Obsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11

Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3 Výsledky........................................ Metódy počítania neurčitého integrálu............................. Substitučná metóda................................... Cvičenia........................................ 6..3 Výsledky....................................... 7..4 Metóda per partes (integrovanie po častiach)................... 8..5 Výsledky....................................... 3.3 Integrovanie elementárnych funkcií............................. 4.3. Integrovanie racionálnych funkcií.......................... 4.3. Integrovanie trigonometrických funkcií....................... 8.3.3 Integrovanie iracionálnych funkcií.......................... 3.3.4 Integrovanie transcendetných funkcií........................ 36.3.5 Záver......................................... 37 Určitý integrál 39. Pojem určitého integrálu................................... 39.. Cvičenia........................................ 4.. Výsledky....................................... 43. Metódy počítania určitého integrálu............................ 43.. Cvičenia........................................ 45.. Výsledky....................................... 46.3 Vlastnosti určitého integrálu................................. 47.3. Cvičenia........................................ 5.3. Výsledky....................................... 5.4 Integrály s premennou hranicou............................... 5.4. Cvičenia........................................ 53.4. Výsledky....................................... 54.5 Nevlastné integrály...................................... 54.5. Nevlastné integrály prvého druhu.......................... 54.5. Nevlastné integrály druhého druhu......................... 57.5.3 Cvičenia........................................ 58.5.4 Výsledky....................................... 59.6 Použitie určitého integrálu.................................. 6 3

4 OBSAH.7 Použitie určitého integrálu v geometrii........................... 6.7. Obsah rovinnej oblasti................................ 6.7. Objem telies..................................... 64.7.3 Dĺžka krivky..................................... 66.7.4 Obsah povrchu rotačnej plochy........................... 68.7.5 Výpočet súradníc ťažiska.............................. 7.7.6 Guldinove vety.................................... 7.8 Použitie určitého integrálu vo fyzike............................ 74.8. Práca......................................... 74.8. Tlaková sila...................................... 75.9 Približné integrovanie funkcií................................ 77 3 Obyčajné diferenciálne rovnice 83 3. Základné pojmy........................................ 83 3. Diferenciálna rovnica prvého rádu.............................. 86 3.3 ODR so separovateľnými premennými........................... 88 3.4 LDR prvého rádu....................................... 93 3.5 LDR vyšších rádov...................................... 96 3.6 LDR s konštantnými koeficientami............................. 99 3.7 Systémy diferenciálnych rovníc............................... 8 3.8 Numerické metódy riešenia začiatočných úloh....................... 4 3.8. Úvod......................................... 4 3.8. Eulerova metóda................................... 5 3.8.3 Metódy typu Runge-Kutta............................. 8 4 Diferenciálny počet funkcií viac premenných 5 4. Funkcie dvoch a viac premenných.............................. 5 4.. Základné pojmy................................... 5 4.. Limita funkcie dvoch a viac premenných...................... 8 4. Parciálne derivácie a diferencovateľnosť.......................... 3 4.. Parciálne derivácie.................................. 3 4.. Linearizácia, dotyková rovina a diferenciál..................... 34 4..3 Vyššie derivácie a reťazové pravidlá........................ 36 4..4 Gradient a derivácia v smere............................ 38 4.3 Extrémy funkcií viac premenných.............................. 4 4.3. Lokálne extrémy................................... 4 4.3. Viazané extrémy................................... 43 4.3.3 Globálne extrémy................................... 46 4.4 Rozličné úlohy........................................ 48 4.5 Výsledky........................................... 53 5 Diferenciálna geometria 6 5. Úvod.............................................. 6 5. Pojem krivky......................................... 6 5.. Vektorová funkcia.................................. 6 5.. Vektorová rovnica krivky.............................. 6 5..3 Parametrické, explicitné a implicitné rovnice krivky............... 63 5..4 Regulárna krivka................................... 64

OBSAH 5 5..5 Transformácia parametra krivky.......................... 64 5..6 Orientácia krivky................................... 65 5..7 Dĺžka krivky, prirodzená parametrizácia krivky.................. 65 5.3 Sprievodný trojhran..................................... 67 5.3. Dotyčnica krivky................................... 67 5.3. Oskulačná rovina krivky............................... 68 5.3.3 Hlavná normála a binormála krivky........................ 69 5.3.4 Normálová a rektifikačná rovina krivky...................... 7 5.3.5 Sprievodný trojhran v prirodzenej parametrizácii................. 7 5.4 Charakteristiky krivky.................................... 73 5.4. Krivosť krivky.................................... 73 5.4. Kružnica krivosti krivky, evolúta, evolventa.................... 74 5.4.3 Torzia krivky..................................... 74 5.4.4 Frenetove-Serretove vzorce.............................. 75 5.4.5 Prirodzené rovnice krivky.............................. 76 5.5 Rovinné krivky........................................ 77 5.5. Rovnice rovinnej krivky............................... 77 5.5. Dĺžka rovinnej krivky................................ 79 5.5.3 Dotyčnica a normála rovinnej krivky........................ 79 5.5.4 Krivosť rovinnej krivky............................... 8 5.5.5 Kružnica krivosti rovinnej krivky.......................... 8 5.5.6 Evolúta, evolventa.................................. 83 5.5.7 Prirodzené rovnice rovinnej krivky......................... 83

6 OBSAH

Kapitola Neurčitý integrál. Základné pojmy a vzťahy Funkcia F je primitívnou funkciou k funkcii f v intervale (a, b) práve vtedy, ak pre každé x (a, b) platí: F (x) = f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej funkcie je opačný k pojmu derivácie. Tento fakt využívame pri hľadaní primitívnych funkcií k základným funkciám. Príklad. Nájdeme primitívnu funkciu k funkcii a ) y = x v intervale (, ), b ) y = x v intervale (, ), c ) y = x n, n N v intervale (, ), d ) y = x e ) y = x v intervale (, ), v intervale (, ). Riešenie: a ) Hľadáme funkciu F, ktorej derivácia je pre každé x (, ) rovná x. Vieme, že pri derivácii mocninnej funkcie je výsledkom mocninná funkcia s exponentom zníženým o a násobená pôvodným exponentom: (x a ) = ax a, pre a. Z tohoto faktu dostaneme, že primitívnou funkciou k funkcii y = x v intervale (, ) bude nejaký násobok funkcie y = x a po krátkom experimentovaní určíme, že je to funkcia y = x. b ) Keďže všetky úvahy v riešení predchádzajúceho príkladu ostávajú v platnosti aj pre interval (, ), riešením je tá istá funkcia. c ) Po úvahách analogických ako v predchádzajúcich častiach dostávame, že primitívnou funkciou je funckia y = xn+ n+. Môžeme praviť skúšku správnosti: ( x n+ n + ) = (n + ) xn n + = xn, pre všetky x (, ). 7

8 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL d ) Snažíme sa nájsť funkciu, ktorej deriváciou je funkcia y = x. Z prehľadu derivácií základných funkcií vyplýva, že takouto funkciou je funkcia y = ln x, pričom v intervale (, ), ktorý nás zaujíma túto funkciu môžeme jednoduchšie zapísať ako y = ln x. Skutočne: pre každé x (, ) (ln x) = x, e ) Podobnými argumentami ako v predchádzajúcej časti dostávame, že primitívnou funkciou k funkcii y = x v intervale (, ) je funkcia y = ln x = ln( x). Poznámka. V predchádzajúcom príklade sme našli ku každej danej funkcii v danom intervale jedinú primitívnu funkciu. V skutočnosti má každá z týchto funkcií nekonečne veľa primitívnych funkcií. Platí: Ak F je primitívna funkcia k funkcii f v intervale (a, b), tak aj F + c, kde c je ľubovoľné reálne číslo, je primitívna funkcia k funkcii f v intervale (a, b). Uvedená skutočnosť vyplýva z faktu, že deriváciou konštanty je nula, a teda (F (x) + c) Dôležité je, že platí aj opačné tvrdenie: = F (x). Ak F a G sú primitívne funkcie k funkcii f v intervale (a, b), tak existuje reálne číslo c tak, že F (x) = G(x) + c pre všetky x (a, b). Z uvedeného vyplýva, že množina všetkých primitívnych funkcií k danej funkcii f v danom intervale (a, b) je nekonečná množina, v ktorej každá dvojica funkcií sa v danom intervale líši len o konštantu. Túto množinu funkcií voláme neurčitý integrál funkcie f v intervale (a, b) a označujeme f(x) dx. V tomto označení je teda napríklad x dx = x3 3 + c, c R. Poznámka. V predchádzajúcom príklade je vidieť, že tá istá funkcia má často v rôznych intervaloch ten istý neurčitý integrál. V takomto prípade bude neurčitý integrál platiť v každom intervale, v ktorom sú príslušné funkcie definované, napr. dx = ln x + c, c R. x v každom intervale, kde sú funkcie ln x a x definované, t.j. v každom intervale neobsahujúcom. V takýchto prípadoch často vynecháme interval, v ktorom sme pracovali. Na otázku, ktoré funkcie majú primitívne funkcie (a teda neurčitý integrál) dáva čiastočnú odpoveď nasledujúce tvrdenie: Každá spojitá funkcia v intervale (a, b) má v tomto intervale primitívnu funkciu. Nie vždy však vieme túto primitívnu funkciu vyjadriť analytickým výrazom. Priamo z definície neurčitého integrálu a príslušných vlastností pre derivácie vyplývajú jednoduché pravidlá: Ak k funkcii f existuje primitívna funkcia v intervale (a, b), tak pre všetky x (a, b) platí

.. ZÁKLADNÉ POJMY A VZŤAHY 9 ( ) f(x) dx = f(x) (.) Ak f existuje v intervale (a, b), tak f (x) dx = f(x) + c (.) Ak majú funkcie f aj g v intervale (a, b) primitívne funkcie, tak v tomto intervale platí (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± f(x) dx, (cf(x)) dx = c f(x) dx, kde c je ľubovoľné reálne číslo. Obidva tieto vzťahy možno vyjadriť v jednom všeobecnom (cf(x) + dg(x)) dx = c f(x) dx + d f(x) dx, (.3) kde c a d sú ľubovoľné reálne čísla. Príklad. Ukážeme platnosť posledného vťahu Riešenie: Označme F a G niektoré primitívne funkcie k funkciám f a g v intervale (a, b). Potom pre všetky x (a, b) platí c f(x) dx + d f(x) dx = c (F (x) + c ) + d (G(x) + d ) = cf (x) + dg(x) + e, kde e = c.c + d.d je ľubovoľné reálne číslo. Na druhej strane tiež (cf (x) + dg(x)) = cf (x) + dg (x) = cf(x) + dg(x). Preto (cf(x) + dg(x)) dx = cf (x)+dg(x)+e, kde e je ľubovoľné reálne číslo, takže obidva integrály sa rovnajú... Základné neurčité integrály Nasleduje zoznam neurčitých integrálov, niektorých dôležitých funkcií. Platnosť väčšiny nasledovných vzťahov vyplýva z analogických vzťahov pre derivácie. Nasledujúce vzťahy platia v každom intervale, v ktorom sú funkcie definované.. x a dx = xa+ a+. x dx = ln x + c. 3. e x dx = e x + c. + c, ak a R \ { }. 4. a x dx = ax ln a + c, ak a (, ) (, ). 5. sin x dx = cos x + c, cos x dx = sin x + c. 6. cos x dx = tg x + c, dx = cotg x + c. sin x

KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 7. +x dx = { arctg x + c arccotg x + c. 8. dx x = +x ln x + c. 9. dx x = { arcsin x + c arccos x + c.. dx x +a = ln x + x + a + c.. sinh x dx = cosh x + c, cosh x dx = sinh x + c.. dx cosh x = tgh x + c, dx = cotgh x + c. sinh x 3. f (x) f(x) dx = ln f(x) + c. Príklad 3. Vypočítame integrály a) (6x 5 x 3 + x + 3) dx b) 3x +4x+ 5x dx c) (3 sin x cosh x) dx d) tg x dx e) cotg x dx f) ( x 3 x ) dx g) dx 5x h) dx 4+4x i) 5 3 3x dx Riešenie: V riešení budeme používať základné vzorce pre neurčité integrály a pravidlo (.3). Čitateľovi odporúčame v každom kroku určiť príslušný vzorec, resp. pravidlo. a) (6x 5 x 3 + x + 3) dx = 6 x 5 dx x 3 dx + x dx + 3 x dx = b) = 6 x6 6 x4 4 + x3 3 + 3x = x6 x4 + 3 x3 + 3x + c. 3x + 4x + x dx = 5x dx = 3 5 x dx + 4 5 x dx + 5 = 3 x + 4 5 x + ln x + c. 5 c) (3 sin x cosh x) dx = 3 cos x sinh x + c. d) e) tg x dx = = cotg x dx = Namiesto dx dx píšeme tiež f(x) f(x) sin x cos cos x dx = x cos x dx = ( cos x ) dx = tg x x + c. cos x (sin x) sin x dx = dx = ln sin x + c. sin x

.. ZÁKLADNÉ POJMY A VZŤAHY f) g) ( x 3 x ) dx = dx 5x = 5 ( x x dx 3 dx = 3) x ln + 3 ( ) x + c. ln 3 3 dx x = ln x + x + c. 5 h) i) dx 4 + 4x = 4 5 dx = 5 3 3x 3 dx + x = arctg x + c. 4 dx = 5 arcsin x + c. x 3.. Cvičenia Pomocou algebraických úprav, použitím pravidla (.3) a základných vzorcov vypočítajte integrály.. (3x + x ) dx.. ( x x 5 x ) dx. 3. x (x + ) dx. 4. (x 3 + ) dx. 5. x 3 +3x x dx. 6. x 3x+4 x dx. 7. (x ) 3 x dx. 8. ( x+) 3 x dx. 9. (cos x + 5 x 3 ) dx.. ( 3 sin x + 4 4x dx.. ( ) x + x dx.. ( ) x + x + x + dx. 3. x 3(+x ) dx. 4. cotg x dx. 5. ( x + )(x x + ) dx. 6. dx x +7. 7. 4 3x dx. 8. x (x+) dx. )..3 Výsledky. x 3 + x x + c.. 4 x + 5 x + c. 3. x5 5 + x3 x7 3 + c. 4. 7 + x4 + x + c. 5. x3 3 + 3x ln x + c. 6. 5 x x x x + 8 x + c. 7. 7 x3 x 6 5 x x + x x x + c. 8. 3 x x + 6x + 4 x + 8 ln x + c. 9. sin x + 5 4 x 5 x 3 + c.. cos x + 3 arcsin x + c.

KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL. x ln + x + c.. x + arctg x x ln + c. 3. 3 (x arctg x) + c. 4. x cotg x + c. 5. 5 x x + x + c. 6. 7 arctg x 7 + c. 7. 3 ln 4 4 3x + c. 8. ln x + + x+ + c.. Metódy počítania neurčitého integrálu Sú dve všeobecné metódy počítania neurčitých integrálov: substitučná metóda a metóda integrovania per partes... Substitučná metóda Táto metóda je odvodená od vzťahu pre deriváciu zloženej funkcie a jej princíp je v nasledujúcom tvrdení: Nech F je primitívna funkcia k funkcii f v intervale I, nech funkcia ϕ má deriváciu v intervale (a, b) a nech pre každé x (a, b) je ϕ(x) I. Potom f(ϕ(x)) ϕ (x) dx = F (ϕ(x)) + c, v intervale (a, b). (.4) Často sa vyskytujúcim špeciálnym prípadom tejto metódy je situácia keď funkcia ϕ(x) = ax + b je lineárna. Vtedy ϕ existuje pre všetky x R a za predpokladov tvrdenia platí f(ax + b) dx = F (ax + b) + c. (.5) a Príklad 4. Ukážeme platnosť vzťahu.5. Riešenie: Upravíme integrál na ľavej strane a použijeme vzťah.4: f(ax + b) dx = { } ϕ(x) = ax + b f(ax + b) a dx = a ϕ = F (ax + b) + c. (x) = a a Iné riešenie: Zderivujme pravú stranu vzťahu.5. ( a F (ax + b) + c ) = a F (ax + b) = f(ax + b).a = f(ax + b). a Príklad 5. Vypočítame neurčité integrály a) dx 3x+7, b) (5 7x) dx, c) cos x dx. Riešenie: Budeme používať vzťah.5. a) V tomto príklade je ax + b = 3x + 7 a funkcia f je definovaná vzťahom f(t) = t. Primitívna funkcia k f je funkcia F (t) = ln t v každom intervale neobsahujúcom. Preto platí dx 3x + 7 = ln 3x + 7 + c, 3

.. METÓDY POČÍTANIA NEURČITÉHO INTEGRÁLU 3 v každom intervale neobsahujúcom číslo 7 3. b) Teraz je ax + b = 7x + 5 a f(t) = t. Preto (5 7x) dx = (5 7x) (5 7x) + c = + c 7 54 pre x R. c) Podobne ako v predchádzajúcich častiach dostávame cos x dx = sin x + c = sin x cos x + c, x R. Niekedy je potrebné integrovanú funkciu pred použitím substitučnej metódy upraviť algebraickými alebo inými úpravami. Príklad 6. Vypočítame neurčité integrály a) dx 4+x b) dx 9 x c) cos x dx. Riešenie: a) Integrovanú funkciu upravíme 4 + x = 4 + ( x ) a integrujeme (pre ϕ(x) = x a f(t) = +t ) dx 4 + x = 4 b) Integrovanú funkciu upravíme dx + ( x = ) 4 arctg x + c = arctg x + c. = 9 x 3 a integrujeme (pre ϕ(x) = 3 x a f(t) = t ) ( x 3 ) dx = 9 x 3 dx ( x 3 ) = arcsin x 3 + c, pre x ( 3, 3). c) K úprave použijeme trigonometrický vzťah cos +cos x x =. + cos x cos x dx = dx = ( dx + ) cos x dx = = (x + sin x) + c = (x + sin x cos x) + c. Vo všeobecnosti je praktický postup pri používaní substitučnej metódy nasledujúci:. V integrovanej funkcii hľadáme takú funkciu ϕ, ktorá sa tam vyskytuje spolu so svojou deriváciou, alebo jej číselným násobkom.

4 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL. Zavedieme novú premennú t, pre ktorú je t = ϕ(x). 3. Upravíme daný inegrál na tvar f(t) dt kde dt = ϕ (x) dx a počítame f(t) dt = F (t) + c. 4. Vo výsledku nahradíme t = ϕ(x): F (ϕ(x)) + c. Niekedy, ak je funkcia ϕ monotónna, tretí bod tohoto postupu je výhodné realizovať tak, že si vyjadríme inverznú funkciu x = ϕ (t) a (alebo) dx = ( ϕ ) (t) dt a dosadíme do pôvodného integrálu (pozri napríklad integrovanie iracionálnych funkcií). Príklad 7. Vypočítame neurčité integrály a) cos 4 x sin x dx b) dx x ln x c) 3x x + 6 dx d) 5 arccotg x +x dx e) xe 7 x dx f) sinh x x dx g) tg x cos x dx h) 3 x 9 x dx i) sin x sin x+3 dx. Riešenie: a) V integrovanej funkcii sa vyskytuje funkcia ϕ(x) = cos x a zároveň násobok jej derivácie ϕ (x) = sin x. (Prečo neuvažujeme ϕ(x) = sin x a ϕ (x) = cos x?). Daný integrál vypočítame preto nasledovne { } cos 4 t = cos x x sin x dx = = t 4 ( dt) = dt = sin x dx = t 4 dt = t5 5 + c = cos5 x 5 b) V integrovanej funkcii sa vyskytuje funkcia ϕ(x) = ln x a zároveň jej derivácia ϕ (x) = x. Preto { dx t = ln x x ln x = dt = dx x } = dt t x (, ) alebo x (, ). + c. = ln t + c = ln ln x + c, c) d) e) 3x x + 6 dx = = 3 = { t = x + 6 dt = x dx t 3 t 3 dt = 3 } = 3 x + 6 x dx = 3 + c = (x + 6) 3 + c = (x + 6) 3 + c. 5 arccotg x + x dx = 5 dx arccotg x + x = { } t = arccotg x = dt = dx +x dx = +x = dt 5 t ( dt) = t 5 dt = t 6 5 6 5 { xe 7 x dx = e 7 x (x dx) = + c = 5 5 arccotg 6 x 6 t dt = + c. t = 7 x dt = x dx x dx = dt } =

.. METÓDY POČÍTANIA NEURČITÉHO INTEGRÁLU 5 = ( e t ) dt = e t dt = et + c = e7 x + c. f) sinh x dx = x sinh x { dx = x t = x dt = x dx x dx = dt = sinh t( dt) = cosh t + c = cosh x + c. } = g) tg x cos x dx = tg x dx { cos x = t = tg x dt = cos x dx } = t dt = h) t 3 3 + c = tg3 x 3 3 x 9 x dx = + c. (3 x ) (3x dx) = = = { t = 3 x dt = 3 x ln 3 dx 3 x dx = dt ln 3 dt t ln 3 = arcsin t arcsin 3x + c = + c. ln 3 ln 3 i) V riešení tohoto príkladu využijeme trigonometrickú identitu sin x = sin x cos x. sin x sin x + 3 dx = sin ( sin x cos x dx) = x + 3 { } = t = sin x + 3 dt = sin x cos x dx = } = = t dt = ln t + c = ln(sin x + 3) + c. Poznámka 3. Poučenie z predchádzajúceho príkladu môžeme voľne formulovať nasledovne Ak f(x) dx = F (x) + c, tak v príslušných intervaloch platí xf(x ) dx = F (x ) + c, f(ln x) x dx = F (ln x) + c, f(arctg x) +x dx = F (arctg x) + c, f( x) x dx = F ( x) + c, f(sin x) cos x dx = F (sin x) + c, f(tg x) cos x dx = F (tg x) + c. Ďalšie podobné vzťahy si čitateľ môže odvodiť sám.

6 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL.. Cvičenia Použitím algebraickej úpravy (ak je potrebná) a substitúcie lineárnej funkcie vypočítajte integrály. 9. sin 3x dx.. dx 5 3x.. e 3 x dx.. 3 3x dx. 3. (4 7x) dx. 4. dx cos 5x. 5. dx 9 x. 6. dx x +6. Použitím naznačenej substitúcie vypočítajte integrály. 7. x dx x 4, t = x 4. 8. cos x +sin x dx, t = sin x. 9. cos 3 x sin x dx, t = cos x. 3. xe x dx, t = x. 3. dx x ln x, t = ln x. 3. x x 3 + dx, t = x 3 +. 33. dx x(x+4), t = 34. x dx +x 4, t = x. 35. dx e x, t = e x. x. 36. e x arctg e x +e x dx, t = arctg e x. 37. dx x x, t = x. 38. x dx x+, t = x +. Použitím substitučnej metódy vypočítajte integrály. 39. 4x dx. 4. 6 dx 5 3x. 4. 4x 4+x dx. 4. 4 dx (x+3) 8. 43. x(x + 7) 4 dx. 44. x dx 3 x. 45. x +x 6 dx. 46. x 5 4 x dx. 47. sin 6 x cos x dx. 48. sin x +cos x dx. 49. dx x +x+. 5. dx 4x 4x. 5. e x x dx. 5. (x + )e x +4x 5 dx. 53. ln 4 x x dx. 54. cos(ln x) x dx.

.. METÓDY POČÍTANIA NEURČITÉHO INTEGRÁLU 7 55. e cos x sin x dx. 56. cotg x x dx. 57. 3 tg x cos x dx. 58. dx sin x cotg x. 59. x 4 x dx. 6. e x 4+e x dx. 6. dx (+x ) arctg x. 6. 3 dx x ln. x..3 Výsledky 9. 3 cos 3x + c.. 3 ln 3x 5 + c.. e3 x + c.. 4 (3x ) 3 3x + c. 3. (4 7x) 84 + c. 4. 5 tg 5x + c. 5. arcsin x 3 + c. 6. 4 arctg x 4 + c. 7. x 4 + c. 8. ln + sin x + c. 9. 5 cos 5 x + c. 3. ex + c. 3. ln ln x + c. 3. 9 (x 3 + ) 3 + c. 33. arctg x + c. 34. arctg x + c. 35. ln e x + c. 36. 3 arctg 3 e x + c. 37. arccos x + c. 38. 3 (x + ) 3 x +. Vo výsledkoch nasledujúcich cvičení je ešte pred výsledkom uvedená substitúcia, ktorou je možné integrál riešiť. 39. t = 4x, I = 6 (4x ) 3 + c. 4. t = 5 3x, I = ln 5 3x + c. 4. t = 4 + x, I = ln 4 + x + c. 4. t = x + 3, I = (x+3) 7 + c. 43. t = x + 7, I = (x + 7) 5 + c. 44. t = 3 x, I = 3 x + c. 45. t = + x 6, I = 3 arctg x3 + c. 46. t = 4 x, I = 5 5 (4 x ) 6 + c. 47. t = sin x, I = 7 sin7 x + c. 48. t = + cos x, I = + cos x + c. 49. t = x +, I = arctg(x + ) + c. 5. t = x, I = arcsin(x ) + c. 5. t = x, I = e x + c. 5. t = e x +4x 5, I = ex +4x 5 + c.

8 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 53. t = ln x, I = 5 ln5 x + c. 54. t = sin(ln x), I = sin(ln x) + c. 55. t = e cos x, I = e cos x + c. 56. t = sin x, I = ln sin x + c. 57. t = tg x, I = 3 3 5 tg 5 x + c. 58. t = cotg x, I = cotg x + c. 59. t = x arcsin x, I = ln + c. 6. t = 4 + e x, I = e x 4 ln 4 + e x + c. 6. t = arctg x, I = ln(arctg x) + c. 6. t = ln x, I = 3 arcsin(ln x) + c...4 Metóda per partes (integrovanie po častiach) Táto metóda je odvodená zo vzťahu pre deriváciu súčinu funkcií a spočíva v nasledovnom: Nech funkcie u a v majú derivácie v intervale (a, b). Potom u (x)v(x) dx = u(x)v(x) u(x)v (x) dx (.6) v intervale (a, b). Ako je vidieť, metóda sa používa na integrovanie súčinu funkcií. Jednu z nich zvolíme za u, druhú za v a výpočet daného integrálu prevedieme na výpočet iného integrálu. Pritom za funkciu u(x) volíme ľubovoľnú (čo najjednoduchšiu) primitívnu funkciu k funkcii u (x). Príklad 8. Vypočítame integrály a) xe x dx b) x 3 ln x dx c) 3x cos 5x dx. Riešenie: a) Ide o integrál súčinu funkcií y = x a y = e x. Máme dve možnosti ako požiť metódu: u = x v = e x u = e x v = x alebo u = x v = e x u = e x v = Po dosadení do.6 dostaneme v prvej možnosti integrál x ex dx, ktorý je ešte zložitejší ako pôvodný, použitím druhej možnosti dostaneme jednoduchý integrál e x dx. xe x dx = b) Znova máme dve možnosti voľby: { u = e x v = x u = e x v = } = xe x = xe x e x + c = (x )e x + c. e x. dx = u = x 3 v = ln x u = ln x v = x 3 alebo u = x4 v = x u =? v = 6x

.. METÓDY POČÍTANIA NEURČITÉHO INTEGRÁLU 9 Pri druhej možnosti je v tejto chvíli obtiažne vypočítať aj funkciu u = ln x dx (pre riešenie pozri poznámku na konci tejto časti a tiež Cvičenia), preto zvolíme prvú možnosť: { u x 3 = x 3 } v = ln x ln x dx = u = x4 v = = x4 x 4 x ln x x dx = = x4 ln x x 3 dx = x4 ln x x4 8 + c. c) Z dvoch možností zvolíme nasledovnú (odporúčame čitateľovi skúsiť druhú možnosť a porovnať): { } u 3x cos 5x dx = = cos 5x v = 3x sin 5x u = 5 v = 35 = 3 x sin 5x sin 5x 3 dx = 5 = 3 5 x sin 5x 3 sin 5x dx = 3 5 5 x sin 5x + 3 cos 5x + c. 5 Ako voliť funkcie u a v v metóde per partes, ak chceme byť úspešní?. Nemal by byť problém vypočítať funkcie u(x) = u (x) dx a v (x).. Integrál u(x)v (x) dx by mal byť ľahší ako pôvodný integrál. V ďalšom príklade odporúčame čitateľovi preveriť správnosť voľby funkcií u a v. Príklad 9. Vypočítame neurčité integrály a) x arctg x dx b) 5x cosh x dx c) arcsin x dx d) (x + 3 x) ln x dx e) (x + x ) sin 3x dxf) x 3 4 x dx g) e x sin x dx h) cos x sin 3x dx i) sin(ln x) dx. b) Riešenie: a) { u } = x v = arctg x x arctg x dx = u = x v = +x = x arctg x + x + x dx = x arctg x = x arctg x (x arctg x) + c = = x arctg x ( dx ( (x + ) arctg x x 5x cosh x { } u dx = = cosh x v = 5x u = sinh x v = = 5 = x sinh x sinh x dx = x sinh x cosh x + c. x + x dx = ) dx + x = ) + c. c) V tomto príklade nejde o integrál súčinu, avšak integrovanú funkciu môžeme výhodne zapísať v tvare súčinu arcsin x = arcsin x! Pri počítaní obdržaného integrálu použijeme substitučnú metódu. Odporúčame čitateľovi premyslieť si detaily. { u } = v = arcsin x arcsin x dx = u = x v = = x

KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL = x arcsin x x dx (t= x ) = x arcsin x + x = x arcsin x + x + c, x (, ). dt t = d) (x + 3 x) ln x dx = ( = x + 3x ) 4 3 4 ( = x + 3x ) 4 3 4 ( = x + 3 3 ) x 4 4 = x ( ln x { u = x + 3 x v = ln x u = x + 3x 4 3 4 v = x ) x dx = ( ln x x + 3x 4 3 4 ln x x dx 3 4 x 3 = ( ) ln x x 3 3 x 4 4 + c = ) + 3 ( ln x 3 ) 3 x 4 4 4 + c. } = e) V tomto príklade budeme musieť použiť metódu per partes opakovane dvakrát. (x + x ) sin 3x dx = { u = sin 3x v = x + x u = 3 cos 3x v = x + = 3 (x + x ) cos 3x + (x + ) cos 3x dx = 3 { } u = = cos 3x v = x + u = 3 sin 3x = v = = 3 (x + x ) cos 3x + ( 3 3 (x + ) sin 3x ) sin 3x dx = 3 = 3 (x + x ) cos 3x + ( ( ) 3 3 (x + ) sin 3x + cos 3x) + c = 3 ( = x 3 x 3 + ) cos 3x + (x + ) sin 3x + c. 7 9 f) V tomto príklade musíme použiť metódu opakovane trikrát. Voľbu u a v vyznačíme len prvýkrát a necháme na čitateľa doplnenie ďalších. Z technického hľadiska je výhodné prepísať funkciu 4 x ( ) = 4 x ( = x. ) ( x x 3 4 x dx = x ) 3 dx = u = u = ln ( ) = x3 x + 3 ( x x dx = ln ln ) ( ( ) x x + ln ln ( ) = x3 x + 3 ln ln } = ( ) x v = x 3 ( x ) v = 3x = ( ) x x dx) =

.. METÓDY POČÍTANIA NEURČITÉHO INTEGRÁLU ( ( ) = x3 x + 3 ( ) x x + x ln ln ln ln ln ( ( x x 3 = ) ln + 3x (ln ) + ) x ( ) x (ln ) + c = 6x (ln ) 3 + 6 ) (ln ) 4 + c. g) V tomto príklade použijeme metódu dvakrát, čo nám umožní vyjadriť hľadaný integrál pomocou neho samého. Z obdržanej rovnice ho potom vypočítame. Poznamenajme ešte, že v tomto príklade obidve voľby funkcií u a v vedú k riešeniu. e x sin x dx = { u = sin x v = e x u = cos x v = e x } = e x cos x { } u = = cos x v = e x ( u = sin x v = e x = e x cos x e x sin x + = e x (cos x + sin x) e x sin x dx. e x cos x = ) e x sin x dx = Ak označíme hľadaný integrál symbolom I = e x sin x dx, tak sme dostali rovnicu I = e x (cos x + sin x) I, z ktorej vypočítame I = e x (cos x + sin x) + c. h) Riešenie tohoto príkladu je podobné predchádzajúcemu. { } u cos x sin 3x dx = = cos x v = sin 3x u = sin x v = = 3 cos 3x { u = sin x sin 3x 3 sin x cos 3x dx = = sin x v = cos 3x u = cos x v = 3 sin 3x = sin x sin 3x 3( cos x cos 3x 3 cos x sin 3x dx). } = Po úprave, pri označení I = cos x sin 3x dx, dostávame rovnicu I = sin x sin 3x + 3 cos x cos 3x + 9I, ktorej riešením je I = (sin x sin 3x + 3 cos x cos 3x) + c. 8 i) { } u sin(ln x) dx = = v = sin(ln x) u = x v = cos(ln x) = x { u = x sin(ln x) cos(ln x) dx = = v = cos(ln x) u = x v = sin(ln x) x ( ) = x sin(ln x) x cos(ln x) + sin(ln x) dx. } = Po úprave, pri označení I = sin(ln x) dx, dostávame riešenie I = x (sin(ln x) cos(ln x)) + c.

KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL Poznámka 4. Ako sme videli v častiach c) a i), metódu môžeme použiť aj vtedy, ak integrovaná funkcia nie je súčinom dvoch funkcií. Vtedy za druhý činiteľ považujeme konštantu. Podobne sa riešia integrály ln x dx, arctg x dx, arctg x dx, arccos x dx. V častiach g), h) a i) sme videli, že niekedy po použití metódy nedostaneme jednoduchší integrál, ale podobný pôvodnému. Po opakovanom použití metódy vyjadríme pôvodný integrál pomocou neho samého a z obdržanej rovnice ho vypočítame. Záver: Metódu integrovania per partes používame pri integáloch typu P (x)f(x) dx, kde P (x) je mnohočlen (môže byť aj P (x) =!), prípadne racionálna funkcia a f je trigonometrická alebo transcendentná funkcia (exponenciálne, logaritmická, cyklometrická alebo hyperbolická). Pritom volíme:. u = f a v = P, ak f je trigonometrická, exponenciálna alebo hyperbolická funkcia a postup opakujeme n- krát, kde n je stupeň polynómu P.. u = P a v = f, ak f je cyklometrická alebo logaritmická funkcia. Dostaneme tak integrál z racionálnej alebo iracionálnej funkcie. Pre ich výpočet pozri nasledujúcu časť. Cvičenia Použite naznačenie metódy per partes na výpočet integrálov. 63. ln x dx, u =, v = ln x. 64. ln x dx x, u = x, v = ln x. 65. x cos x dx, u = cos x, v = x. 66. xe x dx, u = e x, v = x. 67. arccotg x dx, u =, v = arccotg x. 68. x sin x dx, u = sin x, v = x. 69. x cos x sin 3 x dx, u = cos x sin 3 x, v = x. 7. x sinh x dx, u = sinh x, v = x. 7. x dx, u =, v = x. 7. x tg x dx, u = tg x, v = x. Použitím metódy per partes vypočítajte integrály. 73. x ln x dx. 74. x sin 3x dx. 75. 5xe 4x dx. 76. x arctg x dx. 77. arccos x dx. 78. x cosh x dx. 79. (x + ) cos( π 3 5x) dx. 8. x dx 8. ln x x dx. 5 x. 8. 4x 3 ln(x 5 ) dx.

.. METÓDY POČÍTANIA NEURČITÉHO INTEGRÁLU 3 Opakovaným použitím metódy per partes vypočítajte integrály. 83. x sin x dx. 84. e x cos x dx. 85. (x + 5) cos x dx. 86. x sinh x dx. 87. (x x + 5)e x dx. 88. x ln x dx. 89. ln x dx. 9. sin(ln x) dx. 9. e x sin x dx. 9. x e 3x dx. 93. (x + 5x + 6) cos x dx. 94. x 3 cos x dx...5 Výsledky 63. x ln x x + c. 64. ln x x x + c. 65. x sin x + cos x + c. 66. xe x 4 e x + c. 67. x arccotg x + ln( + x ) + c. 68. x cotg x + ln sin x + c. 69. x sin x cotg x + c. 7. x cosh x sinh x + c. 7. (x x + arcsin x) + c. 7. x tg x + ln cos x x + c. Vo výsledkoch nasledujúcich cvičení je ešte pred výsledkom uvedená voľba funkcie u v metóde per partes, ktorou je možné integrál riešiť. Funkciu v si čitateľ doplní. 73. u = x, I = x ln x 4 x + c. 74. u = sin 3x, I = 3 x cos 3x + 9 sin 3x + c. 75. u = e 4x, I = 5 4 xe 4x 5 6 e 4x + c. 76. u = x, I = x arctg x x + arctg x + c. 77. u =, I = x arccos x x + c. 78. u = cosh x, I = x sinh x cosh x + c. 79. u = cos( π x+ 3 5x), I = 5 sin( π 3 5x) + 5 cos( π 3 5x) + c. 8. u = 5 x, I = x5 x ln 5 5 x ln 5 + c. 8. u = x, I = x ln x 4 x + c. 8. u = 4x 3, I = 5x 4 ln x 5 4 x4 + c. 83. u = sin x, I = x cos x + x sin x + cos x + c. 84. u je jedno, I = ex 5 (cos x + sin x) + c. 85. u = cos x, I = (x + 3) sin x + x cos x + c. 86. u = sinh x, I = (x + ) cosh x x sinh x + c. 87. u = e x, I = e x (x + 5) + c. 88. u = x, I = x (ln x ln x) + 4 x + c. 89. u =, I = x ln x x ln x + x + c.

4 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 9. u je jedno, I = 8 7 e x (sin x + 4 cos x ) + c. 9. u =, I = x (sin(ln x) cos(ln x)) + c. 9. u = e 3x, I = e3x 7 (9x 6x + ) + c. 93. u = cos x, I = x +x+ 4 sin x + x+5 4 cos x + c. 94. u = cos x, I = (x 3 6x) sin x + (3x 6) cos x + c..3 Integrovanie elementárnych funkcií.3. Integrovanie racionálnych funkcií Zopakujme, že racionálnou funkciou rozumieme podiel dvoch mnohočlenov. Integrovanie mnohočlenov Postup pri integrovaní mnohočlenu vyplýva zo vzťahu (.3) a integrálu mocninnej funkcie. Príklad. Vypočítame (5x 7 x 3 + 3x 9) dx. Riešenie: = 5 (5x 7 x 3 + 3x 9) dx = x 7 dx Integrovanie rýdzo racionálnych funkcií x 3 dx + 3 x dx 9 = 5 8 x8 3x 4 + x 3 9x + c. dx = Každú rýdzo racionálnu funkciu môžeme vyjadriť v tvare súčtu elementárnych zlomkov ([H], časť 6.4.). Preto k integrovaniu rýdzo racionálnych funkcií stačí vedieť integrovať všetky štyri typy elementárnych zlomkov. a) Integrál prvého typu zlomkov prevedieme jednoduchou úpravou na základný integrál: Príklad. Vypočítame 3 5x dx. Riešenie: a (t=x r) dt dx = a = a ln t + c = a ln x r + c. x r t 3 5x dx = 3 5 dx x 5 (t=x 5 = ) 3 5 ln x 5 b) Integrál druhého typu zlomkov riešime analogicky. Pre n > a (t=x r) dx = a (x r) n t n dt = a t n+ n + + c = + c. a + c. ( n)(x r) n

.3. INTEGROVANIE ELEMENTÁRNYCH FUNKCIÍ 5 Príklad. Vypočítame 8 (x+3) dx. 4 Riešenie: 8 (x + 3) 4 dx = 8 dx 4 (x + 3 )4 (t=x+ 3 = ) = t 3 3 + c = 6(x + 3 + c. )3 t 4 dt = c) Tretí typ zlomku ax+b x +px+q, kde p 4q <, integrujeme nasledovne:. Algebraickými úpravami rozdelíme zlomok na dva zlomky, ktorých menovatele sú zhodné s menovateľmi pôvodného zlomku. Čitateľ prvého je lineárna funkcia, ktorá je číselným násobkom derivácie menovateľa a čitateľ druhého je číslo: ax + b x + px + q = a (x + p) x + px + q + b ap x + px + q.. Prvý zlomok integrujeme nasledovne: a (x + p) x + px + q dx (t=x +px+q) a = dt t = a ln(x + px + q) + c. Prečo netreba v poslednom logaritme písať absolútnu hodnotu? 3. Integrál druhého zlomku úpravami a substitúciou prevedieme na dt t +. Príklad 3. Vypočítame integrál 3x x +4x+ dx. Riešenie:. Najskôr upravíme integrovaný zlomok na súčet dvoch zlomkov s popísanými vlastnosťami. Počítame prvý integrál 3 3. Počítame druhý integrál 7 x + 4x + dx = 7 3 3x x + 4x + = (x + 4) x + 4x + + 7 x + 4x +. x + 4 x + 4x + dx (t=x +4x+) 3 dt = t = 3 ln t + c = = 7 6 = 3 ln(x + 4x + ) + c. dx x + 4x + = 7 dx ) = (t= x+ ) 6 = 7 6 + 6 ( x+ dx (x + ) + 6 = 6dt t + = = 7 6 arctg t + c = 7 6 arctg x + 6 + c. Výsledok je súčtom obidvoch integrálov: 3x x + 4x + dx = 3 ln(x + 4x + ) 7 6 arctg x + 6 + c.

6 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL ax+b d) Integrály zo zlomkov štvrtého typu (x +px+q) pre n > sa počítajú zložitou rekurentnou n metódou. Pre výsledné vzťahy pozri [E], časť Integrovanie racionálnych funkcií. Príklad 4. Vypočítame integrál 4x 3 4x +8x 7 (x ) (x x+5) dx. Riešenie: Úlohu budeme riešiť v niekoľkých krokoch.. Integrovanú rýdzo racionálnu funkciu rozložíme na elementárne zlomky 4x 3 4x + 8x 7 (x ) (x x + 5) = x + 5 (x ) + x 3 x x + 5.. Integrujeme prvý integrál 3. Integrujeme druhý integrál dx = ln x + c. x 5 (x ) dx = 5 x + c. 4. Podobne ako v predchádzajúcom príklade integrujeme tretí integrál. Podrobnosti necháme na čitateľa. ( ) x 3 x x x + 5 dx = x x + 5 x dx = x + 5 = ln(x x + 5) dx 4 (x ) + 4 = = ln(x x + 5) dx ) 4 = + 5. Sčítame všetky vypočítané integrály ( x = ln(x x + 5) arctg ( x 4x 3 4x + 8x 7 (x ) (x x + 5) dx = ) + c. = ln x 5 x + ln(x x + 5) ( ) x arctg + c. Integrovanie racionálnych funkcií Pri integrovaní racionálnych funkcií využívame známy fakt (pozri [H]): Každá racionálna funkcia sa dá vyjadriť ako súčet mnohočlena a rýdzo racionálnej funkcie. Príklad 5. Vypočítame integrál x 8 +x 6 +5x 4 +3x 3 +x 8x+7 x 5 +9x 3 dx.

.3. INTEGROVANIE ELEMENTÁRNYCH FUNKCIÍ 7 Riešenie:. Danú racionálnu funkciu rozložíme na súčet mnohočlena a rýdzo racionálnej funkcie. Rozklad menovateľa na súčin je x 3 (x + 9). Dostávame x 8 + x 6 + 5x 4 + 3x 3 + x 8x + 7 x 5 + 9x 3 = = x 3 + x + x x + 3 x 3 4x 5 x + 9.. Integrál mnohočlena je jednoduchý (x 3 + x) dx = x4 4 + x + c. 3. Integrály prvých troch zlomkov sú jednoduché, integrál posledného je 4x 5 x + 9 dx = x x + 9 dx 5 4. Výsledok je súčtom všetkých integrálov dx x + 9 = ln(x + 9) 5 3 arctg x 3 + c. x 8 + x 6 + 5x 4 + 3x 3 + x 8x + 7 x 5 + 9x 3 dx = = x4 4 + x + ln x + x 3 x ln(x + 9) + 5 3 arctg x 3 + c. Cvičenia Vypočítajte integrály rýdzo racionálnych funkcií. 95. dx x +x. 96. dx x. 97. dx x 3 +x. 98. dx (x )(x+)(x+3). 99. dx x(x+).. x +4x 9 (x )(x+3)(x 4) dx.. dx x +x+5.. dx 3x +5. 3. dx x 3 + dx. 4. dx x 3 +x +x. Vypočítajte integrály racionálnych funkcií. 5. x 5x+9 x 5x+6 dx. 6. 5x 3 + x 3 5x +4x dx. 7. x dx x 6x+. 8. x 3 +x+ x(x +) dx. 9. (x ) x +3x+4 dx.. x 4 x 4 dx.. x 3 (x 3x+) dx.. x 3 +x x(x +) dx.

8 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL Výsledky 95. ln x x+ + c. x 96. ln + c. x+ 97. ln x ln(x + ) + c. 98. ln (x )(x+3) (x+) + c. 4 99. x+ + ln x x+ + c.. ln (x )4 (x 4) 5 (x+3) + c. 7 ( ). arctg x+ + c.. 5 arctg 3 5 x + c. 3. 6 ln (x+) x x+ + 3 arctg x 3 + c. 4. ln x x +x+ 3 arctg x+ 3 + c. 5. x + 3 ln x 3 3 ln x + c. 6 6. 5x + ln x(x 4) 6 + c. (x ) 7 3 7. x + 3 ln(x 6x + ) + 8 arctg(x 3) + c. x 8. x + ln + c. x + 9. x 5 ln(x + 3x + 4) + 9 7 arctg x+3 7 + c.. x + 4 ln x x+ arctg x + c.. (x 3x+) + c.. x + ln x + x + c..3. Integrovanie trigonometrických funkcií Pri integrovaní trigonometrických funkcií je väčšinou viac možností ako postupovať. Integrál z ľubovoľnej racionálnej funkcie z funkcií sin a cos, t.j. funkcie obsahujúcej algebraické operácie (sčitanie, odčítanie, násobenie a delenie) a funkcie sin a cos (a teda aj tg a cotg), môžeme pomocou substitúcie t = tg x, x ( π, π); previesť na integrál z racionálnej funkcie. Postupujeme pritom tak, že vyjadríme inverznú funkciu, jej diferenciál dx a tiež funkcie sin x a cos x s pomocou premennej t x = arctg t, dx = dt t t, sin x =, cos x = + t + t + t. Príklad 6. Vypočítame +tg x tg x dx. Riešenie: Skôr než začneme počítať, uvedomme si, že úlohu môžeme riešiť v ľubovoľnom intervale, v ktorom je integrovaná funkcia definovaná, t.j. v ľubovoľnom intervale ( π +kπ, 3π 4 )+kπ alebo ( 3π 4 +

.3. INTEGROVANIE ELEMENTÁRNYCH FUNKCIÍ 9 kπ, π + kπ), k Z. Integrál upravíme a prevedieme spomínanou substitúciou na integrál z racionálnej funkcie. + tg x cos x+sin x tg x dx = cos x cos x + sin x dx = cos x sin x cos x sin x dx = t +t + t +t t +t t cos x dt + t = +t t 4t (t + )(t + t ) dt. Rýdzo racionálnu funkciu v poslednom integrále rozložíme na súčet elementárnych zlomkov a tieto integrujeme. t 4t (t + )(t + t ) = t t + t + + t + t 4t (t + )(t + t ) dt = t t + dt dt t + + dt t + = ln(t + ) ln t + + ln t + t + = ln t + t + c. Výpočet ukončíme spätnou substitúciou premennej t na pôvodnú premennú x. + tg x tg x dx = ln + tg x tg x + tg x + c. Poznamenajme ešte, že tento výsledok platí v ľubovoľnom intervale, v ktorom je integrovaná funkcia definovaná. Substitúciu t = tg x, x ( π, π) je možné použiť pri integrále z ľubovoľnej racionálnej funkcie z funkcií sin x a cos x, táto však vedie často ku integrálom z komplikovaných racionálnych funkcií a je možné ho v špeciálnych prípadoch zjednodušiť. Uvedieme tu niektoré možnosti a čitateľovi so záujmom o ďalšie odporúčame [], [3], [4]. Často je možné použiť substitúciu ( t = tg x, x π, π ), potom x = arctg t, dx = dt + t, sin x = t + t, cos x = + t. Táto substitúcia (ak je možné ju požiť) vedie väčšinou k integrálu z jednoduchšej racionálnej funkcie. Odporúčame čitateľovi vyriešiť predchádzajúci príklad pomocou substitúcie t = tg x. Neurčitý integrál sin n x cos m x dx, kde n a m sú celé čísla a aspoň jedno z nich je nepárne. Tento integrál úpravou a substitúciou t = cos x, ak n je nepárne alebo t = sin x, ak m je nepárne prevedieme na integrál z racionálnej funkcie. Príklad 7. Vypočítame integrál cos 3 x dx.

3 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL Riešenie: V integrovanej funkcii sa vyskytuje len funkcia cos x a to v nepárnej mocnine (cos 3 x). Preto úpravou a substitúciou t = sin x, kde dt = cos x dx a cos x = t, dostávame cos 3 x dx = cos x cos 4 x dx = dt ( t ). Posledný integrál z rýdzoracionálnej funkcie riešime rozkladom na elementárne zlomky dt ( t ) dt = ( 4 ( + t) + + t + ( t) + ) t = 4 Po spätnej substitúcii dostávame výsledok ( ) + ln + t + + t t ln t + c = = ( ) t 4 t + ln + t t + c. cos 3 x dx = ( sin x ) 4 cos x + ln + sin x sin x + c. dt = Neurčité integrály sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, cos mx cos nx dx kde m a n sú prirodzené čísla prevedieme na jednoduché integrály pomocou trigonometrických vzťahov sin α sin β = (cos(α β) cos(α + β)), cos α cos β = (cos(α β) + cos(α + β)), sin α cos β = (sin(α β) + sin(α + β)). Príklad 8. Vypočítame sin x cos 5x dx. Riešenie: Použijeme vyššie uvedený vzorec pre α = x a β = 5x. sin x cos 5x dx = (sin( 3x) + sin 7x) dx = = (sin 3x + sin 7x) dx = 6 cos 3x cos 7x + c. 4

.3. INTEGROVANIE ELEMENTÁRNYCH FUNKCIÍ 3 Cvičenia Vypočítajte integrály trigonometrických funkcií. 3. sin 3 x cos x dx. 4. cos 5 x sin x dx. 5. tg 4x dx. 6. cos x dx. 7. cos 5 x dx. 8. dx sin x. 9. sin 3 x cos 4 x dx.. dx sin x cos 3 x.. cotg 3 x dx.. sin x cos x sin x+cos x dx. 3. dx 5 3 cos x. 4. cos x +cos x dx. 5. sin x sin x dx. 6. dx sin x+cos x. 7. dx cos x+ sin x+3. 8. sin 3x sin 5x dx. 9. sin x 4 cos 3x 4 dx. 3. sin x sin x sin 3x dx. 3. cosh 3 x dx. 3. tgh x dx. Výsledky 3. 4 sin4 x + c. 4. cos6 x + c. 5. 4 ln cos 4x + c. 6. x sin 4x + 8 + c. 7. sin x 3 sin3 x + 5 sin5 x + c. 8. ln tg x + c. 9. 3 cos 3 x cos x + c.. cos x + ln tg x + c.. ln sin x + c. sin x. ln sin x + cos x + c. 3. arctg ( tg x ) + c. 4. x tg x + c. 5. x + tg x + cos x + c. 6. ln tg ( x + π ) 8 + c. 7. arctg ( + tg x ) + c. sin 8x 8. 6 + sin x 4 + c. 9. cos x + cos x + c. cos x 3. 8 cos 4x 6 + 3. sinh3 x 3 + sinh x + c. 3. ln cosh x + c. cos 6x 4 + c.

3 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL.3.3 Integrovanie iracionálnych funkcií Odmocnina z lineárnej lomenej funkcie Ak máme integrovať funkciu, v ktorej sa okrem algebraických operácií vyskytuje odmocnina z lineárnej lomenej funkcie (špeciálne z lineárnej funkcie), t.j. ax+b n cx+d (špeciálne n ax + b), tak použijeme substitúciu t = ϕ(x) = n ax+b cx+d (t = n ax + b). Pri tejto substitúcii je technicky výhodné vyjadriť inverznú funkciu x = ϕ (t) a dx = ( ϕ ) (t) dt. Všetky tieto vzťahy dosadíme do riešeného integrálu, ktorý tak prevedieme na integrál z racionálnej funkcie premennej t. Príklad 9. Vypočítame integrál 3x+4 x 3x+4 dx. Riešenie: V tomto príklade použijeme substitúciu t = 3x + 4, x ( 4 3, ) a vyjadríme inverznú funkciu x = t 4 3 a tiež dx = t 3 dt. Dosadením dostávame integrál z racionálnej funkcie premennej t I = t t 4 3 t ( ) t dt = 3 t ( dt t 3t 4 = + 3t + 4 ) t dt. 3t 4 Rýdzo racionálnu funkciu v integrále rozložíme na súčet elementárnych zlomkov. a pokračujeme v integrovaní 6 3t + 4 t 3 4 = 5 t 4 5 t + ( I = t + 6 5 ln t 4 ) 5 ln t + + c. Nakoniec výsledok vyjadríme v termínoch premennej x. ( 3x 6 I = + 4 + 5 ln 3x + 4 4 ) 5 ln 3x + 4 + + c. V prípade, že sa v integrovanej funkcii vyskytujú dve rôzne odmocniny n ax+b cx+d a m ax+b cx+d, použijeme substitúciu t = k ax+b cx+d, kde k je najmenší spoločný násobok čísel m a n. Podobne postupujeme aj vtedy, ak sa vyskytuje viac odmocnín z tej istej lineárnej lomenej funkcie. Príklad. Vypočítame integrál Riešenie: 4 x 3 x+ x dx. Najmenší spoločný násobok čísel, 3 a 4 je číslo. Preto použijeme substitúciu t = x, vyjadríme x = t a dx = t dt. Ďalej uvážime, že x = t 6, 3 x = t 4 a 4 x = t 3 a dosadíme do pôvodného integrálu I = 4 x 3 dx = x + x t 3 t 4 + t 6 t dt = t + t dt. Posledný integrál (z racionálnej funkcie) rozložíme na súčet mnohočlena a rýdzo racionálnej funkcie a zintegrujeme ( ) I = (t 8 t 6 + t 4 t + ) dt t + dt =

.3. INTEGROVANIE ELEMENTÁRNYCH FUNKCIÍ 33 ( ) t 9 = 9 t7 7 + t5 5 t3 3 + t arctg t + c = ( x 9 x = 7 x ) + 5 x 3 + x arctg x + c. 9 7 5 3 Odmocnina z kvadratickej funkcie Ak máme integrovať funkciu, v ktorej sa okrem algebraických operácií vyskytuje odmocnina z kvadratickej funkcie ax + bx + c, postupujeme nasledovne:. Doplnením na štvorec a algebraickými úpravami a substitúciou prevedieme daný výraz na niektorý z výrazov r u, r + u alebo u r.. Použitím substitúcií u = r sin t u = r tg t u = r cos t pre pre pre r u r + u u r prevedieme daný integrál na integrál z trigonometrickej funkcie. Príklad. Vypočítame 4x 8x + 5 dx. Riešenie: Upravíme 4x 8x + 5 = (x ) + a zvolíme u = x. Potom du = dx a 4x u I = 8x + 5 dx = + du. Použijeme substitúciu u = tg t, t ( π, π ) a počítame I = tg t + cos t dt = sin t+cos t cos t cos t dt = Tento integrál sme už počítali v Príklade 7 I = cos 3 t dt = ( ) sin t 8 cos t + ln + sin t sin t + c. cos 3 t dt. Pre spätnú substitúciu potrebujeme vyjadriť sin t a cos t pomocou u. To spravíme umocnením substitučnej rovnice u = tg t, úpravou a vyjadrením u = sin x sin x, sin t = u, cos t =. + u + u Po spätnej substitúcii dostávame I = ( u ) + u 8 + u + ln + u + u = u = 8 ( u + u + ln( + u + u) ) + c.

34 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL Nakoniec prejdeme k premennej x (u = x ). I = (x ) 4x 8x + 5 + 4 ln( 4x 8x + 5 + x ) + c. Príklad. Vypočítame integrál (x ) 8+x x dx. Riešenie:. Upravíme 8 + x x = 9 (x ) a zvolíme u = x. Potom môžeme písať (Uvedomme si, že du = dx!) (x ) I = dx = u du. 8 + x x 9 u. Použijeme substitúciu podľa návodu u = 3 sin t, t ( π, π ). Potom du = 3 cos t dt a 9 u = 9 9 sin t = 9 cos t = 3 cos t. (Prečo nie 9 u = 3 cos t?) Dosadíme, v úprave použijeme trigonometrickú identitu sin t = cos t a integrujeme. = 9 I = ( t 9 sin t 3 cos t 3 cos t dt = 9 sin t ) = 9 (t sin t cos t) = 9 ) = 9 arcsin ( x 3 cos t sin t dt = 9 dt = ( arcsin u 3 u 9 u 3 3 (x ) 8 + x x + c. Poznámka 5. Integrály obsahujúce odmocninu z kvadratickej funkcie je možné riešiť tiež inými typmi substitúcií ([E], [I], [K]). Niekedy je možné pri integrovaní tohoto typu funkcií použiť metódu per partes. Príklad 3. Vypočítame integrál + x dx. Riešenie: Metódou per partes dostávame I = + x dx = x + x x + x dx = = x + x + x dx = + x x + x I + dx + x. Posledný integrál je jeden zo základných. Pričítaním hodnoty integrálu I k obidvom stranám rovnice a vydelením dvomi dostávame I = ( x + x + ln(x + ) + x ) + c. ) =

.3. INTEGROVANIE ELEMENTÁRNYCH FUNKCIÍ 35 Cvičenia Vypočítajte integrály iracionálnych funkcií. 33. x + x dx. 34. dx ( x) x. 35. x x+ dx. 36. dx + 3 x. 37. x 3 x dx. 38. dx x x 4. 39. +x x dx. 4. +x x ( x)(+x) dx. 4. dx. 4. dx. (x ) 3 (x 3) 3 x 5x 43. x x x+ dx. 44. dx (9+x ) 9+x. 45. 3 x x dx. 46. x+ x +x dx. 47. x +x x dx. 48. dx 5+9x. 49. 3dx 9x. 5. dx x 9 x. Výsledky 33. x x + ln( x + ) + c. 34. arctg x + c. 35. x arctg x + c. ( 3 36. 3 x 3 x + ln + 3 ) x + c. 37. 6 6 x 6 6 x 6 5 x 5 6 7 x 7 3 ln 6 x 6 x+ + c. ) 38. arctg + c. ( x 4 39. arcsin x x + c. 4. x x + c. 4. x 3 x + c. 4. 5 arcsin 5x+ 4 + c. 43. x x + + c. x 44. 9 + c. 9+x 45. x+ 3 x x + arcsin x+ + c. 46. x + x + c. 47. x + x + ln x + + x + x + c.

36 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 48. 3 ln 3x + 5 + 9x + c. 49. ln 3x + 9x + c. 5. 9 x 9x + c..3.4 Integrovanie transcendetných funkcií Transcendentné funkcie integrujeme podľa okolností buď metódou substitučnou alebo metódou per partes (podrobnosti sú v závere prechádzajúcej časti). Pri riešení je často potrebné opakovane kombinovať obidve metódy. Príklad 4. Vypočítame integrál I = ( ) x 3 e x4 + arccotg x dx. Riešenie: Daný integrál rozdelíme na dva. Prvý počítame pomocou substitučnej metódy, druhý metódou per partes. x 3 e x4 dx t= x4 = e t dt = 4 4 e x4 + c, { u x 3 = x 3 } v = arccotg x arccotg x = u = x4 4 v = = x4 +x 4 arccotg x + x 4 dx 4 + x. Posledný integrál z racionálnej funkcie počítame rozkladom na mnohočlen a rýdzo racionálnu funkciu x 4 ( dx + x = x + ) + x dx = x3 x arccotg x + c. 3 Poznamenajme, že namiesto arccotg x sme mohli tiež písať + arctg x. Celkový výsledok je súčtom obidvoch integrálov I = 4 e x4 + x4 4 arccotg x + ( ) x 3 4 3 x arccotg x + c. Príklad 5. Vypočítame integrál I = ( ) 4 cosh x x arcsin x x dx. Riešenie: Daný integrál vypočítame ako rozdiel dvoch integrálov. ( e I = 4 cosh x + e x ) x dx = 4 = (e x + + e x ) dx = = ex e x + x = sinh x + x + c. Druhý integrál riešime metódou per partes. { x arcsin x u I = dx = = x } x v = arcsin x x u = x v = = x = x arcsin x + dx = x x arcsin x + c. Nakoniec I = I I = sinh x + x + x arcsin x + c.

.3. INTEGROVANIE ELEMENTÁRNYCH FUNKCIÍ 37.3.5 Záver Vo všeobecnosti je hľadanie neurčitého integrálu k danej funckii činnosť náročnejšia ako hľadanie derivácie danej funkcie. Na rozdiel od derivácií neexistuje všeobecný algoritmus ako nájsť integrál ľubovoľnej elementárnej funkcie. Ten istý integrál je často možné riešiť rôznymi metódami (napr. x x). Na druhej strane existujú elementárne funkcie, ktorých neurčité integrály sa nedajú vyjadriť pomocou elementárnych funkcií. Také sú napríklad e x dx, sin(x ) dx, sin x x dx, + x 4 dx a ďalšie. Určitou výhodou pri počítaní integrálov oproti počítaniu derivácií je fakt, že v prípade pochybností môžeme správnosť výpočtu integrálu overiť skúškou. Zo vzťahu (.) ( ) f(x) dx = f(x) totiž vyplýva, že ak sme pri výpočte postupovali správne, tak deriváciou výslednej funkcie dostaneme integrovanú funkciu. Cvičenia Kombináciou rôznych metód vypočítajte integrály. 5. dx 3 (4 3x). 5. e x sin x dx. 53. e ax cos bx dx. 54. (3x + x + ) sin x 3 dx. 55. sin x (3 + cos x) 5 dx. 56. (3x + ) ln(x 4) dx. 57. ( ) ln x x dx. 58. x arctg 3x dx. 59. arcsin x dx. 6. sin x sinh x dx. 6. (4x 3 + x) arctg x dx. 6. dx (x +) arccotg 3 x. 63. (x ) arccos x dx. 64. (x 3x + ) cosh x dx. Výsledky 5. 3 4 3x + c. 5. e x sin x e x 5 (sin x + cos x) + c. ae 53. ax (a +b )(cos bx + b sin bx) + c. 54. ( 9x 6x + 59) cos x 3 + (54x + 8) sin x 3 + c. 55. 7 (3 + cos x) 7 + c. 56. (x 3 + x 68) ln(x 4) x3 3 x 7x + c. 57. ln x+ ln x+ x + c. 58. x3 x 3 arctg 3x 8 + ln(9x +) 6 + c.

38 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 59. x arcsin x + x arcsin x x + c. 6. (sin x cosh x cos x sinh x) + c. 6. (x 4 + x ) arctg x x3 3 + c. 6. arccotg x + c. 63. (x x ) arccos x + ( x ) x + c. 64. (x 3x + ) sinh x (x 3 ) cosh x + c.

Kapitola Určitý integrál. Pojem určitého integrálu Definícia určitého integrálu je pomerne zložitá a čitateľ ju nájde napr. v [], [5], [6]. Na tomto mieste ju len voľne opíšeme. Predstavme si, že v intervale a, b je definovaná nezáporná spojitá funkcia f a potrebujeme vypočítať obsah plochy pod jej grafom, t.j. obsah rovinnej oblasti ohraničenej grafom funkcie f, osou o x a priamkami x = a a x = b. Pokiaľ je f lineárna alebo konštantná, jedná sa o lichobežník, prípadne obdĺžnik a riešenie úlohy je jednoduché. Pre všeobecnú funkciu môžeme postupovať nasledovne. Obr..: Určitý integrál.. Rozdelíme bodmi a = x < x < x < < x n < x n = b interval a, b na n podintervalov x i, x i. Označme d dĺžku najdlhšieho z nich.. V každom podintervale zvolíme niektorý bod p i. 3. V každom podintervale nahradíme príslušnú časť plochy obdĺžnikom so základňou dĺžky (x i x i ) a výškou f(p i ). 4. Sčítame obsahy všetkých takýchto obdĺžnikov. n S = f(p i )(x i x i ). i= 39

4 KAPITOLA. URČITÝ INTEGRÁL Dostávame tak aproximáciu (približnú hodnotu) hľadaného obsahu. S týmto výsledkom sa však nemôžeme uspokojiť. Z obrázku je vidieť, že ak zhustíme deliace body, hodnota S sa viac priblíži skutočnej hodnote. Preto celý postup opakujeme tak, že dĺžka d najdlhšieho podintervalu sa bude blížiť k nule. Takto limitnou hodnotou aproximácie S bude hľadaný obsah. Tento teoretický postup je však pre všeobecnú funkciu f prakticky neuskutočniteľný. Preto hladáme iný spôsob, ako nájsť hľadaný obsah. Označme S(x) obsah plochy pod grafom funkcie f v intervale a, x. Všimnime si zmenu S(x + h) S(x) pre číslo h blízke k nule. Táto sa približne rovná obsahu obdĺžnika so stranami dĺžok h a f(x), teda S(x + h) S(x) hf(x). Preto Obr..: S (x) = f(x) S(x + h) S(x) lim = f(x). h h Výraz na ľavej strane je derivácia funkcie S v bode x, takže dostávame dôležitý fakt S (x) = f(x), z ktorého vyplýva, že S je tá primitívna funkcia k funkcii f v intervale a, b, pre ktorú platí S(a) = (v bode a sa jedná o plochu s nulovým obsahom). Preto hľadaný obsah sa rovná rozdielu S(b) S(a). V predchádzajúcich riadkoch je približne opísaný proces integrácie spojitej funkcie f v intervale a, b a motivuje nasledujúci pojem určitého integrálu. Nech f je spojitá funkcia v intervale a, b a F je funkcia primitívna k f v intervale a, b. Určitý integrál funkcie f v intervale a, b je číslo F (b) F (a). Tento fakt zapisujeme nasledovne b a f(x) dx = [F (x)] b a = F (b) F (a). (.) Poznámka. Uvedený vzťah sa volá Newtonova-Leibnizova formula. Neurčitý a určitý integrál sú vo svojej podstate naprosto odlišné matematické objekty. Kým neurčitý integrál je množina funkcií, určitý integrál je číslo. To, čo ich spája (okrem slova integrál v ich názvoch), je skutočnosť vyjadrená uvedeným vzťahom (.), že určitý integrál sa dá vyjadriť pomocou ľubovoľnej funkcie z neurčitého integrálu. Vo vzťahu (.) výraz na ľavej strane je označením určitého integrálu funkcie f v intervale a, b a výraz v strede je iný zápis čísla F (b) F (a). Pri samotnom výpočte postupujeme tak, že najskôr nájdeme niektorú primitívnu funkciu F k funkcii f (označenie výrazom v strede)