Primjer. Zrak (R=87 J/(kg K), κ=,4) se iz atmosfere ( =, bar, T =88 K) usisava oz cijev romjera D = mm, duljine L = m, rema slici. Treba odrediti maksimalno mogući maseni rotok m max oz cijev uz retostavku adijabatskog strujanja ri rosječnom koeficijentu otora λ =,63. Odredite veličine stanja u ulaznom i izlaznom resjeku cijevi ri tom maksimalnom masenom rotoku. Strujanje oz difuzor do ulaznog resjeka cijevi smatrajte izentroskim. T D L Uradak: Iz zadanih odataka zaključuje se da se radi o Fannovu strujanju oz cijev, kod kojega će kod maksimalno mogućeg masenog rotoka u izlaznom resjeku vladati itični uvjeti ( M =), što znači da će duljina cijevi L odgovarati itičnoj duljini L za Machov broj M koji vlada u ulaznom resjeku, tako da vrijedi L L λ = λ =,36 D D M Na temelju gornjeg odatka traži se u tablici za Fannovo strujanje Machov broj M kod kojega će arametar λ L / D biti jednak,36. Sljedeća tablica rikazuje dio tablice s odacima za Fannovo strujanje, iz koje se može s dovoljnom točnošću uzeti da je Machov broj M =,65, za koji je λl / D =,346. Fannoovo strujanje, κ=.4 M λl /D T/T v/v / /.64.3533.9.674.646.45.65.346.7.6837.68.36.66.979.4.6934.59.7 Budući je strujanje oz difuzor izentrosko, totalni tlak i temeratura ostaju isti do ulaznog resjeka, a u tom resjeku je rema gornjoj tablici određen Machov broj, te je moguće izračunati i statičke veličine stanja. To se može učiniti rimjenom analitičkih izraza ili s omoću tablice za izentrosko koja je načinjena na temelju tih izraza. Sljedeća tablica rikazuje dio tablice za izentrosko strujanje iz koje se vide odnosi statičkih i totalnih veličina stanja Tablica za izentrosko strujanje κ=.4 M / T/T ρ /ρ A/A.65.758.9.864.36
Temeljem gornje tablice mogu se izračunati statički tlak i temeratura =,758 =,76 bar (a) T =,9T = 66 K Gustoća se računa iz jednadžbe stanja savršenog lina, koja glasi ρ = =,998 kg/m 3, RT Brzina strujanja zraka u ulaznom resjeku je na temelju Machova broja i brzine zvuka v = Mc = M κ RT = m/s te je maseni rotok D π m = m max = ρv =,66 kg/s 4 Kao što je rečeno u izlaznom resjeku vladaju itični uvjeti, te iz rije dane tablice za Fannovo strujanje direktno slijedi, 68 T T = T = = 4 K,7 v v = v = = 3 m/s,6837 ρ = ρ =,6837ρ =,683 kg/m 3 = = =,47 bar (b) gdje je iskorištena činjenica da je rema jednadžbi kontinuiteta v / v = ρ / ρ. Za kontrolu roračuna može se rovjeriti vrijednost Machova broja u izlaznom resjeku, za koju vrijedi v v = = =, M c κ RT Naomena: Kada se roračun vrši s omoću tablica, a ogotovo ako se iz tablica bira redak rema najbližoj vrijednosti, bez linearne interolacije, tada će i točnost rezultata biti nešto manja. Rezultate nema smisla isisivati s više od tri signifikantne znamenke, iako se roračun treba vršiti sa svim znamenkama. Tako je nr. rema izrazu (a) tlak zaoužen na tri znamenke, ali je u izrazu (b) tlak uvršten sa svim znamenkama, a dobiveni tlak zaoužen.
Primjer Zrak (R=87 J/(kg K), κ=,4) u adijabatskom strujanju ri rosječnom koeficijentu trenja λ =,9 izlazi iz cijevi romjera D =5 mm u atmosferu masenim rotokom m = 6,9 kg/s. Ako je tlak u mlazu jednak tlaku okoline =, bar, a statička temeratura mlaza u izlaznom a resjeku 3 ºC, odrediti Machov broj M, temeraturu T i tlak u resjeku koji je na duljini L = m isred izlaznog resjeka. Uradak: D L Neka je s jedan označen resjek koji se nalazi na udaljenosti L = m isred izlaznog resjeka označenog s dva. Produžimo u mislima cijev do nekog resjeka 3, koji se nalazi desno od resjeka dva, u kojem vladaju itični uvjeti. Budući je itična duljina udaljenost resjeka u kojem vlada neki Machov broj, do itičnog resjeka (u kojem je Machov broj jednak jedan), jasno je da će itična duljina od resjeka jedan biti za veća za L od itične duljine mjerene od izlaznog resjeka dva. Iz zadanih odataka je moguće naći Machov broj M u izlaznom resjeku, temeljem kojeg se iz tablice za Fannovo strujanje može naći itična duljina mjerena od izlaznog resjeka, a uvećanjem te duljine za m dobije se itična duljina mjerena od resjeka, čime je određen Machov broj, odnosno sve ostale tražene veličine. M Asolutna temeratura mlaza je T 73+3=33 K, a je brzina zvuka c = κ RT = = 349 m/s. Gustoća zraka u izlaznom resjeku je ρ = a RT = RT =,6 kg/m 3, a brzina istjecanja lina u izlaznom resjeku je rema jednadžbi kontinuiteta v m = =96,7 m/s D π ρ 4 Na temelju Machova broja M = v c =,85 slijede odaci iz tablice za Fannovo strujanje Kritična duljina za resjek jedan je Fannoovo strujanje, κ=.4 M λl /D T/T v/v / /.85.3633.48.874.5.
L L L λ = λ + λ =, 3633+, 9 =,563 D D D,5 M M te je rema tablici za Fannovo strujanje Fannoovo strujanje, κ=.4 M λl /D T/T v/v / /.44.69.55.479.443.474.45.566.53.4833.386.449.46.45.5.4936.333.45 Machov broj M ribližno jednak,45. Tražene veličine u resjeku jedan su T T M,53 T = T = 33 =333,4 K T,48 T M M,386 = =, =, bar,5 M
Primjer 3 Zrak (R=87 J/(kg K), κ=,4) struji iz velikog sremnika, u kojem je temeratura zraka ϑ = ºC, oz konvergentnu mlaznicu i riključnu cijev duljine L = 8 m, romjera D =5 mm u atmosferu gdje vlada tlak a =, bar. Pretostavite izentrosko strujanje oz mlaznicu, a u cijevi adijabatsko strujanje ri rosječnom koeficijentu trenja λ =,. Odredite maseni rotok m oz mlaznicu sa i bez riključne cijevi za slučajeve ta je tlak u sremniku: a) =8,5 bar; b) =,4 bar. T D L a Uradak: Fizikalno je jasno da će maseni rotok oz mlaznicu biti veći kad ne bude riključne cijevi, odnosno kada tlak u sremniku bude veći. Totalna temeratura zraka u sremniku je u svim slučajevima T = 73+ ϑ = 93 K. Redom će se riješiti svi slučajevi. Slučaj a) =8,5 bar, bez riključne cijevi Proračun istjecanja oz konvergentnu mlaznicu svodi se na isitivanje odnosa itičnog tlaka i tlaka okoline. Iz tablice za izentrosko strujanje za M =, slijedi da je / = / =,583, odakle je = 4,49 bar, što je veće od zadanog atmosferskog tlaka, što znači da će u izlaznom mlazu vladati itični uvjeti ( M =, =, ρ = ρ, T = T i v = v = c = κ RT k r ), a mlaz će naknadno eksandirati izvan mlaznice. Za itične uvjete vrijede odnosi Tablica za izentrosko strujanje κ=.4 M / T/T ρ /ρ A/A..583.8333.6339. Odakle je temeratura u izlaznom resjeku T =,8333 T =44 K. Gustoća zraka u izlaznom resjeku je rema jednadžbi stanja ρ = ρ = =6,4 kg/m 3 RT Brzina zraka u izlaznom resjeku je v = κ RT = 33 m/s, tako da je traženi maseni rotok
m = ρ v D π =35,5 kg/s 4 Slučaj a) =8,5 bar, s riključnom cijevi Budući je tlak u sremniku visok logično je retostaviti da će u izlaznom resjeku onovo vladati itični uvjeti ( M =, =, ρ = ρ, T = T i v = c = κ RT ). Vrijedno je naomenuti da ovi itični uvjeti koji vladaju u resjeku, nisu isti itičnim uvjetima u rethodnom slučaju. Strujanje oz mlaznicu je izentrosko, što znači da će totalni tlak i temeratura u resjeku jedan biti isti kao u sremniku, a od resjeka jedan do izlaznog resjeka dva, totalni tlak će oadati zbog trenja. Pretostavka o itičnom izlaznom resjeku odrazumijeva da je tlak u mlazu veći ili jednak tlaku okoline, što treba rovjeriti. Ako je izlazni resjek itičan, tada duljina L cijevi odgovara itičnoj duljini ri Machovu broju u resjeku jedan, tj. vrijedi M L λ D M L = λ =,67 D Na temelju čega se iz tablice za Fannovo strujanje može očitati vrijednost Machova broja M Fannoovo strujanje, κ=.4 M λl /D T/T v/v / /.49.54.45.543.84.359.5.69.43.5345.38.34.5.994.4.5447.94.3 ribližno M =,5. Budući je zadano stanje u sremniku, veličine stanja u resjeku jedan će se odrediti na temelju oznatog Machova broja i izentroskih relacija. Iz tablice za izentrosko strujanje za M =,5 slijedi Tablica za izentrosko strujanje κ=.4 M / T/T ρ /ρ A/A.5.843.954.885.34 temeljem čega je =,843 = 7,66 bar, i T =,954 T = 79 K, odakle je ρ = /( RT) =8,95 kg/m 3, v m = M κ RT =67,4 m/s i na aju = ρvd π /4= 6,5 kg/s. Očito je došlo do smanjenja masenog rotoka u odnosu na slučaj bez riključne cijevi. No, da bi se otvrdila retostavka o itičnom izlaznom resjeku nužno je još rovjeriti tlak u mlazu. Iz tablice za Fannovo strujanje iz odataka / za M =, 5 slijedi,38 = = =3,35 bar što je veće od zadanog atmosferskog tlaka, a je otvrđena retostavka o itičnom resjeku.
Slučaj b) =,4 bar, bez riključne cijevi Kritični tlak u ovom slučaju je =,583 =,665 bar, što je manje od atmosferskog tlaka, što znači da će istjecanje oz mlaznicu biti odzvučno, a tlak u mlazu jednak atmosferskom tlaku ( = a). Iz odnosa tlakova / =,84 iz tablice za izentrosko strujanje Tablica za izentrosko strujanje κ=.4 M / T/T ρ /ρ A/A.54.8.9449.8679.7.55.84.943.8634.55.56.88.94.8589.4 može se očitati Machov broj M =,55. Nadalje slijedi T =,943 T = 76 K, odakle je ρ = /( RT ) =,7 kg/m 3, v = M κ RT =83,3 m/s i na aju m = ρv D π = 4, kg/s. /4 Slučaj b) =,4 bar, s riključnom cijevi Za slučaj ostojanja riključne cijevi maseni rotok oz mlaznicu će biti manji, tako da će i Machov broj M biti manji od,55, dok će izlazni Machov broj M zbog ubrzavanja zraka biti veći od M, ali manji od jedan, tako da će tlak u mlazu biti jednak atmosferskom tlaku ( = a). Jasno je da je razlika u itičnim duljinama za resjeke jedan i dva jednaka L, tj. vrijedi L L L L λ = λ + λ = λ +,67 (a) D D D D M M M Relacija (a) daje vezu između Machovih brojeva M i M, ri čemu još mora biti zadovoljeno da je tlak u sremniku jednak tlaku, a tlak na izlazu iz cijevi = a. Zadatak se rješava iterativno, gdje se nr. može oći s retostavkom Machova broja M. Na temelju te retostavke se iz relacije (a) odredi Machov broj M, a iz oznatih Machovih brojeva u dva resjeka se može izračunati otrebni tlak kod kojeg će uz Machove brojeve i M otrebni M otrebni tlak u mlatu biti jednak atmosferskom tlaku. Ako je tlak veći od tlaka Machov broj otrebni M treba smanjivati i obrnuto, ako je tlak manji od tlaka Machov broj M treba ovećavati. Tlak se računa iz sljedećih relacija. Za retostavljeni Machov broj i otrebni = a, može se rimjenom tablica za Fannovo strujanje izračunati itični tlak rema izrazu M = a Fanno (b) M
Fanno gdje je odnos tlakova očitan iz tablice za Fannovo strujanje ri Machovu broju M. Uz M M određene i moguće je odrediti tlak rema izrazu Fanno = (c) M a uz određeni tlak moguće je s omoću tablica za izentrosko strujanje odrediti tlak otrebni = (d) otrebni Izentrosko M Sljedeća tablica daje rezultate iterativnog određivanja Machova broja. M otrebni M λl / M D L / M D M λ /bar retostavka iz tablice Fanno iz (a) iz tablice Fanno iz (d),,,67,5,56,5,69,3,4,39,4,3 3,38,35,6,39,5 3,57,345,4 Iz rvog reda tablice je vidljivo da minimalni tlak u sremniku kod kojeg će izlazni resjek biti itičan iznosi,56 bar. Smanjivanjem Machova broja M smanjuje se i otrebni tlak u sremniku, a u zadnjem retku tablice se otrebni tlak okloio sa zadanim, ri čemu je Machov broj =,345. Iz tablice za izentrosko strujanje M Tablica za izentrosko strujanje κ=.4 M / T/T ρ /ρ A/A.34.93.9774.9445.83.35.988.976.943.778 =,9 =,4 bar, T =,977 T = 86 K, odakle je ρ = /( RT) =,387 kg/m 3, v = M κ RT =7 m/s i na aju m = ρvd π =,86 kg/s. /4