STATISTIKA Miroslav M. Risti Katedra za Matematiku Prirodno-matematiqki fakultet Univerzitet u Nixu 2008/2009
Literatura Miroslav M. Risti, Biljana Q. Popovi, Miodrag S. orđevi, Statistika za studente geografije, Prirodno-matematiqki fakultet, Nix, 2006.
Naqin polaganja ispita Deo ispita Poena Naqin polaganja I kolokvijum 20 Pismeno II kolokvijum 20 Pismeno Doma i zadaci 10 Ukupno 50 Uslov 15 Zavrxni deo 50 Pismeno Aktivnost na qasu Maksimalno 10
Osnovni elementi teorije verovatno e Eksperimenti Mogu biti: deterministiqki (u svakom ponavljanju eksperimenta pri istim uslovima dobija se uvek isti rezultat) sluqajni (ne moжemo da predvidimo rezultat) Primer Uslov eksperimenta: Zagrevanje vode preko 100 pri normalnom atmosferskom pritisku Rezultat eksperimenta: Agregatno stanje vode (uvek gasovito) Uslov eksperimenta: Bacanje kocke numerisane brojevima od 1 do 6 Rezultat eksperimenta: Broj koji se pojavio na gornjoj strani kocke (moжe 1, 2, 3, 4, 5 ili 6)
Ishodi Ishod Rezultat eksperimenta naziva se i ishodom. Napomena Prilikom izvođenja eksperimenta potrebno je precizirati xta se registruje kao rezultat eksperimenta. Primer Eksperiment: Bacanje jednog novqi a Xta se registruje: Gornja strana novqi a Ishodi:
Primer Eksperiment: Bacanje dva novqi a Xta se registruje: Strane u prvom i drugom bacanju Ishodi: PP PG GP GG
Primer Eksperiment: Novqi se baca dva puta Xta se registruje: Broj palih grbova Ishodi: 0, 1, 2 Primer Eksperiment: Baca se kockaa Xta se registruje: Broj koji je pao na gornjoj strani Ishodi:aeimqu
Primer Eksperiment: Novqi se baca sve dok ne padne grb Xta se registruje: Broj bacanja Ishodi: 1, 2, 3,.........
Primer Eksperiment: Na određenom mestu i u određeno vreme meri se vlaжnost vazduha u % Ishodi: Bilo koji broj iz intervala [0, 100] Elementaran ishod Elementaran ishod je osnovni pojam teorije verovatno e i oznaqava se sa ω. Skup svih mogu ih ishoda Skup svih mogu ih ishoda jednog eksperimenta oznaqava se sa Ω.
Primer Eksperiment: Bacanje jednog novqi a i registrovanje gornje strane novqi a Skup mogu ih ishoda: Ω = {P, G} Primer Eksperiment: Bacanje dva novqi a i registrovanje gornjih strana novqi a Skup mogu ih ishoda: Ω = {PP, PG, GP, GG} Primer Eksperiment: Novqi se baca dva puta i registruje se broj palih grbova Skup mogu ih ishoda: Ω = {0, 1, 2}
Primer Eksperiment: Baca se kocka numerisana brojevima od 1 do 6 i registruje se broj koji je pao na gornjoj strani kocke Skup mogu ih ishoda: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Primer Eksperiment: Novqi se baca sve dok ne padne grb i registruje se broj bacanja Skup mogu ih ishoda: Ω = {1, 2, 3,... } Primer Eksperiment: Na određenom mestu i u određeno vreme meri se vlaжnost vazduha u % Skup mogu ih ishoda: Ω = {v 0 v 100}
Skup mogu ih ishoda Skup mogu ih ishoda moжe biti: konaqan Ω = {P, G}, Ω = {PP, PG, GP, GG}, Ω = {0, 1, 2}, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} beskonaqno prebrojiv Ω = {1, 2, 3,... } neprebrojiv Ω = {v 0 v 100}
Sluqajni događaji Sluqajni događaj Bilo koji podskup skupa Ω zove se sluqajni događaj. Oznaqavanje Sluqajne događaje oznaqavamo velikim slovima abecede A, B, C, itd. Realizacija događaja Sluqajni događaj A se realizuje ako i samo ako se realizuje neki od elementarnih ishoda koji pripada događaju A.
Specijalni događaji Siguran događaj Skup mogu ih ishoda Ω je takođe događaj. On sadrжi sve elementarne ishode, te se uvek realizuje. Zove se siguran događaj. Nemogu događaj Prazan skup je takođe događaj. On ne sadrжi elementarne ishode, te se nikada ne realizuje. Zove se nemogu događaj.
Primer Baca se homogena numerisana kocka i registruje se broj koji se pojavio na gornjoj strani kocke. Odrediti skup mogu ih ishoda i događaje: a) A- pada broj 6, b) B- pada broj ne ve i od 3, v) C- pada neparan broj, g) D- padaju istovremeno brojevi 2 i 3, d) E- pada broj razliqit od 2. Rexenje: Skup mogu ih ishoda je Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {6} B = {1, 2, 3} C = {1, 3, 5} D = E = {1, 3, 4, 5, 6}
Primer Baca se homogena numerisana kocka i registruje se broj koji se pojavio na gornjoj strani kocke. Odrediti skup mogu ih ishoda i događaje: a) A- pada broj 3, b) B- pada broj manji od 3, v) C- ne pada nijedan broj, g) D- pada paran broj, d) E- padaju dva broja, đ) F - pada jedan od brojeva 2 ili 3, e) G- pada broj ve i od 1. Rexenje: Skup mogu ih ishoda je Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {3} B = {1, 2} C = D = {2, 4, 6} E = F = {2, 3} G = {2, 3, 4, 5, 6}
Primer Novqi se baca qetiri puta i registruje se gornja strana novqi a u svakom bacanju. Odrediti skup mogu ih ishoda i događaje: a) A- pismo pada vixe puta nego grb, b) B- pismo pada taqno dva puta, v) C- pismo pada vixe od dva puta, g) D- rezultati svih bacanja su isti, d) E- sva qetiri puta pada grb. Rexenje: Skup mogu ih ishoda je Ω = {PPPP, PPPG, PPGP, PGPP, GPPP, PPGG, PGPG, PGGP, GPPG, GPGP, GGPP, PGGG, GPGG, GGPG, GGGP, GGGG} A = {PPPP, PPPG, PPGP, PGPP, GPPP} B = {PPGG, PGPG, PGGP, GPPG, GPGP, GGPP} C = {PPPP, PPPG, PPGP, PGPP, GPPP} = A D = {PPPP,GGGG} E = {GGGG}
Primer Bacaju se dve numerisane kocke i registruju se brojevi na gornjim stranama kocki. Odrediti skup mogu ih ishoda i događaje: a) A- na obema kockama pada broj qetiri, b) B- na obema kockama pada isti broj, v) C- padaju brojevi 2 i 3, g) D- padaju brojevi qiji je zbir 10, d) E- padaju brojevi qiji je zbir 8 ili 10. Rexenje: Ishod moжemo predstaviti kao uređeni par (x, y), gde je x broj na prvoj, a y broj na drugoj kocki.
Ω = {(x, y) 1 x, y 6} 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 1 2 3 4 5 6
A = {(4, 4)} 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 1 2 3 4 5 6
B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 1 2 3 4 5 6
C = {(2, 3), (3, 2)} 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 1 2 3 4 5 6
D = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)} 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 1 2 3 4 5 6
E = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (4, 6), (5, 5), (6, 4)} 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 1 2 3 4 5 6
Događaji Implikacija događaja Događaj A implicira događaj B i pixemo A B, ako kad god se realizuje A realizuje se i B. Ω A B
Događaji Suprotan događaj Suprotan događaj događaju A, u oznaci A c, je događaj koji se realizuje onda i samo onda kada se događaj A ne realizuje. A A c Ω
Događaji Presek događaja Presek dva događaja A i B, u oznaci A B, je događaj koji se realizuje ako i samo ako se istovremeno realizuju oba događaja A i B. Oznaka Presek dva događaja A B moжe se zapisati i kao proizvod dva događaja AB. A B
Događaji Unija događaja Unija dva događaja A i B, u oznaci A B, je događaj koji se realizuje ako i samo ako se realizuje bar jedan od događaja A ili B. A B
Događaji Disjunktni događaji Događaji A i B su disjunktni ili uzajamno iskljuqivi ako je A B =. Zbir događaja Ako su događaji A i B disjunktni, tada se umesto termina unija događaja koristi termin zbir događaja i pixe A + B.
Događaji Razlika događaja Razlika događaja A i B, u oznaci A\B, je događaj koji se realizuje ako i samo ako se realizuje događaj A i ne realizuje događaj B. A B
Primer Neka se eksperiment sastoji u istovremenom bacanju kocke i novqi a. Registruju se broj koji se pojavio na gornjoj strani kocke i gornja strana novqi a. Odrediti slede e događaje: A- pojavljuje se paran broj, B- pojavljuje se pismo, C- pojavljuje se broj deljiv sa 4, A B, A B, A c, A\B. Da li događaj C implicira događaj A? Rexenje: Ishod moжemo predstaviti kao uređeni par (x, y), gde je x broj na kocki, a y je pojavljivanje jedne strane novqi a.
Ω = {(x, y) 1 x 6, y {P,G}} G P (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G) (1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P) 1 2 3 4 5 6
A = {(2, P), (2, G), (4, P), (4, G), (6, P), (6, G)} G P (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G) (1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P) 1 2 3 4 5 6
B = {(1, P), (2, P), (3, P), (4, P), (5, P), (6, P)} G P (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G) (1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P) 1 2 3 4 5 6
C = {(4, P), (4, G)} G P (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G) (1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P) 1 2 3 4 5 6
A B = {(1, P), (2, P), (3, P), (4, P), (5, P), (6, P), (2, G), (4, G), (6, G)} G P (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G) (1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P) 1 2 3 4 5 6
A B = {(2, P), (4, P), (6, P)} G P (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G) (1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P) 1 2 3 4 5 6
A c = {(1, P), (1, G), (3, P), (3, G), (5, P), (5, G)} G P (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G) (1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P) 1 2 3 4 5 6
A\B = {(2, G), (4, G), (6, G)} G P (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G) (1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P) 1 2 3 4 5 6
Primer Neka događaj A znaqi da je bar jedan od tri proizvedena artikla neispravan, a neka događaj B znaqi da su najmanje dva artikla neispravna. Odrediti događaje A c, B c, AB, AB c, A c B, A B. Rexenje: Oznaqimo sa I pojavu ispravnog artikla, a sa D pojavu neispravnog artikla.
Ω DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
Ω A DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
Ω A B DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
Ω A c A DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
Ω B c B DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
Ω AB = B DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
Ω AB c DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
A c B = Ω A c B DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
Ω A B = A DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
Primer Neka su A, B i C tri događaja. Napisati pomo u osnovnih operacija izraze za događaje: 1. ostvari se samo A, 2. ostvare se A i B, 3. ostvare se sva tri događaja, 4. ostvari se bar jedan od tih događaja, 5. ostvare se bar dva događaja, 6. ostvari se samo jedan od tih događaja, 7. ostvare se taqno dva događaja, 8. ne ostvari se ni jedan od tih događaja, 9. ostvari se vixe od dva događaja.
B C Ω A
Ostvari se samo A = AB c C c B C Ω A
Ostvare se A i B = AB B C Ω A
Ostvare se sva tri događaja = ABC B C Ω A
Ostvari se bar jedan događaj = A B C B C Ω A
Ostvare se bar dva događaja = AB AC BC B C Ω A
Ostvari se samo jedan događaj = AB c C c + A c BC c + A c B c C B C Ω A
Ostvare se taqno dva događaja = ABC c + AB c C + A c BC B C Ω A
Ne ostvari se ni jedan događaj = A c B c C c B C Ω A
Potpun sistem događaja Definicija Za međusobno disjunktne događaje A 1, A 2,..., A n kaжemo da qine potpun sistem događaja ako je njihov zbir siguran događaj Ω, tj. A 1 + A 2 + + A n = Ω. A 1 A 2 A 3 Ω A 4 A 5
Potpun sistem događaja Primer Neka je skup mogu ih ishoda Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Ispitati da li slede i događaji qine potpun sistem događaja: 1 A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {4, 5}, A 3 = {7, 8, 9} 2 A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {4, 5, 6, 9}, A 3 = {4, 7, 8} 3 A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {4, 5, 6, 9}, A 3 = {7, 8}
A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {4, 5}, A 3 = {7, 8, 9} Ω 7 8 9 4 5 6 1 2 3
A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {4, 5, 6, 9}, A 3 = {4, 7, 8} Ω 7 8 9 4 5 6 1 2 3
A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {4, 5, 6, 9}, A 3 = {7, 8} Ω 7 8 9 4 5 6 1 2 3
Zadaci Zadatak 1 Strelac ima 4 metka i gađa u cilj sve dok ne pogodi dva puta uzastopno ili dok ne izgubi xansu da ispuni taj uslov. Beleжi se rezultat svakog gađanja. Odrediti skup mogu ih ishoda Ω i događaje: A- cilj je pogođen bar dva puta B- ostao je neiskorix en bar jedan metak C- bilo je vixe promaxaja nego pogodaka
Zadaci Zadatak 2 Neka je Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} i C = {3, 4, 5, 6}. Odrediti događaje A c, AC, (AC) c, A B, B\C.
Zadaci Zadatak 3 Neka je Ω = {a, b, c, d, e, f, g}. Ispitati da li slede i događaji qine potpun sistem događaja: 1 A 1 = {a, c, e}, A 2 = {b}, A 3 = {d, g} 2 B 1 = {a, e, g}, B 2 = {c, d}, B 3 = {b, e, f } 3 C 1 = {a, b, e, g}, C 2 = {c}, C 3 = {d, f } 4 D 1 = {a, b, c, d, e, f, g}