Dvoatomna linearna rešetka

Dvoatomna linearna rešetka Promatramo linearnu rešetku s dva različita atom u elementarnoj ćeliji. Konstanta rešetke je a. Udaljenost između susjednih različih atoma je a/2 Mase atoma su M 1 i M 2. (Neka je M 1 > M 2 ) Konstanta elastičnosti (druga derivacija potencijalne energije) jednaka je β. M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 a a a a

Položaje atoma prikazujemo relativnim pomacima: r n = n a 2 u n, (n = indeks atoma) Parni atomi u nizu imaju masu M 1, a neparni M 2. Ukupna energija: E = l M 1 u 2 2l 2 M 2 u 2 2l1 2 β 2 (u 2l u 2l1 ) 2 β 2 (u 2l1 u 2l2 ) 2 Jednadžbe gibanja: M 1 ü 2l = β (2u 2l u 2l1 u 2l 1 ) M 2 ü 2l1 = β (2u 2l1 u 2l2 u 2l )

Ponovo riješenje tražimo u obliku ravnih valova: u 2l = Ae i[k(2l)a 2 ωt] u 2l1 = Be i[k(2l1)a 2 ωt]. Pretpostavljamo da je amplituda ravnog vala različita za različite vrste atoma (prefaktori A i B ispred eksponencijalne funkcije). Uvrštavanjem ravnog vala u sustav jednadžbi gibanja, dobiva se homogeni sustav od dvije jednadžbe za nepoznate amplitude, A i B. [ M 1 ω 2 2β] A 2β cos( ka 2 ) B = 0 2β cos( ka 2 ) A [ M 2ω 2 2β] B = 0

AmplitudeAiB su različite od nule samo ako je determinanta sustava jednaka nuli (homogeni sustav jednadžbi) [ M 1 ω 2 2β] 2β cos( ka det 2 ) 2β cos( ka = 0. 2 ) [ M 2ω 2 2β] I iz tog uvjeta opet dobivamo jednadžbu koja povezuje frekvenciju i valni broj: [ M 1 ω 2 2β] [ M 2 ω 2 2β] 4β 2 cos 2 ( ka 2 ) = 0. Jednadžba ima dva rješenja: ω 2 ±(k) = β M 1M 2 M 1 M 2 1 ± 1 4 M 1 M 2 (M 1 M 2 ) 2 sin2 ( ka 2 )

ω(k) ω (k = 0) = 2β M 1M 2 M 1 M 2 v k ω (0) ω (k) v k ω ( π a ) ω ( π a ) ω ± (k = π a ) = 2β M 2 () 2β M 1 ( ) π a ω (k) π a k β v = a 2(M 1 M 2 ) (brzina) Frekvencija ω (k) akustičko titranje. Frekvencija ω (k) optičko titranje.

Akustičko titranje M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 A B A B A B A B A Frekvencijska ovisnost akustičkog titranja slična je titranju jednoatomne rešetke. Pomaci atoma, A i B, su u fazi Brzina širenja poremećaja je: β v = a 2(M 1 M 2 ) Brzina ovisi o ukupnoj masi atoma unutar jednične ćelije.

Optičko titranje M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 A B A B A B A B A Frekvencija optičkog titranja slabo ovisi o valnom vektoru. Pomaci atoma, A i B, su u anti fazi. Pomaci atoma, A i B, obrnuto su proporcionalni masama atoma tako da je težište jednične ćelije približno nepomično: M 1 A M 2 B 0.

Akustičko titranje na rubu Brillouinove ima frekvenciju čemu se pomiču samo teži atomi (B 0) Optičko titranje na rubu Brillouinove ima frekvenciju se samo lakši atomi (A 0). 2β M 1 pri 2β M 2, a pomiču Broj različitih vrsta titranja (akustičko, optička) jednak je broju atoma po jediničnoj ćeliji. Samo jedno od njih (akustičko) ima frekvenciju jednaku nuli kada je valni vektor jednak nuli. Ostala su titranja optička. U realnim kristalima u kojima su pomaci 3D vektori, postoje 3 akustička titranja, je 3(n1) optičko, gdje je n broj atoma po jedničnoj ćeliji.

Ionski kristali u elektromagnetskom polju Linearna rešetka s dva atoma je pojednostavljeni prikaz ionskog kristala. Neka pozitivni ioni imaju masu M 1, a negativno navijeni ioni masu M 2. Naboji iona neka su ±q. Pretpostavit ćemo da je EMpolje linearno polarizirano, te da električno polje ima smjer titranja iona linearne dvoatomne rešetke. električno polje E B magnetsko polje

Pod utjecajem električnog polja, pozitivni ioni će se pomicati u jednom smjeru, a negativni u drugom. Kao rezultat stvara se deformacija slična onoj koja se pojavljuje kod optičkih fonona. Ako EM val ima frekvenciju približno istu kao optičko titranje,ω EM = c k EM ω ph, tada je njegova valna duljina λ EM = 2π/k EM = 2π c/ω ph 10 3 cm. Dakle λ EM je puno veća od konstante rešetke a, pa je uobičajeno pretpostavitik EM 0, iliλ EM. Isto vrijedi za optičko titranje koje taj EM val izaziva: k optičko 0.

Jednadžbe gibanja pod utjecajem EM polja: M 1 ü 2l = β (2u 2l u 2l1 u 2l 1 ) q F M 2 ü 2l1 = β (2u 2l1 u 2l2 u 2l ) q F, gdje je F električno polje: F = F 0 e i(k EMna ωt) F 0 e iωt EM val će izazvati titranje kristala koje se može prikazati kao ravni val valnog broja jednakog nuli. u 2l = A e iωt u 2l1 = B e iωt Uvršavanjem u jednadžbe gibanja nalazimo vezu između amplituta titranja pozitivnog i negativnog iona, A i B, i jačine EM vala, F 0.

Radi se o sustavu dvije jednadžbe s dvije nepoznate: (M 1 ω 2 2β) A 2β B = q F 0 2β B (M 2 ω 2 2β) A = q F 0 Rješenje: A = B = q F 0 M 1 [ω 2 (k = 0) ω2 ] q F 0 M 2 [ω 2 (k = 0) ω 2 ] ω (0) je frekvecija optičkog titranja za valni broj k=0: ω (0) = 2β M 1M 2 M 1 M 2 Amplitude A i B imaju različite predznake.

Pomicanje pozitivnih naboja na jednu stranu, te negativnih iona na drugu, svaka jednična ćelija postaje mali dipol.

Iznos dipolnog momenta: d(t) = q (A B) e iωt = q 2 F 0 m r [ω 2 (0) ω 2 ] e iωt, gdje je m r = M 1 M 2 M 1 M 2 tz. reducirana masa Polarizacija (ili gustoća dipolnih momenata) je P = G d, gdje je G je broj jedničnih ćelija u jedinici volumena. Dielektrični pomak, D = ǫ 0 F P = ǫ F = ǫ 0 ǫ r F, gdje je ǫ dielektrična konstanta (funkcija).

Relativna permitivnost (dielektrična konstanta) je ǫ r = 1 Ω 2 p ω 2 (0) ω 2, gdje je Ω p = q G ǫ 0 m r tz. frekvencija ionske plazme. G 5 10 28 m 3 m r 10 25 kg q 1,6 10 19 C Ω p 4 10 13 Hz što je istog reda veličine kao i ω ( 3 10 13 Hz).

ǫ r (ω) ǫ r (0) 1.0 ω ω Relativna permitivnost ǫ r kao funkcija frekvencije ω ǫ r (ω = 0) = 1 Ω2 p ω 2 2 jer su Ω p i ω istog reda veličine.

»ponavljanje«dielektrični pomak, D, vanjsko elekrično polje. Ono NE sadrži dopinose elekričnom polju koji dolaze od naboja u materijalu. U našem slučaju to je EM val. Električna polarizacija, P, je gustoća dipolnih momenata izazvanih (induciranih) vanjskim poljem. Inducirani dipolni momenti u materijalu također stvaraju dodatno električno polje, koje je dio ukupnog (pravog) električnog polje E. Dakle, pravo polje je zbroj vanjskog električnog polja i električnog polja dipolnih momenata: E = 1 ǫ 0 D 1 ǫ 0 P Dipolni momenti djeluju tako da umanjuju vanjsko električno polje, ili zasjenjuju ga. Zbog toga je pravo električno polje manje nego što bi bilo kada ne bi bilo dielektričnog medija.

»ponavljanje«superpozicija električnog polja Ukupno električno polje je zbroj električnih polja svih naboja.

Samo naboj Samo dielektrik E = E 0 0 < E i >= 0 Naboj i dielektrik U prisustvu vanjskog naboja < E i > 0, pa je: E = E 0 < E i >= 1 ǫ r E 0 E = E 0 < E i > Glavni doprinos električnom polju naboja u dielektriku dolazi od polarizacije, gustoće dipolnih momenata, i ono iznosi: < E i >= 1 ǫ 0 P. Ako je P = α E, tada je ǫ r = 1 α ǫ 0

Polarizabilnost atoma i molekula Vanjsko električno polje ne utječe samo na gibanje iona, nego i na gibanje elektrona oko jezgre. Ono izaziva polarizaciju samih atoma, tako da svaki atom postaje mali dipol. Kada nema vanjskog polja položaj jezgre i centar elektronske gustoće se poklapaju pa je dipolni moment atoma jednak nuli. Ali pod utjecajem vanjskog električnog polja, položaji jezgre i centar elektronske gustoće se razmiču, pa atom postaje mali dipol. Kažemo da se je atom polarizirao.

Dipolni moment atoma jednostavni model Poslužit ćemo se istim onim modelom kojim smo se koristili kod izračuna Van der Waalsovih sila. Atome zamišljamo kao harmoničke oscilatore u kojima su negativni elektroni oprugom vezani za pozitivne (i nepomične) jezgre. Frekvencija titranja atomskog HO treba biti jednaka frekvenciji kruženja elektrona oko jezgre, a to odgovara frekvenciji atomskog spekata atoma koji se promatra. Ova frekvencija je puno veća (oko tisuću puta) od frekvencije titranja atoma u kristalu. ω 0 10 16 Hz.

x m ẍ = ω 2 0 m x }{{} atomski HO oscilator ( e)f 0 e iωt }{{} EM val Riješenje: ef 0 x(t) = m (ω0 2 ω2 ) e iωt Dipolni moment jednog atoma: d(t) = ( e) x(t) = e 2 m (ω 2 0 ω2 ) F(t) Polarizacija P P = N el d(t) = N el e 2 m (ω 2 0 ω2 ) F(t)

Permitivnost koja dolazi od atomske polarizabilnosti: ǫ (el) r = 1 ω 2 p ω 2 0 ω2, gdje je ω p = N el e 2 ǫ 0 m. ω p je frekvencija elektronske plazme. N el 5 10 28 m 3 m 10 30 kg e 1,6 10 19 C ω p 10 16 Hz Ukupna permitivnost: ǫ r = 1 ω 2 p ω 2 0 ω2 Ω 2 p ω 2 ω 2

Doprinos permitivnosti od dipolnih molekula Molekule sa stalnim dipolnim momentom mogu dodatno doprinositi ukupnoj permitivnosti (H 2 O, HCl, H 2 S, HBr, NH 3,... ). Kada je E=0 njihovi su dipolni momenti nasumično orjentirani pa je gustoća dipolnih momenata jednaka nuli. Kada je E 0 dipolne molekule će se pretežno orjentirati tako da im je dipolni moment paralelan s električnim poljem. Pojavit će se polarizacija P ( 0) koja će doprinositi ukupnoj permitivnosti. Ako električno polje previše brzo titra, molekule rotacijom neće moći slijediti električno polje, pa će srednja gustoća dipolnih momenata opet biti jednaka nuli. Frekvencija kod koje to dolazi je ω per 10 10 10 11 Hz.

Logaritamska skala frekvencija 0.0 statička ω=0 granica 10 10 10 11 permanentni dipoli 10 13 optička titranja rešetke 10 16 atomi i molekule Hz Relativna permitivnost povezana je s indeksom loma: ǫ r (ω) = n 2 (ω) Indeks loma ovisi o frekvenciji EM vala.

1.0 ǫ r (ω) n(ω) 1 ω 2 p ω 2 0 ω2 n(ω ljubičasto ) > n(ωcrveno) ω 0 ω Frekvencija vidljive svjetlosti (ω 2 10 15 4 10 15 Hz) puno je veća od frekvencije optičkog titranja rešetke. Na indeks loma vidljive svjetlosti najviše utječe atomska polarizabilnost. Ljubičasta svjelost se više lomi od crvene.