DODATAK UDŽBENIKU ZA 7. RAZRED DEVETOGODIŠNJE ŠKOLE SUSTAVA KATOLIČKIH ŠKOLA ZA EUROPU

DODATAK UDŽBENIKU ZA 7. RAZRED DEVETOGODIŠNJE ŠKOLE SUSTAVA KATOLIČKIH ŠKOLA ZA EUROPU Izrada: Dalila Ljevo Lektorisala: Ivana Mostarac Tehnička obrada: Edin Tabak

Sadržaj CIJELI BROJEVI...4 Svojstva zbrajanja cijelih brojeva...4 RACIONALNI BROJEVI...7 Decimalni zapis racionalnog broja...7 Svojstva zbrajanja racionalnih brojeva...11 Svojstva množenja racionalnih brojeva...15 KUT I TROKUT...19 Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova...19 Podudarnost trokuta. Četvrti poučak o sukladnosti trokuta....26 Primjena pravila sukladnosti kod pravokutnog i jednakokrakog trokuta...27 Centar opisane i upisane kružnice trokuta...30 Težište i ortocentar trokuta...33 Značajne točke trokuta...37 Središnji i obodni kut kruga...39 Uzajamni položaj pravca i kružnice. Konstrukcija tangente kružnice....44 Uzajamni položaj dvije kružnice...47 ČETVEROKUT...51 Konstrukcije paralelograma...51 Konstrukcija trapeza...58 Deltoid. Svojstva deltoida....63 Konstrukcija deltoida...67 Opseg trokuta i četverokuta...70 POVRŠINA ČETVEROKUTA...77 Površina četverokuta s okomitim dijagonalama...77 Površina proizvoljnog konveksnog četverokuta...79

Svojstva zbrajanja cijelih brojeva CIJELI BROJEVI Svojstva zbrajanja cijelih brojeva Svojstva zbrajanja u skupu N0 vrijede i u skupu Z. Provjerimo. Pr. 1. Zbrojimo 2 i +1; 101 i 20. 2 + 1 = 1 101 + ( 20) = 81 Pribrojnici i zbroj su cijeli brojevi. Vrijedi svojstvo ZATVORENOSTI skupa Z u odnosu na zbrajanje. Za svaka dva cijela broja a i b vrijedi: a + b Z Pr. 2. Provjerit ćemo vrijedi li svojstvo komutativnosti. 7 + ( 21) = (7 + 21) = 28 Zamijenimo mjesta pribrojnicima. 21 + ( 7) = (21 + 7) = 28 Zbroj dva cijela broja se ne mijenja ako pribrojnicima zamijenimo mjesta. Vrijedi svojstvo KOMUTATIVNOSTI za zbrajanje u skupu Z. Za svaka dva cijela broja a i b vrijedi jednakost: a + b = b + a. Pr. 3. Izračunat ćemo zbroj 8 + ( 10) + ( 3) grupirajući pribrojnike. (8 + ( 10)) + ( 3) = 2 + ( 3) = 5 8 + ( 10 + ( 3)) = 8 + ( 13) = 5 Zbroj tri ili više cijelih brojeva se ne mijenja ako pribrojnike grupiramo tako da dva ili više pribrojnika zamijenimo njihovim zbrojem. Vrijedi svojstvo ASOCIJATIVNOSTI za zbrajanje u skupu Z. Za bilo koje cijele brojeve a, b, c vrijedi jednakost: (a + b) + c = a + (b + c) 4

Svojstva zbrajanja cijelih brojeva Pr. 4. Zbrojimo 3 i 0, te 0 i 3. 3 + 0 = 0 + ( 3) = 3 Za operaciju zbrajanje u skupu Z, broj 0 je NEUTRALNI ELEMENT. Za svaki broj a vrijedi: a + 0 = 0 + a = a Pr. 5. Već smo naučili da je zbroj dva suprotna broja jednak nuli. 15 + ( 15) = 0 15 + 15 = 0 Za svaki cijeli broj a vrijedi: a + ( a) = a + a = 0 Za svako a Z, postoji a Z, tako da je a + ( a) = 0. Pr. 6. Primjenjujući svojstva komutativnosti i asocijativnosti, odredit ćemo vrijednost zbroja: a) 17 + 5 + 9 + 17 = 17 + 5 + 17 + 9 = 17 + 17 + 5 + 9 = (komutativnost) (komutativnost) ( 17 + 17) + 5 + 9 = (asocijativnost) 0 + 5 + 9 = (zbroj suprotnih brojeva) = 14 b) 3 + ( 2) + (+5) + ( 1) = 3 + (+5) + ( 2) + ( 1) = (komutativnost) (3 + 5) + ( 2 + ( 1)) = (asocijativnost, grupiramo pozitivne pribrojnike sa pozitivnim a negativne sa negativnim) 8 + ( 3) = 5 5

Svojstva zbrajanja cijelih brojeva Zadaci za vježbu: 1. Ne izvodeći zbrajanje, umjesto zvjezdice (*) staviti odgovarajući broj, tako da bude točna jednakost. a) 9 + ( 6) = 6 + b) +( 3) = 3 + 13 c) 5 + ( 31) = +5 d) 301 + ( 503) = 503 + 2. Bez izračunavanja odrediti nepoznati broj. a) 7 + ( 10 + 9) = (7 + x) + 9 b) (x + ( 13)) + 19 = 28 + (( 13) + 19) 3. Provjeriti je li (a + b) + c = a + (b + c) ako je: a) a = 10, b = 4, c = 6 b) a = 17, b = 2, c = 13 c) a = 7, b = 3, c = 9 d) a = 15, b = 8, c = 5 4. Izračunati zbroj svih cijelih brojeva koji se nalaze između 6 i 8. 5. Koristeći svojstva zbrajanja, izračunati vrijednost izraza: a) 24 + ( 19) + ( 24) = b) 61 + 17 + 61 + ( 17) = c) 71 + 39 + 11 + ( 29) = d) 33 + 15 + 28 + ( 33) + ( 15) = e) 156 + 188 + ( 78) + 156 = f) 15 + ( 11) + 25 + ( 38) + ( 9) + 39 + ( 21) = 6

Decimalni zapis racionalnog broja Ponovimo prvo decimalni zapis razlomka. RACIONALNI BROJEVI Decimalni zapis racionalnog broja Pr. 1. Napisati u decimalnom zapisu razlomke: a) 34 1000 = 0,034 (decimalni broj ima 3 decimale, jer dekadska jedinica u nazivniku ima 3 nule) b) 523 = 5,23 (decimalni broj ima 2 decimale, jer dekadska jedinica ima dvije nule) 100 c) 3 = 3 5 = 15 = 1,5 (proširivanjem prevedemo u decimalni razlomak, a zatim 2 2 5 10 izrazimo u decimalnom zapisu) d) 34 = 34:2 = 17 = 1,7 (skraćivanjem prevedemo u decimalni razlomak, a zatim 20 20:2 10 izrazimo u decimalnom zapisu). Pr. 2. Date razlomke ćemo dijeljenjem prevesti u decimalni zapis i zaokružiti ih na dvije decimale. a) 5 7 b) 5 16 = 5: 7 = 0,71428571 0,71 50 10 30 20 60 40 50 10.. = 5: 16 = 0,3125 0,31 50 20 40 80 0 7

Decimalni zapis racionalnog broja Pr. 3. Prevesti decimalni zapis razlomka s konačnim brojem decimala na oblik razlomka: a) 0,32 = 32 100 = 8 25 b) 1,123 = 1123 1000 c) 0,520 = 520 = 52 = 13 1000 100 25 d) 3,35 = 335 = 67 100 50 Svaki racionalan broj može se može predstaviti decimalnim zapisom pomoću decimalnog zapisa razlomka. Pr. 4. Zapisat ćemo racionalne brojeve u obliku decimalnog zapisa. Koristit ćemo poznati postupak i voditi računa o predznaku pri dijeljenju brojnika nazivnikom. a) 3 10 = 0,3 b) 27 100 = 0,27 c) 1589 1000 = 1,589 d) 232 100 = 2,32 e) 216 50 = 216 2 50 2 = 432 100 = 4,32 f) 7 2 = 7 5 2 5 = 32 10 = 3,2 g) 3 8 = 3 125 8 125 = 375 1000 = 0,375. 8

Decimalni zapis racionalnog broja Pr. 5. Prikazat ćemo u decimalnom zapisu racionalne brojeve i zaokružiti na dvije decimale. a) 9 = 9: 16 = 0,5625 0,56 16 b) 3 = 3: 11 = 0,272727 0,27 11 Pr. 6. Napisat ćemo u obliku a (aεz, bεn) racionalne brojeve: b 0,09; 2,0077; 1.13; 0,15. 0,09 = 9 (Za brojnik uzmemo dati racionalni broj bez zareza, a za nazivnik 100 dekadsku jedinicu sa onoliko nula koliko ima decimala dani racionalni broj. Vodimo računa o predznaku). 2,0077 = 20077 10000 1,13 = 113 100 0,15 = 15 100 = 3 20. Razlomak je nesvodiv ako brojnik i nazivnik nemaju zajedničkih djelitelja različitih od +1 i -1. Jedini prosti faktori u nazivniku nesvodivog razlomka čiji je decimalni zapis konačan su 2 ili 5. Među prostim faktorima nazivnika u nesvodivom razlomku čiji je decimalni 0, 6 3 zapis beskonačan periodični, imamo i faktore različite od 2 i 5. Pr. 7. Može li se svaki decimalni periodični broj predstaviti u obliku racionalnog broja? x = 0,6363./ 100 100x = 63,6363 100x = 63 + x 100x x = 63 99x = 63 x = 63 99 = 7 11 9

Decimalni zapis racionalnog broja Pr. 8. Periodični decimalni broj napisat ćemo u obliku razlomka. 5, 7 = (5 + 0,7777 ) Neka je x = 0,7777 / 10 10x = 7 + 0,7777 10x = 7 + x 9x = 7 x = 7 9 Imamo: 5,7 = (5 + 7 9 ) = 5 7 9 = 52 9 Zadaci za vježbu: 1. Prevesti racionalne brojeve u decimalni zapis: a) 37 ; 2 3 ; 17 ; 432 10 10 10000 100 b) 12 ; 137 ; 1 ; 5 3 25 50 250 20 c) 6 ; 17 ; 12 3 ; 6 8 15 4 20 20 2. Brojeve: 5, 59, 3, 11 napisati u decimalnom zapisu i zaokružiti na dvije 6 3 14 28 decimale. 3. Napisati u obliku nesvodivog razlomka: a) 4,25 b) 1,2 c) 2,24 d) 0,00025 e) 4,125 f) 0,095 4. Prevesti racionalne brojeve u decimalni zapis: a) 17 b) 3 7 c) 1 4 9 250 5. Koji od datih racionalnih brojeva imaju decimalni zapis s konačnim brojem decimala? Takve racionalne brojeve prevesti u decimalni zapis. a) 3 6 275 160 b) 3 4 c) 171 80 d) 1 5 15 e) 173 250 f) 53 60 g) 95 48 h) 10

Svojstva zbrajanja racionalnih brojeva Svojstva zbrajanja racionalnih brojeva Ponovimo svojstva zbrajanja cijelih brojeva: Za svako a, bεz: a + bεz Za svako a, bεz: a + b = b + a Za svako a, b, cεz: a + (b + c) = (a + b) + c Za svako aεz: a + 0 = 0 + a = a Za svako aεz: a + ( a) = ( a) + a = 0 Primjenjujući svojstva zbrajanja cijelih brojeva lakše je izvoditi računske operacije. Znamo i pravilo zagrade: +(a + b) = a + b (a + b) = a b ( a) = a U izrazima s više pozitivnih i negativnih pribrojnika, primjenjujući svojstva komutativnosti i asocijativnosti, možemo zbrojiti najprije sve pozitivne, zatim sve negativne pribrojke i na kraju zbrojiti dva dobivena pribrojka (jedan pozitivan, jedan negativan). Pokazat ćemo na primjerima da svojstva zbrajanja vrijede i u skupu Q. 11

Svojstva zbrajanja racionalnih brojeva Pr. 1. Izračunajmo na dva načina: a) 1 2 + 3 4 + ( 1 1 2 ) = 1 2 + ( 1 1 2 ) + 3 4 = Komutativnost ( 1 2 + ( 1 1 2 )) + 3 4 = Asocijativnost ( 1 2 + 1 1 2 ) + 3 4 = 2 + 3 4 = 8 4 + 3 4 = 5 4 ; ili 1 2 + 3 4 + ( 1 1 2 ) = ( 1 2 + 3 4 ) + ( 1 1 2 ) = Asocijativnost ( 2 4 + 3 4 ) + ( 1 1 2 ) = 1 4 + ( 3 2 ) = 1+( 6) 4 = 5 4 b) 12,1 + ( 5,9) + ( 0,1) = 12,1 + ( 5,9 + ( 0,1))= Asocijativnost 12,1 + ( 6) = 6, 1; ili 12,1 + ( 5,9) + ( 0,1) = 12,1 + ( 0,1) + ( 5,9) = Komutativnost (12,1 + ( 0,1)) + ( 5,9) = Asocijativnost 12 + ( 5,9) = 6, 1 12

Svojstva zbrajanja racionalnih brojeva Pokazali smo da u skupu Q vrijede svojstva komutativnosti, asocijativnosti i svojstvo zatvorenosti za zbrajanje racionalnih brojeva. Pr. 2. Izračunajmo: a) 2 1 5 + 0 = 2 1 5 Svojstvo nule (nula je neutralan element u skupu Q). b) 4,25 + ( 4,25) = 4,25 4,25 = 0 Svojstvo suprotnog broja (zbroj dva suprotna racionalna broja jednak je nuli). Pr. 3. Izračunajmo koristeći svojstva zbrajanja racionalnih brojeva. 3 1 3 2 1 2 + 2 + 2 2 3 2 3 1 2 = (3 1 + 2 2 ) + (( 2 1 ) + ( 3 1 )) + (2 + ( 2))= 3 3 2 2 6 + ( 6) + 0 = 0 Zadaci za vježbu: 1. Tablicu precrtati u bilježnicu i popuniti je: a b c a + b (a + b) + c b + c a + (b + c) 3 5 2,4 1,5 1,2 4 1 4 5,75 1 3,25 4 1 0,005 2,3 8 3,8 0,2 3 4 2. Koristeći se svojstvom komutativnosti i asocijativnosti, pogodnim grupiranjem olakšati postupak računanja: a) 2 1 4 2 1 8 + 3 1 4 5 8 = b) 2,893 + 4,73 8,107 1,73 = 13

Svojstva zbrajanja racionalnih brojeva c) 1 2 + ( 2 1 5 ) + ( 1 1 2 ) + 3 5 = d) 2 2 3 + 1,5 + ( 4 11 15 ) + 3,5 = 3. Primjenjujući osnovna svojstva zbrajanja racionalnih brojeva, dopuniti jednakosti tako da budu točne: a) 10 7 + = 0 b) 9 16 + ( 1 3 5 ) = 8 5 + c) 9 8 2 3 = + 9 8 d) 2 = 3 2 5 + 2 e) 1 1 9 + ( 3 4 5 + 2 3 ) = 3 4 5 + 2 3 4. Izračunati: a) 7 8 + 2 7 + 7 8 = b) 5 1 2 + 81,8 + 4 1 2 = c) 137,453 + ( 72) + 137,453 = d) 2 + ( 3 13 ) + ( ) = 15 8 15 e) 24 2 3 + (30,82 + 2 1 3 ) = 5. Osloboditi se zagrada i izračunati primjenom komutativnosti i asocijativnosti: a) 25 15 23 ( 10 + 2 8 23 ) = b) (12 2 3 + 20) (20,32 2 1 3 ) = 14

Svojstva množenja racionalnih brojeva Svojstva množenja racionalnih brojeva Množenje u skupu Q zadržava svojstva koja smo ranije upoznali, u skupovima N, Q + i Z, podskupovima skupa Q. Pr. 1. Pomnožimo racionalne brojeve: a) 3 ( 7 ) = 3 7 = 21, uočavamo: 3, 7 21 Q i Q 4 11 4 11 44 4 11 44 b) 1,5 ( 0,5) = 0,75, uočavamo: 1,5; 0,5 Q i 0,75 Q Produkt dva racionalna broja je racionalan broj. Operacija množenje je ZATVORENA u skupu Q. Za svaka dva racionalna broja a b i c d vrijedi: a b c d Q. Pr. 2. Provjerimo točnost jednakosti: 2 5 8 4 3 = 4 3 ( 2 5 8 ). Izračunamo lijevu stranu jednakosti 2 5 8 4 3 = 21 8 4 3 = 7 2 = 3 1 2. Izračunamo desnu stranu jednakosti 4 3 ( 2 5 8 ) = 4 3 ( 21 8 ) = 7 2 = 3 1 2. Jednakost je točna, pa zaključujemo da se produkt ne mijenja ako faktorima zamijenimo mjesta. Operacija množenje je komutativna u skupu Q. Za svaka dva racionalna broja a b i c d vrijedi: a b c d = c d a b Pr. 3. Izračunajmo produkt 7 ( 3 ) 5 na dva načina: 9 5 3 7 9 ( 3 5 ) 5 3 = 7 9 ( 3 5 5 3 ) = 7 9 ( 1) = 7 9 ili 7 9 ( 3 5 ) 5 3 = (7 9 ( 3 5 )) 5 3 = 7 3 9 5 5 3 = 7 9 15

Svojstva množenja racionalnih brojeva Uočavamo: Produkt više racionalnih brojeva se ne mijenja ako dva (ili više) faktora zamijenimo njihovim produktima. Operacija množenja je asocijativna u skupu Q, tj. za svaka tri racionalna broja a c b, d, e f vrijedi: a b (c d e f ) = (a b c d ) e f Pr. 4. Izračunat ćemo na dva načina: 3 10 ( 2 5 + 0,4) = 3 10 ( 2 5 + 4 10 ) = 3 10 ( 2 5 + 2 5 ) = 3 10 0 = 0 Ili 3 10 ( 2 5 ) + 3 10 4 10 = 6 50 + 6 50 = 0 Zbroj racionalnih brojeva možemo pomnožiti racionalnim brojem tako da pomnožimo svaki pribrojnik racionalnim brojem posebno, a zatim djelomične produkte zbrojimo. Vrijedi svojstvo distributivnosti množenja prema zbrajanju racionalnih brojeva. Za svaka tri racionalna broja a b, c d i e f vrijedi (a b + c d ) e f = a b e f + c d e f Vrijedi svojstvo distributivnosti množenja i prema oduzimanju racionalnih brojeva. Za svaka tri racionalna broja a b, c d i e f vrijedi (a b c d ) e f = a b e f c d e f Pr. 5. Koristimo svojstvo distributivnosti: 5 3 17 4 1 3 + 2 14 17 ( 4 1 3 ) = 5 3 17 4 1 3 2 14 17 4 1 3 = ( 5 3 17 2 14 17 ) 4 1 3 = 8 13 3 = 104 3 = 34 2 3 16

Svojstva množenja racionalnih brojeva Pr. 6. Izračunati: a) 4 15 1 = 4 15 b) 1 3,15 = 3,15. Broj 1 je neutralan za operaciju množenja u skupu Q. Za svaki racionalan broj a b vrijedi a b 1 = 1 a b = a b Pr. 7. Izračunati: a) 5 1 5 = 5 5 = 1 b) 4 ( 1 4 ) = 4 4 = 1 c) 7 8 ( 8 7 ) = 56 56 = 1 Dva racionalna broja su uzajamno recipročna ako je njihov produkt jednak 1. Za svaki racionalan broj a, osim broja 0, postoji samo jedan njemu recipročan b racionalan broj b a, takav da vrijedi: a b b a = 1. Pr. 8. Izračunajmo: a) 1 2 ( 1) = 1 2 b) 1 ( 5 6 ) = 5 6 c) 1 1,2 = 1,2 Produkt racionalnog broja i broja -1 je racionalan broj suprotan danom racionalnom broju. Za svaki racionalan broj a b vrijedi: a b ( 1) = a b. Pr. 9. a) 3,7 0 = 0 b) 0 4 9 = 0 c) 0 0 = 0 d) 1 3 5 ( 5) 0 1,8 ( 3 10 ) = 0 17

Svojstva množenja racionalnih brojeva Ako je bar jedan od faktora jednak nuli, tada je produkt jednak nuli. Za svaki racionalan broj a b vrijedi a b 0 = 0 a b = 0. Zadaci za vježbanje: 1. Provjeri jesu li točne jednakosti: a) 2 3 1 2 = 1 2 ( 2 3 ) b) (2,5 ( 1 1 4 )) 0,8 = 2,5 ( 1 1 4 8) c) (2 2 5 4) 5 12 = 12 5 5 12 4 5 12 2. Primjenom svojstva komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti, izračunati: a) 3 7 ( 4) 1 5 9 = b) 8,24 ( 10) ( 0,1) = c) 1 1 4 6 4 15 = d) 99 3 16 ( ) = 100 8 77 8 e) ( 4 ) 39 27 ( ) = 13 9 40 20 f) 0,25 2 + 3 ( 0,25) = 5 5 3. Izračunati na dva načina: a) ( 1 + 3 ) 10 = 2 4 b) ( 0,1 + 0,2) ( 0,3) = c) 1 1 2 (2 1) = 3 4. Koristeći svojstva množenja u skupu Q, usmeno izračunaj produkt: a) 2 0,85 ( 0,5) = b) 9 4 ( 1 1 3 ) ( 4 9 ) = c) 0,01 ( 6,6) 100 = 5. Pojednostavi izraz: 5 a + 3 a + 1 1 a, pa izračunaj njegovu brojevnu vrijednost 8 4 8 ako je a = 4 5. 18

Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova KUT I TROKUT Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova Sjetimo se pojmova koje smo naučili u šestom razredu. Nacrtajmo dva polupravca Ox i Oy koje imaju zajedničku točku O, a ne pripradaju istom pravcu. One uvijek određuju dva kuta od kojih je jedan konveksan (ispupčen), (na sl.1.kut α), a drugi nekonveksan (konkavan, udubljen), (na sl.1 kut β). Slika 1. Kut je dio ravnine ograničen dvama polupravcima sa zajedničkom početnom točkom, uključujući i te polupravce koji su kraci kuta, a zajednička početna točka je vrh ili tjeme kuta. Dva polupravca sa zajedničkom točkom dijele ravninu na dva dijela; jedan dio je unutrašnja oblast, a drugi vanjska oblast kuta. Kraci kuta ne pripadaju ni unutrašnjoj ni vanjskoj oblasti kuta. Kut smo definirali kao uniju dva polupravca sa zajedničkom točkom i jedne od oblasti određene tim polupravcima. Kut je veličina koja se može uspoređivati. Kutovi mogu biti jednaki ili nejednaki. Uspoređivali smo kutove po veličini i konstruirali jednake kutove koristeći svojstva o odnosu centralnih kutova i pripadnih tetiva i lukova. 19

Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova Slika 2. Nacrtajmo kružnice k (O,r) i k1 (S,r) jednakih polumjera (slika 2.). Kutovi α i β su jednaki, jer je AB = CD, (AB = CD ). Kut γ je jednak kutovima α i β, jer je EF = AB = CD. Ako bismo zarotirali kut α oko točke O, dok se ne poklopi kraj OA sa krakom OC, poklopili bi se i kraci OB i OD, tetive AB i CD i lukovi AB i CD i oblasti kutova α i β. Pomjeranjem bismo mogli dovesti do potpunog poklapanja i kutove γ i α, kao i kutove γ i β. Pr. 1. Konstruirat ćemo kut jednak zadanom kutu (kažemo da kut prenosimo u ravninu papira na drugo mjesto). Slika 3. Sjetimo se kako smo vršili konstrukcije. Neka je zadan aob (slika 3.) 1. Izaberemo točku u ravnini (O1), gdje će biti vrh novoga kuta i povučemo polupravac O1a1. 20

Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova 2. Opišemo luk l sa centrom u točki O i luk l1 sa centrom u točki O1 istim otvorom šestara (lukovi su dijelovi kružnica istih polumjera). Presjek luka l i krakova kuta aob su točke A i B ( Oa l = {A}, Ob l = {B}). Dobili smo tetivu AB. 3. Uzmemo u otvor šestara dužinu tetive AB i iz točke A1 ( l 1 O 1 a 1 = {A 1 }), odredimo točku B1 na luku l1, tj. odredimo tetivu A 1 B 1 = AB, odnosno luk A 1 B 1 = AB. 4. Povučemo polupravac O1B1 i dobijemo kut A 1 O 1 B 1, tj. a 1 O 1 b 1 = aob. Kutove koji nisu međusobno jednaki uspoređujemo koristeći svojstvo o odnosu centralnih kutova i pripadnih tetiva i kružnih lukova. Većem centralnom kutu odgovara veća tetiva i veći kružni luk. Pr.2. Usporedimo kutove aob i cod (slika 4.) Prenesemo zadane kutove tako da im se poklope tjeme i po jedan krak. Manji je onaj kut čiji drugi krak leži u unutrašnjoj oblasti drugog (većeg) kuta. Slika 4. aob > cod Upoznali smo i neke relacije između dva kuta. 21

Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova Slika 5. Susjedni kutovi aob i boc. Prisjetimo se: Susjedni kutovi su dva kuta sa zajedničkim tjemenom i zajedničkim krakom čije su unutrašnje oblasti sa raznih strana zajedničkog kraka (slika 5.) Usporedni kutovi su dva susjedna kuta čiji je zbroj ispruženi kut. Slika 6. Usporedni kutovi xoy i yoz Unakrsni kutovi su dva nesusjedna konveksna kuta koja su određena dvama pravcima koji se sijeku (imaju zajedničko tjeme, njihovi kraci pripadaju, po jedan, svakoj od ovih pravaca). Unakrsni kutovi su jednaki. Na slici 7. unakrsni kutovi su α i β, α=β i drugi par unakrsnih kutova δ i γ, γ=δ. 22

Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova Slika 7. Unakrsni kutovi α = β i γ = δ Komplementi su dva kuta ako je njihov zbroj jednak pravom kutu, tj. ako je njihov zbroj 90 0. Suplementi su dva kuta ako je njihov zbroj jednak ispruženom kutu, tj. ako je njihov zbroj 180 0. Upoznali smo i sve vrste kutova. Prisjetimo se: Nula kut je kut kod kojeg se kraci poklapaju, a oblast kuta je nulti dio ravnine (slika 8.). Slika 8. Oštar (šiljasti) kut je konveksan kut manji od pravog kuta (slika 9.). Slika 9. 23

Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova Pravi kut je kut jednak svom usporednom kutu (slika 10.). Svi pravi kutovi su jednaki. Slika 10. Pravi kutovi xoy i yoz Tupi kut je konveksan kut veći od pravog a manji od ispruženog kuta (slika 11.). Slika 11. Tupi kut xoy Ispruženi kut je kut čiji kraci pripadaju istom pravcu i ne poklapaju se. Oblast ispruženog kuta je poluravnina. Svi ispruženi kutovi su jednaki (slika 12.). Slika 12. Ispruženi kut xoy Nekonveksni (konkavni) kut je kut koji je veći od ispruženog, a manji od punog kuta (slika 13.). 24

Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova Slika 13. Nekonveksni kut xoy Puni kut je kut čiji se kraci poklapaju, a oblast kuta je cijela ravan (slika 14.). Slika 14. Puni kut xoy U šestom razredu smo naučili grafički zbrajati i oduzimati kutove, naučili smo da je kut veličina koja se može mjeriti i računati mjernim brojevima za kutove. Ponovite i ta pravila kako biste uspješno riješili zadatke za vježbu. Zadaci za vježbu: 1. Nacrtati dva jednaka centralna kuta kružnice. Grafički zbrojiti te kutove. 2. Nacrtati dva oštra (šiljasta) kuta, pa ih usporediti po veličini. Grafički oduzeti manji od većeg kuta. 3. Nacrtati dva jednaka usporedna kuta. 4. Nacrtati kut α i točku M van oblasti ovog kuta, a zatim konstruirati kut β s tjemenom u točki M tako da je jednak kutu α. Na osnovu kojeg svojstva centralnih kutova tvrdimo da su kutovi α i β jednaki? 5. Nacrtati tupi kut α, a zatim njegov unakrsni kut β. Usporediti kutove α i β. 25

Podudarnost trokuta. Četvrti poučak o sukladnosti trokuta. Podudarnost trokuta. Četvrti poučak o sukladnosti trokuta. Četvrti poučak o sukladnosti trokuta Dva trokuta su sukladna ako su dvije stranice i kut nasuprot veće od njih jednog trokuta, jednaki s odgovarajućim elementima drugog trokuta. Ovo skraćeno pravilo označavamo sa SSK (stranica stranica kut). Pokažimo da vrijedi ovo pravilo: Slika 15. Neka je u ABC: b<c i C = γ je oštar (šiljasti) kut (slika 16.). Nacrtajmo kružnicu k (A, b). Kružnica siječe stranicu BC u točki D i stranicu AB u točki E, jer je b<c. Slika 16. Promatrajmo trokute ABD i ABC za koje vrijedi: AB je zajednička stranica, AC = AD i B je zajednički kut, tj. ABD i ABC se poklapaju u dvije stranice i kutu nasuprot manje od njih, a očito nisu sukladni. Da bi dva trokuta koja se poklapaju u dvije stranice bila sukladna, moraju se poklapati kutovi nasuprot veće od njih, čime je dokazano pravilo SSK. Iz b=b1, c=c1, γ=γ1 i c>b, slijedi ABC A 1 B 1 C 1. 26

Primjena pravila sukladnosti kod pravokutnog i jednakokrakog trokuta Primjena pravila sukladnosti kod pravokutnog i jednakokrakog trokuta Neke posebne vrste trokuta, kao što su pravokutni i jednakokraki trokut, ne zahtijevaju utvrđivanje jednakosti tri odgovarajuća elementa za dokazivanje sukladnosti. Broj potrebnih elemenata za dokazivanje sukladnosti smanjuje se na dva. Pr. 1. Dva pravokutna trokuta su sukladna ako imaju jednake katete. Dokažimo ovu tvrdnju. Na slici su nacrtani pravokutni trokuti ABC i A 1 B 1 C 1, kod kojih su pravi kutovi u tjemenima C i C1 i BC = B, 1 C 1 AC = A. 1 C 1 a = a 1 b = b 1 C = C 1 } SKS ABC A 1B 1 C 1 Pr. 2. Dokažimo da su dva pravokutna trokuta sukladna ako imaju jednake hipotenuze i po jednu katetu. Trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 imaju prave kutove u tjemenima C i C1 i neka je AB = A 1 B 1 i BC = B. 1 C 1 c = c 1 a = a 1 C = C 1 } SSK ABC A 1B 1 C 1 27

Primjena pravila sukladnosti kod pravokutnog i jednakokrakog trokuta Pr. 3. Dokazati da su dva jednakokračna trokuta sukladna ako imaju jednake osnovice i jednake kutove nasuprot osnovice. Trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 su jednakokračni i AB = A 1 B 1 i γ = γ1. Kako je α + β = 180 0 γ = 180 0 γ1 = α1 + β1 i α = β i α1 = β1, jer su trokuti jednakokračni, to je α = α1 i β = β1. AB = A 1 B 1 α = α 1 } KSK ABC A 1B 1 C 1 β = β 1 Pr. 4. Dokazati da su dva jednakokračna trokuta sukladna ako imaju jednake osnovice i po jedan krak. Trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 su jednakokračni, pa je AC = CB i A 1 C 1 = B. 1 C 1 Prema uvjetu AC = A 1 C 1 to je BC = B. 1 C 1 AB = A 1 B 1 AC = A 1 C 1 } SSS ABC A 1B 1 C 1 BC = B 1 C 1 28

Primjena pravila sukladnosti kod pravokutnog i jednakokrakog trokuta Pr. 5. Ako je ABC jednakokračni trokut, dokazati da dužina koja spaja vrh C s točkom D na osnovi je okomita na osnovicu AB, polovi osnovicu. Promatramo trokute ADC i BDC. AC = BC Kako je CD = CD ADC = BDC } SSK ADC BDC Iz ADC BDC AD = BD, tj. točka D polovi osnovicu AB. Zadaci za vježbu: 1. Dokazati da su dva pravokutna trokuta sukladna ako imaju jednake hipotenuze i po jedan oštri (šiljasti) kut. 2. Dokazati da su dva jednakokračna trokuta sukladna ako imaju jednake kutove nasuprot osnovice i krak. 3. Nacrtati pravokutni trokut koji je jednakokračan. Koliki su njegovi kutovi? Koliko je elemenata potrebno za dokazivanje sukladnosti dva jednakokračna pravokutna trokuta? Navesti primjer! 4. Dokazati da je simetrala kuta nasuprot osnovice jednakokračnog trokuta ujedno i simetrala njegove osnovice. 5. Dva jednakokračna trokuta su sukladna ako imaju jednake osnovice i kut na osnovici. Dokazati. 29

Centar opisane i upisane kružnice trokuta Centar opisane i upisane kružnice trokuta Oko bilo kojeg trokuta može se opisati kružnica, i to samo jedna. Kružnica kojoj pripadaju sva tri tjemena naziva se opisana kružnica trokuta. Kružnica je određena centrom i poluprečnikom. Centar opisane kružnice trokuta je točka koja je jednako udaljena od tjemena trokuta A, B i C. Odredit ćemo tu točku koristeći osnovno svojstvo simetrale dužine (svaka simetrala dužine jednako je udaljena od krajeva dužine). Promatrajmo trokut ABC sa slike 17. Slika 17. Prvo konstruiramo simetrale dužina AB, BC i AC. Simetrale se sijeku u točki O. Točka O je jednako udaljena od točaka A i B jer pripada simetrali sab (OA = OB ) Točka O je jednako udaljena i od točaka B i C jer pripada simetrali sbc (OB = OC ) Točka O je jednako udaljena i od točaka A i C jer pripada simetrali sac (OA = OC ) Dakle, OA = OB = OC zaključujemo da je centar opisane kružnice oko trokuta ABC. Sve tri simetrale stranica trokuta sijeku se u jednoj točki. Točka u kojoj se sijeku simetrale stranica je centar opisane kružnice oko trokuta. 30

Centar opisane i upisane kružnice trokuta Možemo primijetiti da za određivanje centra kružnice ne moramo konstruirati sve tri simetrale. Dovoljna je simetrala dviju stranica. Pr. 1. Opisat ćemo kružnicu oko tupokutog trokuta ABC. Konstruiramo simetrale stranica. Presjek simetrala je centar opisane kružnice oko trokuta ABC. Centar opisane kružnice se nalazi izvan trokuta ako je trokut tupokutni, a ako je trokut oštrokutni, centar opisane kružnice se nalazi unutar trokuta. Pr. 2. Opisat ćemo kružnicu oko pravokutnog trokuta: Vidimo da je centar opisane kružnice oko pravokutnog trokuta središte hipotenuze. 31

Centar opisane i upisane kružnice trokuta Polumjer kružnice opisane oko pravokutnog trokuta jednak je polovini hipotenuze. U svaki trokut može se upisati kružnica, i to samo jedna. Kružnica koja dodiruje svaku stranicu trokuta naziva se UPISANA KRUŽNICA TROKUTA. Centar upisane kružnice u trokut je točka u kojoj se sijeku sve tri simetrale unutarnjih kutova. Pr. 3. Odredit ćemo centar upisane kružnice u trokut ABC sa slike. Zadaci za vježbu: 1. Konstruirati trokut stranica 5,5 cm, 6 cm i 6,5 cm i opisati mu kružnicu. 2. Opisati i upisati kružnicu pravokutnom trokutu čije su katete 6 cm i 5 cm. 3. Oko jednakostraničnog trokuta stranice 4 cm opisati kružnicu i u ovaj trokut upisati kružnicu. 4. Konstruirati trokut sa stranicama a = 6 cm, b = 5 cm, c = 8 cm, pa mu upisati kružnicu. 5. Konstruirati jednakokračni trokut ako je duljina osnovice 8 cm i kut koji obrazuju kraci 135 0, pa mu opisati kružnicu. 32

Težište i ortocentar trokuta Težište i ortocentar trokuta Dužina čiji su krajevi tjeme trokuta i sredina suprotne strane nazivamo težišna dužina ili težišnica (medijana). Svakom trokutu mogu se konstruirati 3 težišnice. Pr. 1. Konstruirajmo težišnice trokuta ABC sa slike. Uočavamo, sve tri težišnice trokuta sijeku se u jednoj točki. Ta točka naziva se težište TEŽIŠTE TROKUTA. Težište dijeli svaku težišnicu u omjeru 2:1. Srednja linija trokuta Konstuiramo pravac p usporedan stranici AB trokuta ABC, tako da točka B1 (središte stranice AC) pripada pravcu p (slika 18.). Uočavamo da pravcu p pripada i točka A1 (središte stranice BC). Dakle, dužine A1B1 i AB su usporedne (AB A1B1). Dužinu A1B1 nazivamo srednja linija trokuta ABC. Slika 18.. 33

Težište i ortocentar trokuta Konstruirajmo i pravac q usporedan stranici BC trokuta ABC, također kroz točku B (slika 19.). Pravcu q pripada točka C1, koja je središte stranice AB, tako da je AC 1 = C. 1 B Trokuti AB 1 C 1 i A 1 B 1 C su sukladni prema pravilu KSK. Iz AB 1 C 1 A 1 B 1 C slijedi A 1 B 1 = AC 1 = 1 AB. 2 Slika 19. Dakle, srednja linija trokuta A1B1 je usporedna stranici trokuta AB i jednaka je polovini njene dužine. Na isti način se pokaže da je B1C1 BC i B 1 C 1 = 1 BC ; A1C1 AC i 2 A = 1 C 1 1 AC (slika 20.). 2 Slika 20. Srednja linija trokuta je usporedna stranici trokuta koju ne presijeca i jednaka je njenoj polovini. 34

Težište i ortocentar trokuta Pr. 2. Konstruirat ćemo visine trokuta. Najprije konstruiramo okomicu (normalu) iz jednog tjemena na suprotnu stranicu. Visina trokuta je dužina čije su krajnje točke tjeme trokuta i presjek normale sa suprotnom stranicom ili produžetkom te stranice (slika 21.). Slika 21. Svakoj stranici trokuta odgovara po jedna visina. Pravci kojima pripadaju visine trokuta sijeku se u jednoj točki. Tu točku nazivamo ORTOCENTAR TROKUTA. Pr. 3. Konstruirat ćemo ortocentar i težište pravokutnog trokuta. Težište smo dobili kao presjek dvaju težišnica tb i tc. Ortocentar pravokutnog trokuta se nalazi u tjemenu C jer su katete istovremeno i visine. Pr. 4. Odredit ćemo ortocentar i težište jednakokračnog trokuta ABC. Težište i ortocentar u jednakokračnom trokutu pripadaju simetrali osnove. 35

Težište i ortocentar trokuta Pr. 5. Odredimo ortocentar i težište tupokutnog trokuta. Analiza: Kod tupokutnog trokuta zapažamo da dvije visine ne padaju na stranice trokuta, nego na njihova produženja. Sva tri produženja visina (pravci kojima pripadaju visine), sijeku se u jednoj točki označena slovom H (ortocentar). Zadaci za vježbu: 1. Odrediti ortocentar i težište nejednakostraničnog oštrokutnog trokuta. 2. Odrediti ortocentar i težište jednakostraničnog trokuta. 3. Konstruirati trokut sa stranicama: a=5 cm, b=6 cm i c=7cm, pa mu odrediti ortocentar i težište. 4. Konstruirati jednakokračni trokut čija je osnovica 5 cm i visina koja odgovara toj osnovici je 7 cm, pa mu odrediti ortocentar i težište. 5. Visina koja odgovara hipotenuzi pravokutnog trokuta ABC dijeli pravi kut na dijelove od 28 0 i 62 0. Odrediti oštre kutove tog trokuta. 36

Značajne točke trokuta Značajne točke trokuta Značajne točke trokuta su: 1. Centar opisane kružnice presjek simetrala stranica trokuta 2. Centar upisane kružnice presjek simetrala kutova trokuta 3. Težište trokuta presjek težišnih dužina (težišnica) trokuta 4. Ortocentar presjek pravaca određenih visinama trokuta. U općem slučaju radi se o četiri različite točke trokuta. Za neke trokute značajne točke se mogu poklapati. Pr. 1. Konstruirat ćemo značajne točke jednakokračnom trokutu. Uočavamo da pravac koji sadrži visinu koja odgovara osnovici sadrži i težišnicu, koja odgovara osnovici i istovremeno predstavlja simetralu osnovice i simetralu kuta nasuprot osnovice. Sve četiri značajne točke jednakokračnog trokuta pripadaju tom pravcu. 37

Značajne točke trokuta Pr. 2. Konstruirat ćemo jednakostraničan trokut stranice i njegove značajne točke. Uočavamo da se kod jednakostraničnog trokuta poklapaju simetrale stranica, simetrale kutova, visine i težišnice, pa mu se poklapaju i sve četiri značajne točke. Naučili smo da je težište dijeli svaku težišnicu na dva dijela, u razmjeru 2:1. Na osnovu toga zaključujemo da je kod jednakostraničnog trokuta polumjer opisane kružnice jednak 2 3 h ( 2 3 njegove visine), a polumjer upisane kružnice iznosi 1 3 h. Zadaci za vježbu: 1. Nacrtati proizvoljan oštrokutni, tupokutni i pravokutni trokut, pa svakom upisati i opisati kružnicu. Pripada li u svakom slučaju centar upisane kružnice unutarnjoj oblasti trokuta? 2. Koje tvrdnje nisu točne? a) Težište pravokutnog trokuta pripada hipotenuzi. b) Ortocentar je presjek visina trokuta. c) Kod svakog trokuta centar opisane kružnice i težište pripadaju unutarnjoj oblasti trokuta. 3. Dopuniti: a) Presjek simetrala stranica trokuta je centar kružnice. b) Centar opisane kružnice pravokutnog trokuta je u središtu. c) Centar opisane kružnice i centar upisane kružnice se kod trokuta poklapaju. d) Sve 4 značajne točke trokuta se kod trokuta nalaze na istom pravcu. 4. Konstruirati jednakokračni pravokutni trokut ako je promjer (prečnik) opisane kružnice 6 cm. 5. Konstruirati jednakostranični trokut ABC ako je polumjer opisane kružnice 2 cm. 38

Središnji i obodni kut kruga Središnji i obodni kut kruga Središnji kut kruga je kut čije je tjeme u centru kruga, a kraci pripadaju ravnini krugasijeku kružnicu. Na slici 22. to je kut α. Obodni kut kruga je kut čije tjeme ne pripada kružnici (granici kruga), a kraci sijeku kružnicu (kut β na slici 22.). Kraci središnjeg kuta sadrže po jedan polumjer, a kraci obodnog kuta sadrže po jednu tetivu kruga. Slika 22. Razmotrit ćemo odnos središnjeg i obodnog kuta nad istim kružnim lukom (slika 23.). To su kutovi nad lukom AB; središnji kut α = AOB i obodni kut β = ASB. Slika 23. 39

Središnji i obodni kut kruga Razlikovat ćemo tri slučaja, ovisno od centra kruga u odnosu na obodni kut: 1. Centar kruga pripada kraku obodnog kuta (slika 24.) Nad lukom AB je središnji kut α i obodni kut β. Slika 24. Kut α je vanjski kut jednakokračnog BSO ( BO = SO = r), pa je α = 2β (vanjski kut trokuta jednak je zbroju dva nesusjedna unutrašnja kuta). 2. Centar kruga je u oblasti obodnog kuta (slika 25.). Slika 25. Na slici je središnji kut α = α 1 + α 2, a obodni kut β = β 1 + β 2. Kut α 1 je vanjski kut jednakokračnog trokuta AOS (AO = SO = r), pa je α 1 = 2β 1. Kut α 2 je vanjski kut jednakokračnog trokuta BSO (BO = SO = r), pa je α 2 = 2β 2. Središnji kut α = α 1 + α 2 = 2β 1 + 2β 2 = 2(β 1 + β 2 ) = 2β 40

Središnji i obodni kut kruga 3. Centar kruga je van oblasti obodnog kuta (slika 26.). Slika 26. Na slici je kut α središnji kut nad lukom AB, β je obodni kut nad istim lukom, γ je obodni kut nad lukom BC i δ je obodni kut nad lukom BC. δ = 2γ (na osnovu slučaja 1.) α + δ = 2(β + γ) (na osnovu slučaja 1., AOC = 2 ASO) α + 2γ = 2β + 2γ (uvrstimo δ = 2γ) α = 2β (nakon oduzimanja 2γ na obje strane jednakosti). Dokazali smo tvrdnju o odnosu središnjeg i obodnog kuta nad istim lukom: Središnji kut kruga je dva puta veći od obodnog kuta nad istim lukom. Nad lukom se nalazi samo jedan središnji kut α i bezbroj obodnih kutova β 1, β 2, β 3, β 4, α = 2β1 = 2β2 = 2β3 = 2β4..., pa imamo: β1 = β2 = β3 = β4 =... Svi obodni kutovi nad istim lukom su jednaki. 41

Središnji i obodni kut kruga Pr. 1. Nacrtajmo središnji i obodni kut nad promjerom (prečnikom) kruga. Kako je α = 2β i α = 180 0, slijedi da je β = 180 0 :2=90 0. I CDA je pravi kut. Možemo konstruirati bezbroj obodnih kutova nad promjerom kruga i svi će biti pravi kutovi. Zaključujemo: Svi obodni kutovi nad promjerom su pravi kutovi. Zadaci za vježbu: 1. Koliki su kutovi β i γ na slici? 2. Nacrtati kružnicu i obodni kut od 90 0. 42

Središnji i obodni kut kruga 3. Nacrtati kružnicu i središnji kut α = 90 0 nad lukom AB. Koliki je obodni kut nad istim lukom? 4. Odrediti veličinu središnjeg kuta koji odgovara tetivi AB, čija je duljina jednaka: a) promjeru b) polumjeru zadanog kruga. 5. Koliko stupnjeva ima obodni kut nad kružnim lukom čija je duljina jednaka 1 2 duljine kružnice? 43

Uzajamni položaj pravca i kružnice. Konstrukcija tangente kružnice. Uzajamni položaj pravca i kružnice. Konstrukcija tangente kružnice. Pravac i kružnica se mogu naći u tri uzajamna položaja u jednoj ravnini. Razmotrimo ta tri položaja za pravac p i kružnicu k (O,r). 1. Pravac p je van kružnice k (slika 27.). Slika 27. Pravac p nema zajedničkih točaka s kružnicom k, tj.njihov presjek je prazan skup (k p={ }. U ovom slučaju je udaljenost d pravca p od centra kružnice O veća od polumjera r, tj. d>r. (Napomena: Pod udaljenošću d pravca p od točke O podrazumijeva se duljina dužine čije su krajnje točke točka O i točka presjeka normale (okomice) spuštene iz točke O na pravac p, na slici d=oa ). 2. Pravac p ima jednu zajedničku točku s kružnicom k (slika 28.). Slika 28. 44

Uzajamni položaj pravca i kružnice. Konstrukcija tangente kružnice. Presjek pravca p i kružnice k je točka A (k p={a}). Kažemo da pravac dodiruje kružnicu i nazivamo je tangenta kružnice. Udaljenost pravca od centra kružnice je jednaka polumjeru d = r. Kako je d p, to je i r p, tj. polumjer je normalan (okomit) na tangentu u točki A. Točku A nazivamo diralište tangente s kružnicom. 4. Pravac ima dvije zajedničke točke s kružnicom (slika 29.) Slika 29. Presjek pravca p i kružnice k su točke M i N (k p={m,n}). Kažemo da pravac siječe kružnicu i nazivamo je sječica (sekanta) kružnice. Udaljenost pravca od centra kružnice je manja od polumjera d<r. Dužinu određenu točkama presjeka pravca i kružnice nazivamo tetiva kružnice (Slika 29., dužina MN). Ako je d = 0, centar kružnice pripada sječici, a tetiva određena točkama presjeka kružnice i sječice je promjer kružnice. Promjer je najduža tetiva. Pr. 1. Konstruirat ćemo tangentu t kružnice k u datoj točki A k. Nacrtamo pravac p (O,A), zatim konstruiramo normalu (okomicu) na pravac p u točki A. Na pravcu p odredimo dužinu OO1, tako da je točka A središte dužine OO1. Konstruiramo simetralu dužine OO1, koja predstavlja traženu tangentu t. 45

Uzajamni položaj pravca i kružnice. Konstrukcija tangente kružnice. Pr. 2. Konstruiramo tangentu t iz date točke A izvan kružnice, na datu kružnicu k (O, r). Prvo konstruiramo kružnicu k1 promjera OA, k1 (O1, OA ). 2 Kružnice k i k1 se sijeku u točkama M i N, k k1 = {M,N}. Točke M i N su dirališta tangente i date kružnice. Imamo dva rješenja: tangentu t1 (A,M) i tangentu t2 (A,N). Uočavamo: AMO = 90 0 jer je obodni kut nad promjerom AO kružnice k1, pa je t1(a,m) OM, a to znači da je t1 zaista tangenta kružnice k. Na isti način zaključujamo da je t2 ON. Zadaci za vježbu: 1. Na kružnici k (O, 35mm) izabrati točke A i B i konstruirati tangente na kružnicu u točkama A i B. 2. Data je kružnica k (O, 3cm) i točka M van kružnice. Iz točke M konstruirati tangentu na točku M. 3. Konstruirati kružnicu k (O, 2, 5 cm) i pravac p, čije je rastojanje od centra kružnice O jednako: a) 35 mm b) 25 mm c) 15 mm d) 0 mm 46

Uzajamni položaj dvije kružnice Uzajamni položaj dvije kružnice Razmotrit ćemo u kojem se međusobnom položaju mogu naći dvije kružnice. 1. Kružnice k1 (O1, r) i k2 (O2, r) nemaju zajedničkih točaka i jedna je izvan druge (slika 30.). Slika 30. Rastojanje između centara O1 i O2 kružnice k1 i k2 (centralno rastojanje kružnica) je veće od zbroja poluprečnika kružnica, pa kružnice nemaju zajedničkih točaka, tj. O 1 O 2 = d > r 1 + r 2, k 1 k 2 = { } 2. Kružnice k1 i k2 se dodiruju spolja (slika 31.). Slika 31. Kružnice koje se dodiruju spolja imaju centralno rastojanje jednako zbroju polumjera, tj. d = r 1 + r 2, k 1 k 2 = {A} 47

Uzajamni položaj dvije kružnice 3. Kružnice k1 i k2 se sijeku (slika 32.). Slika 32. Centralno rastojanje kružnica koje se sijeku je manje od zbroja polumjera, a veće od njihove razlike, tj. r 1 r 2 < d < r 1 + r 2, k 1 k 2 = {A, B} 4. Kružnice k1 i k2 se dodiruju iznutra (slika 33.) Slika 33. Centralno rastojanje ovih kružnica je jednako razlici njihovih polumjera, tj. d = r 1 r 2, k 1 k 2 = {A}. 48

Uzajamni položaj dvije kružnice 5. Kružnice k1 i k2 nemaju zajedničkih točaka i kružnica k2 je u kružnici k1 (slika 34.). Slika 34. Centralno rastojanje ovih kružnica je manje od razlike njihovih polumjera, tj. d < r 1 r 2, k 1 k 2 = { }. 6. Kružnice k1 i k2 imaju zajednički centar, a različite polumjere (slika 35.). Centri O1 i O2 se poklapaju, tj. O1 O2, pa je centralno rastojanje d=0. Slika 35. Kružnice koje imaju zajednički centar, a različite polumjere nazivamo karakteristične kružnice. Zadaci za vježbu: 1. Kakav je uzajamni položaj dviju kružnica ako su im polumjeri 3 cm i 4 cm, a centralno rastojanje je: a) 9 cm b) 7 cm c) 6 cm d) 1 cm? 49

Uzajamni položaj dvije kružnice 2. Date su kružnice k 1 (O1, 35 mm) i k 2 (O2, 2,5 cm). Konstruirati te kružnice u položaju: a) da se dodiruju spolja b) da se dodiruju iznutra Koliko iznosi centralno rastojanje u položaju kružnica pod a), a koliko pod b)? 3. Imaju li kružnice k 1 (O1, 3 cm) i k 2 (O2, 2 cm) kod kojih je centralno rastojanje O =4 1 2 cm zajedničkih točaka? 4. Konstruirati tangentu u točki dodira kružnica k 1 (O1, 3 cm) i k 2 (O2, 2 cm). Kružnice se dodiruju spolja. 50

Konstrukcije paralelograma ČETVEROKUT Konstrukcije paralelograma Konstrukcija paralelograma, kao i konstrukcija trokuta, podrazumijeva crtanje pomoću ravnala i šestara, na osnovu datih elemenata. Koliko je elemenata potrebno za konstrukciju paralelograma? Sjetimo se da je trokut određen sa svoja tri osnovna elementa, od kojih najmanje jedan mora biti stranica. Ovisno od svojstava trokuta taj broj je manji, pa je npr. jednakokračni trokut određen s dva elementa, kao i pravokutni, a jednakostranični s jednim elementom. Četverokut se jednom dijagonalom podijeli na dva trokuta, pa je on određen s pet elemenata (nije šest, jer je dijagonala zajednička stranica za oba trokuta). Pr. 1. Konstruirajmo četverokut ABCD ako je zadano: α = 75 0, AB = 4 cm, DA = 3,5 cm, BC = 5,5 cm, CD = 6,5 cm. Analiza: Nacrtamo skicu (slika 36.) i date elemente (slika 37.) u pravoj veličini. Konstrukcija: Slika 36. Slika 37. Na osnovu skice na kojoj su označeni dati elementi izvodimo konstrukciju: 1. AB = 4 cm 2. A = α = 75 0 3. DA = 3,5 cm 51

Konstrukcije paralelograma 4. Opišemo kružnicu sa centrom u točki B i polumjerom BC = 5,5 cm, k 1 (B, 5,5 cm) 5. Opišemo kružnicu k 2 (D, 6,5 cm). 6. k 1 k 2 = {C} ABCD je traženi četverokut (slika 38.) Slika 38. Dokaz i diskusija: Dobiveni četverokut zadovoljava date uvjete, tj. zadani elementi su istovremeno i elementi dobivenog četverokuta. Zadatak ima jedno, dva ili nijedno rješenje, ovisno od toga sijeku li se kružnice k 1 i k 2 u jednoj ili dvije točke ili je k 1 k 2 =. Ovisno od osobina četverokuta, broj elemenata koji su potrebni za konstrukciju četverokuta se smanjuje. Tako je paralelogram određen s tri elementa, jer je jednom dijagonalom podijeljen na dva sukladna trokuta. Za konstrukciju nekih posebnih vrsta paralelograma nisu potrebna dva elementa. Romb i pravokutnik su na osnovu njihovih osobina određeni s dva elementa, a kvadrat s jednim. U svim slučajevima, bar jedan element mora biti duljina. 52

Konstrukcije paralelograma Pr.2. Konstruirati paralelogram ako je dato: AB = a = 4,5 cm, AD = b = 3 cm i A = α = 60 0. Analiza: Crtamo skicu i uočavamo u kakvom su odnosu elementi koji su dati (slika 39.). Slika 39. Konstruiramo najprije ABD, na osnovu stava SKS. Tjeme C dobijemo tako što konstruiramo kružnicu k 1 (D, a) i kružnicu k 2 (B, b), k 1 k 2 = {C}. Konstrukcija: Konstrukcija je izvedena na slici 40. Dokaz i diskusija: Slika 40. Zadani elementi su i elementi dobivenog paralelograma. Zadatak ima jedno, dva ili nijedno rješenje, ovisno o tome sijeku li se kružnice k 1 i k 2 u jednoj ili dvije točke ili je k 1 k 2 ={ }. 53

Konstrukcije paralelograma Pr. 3. Konstruirajmo pravokutnik čija je dijagonala duljine 8 cm i kut između dijagonala 45 0. Na skici (slika 41.) se vidi da prvo treba konstruirati ADO pomoću stranica AO i DO, jer znamo da su njihove duljine polovine dijagonala i kuta između njih (pravilo SKS). Dalje, nije teško odrediti ostala dva tjemena pravokutnika B i C. Slika 41. Konstrukcija: Na polupravac Ax prenesemo dužinu AO = 4 cm. U točki O prenesemo kut od 45 0. Na krak Oy kuta od 45 0 prenesemo dužinu OD = 4 cm. Od točke O na polupravcu Ox prenesemo dužinu OC = 4 cm i na pravcu (O, D) s druge strane točke D prenesemo dužinu OB = 4 cm. Na kraju spojimo dužinama točke A, B, C i D. Konstrukcija je izvedena na slici 42. Slika 42. Zadatak se mogao riješiti i na drugi način. Izračunaju se kutovi BAC = 22 0 30 i BCA = 67 0 30, pa se na osnovu pravila KSK konstruira ABC. 54

Konstrukcije paralelograma Pr. 4. Konstruirajmo romb ako je duljiina njegove stranice a = 4 cm, a duljina visine h = 3 cm. Analiza: Na slici 43. nacrtana je skica traženog romba. Visina romba je dužina DE = h. Slika 43. Uočavamo da konstrukcijom pravokutnog trokuta ADE pomoću hipotenuze AD = 4 cm i katete DE = 3 cm određujemo kut datog romba. Dalje se mogu jednostavno odrediti tjemena B i C. Konstrukcija: U točki E na pravcu p prenesemo kut od 90 0. Na krak Ex pravog kuta prenesemo dužinu ED = h = 3 cm. Iz točke D opišemo luk polumjera a = 4 cm. Presjek luka i pravca je tjeme A. Na pravac p (A, E) iz točke A prenesemo dužinu AB = 4 cm. Iz točaka B i D opišemo lukove polumjera 4 cm, njihov presjek je tjeme C. Spajanjem točaka A, B, C i D dobijemo traženi romb. Konstrukcija je izvedena na slici 44. Slika 44. 55

Konstrukcije paralelograma Pr. 5. Konstruirajmo kvadrat čija je dijagonala 5 cm. Analiza: Skica je prikazana na slici 45. Dijagonale kvadrata su jednake, uzajamno okomite i polove se, pa na osnovu toga slijedi konstrukcija. Konstrukcija: Slika 45. Na polupravcu Ax prenesemo dužinu AC = 5 cm. Zatim konstruiramo simetralu te dužine s AC i u presječnoj točki O simetrale i dužine AC s obje strane točke O, prenesemo po simetrali dužinu OB = OD = OA = OC. Time smo odredili tjemena B i D. Spojimo sve četiri točke dužinama i dobili smo traženi kvadrat ABCD. Konstrukcija je izvedena na slici 46. Dokaz i diskusija: Slika 46. Dokaz slijedi iz konstrukcije, a zadatak ima jedinstveno rješenje. 56

Konstrukcije paralelograma Zadaci za vježbu: 1. Konstruiramo paralelogram ABCD ako je zadano: a) AB = 6 cm, BC = 4 cm, B=105 0 b) AB = 6 cm, BC = 4 cm i dijagonala AC = 8 cm c) AC = 8 cm, BD = 6 cm i kut između dijagonala 75 0 d) AB = 7 cm, A = 60 0, h a = 3 cm. 2. Konstruirati pravokutnik ako je (a i b su dužine stranica, d dijagonala) a) a = 5 cm, b = 2,5 cm b) a = 5 cm, d = 6 cm c) d = 7 cm i kut između dijagonale i duže stranice 30 0 d) d = 6 cm i dijagonale se sijeku pod kutom od 60 0. 3. Konstruirati romb ako je zadano: a) AB = 6 cm, = 6 cm, α = 60 0 b) AB = 5 cm, dijagonala AC = 8 cm c) jedna dijagonala dužine 3 cm jednaka stranici d) duža dijagonala d 1 = 5 cm i tupi kut B = 135 0. 4. Konstruirati kvadrat ako je dato: a) stranica a = 4,5 cm b) dijagonala d = 6 cm c) polumjer upisane kružnice r u = 2 cm d) polumjer opisane kružnice r o = 2,5 cm 5. Ako je polumjer upisane kružnice romba r = 1,5 cm, a dužina stranice a = 4 cm, konstruirati taj romb. 57

Konstrukcija trapeza Konstrukcija trapeza Za konstrukciju trapeza dovoljna su četiri elementa, kažemo da je trapez određen sa četiri elementa. Pr. 1. Konstruirat ćemo trapez ABCD ako je poznato: a = 8 cm, d = 3,5 cm, b = 5 cm i α = 45 0. Prema skici (slika 47.) uočavamo da treba najprije konstruirati ADE (prema pravilu SSK), a zatim paralelogram BCDE. Konstrukcija: Slika 47. Na kraku Ay kuta xay = α = 45 0 prenesemo dužinu AB = d = 3,5 cm. Lukom l 1 (D,b) presiječemo krak Ax kuta i tu je točka E. Od tjemena A na krak Ax prenesemo duž AB = a = 8 cm. U presjeku lukova l 2 (B,b) i l 3 (D,EB ) je četvrto tjeme C trapeza ABCD. Konstrukcija je izvedena na slici 48. Slika 48. Za konstrukciju jednakokračnog trapeza potrebna su tri elementa, s obzirom na njegova svojstva. 58

Konstrukcija trapeza Pr. 2. Konstruirajmo jednakokračni trapez ako je zadano a = 6 cm, b = 4 cm i α = 75 0. Skica je data na slici 49. Slika 49. Sa skice uočavamo da najprije treba konstruirati trokut ABD (prema pravilu SKS). Četvrto tjeme, točku C, dobivamo konstrukcijom paralele osnovici AB iz tjemena D. Tu paralelu presiječemo lukom l(b, b). Slika 50. Konstrukcija je izvedena na slici 50. Zadatak se može riješiti i na drugi način, s obzirom da je u jednakokračnom trapezu A = B i AD = BC = b, ne mora se konstruirati ABD. Uradite sami ovu konstrukciju. 59

Konstrukcija trapeza Pr. 3. Konstruirat ćemo jednakokračni trapez ako su dati elementi: krak b = 4,5 cm, kraća osnovica c = 2,5 cm i visina h = 3 cm. Na skici (slika 51.) uočavamo da je potrebno najprije konstruirati pravokutni ADE pomoću hipotenuze (kraka b) i katete (visine h). Pravilo SSK. Slika 51. Zatim, produžimo AE preko E, a iz točke D konstruiramo polupravac Dx AE. Na polupravac Dx prenesemo kraću osnovicu c i dobijemo tjeme C. Iz tjemena c opišemo luk l(c, b) i njegov presjek s produžetkom AE je četverto tjeme B traženog jednakokračnog trapeza ABCD. Konstrukcija je izvedena na slici 52.. Slika 52. 60

Konstrukcija trapeza Pr. 4. Konstruirajmo pravokutni trapez ABCD ako je AB = a = 5 cm, AD = d = 3,6 cm i ABC = β = 60 0. Slika 53. Sa skice (slika 53.) uočavamo redoslijed koraka konstrukcije. Konstruiramo najprije pravi kut u tjemenu A, BAD = 90 0. Na krak Ax pravog kuta prenesemo dužinu AB = a = 5 cm, a na krak Ay dužinu AD = d = 3,6 cm. Prenesemo kut ABC = β = 60 0 u tjemenu B. Konstruiramo pravac p AB tako da D p. Presjek pravca p i kraka kuta β je četvrto tjeme C traženog pravokutnog trapeza ABCD. Konstrukcija je izvedena na slici 54. Zadaci za vježbu: Slika 54. 1. Konstruirati trapez ako je dato (a i c su osnovice, b i d su kraci, h je visina): a) a = 7,5 cm, b = 5 cm, c = 4 cm, d = 6 cm. b) a = 5 cm, c = 2 cm, α = 45 0, β = 75 0 c) a = 6 cm, b = 4 cm, α = 75 0, h = 3 cm 2. Konstruirati trapez ABCD ako mu je osnovica AB = 6 cm, dijagonala AC = 7 cm, a kutovi α = 60 0 i β = 75 0. 61

Konstrukcija trapeza 3. Konstruirati jednakokračni trapez ako je dato: a) osnovice a = 8 cm i c = 4 cm i krak b = 5 cm b) osnovica c = 4 cm, krak b = 3cm i kut γ = 120 0 c) osnovica a = 7 cm, dijagonala d = 6cm i visina h = 3 cm. 4. Konstruirati jednakokračni trapez čija je osnovica AB = 6 cm, dijagonala AC = 4 cm i kut između dijagonale AC i osnovice AB je 30 0. Opisati kružnicu oko trapeza. 5. Konstruirati pravokutni trapez (a i c su osnovice, b i d su kraci, h je visina): a) a = 6 cm, c = 5 cm, h = 4 cm b) b = 4,3 cm, d = 3 cm, AC = 4,2 cm c) c = 2 cm, BD = 5 cm, β = 60 0. 62

Deltoid. Svojstva deltoida. Deltoid. Svojstva deltoida. U grupu četverokuta koji nemaju nijedan par paralelnih stranica spada deltoid. Deltoid je trapezoid koji ima dva para jednakih susjednih stranica (slika 55.). Slika 55. Dijagonala AC polovi dijagonalu BD i okomita je na nju (jer je AC simetrala dužine BD). Dijagonala BD dijeli deltoid na dva jednakokračna nesukladna trokuta ABD i BCD. Stranice AB i AD su jednake, odnosno jednake su stranice BC i CD, jer su stranice jednakokračnog trokuta. Dakle, deltoid ima dva para jednakih stranica AB = AD = a i BC = CD = b. Kutovi čiji su kraci nejednake stranice deltoida su jednaki, tj. ABC = ADC, jer predstavljaju zbroj kutova na osnovici jednakokračnih trokuta, ( ABD = ADB, CBD = CDB, ABD + CBD = ABC, ADB + CDB = ADC) Slijedi: ABC = ADC, tj. β = δ. Dijagonala AC pripada simetrali dužine BD (dijagonale BD deltoida), pa pripada i osi simetrije deltoida. U deltoid se može upisati kružnica. Centar upisane kružnice je točka presjeka simetrala unutarnjih kutova deltoida (slika 56.). 63

Deltoid. Svojstva deltoida. Slika 56. Točka S u kojoj se sijeku simetrale kutova deltoida jednako je udaljena od svih stranica deltoida, pa je točka S centar upisane kružnice deltoida. (Točka S pripada simetralama kutova pa je jednako udaljena od krakova kutova, tj. od stranice deltoida, jer stranice pripadaju kracima kutova.) Četverokut u koji se može upisati kružnica naziva se tangentni četverokut. Deltoid je određen s tri njegova neovisna elementa. Pr. 1. Izračunati ostale unutarnje kutove deltoida ako su mu suprotni kutovi 80 0 i 30 0. Na slici 57. nacrtan je deltoid ABCD i obilježeni su njegovi unutarnji kutovi. Slika 57. Kako je β = δ i zbroj kutova u četverokutu 360 0, imamo 80 0 + β + 30 0 + β = 360 0 64

Deltoid. Svojstva deltoida. 2β + 110 0 = 360 0 2β = 250 0 Β = 125 0 Kutovi deltoida β i δ su jednaki pa je i kut δ = 125 0. Primijetimo: Na slikama 55 57 prikazani su deltoidi kod kojih je AC > BD. Deltoid može imati i jednake dijagonale. Na slici 58. je deltoid kod kojeg je AC = BD. Slika 58. 65

Deltoid. Svojstva deltoida. Na slici 59. prikazan je deltoid kod kojeg je AC < BD. Zadaci za vježbu: Slika 59. 1. Koliko najviše šiljastih kutova može imati deltoid, a koliko tupih kutova? 2. Dopuniti rečenice tako da budu točne: a) Dijagonale deltoida su međusobno. b) Nejednake stranice obrazuju kutove. c) Deltoid ima dva para susjednih stranica, a zajednička tjemena tih stranica su. 3. Odrediti ostale kutove deltoida ABCD ( AB = AD i CB = CD ), ako su: a) kutovi između jednakih stranica 63 0 i 79 0. b) BAD = 84 0 35, ABC = 126 0. 4. Izračunati kutove deltoida ABCD ako je B = 110 0, a dvije jednake stranice obrazuju kut od 80 0. 5. Ako su suprotni kutovi deltoida 65 0 i 124 0, izračunati druga dva kuta deltoida i sve vanjske kutove. 66

Konstrukcija deltoida Konstrukcija deltoida Za konstrukciju deltoida u općem slučaju, dovoljno je znati tri elementa, s obzirom na to da je deltoid sastavljen od dva sukladna trokuta. Uvjeti sadržani u definiciji deltoida (četverokut s okomitim dijagonalama, a jedna od njih polovi drugu), uzrokovali su smanjivanje broja potrebnih elemenata za konstrukciju deltoida na tri (u odnosu na proizvoljan četverokut koji je određen s pet neovisnih elemenata). Pr. 1. Konstruirat ćemo deltoid čije su nejednake stranice AB = 4,5 cm i BC = 2,5 cm, a kut koji grade ove stranice je 105 0. Analiza: Sa skice (slika 60.) uočavamo da se pomoću datih stranica AB = a = 4,5 cm i BC = b = 2,5 cm i kuta između njih β = 105 0 najprije konstruira ABC, prema pravilu SKS. Zatim se odredi točka D kao presjek lukova l 1 (A,a) i l 2 (C,b). Konstrukcija je izvedena na slici 61. Slika 60. Slika 61. 67

Konstrukcija deltoida Pr. 2. Konstruirat ćemo deltoid ABCD ako je dato AB = 3,5 cm, AC = 7 cm i BAD = 60 0. Analizom skice uočavamo da zadatak možemo riješiti na dva načina (slika 62.). Slika 62. I. U ABC znamo dvije stranice AB i AC i kut između njih BAC = α, pa ga 2 možemo konstruirati (prema pravilu SKS). ADC ABC jednostavno je odrediti četvrto tjeme traženog deltoida. II. U deltoidu AD = AB moguće je konstruirati ABD (prema pravilu SKS, jer su poznate dvije stranice AD i AB, AD = AB = a i kut između njih BAC = α). Točka C pripada simetrali datog kuta α i AC je dato, pa je jednostavno odrediti četvrto tjeme C traženog deltoida. Dati elementi u pravoj veličini prikazani su na slici 63. Slika 63. Konstrukcija je prema analizi I. izvedena na slici 64., a prema analizi II. na slici 65. 68

Konstrukcija deltoida Zadaci za vježbu: Slika 64. Slika 65. 1. Konstruirati deltoid ako su njegove stranice a = 4 cm, b = 3 cm, a jedna dijagonala 5 cm. 2. Konstruirati deltoid ako su dužine dijagonala BD = 3 cm, AC = 6 cm, a duljina jedne stranice AB = 2 cm. 3. Upisati kružnicu u deltoid kod koga su nejednake stranice 5 cm i 3 cm, a njima zahvaćen kut 105 0. 4. Konstruirati deltoid ABCD ako je data stranica AB = AD = 4 cm i dva kuta B = β = 105 0 i A = α = 60 0. 5. Konstruirati deltoid ABCD ako je data dijagonala i dva kuta: a) AC = 4 cm, A = 135 0, C = 90 0 b) BD = 5,5 cm, B = D = 120 0, A = 90 0. 69

Opseg trokuta i četverokuta Opseg trokuta i četverokuta Na slici 66. nacrtan je trokut ABC, obilježene su mu stranice a, b i c i prikazan je grafički zbroj duljina njegovih stranica. To je dužina MN. Slika 66. Dakle, dužina čija je duljina jednaka zbroju svih stranica trokuta je opseg trokuta. Ako opseg trokuta označimo sa O možemo zapisati obrazac za izračunavanje opsega trokuta, čije su stranice a, b i c. O = a + b + c. Pr. 1. Izmjeriti duljine stranica trokuta ABC na slici 66. i izračunati opseg pomoću obrasca O = a + b + c. Provjeriti je li duljina dužine MN (grafički zbroj duljina stranica trokuta) jednaka opsegu trokuta. U primjeru 1., trokut ABC je nejednakostranični pa je O = a + b + c. Za pojedine vrste trokuta mogu se napisati obrasci za izračunavanje opsega, npr. za opseg jednakokračnog trokuta je O = a + b + b, tj. O = a + 2b ako je osnovica a, a kraci b; za opseg jednakostraničnog trokuta obrazac je O = a + a + a, tj. O = 3a. Pr. 2. Koliki je opseg četverokuta na slici 67.? Slika 67. 70

Opseg trokuta i četverokuta Krenemo li iz točke A točki B obilaziti četverokutnu liniju, stići ćemo ponovno u točku A, a opisat ćemo opseg četverokuta. O = AB + BC + CD + DA, tj. O = a + b + c + d. Mjerenjem dobijemo duljine stranica i izračunavamo opseg datog četverokuta. Uradi to! Dakle, opseg četverokuta je zbroj duljina stranica četverokuta. Za pojedine vrste četverokuta, možemo napisati obrasce za izračunavanje njihovog opsega, npr. za paralelogram je O = 2a + 2b = 2(a + b), za kvadrat i romb: O = 4a; za trapez O = a + b + c + d, itd. Opseg se izražava u mjernim jednicama za duljinu. Pr. 3. Stranice pravokutnika su 3 cm i 7 cm. Izračunajmo: a) opseg tog pravokutnika b) stranicu kvadrata čiji je opseg jednak opsegu danog pravokutnika. Rješenje: a) O = 2(a + b) (pravokutnik je paralelogram) O = 2(3 + 7) O = 2 10 = 20 cm b) opseg kvadrata je O = 4a, pa imamo 20 = 4 a ; a = 20 : 4 = 5 cm. Pr. 4. Opseg jednakokračnog trokuta je 19 cm, a duljina kraka je 5 cm. Izračunajmo duljinu osnovice. Poznato je O = 19 cm i b = 5 cm, pa prema obrascu za opseg jednakokračnog trokuta O = a + 2b, imamo 19 = a + 2 5, tj. 19 = a + 10, a = 19 10 = 9 cm Zadaci za vježbu: 1. Opseg trokuta je 99 mm. Stranica a je dva puta veća od stranice b, a stranica c je za 1 mm manja od stranice b. Kolike su stranice trokuta? 2. Duljine dviju stranica jednakokračnog trokuta su 40 cm i 26 cm. Izračunati opseg ovog trokuta. 71

Opseg trokuta i četverokuta 3. Opseg jednakokračnog trokuta je 40 cm, a duljina jedne njegove stranice je dva puta dulja od duljine druge. Izračunati duljine stranica tog trokuta. 4. Opseg romba je 48 cm. Kolika je stranica romba? 5. Opseg paralelograma je 52 cm, a jedna stranica je tri puta manja od druge. Izračunati duljine stranica. 72

Opseg trokuta i četverokuta Mjerenje površina Mnogokut se sastoji od mnogokutne linije i oblasti (dijela ravnine) koja je tom linijom određena. Taj dio ravnine naziva se površ. Mjera površi je površina (kao što je mjera dužine duljina). Mjerenje geometrijskih veličina (dužina, kut, površ,...) podrazumijeva mjerenje veličina iste vrste, koje se mogu uspoređivati među sobom (dužine s duljinama, kut s kutovima, površi s površima) i koje se mogu zbrajati. Pod površinom površi nekog mnogokuta podrazumijeva se negativan broj, pri čemu vrijede svojstva: 1. Sukladni mnogokuti imaju jednake površine; 2. Ako je mnogokut sastavljen od mnogokuta koji nemaju drugih zajedničkih točaka, osim točaka jedne stranice (ne preklapaju se), onda je njegova površina jednaka zbroju površina tih mnogokuta; 3. Postoji mnogokut čija je površina jednaka 1. Naučili ste iz fizike da je mjerenje date površine ustvari uspoređivanje te površine s jedinicom površine i da je jedinica površine površina kvadrata čija je stranica jedinica duljine. Pr. 1. Na kvadratnoj mreži su nacrtane figure (slika 68.). Slika 68. Da se potpuno pokrije površ figure A potrebno je 12 kvadrata, što znači da je njena površina 12 puta veća od površine jednog kvadrata kojeg smo izabrali za jedinicu mjere (jediničnog kvadrata). Figura B ima 14 puta veću površinu od jediničnog kvadrata, tj. njena površina je 14 puta J; površina figure C je 4J, a figure D 9J. 73

Opseg trokuta i četverokuta Površina neke figure je broj koji određuje koliko je jedinica mjere (kvadrata površine J) potrebno da se ta figura potpuno prekrije. Vidjeli smo da je za prekrivanje figure A potrebno 12 kvadrata, pa njenu površinu izražavamo: 12 J, gdje je 12 mjerni broj, J jedinica mjere, a 12 J je površina figure A. Postupak mjerenja površine figura koji smo proveli nije pogodan, pa se za izračunavanje površina određenih ravnih figura koriste odgovarajući obrasci (formule). U formulama su promjenjive veličine duljine stranica ili duljine nekih drugih elemenata. Oznaka površine je veliko slovo P, a mjerna jedinica (osnovna) 1 m 2. 1 m 2 je površina kvadrata stranice dužine 1 m. Manje jedinice su 1 dm 2, 1 cm 2, 1 mm 2, a veća mjerna jedinica je 1 km 2. Odnos manjih i većih jedinica prema osnovnoj mjernoj jedinici za površinu i njihov međusobni odnos naučili ste iz fizike. Zato znate da je: 1 m 2 = (10 10) dm 2 = 100 dm 2 1 m 2 = (100 100) cm 2 = 10 000 cm 2 1 m 2 = (1000 1000) mm 2 = 1 000 000 mm 2 1 m 2 = (0,001 0,001) km 2 = 0,000001 km 2 1 dm 2 = 100 cm 2 = 10 000 mm 2 1 cm 2 = 100 mm 2 1 km 2 = 1 000 000 m 2. U upotrebi je mjerna jedinica površine 1 a = 100 m 2 i 1 ha = 10 000 m 2. Ar i hektar se najčešće upotrebljavaju za mjerenje površine zemljišta. Za dvije površi koje imaju jednake površine kažemo da su jednake. Sukladne površi imaju jednake površine. Površi mogu imati različit oblik, a jednaku površinu, slika 69. Slika 69. 74

Opseg trokuta i četverokuta Pr. 2. Nacrtat ćemo proizvoljan paralelogram ABCD pa ga pretvoriti u trokut jednake površine i zajedničke visine (slika 70.). Slika 70. Kroz središte M, stranice BC paralelograma ABCD povučemo pravac p (D, M). Produžimo stranicu AB paralelograma preko tjemena B do presjeka E sa pravcem p. Dobili smo ADE jednake površine s paralelogramom ABCD i jednake visine DN = h. Zadaci za vježbu: 1. Dopuniti prazna mjesta: a) 1 m 2 = dm 2 = cm 2 = mm 2 b) 2,4 m 2 = dm 2 = cm 2 = mm 2 c) 600 dm 2 = m 2 = cm 2 = mm 2 d) 2a = m 2 = dm 2 e) 5 km 2 = ha = a = m 2 2. Na kvadratnoj mreži (slika 71.) nacrtati tri različite geometrijske figure površine 8 jedinica mjere. Slika 71. 3. Nacrtati paralelogram ABCD pa ga pretvoriti u trokut jednake površine i zajedničke a) stranice AB b) stranice BC 4. Trapez visine h pretvoriti u trokut visine h, jednakih površina. 75

Opseg trokuta i četverokuta 5. Nacrtati proizvoljan trokut i pretvoriti u: a) paralelogram b) trapez, jednake površine s nacrtanim trokutom i zajedničkom visinom s tim trokutom. 76

Površina četverokuta s okomitim dijagonalama POVRŠINA ČETVEROKUTA Površina četverokuta s okomitim dijagonalama Naučili smo da neki četverokuti imaju uzajamno okomite dijagonale. To su kvadrat, romb i deltoid. Pokazat ćemo kako se može izračunati površina četverokuta s okomitim dijagonalama. Promatrajmo sliku 72. Slika 72. Četverokut ABCD ima uzajamno okomite dijagonale d 1 i d 2 (d 1 d 2 ). Konstruirani su pravci usporedni dijagonalama, tako da sadrže po jedno tjeme četverokuta. Dobiven je pravokutnik MNKL. Uočavamo da se pravokutnik sastoji od 8 trokuta i to su po dva sukladna trokuta. Površina pravokutnika je, dakle, dva puta veća od površine četverokuta ABCD, pa površinu četverokuta dobijemo tako što površinu pravokutnika prepolovimo, tj. P = d 1 d 2 2. Površina četverokuta čije su dijagonale uzajamno okomite jednaka je polovini produkta duljina njegovih dijagonala. Površinu kvadrata, romba i deltoida možemo izračunavati i pomoću ovog obrasca. Pr. 1. Izračunajmo visinu romba stranice 5 cm i dijagonala d 1 = 8 cm, d 2 = 6 cm. Izračunajmo površinu romba pomoću obrasca za izračunavanje površine četverokuta s okomitim dijagonalama. P = d 1 d 2 2 = 8 6 2 = 24 cm2. Pošto je romb i paralelogram, vrijedi i formula P = ah a za površinu romba. 77