I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. P r e d a v a n j a z a d r u g u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2008/2009.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2 P r e d a v a n j a z a d r u g u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2008/2009. godini) Budite zahvalni na savjetima, a ne na pohvalama..2.2. Neka svojstva realne funkcije dviju i više realnih promjenljivih (LA FONTEN) Niz pojmova, definicija i teorema koji se odnosi na realne funkcije jedne realne promjenljive prenose se bez promjene ili sa neznatnom promjenom na realne funkcije više realnih promjenljivih. Ovdje navodimo samo neke od njih: ) Funkciju f : D K (D R n, K R) (.2.) možemo posmatrati na svakom podskupu E skupa D. 2) Kako je skup vrijednosti funkcije zadane sa (.2.) podskup skupa R, to ostaju očuvani pojmovi: funkcija ograničena odozgo (ili odozdo), funkcija neograničena odozgo (ili odozdo), ograničena funkcija i neograničena funkcija na skupu E ( D). 3) Ostaju očuvani pojmovi veće, manje i jednako u skupu vrijednosti funkcije zadane sa (.2.). 4) Pojam složene funkcije uvodi se na sljedeći način : Neka je u : = u (x), u 2 = u 2 (x),..., u m = u m (x) sistem od m funkcija koje su zadane na nekom skupu E x R n i neka je y = f (u, u 2,..., u m ) = f (u) funkcija zadana na nekom skupu E u ( R m ). Funkcija F (x) : = f [u (x), u 2 (x),..., u m (x)] naziva se složenom funkcijom sa međuargumentima u, u 2,..., u m koja je definirana na skupu tačaka E * x E x za koje tačka (u (x), u 2 (x),..., u m (x)) pripada skupu E u. 5) Elementarnim funkcijama nazivaju se sve one realne funkcije više realnih promjenljivih koje se mogu dobiti iz osnovnih elementarnih realnih funkcija više realnih promjenljivih konačnom primjenom algebarskih operacija +,,, : i operacije slaganja (kompozicije) funkcija, pri čemu se pod osnovnim elementarnim funkcijama više promjenljivih podrazumijevaju stepene, eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske i inverzne trigonometrijske funkcije (analogno kao i u slučaju realnih funkcija jedne realne promjenljive). Na primjer, funkcija f (x, x 2,..., x n ) posmatrana na skupu tačaka koje pripadaju krivoj (L) zadanoj (parametarski) jednačinama x = x (t ), x 2 = x 2 (t ),..., x n = x n (t ), a koja pripada definicionom području funkcije f, predstavlja složenu funkciju: F(t ) = f (x (t ), x 2 (t ),..., x n (t )) jednog argumenta t. Ako je funkcija F(t ) konstantna na hiperkrivoj (L), onda se ta kriva naziva nivo hiperlinija (ili nivo - linija) funkcije f. Funkcija f može biti posmatrana i na skupu tačaka neke hiperpovrši zadane jednačinom F(x, x 2,..., x n ) = 0 koja pripada definicionom području funkcije f. Ako je funkcija f konstantna na nekoj hiperpovrši, onda se ta površ naziva nivo hiperpovrš (ili nivo - površ) * funkcije f. * Poteškoće koje nastaju u vezi sa definicijom krive, odnosno površi, kao i uslova za funkciju f, pa da jednačina f (x, y) = C (odnosno f (x, y, z) = C ) definira krivu (odnosno površ), mogu se u definiciji pojmova nivo linija (odnosno nivo površi) izbjeći upotrebom termina nivo skup umjesto nivo linija (odnosno nivo površi) i, dalje, upotrebom termina skup umjesto naziva krivih (odnosno površi). 7

Kao i funkcije jedne promjenljive, tako i funkcije od dvije, tri ili n promjenljivih mogu biti racionalne ili iracionalne, algebarske ili transcendentne, eksplicitne, implicitne, jednoznačne ili višeznačne, parne, neparne (u odnosu na sve neprazne podskupove skupa {x,..., x n } argumenata x,..., x n funkcije f (x,..., x n ) ),.... 3. Granična vrijednost realne funkcije dviju i više realnih promjenljivih.3.. Pojam i osnovna svojstva esa funkcije više promjenljivih Definicija.3.. Okolinom beskonačno daleke tačke naziva se skup svih tačaka x R n d( O R n, x) > r, pri čemu je r proizvoljan broj iz R +. za koje je Kako su R i R n metrički prostori u kojima je definiran pojam okoline tačke kao i pojam konvergencije, to se pojam granične vrijednosti za realnu funkciju više realnih promjenljivih može definirati po Cauchyju ili Heineu. Dokazuje se (analogno kao i za ese realnih funkcija jedne realne promjenljive) da su ove dvije definicije ekvivalentne: Definicija.3.2. (Po Cauchyju). Neka je D R n i tačka x 0 = (x 0, x 20,..., x n0 ) R n tačka gomilanja skupa D koja mu može, a ne mora pripadati. Neka je funkcija f zadana sa (.2.). Kažemo da funkcija f u tački x 0 ima graničnu vrijednost (es) jednaku B R ako za svaku okolinu V(B) tačke B postoji okolina U(x 0 ) tačke x 0 takva da vrijednost funkcije f pripada okolini V(B) za svaku vrijednost argumenta x U(x 0 ), tj. za svaki x D ( U(x 0 ) \ {x 0 }) (= U D (x 0 )). Definicija.3.3. (Po Heineu). Kažemo da funkcija f zadana sa (.2.) ima graničnu vrijednost jednaku B ( R ) u tački x 0 ( R n ) ako za proizvoljan niz (x n ), sa svojstvima x n D za n N, x n x 0 (x 0 je tačka gomilanja skupa D koja mu može a ne mora pripadati) i x n x 0 za n, odgovarajući niz ( f (x n )) ima graničnu vrijednost B. U svakoj od definicija.3.2 i.3.3. kratko pišemo B = f (x) ili B = x x 0 0 x x x 0 2 x2 x 0 n xn f (x, x 2,..., x n ). Primijetimo da u prethodnim definicijama esa funkcije f tačka x 0 može biti i beskonačno n daleka tačka u R, a B može biti iz proširenog skupa R realnih brojeva. Napomenimo da se često za okolinu pomenute tačke x 0 R n, umjesto kugline okoline, uzima okolina koju čini n dimenzionalni paralelopiped (kvadar) ili n dimenzionalna kocka sa centrom u x Sve teoreme o graničnim vrijednostima koje važe za funkcije jedne realne promjenljive (njihovi analogoni) važe i za realne funkcije više realnih promjenljivih (jasno, o pojmovima i svojstvima koja imaju smisla za funkcije više promjenljivih). Na primjer, vrijede: teorema o jedinstvenosti granične vrijednosti, teorema o graničnoj vrijednosti složene funkcije, teoreme o nejednakostima za ese, teoreme o algebarskim operacijama sa graničnim vrijednostima, Cauchyjev kriterij koji predstavlja potreban i dovoljan uslov postojanja granične vrijednosti. 8

.3.2. Uzastopni esi U dijelu.3.. uveli smo pojam esa funkcije kad argument x = (x,..., x n ) teži ka x 0 = (x 0,..., x n0 ). Drugim riječima, razmatrali smo ponašanje funkcije kad sve koordiante x,..., x n vektorskog argumenta x teže istovremeno ka odgovarajućim koordinatama x 0,..., x n 0 tačke x 0. No, pojavljuje se potreba da se ispita ponašanje funkcija u slučaju kad najprije pustimo da jedna od koordinata teži ka nekoj fiksiranoj vrijednosti, a ostale koordinate se smatraju nepromijenjenim; zatim puštamo da neka druga koordinata teži ka nekoj (obično drugoj) fiksiranoj vrijednosti itd. Ako poslije svega dobijemo neku fiksiranu vrijednost nazivamo je uzastopnim (ili sukcesivnim) esom. Limes, odnosno granična vrijednost u prijašnjem smislu ponekad se zove n esom (ili n terostrukim esom ili simultanim esom). Kad je n = 2, 3,... kaže se dvojni (ili dvostruki), trojni (ili trostruki) itd. es. Mi ćemo es u ovom smislu u kojem je bio najprije definiran, zvati prosto esom ili graničnom vrijednošću, a es koji sada posmatramo uzastopnim esom. Uzastopni es ispitivaćemo detaljnije u slučaju n = 2, tj. kad imamo slučajeve funkcija koje zavise od dvije nezavisne (skalarne) promjenljive. U slučaju proizvoljnog n ( N) postupak je sličan, ali uz nešto glomaznije označavanje. Kad funkcija zavisi od dvije nezavisne promjenljive, onda se te promjenljive često označavaju sa x i y (umjesto x i x 2 ). Neka je, dakle, (x 0, y 0 ) R 2, tj. neka je (x 0, y 0 ) neka tačka u xy ravni. Označimo sa Q pravougaonik u R 2 (tj. dvodimenzionalni kvadar) definiran izrazom Q = {(x, y) R 2 : x 0 < x < x 0 + a, y 0 < y < y 0 + b}, gdje su a, b > 0 neke pozitivne realne konstante (sl..3.). Neka je na Q definirana skalarna funkcija f (x, y). Ako uzmemo po volji y ( y 0, y 0 + b) i držimo ga fiksiranim, a puštamo da se x mijenja u intervalu (x 0, x 0 + a), onda je f (x, y) funkcija jednog argumenta x (definirana na (x 0, x 0 + a)). Uzimajući razne y ( y 0, y 0 + b) dobijemo, uopšte uzev, razne funkcije argumenta x. Možemo se, prema tome, pitati da li postoji f (x, y). Pretpostavimo da za svaki y ( y 0, y 0 + b) postoji i da je konačan f (x, y). Jasno je da ovaj es zavisi od toga koji smo y ( y 0, y 0 + b) uzeli. Znači, taj es je neka funkcija od y. Označimo je sa ϕ ( y ): ϕ ( y ) def. x x 0 = f (x, y), y ( y 0, y 0 + b). Funkcija ϕ ( y ) je definirana na ( y 0, y 0 + b) pa se možemo pitati da li postoji ϕ ( y ). y Ako ovaj posljednji es postoji, nazivamo ga uzastopnim esom i označavamo izrazom ( f (x, y)) ili f (x, y) (: = L, 2). y y0 Naravno, mi možemo u prethodnom razmatranju zamijeniti uloge x i y. Možemo, naime, najprije x (x 0, x 0 + a) držati fiksiranim i posmatrati ψ (x) = f (x, y). Ako ovaj es postoji i ako je konačan za sve x (x 0, x 0 + a), onda možemo tražiti dobijemo novi uzastopni es ( x x0 y y0 y 0 +b f (x, y)) ili f (x, y) (: = L 2, ). y M 0 = (x 0, y 0 ) y 0 0 x 0 x 0 +a x Sl..3.. ψ (x). U slučaju da taj es postoji, y0 9

Odmah se postavlja pitanje odnosa ova dva uzastopna esa L, 2 i L 2,, i njihovog odnosa sa esom L : = f (x, y) u običnom smislu, ako ovaj posljednji es postoji. U vezi sa ( x, y) ( x0, y0) ovim dokazaćemo sljedeću teoremu. Teorema.3.. Neka je na pravougaoniku Q definirana funkcija f (x, y) i neka su zadovoljeni sljedeći uslovi : ( i ) postoji granična (konačna ili beskonačna) vrijednost L : = f (x, y) = f ( xy, ) ; (.3.) ( x, y) ( x0, y0) y y0 ( ii ) za svaki y ( y 0, y 0 + b) postoji konačan es ( po x) ϕ ( y ) = f (x, y). (.3.2) Tada postoji i ϕ ( y ), tj. postoji uzastopni es L = ϕ ( y ) (= f (x, y) i vrijedi f (x, y) ). Dokaz: Neka je, npr., L konačan broj. Po pretpostavci f (x, y) L, (x, y) (x 0, y 0 ). Zbog toga za svaki ε > 0 postoji δ = δ (ε ) > 0 takav da za sve (x, y) Q, za koje je x x 0 < δ, y y 0 < δ, vrijedi f (x, y) L < 2 ε. Smanjujući δ, ako je potrebno, možemo smatrati, i smatraćemo da je δ < a, δ < b. U tom slučaju možemo reći da vrijedi f (x, y) L < 2 ε čim je x (x 0, x 0 + δ ), y ( y 0, y 0 + δ ). (.3.3.) Uzmimo po volji y ( y 0, y 0 + δ ) i fiksirajmo ga, a pustimo x da teži ka x 0 (x (x 0, x 0 + δ )). Tada, na osnovu pretpostavke ( ii ) lijeva strana u (.3.3) teži ka ϕ ( y ) L. Na taj način dobijemo da vrijedi ϕ ( y ) L 2 ε < ε, y ( y0, y 0 + δ ). (.3.4) Dakle, za svaki ε > 0 postoji δ = δ (ε ) > 0 takav da vrijedi (.3.4), pa možemo pisati da ϕ ( y ) L, kad y y 0 (ustvari ovdje y y 0 ). Ovim je tvrdnja u slučaju konačnog L dokazana. Neka je sada L beskonačan, npr. L = +. Tada za svaki E > 0, zbog f (x, y) + kad (x, y) (x 0, y 0 ), postoji δ = δ (E ) > 0 tako da je f (x, y) > E + čim je x x 0 < δ, y y 0 < δ i (x, y) Q. Kao i u prethodnom razmatranju, možemo smatrati da je δ < a, δ < b, pa imamo f (x, y) > E + za sve x (x 0, x 0 + δ ), y ( y 0, y 0 + δ ). (.3.5) Ako u (.3.5) smatramo y ( y 0, y 0 + δ ) čvrstim, a putimo da x x 0 dobijemo (po pretpostavci ( ii )), ϕ ( y ) E + > E. Znači, za svaki E > 0 postoji δ = δ (E ) > 0 takav da je ϕ ( y ) > E čim je y ( y 0, y 0 + δ ). Ovo znači da ϕ ( y ) +, y y 0 (zapravo y y 0 ) i teorema.3.. je dokazana. Da smo umjesto pretpostavke ( ii ) u teoremi.3.. uzeli pretpostavku ( ii )' za svaki x ( x 0, x 0 + a) postoji konačan es ψ (x) = dobili bi, na sličan način, da vrijedi L = teoremi.3.. takođe zadovoljen. f (x, y), f (x, y). Pretpostavlja se, naravno, da je uslov ( i ) u Ako su pored uslova ( i ) zadovoljena oba uslova ( ii ) i ( ii )', onda dobijemo f (x, y) = f (x, y) = f (x, y), tj. L = L, 2 = L 2,. ( x, y) ( x0, y0) 20

Mi smo u teoremi.3.. razmatrali, ustvari, samo desne ese po x i y. Jasno je da sve ostaje da vrijedi i u osta slučajevima. Zapravo, lako se vidi da teorema.3.. ostaje da važi i kada se funkcija f (x, y) definirana na pravougaoniku Q zamijeni funkcijom f : D K, pri čemu je D R 2, (K, ρ) metrički prostor *), (x 0, y 0 ) R 2 tačka gomilanja skupa D, s tim da se uslov ( ii ) zamijeni uslovom: postoji okolina V( y 0 ) tačke y 0 takva da za svaki y V( y 0 ) postoji f (x, y) = ϕ ( y). Zaista, iz ( x, y) ( x0, y0) f (x, y) = L slijedi da za svaki ε > 0 postoji takav δ > 0 da 0 < x x 0 < δ, 0 < y y 0 <δ povlači ρ ( f (x, y), L) < ε. Fiksirajmo neki takav y i pretpostavimo pri tome da je δ dovoljno mali broj da je ujedno i y V( y 0 ). Prelazom na es x x 0 u ρ ( f (x, y), L) < ε i koristeći neprekidnost metričke funkcije ρ dobijemo ρ (ϕ ( y), L ) ε, što znači i da je ϕ ( y ) = L. Primjeri.3.. a) Neka je f funkcija iz R 2 xy u R definirana formulom f (x, y) : =. x + y Tada je njen prirodni domen D( f ) zadan sa D( f ) : = R 2 \{(0, 0)}. Iz f (0, y) = f (x, 0) za (x, y) (0, 0) 2 kx k slijedi f (x, y) = 0 i f (x, y) = 0. Međutim, iz f (x, y) = = x 0 y 0 y 0 x 0 x 0 x 0 2 y= kx x ( + k ) + k slijedi da dvojni es L : = f (x, y) ne postoji (jer zavisi od k, odnosno od načina približavanja tačke (x, y) ka (0, 0)). **) x 0 y 0 b) Za realnu funkciju f dviju realnih promjenljivih koja je definirana formulom f (x, y) = 4 4 x y = je f (x, y) =, f (x, y) =, tj. uzastopni esi postoje ali su različiti, 4 4 x + y x 0 y 0 y 0 x 0 pa ne može postojati dvojni es f (x, y). ( xy, ) (0,0) c) Neka je funkcija f : {(x, y) R 2 y 0} R definirana formulom f (x, y) = y + x sin y. Tada je ( xy, ) (0,0) f (x, y) = 0, jer vrijedi f (x, y) y + x sin y x + y 0 za D( f ) (x, y) (0, 0). Međutim, ne postoji uzastopni es f (x, y) ( = y 0 y 0 0 f (x, y) jer ne postoji već y x 0 ( y + x sin )) za x 0. Otuda slijedi da postojanje pravog (tj. dvojnog) y *) Pri tome treba voditi računa da u proizvoljnom metričkom prostoru ne mora da postoji relacija poretka, pa se u opštem slučaju ne definira pojam beskonačnosti (u takvim prostorima). To znači da se u takvim prostorima ne razmatraju beskonačne granične vrijednosti, a ni pojmovi monotone funkcije (i specijalno, monotonog niza), jer ti pojmovi u takvim prostorima nemaju smisla. **) Da ne postoji dvojni es (, ) (0,0) x xy + y xy možemo zaključiti i primjenom Heineove definicije esa. Naime, dovoljno je posmatrati nizove,0 n i, koji konvergiraju ka tački (0, 0) a nizovi vrijednosti n n f,0 n i f, ne konvergiraju ka istoj vrijednosti. n n 2

esa ( x, y) ( x0, y0) f (x, y) ne obezbjeđuje postojanje i jednakost uzastopnih esa. (Veza između uzastopnih i dvojnih esa funkcija više promjenljivih iskazana je teoremom.3.. i njenom posljedicom prema kojoj ako postoje uzastopni esi L, 2 i L 2, i dvojni es L funkcije f u nekoj tački gomilanja njenog domena, onda je L = L, 2 = L 2,.) Zadatak.3.. * Odredite (ili ustanovite da ne postoji) graničnu vrijednost : a) 2( x + y ) x y ; b) ( x + y ) sin ; c) ( x + y ) x y za svaki a R. x 0 cos( ) y 0 x + y x 0 xy ( x, y) ( α,0) y 0.4. Neprekidnost realne funkcije više realnih promjenljivih Definicija.4.. Za funkciju f : D R (D R n ) (.4.) kažemo da je neprekidna u tački x 0 D ako je a) tačka x 0 tačka gomilanja skupa D i ispunjen je jedan od sljedeća četiri ekvivalentna uslov *) : ) f (x) = f (x 0); 2) Za svaki ε > 0 postoji broj δ = δ (ε) > 0 takav ad je f (x) f (x 0 ) < ε za sve vrijednosti argumenta x za koje je d (x, x 0 ) < δ (d metrička funkcija u Euklidovom prostoru R n ); 3) Za proizvoljan niz (x n ), x n D za svaki n N, koji konvergira ka tački x 0 odgovarajući niz ( f (x n )) vrijednosti funkcije f konvergira ka f (x 0 ) za n ; 4) Za svaki ε > 0 postoji broj δ = δ (ε) > 0 takav da je f (K(x 0, δ )) ( f (x 0 ) ε, f (x 0 ) +ε ), ili b) tačka x 0 je izolovana tačka skupa D (domena od f ). Analogno, ako i u slučaju realne funkcije jedne realne promjenljive, lako se vidi da je definiciji.4. ekvivalentna sljedeća definicija pojma neprekidnosti realne funkcije više realnih promjenljivih: Definicija.4..' Neka je f : D K realna funkcija od n realnih promjenljivih. Za funkciju f kažemo da je neprekidna u tački x 0 D ako za svaku okolinu V tačke f (x 0 ) postoji okolina U tačke x 0 takva da je f (U ) V, tj. ako za svaki ε > 0 postoji takav δ > 0 da je f (x) f (x 0 ) < ε (*) za svaki x D za koji je **) d (x, x 0 ) < δ, gdje je d euklidska metrika u R n. Napomenimo da se definicija.4..' pojma neprekidnsoti realne funkcije od n realnih promjenljivih proširuje ***) i na pojam neprekidnosti proizvoljne funkcije f : D K, (D X, K Y ), pri čemu su (X, d ) i (Y, ρ) proizvoljno zadani metrički prostori. Definicija.4.2. Za funkciju f zadanu sa (.4.) kažemo da je neprekidna na skupu E ( D) ako je neprekidna u svakoj tački tog skupa. *) Ekvivalentnost ovih uslova provjerava se analogno kao i u slučaju neprekidnosti realnih funkcija jedne realne promjenljive. **) Umjesto za svaki x D za koji je d (x, x 0 ) < δ, gdje je d euklidska metrika u R n može se, ekvivalentno, iskazati za svaki x : = (x,..., x n ) D za koji je x i x i 0 < δ za i =,..., n, gdje je x 0 : = (x 0,..., x n 0 )( D). ***) S tim, da, jasno, u nejednakosti (*) umjesto izraza f (x) f (x 0 ) imamo izraz ρ ( f (x), f (x 0 )). 22

Teoreme o neprekidnim funkcijama jedne promjenljive prenose se i na funkcije više realnih promjenljivih, kao na primjer teorema o operacijama nad neprekidnim funkcijama, teorema o neprekidnosti složene funkcije, teoreme kojima su data lokalna svojstva neprekidnih funkcija itd. Takođe vrijedi i svojstvo da je svaka elementarna funkcija više realnih promjenljivih neprekidna gdje je i definirana. Za funkcije od n argumenata tačke prekida mogu imati različita svojstva, pa se pitanjem klasifikacije tačaka prekida nećemo ni baviti jer skup tačaka prekida može imati različitu strukturu. Tako, na primjer, tačke prekida mogu obrazovati linije ili površi, pa se nazivaju linijama ili površima prekida. Međutim, pojam tačke otklonjivog prekida i princip produženja po neprekidnsoti prenosi se sa funkcija jedne promjenljive na funkcije više promjenljivih. Pa neka je tačka x 0 funkcije f zadane izrazom (.4.) tačka gomilanja. Tada se tačka x 0 naziva singularnom tačkom funkcije f ako x 0 D. Imamo sljedeću klasifikaciju singularnih tačaka: ) Ako postoji konačan f (x), onda se tačka x 0 naziva singularnom tačkom funkcije f koja se može otkloniti. 2) Ako je f (x) = + (ili ), onda se tačka x 0 naziva polom funkcije f. 3) Ako granična vrijednost funkcije f u tački x 0 ne postoji, onda se singularna tačka x 0 naziva esencijalnim singularitetom funkcije f. Ako je x 0 singularna tačka funkcije f koja se može otkloniti, onda, analogno kao i u slučaju tačke prekida koja se može otloniti, postoji funkcija g : D { x 0 } R koja je neprekidna u tački x 0 a definirana je formulom: f ( x), x D, g(x) = f ( x), x = x0. Za skup E R n kažemo da je povezan (koneksan) ako proizvoljne dvije njegove tačke možemo spojiti linijom koja se cijela sadrži u skupu E. Definicija.4.3. Za skup E R n kažemo da je otvorena oblast (ili, kraće, oblast) ako je E otvoren povezan skup. Za skup E kažemo da je zatvorena oblast ako je E zatvoren povezan skup u (Euklidovom prostoru) R n. Važe sljedeće teoreme o globalnim svojstvima neprekidnih funkcija koje navodimo bez dokaza, jer se dokazuju analogno kao i za realne funkcije jedne realne promjenljive. Teorema.4.. (Prva Weierstrassova teorema). Ako je funkcija f : D R, D R n. (.4.2) neprekidna na zatvorenoj ograničenoj oblasti E ( D), onda je ona ograničena na toj oblasti. Teorema.4.2. (Druga Weierstrassova teorema). Ako je funkcija f, zadana sa (.4.2) neprekidna na zatvorenoj ograničenoj oblasti E ( D), onda postoji najmanje jedan par tačaka ξ,η E takvih da je f (ξ ) = sup { f (x)} i f (η ) = inf { f (x)}. x E x E Napomenimo da se može govoriti o neprekidnosti realne funkcije više realnih promjenljivih i samo po jednom broju njenih argumenata, tj. ako je ona neprekidna kao funkcija jednog broja argumenata za svaki dozvoljeni zadan skup vrijednosti njenih argumenata, tj. pri fiksiranim osta promjenljivim. 23

Specijalno, za funkciju f : D K (D R n, K R) se kaže da je neprekidna po promjenljivoj x i u tački x 0 = (x 0 0,..., x n ) D ako je ona neprekidna u tački x i, shvaćena kao funkcija od x i pri fiksiranim osta promjenljivim x j = x 0 j, j i. Lako se vidi, međutim, da funcija f može biti neprekidna po svakoj od promjenljivih ponaosob, ali da pri tom ne bude neprekidna u smislu definicije.4.. Naime, funkcija f : R 2 R definirana formulom xy f (x, y) = xy, ) x + y (0,0), 0, ( xy, ) = (0,0) je očito neprekidna i po promjenljivoj x i po promjenljivoj y u tački (0, 0) budući da je f (x,0) x 0 = f (0, y) = f (0, 0), ali nije neprekidna u (0, 0) jer ne postoji f (x, y) (v. primjer.3..a)) y 0 ( xy, ) (0,0) Definicija.4.4. Za funkciju f zadanu sa (.4.2) kažemo da je ravnomjerno (ili uniformno) neprekidna na oblasti E( D) ako za svaki ε > 0 postoji broj δ = δ (ε ) > 0 takav da je f (x) f ( y) < ε za sve x,y E za koje je d (x, y) < δ, gdje je d euklidska metrika u R n. Važe sljedeće teoreme koje navodimo bez dokaza, jer se dokazuju analogno kao i za funkcije jednog argumenta. Teorema.4.3. (Cantorov stav o ravnomjernoj neprekidnsoti funkcija više promjenljivih). Ako je funkcija f koja je zadana sa (.4.2) neprekidna na zatvorenoj ograničenoj oblasti E ( D), onda je ona ravnomjerno neprekidna na toj oblasti. Teorema.4.4. (Stav o međuvrijednosti funkcija više promjenljivih). Ako je funkcija f koja je zadana sa (.4.2) neprekidna na otvorenoj ili zatvorenoj oblasti E( D) i ako su a i b proizvoljni elementi skupa vrijednosti Im( f ), onda za proizvoljnu tačku c između a i b postoji bar jedna tačka ξ E takva da je f (ξ ) = c. Napomenimo da teoreme.4...4.3. vrijede i ako se izostavi svojstvo povezanosti skupa E, tj. ako je E zatvoren i ograničen skup u Euklidovom prostoru R n (ne nužno i povezan). y Primjer.4.. Ispitati ravnomjernu neprekidnost funkcije f iz R 2 u R zadane formulom f (x, y) = 2x x y 2y + arccos ec ( x + y -4x-6). Rješenje: Prirodni domen D( f ) funkcije f zadan je sa D( f ) = {(x, y) R 2 : 2x x 2 y 2 2y 0 x 2 + y 2 4x 6 } = = {(x, y) R 2 : (x ) 2 + ( y + ) 2 2}, tj. D( f ) je zatvoreni krug u ravni Oxy sa centrom u tački (, ) radijusa 2 (sl..4.). Budući da je D( f ) zatvorena i ograničena oblast i da je funkcija f neprekidna na toj oblasti (jer je f (x, y) = f (x 0, y 0 ) za svaki x : = (x, y) D( f ); neprekidnost funkcije f slijedi i iz očite ( x, y) ( x0, y0) 0 2 x 2 D( f ) Sl..4.. činjenice da je f elementarna funkcija pa je ona neprekidna gdje je i definirana), zaključujemo da je zadana funkcija f i ravnomjerno neprekidna na toj oblasti. 24

G L A V A 2 DIFERENCIJALNI RAČUN REALNIH FUNKCIJA DVIJU ILI VIŠE REALNIH PROMJENLJIVIH 2.. Parcijalni izvodi (parcijalne derivacije). Lagrangeova teorema za funkcije više promjenljivih U ovom paragrafu ćemo, u osnovnom tekstu, razmatrati funkcije dvije nezavisno promjenljive. Analogna razmatranja vrijede i za funkcije od tri ili više nezavisno promjenljivih. Neka je z = f (x, y) funkcija dvije nezavisno promjenljive i neka je D = D ( f ) R 2 njena oblast definiranosti. Odaberimo po volji tačku T 0 = (x 0, y 0 ) D i koordinati x 0 dajmo priraštaj Δx = x x 0, a koordinatu y 0 ostavimo nepromijenjenom. Pri tom funkcija f (x, y) će dobiti priraštaj (promjenu) Δ x z = Δ x f (x 0, y 0 ) : = f (x 0 + Δx, y 0 ) f (x 0, y 0 ) koji nazivamo parcijalni priraštaj funkcije z = f (x, y) po promjenljivoj x u tački T 0 = (x 0, y 0 ). Analogno definiramo parcijalni priraštaj funkcije z = f (x, y) po promjenljivoj y u tački T 0 = (x 0, y 0 ) formulom Δ y z = Δ y f (x 0, y 0 ) : = f (x 0, y 0 + Δy) f (x 0, y 0 ). Totalni (potpuni, ukupni) priraštaj funkcije z = f (x, y) u tački T 0 = (x 0, y 0 ) definiramo formulom Δz = Δ f (x 0, y 0 ) : = f (x 0 + Δx, y 0 + Δy) f (x 0, y 0 ) = f ( T ) f ( T 0 ), jer je Δx : = x x 0, Δy : = y y 0 i otuda x 0 + Δx = x, y 0 + Δy = y. Geometrijski tumačeni priraštaji Δ x z, Δ y z, Δz, redom, predstavljaju duži A B, A 2 B 2, A 3 B 3 (vidi sl. 2..). z B z = f (x, y) B 2 B 3 A A 3 Δ x z = AB Δ y z = A2B2 u T0 = ( x0, y0) D( f). Δ z = A3B3 A 2 y Δx (x 0 + Δx, y 0 + Δy) = (x, y) x T 0 = (x 0, y 0 ) Δy Sl. 2... Na primjer, ako je je z = xy 2 = f (x, y), T 0 = (, 2), Δx = 0,; Δy = 0,2, onda je Δ x z (T 0 ) = f (x 0 + Δx, y 0 ) = f (,; 2) f (, 2) = 0,4, Δ y z (T 0 ) = f (x 0, y 0 + Δy) = f (; 2,2) f (, 2) = 0,84, Δ z (T 0 ) = f (x 0 + Δx, y 0 + Δy) = f (, ; 2,2) f (, 2) =,324. 25

Ako je u = f (x, y, z) funkcija od tri nezavisno promjenljive, onda za nju definiramo parcijalne priraštaje Δ x u, Δ y u, Δ z u i totalni priraštaj Δ u (sve u datoj tački T 0 = (x 0, y 0, z 0 ) D(u)), redom formulama: Δ x u = f (x 0 + Δx, y 0, z 0 ) f (x 0, y 0, z 0 ), Δ y u = f (x 0, y 0 + Δy, z 0 ) f (x 0, y 0, z 0 ), Δ z u = f (x 0, y 0, z 0 + Δz) f (x 0, y 0, z 0 ), Δz = z z 0, Δ u = f (x 0 + Δx, y 0 + Δy, z 0 + Δz) f (x 0, y 0, z 0 ). Analogno se definiraju parcijalni priraštaji Δx i u, i {, 2,..., n}, funkcije u = f (x, x 2,..., x n ) od n nezavisno promjenljivih, kao i njen totalni priraštaj Δu (svi u zadanoj tački (0) (0) (0) T 0 = (x, x 2,..., x n ) D(u)). Parcijani izvod (preciznije: prvi parcijalni izvod ) funkcije z = f (x, y) u tački T 0 = (x 0, y 0 ) (zadanoj), T 0 D( f ), po promjenljivoj x definiramo formulom f ( x0 +Δx, y0) f( x0, y0) Δ z( T0) = x (2..) Δ x 0 Δx Δ x 0 Δx (ako postoji ova granična vrijednost) i označavamo ga bilo kojim od simbola: zt ( 0) f( T0) zx ( 0, y0) f( x0, y0) zx '( T0), fx '( T0), zx '( x0, y0), fx '( x0, y0),,,,. x x x x Parcijalni izvod funkcije z = f (x, y), u proizvoljnoj tački T = (x, y) D( f ), po promjenljivoj x, definiramo formulom f( x+δx, y) f( x, y) Δ z = x (2..)' Δ x 0 Δx Δ x 0 Δx i označavamo bilo kojim od simbola: z f zx ', fx ', zx '( x, y), fx '( x, y),,, zx '( T), fx '( T). x x Analogno je f( x0, y ( 0 +Δy) f( x0, y0) Δ zt0) = y (2..2) Δy 0 Δy Δy 0 Δy prvi parcijani izvod funkcije z = f (x, y) po promjenljivoj y u tački T 0 = (x 0, y 0 ) D( f ) i f( x, y+δy) f( x, y) Δ z = y (2..2)' Δy 0 Δy Δy 0 Δy prvi parcijalni izvod funkcije z = f (x, y) po y u proizvoljnoj tački T = (x, y) D( f ). Izvod (2..2) označavamo bilo kojim od simbola: zt ( 0) f( T0) zx ( 0, y0) f( x0, y0) zy ', fy '( T0), zy '( x0, y0), fy '( x0, y0),,,, ; y y y y a izvod (2..2)' označavamo bilo kojim od simbola: zxy (, ) f( xy, ) zt ( ) ft ( ) zy ', fy ', zy '( x, y), fy '( x, y),,,,. y y y y Parcijalne izvode funkcije tri ili više nezavisno promjenljivih definiramo i označavamo analogno. Na primjer, ako je u = f (x, y, z) funkcija od tri nezavisno promjenljive, onda se pracijalni izvod (preciznije: prvi parcijalni izvod) po x u tački T 0 = (x 0, y 0, z 0 ) D( f ) definira formulom f ( x0 +Δx, y0, z0) f( x0, y0, z0) Δ u( T0) = x Δ x 0 Δx Δ x 0 Δx i označava jednim od simbola: u( T ) f( T ) u( x, y, z ) f( x, y, z ) 0 0 0 0 0 0 0 0 u '( T ), f '( T ),,,,, u '( x, y, z ), f '( x, y, z ). x 0 x 0 x 0 0 0 x 0 0 0 x x x x 26

Dakle, parcijalni izvod funkcije od dvije ili više nezavisno promjenljivih po nekoj od tih promjenljivih definira se kao izvod funkcije jedne od tih promjenljivih (one po kojoj izračunavamo parcijalni izvod) uz uslov da sve ostale promjenljive ostaju postojane ( mirne ) dok izračunavamo taj izvod, tj. općenito imamo: Definicija 2... Neka je funkcija f (x) : = f (x,..., x n ); (x i R, i =,..., n) definirana u nekoj okolini tačke A : = (a,..., a n )( R n ). Posmatrajmo tu funkciju za zadane vrijednosti njenih argumenata: x = a, x 2 = a 2,..., x i = a i, x i + = a i +,..., x n = a n kao funkciju jednog argumenta x i (i =,..., n). Parcijalnim izvodom, odnosno parcijalnom derivacijom prvog reda funkcije f po argumentu x i u tački A naziva se konačan ili beskonačan izvod funkcije f (a, a 2,..., a i, x i, a i +,..., a n ) u tački a i. Ovaj izvod obilježavamo sa D i f (A) ili f ( A) ili fx '( ) x i A, pri čemu je i f ( a,..., ai, xi, ai+,..., an) f( a,..., ai, ai, ai+,..., an) fx i '( A ) =, x i = a i + Δ x i. xi ai x a fx i i i Vrijednost fx i '( A ), jasno, ovisi o tački A tako da ako je A promjenljiva tačka, onda izraz '( A ) definira određenu realnu funkciju od n realnih promjenljivih. U tom smislu neka je E * skup svih tačaka iz domena funkcije f u kojima postoji konačan parcijalni izvod f '. Tada je f '( x ), x E *, funkcija od n argumenata x,..., x n. Funkcija f ( x ), x i x i x E * naziva se parcijalnim izvodom (parcijalnom derivacijom) funkcije f po promjenljivoj x i. Definicija 2..2. Funkcija koja u nekoj oblasti ima neprekidne parcijalne izvode po svakom od svojih argumenata naziva se glatkom na toj oblasti. Zadaci 2... a) Izračunati parcijalne izvode funkcije z = x 2 + sin (x + y 2 ) u proizvoljnoj tački T = (x, y) D( f ). b) Izračunati u x ', u y ', u z ' u tački T = (x, y,z) D( f ), ako je u = f (x, y, z) = xy + ln(x y z). (Rješenje: u x ' = y + x y z, u y' = x x y z, u z' =.) x y z c) Ako je u = xy + sin 2 (z xt), izračunati u x ', u y ', u z ', u t ' u proizvoljnoj tački T = (x, y, z, t) R 4. Brzina rasta funkcije z = f (x, y) u dva osnovna smjera, u smjeru koordinatne osi Ox i Oy, oko tačke (x 0, y 0 ) je data parcijalnim izvodima funkcije f u tački (x 0, y 0 ). x Geometrijski interpretiran parcijalni izvod z x '(T 0 ), (T 0 = (x 0, y 0 ) D( f )), je koeficijent pravca (tg α) tangente na presječnu z krivu k P ( y = y 0 ) M 0 P površi P, čija je jednačina : z = f (x, y) z = f (x, y), i ravni y = y 0, k P ( y = y 0 ) u tački M 0 = (x 0, y 0, z 0 ), M 0 k, M 0 = (x 0, y 0, z 0 ), z 0 = f (x 0, y 0 ) z 0 = f (T 0 ) = f (x 0, y 0 ), u k : z = f (x, y 0 ) odnosu na pozitivan z x ' = f x ' smjer ose Ox (vidi sl. 0 y 2..2). T 0 = (x 0, y 0 ) Analogno geometrijsko značenje ima parcijalni izvod z y '(T 0 ), gdje je α T 0 = (x 0, y 0 ) D( f ). y = y 0 Sl. 2..2. x i 27

Primijetimo da su esi koji se pojavljuju u definiciji parcijalnih izvoda esi funkcije jedne promjenljive, a ne funkcija dviju ili više promjenljivih. No, zračunavanje parcijalnih izvoda po definiciji je dosta nepraktično, ali je ponekad nužno. Osnovne teoreme diferencijalnog računa realnih funkcija jedne realne promjenljive su : Fermatova, Rolleova, Lagrangeova, Cauchyjeva, L'Hospitalova i Taylorova (specijalno Maclaurinova); od kojih Lagrangeova, Cauchyjeva i Taylorova daju odgovarajuće korisne formule pod istim nazivima, pri čemu se Lagrangeova i Caucyjeva nazivaju formulama o srednjoj vrijednosti diferencijalnog računa, dok se Taylorova formula često naziva i Taylorov razvoj funkcije. Za funkcije dvije ili više promjenljivih formulišu se i dokazuju odgovarajući analogoni Lagrangeove i Taylorove teoreme (formula) i u određenom smislu Fermatove teoreme. Teorema 2... (Lagrangeova teorema). Ako funkcija f : D K (D R n, K R) u nekoj okolini U(A) tačke A = (a,..., a n ) ima izvod (konačan ili beskonačan) po svakom od svojih argumenata, tada za proizvoljnu tačku X = (x,..., x n ) U D (A) postoji bar jedan sistem (skup) tačaka X, X 2,..., X n takvih da je n i f (X) f (A) = f ' x ( X ) (x i a i ), i =,..., n, (2..3) i i= d (X i, A) < d (X, A), i =,..., n. Dokaz: (Podsjetimo se formulacije Lagrangeove teoreme za realnu funkciju jedne realne promjenljive: Ako funkcija f : [a, b] K ([a, b], K R) zadovoljava sljedeće uslove: ) f je neprekidna na segmentu [a, b]; 2) ako postoji (konačan ili beskonačan) izvod f '(x) za svaki x iz intervala (a, b), onda postoji bar jedna tačka ξ iz (a, b) takva da je f( b) f ( a) = b a f '( ξ ).) Bez umanjenja opštosti, pretpostavimo da je funkcija f funkcija od tri nezavisno promjenljive x,y,z i da je A = (a, b, c). Priraštaj ove funkcije možemo napisati u obliku: f (x, y, z) f (a, b, c) = [ f (x, y, z) f (a, y, z)] + [ f (a, y, z) f (a, b, z)] + [ f (a, b, z) f (a, b, c)]. (2..4) Očigledno, funkcija koja se pojavljuje u svakoj od zagrada u (2..4) je neprekidna, kao funkcija jedne promjenljive, na segmentu sa krajevima a, x ; b, y ; c, z i unutar tih segmenata ima konačan ili beskonačan izvod. Prema Lagrangeovoj teoremi za realnu funkciju jedne realne promjenljive imamo da je: a) f (x, y, z) f (a, y, z) = f x ' (ξ, y, z) (x a), pri čemu je ξ tačka zadana formulom ξ = a + θ ( x a), (0 < θ < ), a rastojanje tačke X = (ξ, y, z) od tačke A = (a, b, c) je 2 ( ξ ) [ θ ] d( X, A) = a + ( y b) + ( z c) = ( x a) + ( y b) + ( z c) < 2 ( ) 2 < x a + ( y b) + ( z c) = d( X, A), gdje je X = ( x, y, z). b) f (a, y, z) f (a, b, z) = f y ' (a, ξ 2, z) ( y b), gdje je ξ 2 = b + θ 2 ( y b), (0 < θ 2 < ). Za tačku X 2 : = (a, ξ 2, z) važi relacija 2 ( ) ξ [ θ ] 2 d( X, A) = a a + ( b) + ( z c) = ( y b) + ( z c) < ( y b) + ( z c) d( X, A) za X = (x,y,z). c) f (a, b, z) f (a, b, c) = f z ' (a, b, ξ 3 ) ( z c), pri čemu je ξ 3 = c + θ 3 ( z c ), (0 < θ 3 < ). Tačka X 3 = (a, b,ξ 3 ) zadovoljava relaciju 2 ( ) ξ [ θ ] 3 d( X, A) = a a + ( b b) + ( 3 c) = 3( z c) < ( z c) d( X, A), za X = (x,y,z). Iz jednakosti (2..4) i dobijenih jednakosti pod a), b) i c) slijedi da je zadovoljena jednakost (2..3), tj. 2 3 f (x, y, z) f (a, b, c) = f ' x( X ) ( x a) + f ' y( X ) ( y b) + f ' z( X ) ( z c). Time je dokaz teoreme 2... završen. 28

Treba voditi računa da u definiciji izvoda realne funkcije jedne realne promjenljive i parcijalnih izvoda realnih funkcija više realnih y promjenljivih, neki autori pretpostavljaju da je funkcija u toj tački neprekidna, tako da prema njima, npr. za funkciju f (x) = sgn x (sl. 2..3.) nema smisla tražiti izvod ove funkcije u tački 0 jer u toj tački ona ima prekid prve vrste, dok drugi autori ne zahtijevaju da je funkcija neprekidna u toj tački, tako da u skladu s tim za funkciju f (x) = sgn x u x tački 0 imamo, x > 0 sgn x = 0, x = 0 f( x) f(0) sgnx x 0+ x, x < 0 f '(0) = = = = +. x 0 x 0 x 0 x Sl. 2..3. x 0 x No, znamo da bi realna funkcija jedne realne promjenljive bila diferencijabilna u nekoj tački potrebno je i dovoljno da u toj tački ima konačan izvod, pa funkcija f (x) = sgn x nije diferencijabilna u tački 0 jer u tački 0 ima beskonačan izvod. Primjenom Lagrangeove teoreme za realne funkcije više realnih promjenljivih lako se dokazuje da važe sljedeće teoreme. Teorema 2..2. Ako funkcija f više promjenljivih ima ograničene (prve) parcijalne izvode po svakom od argumenata u nekoj oblasti D, onda je ona neprekidna u toj oblasti. Teorema 2..3. Ako funkcija f više promjenljivih na oblsati D ima parcijalne izvode po svim argumentima jednake nuli, onda je funkcija f konstantna na toj oblasti. Posljedica 2... Ako funkcija f na oblasti D ima parcijalne izvode jednake nuli po jednom broju argumenata, onda u dovoljno maloj okolini svake tačke u oblasti D posmatrana funkcija je konstantna u odnosu na te argumente. 2.2. Diferencijabilnost i totalni diferencijal funkcija više promjenljivih U diferencijalnom računu realnih funkcija jedne promjenljive se kaže da je funkcija y = f (x) (jedne nezavisno promjenljive x) diferencijabilna u x 0 D( f ) akko priraštaj Δy (x 0 ) = Δ f (x 0 ) def. = = f (x 0 + Δx) f (x 0 ) je moguće napisati u obliku Δ f (x 0 ) = L(x 0 ) + o(δx), (Δx 0) i da je za to potreban i dovoljan uslov A(x 0 ) = f '(x 0 ). Analogna je situacija i u slučaju realne funkcije od dvije ili više nezavisno promjenljivih. Preciznije: Za funkciju z = f (x, y) kažemo da je diferencijabilna u tački A = (a, b) D( f ) akko je njen totalni priraštaj u A moguće napisati u obliku Δz(A) = p (A) Δx + p 2 (A) Δy + α Δx + β Δy, (2.2.) gdje su p = p (A), p 2 = p 2 (A) neke realne konstante koje zavise od A i α = α (Δx, Δy) 0, kada (Δx, Δy) (0, 0), β = β (Δx, Δy) 0, kada (Δx, Δy) (0, 0). Uslov (2.2.) je ekvivalentan sa uslovom Δz(A) = f (x, y) f (a, b) = p (A) Δx + p 2 (A) Δy + o (ρ ), ρ def. = ( x) ( y) Δ + Δ. (2.2.)' α Δx β Δy Stvarno, α Δx + β Δy = + ρ = ε ρ = o( ρ), kada (Δx, Δy) (0, 0) (uočimo da ρ ρ Δx Δy (Δx, Δy) (0, 0) akko ρ 0), jer je,, ε = 0. ρ ρ ρ 0 29

Izraz p (A) Δx + p 2 (A) Δy, (2.2.2) koji je linearan u odnosu na Δx i Δy, nazivamo glavni dio priraštaja funckije z = f (x, y) u A, jer je α Δx + β Δy = o(ρ ) beskonačno mala funkcija (skraćeno b.m.f.) višeg reda od b.m.f. ρ = ( x) ( y) Δ + Δ, pri (Δx, Δy) (0, 0). Na isti način možemo definirati pojam diferencijabilnosti i za realnu funkciju f = f (x,..., x n ) od n realnih promjenljivih. No, taj pojam možemo ekvivalentno uvesti i ovom definicijom: Definicija 2.2.. Za funkciju f definiranu u okolini tačke A : = (a,..., a n ) R n kažemo da je diferencijabilna u tački A ako se njen totalni priraštaj f (X ) f (A) može predstaviti u obliku f (X ) f (A) = L(X ) + ω (X ) d (X, A), (2.2.3) gdje je L(X ) linearna funkcija po X, X = (x,..., x n ) R n i jednaka nuli u tački A, a ω (X ) neprekidna funkcija u tački A i jednaka nuli u toj tački, tj. ω( X) = ω( A) = 0. X A Linearna funkcija L(X) naziva se diferencijalom ili totalnim diferencijalom funkcije f u tački A i obično se obilježava sa d f (X, A), d f (A, X), d f (A ; X), d f (A; X A). Ako je f : D K (D R n, K R), gdje je D otvoren skup u Euklidovom n - dimenzionalnom prostoru R n i ako je a : = (a,..., a n ) fiksna tačka iz D, onda za h : = (h,..., h n ) R n za koje je h = h +... + hn dovoljno malo, tako da x = a + h D imamo da je L iz (2.2.3) zadan izrazom L(h) = L h +...+ L n h n, pa se diferencijal d f (a; x) može shvatiti kao linearna funkcija zadana sa h L h +...+ L n h n, tj. kao funkcija d f (a)(h) = L h +...+ L n h n, pa je, dakle, priraštaj iz (2.2.3) zadan izrazom Δ f (a ; h) = f (a + h) f (a) = L h +...+ L n h n + o(h) = d f (a)(h) + o(h), kada h 0 ( h je norma vektora h u R n ), oh ( ) f ( x) f( a) = L( x) + ω( x) d( x, a), = 0. h 0 h Δf ( a; x) df ( a; x) Iz definicije pojma diferencijala funkcije f više promjenljivih u tački a D( f ) slijedi da je diferencijabilna funkcija f u tački a i neprekidna u toj tački, jer iz jednakost (2.2.3) slijedi da je f( x) f( a) = L( x) + ω( x) d( x, a) = 0 f (x) = f (a) f neprekidna u tački a. [ ] [ ] x a x a Važi sljedeća teorema koju navodimo bez dokaza: Teorema 2.2.. Ako je funkcija ω (x) neprekidna u tački a : = (a,..., a n ) i ω (a) = 0, onda se proizvod ω (x) d (x, a), gdje je x : = (x,..., x n ) može predstaviti u obliku n ω (x) d (x, a)= ωi( x)( xi ai), i= x a gdje su ω i (x) za i =, n neprekidne funkcije u tački a i jednake nuli u toj tački, tj. Važi i obrnuto. ω i (x) = ω i (a) = 0. x a Posljedica 2.2.. Ekvivalentna jednakost jednakosti (2.2.3) u definiciji pojma diferencijabilnosti funkcije f u tački a je jednakost n f (x) f (a) = L(x) + ωi( x)( xi ai). (2.2.4) i= 30

Teorema 2.2.2. (Potreban uslov diferencijabilnosti). Neka je funkcija f : D K (D R n, K R) diferencijabilna u tački A D. Tada u toj tački funkcija f ima konačan izvod po svakom od svojih argumenata i njen totalni diferencijal u toj tački je dat sa n d f (A, X ) = fx '( A)( x ) i i ai, gdje je X = (x,..., x n ) D, A = (a,..., a n ). i= Dokaz: Bez umanjenja opštosti, pretpostavimo da je funkcija f funkcija tri promjenljive x, y, z i da je diferencijabilna u tački A = (a, b, c). Tada iz jednakosti f (x, y, z) f (a, b, c) = p (x a) + p 2 ( y b) + p 3 (z c) + ω (X ) d (X, A), (X = (x,..., x n )), ( p, p 2, p 3 R) za y = b i z = c dobijemo da je 2 f (x, b, c) f (a, b, c) = p (x a) + ω (x, b, c) ( x a) + ( b b) + ( c c), odakle je f (x, b, c) f (a, b, c) = p (x a) + ω (x, b, c) x a = p (x a) + ω (x, b, c) (x a) sgn (x a), tj. f( xbc,, ) f( abc,, ) = p + sgn( x a) ω( x, b, c). x a Prelaskom na graničnu vrijednost kad x a dobijemo: f( xbc,, ) f( abc,, ) = p + sgn( x a) ω( x, b, c) = p, x a x a x a ( sgn( x a) ne postoji, ali je sgn t ograničena funkcija; ω( xbc,, ) = 0 ). x a x a Dakle, dobili smo da je f x '(a, b,c) = p. Na isti način se dokazuje da je f y '(a, b,c) = p 2 i f z '(a, b,c) = p 3. Time je dokaz teoreme 2.2.2. završen. Napomenimo da za funkcije jedne promjenljive vrijedi potreban i dovoljan uslov diferencijabilnosti koji glasi: Da bi realna funkcija jedne realne promjenljive bila diferencijabilna u nekoj tački, potrebno je i dovoljno da ona ima konačan (prvi) izvod u toj tački. Međutim, ovakav analogon za funkciju dviju ili više realnih promjenljivih ne važi. Za realnu funkciju n realnih promjenljivih (n N\{}) iz egzistencije konačnih izvoda po svakom od argumenata funkcije f ne slijedi njena diferencijabilnost u toj tački, što i predstavlja jednu od bitnih razlika diferencijalnog računa realne funkcije n realnih promjenljivih u odnosu na diferencijalni račun realne funkcije jedne realne promjenljive. Teorema 2.2.3. (Dovoljan uslov diferencijabilnosti). Da bi funkcija f : D K (D R n, K R), zadana formulom f (x) = f (x,..., x n ) bila diferencijabilna u tački a = (a,..., a n ) D dovoljno je da ona ima parcijane izvode u nekoj okolini U(a) tačke a, koji su neprekidne funkcije u tački a. Dokaz: Možemo pretpostaviti da je okolina U(a) kugla K(a, ε) (a središte, ε - radijus). Neka je h takav da je h < ε. Tada je priraštaj dat izrazom f (a + h) f (a) = f (a + h,..., a n + h n ) f (a,..., a n ) = = [ f (a + h,..., a n + h n ) f (a, a 2 + h 2,..., a n + h n )] + [ f (a, a 2 + h 2,..., a n + h n ) f (a, a 2, a 3 + h 3,..., a n + h n )] +... + [ f (a, a 2,..., a n, a n + h n ) f (a,..., a n ) ]. Svaka od dobijenih razlika predstavlja priraštaj na odgovarajućem odsječku neke funkcije od jedne promjenljive (određene funkcije) koja na tom odsječku zadovoljava uslove Lagrangeove teoreme o srednjoj vrijednosti izvoda. Zato se priraštaj f (a + h) f (a) dalje može predstaviti u obliku 3

f (a + h) f (a) = f f f a + θ h a2 + h2 a + h h + a a 2 + θ2 h2 a + h h2 + + a a a + θ h x x x (,,..., ) (,,..., )... (,...,, ), n n n n n n n n ξ 2 n ξ2 gdje je 0 < θ i < za i =,..., n. Zbog pretpostavljene neprekidnosti parcijalnih izvoda kombinacije može se napisati u obliku Otuda dobijemo da je priraštaj pri čemu je f x n n n i ihi i i i=! i=! h i= i f x i u tački a, svaki od koeficijenata posljednje linearne (a) + α i, gdje α i 0 ( h 0 = = (0,..., 0)), (i =,..., n). n n f f (a + h) f (a) = h + α h, h α α α 0 h i i i i= xi i=! (h (0,..., 0)). Otuda slijedi da je funkcija f diferencijabilna u tački a i dokaz teoreme 2.2.3. je završen. Primjer 2.2.. Neka je zadana realna funkcija f dvije realne promjenljive formulom: 3 3 f (x, y) = 3 x + y. Ispitajmo da li je zadana funkcija f diferencijabilna u tački (, ). Zadana funkcija f je definirana u tački (, ), ali i u proizvoljnoj okolini te tačke. Očito je a zbog simetrije imamo i da je Otuda je 3 3 3 2 x 3 3 3 2 f = ( x + y ) 3 x = x 3 ( x + y ) 2 f y = y 3 ( x + y ) 3 3 2, ( (x, y) R 2, x 3 + y 3 0), ( (x, y) R 2, x 3 + y 3 0). f(,) f(,) = =. 3 x 4 y Jedan od potrebnih uslova za diferencijabilnost u ovom slučaju je ispunjen jer funkcija f ima konačne parcijalne izvode u tački (,). Primijenit ćemo teoremu o dovoljnom uslovu za diferencijabilnost i ako je on ispunjen, onda je funkcija f diferencijabilna u tački (,). Kako je f( x, y) x f( x, y) y = : = ϕ( x, y), = : = ϕ2( x, y), x 3 3 3 2 3 3 3 2 ( x + y ) y ( x + y ) funkcije ϕ, ϕ 2 su elementarne pa su neprekidne gdje su i definirane, odakle slijedi da su neprekidne i u tački A = (,). Prema tome, data funkcija f zadovoljava pretpostavke teoreme o dovoljnim uslovima za diferencijabilnost funkcije dviju ili više realnih promjenljivih u tački (,), pa je zadana funkcija f diferencijabilna u tački (, ). Primjer 2.2.2. Neka je funkcija f = f (x, y) zadana formulom 2xy x y f( x, y) = x + y Ispitajmo diferencijabilnost zadane funkcije., (, ) (0,0), 0, ( x, y) = (0, 0). 32

Rješenje: Da bi funkcija f bila diferencijabilna u nekoj tački potrebno je da je ona u toj tački neprekidna i da ima konačne parcijalne izvode po svakom od svojih argumenata. Ispitajmo da li data funkcija f zadovoljava navedene uslove. Kako je očito 2xy 2ab D ( f ) = R 2, f (x, y) = x a x a = = f (a, b) za sve (a, b) R 2 \ {(0,0)}, x + y a + b y b y b to je zadana funkcija f neprekidna na D ( f )\{(0,0)} (neprekidnost funkcije f slijedi i iz činjenice da je njena rastrikcija 2xy g = f R 2 \ {(0,0)}, g (x, y) = ( (x, y) (0, 0)) x + y elementarna funkcija, pa je neprekidna gdje je i definirana, tj. neprekidna je za sve (x, y) R 2 \ {(0,0)}, pa je i funkcija f neprekidna u tim tačkama. Ostaje da se ispita da li je zadana funkcija f neprekidna i u tački (0, 0). Funkcija f nije elementarna, pa ne možemo reći da je neprekidna tamo gdje je i definirana. Kako je tačka (0, 0) tačka gomilanja (pripada domenu funkcije f ), a nije izolovana tačka domena D( f ), to će funkcija f biti neprekidna i u tački (0, 0) ako vrijedi uslov f( x, y) = f(0,0) = 0. x 0 y 0 Međutim, očito ( xy, ) (0,0) f ( xy, ) ne postoji, jer je 2xy 2k f ( x, y) = = = L( k) 2 x + y + k x 0 x 0 y kx y kx Dakle, zadana funkcija f u tački (0,0) ima esencijalni prekid i ona nije diferencijabilna u toj tački jer nije neprekidna u toj tački. No, primijetimo da je ispunjen drugi potreban uslov. f (0,0) f(0 + Δx,0) f(0, 0) f(0,0) = = 0, = 0, x Δx 0 Δx y iako funkcija f nije diferencijabilna, pa čak ni neprekidna u tački (0,0). Takođe primijetimo da su parcijalni izvodi nužno prekidni u tački (0,0), jer bi u protivnom funkcija f bila diferencijabilna u tački (0,0). Postoje i parcijalni diferencijali funkcije f u tački (0,0), ali njihova suma nije totalni diferencijal funkcije f u tački (0,0). Za funkciju dvije ili više nezavisno promjenljivih kažemo da je neprekidno diferencijabilna na skupu M akko ona ima parcijalne izvode koji su neprekidne funkcije na skupu M. Npr., z = f (x, y) = = (x 2 + y) e xy je neprekidno diferencijabilna funkcija u svakoj tački T = (x, y) R 2, jer su njeni parcijalni izvodi f x '(x, y) = (x 2 y + y 2 + 2x) e xy, f y ' = (x 3 + xy + ) e xy neprekidne funkcije u proizvoljnoj tački (x, y) D( f ). Neka je z = f (x, y) diferencijabilna funkcija u T 0 = (x 0, y 0 ). Tada, prema teoremi o potrebnom uslovu diferencijabilnosti, glavni dio f x '(T 0 )Δx + f y '(T 0 )Δy njenog totalnog priraštaja Δz(T 0 ) = Δ f (T 0 ) = f x '(T 0 )Δx + f y '(T 0 )Δy + α Δx + βδy predstavlja totalni diferencijal df (T 0 ) funkcije z = f (x, y) u tački T 0. Dakle, df (T 0 ) = f x '(T 0 )Δx + f y '(T 0 )Δy. Priraštaje Δx i Δy nezavisno promjenljive x i y često označavamo (redom) sa dx, dy i nazivamo diferencijaa nezavisno promjenljivih. Otuda, imamo df (T 0 ) : = f x '(T 0 ) dx + f y '(T 0 ) dy. 33

Veličine f x '(T 0 ) dx, f y '(T 0 ) dy nazivamo parcijalnim diferencijaa (redom, po x, odnosno po y) funkcije z = f (x, y) u T 0 i redom ih označavamo sa d x f (T 0 ), d y f (T 0 ) (odnosno: d x z (T 0 ), d y z (T 0 )). Ako umjesto tačke T 0 = (x 0, y 0 ) uzmemo proizvoljnu tačku T = (x, y) D ( f ), onda tu tačku dogovorno ne pišemo (iz praktičnih razloga). Tada imamo: df = f x ' dx + f y ' dy, odnosno dz = z x ' dx + z y ' dy, odnosno dz = d x z + d y z. Gornja definicija parcijalnih diferencijala funckije z = f (x, y) se lako uopštava na slučaj funkcije od n (n 3) nezavisnih promjenljivih. Zadatak 2.2. *. Odredite (ili ustanovite da ne postoji) graničnu vrijednost ( x + y ) cos. x 0 xy y 0... I.. II. 0. III.. IV. Ne postoji. Zadatak 2.2.2 * cos ( x 2 + y 2 ). Nađite graničnu vrijednost. x 0 y 0 x y ( x + y )... I. 0. II.. III. +. IV. 2. x sin + y Zadatak 2.2.3 *. Odredite (ili ustanovite da ne postoji) graničnu vrijednost x. x 0 x + y y 0... I.. II. 0. III.. IV. Ne postoji. Zadatak 2.2.4 *. Neka je zadana realna funkcija f od dvije realne promjenljive formulom: 3 f (x, y) = m x + y 3 ( m > 0). a) Odredite prirodni domen Dom( f ) i ispitajte neprekidnost zadane funkcije f. b) Izračunajte parcijalne izvode prvog i drugog reda funkcije f. c) Ispitajte diferencijabilnost zadane funkcije f. * Zadatak sa ispita i/ili je bio zadan za domaću zadaću (DZ) iz IM2 (u prethodnim akademskim godinama). 34