Glava 6 FURIJEOVA TRANSFORMACIJA

Glava 6 FURIJEOVA TRANSFORMACIJA Po teoriji Furijeovih redova, svaki periodičan signal možemo predstaviti zbirom beskonačno mnogo ortogonalnih funkcija. Budući da predstava signala preko Furijeovog reda omogućava potpuno drugačiji uvid u karakteristike signala u odnosu na vremenski domen, prirodno se postavlja pitanje da li je moguće ideju razlaganja signala na njegove prostoperiodične komponente proširiti i na neperiodične signale. Posmatrajući neperiodičan signal kao periodičan signal sa beskonačno velikim periodom, Furijeova transformacija proširuje ovakav koncept razlaganja signala i na neperiodične signale. Prilikom sinteze periodičnog signala na osnovu koeficijenata Furijeovog reda u zbiru učestvuje beskonačno mnogo prostoperiodičnih funkcija, ali je neophodno naglasiti da se njihove učestanosti međusobno razlikuju za konačan iznos i da je razlika susjednih učestanosti jednaka osnovnoj učestanosti signala. Prema tome, spektar periodičnih signala se računa za diskretne vrijednosti učestanosti. Proširujući ovaj koncept na neperiodične signale uvođenjem beskonačno velikog perioda, osnovna učestanost signala postaje infinitezimala, a samim tim se i razlike između susjednih učestanosti beskonačno smanjuju, te spektar postaje kontinualna funkcija učestanosti.

GLAVA 6 6.1 Prelaz sa Furijeovog reda na Furijeovu transformaciju Posmatrajmo neperiodičan signal dat na Slici 6.1(a). Formirajmo periodično proširenje dijela ovog signala sa intervala t 1 < t < t 2, sa periodom T = t2 t1, kao na Slici 6.1(b), tako da vrijedi: x () t x() t, t1 < t < t, (6.1) 2 1 xt ( 1) = xt ( 1+ ) xt ( 1 ) 2, (6.2) x() t = x( t + nt ), n. (6.3) Furijeov red tako dobijenog periodičnog signala je dat sa: jkω 2 t π x () t = Cke, Ω =, k, (6.4) k = T gdje su koeficijenti Furijeovog reda: 1 jkωt Ck = x() t e dt, k T. (6.5) T Ako formiramo novo periodično proširenje sa periodom T > T, T = t 2 t 1, dobijamo Furijeov red u obliku: sa koeficijentima: jkω 2 t π x () t = C ke, Ω = (6.6) T k = T 1 jkω t C k = x () t e dt, k T. (6.7) 14

Furijeova transformacija (a) (b) (c) Slika 6.1 (a) Kontinualan neperiodičan signal; (b) i (c) njegn gova periodičnaa proširenja. 141

GLAVAA 6 Slika 6.2 Promjena koeficijenata Furijeovog reda pri povećanju perioda periodičnog proširenja signala. U graničnom slučaju kada t 1, t2 i T ovako formirano periodičnoo proširenje signala postaje neperiodičan signal, Ω dω i kωω postaje kontinualnaa varijablaa Ω, te je: Ω lim C k = lim T 2π T T ( ) x t ) e jkωt d Ω t dt = 2 π U ovom graničnom slučaju koeficijentii Furi ijeovog reda postaju funkcija kontinualne varij jable Ω i njihove vrijednosti postaju nfinitezimale. Na Slici 6.26 je ilustrovano šta se dešava sa koe eficijentima Furijeovog reda pri prom mjeni osnovnog perioda signala. Amplitudni spektar postaje gušći, a vrijednosti modula koeficijenata Furijeovog reda se smanjuju. () x t e jω t d dt. (6.8) 142

Furijeova transformacija Stoga umjesto koeficijenata Furijeovog reda C k ima smisla posmatrati proizvod Ck T. Taj proizvod je u graničnom slučaju jednak: T () jωt lim C T = x t e dt, (6.9) k što vodi definiciji Furijeove transformacije (Fourier Transform FT) kontinualnih signala, koju primjenjujemo u analizi neperiodičnih signala: X Ω = x t e dt. (6.1) jωt ( ) ( ) Na osnovu (6.9) i (6.1) veza između Furijeove transformacije i koeficijenata Furijeovog reda je data sa: ili, na osnovu (6.8) i (6.1), sa: ( ) X Ω = lim C T, (6.11) lim C T k T k dω = X ( Ω ). (6.12) 2π Periodičan signal sa beskonačno velikim periodom ( T ) se može shvatiti kao neperiodičan signal, pa vrijedi: jkω t dω jωt 1 jωt T T k = 2π 2π () lim () lim k ( ) ( ) x t = x t = C e = X Ω e = X Ω e dω. (6.13) Dobijeni izraz: 1 jωt x() t = X( ) e d 2π Ω Ω (6.14) omogućava sintezu signala na osnovu poznate Furijeove transformacije i naziva se inverzna Furijeova transformacija. Neophodno je naglasiti da, za razliku od izraza za sintezu periodičnih signala, gdje se sumiraju elementarne kompleksne eksponencijalne funkcije čije su frekvencije umnožak osnovne frekvencije periodičnog signala, u izrazu za sintezu neperiodičnih signala učestanosti elementarnih kompleksnih eksponencijalnih funkcija koje grade signal pripadaju kontinuumu realnih brojeva, te kažemo da je spektar neperiodičnih signala kontinualan. 143

GLAVA 6 Dakle, Furijeov transformacioni par je dat sa: X Ω = x t e dt, (6.15) jωt ( ) ( ) 1 jωt x() t = X( ) e d 2π Ω Ω. (6.16) Često koristimo sljedeći način označavanja za direktnu: i inverznu Furijeovu transformaciju: X { } ( ) xt ( ) Ω =F (6.17) () = X( Ω) xt F, (6.18) 1 { } dok Furijeov transformacioni par označavamo sa: x() t X ( Ω ). (6.19) Vrlo često domen definisanosti signala (vremenski domen) nazivamo originalni, a domen definisanosti Furijeove transformacije frekvencijski ili transformacioni domen. Za egzistenciju Furijeove transformacije dovoljno je da signal: 1. bude apsolutno integrabilan: jωt jωt xte () dt xte () dt= xt () dt<; 2. ima konačan broj ekstremnih vrijednosti (minimuma i maksimuma) u proizvoljno odabranom konačnom intervalu; 3. ima konačan broj diskontinuiteta (prekida prvog reda) u proizvoljno odbranom konačnom intervalu. Ovi uslovi su ekvivalentni Dirihleovim uslovima kod Furijeovog reda. Uslov apsolutne integrabilnosti je dovoljan za egzistenciju Furijeove transformacije većine fizičkih signala. Međutim, uslov apsolutne integrabilnosti nije i potreban uslov, jer postoje signali koji nisu apsolutno integrabilni, npr. 144

Furijeova transformacija (a) (b) Slik ka 6.3 Primjer (a) amplitudnog i (b) faznog spektra neperiodičnog signala. Dira akova funkcija, sinusni i drugi periodični signali, ali za kojee se ipak može odrediti Furijeova transformacija,, kao što ćemo to kasnije vidjeti. Fizič čki gled dano, ovako def finisana Furijeova transformacija daje frekvencijsku predstavu kontinualnog neperiodičnog signala. Ona u članovima 1 2 π X ( Ω) dωω sadrži info ormaciju o amplitudama i fazama beskonačnoo mnogo j elementarnih funkcija oblika e Ω t na koje se razlaže kontinualni signal x ( t ). Mod dul Furijeove transformacijee X ( Ω ) određuje amplitude elementarnih funkcija pa se naziva amplitudni speks ktar signala, a argument θ ( Ω ) = arg X ( Ω ) je fazni spektar signala jer utiče na fazne pomake elementarnih funkcija. Na Slici 6.3 ilustrovan je način grafičkog prikaza spektra neperiodičnih signala. Furi ijeova transformacija signalaa nije jedan-jedan preslikavanje. Naime, Furi jeove transformacije dva signala koji zadovoljavaju Dirihleove uslove, a razlikuju se samo u konačnom broju izolovanih singulariteta (prekidnih tačaka) 145

GLAVAA 6 su jednake, jer na vrijednost integralaa vrijednosti u izolovanim tačkama. Međutim, prilikom rekonstrukcije signala inverznom Furijeovom transformacijom u tačkama diskontinuiteta t se dobija: jer zbog kontinualnosti kompleksne eksponencijalne funkcije e x ) + x( ( t + t + 1 ) = 2π 1 = 2 2 π 1 2 x t X ( X ( Ω) e ( ) ) Ω e + x t +, j Ωt jωt 1 d Ω + 2 U praktičnim aplikacijama smatramo da je Furijeov transformacioni par p jedinstveno singularitete. određen, jer fizički ostvarljivii signali nemaju izolovane ( x( ( ) ) t e π d Ω = 2x j e Ωt dt ( t ( X Ω)e ). t ne utiče konačan broj j e Ωt + j t e Ω a dω = (6.2) vrijedi da je: (6.21) Primjer 6.1: Odrediti koe ficijente Furijeovog reda zaa povorku pravougaonih impulsa datu na Slici 6.4. Posmatrati šta se dešava pril likom promjene perioda datog 1 signala crtajući koeficijente Furijeovog reda za T = 2, T = =1 i T = 2, ako je 1 T = 2. Slika 6.4 Peri iodičan signal u obliku povorke pravougaonih imp pulsa. 146

Furijeova transformacija Rješenje: U Primjeru 5.3 smo odredili koeficijente Furijeovog reda datog signala: 2AT T Ck = sinck2 π, k (6.22) T T C = 2A T. (6.23) T nπ Položaj nula u spektru signalaa kω =, n Z se ne mijenja T povećavanjem perioda signala T. 2π Razmak koeficijenata Furijeovog reda je Ω =. Sa porastom perioda T T taj razmak se smanjuje, što je ilustrovano na Slici 6.5. U graničnom slučaju, kada T, razmak frekvencijskih komponenti postaje beskonačno mali, što znači da frekvencijske komponente postaju kontinualna funkcija učestanosti. Pri tome se vrijednosti koeficijenata Furijeovog reda smanjuju, i u navedenom graničnom slučaju postaju infinitezimale. Međutim, proizvod Ck T i Furijeova transformacija neperiodičnog signala koji se dobije X Ω = lim C T imaju konačne povećavanjem perioda do beskonačnosti ( ) T vrijednosti. Najlakše je to uočiti posmatrajući nulti koeficijent Furijeovog reda C = 2A T koji teži nuli pri beskonačnom povećanju perioda, dok je vrijednost T Furijeove transformacije za nultu učestanost: 2AT X = lim C T = lim T = 2AT, (6.24) ( ) T T T konstantna pri povećanju perioda T. k 147

GLAVAA 6 (a) (b) (c) Slika 6.5 Uticaj promjene perioda signala na izgled amplitudnog spe ektra: 1 1 (a) T =, T = 2 2 ; 1 1 (b) T =, T =1 i (c) T =, T 2 2 = 2. 148

Furijeova transformacija Prim mjer 6.2: Odr rediti Furijeovu transformaciju signala amplitudni spektar signala. datog na Slici 6. 6. Nacrtati Slika 6.6 Neperiodičan signal u obliku pravougaonog impulsa. Rješe enje: Dati signal je graničn slučaj signalaa sa Slike 6.4, kada T. Prema tome, njegov spektar je granični slučajj spektra sa Slike 6. 5, pri čemuu kω postaje kontinualna vari ijabla Ω. Spektar signala prikazan je na Slicii 6.7. Slika 6.7 Furijeova transformacija pravougaonog impulsa. 149

GLAVA 6 Računajući na osnovu definicionog izraza za Furijeovu transformaciju dobijamo: ( ) F ( ) { } () T jωt jωt X Ω = xt = xte dt= Ae dt= jωt jωt A jωt 2A e e = e = = jω jω 2 sin ΩT = 2AT = 2AT sinc ΩT. ΩT Nule spektra signala se nalaze na učestanostima: T T T (6.25) kπ Ω=, k Z. (6.26) T 6.2 Furijeova transformacija kompleksnih signala U praksi se najčešće radi sa realnim signalima, iako se ponekad ukazuje potreba za formiranjem kompleksnih signala u vremenu, njihovom analizom i obradom. Prilikom definisanja Furijeove transformacije nismo postavljali uslove da signal u vremenu bude realan. Stoga isti definicioni izraz za Furijeovu transformaciju možemo primijeniti i na kompleksne signale. Dakle, Furijeova transformacija kompleksnog signala: je data sa: () = () + () (6.27) x t x t jx t r i ( Ω ) = ( Ω ) + ( Ω ) = ( ) + ( ) cos( Ω ) sin ( Ω ) X X jx x t jx t t j t dt. (6.28) r i r i Relani i imaginarni dijelovi Furijeove transformacije su: 15

Furijeova transformacija ( Ω ) = ( ) cos( Ω ) + ( ) sin ( Ω ) X x t t x t t dt, (6.29) r r i ( Ω ) = () sin( Ω ) + () cos( Ω ) X x t t x t t dt. (6.3) i r i Ako je realni dio signala u vremenu parna, a imaginarni neparna funkcija, imaginarni dio Furijeove transformacije će biti jednak nuli, jer je proizvod parne i neparne funkcije neparna funkcija, a integral neparne funkcije od do je jednak nuli. Slično, ako je realni dio signala u vremenu neparna, a imaginarni parna funkcija, realni dio Furijeove transformacije će biti jednak nuli. Iz relacija (6.28-3) lako se izvode specijalni oblici Furijeovog integrala koji uspostavljaju vezu između realnih i imaginarnih dijelova Furijeove transformacije sa parnim i neparnim dijelovima signala u vremenu i obrnuto. Mi ćemo se zadržati na tim vezama razmatrajući samo realne vremenske signale nešto kasnije. Kada radimo analizu kompleksnih signala u vremenskom domenu, onda je potrebno razmotriti i spektar konjugovano kompleksnih signala. Konjugovana Furijeova transformacija je data sa: * X ( ) * jωt x ( t) e dt Ω =. (6.31) Ako potražimo reflektovanu konjugovanu Furijeovu transformaciju: * X ( ) * jωt x ( t) e dt Ω =, (6.32) vidimo da ona zapravo predstavlja Furijeovu transformaciju konjugovano kompleksnog signala: pa zaključujemo da je: * * x t x t e j Ω t dt { ()} () F =, (6.33) () ( Ω ). (6.34) x t X * * 151

GLAVA 6 6.3 Furijeova transformacija realnih signala U ovom poglavlju ćemo razmotriti osnovne osobine spektara realnih signala. Napišimo definicioni izraz za Furijeovu transformaciju pod pretpostavkom da je signal u vremenu realan: Tada vrijedi: X Ω = x t e dt. (6.35) jωt ( ) ( ) * X ( ) jωt x( t) e dt Ω =, (6.36) X Ω = x t e dt. (6.37) jωt ( ) ( ) Iz jednakosti (6.36) i (6.37) jasno slijedi da je: Budući da je: X * X * ( Ω ) = X ( Ω ). (6.38) ( ) X( ) Ω = Ω, (6.39) * arg X ( Ω ) = arg X ( Ω ), (6.4) zaključujemo da je amplitudni spektar realnog signala parna, a fazni spektar neparna funkcija učestanosti: X ( ) X( ) Ω = Ω, (6.41) arg X ( Ω ) = arg X ( Ω ). (6.42) Sada ćemo lako izvesti zaključke za realni i imaginarni dio Furijeove transformacije realnih signala. Označimo fazni spektar signala sa ϕ ( Ω ) = arg X ( Ω ). Zbog parnosti amplitudnog i neparnosti faznog spektra, realni dio Furijeove transformacije realnih signala: 152

Furijeova transformacija Re { X( )} X( ) cosϕ ( ) Ω = Ω Ω (6.43) je parna funkcija, dok je imaginarni dio Furijeove transformacije realnih signala: Im { X( )} X( ) sinϕ ( ) Ω = Ω Ω (6.44) neparna funkcija učestanosti. Pokazaćemo sada da je Furijeova transformacija parnih realnih signala realna, dok je Furijeova transformacija neparnih realnih signala čisto imaginarna. Svaki signal može da se razloži na njegov parni { xt ()} i neparni { xt ()} dio (vidjeti 2.3): () () { } { ()} xt = xt + xt. (6.45) Posmatrajmo sada Furijeove transformacije parnog i neparnog dijela signala: ( ) ( ) { } { ()} cos( ) sin ( ) r( ) i( ) X Ω = x t + x t Ωt j Ω t dt = X Ω + jx Ω.(6.46) Furijeova transformacija parnog dijela signala: je realna: { ()} cos( ) ( ) { x() t } ( ) = cos Ωt dt, { } sin ( ) x t Ωt dt j x t Ω t dt = (6.47) ( Ω ) = ( ) { } ( Ω ) Xr 2 x t cos t dt, (6.48) { } ( ) jer je integral neparne funkcije xt () sin Ωt jednak nuli. Za Furijeovu transformacija neparnog dijela signala na sličan način se dobije da je čisto imaginarna: 153

GLAVA 6 { ()} cos( ) ( ) { ()} ( ) = j x t sin Ωt dt, { } sin ( ) x t Ωt dt j x t Ω t dt = (6.49) ( Ω ) = ( ) { } ( Ω ) Xi 2 x t sin t dt. (6.5) 6.4 Osobine Furijeove transformacije Analiza signala u frekvencijskom domenu se pojednostavljuje ukoliko poznajemo osobine Furijeove transformacije. U odjeljcima koji slijede dokazaćemo i dati primjere korišćenja osnovnih osobina Furijeove transformacije. Zbog široke primjenljivosti u rješavanju konkretnih problema, ove osobine se često nazivaju pravila Furijeove transformacije. 6.4.1 Simetrija Ukoliko signal u vremenu funkcionalnog oblika x () t (npr. pravougaoni impuls) ima spektar funkcionalnog oblika X ( Ω ) (u posmatranom primjeru to je sinc funkcija), onda spektar signala koji u vremenu ima funkcionalni oblik X () t (sinc funkcija u posmatranom primjeru) poprima oblik reflektovanog originalnog signala (pravougaonog impulsa u posmatranom primjeru) pomnoženog sa 2π. Dakle, ako postoji transformacioni par x() t X ( Ω ), tada je: X () t 2π x( Ω ). (6.51) 154

Furijeova transformacija Dokaz: X x t e dt jωt Kako je Furijeova transformacija data sa ( Ω ) = ( ) jednostavnom zamjenom varijabli t i Ω dobijamo: jt () ( ), onda Ω X t = x Ω e dω. (6.52) Potražimo inverznu Furijeovu transformaciju od 2π x ( Ω ): Ω { 2π ( )} 2π ( ) ( ) F j t jωt x Ω = x Ω e dω = x Ω e dω 2π, (6.53) -1 1 Poredeći (6.52) i (6.53) dobijamo: Ω Ω { π ( Ω )} = () F -1 2 x X t. (6.54) Primjer 6.3: Odrediti i nacrtati Furijeove transformacije Dirakovog impulsa x () t δ () t konstante x() t = 1. = i Rješenje: Polazeći od definicionog izraza za Furijeovu transformaciju i koristeći svojstvo odabiranja Dirakove funkcije dobijamo Furijeovu transformaciju Dirakovog impulsa: jωt jω { δ() } δ() δ() δ() F t = t e dt = t e dt = t dt = 1. (6.55) Dirakova funkcija je realna i parna, pa je njen spektar paran i realan. Furijeovu transformaciju konstante x() t = 1 pronaći ćemo koristeći osobinu simetrije Furijeove transformacije: 155

GLAVAA 6 (a) (b) (c) (d) Slika 6.8 (a) Dirakova funkcija i (b) njena Furijeova transformacija; (c) konstantaa i (d) njena Furijeova transformacija. 156

Furijeova transformacija δ () t 1 x() t = 1 2πδ ( Ω ) = 2πδ ( Ω ). (6.56) Na Slici 6.8 prikazani su spektri Dirakovog impulsa i konstante. Primjećujemo da se u spektru konstante pojavljuje beskonačno velika vrijednost u vidu Dirakove funkcije. Bez uvođenja Dirakove funkcije ne bismo bili u mogućnosti da odredimo spektar konstante, jer konstanta nije apsolutno integrabilan signal i direktno računanje njene Furijeove transformacije preko definicionog izraza nije moguće. Takođe zaključujemo da je spektar konstante paran i realan. 6.4.2 Linearnost Ako postoje transformacioni parovi x1() t X1( Ω ) i x2() t X 2( Ω ), tada je Furijeova transformacija linearne kombinacije signala jednaka na isti način formiranoj linearnoj kombinaciji njihovih Furijeovih transformacija: ax () t + bx () t ax ( Ω ) + bx ( Ω) a b. (6.57) 1 2 1 2,, Dokaz: Budući da je integral linearni operator, direktno slijedi: F jωt + = + = { 1() 2() } 1() 2() ax t bx t ax t bx t e jωt jωt () () ( ) ( ) = a x t e + b x t e = ax Ω + bx Ω 1 2 1 2. (6.58 ) 157

GLAVA 6 6.4.3 Pomak u vremenskom domenu Ako je x() t X ( Ω ), tada pomjeranje signala u vremenu za t vremenskih jedinica ima za posljedicu množenje spektra kompleksnom eksponencijalnom j t funkcijom e Ω : jωt x( t t ) e X ( Ω ). (6.59) Dokaz: Na osnovu definicionog izraza, Furijeovu transformaciju signala pomjerenog u vremenu dobijamo u obliku: F j t jωτ jωt xt t xt t e dt x e e d Ω { ( ) } ( ) ( τ) = = τ = t t = jωt j t e x t e dt e X () j Ωt Ω ( ) τ = = Ω. (6.6 ) Budući da je j t e Ω = 1, zaključujemo da se amplitudni spektar signala ne mijenja prilikom pomjeranja signala u vremenu: Ω ( ) ( ) ( ) jωt j t e X e X X Ω = Ω = Ω. (6.61) Primjer 6.4: Odrediti i nacrtati spektar pomjerenog Dirakovog impulsa δ ( t t ). Rješenje: Znajući da je δ () t 1, koristeći pravilo pomaka u vremenskom domenu direktno dobijamo: jωt δ ( t t ) 1 e. (6.62) Amplitudni i fazni spektar pomjerenog Dirakovog impulsa dati su na Slici 6.9. 158

Furijeova transformacija (a) (b) (c) Slika 6.9 (a) Pomjereni Dir rakov impuls, (b) njegov amplitudni i (c) fazni spektar. Prim mjećujemo da je zbog pomaka u vremenskom domenu došloo do promjene faznog spektra, dok je amplitudnii spektar ostao isti. Prim mjer 6.5: Odr rediti Furijeovu transformaciju nacrtati njegov amplitudni spektar. signala x ( t ) = δ (t 5TT + δ (t 7TT ), ) te 159

GLAVAA 6 Rješenje: Koristeći osobinu linearnosti, a zatim oso obinu pomaka u vremenskom domenu, dobijamo: F ) {δ (t 5TT + δ (t 7T T )} = F = 2 { ( 2e j 6TΩ )} j δ t 5T + F δ t 7T = e jt e Ω + e jtω j6tωω = 2e costω. 2 Budući da se radi o realnom signalu njegov amplitudni spektar je paran. Zadani signal i njeg gov amplitudni spektar prikazani su na Slici 6.1. { ( )} 5TΩ j7 e TΩ + e (6.63) (a) (b) Slika 6.1 (a) Dva pomjerenaa Dirak kova impulsa i (b) njihov amplitudni spektar. 16

Furijeova transformacija 6.4.4 Pomak u frekvencijskom domenu Ako je x() t X ( Ω ), množenje signala u vremenu sa kompleksnom eksponencijalnom funkcijom t e Ω ima za posljedicu pomjeranje spektra po frekvencijskoj osi za Ω : jω t x() t e X ( Ω Ω ). (6.64) Dokaz: Potražimo Furijeovu transformaciju od () j x t t e Ω : j( Ω Ω ) t jω t jω t jωt { () } = () = ( τ) F x t e x t e e dt x e dτ. (6.65) Isti rezultat ćemo dobiti ako u definicionom izrazu za Furijeovu transformaciju zamijenimo Ω sa Ω Ω, što znači da je: j t { xt () e Ω } = X( Ω Ω ) F. (6.66) Primjer 6.6: Odrediti i nacrtati Furijeovu transformaciju signala x () t cos = Ω t. Rješenje: Od ranije znamo da je 1 2πδ ( Ω ). Koristeći osobinu linearnosti i osobinu pomaka u frekvencijskom domenu dobijamo: 1 j t 1 j t { cos t} { e Ω Ω F Ω = F } + F { e } = πδ ( Ω Ω ) + πδ ( Ω+Ω). (6.67) 2 2 Kosinusoida i njena Furijeova transformacija prikazane su na Slici 6.11. 161

GLAVAA 6 (a)( (b)( Slika 6.1 1 (a) Kosinusoida i (b) njenaa Furijeova tran nsformacija. 6..4.5 Skaliranje Proširivanje ili sužavanje (jednom riječju skaliranje) signala u jednom domenu dovodi do sužavanja odnosno proširivanjaa signala u drugom domenu. Ako je x ( t ) X ( Ω ), ond a vrijedi: x(at) 1 Ω X a a, a. (6.68) 162

Furijeova transformacija Dokaz: Na osnovu definicionog izraza za Furijeovu transformaciju imamo: Za a < : 1 a jω p j t a Ω { ( )} = ( ) = ( ) F x at x at e dt x p e dp a. (6.69) F dok je za a > : at p a Ω Ω 1 j t 1 j t a x at = x t e dt = x t e dt = a a, (6.7) Ω 1 j t 1 a Ω = xte () dt= X a a a a { ( )} () () Ω 1 j t 1 a Ω F { xat ( )} = xte () dt X a =. (6.71) a a Ilustracija osobine skaliranja data je na Slici 6.12. 163

GLAVAA 6 Slika 6.12 (a) Skaliranje sa faktorom man njim od jedan, vremenski domen (nastavak na sljedećoj stranici) ; 164

Furijeova transformacija Slika 6.12 (nastavak): (b) skaliranje sa faktorom manjim od jedan, frekvencijski domen (nas( stavak na sljedećoj stranici) ); 165

GLAVAA 6 Slika 6.12 (nastavak): (c) skaliranje sa faktorom većim od jedan, vremenski domen (nastavak na sljedećoj stranici); 166

Furijeova transformacija Slika 6.12 (nastavak): (d) skaliranje sa faktorom većim od jedan, frekvencijski domen. 167

GLAVA 6 6.4.6 Konvolucija u vremenskom domenu Podsjetimo se da je u obradi signala konvolucija: () () = ( ) ( ) x t x t x τ x t τ dτ (6.72 ) 1 2 1 2 jedna od osnovnih operacija jer omogućava pronalaženje odziva na proizvoljnu pobudu sistema sa poznatim impulsnim odzivom. Konvoluciji signala u vremenskom domenu odgovara množenje u frekvencijskom domenu. Ako je x1() t X1( Ω ) i x2() t X 2( Ω ), tada vrijedi da je: x () t x () t X ( Ω) X ( Ω ). (6.73) 1 2 1 2 Dokaz: Potražimo Furijeovu transformaciju konvolucije dva signala: F j t jωt x t x t x t x t e dt x τ x t τ dτe dt Ω { 1() 2() } = 1() 2() = 1( ) 2( ) Nakon zamjene redoslijeda integraljenja:. (6.74) F jωt { x1() t x2() t } = x1( τ) x2( t τ) e dt dτ (6.75 ) i smjene varijabli θ = t τ : F jωθ jωτ { x1() t x2() t } = x1( τ) x2( θ) e dθe dτ, (6.76) uz napomenu da integral u uglastim zagradama ne zavisi od τ, dobijamo: F { () ()} ( ) j Ω j x1 t x2 t x2 e θ Ωτ = θ dθ x1( τ) e dτ= X2( Ω) X1( Ω). (6.77) 168

Furijeova transformacija Prim mjer 6.7: Pola azeći od poznatog izrazaa za Furijeovu transformaciju pravougaonog impulsa i koristeći oso obinu konvolucije, odrediti Furijeovu transformaciju trougaonog impulsa sa Slike 6. 13,, amplitude A i trajanja od T do d T. Slika 6.13 Trougaoni impuls. Rješe enje: Post tupak određivanja Furijeove transformacije trougaonog impulsa je prikazan je na Slici 6..14.. Prv vo se odredi Furijeovaa transformaciju pravougaonog impulsa amplitude A i trajanja od T do T kojak je jednaka 2AT2 T sincωt. Konvolucija ovakva dva pravougaona impulsa x 1 ( t ) i x 2 ( t ) 2 rezultuje trougaonim impulsom x 3 ( t ) amplitude 2AA T i trajanja od 2T do 2T 2, čija je Furi ijeova transformacija, dobijena koristeći osobinu konvolucije u 2 vremenskom domenu, jednaka 4A T 2 2 sinc ΩTT. Kako bismoo od o trougaonog impulsa koji je nastao konvolucijom dobilii trougaoni impuls čijuu Furijeovu transformaciju tražimo, neophodno ga je umanjiti po amplitudi 2AT2 T puta da se dobije signal x 4 ( t ), a zatim skalirati sa faktorom 2, te se primjenom osobina linearnosti i skaliranja konačnoo dobi ije tražena Furijeova transformacija u 2 ΩTT obliku AT sinc. 2 169

GLAVAA 6 Slika 6.14 Odre eđivanje Furijeove transformacije trougaonog impulsa (vremenski domen). 17

Furijeova transformacija Slika 6.14 Odre eđivanje Furijeovee transformacije trougaonog impulsa (frekvencijski domen) ). 171

GLAVA 6 6.4.7 Konvolucija u frekvencijskom domenu Osobina konvolucije u vremenskom domenu, koja se ponekad naziva i modulacioni teorem, kaže da konvoluciji Furijeovih transformacija signala u frekvencijskom domenu odgovara množenje signala u vremenskom domenu. x t X x t X Ω, tada je: Ako je () ( Ω) i () ( ) 1 1 2 2 1 x1() t x2() t X1( Ω) X2( Ω ). (6.78) 2π Dokaz: Potražimo inverznu Furijeovu transformaciju konvolucije Furijeovih transformacija dva signala, koja je podijeljena sa 2π : F 1 1 1 1 jωt X ( Ω) X ( Ω ) = X ( Ω) X ( Ω) e dω= 2π 2π 2π 1 2 1 2 2 1 jωt = X1( Ψ) X2( Ω Ψ) dψe dω. 2π Nakon zamjene redoslijeda integraljenja: (6.79 ) 2 1 1 1 jωt F X1( Ω) X2( Ω ) = X1( Ψ) X2( Ω Ψ) e dωdψ 2π 2π, (6.8 ) i smjene varijabli Θ=Ω Ψ: F X Ω X Ω = X Ψ X Θ e dθ e dψ, (6.81) 2 1 1 1 jθt jψt 1( ) 2( ) 1( ) 2( ) 2π 2π uz napomenu da integral u uglastim zagradama ne zavisi od Ψ, dobijamo sljedeće: 172

Furijeova transformacija F X Ω X Ω = X Θ e dθ X Ψ e dψ, (6.82) 1 1 1 jθt 1 jψt 1( ) 2( ) 2( ) 1( ) 2π 2π 2π F 1 1 1( ) 2( ) 1() 2() 2 X Ω π X Ω = x t x t. (6.83) Primjer 6.8: 2π Odrediti Furijeovu transformaciju kosinusoide učestanosti Ω =, T amplitudno modulisane sa trougaonim impulsom jedinične amplitude i trajanja T od T do T. Vrijedi da je T =. 4 Rješenje: Označimo sa x1 () t trougaoni impuls prikazan na Slici 6.15(a). Amplitudnom modulacijom kosinusoide sa trougaonim impulsom dobijamo: () () x t = x t cosω t. (6.84) 1 Na osnovu pravila konvolucije u frekvencijskom domenu dobijamo: 1 X ( Ω ) = X1( Ω) F { cosω t} = 2π 1 = X1( Ω) πδ ( ) πδ ( ) 2π Ω Ω + Ω+Ω = 1 1 = X1( Ω Ω ) + X1( Ω+Ω), 2 2 (6.85) 2 ΩT gdje je xt () X( Ω ), a x1() t X1( Ω ) = Tsinc. Postupak je ilustrovan na 2 Slici 6.15, a konačan analitički izraz dat sa: X ( ) ( Ω Ω ) T T ( Ω+Ω ) T 2 2 2 2 2 2 Ω = sinc + sinc. (6.86) T 173

GLAVAA 6 (a) (b) (c) Slika 6.15 (a) Trou ugaoni impuls; (b)) kosinusoida i (c) amplitudno modulisana kos sinusoida. 174

Furijeova transformacija (d) (e) (f) Slika 6.15 (d) Furijeova transformacija trougaonog impulsa; ; (e) Furijeova transformacija kosinusoide i (f) Furijeova transformacijaa amplitudno mod dulisane kosinusoide. 175

GLAVA 6 6.4.8 Deriviranje u vremenskom domenu Ako postoji transformacioni par xt () X( ) dx() t j X ( ) Ω, tada je: Ω Ω. (6.87) dt Ako u vremenskom domenu deriviramo signal, to će u frekvencijskom domenu, zbog množenja sa jω, dovesti do naglašavanja visokofrekvencijskih komponenti signala. Dokaz: Izrazimo signal x() t preko inverzne Furijeove transformacije, pa potražimo njegov izvod: dx d 1 1 = Ω Ω = Ω Ω Ω dt dt 2π 2π jωx Ω, te je: jωt jωt X( ) e d j X( ) e d. (6.88) Dobijeni izraz je inverzna Furijeova transformacija od ( ) () dx t jωx ( Ω ). (6.89) dt Ponavljajući postupak n puta, dobijamo da je: () n d x t n dt n ( j ) X ( ) Ω Ω. (6.9) Primjer 6.9: Odrediti Furijeovu transformaciju jedinične odskočne funkcije. Rješenje: Između funkcije znaka: 176

Furijeova transformacija i Hevisajdove funkcije: postoji sljedeća veza: 1, t < sgn () t =, t = 1, t >, t < 1 uh () t =, t = 2 1, t > (6.91) (6.92) 1 1 sgn () t = uh () t. (6.93) 2 2 1 Prvi izvod funkcije sgn () t jednak je prvom izvodu funkcije uh () t : 2 d 1 d 1 duh sgn () t uh () t δ t dt 2 = = = dt 2 dt Znajući da Dirakova funkcija kao transformacioni par ima konstantu vrijednosti jedan, dobijamo Furijeovu transformaciju izvoda funkcije znaka i Furijeovu transformaciju izvoda funkcije uh () t : () t (). (6.94) d 1 du sgn () t h F = = 1 dt 2 F. (6.95) dt Koristeći osobinu deriviranja u vremenskom domenu dobijamo: 1 jω F sgn () t = jω { u ()} 1 h t = 2 F. (6.96) Da bismo dobili Furijeove transformacije funkcije znaka i funkcije uh () t, trebamo prethodnu jednakost podijeliti sa jω. Kako Ω poprima vrijednosti od do, spektar signala koji se dobije dijeljenjem sa jω važeći je za sve učestanosti osim za Ω=. 177

GLAVA 6 Vrijednost spektra za Ω= nosi informaciju o jednosmjernoj komponenti sadržanoj u signalu. Za funkciju znaka vrijednost Furijeove transformacije za Ω= je jednaka nuli: jt { ()} () F sgn t = sgn t e dt = 1 dt+ 1 dt =, (6.97) Ω= što znači da u funkciji znaka nije sadržana jednosmjerna komponenta, dok funkcija uh () t ima jednosmjernu komponentu jer njena Furijeova transformacija u nuli ima beskonačnu vrijednost: + jt 1 F { uh() t } = uh() t e dt = dt+ 1 dt = 1 dt Ω= 2. (6.98) Koristeći vezu: + + dobijamo Furijeovu transformaciju funkcije uh () t : 1 1 1 2 2 jω Vrijednost jediničnog odskočnog signala: 1 1 uh () t = sgn () t +, (6.99) 2 2 F { uh () t } = F sgn () t + = + πδ ( Ω). (6.1), t < u() t =, (6.11) 1, t > u nuli nije definisana. Ovaj signal može da se od funkcije uh () t razlikuje samo u t =. Ta razlika ne utiče na vrijednost Furijeovog integrala, te je Furijeova transformacija jediničnog odskočnog signala ut () jednaka Furijeovoj transformaciji Hevisajdove funkcije uh () t : 1 jω () + πδ ( Ω) u t. (6.12) 178

Furijeova transformacija Napomenimo da se prilikom određivanja inverzne Furijeove transformacije 1 + πδ Ω na osnovu (6.2) uvijek rekonstruiše Hevisajdova funkcija jω iz ( ) uh () t. 6.4.9 Deriviranje u frekvencijskom domenu Deriviranju u frekvencijskom domenu odgovara množenje sa nezavisnom varijablom t u vremenskom domenu. Ako postoji transformacioni par xt X Ω, tada je: () ( ) () tx t j dx ( Ω) Dokaz: Deriviranjem izraza za Furijeovu transformaciju po Ω : dω. (6.13) dobijamo: Ω () ( ) xte dt= X Ω (6.14) d Ω j t d te je: () j t dx ( Ω) Ω j tx t e dt =, (6.15) dω () tx t j dx ( Ω) Deriviranjem n puta dobijamo transformacioni par: dω. (6.16) () n t x t n n d X j n dω ( Ω). (6.17) 179

GLAVA 6 6.4.1 Integraljenje u vremenskom domenu Integraljenju u vremenskom domenu odgovara dijeljenje u frekvencijskom domenu sa nezavisnom varijablom Ω, zbog čega dolazi do naglašavanja niskofrekvencijskih komponenti signala. Ukoliko originalni signal ima jednosmjernu komponentu, u spektru integraljenog signala pojavljuje se π X. Dirakov impuls jačine udara ( ) Ako postoji transformacioni par xt () X( ) t Ω, tada vrijedi da je: 1 x( τ) dτ X( Ω ) + πx( ) δ( Ω). (6.18) jω Dokaz: 1 jω Konvolucija proizvoljnog signala x() t i Hevisajdove funkcije ut () je data sa: Znamo da je Furijeova transformacija Hevisajdove funkcije + πδ ( Ω) t () () = ( τ) ( τ) τ = ( τ) τ. (6.19) x t u t x u t d x d Furijeova transformacija prethodnog izraza, uz korišćenje osobine konvolucije u vremenskom domenu, daje:. F t 1 x( τ) dτ = F { x() t u() t } = X( Ω ) + πδ( Ω ) = j Ω X ( Ω) = + πx ( ) δ( Ω). jω (6.11) 18

Furijeova transformacija 6.4.11 Integraljenje u frekvencijskom domenu Ako postoji transformacioni par xt () X( ) Ω, onda vrijedi da je: 1 x() t + πx( ) δ() t X( Ψ) dψ jt. (6.111) Dokaz: Na osnovu pravila simetrije i poznatog transformacionog para: Ω dobijamo: 1 jω () + πδ ( Ω) u t (6.112 ) 1 + πδ () t 2π u( Ω ). (6.113) jt Inverzna Furijeova transformacija konvolucije proizvoljnog signala X ( Ω ) i reflektovane Hevisajdove funkcije u( Ω ) u frekvencijskom domenu, jednaka je umnošku njihovih pojedinačnih inverznih Furijeovih transformacija i faktora 2π : F 1 1 1 xt { X( ) u( )} 2 π x() t () t x t 2π jt πδ Ω Ω = + = + jt π δ () ( ) ( ). (6.114) S druge strane, konvolucioni integral proizvoljnog signala X ( Ω ) i reflektovane Hevisajdove funkcije u( Ω ) u frekvencijskom domenu, zbog antikauzalnosti reflektovane Hevisajdove funkcije, različit je od nule samo u granicama od Ω do : X( Ω) u( Ω ) = X( Ψ) dψ. (6.115) Ω 181

GLAVA 6 Na osnovu dvije posljednje relacije zaključujemo da je: ( ) () xt 1 F X Ψ dψ = + πx t. (6.116) Ω jt ( ) δ( ) U Tabeli 6.1 je dat zbirni prikaz osobina Furijeove transformacije. 6.5 Furijeova transformacija periodičnih signala Do sada smo za predstavu periodičnih signala preko elementarnih kompleksnih eksponencijalnih (prostoperiodičnih) komponenti koristili razvoj signala u Furijeov red. Osnovna karakteristika spektra periodičnih signala koja ga razlikuje od spektra neperiodičnih signala je njegova diskretnost, odnosno konačne razlike frekvencija spektralnih komponenti. Analizirajući osobine Furijeove transformacije primijetili smo da se u spektru konstante, sinusne i kosinusne funkcije pojavljuju Dirakovi impulsi. Sada ćemo razmatranje uopštiti i pokazati da se Furijeova transformacija može koristiti i za spektralnu analizu periodičnih signala. U tu svrhu prvo ćemo prikazati periodičan signal preko Furijeovog reda, a zatim pronaći Furijeovu transformaciju tog signala. Kompleksni oblik Furijeovog reda je oblika: sa koeficijentima: jkωt xt () = Ce (6.117 ) k k = 1 jk t T Ω () Ck = x t e dt T. (6.118) 182

Furijeova transformacija Tabela 6.1. Osobine Furijeove transformacije. Osobina x () t X ( Ω ) Simetrija X () t 2π x ( Ω ) Linearnost ax () t + bx () t a b ax ( Ω ) + bx ( Ω ) Pomak u vremenskom domenu Pomak u frekvencijskom domenu 1 2,,. 1 2 jωt x ( t t ) e X ( Ω ) j t () e Ω X ( Ω Ω ) x t Skaliranje x( at), Konvolucija u vremenskom domenu Konvolucija u frekvencijskom domenu Deriviranje u vremenskom domenu Deriviranje u frekvencijskom domenu Integraljenje u vremenskom domenu a 1 X a Ω a () () X ( Ω) X ( Ω ) x t x t 1 2 1 2 1 () () 1( ) 2( ) 2 X Ω π X Ω x t x t 1 2 dx() t dt ( ) jωx Ω dx tx() ( Ω) t t j dω x( τ ) dτ X ( Ω ) + π X ( ) δ ( Ω) 1 jω Integraljenje u frekvencijskom domenu 1 x t x t jt () + π ( ) δ () X ( Ψ) Ω d Ψ 183

GLAVA 6 Furijeovom transformacijom signala x () t dobijamo: jkωt jkωt F { x () t} = F Ce k = F { Ce k } = Ck 2πδ ( Ω kω ).(6.119) k= k= k= Furijeova transformacija periodičnog signala je niz Dirakovih impulsa na učestanostima kω za koje se inače računa Furijeov red tog signala. Za ostale učestanosti taj spektar je jednak nuli, te kažemo da ima diskretnu prirodu. Svaki Dirakov impuls 2πδ ( Ω kω ) u poslednjem izrazu zapravo je Furijeova transformacija jedne kompleksne prostoperiodične komponente jk t e Ω, dobijen na osnovu osobine pomaka u frekvencijskom domenu. Dakle, pri traženju Furijeove transformacije periodičnog signala, neophodno je pronaći koeficijente Furijeovog reda tog signala. Tada je: { x () t } = Ck 2πδ ( Ω kω ) F. (6.12) k = Određivanje koeficijenata Furijeovog reda pri traženju Furijeove transformacije periodičnih signala se može izbjeći. Naime, svaki periodičan signal x () t perioda T možemo posmatrati kao rezultat konvolucije neperiodičnog signala x() t koji je na osnovnom periodu jednak periodičnom signalu: () xt sa povorkom Dirakovih impulsa: T T xt (), t, = 2 2, (6.121), inače Dakle, () t = δ ( t kt ) δ. (6.122) k = () = ()* δ () = ()* δ ( ) = ( ) x t x t t x t t kt x t kt. (6.123) k= k= 184

Furijeova transformacija Koristeći osobinu konvolucije u vremenskom domenu, Furijeova transformacija periodičnog signala jednaka je proizvodu Furijeove transformacije signala x() t i Furijeove transformacije povorke Dirakovih impulsa δ () t : { } ( ) { δ( )} { () } ()* δ() F x t = F x t t = X Ω F t. (6.124) Prvo ćemo odrediti koeficijente Furijeovog reda i pronaći Furijeovu transformaciju povorke Dirakovih impulsa: F T T 2 2 jk t jk t 1 1 1 Ck = δ () t e dt δ () t e dt T = = T, (6.125) T T T 2 2 { 2π δ () t } Ck 2πδ ( k ) δ ( k ) = Ω Ω = Ω Ω = T k= ( k ) δ ( ) =Ω δ Ω Ω = Ω k =. k= (6.126) Furijeova transformacija povorke Dirakovih impulsa prikazana je na Slici 6.16. Primjenjujući osobinu odabiranja Dirakove funkcije u frekvencijskom domenu: ( ) δ( ) ( ) δ( ) X Ω Ω kω = X kω Ω kω (6.127) iz (6.133) i (6.135) dobijamo Furijeovu transformaciju periodičnog signala: F { x () t } = X ( Ω) Ω δ ( Ω kω ) =Ω X ( kω) δ ( Ω kω) k= k=. (6.128) 185

GLAVAA 6 (a) (b) Slika 6.16 (a) Signal u obliku povorke Dirakovih impulsa i (b) njegova Furi ijeova transformacija. Primjer 6.1: Odrediti Furi jeovu transformaciju povorkee trougaonih impulsa datih na Slici 6. 17, pri čemu je T = 4T. e Slika 6.17 Povorka trougaonih impulsa. 186

Furijeova transformacija Rješenje: Postupak određivanja Furijeove transformacije povorke trougaonih impulsa prikazan je na Slici 6.18. Prvo izdvajamo jedan period periodičnog signala x () t i formiramo signal x() t. Furijeova transformacija neperiodičnog 2 ΩT signala x() t je X ( Ω ) = ATsinc. Periodičan signal x () t u vremenskom 2 domenu možemo dobiti konvolucijom signala x() t i povorke Dirakovih impulsa δ () t, čemu u domenu Furijeove transformacije odgovara množenje, tako da je: s ( ) F ( ) { } F { () δ ()} X Ω = x t = x t t = ΩT 2π 2 = AT sinc δ ( Ω kω ) = 2 T k = πa 2 kπ = sinc δ ( Ω kω ). 2 k = 4 (6.129) 187

GLAVAA 6 (a) (b) (c) Slika 6.18 Određivanje Fur rijeove transformacije povorke trougaonih impulsa (vremenski domen) ): (a) jedan trougaoni impuls; (b) povorka Dirak kovih impulsa i (c) povorka trougaonih impulsa. 188

Furijeovaa transformacija (d) (e) (f) Slika 6.18 Odre eđivanje Furijeovee transformacije povorke trougaonih impulsa (frekvencijski domen) ): (d) Furijeova transformacijaa jednog trougaonog impulsa; (e) Furijeova transformacija povorke Dira akovih impulsaa i (f) Furi ijeova transformacija povorke trougaonih impulsa. 189

GLAVA 6 6.6 Parsevalova teorema za kontinualne neperiodične signale Posmatrajmo neperiodične signale koji imaju konačnu energiju datu sa: Koristeći izraz za sintezu signala: W = x t dt. (6.13) x () 2 1 jωt x() t = X( ) e d 2π Ω Ω (6.131) i njegov konjugovano kompleksni oblik: * 1 * jωt x () t X ( ) e d 2π = Ω Ω, (6.132) pokazaćemo da energiju signala možemo računati i u transformacionom domenu: * 1 * jωt Wx = x() t x () t dt = x() t X ( ) e d dt 2π Ω Ω = 1 * jωt = X ( Ω) x( t) e dtdω= 2π * 2 X X d X d 1 1 = ( ) ( ) ( ). 2π Ω Ω Ω= Ω Ω 2π Parsevalova teorema za neperiodične kontinualne signale: (6.133) 1 Wx = x t dt = X Ω dω 2π 2 2 () ( ) (6.134) nam kaže da energiju signala možemo računati i u frekvencijskom domenu. Funkcija ( ) 2 X Ω se u literaturi naziva spektralna gustina energije, gustina energetskog spektra ili kratko energetski spektar signala. Primjer grafičke predstave energetskog spektra dat je na Slici 6.19. 19

Furijeovaa transformacija Slik ka 6.19 Energetski spektar pravougaonog impulsa. Za realne signale vrijedi X ( Ω 2 = X ( Ω ) 2, što znači da je energetski spektar parnaa funkcija. Ene rgetski spektar signala je preko Furijeove transformacije povezan sa korelacijom sign nala. Potražimo Furijeovu transformaciju autokorelacije: F { ( ) x( xt ( t)} = F = X Pri tome smo koristilii da je: * { * x ( ( Ω ) t x t = F X ) ( Ω) 2 ( Ω). )} { x * ( t ) )} F {x( } = ( t)} (6.135) što je lako pokazati: * x ( t ) X * ( Ω), (6.136) * X (Ω) = = F x * { ( x ) t e * ( jω t d )} dt t }. t τ = x * ( τ )e Zakl ljučujemo da je Furijeova transformacijaa autokorelacije jednaka gustini energetskog spe ektra signala: F {RR xx () t } = X (Ω) 2. (6.138) Dak kle, autokorelacija i energetski spektar signalaa nose istu informaciju o signalu i iz njih nije mog guće rekonstruisati origi inalni signal. jωτ dτ = * x ( t) e j t e Ω t dt = (6.137) 191

GLAVA 6 6.7 Odmjeravanje signala Ako se radi digitalna obrada kontinualnih signala, signalu je potrebno pridružiti niz brojeva koji odgovaraju njegovim vrijednostima u odabranim trenucima vremena. Taj postupak, koji nazivamo analogno/digitalna konverzija ili kratko digitalizacija, se sastoji od dva koraka. Prvo se vrši odmjeravanje signala tako što se uzimaju uzorci signala u odabranim vremenskim trenucima. Zatim se vrijednosti tako dobijenih odmjeraka signala kvantuju i dodjeljuje im se brojna vrijednost iz konačnog skupa brojeva. U ovom poglavlju ćemo se baviti uticajem odmjeravanja na spektralne karakteristike signala. Odmjeravanje signala ćemo matematički modelirati množenjem signala sa povorkom Dirakovih impulsa: s () = () δ () = () δ ( Δ ) = ( Δ ) δ ( Δ ) x t x t t x t t k t x k t t k t. (6.139) k= k= Signal koji nastaje procesom odmjeravanja, nazvaćemo odmjereni signal. Potrebno je naglasiti da je odmjereni signal kontinualna funkcija, jer su njegove vrijednosti poznate u svakom trenutku vremena. Odmjereni signal je zapravo povorka Dirakovih impulsa u trenucima odabiranja t= kδ t, čije su jačine udara jednake vrijednostima signala u tim vremenskim trenucima. Za ostale vrijednosti vremenske nezavisne varijable odmjereni signal jednak je nuli. Furijeova transformacija odmjerenog signala je: { ()} () s δ () 1 { } { ()} { δ ()} F x t = F x t t = F x t F t, (6.14) 2π 1 F { xs() t } = X ( Ω) Ωs δ ( Ω kωs), (6.141) 2π k = 1 2π F { xs() t } = X s( Ω ) = X ( Ω kωs), Ω s =. (6.142) Δt k = Δt Primjećujemo da se spektar odmjerenog signala periodično ponavlja sa periodom koji je jednak učestanosti odmjeravanja: 2π Ω s =. (6.143) Δ t 192

Furijeova transformacija Osnovni cilj prilikom odmjeravanja signala je da se sačuva što više informacija sadržanih u signalu, kako bi se na osnovu odmjeraka mogao što bolje rekonstruisati originalni kontinualni signal. Na osnovu teorije razvoja signala preko ortogonalnih funkcija znamo da je za idealnu rekonstrukciju signala računanjem inverzne transformacije neophodno poznavanje svih spektralnih komponenti signala, dok je za aproksimaciju signala moguće koristiti uži frekvencijski opseg, pri čemu se dodavanjem visokofrekvencijskih komponenti smanjuje srednjekvadratna greška pri rekonstrukciji signala. Kao posljedica odmjeravanja signala, u frekvencijskom domenu dolazi do periodičnog ponavljanja spektra kontinualnog signala. Pri tome se može desiti da se frekvencijske komponente iz jednog perioda signala preklope sa frekvencijskim komponentama iz drugih perioda. Tu pojavu nazivamo preklapanje spektra (aliasing). Preklapanje spektra se može izbjeći ako je spektar kontinualnog signala ograničen. U praktičnim primjenama često radimo sa signalima za koje možemo smatrati da imaju ograničen spektar. Vidjećemo da je pod tim uslovom moguće iz spektra odmjerenog signala izdvojiti spektar kontinualnog signala, te inverznom Furijeovom transformacijom rekonstruisati originalni kontinualni signal. Pretpostavimo da je spektar signala ograničen, tj. da se u spektru signala ne pojavljuju frekvencijske komponente učestanosti većih od Ω g. Na Slici 6.2 su prikazana tri karakteristična slučaja koja ilustruju šta se dešava sa spektrom odmjerenog realnog signala (čiji je spektar paran) prilikom promjene učestanosti odmjeravanja. U prvom slučaju učestanost odmjeravanja je bar dva puta veća od gornje granične učestanosti Ω g kontinualnog signala, dok je u drugom slučaju jednaka 2Ω g. U ova dva slučaja ne dolazi do preklapanja u spektru odmjerenog signala. Do preklapanja u spektru odmjerenog signala dolazi kada je učestanost odmjeravanja manja od 2Ω g. Sa Slike 6.2 je jasno vidljivo da je idealna rekonstrukcija spektra kontinualnog signala, a samim tim i rekonstrukcija originalnog kontinualnog signala bez gubitaka, moguća ako je učestanost odmjeravanja dovoljno velika, tj. u slučajevima kada je Ω 2Ω. Ovaj uslov naziva se Nikvistov kriterij, a učestanost učestanost. Ω s 2 se naziva Nikvistova s g 193

GLAVAA 6 (a) (b) (c) Slika 6.2 Odmjeravanje signala: (a) kontinualni signal; (b) povorka Dirakovih 2π impulsa i (c) odm mjereni signal, Δt 1 = (nastavak na slje edećoj Ω s1 stranici) ); 194

Furijeovaa transformacija (d) (e) (f) Slika 6.2 (nastavak): (d) amplitudni spektar signala xtt ; (e) Furijeova transformacija povorke Dirakovih impulsa i (f) amplitudni spektar odmjerenog signala, Ω > 2Ω g (nastavak na sljedećoj stranici); Ω s1 ( ) 195

GLAVAA 6 (g) (h) 2π Slika 6.2 (nastavak): (g) odmjereni signal, Δ t 2 = Ω 2ππ Δtt 3 = (nastavak na sljedećoj stras anici); Ω s3 s 2 i (h) odmjereni signal, 196

Furijeovaa transformacija (i) (j) Slika 6.2 (nastavak): (i) amplitudni spektar odmjerenog signala, Ω s3 (j) amplitudni spektarr odmjerenog signala, Ω 2 g < 2Ω. Ωs 2 = = 2Ω Ω g i 1971

GLAVA 6 6.8 Rekonstrukcija signala iz njegovih odmjeraka Pretpostavimo da je prilikom odmjeravanja signala poštovan Nikvistov kriterij. Pokazaćemo da je pod tim uslovom moguća idealna rekonstrukcija signala. Prvo ćemo izdvojiti spektar kontinualnog signala iz spektra odmjerenog signala množenjem spektra odmjerenog signala sa tzv. prozorskom funkcijom P( Ω ), koja je data na Slici 6.21(a). Transformacioni par u vremenskom domenu ovoj prozorskoj funkciji P( Ω ) je sinc funkcija: Ωs 2π pt () = sinc t, Ω s =, (6.144) 2 Δ t prikazana na Slici 6.21(b), što se lako odredi koristeći osobinu simetrije Furijeove transformacije. Množenju spektra odmjerenog signala sa prozorskom funkcijom u frekvencijskom domenu: ( Ω ) = ( Ω) ( Ω) X X P, (6.145) s odgovara konvolucija odmjerenog signala sa funkcijom p() t u vremenskom domenu: () () () xt = xs t pt = Ωs = x( kδt) δ ( t kδt) sinc t = k = 2 Ωs = x( kδt) sinc ( t kδt). 2 k = (6.146) Dakle, rekonstrukcija signala u vremenskom domenu se može posmatrati kao suma beskonačno mnogo sinc funkcija oblika (6.144), koje djeluju u trenucima kδ t i čije su amplitude pomnožene sa vrijednostima signala u tačkama odabiranja, pogledati Sliku 6.22. Funkcija p() t data sa (6.144) omogućava rekonstrukciju kontinualnog signala iz njegovih odmjeraka bez greške, te se naziva idealna interpolaciona funkcija. 198

Furijeovaa transformacija (a) (b) Slika 6. 21 (a) Prozorska funkcijaa u frekvencijskom domenu i (b) idealna interpolaciona funkcija kao njen Furijeov transformacioni par u vrem menskom domenu. Prim mjetimo da je idealnaa interpolaciona funk kcija nekauzalna. Zbog toga na vrijednost rekonstruisanog signala u nekom trenutku ne utiču samo vrijednosti odmjerakaa signala do tog i u tom trenutku, već i nakon posmatranog trenutka u kom se vrši rekonstrukcija, sve do beskonačnosti, pogledati Sliku 6.22(f). To onemogućavaa rekonstrukciju signala u realnom vremenu, tj. istovremeno sa pristizanjem informacija o odmjercima signala. Zbog problemaa uzro okovanih nekauzalnošću ove funkcije, u prak ksi se primjenjujuu kauzalne interpolacione funkcije pomoću kojih se rekonstruiše približan oblik signala. 1991

GLAVAA 6 (a) (b) (c) Slika 6.22 Idealna rekonstrukcija signala: (a) amplitudni spektar odmjerenog signala; (b) prozorska fun nkcija i (c)) amplitudni spektar kontinualnog signala dobijen kao proizvod X s ( Ω) i P( Ω) (nastavak na sljedećoj stranici) ); 2

Furijeovaa transformacija (d) (e) (f) Slika 6.22 (nastavak): (d) odmjereni signal; (e) idealnaa interpolaciona funkcija i (f) rekonstruisani kontinualni signal nacrtan debelom linijom, dok su tankim linijama nacrtane konvolucije pojedinačnih Dirakovih impulsa signala t sa idealnom interpolacionom funkcijom. x s () 212

GLAVA 6 6.9 Gibsov fenomen Prilikom rekonstrukcije signala množenje u frekvencijskom domenu uniformnom prozorskom funkcijom P( Ω ), koja je različita od nule i jednaka jedinici samo za Ω Ω, garantuje idealnu rekonstrukciju signala čija je gornja granična učestanost manja ili jednaka od Ω. Ako bi širina prozorske funkcije bila manja, došlo bi do odsijecanja dijela spektra signala na učestanostima većim od Ω. U slučaju signala sa diskontinuitetima, čiji spektar nije ograničen i prekriva cijeli frekvencijski opseg od do beskonačno, odsijecanje visokofrekvencijskih komponenti je neminovno sve dok je širina prozorske funkcije konačna. Rekonstrukcija signala bez visokofrekvencijskih komponenti rezultuje aproksimativnim oblicima signala. Srednjekvadratna greška koja se čini pri rekonstrukciji signala se smanjuje sa povećanjem širine prozorske funkcije i teži ka nuli kada širina prozorske funkcije teži ka beskonačnosti. Međutim, pri rekonstrukciji signala koji sadrže diskontinuitete, iako srednjekvadratna greška postaje jako mala pri velikim širinama prozora, rekonstruisani signal se po svom obliku značajno razlikuje od originalnog signala i u njemu se pojavljuju karakteristični preskoci i oscilacije nazvani Gibsov fenomen (Josiah Willard Gibbs, 1839 193). Ilustrovaćemo Gibsov fenomen na primjeru rekonstrukcije Hevisajdove funkcije iz njenog spektra. U svrhu rekonstrukcije, pomnožimo spektar Hevisajdove funkcije U( Ω) sa prozorskom funkcijom P( Ω ) širine Ω : ( ), ˆ U Ω Ω Ω U( Ω ) = U( Ω) P( Ω ) =. (6.147), inače Inverznom Furijeovom transformacijom dobijamo: () ˆ ( ) { } ( ) ( ) 1 1{ } () 1 { ( )} û t = F U Ω = F U Ω P Ω = u t F P Ω. (6.148) Inverzna Furijeova transformacija prozorske funkcije dobije se koristeći pravilo simetrije: Ω F { }, (6.149) π () ( ) 1 pt = PΩ = sincωt 22

Furijeova transformacija tako da je rekonstruisana Hevisajdova funkcija jednaka: t Ω Ω Ω ut ˆ ut sinc t ut sinc d sinc d π π π Numeričkom integracijom se može pokazati da maksimalna vrijednost ovog π integrala nastupa za t =. Do ovog zaključka se može doći i posmatrajući Ω () = () ( Ω ) = ( τ) ( Ω τ) τ = ( Ωτ) τ.(6.15) grafičko rješavanje konvolucije Hevisajdove i sinc funkcije ilustrovano na Slici 6.23. Vidljivo je da se najveća površina ispod proizvoda ove dvije funkcije π dobije kada se prednja ivica reflektovane Hevisajdove funkcije nađe u t =, Ω što je prikazano punom linijom na Slici 6.23(b). Maksimalna vrijednost ût () je za 9% veća od vrijednosti Hevisajdove funkcije i ne zavisi od širine prozorske funkcije Ω. Sa povećanjem širine prozorske funkcije u frekvencijskom domenu smanjuje se širina glavnog luka i razmak između nula sinc funkcije u vremenskom domenu, ali istovremeno, shodno osobini skaliranja Furijeove transformacije, proporcionalno raste njena amplituda. Zbog toga pri povećanju širine prozorske funkcije frekvencija oscilacija u rekonstruisanom signalu raste, povećava se strmina u okolini tačke gdje originalni signal ima prekid i preskok se pomjera prema tački prekida postajući sve uži, ali vrijednost maksimuma rekonstruisanog signala, koji odgovara površini ispod proizvoda Hevisajdove i sinc funkcije u trenutku π t = ostaje 1,9. I pored toga što pri povećanju frekvencijskog opsega na Ω osnovu kog se vrši rekonstrukcija signala preskok ostaje iste visine, period oscilacija u rekonstruisanom signalu postaje sve kraći, tako da se srednjekvadratna greška sve više smanjuje. Za ilustraciju navedenog, na slikama 6.24 i 6.25 prikazan je Gibsov fenomen koji se javlja pri rekonstrukciji pravougaonog impulsa. Širina prozorske funkcije na Slici 6.25 je dva puta veća od širine prozorske funkcije na Slici 6.24, tako da se na ovim slikama može pratiti uticaj širine prozorske funkcije na oblik oscilacija koje se javljaju u rekonstruisanom signalu. 23

GLAVAA 6 (a) (b) (c) Slika 6.23 Rekonstrukcija Hevisajdove funkcije iz ograničenog spektra signala: (a) p() t - inverzna Furijeova transformacijaa prozorske funkcije; ; (b) pomjeranje reflektovane Hevisajdove funkcije pri određivanju konvolucije i (c) konvolucija Hevisajdove funkcije sa p( t). 24

Furijeova transformacija 6.1 Hilbertova transformacija Za kauzalni signal moguće je uspostaviti vezu između realnog i imaginarnog dijela njegove Furijeove transformacije. Da bismo to pokazali, pođimo od činjenice da svaki kauzalan signal, koji je jednak nuli za t <, možemo zapisati na sljedeći način: x() t = x() t u() t. (6.151) Množenju dva signala u vremenskom domenu odgovara konvolucija njihovih Furijeovih transformacija u frekvencijskom domenu, pa dobijamo: 1 X( Ω ) = F { x( t) } = F { x() t u() t } = X( Ω) U( Ω), (6.152) 2π { } { } gdje je X ( Ω ) =F xt ( ) i U( Ω ) =F u( t). Sada je: 1 1 X ( Ω ) = R( Ω ) + ji( Ω ) = R( ) ji( ) πδ ( ) 2π Ω + Ω Ω + = jω (6.153) 1 1 1 1 1 1 = R( Ω) δ( Ω ) + I( Ω) + j I( Ω) δ ( Ω) R( Ω). 2 2π Ω 2 2π Ω Na osnovu (4.31) znamo da je konvolucija signala sa Dirakovim impulsom pomjerenim u tačku t jednaka tom signalu pomjerenom u tačku t. Zbog toga su konvolucije sa Dirakovim impulsima u (6.153) jednake: R ( ) δ ( ) R( ) Ω Ω= Ω, (6.154) Tako dobijamo da je: I ( ) δ ( ) I( ) Ω Ω= Ω. (6.155) 1 1 1 1 1 1 R( Ω ) + ji( Ω ) = R( Ω ) + I( Ω) + j I( Ω) R( Ω) 2 2π Ω 2 2π Ω. (6.156) 25