1 Momenti inercije u odnosu na Dekartove koordinatne ose

M. Tadć, Predavanja z Fzke 1, ETF, grupa P3, X predavanje, 2017. 1 Moment nercje u odnosu na Dekartove koordnatne ose Pretpostavmo da telo prkazano na slc 1 ma sva tr prostorne dmenzje razlčte od nule. Slka 1: Uz zvođenje veze zmedju aksjalnh polarnog momenta nercje. Moment nercje u odnosu na z osu je: I z = rz 2 ρd, (1) gde je r z = x 2 +y 2, a u opštem slučaju ρ = ρ(x,y,z). Dakle, I z = (x 2 +y 2 )ρd. (2) Izraz za momente nercje I x I y su slčnog oblka: I x = (y 2 +z 2 )ρd, (3) I y = (z 2 +x 2 )ρd. (4) S druge strane, moment nercje u odnosu na pol O je: I O = (x 2 +y 2 +z 2 )ρd. (5) Suma momenata nercje u odnosu na ose Dekartovog sstema je: I x +I y +I z = 2 (x 2 +y 2 +z 2 )ρd. (6) Dakle, I x +I y +I z = 2I O, (7) 1

odnosno zbr momenata nercje u odnosu na ose Dekartovog koordnatnog sstema jednak je dvostrukoj vrednost momenta nercje u odnosu na koordnatn početak stog koordnatnog sstema. Pokažmo sada u kom odnosu stoje I x, I y, I z I O : I O = (x 2 +y 2 +z 2 )ρd = x 2 ρd + (y 2 +z 2 )ρd. (8) Prv ntegral na desnoj stran x2 ρd > 0 (podntegralna funkcja je nenegatvna, a dmenzje tela razlčte od nule u sva tr prostorna pravca). Odavde sled Slčno se može pokazat da je I O > I y I O > I z. Dakle, I O > I x. (9) I O > I x, I O > I y, I O > I z. (10) Zaključujemo da je moment nercje u odnosu na zabran koordnatn početak Dekartovog koordnatnog sstema uvek već od momenta nercje u odnosu na blo koju od tr koordnatne ose tog sstema. Na osnovu poslednjh nejednakost I x +I y +I z = 2I O : I x +I y +I z = 2I O > 2I x, (11) odale sled: Slčno se može pokazat: I y +I z > I x. (12) I x +I y > I z, I z +I x > I y. (13) Dakle, zbr momenata nercje u odnosu na blo koje dve ose Dekartovog koordnatnog sstema već je od momenta nercje u odnosu na treću osu tog sstema. 1.1 Moment nercje homogene lopte Slka 2: Uz zvođenje zraza za moment nercje lopte. Na osnovu upravo dobjene veze zmeđu aksjalnh polarnog momenta nercje, može se vrlo jednostavno zvest zraz za moment nercje homogene lopte gustne ρ poluprečnka R prkazane na slc 2. U tom smslu 2

uočmo elementarnu ljusku debljne dr poluprečnka r. Takođe, uočmo da se sv delć ljuske nalaze na stom rastojanju od pola O. Moment nercje ove ljuske u odnosu na koordnatn početak je: di O = r 2 ρd = r 2 ρ4πr 2 dr. (14) Moment nercje lopte u odnosu na pol O je: R I O = r 2 ρ4πr 2 dr = 4 5 ρπr5. (15) 0 Korsteć m = (4/3)ρπR 3, zraz za moment nercje lopte u odnosu na pol O je: I O = 3 5 mr2. (16) Zbog smetrje je: Lako se zaključ: odnosno: I x = I y = I z. (17) 3I z = 2I O I z = 2 3 I O, (18) I z = 2 5 mr2. (19) Moment nercje lopte I z može se drektno (bez računanja polarnog momenta nercje) odredt tako što se prvo odred moment nercje elementarnog odsečka lopte debljne dz, a zatm ntegral po vsn od R do R. 2 Štajnerova teorema U opštem slučaju moment nercje tela je razlčt za razlčte ose. Ipak se moment nercje u odnosu na prozvoljnu osu može zračunat na osnovu momenta nercje u odnosu na osu koja prolaz kroz centar mase tela paralelna je datoj os. Slka 3: Uz dokaz Štajnerove teoreme. Posmatrajmo sstem materjalnh tačaka prkazan na slc 3. Mase materjalnh tačaka u sstemu su m 1,m 2,...,m n. 3

Na slc su prkazane dve ose: osa z prolaz kroz centar mase, a osa z je prozvoljna osa paralelna z. Centar mase se nalaz u ravn x y, dok je koordnatn početak Oxyz koordnatnog sstema u ravn xy paralelnoj ravn x y. Uočmo da je rastojanje zmeđu osa z z d = x 2 CM +y2 CM. (20) Izvedmo najpre uslov koj koordnate materjalne tačke spunjavaju u sstemu centra mase. Na osnovu: r CM = n m r n m, (21) sled: Odavde jednostavno sled: U Dekartovm koordnatama: r CM = r = r CM + r (22) n m ( r CM + r ) n n m = r CM + m r n m. (23) m r = 0. (24) n m x = 0, n m y = 0, m z = 0. (25) Za kontnualno telo ovaj uslov postaje: ρ( r ) r d = 0, (26) gde je r vektor položaja elementarnh delća tela u odnosu na centar mase, a ntegral je po zapremn tela. Korsteć (24) može se zvest veza zmeđu I z I z, koga ćemo označt sa I CM (I z I CM ; vodt računa da je I CM aksjaln moment nercje-cm stče aspekt da osa z prolaz kroz centar mase). Uočmo da je: I z = m (x 2 +y) 2 (27) Ako skorstmo zraz za I z postaje: I z = I CM = m (x 2 +y 2 ). (28) x = x CM +x (29) y = y CM +y, (30) [ m (x +x CM ) 2 +(y +y CM ) 2], (31) 4

l u razvjenoj form: I z = m (x 2 +y 2 )+2x CM n m x +2y CM m y +(x 2 CM +ycm) 2 m. (32) Prema (24), drug treć član zraza za desne strane poslednje jednakost jednak su nul. Prv član jednak je I CM, a poslednj član jednak je md 2. Prema tome Ovo je matematčk skaz Štajnerove teoreme (teoreme o paralelnm osama). I z = I CM +md 2. (33) Štajnerova teorema. Moment nercje mehančkog sstema u odnosu na neku osu jednak je zbru momenta nercje u odnosu na paralelnu osu koja prolaz kroz centar mase sstema kvadrata normalnog rastojanja zmeđu th osa. 3 Teorema o normalnm osama Posmatrajmo pločasto telo, čja je debljna mnogo manja od ostale dve dmenzje (vdet slku 4). Pretpostavmo da je telo smešteno u xy ravn. Slka 4: Uz dokaz teoreme o normalnm osama. Moment nercje tela u odnosu na osu z je: I z = σ(x,y)rz 2 ds = S S σ(x,y)(x 2 +y 2 )ds, (34) gde je r z rastojanje od z ose, a σ površnska gustna tela, koja u opštem slučaju može da zavs od koordnata x y. Moment nercje u odnosu na ose u ravn su: I x = σ(x,y)rxds 2 = σ(x,y)y 2 ds, (35) S S 5

Lako se zaključ: I y = S σ(x,y)ry 2 ds = σ(x,y)x 2 ds. (36) S I z = I x +I y. (37) Ovo je matematčk skaz teoreme o normalnm osama. Teorema o normalnm osama. Moment nercje pločastog tela u odnosu na osu (z) normalnu na ravan tela jednak je zbru momenata nercje u odnosu na dve ose ortogonalne na z u ravn tela (x y). 4 Moment kolčne kretanja materjalne tačke moment sle 4.1 Moment kolčne kretanja materjalne tačke Posmatrajmo materjalnu tačku mase m brzne v, koja se u nekom trenutku nalaz u položaju defnsanom vektorom položaja r (vdet slku 5). Slka 5: Uz defncju momenta kolčne kretanja materjalne tačke. Moment kolčne kretanja materjalne tačke u odnosu na pol O je vektorsk prozvod r p = m v: L O = r p = m r v = m r r. (38) Treba prmett da vrednost momenta kolčne kretanja zavs od zbora tačke O u odnosu na koju se računa moment. Ova tačka se nazva momentna tačka. U tekstu koj sled pretpostavćemo da je brzna momentne tačke u odnosu na zabran nercjaln sstem reference jednaka nul, tj. da je ova tačka nepokretna (pol nercjalnog referentnog sstema u odnosu na koj opsujemo kretanje). Ako su r p u xy (polarnoj) ravn, kao na slc 5, vektor L O je postavljen duž z ose. Name, Dakle, LO e z. j k L O = m x y 0 = m(xẏ yẋ) k. (39) ẋ ẏ 0 6

Ako se umesto Dekartovh koordnata korste polarne koordnate (ρ, ϕ), za materjalnu tačku koja se kreće u polarnoj (xy) ravn važ: L O = mρv ϕ e z. (40) Korsteć zraz za crkularnu projekcju vektora brzne v ϕ = ρ ϕ, zraz za L O u polarnom koordnatnom sstemu je: L O = mρ 2 ϕ e z = 2m v S. (41) Drugm rečma, ako se tačka kreće u ravn, vektor momenta kolčne kretanja jednak je dvostrukoj vrednost sektorske brzne pomnoženoj masom materjalne tačke. ektor momenta kolčne kretanja korst se u jednačnama rotaconog kretanja tela zbog toga se još nazva ugaon moment. Jednca mere za L O je [L O ] = kgm 2 /s = J s. 4.2 Moment sle Posmatramo telo na koga deluje sla F, kao što je prkazano na slc 6. Poznat je položaj napadne tačke sle r. Slka 6: Uz defncju momenta sle. Moment sle u odnosu na momentnu tačku O je vektorsk prozvod vektora položaja napadne tačke vektora sle r vektora sle F: M O = r F. (42) Ako vektor F lež u yz ravn ( F = F y +F z k), kao na slc 6, vektor momenta sle je: j k M O = m 0 y z = (yf z zf y ). (43) 0 F y F z Slčno kao L O, vrednost vektora M O zavs od zbora momentne tačke ovaj vektor se korst u jednačnama rotaconog kretanja tela. On je normalan na vektore r F njegov ntenztet je: M O = r F snα, (44) gde je α ugao zmeđu r F. Ovde je h = r snα dužna projekcje vektora r na pravac normalan na vektor F, koja se nazva krak sle. Prema tome, ntenztet vektora M O jednak je prozvodu ntenzteta vektor sle kraka sle: M O = F h. (45) 7

5 Teorema o promen momenta kolčne kretanja materjalne tačke Posmatrajmo materjalnu tačku koja se kreće po prozvoljnoj putanj, kao što je prkazano na slc 7. Slka 7: Uz zvođenje momentne jednačne za kretanje materjalne tačke. Njutnova jednačna kretanja za ovu materjalnu tačku ma oblk: d p = d(m v) = F rez (ext). (46) Ako se ova jednačna vektorsk pomnož sleva vektorom položaja materjalne tačke (stovremeno vektorom položaja napadne tačke sle), sled: r d(m v) = r F (ext) rez = M (ext) rez,o. (47) Ovde je M (ext) rez,o moment rezultantne spoljašnje sle u odnosu na tačku O. Takođe važ: d( r m v) = d r d(m v) m v + r. (48) S obzrom da je d r/ = v, prv član u zrazu sa desne strane ove jednakost jednak je nul. Dakle, r d(m v) = d( r m v) = d L O, (49) gde je skoršćeno L O = r m v. Zamena poslednjeg zraza u jednačnu (47) daje: d L O = M (ext) rez,o. (50) Ovo je matematčk skaz teoreme o promen momenta kolčne kretanja materjalne tačke (TMKK(MT)). Ova jednačna zapravo predstavlja II Njutnov zakon za rotacju (treba uočt da upravo dokazana teorema II Njutnov zakon d p/ = F (ext) rez maju slčan oblk). TMKK(MT). Moment rezultantne spoljašnje sle koj deluje na materjalnu tačku u odnosu na tačku O u nercjalnom sstemu reference jednak je brzn promene momenta kolčne kretanja u odnosu na O. 8

Slka 8: Ilustracja sstema materjalnh tačaka: uz zvodjenje veze zmeđu L O L CM. 6 eza zmedju L O L CM Analzrajmo kretanje sstema koj se sastoj od n materjalnh tačaka, kao što je prkazano na slc 8. Podsetmo se da za prkazan sstem važ: Odavde, dferencranjem po vremenu: m r = 0. (51) m r = 0. (52) Takođe, podsetmo se da se ukupn moment kolčne kretanja mehančkog sstema može zračunat kao prozvod mase sstema brzne centra mase (vdet poglavlje o teorem o kretanju centra mase): P = m v = m v CM. (53) Korsteć: r = r CM + r (54) r = r CM + r, (55) sled: L O = U razvjenoj form, ovaj zraz ma oblk: L O = m ( r CM + r ) ( r CM + r ). (56) m r CM r CM + 0 m r r CM + 0 m r CM r + m r r. (57) Na osnovu (51) (52), drug treć član u zrazu sa desne strane poslednje jednakost jednak su nul ( r CM r CM se mogu zvuć spred dve sume), tako da se dobja: L O = r p + r CM (m v CM ), (58) 9

gde je m = n m masa sstema. eza zmeđu momenta kolčne kretanja u odnosu na nepokretnu tačku O u nercjalnom sstemu reference momenta kolčne kretanja u odnosu na centar mase je, dakle: L O = L CM + r CM P. (59) 7 Teorema o promen momenta kolčne kretanja mehančkog sstema Posmatrajmo sstem od n materjalnh tačaka (vdet slku 9. Mase materjalnh tačaka u sstemu su m 1, m 2,..., m n. ektor položaja materjalnh tačaka u odnosu na nepokretn pol O su r 1, r 2,..., r n. Na svaku čestcu u sstemu deluju unutrašnje sle F (nt) spoljašnje sle F (ext). Ovde je, kao kod dokaza teoreme o promen kolčne kretanja mehančkog sstema, F (nt) rezultanta svh sla kojm ostale materjalne tačke deluju na -tu tačku ( F j ): a F (ext) F (nt) = j=1,j je rezultantna spoljašnja sla koja deluje na -tu materjalnu tačku. F j, (60) Slka 9: Sstem materjalnh tačaka: na svaku tačku deluju unutrašnje spoljašnje sle. Napšmo jednačne kretanja za sve materjalne tačke u sstemu: d p 1 d p 2 d p n = F (nt) 1 + F (ext) 1, (61) = F (nt) 2 + F (ext) 2, (62). (63) = F (nt) n + F (ext) n. (64) Pomnožmo vektorsk sleva sve jednačne u sstemu vektorma položaja odgovarajućh materjalnh tačaka: r 1 / d p 1 r / d p r n / d p n = F (nt) 1 + F (ext) 1 (65). (66) = F (nt) + F (ext) (67). (68) = F (nt) n + F (ext) n. (69) 10

Ako se saberu sve jednačne u sstemu, leva strana dobjene jednačne je: r d p = n d( r p ) 0 d r p = d L,O = d L,O = d L O, (70) gde L,O označava moment kolčne kretanja -te materjalne tačke, a L O moment kolčne kretanja mehančkog sstema. Prema tome, d L O = r F (nt) + r F (ext). (71) Slka 10: Ilustracja uz dokaz da je ukupn moment ununtrašnjh sla koje deluju zmeđu materjalnh tačaka u mehančkom sstemu jednak nul. Razmotrmo sada prvu sumu na desnoj stran poslednje jednačne. Za tu svrhu, uočmo dve materjalne tačke masa m m j koje se nalaze na rastojanju r j (vdet slku 10). ektor položaja -te materjalne tačke je r, a j-te r j. Pretpostavmo da su unutrašnje sle kojma ove dve čestce deluju jedna na drugu centralne. Na osnovu III Njutnovog zakona: Rezultantn moment ove dve sle je: F j = F j. (72) r j F j + r F j = ( r j r ) F j = r j F j = 0. (73) Ovde je r j vektor položaja j-te tačke u odnosu na -tu tačku. Za svak par materjalnh tačaka u sstemu važ upravo dobjen rezultata, što znač da je ukupn moment unutrašnjh sla u mehančkom sstemu jednak nul: r F (nt) = 0. (74) Dakle, d L O = M n (ext) rez,o = r F (ext). (75) Ovo je teorema o promen momenta kolčne kretanja mehančkog sstema (TMKK(MS)). TMKK(MS). Prv zvod momenta kolčne kretanja mehančkog sstema po vremenu u odnosu na nepokretn pol jednak je vektorskoj sum svh momenata spoljašnjh sla u odnosu na taj pol. 11

Ovo je momentna jednačna za kretanje mehančkog sstema. Umesto u nepokretnoj tačk O (polu nercjalnog sstema reference), momentna tačka se može postavt u centar mase. Podsetmo se da je: L O = m r CM v CM + L CM. (76) Dferencranjem po vremenu: d L O = m v CM v CM +m r CM a CM + d L CM. (77) S druge strane, rezultantn moment spoljašnjh sla je: M (ext) n rez,o = ( r CM + r ) F (ext) = r CM F (ext) + Uvrstmo prethodne dve jednačnu u jednačnu koja predstavlja TMKK(MS): r F (ext) = r CM F rez (ext) + M (ext) rez,cm. (78) m r CM a CM + d L CM = r CM F (ext) rez + M (ext) rez,cm. (79) Prema teorem o kretanju centra mase: m a CM = F (ext) rez. (80) Množeć poslednju jednačnu sleva sa r CM, dobja se: m r CM a CM = r CM F (ext) rez. (81) Na ovaj načn prv član na desnoj stran prv član na desnoj stran jednačne (79) međusobno se potru, tako da je, konačno, momentna jednačne za momentnu tačku u centru mase: d L CM = M (ext) rez,cm. (82) TMKKS(MS) predstavlja dferencjalnu jednačnu kretanja, čjm se rešavanjem za poznat rezultantn moment spoljašnjh sla dobja vremenska zavsnost vektora momenta kolčne kretanja. Ilustrujmo na jednostavnom prmeru značaj ove teoreme za analzu rotaconog kretanja mehančkog sstema. Ako je suma svh spoljašnjh sla jednaka nul ( F (ext) rez = 0), prema teorem o kretanju centra mase, ubrzanje centra mase sstema jednako je nul, tako da je sstem centra mase nercjaln sstem. Ako je sstem mrovao pre delovanja sla na njega, prema teorem o kretanju centra mase, centar mase sstema ostaje u stanju mrovanja ako je F (ext) rez sle koje spunjavaju uslov F (ext) rez = 0, što znač da = 0 ne mogu zazvat translacju mehančkog sstema. Međutm, rezultantn moment spoljašnjh sla M (ext) rez,cm može bt razlčt od nule ako je F rez (ext) = 0. Podsetmo se da je svako planarno kretanje kombnacja translacje rotacje, tako da ako se pol, zabran tako da se poklapa sa centrom mase, ne kreće, sstem može da rotra oko ose koja prolaz kroz centar mase. Na osnovu upravo dokazane teoreme o promen momenta kolčne kretanja mehančkog sstema: ako je F (ext) rez = 0 M (ext) rez,cm 0, postoj promena vektora momenta kolčne kretanja L CM, što je kod sstema čj centar mase mruje moguće samo ako se sstem kreće rotacono. Pored toga, zaključujemo da teorema o kretanju centra mase ne može u potpunost opsat kretanje mehančkog sstema, što je ranje navedeno. 12

8 Zakon o održanju momenta kolčne kretanja mehančkog sstema Na osnovu teoreme o promen momenta kolčne kretanja mehančkog sstema u odnosu na tačku O: d L O = M (ext) rez,o. (83) Na osnovu ove jednačne sled: M (ext) rez,o = 0 L O = const. (84) Ovo je matematčk skaz zakona o održanju momenta kolčne kretanja mehančkog sstema. ZMKK(MS). Ako je suma momenata spoljašnjh sla koje deluju na mehančk sstem u odnosu na nepokretnu tačku O koja se nalaz u nercjalnom sstemu reference jednaka nul, ukupn moment kolčne kretanja sstema u odnosu na tačku O je konstantan u toku vremena. Poseban slučaj je zolovan mehančk sstem (IMS), na koj ne deluje njedna spoljašnja sla ( F = 0). Na osnovu ZMKK(MS) sled zakon o održanju momenta kolčne kretanja mehančkog sstema za zolovan mehančk sstem. ZMKK(IMS). Moment kolčne kretanja zolovanog mehančkog sstema u odnosu na nepokretnu tačku O u nercjalnom sstemu reference održava se konstantnm u toku vremena. U prethodnom poglavlju zvel smo momentnu jednačnu za momentnu tačku u centru mase: d L CM = M (ext) rez,cm. (85) Odavde se lako dobja: M (ext) rez,cm = 0 L CM = const. (86) Ovo je matematčka formulacja zakona o održanju momenta kolčne kretanja za momentnu tačku u centru mase. 13