ZADACI IZ VEROVATNO E I STATISTIKE ZA I SMER

Transcript

1 ZADACI IZ VEROVATNO E I STATISTIKE ZA I SMER Zadatak. Dato je 0 kuglica numerisanih brojevima od do 0. Sluqajno se biraju 3 kuglice odjednom. Kolika je verovatno a događaja da je taqno jedna od izabranih kuglica oznaqena parnim brojem? Zadatak 2. Kockica za igru se baca 6 puta. Izraqunati verovatno u događaja: a) svi pali brojevi su razliqiti. b) bar jednom je pala xestica. v) taqno jednom je pala xestica. Zadatak 3. Iz kompleta koji sadrжi 32 karte sluqajno se biraju 4 karte odjednom. Kolika je verovatno a da među izabranim kartama ima dve dame? Bar dve dame? Zadatak 4. U voz sa 0 vagona ulazi 7 putnika. Kolika je verovatno a da e svi putnici u i u razliqite vagone? Zadatak 5. U xpilu od 32 karte sluqajno se biraju tru karte. Na i verovatno u da su izvuqeni: a) sedmica, desetka i kec. b) karte razliqitog znaka. Zadatak 6. Hotel ima n soba poređanih jedna do druge u pravoj liniji. k gostiju se na sluqajan naqin razmexta po sobama (po jedan gost u svakoj sobi).kolika je verovatno a da e gosti zauzeti k susednih soba? Zadatak 7. N ljudi se na sluqajan naqin razmexta za okruglim stolom (N > 2). Kolika je verovatno a da su dva izabrana lica sela jedno do drugog? Zadatak 8. M telegrama se na sluqajan naqin raspoređuje na N kanala veze (N > M). Kolika je verovatno a da je svaki kanal preneo ne vixe od jednog telegrama? Zadatak 9. Iz magacina sa n artikala od kojih je k neispravno sluqajno se izvlaqi m artikala. Kolika je verovatno a da je pri tom izvuqeno l neispravnih artikala? Zadatak 0. Kolika je verovatno a da dva sluqajno izabrana lica imaju rođendan istog dana? Zadatak. Kolika je verovatno a da od tri sluqajno izabrana lica barem dva imaju rođendan istog dana? Zadatak 2. Da bi zakon bio odobren od strane predsednika republike, neophodno je da prođe i parlament i senat. Pretpostavimo da od svih zakona koji su predloжeni 60% prođe parlament, 80% prođe senat, a 90% prođe bar jedno od ova dva tela. Izraqunati verovatno u da e zakon koji je dat na razmatranje parlamentu i senatu biti odobren od strane predsednika.

2 Zadatak 3. Novqi se baca tri puta. Kolika je verovatno a da se pojave taqno dve glave ako je: a) u prvom bacanju pala glava? b) u prvom bacanju palo pismo? v) u prva dva bacanja dvaput pala glava? g) u prva dva bacanja dvaput palo pismo? d) u prvom bacanju pala glava a u drugom pismo? Zadatak 4. Kockica se baca dvaput. Kolika je verovatno a da je zbir dobijenih brojeva 7 ako je: a) u prvom bacanju pala qetvorka? b) u prvom bacanju pao broj ve i od tri? v) u prvom bacanju pala jedinica? g) u prvom bacanju pao broj manji od pet? Zadatak 5. Iz xpila karata sluqajno se izvlaqi jedna. Kolika je verovatno a da je: a) herc, ako se zna da je crvene boje? b) ve a od desetke, ako se zna da je herc? v) жandar, ako se zna da je crvene boje? Zadatak 6. Verovatno a događaja da su blizanci deqaci je 0.32, a da su devojqice Izraqunati verovatno u slede ih događaja: a) bar jedan od blizanaca je deqak. b) oba blizanca su deqaci ako se zna da je bar jedan od njih deqak. v oba blizanca su devojqice ako se zna da je jedan od blizanaca devojqica. Zadatak 7. Novqi se baca tri puta. Uoqimo slede e događaje: A - Glava u prvom bacanju; B - Pismo u drugom; C - Glava u tre em; D - Sva tri puta ista strana; E - Pala je taqno jedna glava. a) Koji su od slede ih parova događaja nezavisni? ) A, B 2) A, D 3) A, E 4) D, E. b) Koji su od slede ih trojki događaja nezavisni? ) A, B, C 2) A, B, D 3) C, D, E. Zadatak 8. Novqi se baca dvaput. Uoqimo slede e događaje: A - Glava u prvom bacanju; B - Glava u drugom bacanju; C - Oba puta ista strana. Pokazati da su događaji A, B i C nezavisni u parovima ali da nisu nezavisni. Zadatak 9. Neka je Ω = {a, b, c, d, e, f}. Neka je P (a) = P (b) = 3 8 i P (c) = P (d) = P (e) = P (f) = 6. Neka su A, B i C definisani sa A = {d, e, a}, B = {c, e, a}, C = {c, d, a}. Pokazati da vaжi P (A B C) = P (A)P (B)P (C) ali da nikoja dva događaja nisu nezavisna.

3 Zadatak 20. Iz xpila od 32 karte na sluqajan naqin su izvuqene dve karte, jedna za drugom a) bez vra anja. b) sa vra anjem. Da li su događaji A - izvuqena je bar jedna dama i B - izvuqen je bar jedan pik nezavisni? Zadatak 2. Jedna za drugom bacaju se dve kockice za igru. Kolike su verovatno e slede ih događaja: a) drugi broj je ve i od prvog bar za dva. b) prvi broj je manji od tri, ako se zna da se pali brojevi razlikuju bar za dva. Zadatak 22. U jednoj kutiji su tri bele i dve crne kuglice, a u drugoj kutiji tri crne i dve bele. Iz prve kutije se sluqajno bira kuglica i prebacuje u drugu kutiju. Zatim se iz druge kutije izvlaqi kuglica. a) Na i verovatno u da je izvuqena bela kuglica. b) Ako je iz druge kutije izvuqena crna kuglica, kolika je verovatno a da je iz prve u drugu kutiju prebaqena bela kuglica? Zadatak 23. Doktor sumnja da pacijent ima jednu od bolesti b, b 2 ili b 3. Pre bilo kakvog testiranja on smatra da su bolesti jednako verovatne. Pacijent se tada testira tako da je test pozitivan s verovatno om 0.8 ako ima b, 0.6 ako ima b 2, a 0.4 ako je bolestan od b 3.Ak ose zna da je rezultat testa pozitivan, kolike su sada verovatno e svake od ovih bolesti? Zadatak 24. Jedan novqi iz grupe od 65 je faliqan, tj. ima glavu s obe strane. Ostali su ispravni. Sluqajno je izabran jedan novqi i baqen 6 puta i svaki put je pala glava. Kolika je verovatno a da je izvuqen faliqan novqi? Zadatak 25. Kockica se baca dva puta. Neka su X i X 2 sluqajne veliqine koje predstavljaju brojeve dobijene u prvom, odnosno drugom bacanju. Neka je X = min{x, X 2 }. Na i raspodelu za X. Zadatak 26. Neka je X sluqajna veliqina sa raspodelom definisanom sa: P X ( ) = 5, P X(0) = 5, P X() = 2 5, P X(2) = 5. a) Neka je Y sluqajna veliqina definisana jednaqinom Y = X + 3. Na i raspodelu za Y. b) Neka je Z sluqajna veliqina definisana jednaqinom Z = X 2. Na i raspodelu za Z. Zadatak 27. Kockica se baca dok se ne pojavi xestica. Odrediti zakon raspodele sluqajne veliqine X - broj bacanja. Zadatak 28. Strelac pogađa metu sa verovatno om p u svakom nezavisnom gađanju, a gađa sve dok ne pogodi metu dvaput ili promaxi triput. Na i zakon raspodele sluqajnih veliqina X-broj gađanja i Y - broj pogodaka. Zadatak 29. Kockica se baca 0 puta. Kolika je verovatno a da se xestica pojavi a) taqno 5 puta? b) vixe od 2, ali manje od 5 puta?

4 Zadatak 30. Na testu sa deset Da-Ne pitanja na i verovatno u da student dobije 70% ili vixe taqnih odgovora ako nagađa. Na i ovu verovatno u ako test ima 30, odnosno 50 pitanja. Zadatak 3. Izvesna kraljevska porodica rađa decu dok ne dobije muxko ili dok ne dobije tri жenska deteta. Pretpostavimo da je dete muxko s verovatno om 2. Na i oqekivanje i disperziju za broj devojqica u toj porodici. Zadatak 32. Broj X se sluqajno bira iz skupa S = {, 0, }. Na i oqekivanje, disperziju i standardno odstupanje za X. Zadatak 33. Sluqajna veliqina X ima zakon raspodele X :. Na i oqekivanje, disperziju i standardno odstupanje za X. ( ) Zadatak 34. Neka je X sluqajna veliqina takva da je EX = 00 i DX = 5. Na i: a) EX 2. b) E(3X + 0). v) E( X). g) D( X). d) σ( X). Zadatak 35. U izvesnom proizvodnom procesu, temperatura (u Farenhajtovim stepenima) nikad ( ne odstupa za vixe od ) od 62. Temperaturu moжemo predstaviti sluqajnom veliqinom X s raspodelom:x :. a) Na i EX i DX. b) Neka je T = X 62. Na i ET i DT i uporediti s rezultatom iz a). v) Neka sluqajna veliqina Y predstavlja datu temperaturu u Celzijusovim stepenima, tj. Y = 5 9 (X 32). Koliko sada iznose matematiqko oqekivanje i disperzija? Zadatak 36. Novqi se baca tri puta. Neka je X broj dobijenih glava. Na i DX i σ(x). Zadatak 37. Jagoda i Marija igraju igru «Mice». U svakoj partiji Marija pobeđuje s verovatno om 0.4. Pobednica je ona koja prva dobije 4 partije, a ako je rezultat 3 : 3, meq se proglaxava nerexenim. a) Na i zakon raspodele sluqajne veliqine X - broj partija koje je dobila Marija. b) Izraqunati EX i DX. Zadatak 38. Izraqunati matematiqko oqekivanje i disperziju slede ih sluqajnih veliqina: a) X : B(n, p) b) Y : G(p) v) Z : P(λ) Zadatak 39. Neka je S 00 broj glava koji padne prilikom 00 bacanja novqi a. Koriste i centralnu graniqnu teoremu proceniti: a) P {S 00 45}. b) P {45 < S 00 < 55}. v) P {S 00 > 63}. g) P {S 00 < 57}. Zadatak 40. Neka je S 200 broj glava dobijen u 200 bacanja novqi a. Proceniti: a) P {S 200 = 00}. b) P {S 200 = 90}. v) P {S 200 = 80}

5 Zadatak 4. Test ima 48 DA/NE pitanja. Jelena odgovara taqno na svako pitanje s verovatno om 3 4, a Anđela sluqajno zaokruжuje. Da bi se poloжio test treba dati bar 30 taqnih odgovora. Uporediti verovatno e da Jelena, odnosno An-đela poloжe ovaj test. Zadatak 42. Na fakultetu ima 290 studenata. Kolika je verovatno a da taqno 6 studenata ima rođendan 27. juna? Zadatak 43. Na i verovatno u da se među sluqajnih cifara cifra 3 javlja vixe od 93 put. Zadatak 44. Kontrola proverava aparate koji sa verovatno om 0.0 imaju defekt A i nezavisno sa verovatno om 0.02 defekt B. Kolika je verovatno a da najvixe 2 aparata od 00 imaju bar jedan defekt? Zadatak 45. U ribnjaku su dve vrste pastrmki u odnosu 34 : 66. Ulovljeno je 2000 komada. Kolika je veovatno a da je uhva eno 700 pastrmki prve vrste? Zadatak 46. Fabrika u toku dana proizvede 000 automobila od kojih svaki sa verovatno om 0.05 zahteva doradu. Koliki treba da bude kapacitet parkinga pa da sa verovatno om 0.9 bude dovoljan za automobile koji qekaju doradu? Zadatak 47. Maxina za proizvodnju xpageta pravi oko 5% defektnih xpageta, iako je u optimalnom stanju. Xpagete se pakuju u kutije koje sadrжe po 900 komada. Prilikom pregleda ustanovljeno je da u kutiji ima 5 defektnih. Kolika je verovatno a da bude bar ovoliko defektnih xpageta ako je maxina u optimalnom stanju? Zadatak 48. Koje su od slede ih funkcija funkcije raspodele: a) F (x) = 2 + π arctan(x), x R. b) F (x) = e e x, x R. { 0, x < 0 v) F (x) = x (+x), x 0 Zadatak 49. Sluqajno se bira realan broj X iz segmenta [2, 0]. a) Na i gustinu raspodele f(x) i skicirati njen grafik. b) Koriste i a), izraqunati P {X > 5},P {5 < X < 7}, P {X 2 2X + 35 > 0}. Zadatak 50. Neprekidna sluqajna vliqina X je zadata gustinom oblika { a cos(2x), x ( π f X (x) = 4, π 4 ) 0, x / ( π 4, π 4 ) Na i funkciju raspodele sluqajne veliqine X i skicirati njen grafik.

6 Zadatak 5. Sluqajno se bira broj B iz segmenta [0, ]. Na i verovatno u da je a) 3 < B < 2 3. b) B 2 4. v) B < 4 ili B < 4. g) 3B 2 < B. Zadatak 52. Broj U se bira iz segmenta [0, ] s uniformnom raspodelom. Na i funkcije raspodele i gustine sluqajnih veliqina a) Y = U + 2 b) Y = U 2 i skicirati njihove grafike. Zadatak 53. Broj U se bira iz segmenta [0, ] s uniformnom raspodelom. Na i funkcije raspodele i gustine sluqajnih veliqina a) Y = U+ b) Y = ln(u + ) i skicirati njihove grafike. Zadatak 54. Broj U se bira iz segmenta [0, ] s uniformnom raspodelom. Na i funkcije raspodele i gustine sluqajnih veliqina a) Y = U 2. b) Y = (U 2 )2. Zadatak 55. Broj U se bira iz segmenta [0, ] s uniformnom raspodelom. Na i verovatno u da je a) R = U 2 < 4. b) S = U( U) < 4. v) T = U U < 4. Zadatak 56. Neka je X sluqajna veliqina sa gustinom a) Kolika je vrednost c? f X (x) = b) Kako izgleda funkcija raspodele F X za X? v) Kolika je verovatno a da je X < 4? { cx( x), x (0, ) 0, x / (0, )

7 Zadatak 57. Neka je X sluqajna veliqina sa funkcijom raspodele F (x) = a) Kako izgleda gustina raspodele f X za X? b) Kolika je verovatno a da je X < 4? 0, x < 0 sin 2 ( πx 2 ), 0 x, x > Zadatak 58. Sluqajna veliqina X ima eksponencijalnu E(λ) raspodelu.na i funkciju raspodele sluqajnih veliqina: a) Y = X 2 b) U = λ ln(x) v) Z = e λx. Zadatak 59. Neka je X sluqajna veliqina sa funkcijom raspodele F. Medijana za X je vrednost m za koju vaжi F (m) = 2. Tada vaжi X > m s verovatno om 2 i X m s verovatno om 2. Na i m ako X ima a) uniformnu U[a, b] raspodelu. b) normalnu N (m, σ 2 ) raspodelu. v) eksponencijalnu E(λ) raspodelu. Zadatak 60. Neka je X sluqajna veliqina sa gustinom raspodele f X. Moda za X je vrednost M za koje je f(m) maksimalno. Vrednosti u blizini M su najverovatnije. Na i M ako X ima normalnu i eksponencijalnu raspodelu, kao u zadatku 22. Xta se dexava ako X ima uniformnu raspodelu? Zadatak 6. Neka je X sluqajna veliqina koja ima normalnu raspodelu s parametrima µ = 70 i σ 2 = 00. Proceniti a) P {X > 50}. b) P {X < 60}. v) P {X > 90}. g) P {60 < X < 80} Zadatak 62. Na sudu struqni svedok tvrdi da duжina trudno e ima normalnu raspodelu, gde je µ = 270, σ 2 = 00. Optuжeni moжe da dokaжe da je bio u inostranstvu u periodu od 290 do 240 dana pre rođenja deteta. Kolika je verovatno a da je bio u zemlji kad je dete zaqeto? Zadatak 63. Pretpostavimo da je vreme (u satima) potrebno za opravku kola sluqajna veliqina s eksponencijalnom raspodelom s parametrom λ = 2. Kolika je verovatno a da popravka traje duжe od 4 sata?

8 Zadatak 64. Neka je X sluqajna veliqina koja uzima vrednosti iz segmenta [, ] i neka je f X (x) gustina raspodele za X. Na i EX i DX ako je, za x a) f X (x) = 2. b) f X (x) = x. v) f X (x) = x. g) f X (x) = 3 2 x2. Zadatak 65. Neka je X sluqajna veliqina koja uzima vrednosti iz segmenta [, ] i neka je f X (x) gustina raspodele za X. Na i EX i DX ako je za x >, f X (x) = 0, a za x a) f X (x) = 3 4 ( x2 ). b) f X (x) = π 4 v) f X (x) = x+ 2. cos( πx 2 ). g) f X (x) = 3 8 (x + )2. Zadatak 66. Vek trajanja, u satima, Super sijalice je sluqajna veliqina T sa gustinom f T (t) = λ 2 te λt, gde je λ = Koliki je oqekivani vek trajanja ove sijalice? Kolika mu je disperzija? Zadatak 67. Neka je T sluqajna veliqina koja uzima vrednosti iz intervala [0, ) i neka je f T (t) gustina raspodele za T. Na i ET i DT ako je, za t < 0, f T (t) = 0, a za t 0 a) f T (t) = 3e 3t. b) f T (t) = 9te 3t. v) f T (t) = 3 (+t) 4.