Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC CURS I II Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Integrbilitte Riemnn. Criterii de integrbilitte Fie [, b] un intervl compct (închis şi mărginit). Definiţi ) O fmilie finită de puncte = (,,..., n ) stfel încât = < < < n < n = b, se numeşte diviziune intervlului [, b]. ) Lungime celui mi mre intervl de form [ i, i+ ], i =, n se numeşte norm diviziunii şi se noteză cu def = m ( i+ i ). i=,n 3) Punctele rbitrre ξ i [ i, i+ ], i =, n formeză un sistem de punte intermedire socit diviziunii. 4) Sum nottă prin σ (f) def = n f (ξ i ) ( i+ i ) se numeşte sum Riemnn socită i= funcţiei f : [, b] R corespunzătore diviziunii şi sistemului de punte intermedire {ξ i } i=,n. Definiţi Spunem că funcţi f : [, b] R este integrbilă Riemnn pe [, b] dcă, oricre r fi un şir de diviziuni ( n ) n N, n = ( n, n,..., n k n ) cu norm n, pentru n, oricre r fi sistemul de puncte intermedire ξ n i [ n i, n i+], i =, kn, şirul sumelor Riemnn (σ n (f)) n N este un şir convergent. Numărul lim σ n n (f) din cestă definiţie se v not cu b f () d şi se numeşte integrl definită Riemnn funcţiei f pe [, b]. Au loc următorele rezultte Teorem 3 Orice funcţie continuă pe [, b] este integrbilă pe [, b]. Lucin Mticiuc Teorem 4 Orice funcţie monotonă pe [, b] este integrbilă pe [, b]. Teorem 5 Orice funcţie integrbilă pe [, b] este mărginită pe [, b].
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Proprietăţi le funcţiilor integrbile Proposiţi 6 Dcă f este integrbilă pe [, b] tunci b f () d = b f () d şi f () d =. Proposiţi 7 () (propriette de liniritte) Dcă f, g sunt integrbile pe [, b] şi α, β R tunci funcţi αf + βg este integrbilă pe [, b] şi re loc b (αf () + βg ()) d = α b f () d + β b g () d (b) (propriette de ditivitte) Dcă f este integrbilă pe [, b] tunci oricre r fi punctul c [, b] vem c f () d + b c f () d = b f () d (c) (propriette de monotonie) Dcă f, g sunt integrbile pe [, b] şi dcă f g pe [, b] tunci b f () d b g () d (d) Dcă f este integrbilă pe [, b] tunci f este integrbilă pe [, b] şi b b f () d f () d Teorem 8 (de medie) Dcă f este continuă pe [, b] (deci şi integrbilă pe [, b]) şi dcă g este integrbilă pe [, b] şi g, tunci eistă ξ (, b) stfel încât b În prticulr, pentru g, obţinem f () g () d = f (ξ) b g () d Corolrul 9 Dcă f este continuă pe [, b] tunci eistă ξ (, b) stfel încât b f () d = f (ξ) (b ) Proposiţi Dcă f este integrbilă pe intervlele [, c] şi [c, b] tunci f este integrbilă pe [, b]. Lucin Mticiuc 3 Primitive. Metode de clcul În continure fie f o funcţie integrbilă pe [, b] şi c [, b] Definiţi Funcţi F : [, b] R, dtă de F () = se numeşte integrl nedefinită funcţiei f c f (t) dt
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Teorem (continuitte integrlei nedefinite) Fie f o funcţie integrbilă pe [, b]. Funcţi F : [, b] R, F () = f (t) dt este continuă pe [, b]. Demonstrţie. Fie (, b) un punct rbitrr. Funcţi f este mărginită pe [, b] (deorece este integrbilă pe [, b]) dică f () M, [, b]. Avem că deci F () F ( ) = f (t) dt f (t) dt = f (t) dt F () F ( ) = f (t) dt f (t) dt Mdt = M De ici vem continuitte lui F în, dică lim F () = F ( ). Teorem 3 (derivbilitte integrlei nedefinite) Fie f o funcţie continuă pe [, b]. Funcţi F : [, b] R, F () = f (t) dt este derivbilă pe (, b) şi F () = f () (su echivlent df () = f () ). d Demonstrţie. Demonstrţie: Fie (, b) un punct rbitrr. Avem F () F ( ) = f (t) dt f (t) dt = f (t) dt, (, b), Conform unei teoreme de medie, deorece f este continuă, vem că ξ între şi.î. F () F ( ) = f (ξ) ( ). Deci F () F ( ) = f (ξ), şi trecând l limită obţin, deorece f este continuă F () F ( ) lim = lim f (ξ) = f ( ) F () F ( ) (dcă ξ este între şi şi dcă tunci ξ ). Deci eistă lim = f ( ) F ( ) = f ( ). Definiţi 4 Se numeşte primitivă funcţiei f pe [, b] o funcţie F cu propriette că este derivbilă pe [, b] şi re loc F () = f (), [, b]. Remrc 5 Dcă f dmite primitiv F tunci orice ltă primitivă este de form F + C, C R Remrc 6 Dcă f dmite primitiv F tunci mulţime {F + C, C R} se numeşte tot integrl nedefinită lui f şi se noteză cu f () d Lucin Mticiuc Remrc 7 Să remrcăm că integrl definită b f () d este un număr, pe când primitiv unei funcţii este o funcţie (ir integrl nedefinită este mulţime infinită de funcţii). Eemplul 8 Determinţi primitivele următorelor funcţii: ) f () = 4, b) f () = e 3, c) f () = sin (5), d) f () = cos (). 3
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Proposiţi 9 (propriette de liniritte) Dcă f, g dmit primitive şi α, β R tunci funcţi αf + βg dmite primitive şi re loc (αf () + βg ()) d = α f () d + β g () d. Eemplul Clculţi următorele primitive: (4 ) + 3 5 ) d, b) cos d, c) sin d. (se vor folosi formulele cos () = cos = sin şi sin () = sin cos ). Teorem (formul lui Leibniz-Newton) Fie f o funcţie integrbilă şi cre dmite primitive pe [, b]. Atunci re loc b oricre r fi F o primitivă lui f. f () d = F () b = F (b) F () Demonstrţie. Fie F o primitivă lui f. Fie n un şir de diviziuni le lui [, b] cu norm n. Conform teoremei creşterilor finite lui Lgrnge vem că eistă ξ i [ i, i+ ].î. F ( i+ ) F ( i ) = F (ξ i ) ( i+ i ) = f (ξ i ) ( i+ i ), i =, n Deci sum Riemnn socită diviziunii d cu s.p.i. dte de Teorem lui Lgrnge este n n σ dn = f(ξ i ) ( i+ i ) = (F ( i+ ) F ( i )) = F (b) F () i= i= Deci şirul sumelor Riemnn este constnt deci σ dn [F (b) F ()]. Pe de ltă prte, f fiind integrbilă, vem că σ dn b f () d. Limit fiind unică obţin că b f () d = F (b) F (). Eemplul Clculţi următorele integrle definite: ) 5 d, b) π d, c) sin d, d) 6 d. Lucin Mticiuc Teorem 3 (metod de integrre prin părţi) Dcă f, g sunt derivbile cu derivtele continue pe intervlul I, tunci f () g () d = f () g () f () g () d 4
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Demonstrţie. Din ipoteză vem că funcţiile f () g () şi f () g () sunt continue, deci integrlele f () g () d şi f () g () d u sens. Avem (fg) = f g + fg deci (f () g () + f () g () ) d = (f () g ()) d = f () g () + C deci Dr deci obţinem concluzi. f () g () d = f () g () + C f () g () d ( ) = f () g () f () g () d C f () g () d C = f () g () d Proposiţi 4 În celeşi condiţii c mi sus re loc formul de integrre prin părţi pentru integrle definite b b f () g () d = f () g () b f () g () d Eemplul 5 Clculţi, folosind metod de integrre prin părţi, următorele integrle: ) e d, b) e 3 d, c) ln d, d) ln d, e) e sin (b) d, f) sin d, g) ln 3 d, h) + d, R 3 i) + d, j) + d, k) d, l) d, e) Folosim e = (e ) : e sin (b) d = (e ) sin (b) d = e sin (b) e (sin (b)) d = = e sin (b) b e cos (b) d = mi plicăm odtă = e sin (b) b (e ) cos (b) d = = e sin (b) b ( ) e cos (b) e (cos (b)) d = = e sin (b) b Lucin Mticiuc ( e cos (b) + = e sin (b) b e cos (b) b ) be sin (b) d = e sin (b) d 5
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Deci e sin (b) d + b e sin (b) d = e sin (b) b e cos (b) + C, C R ( e sin (b) d = + b e sin (b) b ) e cos (b) + C, C R Observţie: putem plec şi de l sin (b) = b (cos (b)). ( ) f) Observăm că = 3 şi că sin = (cos ) deci plecăm de l funcţi sin. 3 Teorem 6 (prim metodă de schimbre de vribilă) Fie funcţiile u : I J şi f : J R, unde I, J sunt intervle. Dcă u este derivbilă pe I ir f dmite primitive pe J tunci funcţi f (u) u : I R dmite primitive pe I şi re loc f (u ()) u () d = F (u ()) + C unde F este o primitivă lui f. Demonstrţie. Avem că F este derivbilă, deci funcţi F (u ()) este derivbilă şi re loc (F (u ())) = F (u ()) u () = f (u ()) u () dică funcţi F (u ()) este o primitivă lui f (u ()) u () deci f (u ()) u () d = F (u ()) + C Remrc 7 Prctic: notăm y not = u () deci dy = u () d deci f (u ()) u () d = f (y) dy = F (y) + C = F (u ()) + C Proposiţi 8 (prim metodă de schimbre de vribilă pentru integrl definită) Dcă u este derivbilă pe J cu derivt continuă şi f este continuă pe I, tunci b f (u ()) u () d = u(b) u() f (y) dy = F (u (b)) F (u ()) Eemplul 9 Clculţi următorele integrle folosind prim metodă de schimbre de vribilă: + rccos ) e d, b) tg d, c) e d, d) d, e) + e π/ f) Lucin Mticiuc cos + sin d, g) π/4 sin 3 cos d, h) 3 ln d, 6 5d, i) + + d 6
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc d) Observ că = ( rccos ) + rccos rccos d = d + d = ( ) = d + rccos ( rccos ) d = = rccos (rccos ) d = Acum dcă notăm y not = rccos dy = (rccos ) d deci integrl devine + rccos d = ydy = rccos d (rccos ) = y + C = (rccos ) + C, C R e) Observ că = (ln ) şi voi not y not = ln dy = (ln ) d f) Observ că cos = (sin ) şi voi not y not = sin dy = (sin) d şi limitele de integrre devin: dcă = tunci y = sin = şi dcă = π/ tunci y = sin π/ = h) Folosim form cnonică trinomului de grdul + b + c = ( + b ) + unde = b 4c. Deci ( ) 6 5 = + 6 5 = + 6 + (36 ) şi 3 = ( 3) + 4 = 4 ( 3) 3 6 5d = 4 ( 3) d = 3 4 4 4 ( 3) ( 3) d = Notez y not = 3 dy = ( 3) d şi limitele de integrre devin: dcă = tunci y = şi dcă = 3 tunci y =. 3 cre se v clcul prin rţionlizre. 6 5d = 4 y dy Teorem 3 ( dou metodă de schimbre de vribilă) Fie funcţiile u : I J şi f : J R, unde I, J sunt intervle. Dcă f e continuă pe J ir u este strict monotonă şi derivbilă pe I ir invers s v : J I re derivt continuă pe J tunci funcţi f (u) : I R dmite primitive pe I şi re loc f (u ()) d = F (u ()) + C unde F este o primitivă lui fv, dică f (y) v (y) dy = F (y) + C. Lucin Mticiuc 7
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Demonstrţie. Avem că f şi v sunt continue deci eistă primitiv f (y) v (y) dy = F (y)+c deci F (y) = f (y) v (y) Evident că F (u ()) este derivbilă şi (F (u ())) = F (u ()) u () = f (u ()) v (u ()) u () Dr u şi v sunt inverse un celeilte deci v (u ()) = = u (v ()). Derivând prim eglitte obţin (v (u ())) = v (u ()) u () = deci (F (u ())) = f (u ()) v (u ()) u () = f (u ()) dică F (u ()) este o primitivă lui f (u ()). Prctic: fcem substituţi = u (y) = v (y) deci d = v (y) dy deci f (u ()) d = f (u (v (y))) v (y) dy = f (y) v (y) dy = F (y) + C = F (u ()) + C Proposiţi 3 ( dou metodă de schimbre de vribilă pentru integrl definită) În celeşi ipoteze c mi sus vem b f (u ()) d = u(b) u() f (y) v (y) dy Prctic: notăm y not = u () deci vem şi = u (y) = v (y) d = v (y) dy b f (u ()) d = u(b) u() f (u (v (y))) v (y) dy = u(b) u() f (y) v (y) dy Eemplul 3 Fie f : [, ] R o funcţie integrbilă pe [, ]. Arătţi că dcă f este pră, tunci şi dcă f este impră, tunci f () d = f () d =. f () d Lucin Mticiuc Eemplul 33 Clculţi următorele integrle folosind dou metodă de schimbre de vribilă: ) cos d, b) 4 d ) Vom not = y = y deci d = ydy şi integrl devine cos d = cos y ydy = y cos y dy Pentru clculul cestei integrle vezi metod de integrre prin părţi. L sfârşit se v înlocui y = 8
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc b) Folosim substituţi trigonometrică = sin y su = cos y. Dcă folosim substituţi = sin y tunci d = ( sin y) dy = cos ydy şi = sin y y = rcsin / Limitele de integrre devin: dcă = tunci y = rcsin = şi dcă = tunci y = rcsin / = π/6. 4 Clculul integrlelor unor clse de funcţii (vezi şi eerciţiile de l seminr). În cestă secţiune vom prezent pe scurt metode de clcul le integrlelor unor clse de funcţii. I. Clculul primitivelor funcţiilor rţionle. Pentru clculul primitivelor unei funcţii rţionle P () se prcurg următorele etpe: Q() Dcă grd P () grd Q () tunci se v împărţi P l Q şi se v obţine P () Q() = C () + P () Q() unde grd P () < grd Q (). Se v descompune numitorul Q () în fctori ireductibili, dică Q () = k ( α i ) r i i= k ( ) sj + β j + γ j j= = ( α ) r ( α k ) r k ( + β + γ ) s ( + β l + γ l ) sl. Frcţi rţionlă P () Q() (suntem în czul când grdul numărătorului este mi mic strict decât grdul numitorului) se v descompune în frcţii simple (utilizând descompunere de mi sus): P () Q () = k i l ( α i= i ) r + i j= b j + c ( j ) sj. + β j + γ j Eemplul 34 Să se clculeze următorele integrle din funcţii rţionle (eemple fundmentle): ) d, b) ( ) α d, α, c) d, d) b ( + b) α d, 4 5 e) d, f) 4 + 8 d, g) 5 + 3 + d, + 5 3 + 3 ( h) d, i) + 3 + d = + b + c ) d, ( ) ( j) Lucin Mticiuc 3 + 4 3 + 5 + 9 + 5 d = + + b + c ) d. + 4 + 5 9
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc II. Clculul primitivelor unor epresii irţionle. ( Fie integrlele de form R, ( + b) p q, ( + b) ) p q,... d unde R este o epresie c + d c + d rţionlă. Aceste integrle se reduc l integrle rţionle cu jutorul substituţiei + b c + d = ts unde s este cel mi mic multiplu comun l numitorilor q, q,... Eemplul 35 Să se clculeze integrl 3 d. Fie integrlele de form m ( + b n ) p d unde m, n, p Q (integrle binome). Aceste integrle se reduc l integrle rţionle dor în următorele trei situţii (cu jutorul substituţiilor respective) : i) Dcă p este număr întreg. ii) Dcă m + este număr întreg şi în cest cz este utilă substituţi + b n = t s unde s este n numitorul lui p. iii) Dcă m + + p este număr întreg şi în cest cz este utilă substituţi + bn n n = t s unde s este numitorul lui p. ( Eemplul 36 Să se clculeze integrlele + 3 ) 3 d (vem m = /, n = /3, p = 3) şi 3 + 4 d (vem m = /, n = /4, p = /3). III. Clculul primitivelor unor epresii ce conţin funcţii trigonometrice. Fie integrlele de form R (sin, cos ) d unde R (, b) este o epresie rţionlă în şi b. Aceste integrle se reduc l integrle rţionle cu jutorul următorelor substiţituţii: i) Dcă R ( sin, cos ) = R (sin, cos ) tunci este utilă substituţi cos = t. ii) Dcă R (sin, cos ) = R (sin, cos ) tunci este utilă substituţi sin = t. iii) Dcă R ( sin, cos ) = R (sin, cos ) tunci este utilă substituţi tg = t. iv) Substituţi universlă tg = t. Lucin Mticiuc În cest cz sunt utile următorele formule trigonometrice sin + cos =, sin cos = sin = sin = sin, sin cos =, cos +cos =, t +t, cos = t +t, unde t = tg, t, cos = +t +t, unde t = tg.
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc 5 Aplicţii le integrlei definite I. Ari unei suprfeţe plne ( unui domeniu din R ). Avem două czuri: ) (curb cre dă domeniul este dtă eplicit) Dcă domeniul este dt de D = {(, y) : b, y f ()} su D = {(, y) : b, f () y } tunci ri domeniului D este dtă de A (D) = b f () d ) (curbele cre du domeniul sunt dte eplicit) Dcă domeniul este dt de D = {(, y) : b, f () y f ()} tunci ri domeniului D este dtă de II. Volumul corpurilor de rotţie A (D) = b [f () f ()] d Dcă volumul V R 3 este obţinut prin rotţi mulţimii F = {(, y) : b, y f ()} tunci volumul este dt de V (F ) = π b f () d III. Lungimi de curbe (în pln şi spţiu). Avem trei czuri: ) (curb este dtă eplicit) Curb este dtă de (C) : y = f (), b tunci lungime curbei este dtă de L (C) = b + (f ()) d b ) (curb este în pln şi este dtă prmetric) { = (t) Curb este dtă de (C) :, t b tunci lungime curbei este dtă de y = y (t) L (C) = b ( (t)) + (y (t)) dt b ) (curb este în spţiu şi este dtă prmetric) = (t) Curb este dtă de (C) : y = y (t), t b tunci lungime curbei este dtă de z = z (t) Lucin Mticiuc L (C) = b ( (t)) + (y (t)) + (z (t)) dt Eemplul 37 Să se clculeze ri suprfeţei plne cuprinsă între curbele de ecuţie f () = şi g () =.
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Eemplul 38 Să se clculeze ri discului de rză r (şi cu centrul în origine reperului): f () = r r şi A = 4 f () d =... Eemplul 39 Să se clculeze lungime cercului de rză r (şi cu centrul în origine reperului): f () = r r şi L = 4 + (f ()) d =... Lucin Mticiuc
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc 6 Tbloul integrlelor nedefinite.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.... 3. 4. 5. 6. d = + C α d = α+ α + + C, α R, α d = ln + C + d = rctg + C, d = ln + + C, ± d = ln + ± + C, d = rcsin + C, > d = ln + C, >,, sin d = cos + C cos d = sin + C cos d = tg + C sin d = ctg + C tg sin d = ln + C ( tg cos d = ln + π ) + C 4 tg d = ln cos + C ctg d = ln sin + C e d = e + C Lucin Mticiuc 3