordan de ordin (p 1,..., p r ataşat scalarului λ K o matrice de tip (p 1 +... + p r (p 1 +... + p r de forma: J p1 (λ 0... 0 0... J p2 (λ... 0 0 B p (λ = diag (J p1 (λ,..., J pr (λ =............... 0 0... J pr 1 (λ 0 0 0...... J pr (λ unde p 1 +... + p r = p. Definiţie 7.1.3 Se numeşte matrice sub forma canonică Jordan o matrice pătratică de ordin n pe a cărei diagonală principală se află blocuri Jordan cu scalari diferiţi, adică: J = diag ( B n1 (λ 1,..., B np (λ r, n 1 +... + n p = n. Definiţie 7.1.4 Spunem că U este jordanizabil, dacă există o bază în X faţă de care matricea lui U să aibă forma canonică Jordan. Definiţie 7.1.5 O matrice A M n (K spunem că este jordanizabilă, dacă există o matrice nesingulară C M n (K astfel încât C 1 AC să fie o matrice sub forma canonică Jordan. 7.2 Forma canonică a unui operator nilpotent Fie (X, K spaţiu vectorial cu dim K X N. Definiţie 7.2.1 Un operator N L K (X, X se numeşte nilpotent dacă există r N astfel încât N r ( = 0 X. Cel mai mic r N cu această proprietate se numeşte gradul lui N (sau indexul de nilpotenţă. 7-1

CURS 7: ALGEBRĂ 7-2 Definiţie 7.2.2 O matrice A M n (K se numeşte nilpotentă dacă există r N astfel încât A r = 0 Mn(K. Remarcă 7.2.1 O matrice nilpotentă are numai valoarea proprie zero. Teoremă 7.2.1 Operatorul N L K (X, X este nilpotent dacă şi numai dacă există B (X, K astfel încât matricea [A] N B a operatorului N în baza B este nilpotentă. Demonstraţie. Se observă că [A] N r r B ([A] = N N B şi deci [A] r B = 0 X dacă şi numai dacă N r = 0 X. Definiţie 7.2.3 Fie operatorul U L K (X, X. Vectorul x X, x 0 X se numeşte vector propriu generalizat al lui U dacă există λ K şi r N astfel încât iar mulţimea (U λ1 X r (x = 0 X (7.2.1 X λ = {x X (U λ1 X r (x = 0 X } = Ker (U λ1 X r : X X, se numeşte spaţiul vectorilor proprii generalizaţi asociat lui λ. Remarcă 7.2.2 Are loc X λ X λ iar operatorul N (x notăm = (U λ1 X (x L K (X, X cu proprietatea (7.2.1 este nilpotent. Definiţie 7.2.4 Un ciclu (sau lanţ de vectori proprii generalizaţi ai endomorfismului nilpotent N L K (X, X este un şir de vectori nenuli, de forma { v, N (v,..., N r 1 (v } unde N r (v = 0 X. v este rădăcina ciclului de vectori proprii generalizaţi, N r 1 (v este vectorul de final iar r este lungimea ciclului. Remarcă 7.2.3 Fie operatorul U L K (X, X şi A notăm = [A] U B matricea lui U în raport cu reperul B X. Vectorul propriu generalizat x 0 X corespunzător valorii proprii λ se determină din sistemul (A λi n r x B = 0 X unde (A λi n r = 0 Mn(K iar un ciclu de vectori proprii generalizaţi corespunzători lui λ este { } v, (A λi n 1 v, (A λi n 2 v,..., (A λi n r 1 v. (7.2.2 Remarcă 7.2.4 Ciclul de vectori proprii generalizaţi din (7.2.2 formează un sistem liniar independent. Teoremă 7.2.2 (Forma canonică Jordan a operatorilor nilpotenţi Dacă N L K (X, X este endomorfism nilpotent atunci N are o bază formată din vectori proprii generalizaţi ai lui N. Matricea asociată lui N în această bază este matrice Jordan. 7.3 Reper Jordan. Algoritm de jordanizare. Vectori principali şi nuclee principale Fie (X, K spaţiu vectorial cu dim K X = n N, U : X X endomorfism. Definiţie 7.3.1 Se numeşte reper Jordan un reper al lui X în care matricea lui U este o matrice Jordan. Algoritmul de jordanizare pentru U L K (X, X este redat în cele ce urmează: Etapa 1. Fixăm B bază X şi scriem matricea A M n (K a lui U în raport cu această bază.

CURS 7: ALGEBRĂ 7-3 Etapa 2. Determinăm polinomul caracteristic P A (λ = A λi n. Sunt posibile două cazuri Caz 1. P A (λ = 0 nu admite n rădăcini în K situaţie în care U nu este jordanizabil. Caz 2. P A (λ = 0 are soluţiile λ 1,..., λ r K cu m aλ1 +... + m aλr = n iar U este jordanizabil şi se continuă: Etapa 3. Fixăm o valoare proprie λ şi calculăm matricea endomorfismului N ( notăm = U ( λ1 X ( în raport cu baza B. O notăm prin N această matrice. Etapa 4. Determinăm numărul celulelor Jordan pentru valoarea proprie λ : m gλ = dim K KerN ( = dim K X λ. Pot să existe două cazuri Caz 1. Dacă m gλ = m aλ o bază pentru X λ va fi formată din m gλ vectori proprii liniar independenţi. Deci, pentru λ vom avea m aλ celule Jordan de forma J 1 (λ. Caz 2. Dacă m gλ < m aλ se trece la: Etapa 5. Determinăm s N, minim, s m aλ, astfel încât rangn s = rangn s+p p N. Etapa 6. Determinăm n h numărul celulelor Jordan de ordin h {1, 2,..., s} după formula n h = rangn h+1 2rangN h + rangn h 1 unde rangn 0 = rang ( I Mn(K = n, rangn s+1 = rangn s, Σ s h=1 hn h = m aλ. Etapa 7. Se repetă algoritmul începând cu Etapa 3 pentru fiecare valoare proprie a lui U. Etapa 8. Se scrie matricea J a lui U sub forma canonică Jordan. Etapa 9. Ţinând seama de definiţia matricei unei aplicaţii liniare în raport cu un reper, se determină reperul B a lui X în raport cu care U are matricea J. Remarcă 7.3.1 Vectorul v 1 X, v 1 0 definit prin N (v 1 = 0 X se numeşte vector propriu iar vectorii v 2, v 3,..., v s definiţi prin N (v 2 = v 1,..., N (v s = v s 1 (7.3.1 se numesc vectori proprii principali. Nucleele KerN (,..., KerN s 1 ( se numesc nuclee principale. În reprezentarea matriceală (7.3.1 este echivalent cu (A λi n v 2 = v 1,..., (A λi n s 1 v s = v s 1. Remarcă 7.3.2 Matricea Jordan J este unic determinată de matricea A, până la o permutare a blocurilor de pe diagonala principală. Exerciţiul 7.3.1 Fie (M 2 (R, R spaţiul vectorial al matricelor de tip 2 2 cu elemente numere reale şi ( 2 1 A = M 1 4 2 (R matricea operatorului U : R 2 R 2 în baza canonică din R. Să se determine forma canonică Jordan şi o bază în care este atinsă această formă. Soluţie. Observăm că polinomul caracteristic este P A (λ = 2 λ 1 1 4 λ = λ2 6λ + 9 = (λ 3 2.