TOPOLOŠKOM OPTIMIRANJU KONSTRUKTIVNIH ELEMENATA

PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET U SPLITU DIPLOMSKI RAD PRIMJENA LEVEL SET METODA U TOPOLOŠKOM OPTIMIRANJU KONSTRUKTIVNIH ELEMENATA Mentor: Dr. sc. Željan Lozina Student: Krešimir Ivišić Split, srpanj 2012. godine

PRIMJENA LEVEL SET METODA U TOPOLOŠKOM OPTIRANJU KONSTRUKTIVNIH ELEMENATA 1. Uvod 2. Parcijalne diferencijalne jednadžbe 3. Level set metode 4. Princip virtualnog rada i minimuma ukupne potencijalne energije 5. Metode konačnih elemenata 6. Optimiranje u tehnici 7. Optimiranje pomoću level set metoda 8. Primjeri 9. Zaključak

PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE opći oblik PDJ za funkciju u ( x1, x2,..., xn ) je ( ) F x, x,..., x, u, u, u,..., u,... = 0 1 2 n x1 x2 11 - x1, x2,..., xn - nezavisne varijable - u - nepoznata varijabla - - označava ava parcijalnu derivaciju u xi u / x i problem opisan ovakvim jednadžbama naziva se dobro definiranim ako zadovoljava sljedeće kriterije: - egzistenciju - jedinstvenost - stabilnost

PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE jednadžba titranja žice (Jean D Alambert, 1752.g.) Poissonova jednadžba 2 1 xx (, ) utt c u = f x t ρ 2 φ = ρ Laplaceova jednadžba (Pierre Simon Laplace, 1780.g.) φ 2 = jednadžba provođenja topline (Joesph Fourier, 1768.g.) 2 ut = ( k u) ut = k u Schrodingerova jednadžba (Ervin Schrodinger, 1926.g.) 0 h 2m ψ Vψ 2 + = ih ψ t

PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE početni uvjeti rubni uvjeti - Dirichletov rubni uvjet - Neumannov rubni uvjet - Robinov rubni uvjet (,,,0) = (,, ) u x y z u x y z linearna PDJ II. reda s dvije nezavisne varijable ima oblik L[ u] = Au + 2Bu + Cu + Du + Eu + Fu = G 0 (,, ) = (,, ) u x y z u x y z n u 0 (,, ) = E x y z - A, B, C, D, E, F, G f-je varijabli x i y - glavni dio operatora L je α ( x, y, z) u ( x, y, z) + β ( x, y, z) u ( x, y, z) = f ( x, y, z) xx xy yy x y - glavnom dijelu operatora L pridružena je diskiminanta [ ] hiperbolička u točki ( x, y ) ako je ( x y) parabolična u točki ( x, y ) ako je ( x y) = eliptička u točki ( x, y ) ako je ( x y) n L u Au Bu Cu 0 = xx + 2 xy + yy ( x, y) B 2 ( x, y) A( x, y) C ( x, y) =, > 0, < 0, 0 ( x, y, z) D

RUB PODRUČJA za f-ju jedne varijable f : I R, I R za koju vrijedi ( ( )) F x, f x = 0 x I kaže se da je implicitno zadana jednadžbom φ = x 2 1 2 2 φ = x + y 1 F ( x, φ ) = 0 2 2 2 φ = x + y + z 1

VEKTOR NORMALE I ZAKRIVLJENOST PODRUČJA Gradijent pokazuje smjer u kojem funkcija najbrže raste i uvijek je okomit na izoliniju funkcije Vektor normale: φ, φ φ =, φ x y z φ N = φ Zakrivljenost ruba područja definirana je kao divergencija vektora normale n n κ = N = + + x y z 1 2 n 3 κ = φ κ = φ ( φ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xφyy φxφyφxy + φyφxx + φxφzz φxφzφzz + φzφxx + φyφzz φyφzφyz + φzφyy ) φ 3 φ = + 1 2 2 ( x) x y

LEVEL SET METODE James A. Sethian, Stanley Osher kraj 1980-ih godina N φ = φ opisivanje krivulje pomoću level seta funkcije ( x y) φ, = 0 ( ) 2 2 z = φ x, y = x + y = 5

LEVEL SET METODE ( ) funkcija udaljenosti d x, y d = 1 2 2 (, ) d x y = x + y = r x d =, 2 2 2 2 y x + y x + y x y d =, = 1 2 2 2 2 x + y x + y brzina gibanja ruba područja V =,, jednadžba konvekcije φ + V φ = 0 t LEVEL SET JEDNADŽBA u v w φ + V n φ = t φ V φ = V φ = V n φ φ 0

PRIMJENA LEVEL SET METODA Level set toolbox: http://barissumengen.com/level_set_methods φ + S φ + VN φ = bκ φ t ( ) φ x y = x + y = 2 2, 5 0

PRIMJENA LEVEL SET METODA GIBANJE U SMJERU NORMALE φ + V N φ = 0 t

PRIMJENA LEVEL SET METODA GIBANJE U SMJERU ZAKRIVLJENOSTI φ = bκ φ t

GIBANJE U VANJSKOM VEKTORSKOM POLJU PRIMJENA LEVEL SET METODA φ + S φ = t 0 KOMBINACIJA GIBANJA U SMJERU NORMALE I VANJSKOG VEKTORSKOG POLJA φ + S φ + V N φ = 0 t

PRINCIP VIRTUALNOG RADA I MINIMUM UKUPNE POTENCIJALNE ENERGIJE n δw = Fδu = 0 i= 1 i i u σ u δw = FB u + dx F u = σ + dx dydz u + dx σdydzu x x x * * * * * * A u f dγ + u f dω = ε σ dω * T * T * T s v Γt Ω Ω T T T ( Lδu) ( DLu) dω δu f dγ δu f dω = 0 s Ω Γ Ω Π = U + V t ( U + V) 0 δπ = δ = δ Γ + δ Ω = δ Ω T T * u f d d d s u f εσ Γt Ω Ω V δu f δu f T T = d d s Γ Ω Γt Ω δv = δ U v δε DεdΩ δu f dω δu f dγ = T T T v Ω Ω Γ t s 0

METODE KONAČNIH ELEMENATA q = Nu ε = DNu = Bu δq = Nδu δε = Bδu δ u B DB d Ω u = δ u N f d Ω + δ u N f d Ω + δ u F T T T T T T T v s k Ω Ω Γ F k = Ω T B DB dω T v = N fvdω Ω F T s = N fsdω Γ t ku = F v + F s + Fk F = F v + F s + Fk t ku = F [ K][ u] = [ F]

OPTIMIRANJE

Level set model specificira rub područja strukture Γ = D kao nultu level d set razinu funkcije φ : R R tako da je Γ = { x : φ ( x) = 0} ukupna domena podijeljena je na tri područja: dinamički model: Hamilton Jacobijeva jednadžba: LEVEL SET MODEL { : (, ) 0} ( ) ( ) φ ( ) Γ t = x t x t t = φ dx + φ = φt + V φ = 0 t dt dx V = dt

FUNKCIJA CILJA I OGRANIČENJA LEVEL SET MODELA funkcija cilja, odnosno funkcija koja se minimizira je podatljivost, odnosno energija, označena s u izrazu ograničenje volumena: φ matematički zapis problema: ( ) ( u, φ ) ( u) ( φ ) F u J = F H dω D ( u, ) ( u) ( φ ) G = g H dω D formiranjem Lagrangeove funkcije ( ) ( ) ( ) L u, φ, λ = J u, φ + λg φ kombinacijom prošlih jednadžbi dobiva se složena Lagrangeova funkcija koja ovisi još i o level set funkciji tako da je ukupna funkcija cilja dana izrazom 1 min.: L( u, φ, λ ) = ε ( u) Dε v H φ dω + λ H φ dω ζv φ( x) 2 T ( ) ( ) ( ) ( ) 0 D D

ALGORITAM OPTIMIRANJA

PRIMJER 1 Ulazni parametri: E 1 = 1 E 0 = 0.001 F = 1 λ = 100 α = 0.5 Mreža konačnih elemenata: 80 40

PRIMJER 1

PRIMJER 2

PRIMJER 3

PRIMJER 4

PRIMJER 5

ZAKLJUČAK Level set metode primijenjene na optimiranje topologije prikazano je u nekoliko primjera optimalan oblik konstrukcije za zadane rubne uvjete i odgovarajuće opterećenje konstrukcije. U procesu optimiranja problema primijenjena je upwind metoda u kombinaciji s semi Lagrangeovom metodom. Algoritam postupka napisan je u programskom paketu MATLAB 7.0.1. Koefijent alpha postavljen je na vrijednost 0.5 da se osigura stabilnost rješenja. cilj ovog rada bio je pronaći optimalan oblik konstrukcije, tj. optimalnu raspodjelu materijala, uz pripadne rubne uvijete i ograničenja koja pri tom postoje a da bi se pri tom zadvoljila nosivost konstrukcije. To je postignuto primjenom level set metoda u kombinaciji s metodom konačnih elemenata. uz ovaj rad, sljedeći korak bi bio proširenje ove teorije za trodimenzionalne sustave te pisanje prikladnog programskog koda za vizualizaciju problema. Kako je potrebno relativno dosta vremena za računanje ovakvih problema, s obzirom na tehnologiju današnjih računala, daljnji rad bi u ovom području trebao svesti i na reduciranje vremena proračuna.

HVALA NA PAŽNJI!!!