5..04 u Fig..83.5..3. Elemeul de îârziere de ordiul doi, Elemeul de îârziere de ordiul doi coţie douǎ elemee cumulore de eergie su subsţǎ. Peru elemeul de ordi doi ecuţi difereţilǎ se oe scrie î mi mule forme, c de exemlu () () ()+ ()+ 0 () b0u(), 0, > 0,b0, b0, + k 0 0 0 (.565) 0 () () ()+( + ) ()+ () k u () (.567) () +, () ()+ ()+ () k u(). (.569), su cosele de im, k ese fcorul de mlificre, ω - ulsţi urlǎ, ξ - fcorul de morizre. Fucţi de rsfer elemeului ese H(s) k s +( + ) s+ k s + s+. (.570) Ecui crcerisic si rǎdǎciile ei su:
5..04 s + s+ 0 ; s +(+ s, (- - ) su s, -, ) s+0 (.57) Î fucţie de vlore fcorului de morizre ξ se disig ru czuri ) elemeul eriodic: ξ >. - ; s -, > >0. s h( ) L H ( s) L s k e e h(0 ) 0; h () ( ) k (0) k ( 3 ) s k ; lim h() 0. Rǎsusul l imuls re exresi (.574) Rǎsusul l imuls ese rereze î fig..85. h() h() Fig..85 Rǎsusul idicil se obţie cu relţi (.575) si ese rereze grfic i fig..85
5..04 w() L - H(s) L s - k - - k s s +( + )s + - e + - - e () (.575) ) elemeul eriodic criic: ξ. s - -, s h() L w( 0 ) 0,w - + { H(s) } L w() L >0. ( h(0 ) 0, h - k + () (0 ) 0 ; lim w() k. - + () k s+ ) k (0+ ) H(s) L s - - + k e. e - (). () k s ( s+ ) - () w( 0+ )0,w (0+ )0 ; lim w() k. 3) Elemeul oscil: 0 < ξ <. s, - j -. h() L k - k - w() L { H(s) } L - - { e H(s) s - } L - - e si - - si s ( s k s + s+ - (). k + s+ ) - + rcg - (). Pucele de exrem reliv le fucţiei (.584) u bscisele si ordoele: 3
5..04 Fig..86 l,l 0,,,... - l - + l k e w( l ) - - l k e,l,3,5,...,l 0,,4..587) Vlore mximǎ rǎsusului se obţie eru l w( ) k +e - wm mx - - s e mx - - s Deorece î regim sţior w() () s k, se deermiǎ surreglre rǎsusului idicil, coform relţiei (.456) - mx s - e (.589) - s Se defieşe decremeul oscilţiilor λ c fiid rorul mliudiilor douǎ ulsuri de ceişi sem le regimului rzioriu. w ( ) l+ - e -, l. (.590) w ( ) l- Di relţi (.590) se oe deermi fcorul de morizre ξ l 4 + l Se u i evide douǎ regimuri limiǎ: (.59) 4
5..04 eru ξ 0, λ, oscilţiile u se morizezǎ şi di (.584) rezulǎ u regim oscil w() k ( - ), 0 cos (.59) - eru ξ, se obţie regimul eriodic criic: w() d de (.578) Dur regimului rzioriu, coform relţiilor (.458) - (.46), eru o bere Δ 0.0k 0.0w, rezulǎ cǎ ese dǎ de relţi 4 4 ; w()- w() <0,0k,( ). 4) Elemeul coserviv, ξ 0. (.593) Peru ξ 0 rǎdǎciile ecuţiei crcerisice su ur imgire s j. (.594), Rǎsusul l imuls se obţie di (.580) eru ξ 0 h() k si ( ) () (.595) Rǎsusul idicil ese d de ecuţi (.59). Fucţiile h() şi w() eru ξ 0 su oscilţii emorize, cu ulsţi eglǎ cu ulsţi urlǎ ω. Peru 0 ξ < elemeul u mi oe fi descomus î elemee de ordiul uu ( ) coiuid el îsuşi u eleme i. Î fig..88.,b. se reziǎ rǎsusul l imuls h() reseciv rǎsusul idicil w() le elemeului eru ξ ε [0,]. Rǎsusul l frecveţǎ l elemeului se obţie îlocuid s jω î fucţi de rsfer. k k H(j ) ; - + j - + j Exresiile eru crcerisicile de frecveţǎ su: (.596) 5
5..04 H H k ( - ) k (- ) R( ) ( - ) + 4 (- ) + 4 3 - k - k ) ( - ) + 4 (- ) + 4 I ( (.598) (.599) M( ) k ( - ) + 4 k (- ) + 4 (.600) ( ) - rcg - rcg - - (.60) Crcerisic H R (ω) rezeǎ î fig..89, dmie u mxim, eru ξ < /, de coordoe k - ; H R ( ) mx 4 - (.60) ir eru orice ξ 0 dmie u miim de coordoe k + ; H R ( ) - mi 4 + (.603) Crcerisic H I (ω) rezeǎ î fig..89 ese egivǎ şi re u miim de bscisǎ 4 - + - + 3, < 3 < (.604) 3 Fig..89 6
5..04 Crcerisic M(ω), fig..90, eru ξ < /, re u mxim, de coordoe (r,mr), cre evideiz u feome de rezo k r - ; M mx ( ) M r M( r ) - (.605) Pulsţi de rezoţǎ rezulǎ di relţi (.605) r r - < Se defieşe fcorul de rezoţǎ Q, Fig..90 M( r ) M mx ( ) Q M(0) M(0) - (.607) Crcerisicile M(ω) şi φ(ω) su rezee î fig..90. Peru locul de rsfer l elemeului se uilizezǎ o rerezere grficǎ dimesiolǎ, fig..9; eru k si diferie vlori le fcorului de morizre ξ, eru ulsţi ormǎ η (0, + ) se rsezǎ Fig..9 7
5..04 Crcerisic eure-frecveţǎ ese dǎ de relţi AdB( ) 0 lg M( ) 0 lg 0 lg k - 0 lg (- ) + 4 (.608) k (-) + 4 Crcerisic re simoele, ele AdB( AdB( ) 0 lg k ) 0 lg k eru» - 0 lg 0 lg k - 40 lg - 40 lg m 0 0 db/dec; m m 0-40 db/dec - 40 db/dec Pulsţi de frâgere, eru cre cele douǎ simoe se iersecezǎ ese f, Asimoele crcerisicii fzǎ - frecveţǎ se obţi di relţi (.60) ( ) 0 eru» ; ( ) - eru «(.6) L ulsţi de frâgere η, fz re vlore - π/. - π/. - π/. Fig..9 - π 8
5..04 Exemle de elemee :. Moorul de cure coiuu. Ecuţiile de fuciore moorului su d i u - k R i + L d (.56) d mm k i J. d Elimiâd cureul i di ecuţiile (.66) şi oâd () ω() şi u() u se obţie ecuţi L J k () R J ()+ k () ()+ k Se iroduc oţiile () u() m () ()+ R L () k k () k ()+ u() L J L J JR L kk ; ; ; k k R L J m R J ; k k k L k m (.68) (.69) ude m ese cos de im elecromecicǎ moorului; ese cos de im circuiului rooric. Ecuţi (.68) devie () ()+ () ()+ () k u() (.60) Peru ξ, m 4, rǎdǎciile ecuţiei crcerisice le ecuţiei (.60) su rele egive, deci moorul de cure coiuu ese u eleme eriodic; eru ξ <, m < 4, moorul de cure coiuu ese u eleme oscil. 3) Fie sisemul hidrulic reze î fig..93 form di douǎ rezervore lege î serie rir-o reziseţǎ hidrulicǎ. Se resuue cǎ ri robieele V 0, V, V curgere ese lmirǎ, ir reziseţele hidrulice le cesor robiee su R 0, R, R. 9
5..04 Fig..93 Ecuţiile de echilibru de msǎ eru cele douǎ rezervore su A d h( q - q ) d gh gh q ; q3 A d h ( q - q ) d R R 3 (.6) Elimiâd vribilele iermedire se obţie ecuţi geerlǎ smblului celor rezervore vâd c mǎrime de ieşire ivelul h (), deci () h () şi c mǎrime de irre debiul q ; deci u() q (). R g A R g A ()+ R g A + R g A () () () () ()+( + ) ()+ () k ()+ () R u(). g u() (.63) (.65) A R A R >0 >0 ; R ; k >0 g g g Rǎdǎciile ecuţiei crcerisice socie ecuţiei (.65) su rele, disice, egive şi, deci, smblul celor douǎ rezervore se comorǎ c u eleme eriodic. 0
5..04.5..6. Elemeul rece-o Ese u eleme descris de o ecuţie difereţilǎ de form () ()+ () - u () ()+ u() (.654) reseciv de fucţi de rsfer H(s) - s+ s+ Rǎsusurile l imuls si idicil su - - h() L { H(s)} L - + s + - -()+ e (),h(0+ ),h(+ ) 0 (.655) (.656) - H(s) - w() - - L L - e s s s + w( 0 ) -,w(+ ). + (), (.657) Acese rǎsusuri su rerezee grfic î fig..0. Fig..0 Peru s jω di (.655) se obţie rǎsusul l frecveţǎ - j + - - j - - j H(j ), j + + + (.658)
5..04 Crcerisicile de frecveţǎ u exresiile - - H R( ) ; + + - - I ( ) H + + (.659) M( ); ( ) - rcg - rcg. - - Dcǎ se elimiǎ η îre H R (ω) şi H I (ω) di (.659) se obţie ecuţi locului de rsfer H R ( )+ H ( ) I η ω (.66) cre ese u cerc cu cerul î origie lului H R (ω), jh I (ω) şi de rzǎ uirǎ, fig..0. Elemeul rece-o ermie recere uiformǎ uuror frecveţelor cu iroducere uor defzje fucţie de frecveţǎ. Di ces moiv se mi umeşe şi eleme defzor ur. Fig..0 Exemle de siseme fizice cre se comorǎ c u eleme rece- o. ) Se cosiderǎ u ermomeru cu mercur. L o creşere bruscǎ emerurii mediului exerior (cre cosiuie mǎrime de irre), re loc mi îâi dilre ubului de siclǎ, cee ce roduce iiţil o scǎdere ivelului mercurului. Aoi e mǎsurǎ ce mercurul se îcǎlzeşe, ivelul cesui creşe, urmǎrid creşere emerurii.
5..04.5..7. Elemee de fzǎ miimǎ şi emiimǎ Se ue îrebre î ce codiţii îre M(ω) şi φ(ω) exisǎ o relţie bie deermiǎ, sfel c sisemul sǎ oǎ fi crceriz umi de u di cese douǎ crcerisici de frecveţǎ. Fie rǎsusul l frecveţǎ uui sisem dimic H(j ) H ( )+ j H ( ). (.66) R I Dcǎ H(s) ese o fucţie de rsfer cre re oli şi zerouri umi î Re s < 0, uci su verifice rsformele Hilber H I ( ) - - H R( ) - H R( ) d - rsformre direc - H I ( ) d - rsformre ivers - (.663) î cre ω ese ulsţi î [rd/s] Di exresi rǎsusului l frecveţǎ, scrisǎ sub form olrǎ rezulǎ j ( ) H(j ) M( )e (.664) j ( ) H l(j ) l H(j ) l M( )e l M( )+ j ( ) A( )+ j ( ); A( ) l M( ) (.665) A(ω) se umeşe eure. H l (s) coresude fucţiei de rsfer Q(s) H l(s) l H(s) l l Q(s)- l P(s) (.666) P(s) Zerourile oliomelor Q(s) şi P(s) su sigulriǎţi eru fucţi H l (s). Acesǎ fucţie ese olomorfǎ dc cese rǎdcii se fl î Re s<0. 3
5..04 Peru sisemele liire cre sisfc rsformre (.667), deci cre u fucţii de rsfer cu zerouri şi oli umi î Re s < 0, H l (s) sisfce relţiile rsformei Hilber (.663) cre devi ( ) - - A( ) ( ) d ; A( ) - - - (.668) Relţiile (.668) se umesc codiţiile lui Bode şi sisfc o legǎurǎ biuivocǎ îre A(ω) şi φ(ω) eru o umiǎ clsǎ de siseme umie siseme de fzǎ miim. Defiiie. Sisemele moovribile le cǎror fucţii de rsfer u oli şi zerouri umi î Re s < 0 se umesc siseme de fzǎ miimǎ. Sisemele moovribile le cǎror fucţii de rsfer u oli umi î Re s < 0 şi zerouri î o lul s se umesc siseme de fzǎ emiimǎ. 4