Tem 4 Primitiv şi itegrl Riem. Alicţii. Modulul 4. - Primitiv. Alicţii Noţiue de rimitivă s- degjt di licţiile mtemticii î situţii cocrete, cre costă î determire modelului mtemtic l uui roces tuci câd se dă vitez de vriţie cestui. Astrct, rolem rimitivei se formuleză stfel: fiid dtă fucţi derivtă ' F f : I R R se cere să se determie fucţiile f : I R. Prolem rimitivelor este deci ivers rolemei fudmetle clculului difereţil, cre duă cum s- rătt î lt citol, costă î determire derivtei uei fucţii dte. Derivre este u oertor cre sociză uei fucţii dte f : I R derivt ' s f : I R, î tim ce determire rimitivelor (rimitivizre), dică ivers oerţiei ure de derivre, este o fucţie multivocă cre sociză uei fucţii dte ' ' F : I R, ( F f ) mulţime fucţiilor f cu roriette f F cre este ifiită (duă u ditre coseciţele teoremei Lgrge). Defiiţi 4. ] Fie I R itervl, f : I R. Se umeşte rimitivă fucţiei f e I, orice fucţie F : I R derivilă e I şi cu roriette F ' f e I (F ' () f (), I). ] Oerţi de determire uei rimitive F lui f e itervlul I se umeşte oerţie de itegrre, ottă ri simolul f ( ) d. 3] Fucţi f : I R cre dmite cel uţi o rimitivă e I se umeşte fucţie cu rimitive e I şi mulţime cestor fucţii se v ot ri P(I). Teorem 4. (Prorietăţi geerle le rimitivelor) Fie I R itervl şi f : I R, tuci u loc firmţiile: ( ) Dcă F este o rimitivă lui f e I tuci etru C R, fucţi F + C este o rimitivă lui f e I. ( ) Două rimitive orecre F şi G lui f e I diferă ritr-o costtă. ( 3 ) Primitiv geerlă su itegrl edefiită su tiderivt uei fucţii f este dtă ri: ( ) ( ) { R } ( ) f d F + C F : I rimitivă lui f ; C F + C, I ( 4 ) Itegrl edefiită este ivers licţiei de difereţiere: ( ) df ( ) F ( ) + C ( 3) d f ( ) d f ( ) d. R ot 94
Demostrţie ( ) F este rimitivă, deci F derivilă cu F ' f şi vem: (F + C) ' F ' + C ' F ' f, de ude rezultă F + C derivilă cu (F + C) ' f F + C rimitivă. ( ) Fie F, G : I R rimitive le lui f e I, coform defiiţiei : F, G derivile cu: F ' f, G ' f e I F ' G ' (F G ) ' F G C, C R. ' df F d f d F + C şi ( 4 ) Avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3) ' d f d d F C F C d F C + + + d ' F d f d. Teorem 4. (Oerţii lgerice cu rimitive) Fie I R itervl şi f, g : I R cu f, g P(I), tuci u loc rorietăţile: d λ f λ df λ f + C λ R C R + + ( 5 ) ( ),, ( 6 ) d ( f ± g ) df ± dg f ± g + C ; C R ( 7 ) d ( fg ) ( gdf fdg ) gdf fdg Demostrţie Î iotez f, g difereţiile (derivile) e I, vem: d ( λ f ) λ df, d ( f ± g ) df ± dg, d ( fg ) gdf + fdg şi duă formul () se oţi imedit rorietăţile ( 5 ), ( 6 ), ( 7 ). Coseciţ 4. Fie f, g C (I) di ( 7 ) se oţie formul de itegrre ri ărţi, cre este o metodă de clcul etru rimitive: ( ) 4 fdg fg gdf Coseciţ 4. Dcă f : I R, f P(I) cu F o rimitivă orecre s şi u ( t ), t J este o schimre de vriilă cu u C (J), tuci di formul de difereţiere fucţiilor comuse, vem: ( 5 ) f ( ) d f u ( t ) du ( t ) f u ( t ) u ' ( t ) dt F u ( t ) + C, C R. Demostrţie Fie F ( u ) f ( u ) du şi G ( t ) f u ( t ) dt ( ) ' ( ) ' ( ) ( ) ' ( ) ' ( ) F u ( t ) G ( t ) + C df u t F u t u t dt f u t u t dt G t, tuci vem: şi este vlilă formul de itegrre ri schimre de vriilă (5). Coseciţ 4.3 Di defiiţi rimitivei, rorietăţile sle ( 4 ) dte ri () şi (3) di Tloul derivtelor uor fucţii elemetre se oţie Tloul rimitivelor uor fucţii elemetre (di iliogrfie: [6], [], [], [4], [6] şi mulul de mtemtică etru cls XII ). 95
Telul rimitivelor uzule α+ ; R { α α }. d α + + C l ; α d. l + C ( ) + d 3. rctg + C rcctg + C ( ) + d 4. l + + + C ( ) + d 5. rcsi + C rccos + C ( ) 6. d + C ( >, ) ; e d e + C l 7. si d cos + C; cos d si + C d d 8. l tg + C; l tg C si + + cos 4 9. tg d l cos + C; ctg d l si + C d d. ctg + C; tg C si + cos ( ) ( ). + ctg d ctg + C; + tg d tg + C ( ). d + rcsi + C 3. ± d ± ± l + ± C ( ) e e e + e 4. sh d d ch + C; ch d d sh + C d d 5. th + C; cth C ch + sh si cos 6. d sec + C; d cosec C cos + si 96
d 7. rcsec + C rccosec + C d m 8. + C ( m ; m N ) m m m Oservţii.. Petru test dcă F : I R este o rimitivă fucţiei f : I R e I; se verifică eglitte: F ' () f (), I.. Studiul rimitivelor fost efectut şi î liceu, de cee vom fce uele comletări, î secil rezetâd clsele de fucţii rele de o vriilă relă căror rimitive se reduc, ri sustituţii coveile, l rimitive de fucţii rţiole. 3. Prolem eisteţei rimitivelor, îsemă de ft, etru f : I R R determire fmiliei de fucţii P(I). Răsusul comlet l cestă rolemă u fost dt îcă. Se cuosc răsusuri rţile. (i) Codiţi ecesră de eisteţă rimitivelor lui f : I R este c f să osede roriette Drou, deorece î cest cz f este o derivtă e I (f F ' e I). (ii) Orice fucţie cotiuă f : I R osedă rimitive e I, (codiţie suficietă) cre se v demostr î cdrul Itegrlei Riem. (iii) Eistă fucţii discotiue cre u rimitive. si ;, R Eemlu. f : R R, f ( ) discotiuă î re o ; rimitivă F : R R defiită ri formul F G H ude G : R R cu ( ) cos ;, R G şi H : R R cre este o rimitivă fucţiei ; cos ;, R cotiue ϕ : R R cu ϕ ( ). ; Avem: cos + si,, R F '( ) G '( ) H '( ) ude G '( ), cos,, R şi H '( ) deci F '( ) f ( ), R şi F, este o rimitivă lui f e R. 4. Metodele de clcul etru rimitive sut: 97
Telul rimitivelor imedite le uor fucţii elemetre, Metod trsformărilor lgerice şi trigoometrice, Metod itegrării ri ărţi, Metod itegrării ri formule de recureţă duă N şi Metod sustituţiei cre se regăsesc î coseciţ, coseciţ, coseciţ 3 şi î iliogrfie ([6], [], [], [4], [6]). 5. Vom rezet clse de fucţii rele de o vriilă relă le căror rimitive sut erimile ri comiţii liire fiite de fucţii elemetre. Fie f : D R R cu ( ) ( ) ( ) P Q ( ) ( ) Primitive de fucţii rţiole P ( ) f cu P, Q R [ X ] şi cu gr P Q gr Q tuci ( ) P ( ) + cu, P, Q R [ X ] şi gr P < gr.q. Duă o teoremă di Q lgeră, re loc descomuere î frcţii simle: A M + N f ( ) ( ) + + ( 4 ) q < ude ( ) ( + + q) este sum reltivă l tote rădăciile rele simle şi multile, ir este sum reltivă l tote rădăciile comlee simle şi multile le ecuţiei lgerice cu coeficieţi reli: Q(). Clculul rimitivelor lui f este dt ri: P( ) P( ) A f ( ) d ( ) d + d ( ) d ( ) d Q( ) + + + Q( ) ( ) + M + N ( + + q) d ( gr gr + ) R [ X ] şi coduce l următorul rezultt: A l + C ; A ( i) d A. Petru ecuţi ( ) + C ; ++q cu - ( ) 4q < şi rădăciile, α ± iβ C; α, β R re loc descomuere coică: + + q ( - α ) + β α, q α + β cu. Avem: 4 β < M M α + N α l( + + q) + rctg + C ; M + N β β ( ii) d ( + + q) M + ( M α + N ) I ; ( )( + + q) 98
d ( α) d I [( α ) + β ] ( + + q) 3 I + I, etru ( ) β [( α ) + β ] α I rctg + C ; I + C3 β β Itegrre fucţiilor irţiole Itegrre fucţiilor irţiole, se v reduce, ri sustituţii coveile, l itegrre de fucţii rţiole. Vom folosi otre R(u, v, w, ) etru desem o fucţie rţiolă î vriilele u, v, w, cre l râdul lor sut fucţii î. m m m,..., m Z. R (,..., ) d cu,..., N * şi cosiderăm c.m.m.m.c.{,,, }. m m Sustituţi t şi d t - dt, otâd s,..., s cu s,, s Z, oţiem: m m s s R (,..., ) d R ( t,..., t ) t dt R ( t) dt cu R o fucţie rţiolă î t. m m. + + + R [,,..., ] d ude c + d ; cu,, c, d R* ; m, c + d c + d c + d,m Z,,, N*, şi cosiderăm c.m.m.m.c.{,,, }. Sustituţi dt ( ct ) + ct t c + d ( d c) t d dt ( ct ) m m + + dt s s ( d c) t R [,,..., ] d R, t,..., t dt R ( t) dt ude c + d c + d ct ( ct ) R este o fucţie rţiolă î t. 3. R (, + + c ) d cu,, c, R, şi 4c. Se vor efectu sustituţiile lui Euler: 3. Dcă > sustituţi este: + + c ± t şi etru czul t c t + t c + + c + t t d dt ( ); ; t ( t ) (, ) t + t c + + c R + + c d t R, R ( ) cu R o fucţie rţiolă î t t ( t ) t c t + t c t + t c dt 3 t dt 3 t 99
3. Dcă c > sustituţi este: + + c t ± c şi etru czul t c t c t + c + + + c t c ( t ); d dt; t ( t ) (, ) t c t + c + + c R + + c d t t c t c t + c t c t + c R ; dt t t ( t ) R ( t) dt cu R o fucţie rţiolă î t 4 4 3 3. Dcă < şi c <, ir 4c < + + c <, R şi + + c C. Dcă 4c > + + c ( - )(- - ),, R şi. ( ) Avem: + + c ( )( ) ( ) şi tuci: ( ) ( ) R, + + c d R,( ) d ( ) t + ( ) ; t ; t d dt + t ( + t ) + t este de ti şi se fce sustituţi: ( ) t + t( ) R, + + c d R ; t dt t t + + ( + t ) R ( t) dt cu R o fucţie rţiolă î t 5 5 m 4. ( + ) d itegrle iome cu, R*, m,, Q şi otăm m m,, ude m,,şi, Z, m N*. m Teorem 4.3 (P. L. Ceîşev) m Primitivele etru ( + ) d se ot erim ri comiţii fiite de fucţii elemetre umi î următorele trei czuri: m + m 4. Z; 4. Z ; 43. + + Z. Demostrţie. 4. Dcă Z, vem: m+ (i) ( + ) d d + C ( m ). m m m + (ii) > + d C d C + C k + m+ m k k k k + m k k k ( ) k k k + m +
m m m (iii) < ( + ) d d R (,, ) d ( + ) de ti. şi otâd c.m.m.m.c. {m, } ri sustituţi t t ; m+ d t dt R ( t ) dt cu R 6 o fucţie rţiolă î t. m ( + ) ( ) + m + m + 4. Z şi Z, tuci Z şi ri sustituţi t vem: m+ m ( + ) d t ( + t ) dt di cre ri o ouă sustituţie: z + t z + z t, dt z dz se oţie rezulttul fil: m+ m + + 6 m z m + fucţie rţiolă î z deorece Z şi + Z. m + m 4 3. Dcă, Z şi + + Z se rerezită itegrl iomă su form: ( + ) d t ( + t ) dt z dz R ( z) dz R o 7 7 + + m m m + ( + ) d d d şi rim sustituţie: t t ; d t dt coduce l: m+ m + + t ( + ) d t dt ; dou sustituţie: t + t + z z t t ( z ), dt dz t z ( z ) m+ + + m ( + ) d z dz R ( z ) dz z cu m + + Z 8, + Z şi R 8 o fucţie rţiolă î z. Itegrre fucţiilor rţiole î si şi cos. Clculul itegrlei R ( si,cos ) d î czul geerl cu (-, ) se fce dt ritr-o schimre de vriilă: tg t rctgt, d, + t t t t t dt si, cos R ( si,cos ) d R, R ( t ) dt + t + t + t + t + t cu R o fucţie rţiolă î t. m
. Dcă R (si, cos ) este o fucţie imră î cos, vem: R ( si, cos ) d f (si, cos ) cos d şi ri sustituţi: si t, cos d dt se oţie: R ( si, cos ) d f (si, cos ) cos d (, ) R ( si, cos ) (, ) R ( ) cu cu R o fucţie f t t dt d f t t dt t dt rţiolă î t. 3. Dcă R (si, cos ) este o fucţie imră î si, vem: R ( si, cos ) d g(si, cos ) si d şi ri sustituţi: cos t, -si d dt rezultă: R ( si, cos ) d g(si,cos )( si d) g ( t, t ) dt R 3 ( t ) dt cu cu R 3 o fucţie rţiolă î t. 4. Dcă R (si, cos ) este o fucţie ră î si şi cos, vem R ( si, cos ) d h(si, cos ) d şi ri sustituţi: dt t tg t rctgt, d, si, cos se oţie rezulttul fil: + t + t + t R ( si,cos ) ( si,cos ) t dt d h d h, R 4 ( t ) dt + t + t + t cu R o fucţie 4 rţiolă î t. Itegrre fucţiilor rţiole î eoeţile r r Primitivele de form: R ( e,..., e ) d cu, R şi r,, r Q, ir mi ri, mi Z, i N * şi i,, se v ot λ c.m.m.m.c.{,, } şi ri i sustituţi e t λ λ l t λ dt, t >, d se oţie: t r (,..., r λ λr R ) R (,..., λr dt e e d t t ) R ( t ) dt t cu R o fucţie rţiolă î t, deorece λ r,, λ r Z. Itegrle de form P ( ) f ( ) d Fie P R[X] şi f este u ditre fucţiile elemetre e,, l, log, rcsi, rccos, rctg, rcctg etc.. Itegrl se clculeză ri metod itegrării ri ărţi cu scoul de reduce trett cu câte o uitte grdul liomului P : gr P ( N). se îtâlesc următorele czuri:. P ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) e d e P P e d e P Q e d ( Q ) P ' şi grq d. P ( ) l d Q + ( ) l Q + ( ) Q ( ) d % ude ( Q ( ) ( ) cu gr + P d Q + + ) şi Q % ( ) oliom cu gr Q %. Q+ ( ) 3. P ( ) rcsi d Q ( ) rcsi d cu Q ( ) P ( ) d + +
oliom de grdul ( + ); se elimiă rdiclul di ultim itegrlă ri u ditre sustituţiile lui Euler. De semee, î uele czuri sut coveile sustituţiile trigoometrice si t ( cos t); d cos t dt (d -si t dt); si t cos t ; ( ) cos t si t şi se oţie itegrl uei fucţii rţiole î sit şi cost. Q ( ) 4. + rţiolă î şi Q ( ) ( ) + P d oliom. + P ( ) rctgd Q ( ) rctg + d Q + ( ) rctg R ( ) d cu R o fucţie 5. P ( ) d P ( ) P ' ( ) d P ( ) Q ( ) d l l l l (gr Q ( ) ). 6. Itegrle elitice Î czul R (, P ( ) ) d gr P 3, rimitivele u se ot erim, î geerl, ri comiţii fiite de fucţii elemetre şi cestă clsă de itegrle se umesc itegrle elitice. Itegrlele elitice ot fi rerezette su u ditre formele: dt I ( k, t) ( k ) k si t. dt dt + sit t I (, t) t + c; I (, t) l + C tg u si t cos t sit E( k, t) k si tdt ( k ). E(, t) t + c ; E(, t) k si tdt cos t dt sit + C3 Fucţiile I(k, t), E(k, t) se umesc fucţii elitice; itegrlele de cest ti r î clculul lugimii uui rc de elisă di l. 7. Itegrle cre u se erimă ri comiţii liire fiite de fucţii elemetre: si d (siusul itegrl); e d cos d (cosiusul itegrl); (logritmul itegrl); (eoeţilul itegrl); e d (itegrl lui Poisso); cos d şi si d (itegrlele lui Fresel) şi itegrlele elitice R (, P ( ) ) d gr P 3. Alicţii. ( + ). d d rctg + C + + cos cos si d d. d d ctg tg c cos si cos si + si cos 3 d l
3. + + ( ¹; -4c ) d d + + + 4 4 d c + l + C ; > ri sustituţi evidetă + t, d dt + + + C ; + + rctg + C ; < 4. d si t costdt cos tdt [, ], si t, d cos tdt, t, ( cos ) si si cos + t dt t + t + C t + t t + C 4 4 t + sit si t + C rcsi + + C 4 rcsi + + C 5. d + + c cu şi I R. î. + + c > I d d + + c şi r două czuri > şi <. + 4 I. > d d + + + c + m l + + + + C ; dcă > (se i semul +) 4 l + + + + c + C ; dcă < (se i semul -) II. < > şi vem 4
d d + + rcsi C3 + + + c + + rcsi + C 3 si d si d d (cos ) cos 6. l l C C si si + + cos cos + cos l tg + C l tg + C 7. rctgd ( ) ' rctgd rctg d + d ( + ) rctg rctg l( + ) + C + 8. + d ( ) ' + d + + d + d + d + + + + + d + l( + + ) + C + d + + l( + + ) + C d + d 9. N, I d I + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ' I I+ + d I I + + ( + ) ( + ) I+ + I ; ( ) + d I + C ; I rctg + C + 5
d. I tg d tg ( tg + ) d tg I cos tg tg d ( tg) I I cu tg I I si I + C ; I tgd d l cos + C cos + + 3 3 + 4 +. d d l + + ( )( + ) ( ) + + 3 + 4 + rctg l( + ) rctg + C + + d ( I cz rticulr di.) ( + ) t( t + ) + ( t + ) t + t +. d dt + + + t ( t + ) 3 t + 4t + 6t + 4 t + 3t + 3 dt dt + dt 3 3 4 ( t + ) 4 4 ( t + ) t ( t + ) + ( t + ) + t l 3 4 4 dt t ( t + ) 4 4 4 t + + + + + C cu sustituţiile : 8 ( t + ) t t + t + t( t + ) + + ; d dt; + ; ( t + ) ( t + ) ( t + ) t ; t + t + + + + ; + + ( t + ) t + + + + 4 4 d ( + + + ) + l + + + + + 3 + + + C 8( + + + + ) 6
3 4 3 + d 4 + d 3. 4 m + + 3 t 4 3 Z; Z + 4 3 3 4 3 3 t ( t ) ; d 4( t ) 3t dt 3 4 + d 3 4 3 3 ( t ) t t ( t ) dt ( ) + ( + ) 3 ( + ) + 7 4 7 6 3 7 4 3 4 7 3 4 4 t t dt t t C C Modulul 4. - Itegrl Riem. Alicţii. Noţiue de itegrlă ărut di evoi rctică de determi rii şi volume le uor figuri di l şi coruri di sţiu, cât şi multe cosiderţii di fizică. Bzele clculului itegrl şi licţiile sle î geometrie, mecică şi fizică u fost dezvoltte î secolul l XVIII le î lucrările lui Newto şi Leiiz. Defiiţi rigurosă cocetului de itegrlă fost dtă este u secol î lucrările lui Cuchy şi Drou etru cls fucţiilor cotiue e u itervl comct di R. Etidere itegrlei etru fucţii discotiue fost reliztă de Riem şi Leesgue, cre u formult codiţii ecesre şi suficiete de itegrilitte etru fucţii rele de o vriilă relă. Uele roleme secile di teori itegrilităţii u fost elorte de Stieltjes şi Leesgue cre u geerlizt cocetul de itegrlă etru czul mulţimilor strcte. Î teori geerlă itegrlei se u stfel rolemele: Se defieşte o umită schemă S (u rocedeu S), ri cre utem soci uor umite fucţii dte u umăr rel, î geerl, ie determit. A itegr o fucţie f : [, ] R (, R, < ) reltiv l schem S, îsemă determi umărul rel S(f) socit lui f, cu jutorul schemei recizte S. Î mod turl r următorele roleme: I. Cre este relţi ditre tiurile de itegrlă cosiderte? II. III. IV. Să se determie clse cât mi mle de fucţii itegrile. Să se idice metode, rocedee etru clculul itegrlelor câd fucţi de itegrt re o formă cât mi geerlă su o formă rticulră remrcilă (fucţii rţiole, fucţii irţiole etc). Să se recizeze metodele de clcul roimtiv l itegrlelor cre să fie îsoţite de o formulă de evlure erorilor de clcul. 7
Defiiţi itegrlei Riem. Clse de fucţii itegrile. Fie, R cu < şi f : [, ] R. O divizre itervlului [, ], ottă, este o mulţime fiită de ucte { < <...< i- < < i < < } ude i [, ] se umesc uctele diviziuii şi [ i-, i ] [, ], i, se umesc itervlele rţile le lui. Avem lugime l([ i-, i ]) i - ot i- δ i > şi otăm ri ot µ ( ) m{ i - i- i,.., } orm divizării ; evidet δ i, i {,, }. Divizre este echidisttă dcă: i i i, i {,..., } şi tuci i + ( ). Se v ot ri D([, ]) su D (câd u este ericol de cofuzie) mulţime tuturor divizărilor lui [, ]. Petru o divizre D([, ]) cu { < < <...< i- < i < < } se umeşte mulţime de ucte itermedire, ottă ξ, ξ { ξ i ξ i [ i-, i ]}; etru D([, ]) dtă eistă o mulţime ifiită de fmilii de ucte itermedire ξ. Dcă, D([, ]) se sue că este mi fiă decât dcă ( dică re cel uţi u uct mi mult decât ): i cu i [ i, i ] şi i. Relţi de fieţe ditre diviziuile lui [, ] este o relţie de ordie e D([, ]) şi î lus,, D([, ]) eistă D([, ]) î. şi (se cosideră, şi evidet şi ). Fie f : [, ] R, D([, ]) şi orice sistem de ucte itermedire ξ { ξ i ξ i [ i-, i ]}, umărul ot () f ( ξi ) ( i i ) f ( ξi ) δ i σ ( f, ξ ) i i se umeşte sumă itegrlă Riem socită fucţiei f, diviziuii şi sistemului de ucte ξ. Defiiţi 4. ] Fucţi f : [, ] R, este itegrilă Riem e [, ] dcă eistă I R R cu roriette: ε >, η ε >.î. D [, ] cu () ( ') IR lim σ ( f, ξ ), ξ ( f, ) I, < η σ ξ R < ε ξ ] Numărul rel I R se umeşte itegrl Riem su itegrl defiită di f e [, ], ottă: R R R R [, ] (3) I f ( ) d su I fd su I f su I f Oservţii.. Di defiiţi rezultă că f este itegrilă Riem dcă eistă lim σ ( f, ξ ) IR R, ξ.. Avem fd fd ( < ) 8
3. Dcă eistă I R R cu roriette () cest este uic. 4. O fucţie itegrilă Riem e [, ] se v umi fucţie R- itegrilă şi vom ot ri R[, ]{f f : [, ] R itegrilă Riem} mulţime fucţiilor f : [, ] R, R itegrile. Teorem 4.4 (de crcterizre itegrilităţii e R) Fie f : [, ] R (, R; < ). Fucţi f este itegrilă Riem, dcă şi umi dcă, eistă I R R cu roriette: R ( ) D [, ] u şir de diviziui cu şirul ormelor şi, ξ (4)şirul sumelor itegrle Riem σ (, f ξ est ) e coverget î R cu limit I R R Demostrţi î iliogrfie ([], [], [6]). Coseciţ 4.4. Fie f : [, ] R o fucţie R itegrilă, tuci re loc firmţi: R R (5) D [, ], cu şi ξ σ ( f, ξ ) f ( ) d I Teorem 4.5 (Codiţie ecesră etru itegrilitte) Dcă f : [, ] R este o fucţie R itegrilă, tuci f este mărgiită e [, ]. Demostrţie. f itegrilă def () devărtă şi fie ε, tuci eistă D([, ]). î. σ ( f, ξ ) IR, ( ξ ) ( ') IR f ( ξi ) δi IR +, ξ [ i, i ] i, Fiăm i R { } j {,,, } şi cosederăm u sistem de ucte itermedire ξ, ξ,..., ξ j, ξ j, ξ j+,..., ξ cu ξ, ξ,..., ξ j, ξj+,..., ξ fiţi şi ξ j ritrr cu ξ j [ j-, { } j ] cu j i. Di ( ) etru ξ j [ j-, j ] vem: (6) ( ) ( ) R f ( j ) ( R ) ( ) I + f ξ δ I + + f ξ δ j j j j i j i j ξ j j j j f este mărgiită e [ j-, j ] etru j {,,, } f este mărgiită e, U, j. [ ] j j Coseciţ 4.5 Dcă f : [, ] R este o fucţie emărgiită e [, ], tuci f u este R itegrilă (codiţie suficietă). Demostrţi este directă di teorem 4.5. Fie f : [, ] R o fucţie mărgiită cu m if{ f () [, ]}, M su{ f () [, ]}. Dcă D([, ]) e fiecre itervl rţil [ i-, i ] otăm: m i (f) if f(), cu [ i-, i ], M i (f) su f(), cu [ i-, i ] şi cosiderăm sumele itegrle Drou: 9
s ( f ) m ( i ) δi, sum iferioră Drou i (7) S ( f ) M ( i ) δi, sum suerioră Drou i Defiiţi 4.3. Fie f : [, ] R mărgiită su s ] Numărul ( f ) I se umeşte itegrl iferioră Drou fucţiei f, [, ] D ottă: I f ( ) d. if S ] Numărul ( f ) I se umeşte itegrl suerioră Drou fucţiei f, [, ] D ottă: I f ( ) d. 3] Fucţi mărgiită f este itegrilă Drou e [, ] su D- itegrilă, dcă ri defiiţie vem: (8) f ( ) d f ( ) d I D R şi I D se umeşte itegrl Drou fucţiei f e [, ], ottă ri celşi simol I D f ( ) d. Cosecit 4.6. Di formul (7) şi defiiţi 4.3 rezultă î mod direct următorele rorietăţi le sumelor itegrle Drou: i i f i i 3 ot { } ( [ ] ) { } [ ] ( d ) M m ω, M m f, i,,..., ( f su f ( ), ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ ( ) ( ) ( d ) S f s f M f m f M f m f i i i i i i i ( ) ( ) { i ( ) i ( ) } ( ) D [ ] ( d ) S f s f m M f m f i,..., ( d ),, cu, s ( f ) s ( f ), S ( f ) S 4 S ( f ) s ( f ) S ( f ) s ( f ) (d 5 ) Dcă f este mărgiită e [, ] ( f ) [ ] s f S f s f f d I I f d S f (d 6 ), D,, ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) Dcă f este mărgiită e [, ] etru D([, ]), vem: s ( f ) σ ( f, ξ ) S ( f ); ξ s ( f ) if σ ( f, ξ ) ; S ( f ) su σ ( f, ξ ). ξ ξ Demostrţi rooziţiilor (d ) (d 6 ) se fce ri clcul direct, folosid defiiţiile semelor itegrle Drou şi Riem.
Oservţii:. Câd rfiăm diviziue, sumele iferiore Drou cresc şi sumele iferiore sueriore Drou descresc.. Orice sumă iferioră Drou este mi mică su eglă cu orice sumă suerioră Drou. 3. Petru f : [, ] R s-u defiit două itegrle: itegrl Riem şi itegrl Drou şi două tiuri de itegrilitte. Vom dovedi că cele două itegrle şi cele două tiuri de itegrilitte coicid şi vom folosi di cest motiv cocetele de itegrlă defiită su itegrlă şi fucţie itegrilă e [, ]. Teorem 4.5 (Drou / etru crcterizre itegrilităţii) Fie f : [, ] R o fucţie mărgiită, tuci următorele firmţii sut echivlete: (i) f este R itegrilă; (ii) f este D itegrilă; ε >, D,.î. S ( f ) s ( f ) ε; (iii) [ ] (iv) ε [ ] ε >, η >.î., cu < η S ( ) s ( ) < ε. D f f Demostrţi se fce e ete folosid defiiţiile, teoremele şi coseciţele rezette terior, urmâd schem I. (i) (ii); II. (iv) (iii); III. (iii) (ii); IV. (ii) (iii); V. (iv) (i); VI. (iii) (iv) şi se găseşte î iliogrfie ([9], [6], [], [], [6]). Coseciţ 4.7. O fucţie mărgiită f : [, ] R este itegrilă Riem, dcă şi umi dcă, f este itegrilă Drou şi cele două itegrle coicid: IR f ( ) d f ( ) d f ( ) d ID I R. ot Teorem 4.6 (Codiţie suficietă de itegrilitte) Dcă f : [, ] R este fucţie mootoă, tuci f este itegrilă e [, ]. Demostrţie. Presuuem f mooto crescătore şi ecosttă. ε > fit, cosiderăm D([, ]). î. ε < η( ε). Petru [ f ( ) f ( ) i-, i ] cu i {,,..., }, vem: ( ) ( ) ( ) ( ) şi tuci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M f m f f f S f s f s f M f m f δ i i i i i i i i ε [ f ( i ) f ( i )] [ f ( ) f ( ) ] < [ f ( ) f ( ) ] ε f ( ) f ( ) i este itegrilă duă codiţi (iii) di teorem lui Drou. Teorem 4.7. (Codiţi suficietă de itegrilitte) Dcă f : [, ] R este fucţie cotiuă, tuci f este itegrilă. f
Demostrţie f cotiuă e [, ] f este uiform cotiuă e [, ] (Teorem Ctor) şi f este mărgiită şi îşi tige mrgiile e [, ] (Teorem lui Weierstrss). Fie ε > fit şi f uiform cotiuă e [, ] def ε >, η (ε ) ε ideedet de. î., y [, ] cu - y < η f ( ) f ( y) <. Petru o ε divizre D([, ]) cu < η (ε ), vem f ( ) f ( y) <, y [ i-, i ] ε şi î rticulr, M i ( f ) mi ( f ) su { f ( ) f ( y), y [ i, i ]} Î ceste codiţii duă teorem Drou (iii), vem: ε S ( f ) s ( f ) M i ( f ) mi ( f ) i ( i i ) δ ε i i f este itegrilă e [, ]. Teorem 4.8 (Codiţie suficietă etru itegrilitte) Fie f : [, ] R o fucţie mărgiită cu u umăr fiit de ucte de discotiuitte (evidet de seţ I), tuci f este itegrilă e [, ]. Demostrţi î iliogrfie ([6], [], [], [6]). Oservţii.. Clsele de fucţii itegrile f : [, ] R sut: f mootoă (teorem 4), f cotiuă (teorem 5), f mărgiită şi cre re u umăr fiit de ucte de discotiuitte.. Rezulttul cel mi geerl, Teorem lui Leesgue: O fucţie f : [, ] R este itegrilă dcă şi umi dcă, f este mrgiită şi cotiuă roe este tot e [, ] se v rezet î citolul Itegrl Leesgue. 3. Î studiul uor etesiui le itegrlei Riem se foloseşte cocetul de fucţie locl itegrilă. Defiiţi 4.4 Fucţi f : [, ] R este locl itegrilă e I, dcă şi umi dcă, ri defiiţie f este itegrilă e orice itervl comct [u, v] coţiut î itervlul de defiiţie I ( u, v I cu u < v). Prorietăţi le itegrlei şi le fucţiilor itegrile Demostrţiile di cest citol folosesc: defiiţi, teorem de crcterizre itegrilităţii cu şiruri de diviziui cu şirul ormelor tizâd l zero, teorem lui Drou şi ueori rezulttul di teorem lui Leesgue. Teorem 4.9 (Oerţii lgerice cu fucţii itegrile) Dcă f, g : [, ] R sut fucţii itegrile, tuci fucţiile: λf ( λ R ), f ± g, fg, ( f ( ), [, ] ), f ( f ( ), [, ] ) sut itegrile şi f u loc formulele de clcul:
o ( ) ( λ f ) d λ o ( ) ( f ± g) d fd ± gd fd Demostrţi este imedită folosid (4) di teorem 4.4 şi oerţiile cu şiruri covergete î R. Cosecit 4.8. Dcă f, g R[, ] tuci λ, µ R fucţi λ f + µ g R[, ] şi re loc formul de clcul: o (3 ) ( λ f + µ g) d λ fd + µ gd Oservţii.. Itegrl Riem re roriette de liiritte cu sclri di R.. Dcă f R[, ] şi, vem: f ( ) d (duă () di defiiţi ). Dcă >,. vem f ( ) d f ( ) d 3. Reciroc firmţiei f, g R[, ] f + g R[, ] î geerl, u este devărtă. Eemlu: ; Q ; Q f, g : R R cu f ( ) şi g( ) cu f, g R [, ] ; R - Q ; R - Q vem f + g ( ), R şi f + g R, etru, R. ( ) [ ] [ ] 4. Mulţime de fucţii itegrile R[, ] re structur lgerică de sţiu liir î rort cu oerţiile uzule de îmulţire şi dure cu sclri reli etru fucţii rele de o vriilă relă. Teorem 4. (Proriette de ditivitte î rort cu itervlul) Fucţi f : [, ] R este itegrilă e [, ] dcă şi umi dcă, c (, ) fucţiile f f [, c] şi f f [ c, ] sut itegrile şi re loc formul: o ( 3 ) c c fd fd + fd. Demostrţi se oţie folosid teorem de crcterizre cu şiruri de diviziui cu şirul ormelor tizâd l zero (teorem 4.4). Cosecit 4.9 Dcă I R este itervl şi f : [, ] R este o fucţie cotiuă, o tuci,, c I, re loc relţi ( 3 ) c fd fd + fd. c Demostrţie. Dcă < < c vem (3) duă teorem. Dcă < <c, vem: c c c fd. fd + fd fd fd fd fd fd + c c Oservţii.. Di teorem rezultă că dcă f R[, ], etru [c, d] [, ] comct vem f R[c, d], umită roriette de ereditte. 3
. Formul (3 ) se umeşte roriette de ditivitte itegrlei c fucţie de itervl. 3. Formul (3 ) se etide î czul uei reuiui fiite: [, ] [, c ] [ c, c ]... c,. Teorem 4. (Proriette de mootoie itegrlei). Fie f, g: [, ] R cu f, g R[, ] şi f () g() [, ], tuci vem: o ( 4 ) fd gd. Demostrţi se oţie cu jutorul fucţiei h f g e [, ] şi teoremei de crcterizre (teorem 4.4). Coseciţ 4. Fie f : [, ] R cu f R[, ] şi m, M mrgiile lui f (m f() M, [, ]), o tuci vem: ( 5 ) m fd M. Demostrţie. Di relţi m f() M, [, ], ri itegrre, vem: ( ) m( ) md f ( ) d Md M ( ) 5 o. Oservţii.. Formul (5 ) coţie eresi f ( ) d µ ( f ) cre se umeşte vlore medie lui f e [, ].. Formul (4 ) erimă roriette de mootoie itegrlei şi etru f(), [, ] şi f R[, ], vem: f ( ) d. Coseciţ 4. Dcă f : [, ] R este o fucţie cotiuă, tuci eistă ξ [, ]. î. o ( ) 6 fd f ( ξ )( ). Demostrţie. Fucţi f cotiuă e comctul [, ] este mărgiită şi îşi tige mrgiile (teorem Weierstss) deci eistă, [, ]. î. m f ( ), M f ( ). Fucţi f cotiuă e itervlul [, ] re roriette lui Drou şi etru µ [m, M] f ( [, ]) eistă ξ [, ]. î. f (ξ ) µ şi otâd di (5 ) se oţie (6 ). Teorem 4. (Mjorre modulului itegrlei) Dcă f : [, ] R este itegrilă, tuci f R[, ] şi vem: ( ). R; o (7 ) fd f d ( ) f,, < µ f ( ) d Demostrţie. Petru, y [, ], vem f () - f (y) f () - f (y) şi di cestă ieglitte deducem că f R[, ]. Cum - f () f () f (), [, ], folosid (4 ) vem: 4
f d fd f d fd f d şi cum f ( ) f rezultă (7 ). Teorem 4.3 (Teorem I de medie ) Fie f : [, ] R cu f R[, ] şi g(), tuci eistă γ [m, M] m if f ( ), M su f ( o ).î. ( 8 ) ( ) ( ) ( ) [, ] f g d g d γ [,. ] Î rticulr, dcă g(), [, ], vem: o ( ) 8 ' f ( ) d γ ( ) ( < ). Demostrţie. Di : m f ( ) M, [, ], şi g ( ) > mg ( ) f ( ) g ( ) Mg ( ), [, ] şi duă (4 ) rezultă: m g( ) d f ( ) g( ) d M g( ) d ( *). Dcă g( ) d f ( ) g( ) d şi etru γ [m, M] re loc (8 ). Dcă ( ) g d > fgd, otăm γ [ m, M ] gd şi duă (*) rezultă (8 ). Coseciţ 4. Dcă f : [, ] R este cotiuă şi g R[, ] este eegtivă, tuci eistă ξ o [, ]. î. ( ) Î rticulr, dcă g( ), [, ] 8 " fgd f ( ξ) gd. se oţie (6 ). Demostrţi este directă. Di iotez f cotiuă e [, ], etru γ [m, M], eistă ξ [, ], stfel îcât f (ξ ) γ (8 ). Teorem 4.4 Fie I R itervl şi f : I R locl itegrilă e I. Dcă I este u uct fit şi se cosideră fucţi (9 ) F() f ( t ) dt, I tuci F re rorietăţile: (i) F este cotiuă e I; (ii) F este derivilă î I î cre f este cotiuă cu F ( ) f ( ). Demostrţie. (i) Fie I şi r > fit, tuci F() F( ) fdt fdt fdt, J I ude J [ r, r ] +. F ( ) F ( ) fdt f dt su f ( t ), J. t J Cosiderăm ε > şi ε η ε cu su f ( t) M F ( ) F ( ) < ε < η, I F cotiuă î I F M t J cotiuă e I. 5
(ii) Fie I şi f cotiuă î I; etru ε > eistă η ε >. î. f () f ( ) < ε, I [ - η, + η ] I cu, F ( ) F ( ) f ( ) f ( t) dt f ( ) dt [ f ( t) f ( )] dt şi vem: F ( ) F ( ) f ( ) su f ( t) f ( ) < ε, J I [ η, + η] ; def F ( ) F ( ) eistă lim f ( ) F '( ) F este derivilă î I cu F ( )f( ). Cosecit 4.3 Fie I R itervl şi f : I R. I) Dcă f este o fucţie cotiuă e I, tuci etru I fit, fucţi (9 ) F ( ) f ( t) dt, I este derivilă şi vem F () f ( ), I, deci f dmite rimitive e I şi F este o rimitivă fucţiei f e I. II) Petru, I şi f cotiuă e I, vem: ( ) f ( ) d F ( ) F ( ) F ( ), ude F este o rimitivă orecre lui f e I. Demostrţie. I) Afirmţi este o coseciţă direcă teoremei 6 czul (ii). II), I fiţi şi F o rimitivă lui f e I, otăm: ' F F ( ) f ( t) dt, I şi duă firmţi I), vem: F f e I, deci ( F F ) f f F F + C, C R. Cum F ( ) C F ( ) şi vem : f ( ) d F ( ) F ( ) C F ( ) F ( ). Oservţii.. Dcă f di teorem 6 este cotiuă l stâg (l dret) î I, tuci F este ' ' derivilă l stâg (l dret) î I cu Fs ( ) f ( ) ( Fd ( ) f ( + ) ).. Cosecit 4.3-I se umeşte Teorem fudmetlă clculului itegrl. 3. Formul ( ) este formul Leiiz Newto cre este o metodă de clcul itegrlei Riem. Metode de clcul le itegrlei Riem Itegrl Riem ote fi clcultă folosid defiiţi şi costruid duă schem (S) sumele itegrle, oi clculăm limit cestor câd orm divizării tide l zero; cestă metodă este mi dificil de lict î czul multor fucţii rele. Teorem 4.5 (Formul Leiiz - Newto) Dcă f : [, ] R este o fucţie itegrilă şi f dmite rimitive e [, ] tuci etru orice rimitivă F lui f e [, ] re loc formul Leiiz-Newto: ( ) f ( ) d F ( ) F ( ) F ( ). Demostrţie. Petru D([, ]), vem 6
F ( ) F ( ) [ F ( ) F ( )] s f F ' ξ f ξ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i i i etru ξi ( i i ) di teorem Lgrge lictă lui F derivilă e [ i i ] şi vem F ( ) F ( ) σ ( f, ξ ) ; cum f este itegrilă, licâd teorem (de crcterizre fucţiilor itegrile): ( ) ( ) F ( ) F ( ) σ f, ξ cu şi F ( ) F ( ) lim σ f, ξ f ( ) d. Coseciţ 4.4 Dcă f : [, ] R este o fucţie derivilă cu f fucţie itegrilă e [, ], vem: fd f ( ) f ( ). Demostrţi rezultă di teorem 4.4 etru F f e [, ]. Teorem 4.6 (Formul de itegrre ri ărţi) Fie f, g : [, ] R cu f, g C ([, ]), tuci re loc formul de itegrre ri ărţi:. ( ) fg ' d fg f ' gd Demostrţie. Di f, g C ([, ]) (fg) f g +g f este o fucţie cotiuă e [, ] şi duă coseciţ 7 (i) dmite rimitive şi este itegrilă, deci se lică formul de clcul ( ): ( fg) ' d fg, dr ( fg ) ' d ( ' ') ' ' ( ) ' ' f g + fg d f gd fg d fg f gd fg d + + fg ' d fg f ' gd. Teorem 4.7 (Formul schimării de vriilă (I)) Fie f : [, ] R o fucţie cotiuă, tuci etru orice ϕ : [α, β ] [, ] cu ϕ C ([, ]) re loc formul schimării de vriilă (I): ( ) f ( ) d f [ ϕ( t )] ϕ '( t ) dt. Demostrţie. Petru f cotiuă e [, ], fie F o rimitivă s şi cum F, ϕ sut derivile, tuci F ϕ : [α, β ] R este derivilă cu. ( F oϕ ) '( t) ( F ' oϕ)( t) ϕ '( t) ( f o ϕ)( t) ϕ '( t) f [ ϕ( t) ] ϕ '( t), t [ α, β]. Fucţi (f ϕ ) ϕ este itegrilă şi (F ϕ ) cotiuă e [α, β ], dmite rimitive, deci: β ( ) [ ] ( ) ( ) [ F oϕ ]' dt [ F oϕ] β [ F oϕ] α F F şi di ( F ) ' ( f ) ' α ϕ β ϕ α oϕ oϕ ϕ β β ( f oϕ) ϕ ' dt F ϕ ( β) F ϕ ( α ) f ( ) d f [ ϕ( t)] ϕ '( t) dt α α Teorem 4.8 (Formul schimării de vriilă (II)) Dcă f : [, ] R este cotiuă etru orice ϕ : [α, β ] [, ] ijectivă şi cu ϕ - C ([, ]) re loc formul schimării de vriilă (II): 7
β ϕ ( β ) (3 ) f ( ) d f [ ( t) ] '( t) dt [ f ( ) ']( ) d ϕ ϕ α o ϕ. ϕ ( α ) Demostrţie. Cum ϕ este ijectivă şi ϕ - : [, ] [α, β ] este ijectivă şi de clsă C ([, ]) tuci f ϕ : [, ] R este cotiuă şi vem: ( ϕ ) ( β) β ϕ ( β ) ϕ ( ) ( ) α ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ( α ) ( f o )( t) dt f o o ' d f o ( ) '( ) d f ( ) d (3 ). ( ϕ ) ( α) Oservţii.. Formul ( ) se umeşte rim fomulă de schimre de vriilă î itegrlă ude ϕ (t), t [α, β ] şi ϕ C ([, ]), ir ϕ (α ), ϕ (β ). Se lege coveil fucţi ϕ stfel îcât itegrl di memrul doi l formulei ( ) să fie mi simlă su chir di telul rimitivelor uor fucţii elemetre.. Formul (3 ) se umeşte dou formulă de schimre de vriilă şi etru ϕ (t) strict crescătore vem: ϕ (α ), ϕ (β ) şi cum ϕ f [ α, β] [, ] R, ir ϕ este iversilă cu ϕ - C ([, ]), tuci f ϕ este cotiuă şi f (ϕ - ) itegrilă e [, ]. 3. Deumire de formul (I) şi (II) de schimre de vriilă î itegrlă este coveţiolă; de ft vem o sigură formulă de schimre de vriilă şi mi multe moduri de licre cestei formule î clcule. 4. Di ecesitte de folosi itegrlele Riem î licţii cocrete este ueori suficiet să se cuoscă o vlore roimtivă itegrlei f ( ) d cu o erore dtă oricât de mică. Î cest sco, vom euţ fără demostrţie, teoremele cre idică metodele de clcul roimtiv l itegrlelor. Teorem 4.9 (Formul dretughiurilor) i i + i S f i tuci S roimeză ( ) f d cu o erore: ( ) ( ) (4 ) E f ' ; f ( ) d S E f ' 4. 4 Fie f : [, ] R cu f C ([, ]) şi i + ( ) cu i {,,,..., }, Teorem 4. (Formul trezelor) i f ( ) + f ( ) S + f + + f erore: 3 3 ( ) ( ) (5 ) E f " ; f ( ) d S " E f. Fie f : [, ] R cu f C ([, ]) şi i + ( ) cu i {,,,..., }, ( )... ( ) tuci S roimeză f ( ) d cu o 8
Teorem 4. (Formul lui Simso) Fie f : [, ] R cu f C 4 ([, ]) şi i + ( ) cu i {,,,..., }, S { [ f ( ) + f ( )] + f ( ) +... + f ( ) } tuci S roimeză ( ) 6 f d cu o erore: (6 ) 5 5 ( ) (4) ( ) (4) E f ; f ( ) d S 4 E f 4 88. 88 i Alicţii le clculului itegrl Orice mărime geometrică, fizică, ecoomică etc. cre re roriette de ditivitte fţă de mulţime (itervl) se ote erim ritr-o itegrlă defiită. Astfel oţiuile de rie şi volum etru figuri geometrice di l şi coruri di sţiu se ot defii î mod riguros di uct de vedere mtemtic.vom rezet fără demostrţie uele licţii le itegrlei defiite. I. Ari uui domeiu di l. Ari mulţimii di l D R mărgiită de dretele,, y şi grficul fucţiei f : [, ] R ozitivă şi cotiuă se clculeză ri formul: (7) A ( D ) f ( ) d.. Î czul f : [, ] R cotiuă şi de sem orecre, vem: (7 ) A ( D ) f ( ) d. 3. Ari mulţimii di l mărgiită de dretele, şi grficele fucţiilor f, g : [, ] R cotiue este clcultă ri formul: (8) A ( D ) g( ) f ( ) d. II. Lugime uui rc de cură Se umeşte cură lă o mulţime Γ R cu roriette că eistă o fucţie cotiuă f : [, ] R, ottă y f (), [, ] şi G f Γ R (grficul lui f di l este Γ ). Dcă f re derivtă cotiuă (su umi fucţie itegrilă) e [, ], lugime curei Γ se clculeză duă formul: (9) l( Γ ) + f ' ( ) d. III. Volumul uui cor de rotţie Fie f : [, ] R o fucţie cotiuă, tuci corul K di sţiu oţiut ri rotire grficului lui f, G f, î jurul ei O, re volumul clcult ri formul: () V ( K ) f ( ) d. IV. Surfţ uui cor de rotţie Fie f : [, ] R o fucţie derivilă e [, ] şi cu f cotiuă (f C ([, ])), tuci surfţ S coruui K oţiut ri rotire grficului lui f î jurul ei O se clculeză ri formul: 9
() S( ) ' ( ) K + f d. Eemle.. d cu fucţie cotiuă şi ri schimre de vriilă: si t, d cos tdt, t, t vem : d si t costdt si t cos tdt ( cos t) dt t + + 4. I si d cu f ( ) si C, şi I d, I si d, licâd metod itegrării ri ărţi se oţie o formulă de recureţă: si (si ) cos si ( ) si cos I d + d ( ) ( ) si d si d I ( ) I ( ) I k k 3 3... ; k k k 4 I I cu I k k 4... ; k k + k 5 3 + 4 5 6 k k Ik... 3 3 4 5 k k + I k + I şi se rtă că lim lim... I 3 + umită formul lui Wllis. + 9 3. d + ri sustituţi 4 9 3 t d tdt t t d tdt,, 4, 9 3, vem : + + t 3 3 3 4 dt t t + t 3 l ( + ) l 4 3 4. l d l d l d l 4
e e e 5. I ( l ) d ( l ) ( l ) d e I I e I, I e ; I formulă de recureţă etru clculul lui I, N. + tg 6. d dt ri sustituţi tg t, deci: rctg t, d 5 + tg şi + t + tg + t t, t se oţie d dt (3 + t ) + t 3 + tg dt dt t t 3 rctg rctg t + 3 6 8 t + 3 3 3 3 3 ( 3 ) 7. d dt ri sustituţi tg t rctg t, d, 3 + cos + t dt t d cos, t, t se oţie + t + t 3+ cos t 3+ + t dt t rctg rctg t + 5 5 5 5 5 8. 4 si 4 tg d d si + cos + tg şi ri sustituţi tg t dt rctg t, d, t, t vem: + t 4 4 si t dt t + d dt l( t ) rctg t si + cos + t + t t t 4 + + l( t + ) l 4 + + 4 4 9. d ( ) d m + + + ( m,,, Z ) ri sustituţi: + t, ( t ), t, 4 t 3 vem:
3 + + t t 6 8 + d t ( t ) dt ( t t t ) dt 3 3 + + 5 5 4 3 3 l. e t d ri sustituţi: e t l( + t ), d dt, + t t, l t, vem: l t e d dt dt t rctg t + t + t. d ri sustituţi: + + t 4t, t d dt vem: ( t ) d dt ( ) t t ( t ) t t, t şi + 3 3 3 3 4t t dt 3 3 3 + l 3 + l( 3) + + 3