/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 205 44 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 = 5269 3600 Dobili smo novi niz:, 5 4, 49 36, 205 44, 5269 3600,... 2 / 79.
3 / 79 Definicija reda Definicija (6..) Neka je (a n ) n niz realnih brojeva. Nizu (a n ) n pridružujemo niz (s n ) n definiran s: s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3. s n = a + a 2 + + a n. Red je ure deni par ((a n ) n, (s n ) n ) nizova (a n ) n i (s n ) n. Element a n zovemo opći član reda, a s n je n-ta parcijalna suma reda. Oznake za red su an ili a n ili n N a n ili N a n ili a + a 2 + + a n +.
4 / 79 Primjer Definicija reda Pretvaranje racionalnih brojeva u decimalne. lim n 9 9 = 0 ( 0 9 = 0 + ) 0 2 + 9 0 ( 2 = 0 + 0 2 + + ) 0 n 0 n = 0 9 = lim n Pišemo: 9 = 0 n Govorimo da je 9 suma reda + 9 0 n ( 0 + 0 2 + + ) 0 n 0 n.
5 / 79 Definicija reda Primjer Geometrijski red. Za x imamo x = x + x x = + x x 2 + x 2 x = + x x = + x + x 2 = ( + x + x 2 + + x n ) + x n x. x = Za x < je lim x n = 0 n x = lim n ( + x + x 2 + + x n ) = x n.
6 / 79 Primjer Definicija reda Pokušajmo naći funkciju f : R R koja je rješenje diferencijalne jednadžbe f (x) = f (x), x R, s početnim uvjetom f (0) =. Tražimo funkciju u obliku polinoma neodre denog stupnja Derivacija je oblika f (x) = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n +. f (x) = a + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + + na n x n + Uvrstimo u diferencijalnu jednadžbu: a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n + = a + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + + na n x n + x R,
Definicija reda Izjednačimo koeficijente: a = a 0 a = a 0 2a 2 = a a 2 = 2! a 0 3a 3 = a 2 a 3 = 3! a 0 4a 4 = a 3 a 3 = 4! a 0.. (n + )a n+ = a n a n+ = (n+)! a 0 Uvjet f (0) = daje a 0 =. a 0 =, a =!, a 2 = 2!, a 3 = 3!,..., a n = n!,..., Ne postoji polinom koji bi zadovoljavao traženu diferencijalnu jednadžbu sa zadanim početnim uvjetom. Razumno očekivati da za x R vrijedi f (x) = lim ( + x n! + x 2 2! + + x n n! ) = x n n!. 7 / 79.
8 / 79 Definicija reda Funkcija e x je rješenje diferencijalne jednadžbe. Možemo očekivati da x R vrijedi e x = x n n!.
Definicija konvergencije reda 6.2. Definicija konvergencije reda Niz ( n 2 ):, 2 2, 3 2, 4 2,... Parcijalne sume: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 205 44. Da li niz:, 5 4, 49 36, 205 44, 5269 3600,... konvergira? Tj., da li red n 2 konvergira? 9 / 79
Konvergencija reda Definicija (6.2.) Za red Definicija konvergencije reda realnih ili kompleksnih brojeva kažemo da je konvergentan (sumabilan, zbrojiv), ako je niz parcijalnih suma reda (s n ) n konvergentan. Ako je red konvergentan onda broj a n s = lim n s n zovemo sumom reda i označavamo sa s = a n = a + a 2 + + a n +. Red je divergentan ako je niz (s n ) n divergentan. 0 / 79
Definicija konvergencije reda Za niz kompleksnih brojeva (a n ) n = (α n + iβ n ) n možemo promatrati tri reda a n, α n, β n, s parcijalnim sumama s n = a + + a n, σ n = α + + α n, τ n = β + + β n. Budući da je s n = σ n + iτ n to niz (s n ) n konvergira ako i samo ako konvergiraju nizovi (σ n ) n i (τ n ) n. Tada vrijedi odnosno a n = lim s n = lim σ n + i lim τ n, n n n (α n + iβ n ) = α n + i β n. Pitanje konvergencije reda, a pogotovo sume reda, može biti vrlo komplicirano. Za početak dajemo primjer u kojem je na oba pitanja moguće lako odgovoriti / 79
2 / 79 Definicija konvergencije reda Primjer Pokažimo da red Za svaki n N vrijedi s n = n k= lim s n =, n konvergira i na dimo njegovu sumu. n(n + ) n(n + ) = n n + k(k + ) = tj. n k= n(n + ) =. ( k ) = k + n +.
3 / 79 Definicija konvergencije reda Teorem (6..) (Nužan uvjet konvergencije reda) Ako red a n konvergira, onda niz (a n ) n konvergira k nuli, tj. vrijedi ( a n konvergira ) ( lim a n = 0). n Dokaz: Ako red konvergira k broju s, onda vrijedi lim a n = lim (s n s n ) = lim s n lim s n = s s = 0. n n n n Q.E.D. Obratna implikacija u teoremu) nije općenito istinita, što je vidljivo iz sljedećeg primjera
4 / 79 Definicija konvergencije reda Primjer Harmonijski red divergira k +. s n+ = s n + n + > s n niz (s n ) n je strogo rastući. Podniz (s 2 n) n odozgo neograničen: Indukcijom dokazujemo da n N vrijedi s 2 n + 2 n. n Za n = je s 2 = + 2 što daje bazu indukcije.
5 / 79 Definicija konvergencije reda Za n N: s 2 n+ = s 2 n + 2 n + + 2 n + 2 + + 2 n + 2 n > s 2 n + 2 n + 2 n + + 2 n + 2 n = s 2 n + 2 n 2 n+ = s 2 n + 2 + 2 n + 2 = + (n + ). 2 lim s 2 n = + lim s n = + n n Red divergira, a lim n n = 0. Dakle, konvergencija niza općih članova k nuli nije dovoljan uvjet za konvergenciju reda.
6 / 79 Definicija konvergencije reda Primjer Alternirajući harmonijski red ( ) n n () konvergira. Nužan uvjet konvergencije je ispunjen, tj. lim n ( ) n n = 0. Nadalje, vrijedi s 2m = ( ) ( + 2 3 ) ( + + 4 2m ) 2m podniz (s 2m ) m strogo rastući.
7 / 79 Definicija konvergencije reda Niz (s 2m ) m je odozgo ograničen: ( s 2m = 2 ) ( 3 4 5 ) rastući + ograničen konvergentan Neka je lim m s 2m = s. ( ) 2m 2 2m 2m <. Zbog s 2m+ = s 2m + 2m + imamo lim s 2m+ = s m dakle i lim s n = s n što pokazuje da je alternirajući harmonijski red konvergentan.
8 / 79 Definicija konvergencije reda Konvergencija redova je u skladu s operacijama zbrajanja redova i množenja redova sa skalarima. Teorem (6.2.) Neka su a n i par λ, µ C je red b n konvergentni redovi sa sumama A i B. Za svaki (λa n + µb n ) konvergentan i vrijedi (λa n + µb n ) = λ a n + µ b n.
Definicija konvergencije reda Dokaz: Označimo: A n = a + + a n B n = b + + b n C n = (λa + µb ) + + (λa n + µb n ) C n = (λa n + µb n ) za sve n N, lim A n = A i lim B n = B lim C n = λ lim A n + µ lim B n n n n n n Q.E.D. 9 / 79
20 / 79 Geometrijski red Definicija konvergencije reda Teorem (6.3.) Za q C, q <, geometrijski red konvergira i ima sumu q n = + q + q 2 +. Za q red divergira. q
2 / 79 Definicija konvergencije reda Dokaz: q n = ( q)( + q + + q n ) s n = + q + + q n = qn q = q q qn. q < lim n q n = 0 lim s n = n q. q n N, q n niz općih članova reda ne teži k nuli red divergira. Q.E.D.
22 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova 6.3. Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija Definicija (6.3.) Za red a n kažemo da je red s pozitivnim članovima ako je n N, a n 0. Teorem (6.4.). Red a n s pozitivnim članovima konvergira ako i samo ako je njegov niz parcijalnih suma (s n ) n ograničen. Tada je a n = sup{s n ; n N}. 2. Ako red a n s pozitivnim članovima konvergira, onda njegova suma ne ovisi o poretku članova, tj. vrijedi a n = a σ(n), gdje je σ : N N bijekcija (permutacija).
23 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Dokaz:. (s n ) n - niz parcijalnih suma reda a n. s n+ = s n + a n+ niz (s n ) n je rastući. rastući niz je konvergentan ako je ograničen
24 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova 2.. (s n) n - niz parcijalnih suma reda a n, a n = a σ(n). Za bilo koji n N postoje p, q N takvi da je gdje je τ = σ. σ() < p, σ(2) < p,..., σ(n) < p τ() < q, τ(2) < q,..., τ(n) < q i s n = a σ() + a σ(2) +... + a σ(n) a + a 2 +... + a p = s p To daje odnosno s n = a + a 2 +... + a n = a σ(τ()) + a σ(τ(2)) +... + a σ(τ(n)) a σ() + a σ(2) +... + a σ(q) = s q sup{s n; n N} = sup{s m ; m N}, a n = lim s n = lim n m s m = a m. m= Q.E.D.
25 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Lema (6..) (uspore divanje redova) Neka su a n, b n redovi s pozitivnim članovima i neka postoji K > 0 tako da je a n K b n, n N. (2) Ako konvergira red b n, onda konvergira i red a n i vrijedi an K b n. Ako red a n divergira, onda divergira i red b n.
26 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Dokaz: Parcijalne sume: s n = n a k i t n = k= s n t n, n N zbog a n K b n (s n ) n i (t n ) n su rastući (s n ) n i (t n ) n konvergentni ograničeni (t n ) n konvergentan (t n ) n ograničen (s n ) n ograničen (s n ) n konvergentan (s n ) n divergentan (s n ) n neograničen (t n ) n neograničen (t n ) n divergentan. Q.E.D. n k= b k
27 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Primjer Red n 2 je konvergentan. (n + ) 2 > n(n + ) (n + ) 2 (n + ) 2 < n(n + ) n(n + ) =.
28 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Primjer Red konvergira za p 2. np n p n 2 n p n 2.
29 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Primjer Red divergira za p. np n p n n n p a red n divergira. n n p,
30 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Teorem Neka je (a n ) n niz u C.. Ako konvergira red onda konvergira i red a n (3) a n i vrijedi a n a n. 2. Ako konvergira red (3) i ako je σ : N N bijekcija, onda konvergira i red a σ(n) i vrijedi a n = a σ(n).
3 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Dokaz: I. Pretpostavimo da je (a n ) n niz u R. Definiramo { { a n + an ako je a = n 0 0 ako je 0 ako je a n < 0, an 0 a n = a n ako je a n < 0. (a + n ) n i (a n ) n nizovi s pozitivnim članovima i a n = a + n a n, a n = a + n + a n ( n N). Red a n konvergira i a + n a n, a n a n (Lema 6..) redovi a+ n i a n konvergiraju. A + i A njihove sume A + A = a n + an = (a n + an ) = Red a n je konvergentan a n
32 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova n a n i= n n a n n lim n i= A + = i= a + σ(n) i A = a n = A + A = a n lim n a σ(n) (a + σ(n) a σ(n) ) = n a n i= a σ(n)
Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova II. Neka je (a n ) n niz u C: α n a n, β n a n, n N a n = α n + iβ n, α n, β n R. redovi α n i β n su konvergentni redovi α n i β n su konvergentni red (α n + iβ n ) = a n je konvergentan. a n a n kao za niz u R. a n = = α n + i β n = α σ(n) + i β σ(n) = (α σ(n) + iβ σ(n) ) = a σ(n) Q.E.D. 33 / 79
34 / 79 Uspore divanje redova, apsolutna konvergencija redova Definicija (6.4.) Za red a n kažemo da je apsolutno konvergentan ako je red a n konvergentan. Red a n je uvjetno konvergentan ako konvergira, ali red a n divergira. Teorem (6.6.) Neka su a n, b n redovi u C i neka postoji K > 0 tako da je a n K b n, n N. Ako red b n apsolutno konvergira, onda apsolutno konvergira i red an. Ako red a n ne konvergira apsolutno, onda niti red b n ne konvergira apsolutno.
35 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Promotrimo ( ) n a n red u R gdje je a n > 0, n N (alternirajući red) Teorem (6.7. - Leibnitzov kriterij) Ako niz (a n ) n realnih pozitivnih brojeva strogo pada i lim n a n = 0, tada red ( ) n a n konvergira k broju A za koji vrijedi 0 < A < a.
Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Dokaz: (s n ) n - niz parcijalnih suma reda Vrijedi s 2m = (a a 2 ) + (a 3 a 4 ) + + (a 2m a 2m ) Podniz (s 2m ) m je strogo rastući. s 2m = a (a 2 a 3 ) (a 2m 2 a 2m ) a 2m < a Podniz (s 2m ) m ograničen odozgo. strogo rastući + ograničen odozgo Podniz (s 2m ) m je konvergentan. Neka je A = lim m s 2m. s 2m+ = s 2m a 2m+ = lim m s 2m+ = A lim n s n = A s 2m < A < s 2m, m N. Q.E.D. 36 / 79
37 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Teorem (6.8. - D Alambertov kriterij) Neka je (a n ) n niz u C i a n 0, n N.. Ako postoje m N i q 0, R takvi da vrijedi a n+ a n q, n m, onda red a n apsolutno konvergira. 2. Ako postoji m N takav da vrijedi a n+ a n, n m, onda red a n divergira.
38 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Dokaz:. Za n = m + k, k N: a m+k q a m+k q k a m 2. a n+ a n a m+k a m q k = k= k= a m+k konvergira a n konvergira k= q q a n apsolutno konvergira., n m a n a m > 0, n m (a n ) n ne teži k nuli (nije ispunjen nužan uvjet konvergencije reda.) Q.E.D.
39 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Teorem (6.9. - Cauchyjev kriterij) Neka je (a n ) n niz u C. n. Ako postoje m N i q 0, R takvi da vrijedi a n q, n m, onda red a n apsolutno konvergira. n 2. Ako vrijedi a n za beskonačno mnogo indeksa n N, onda red a n divergira.
Nije ispunjen nužan uvjet konvergencije reda. Q.E.D. 40 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Dokaz:. n m a n q n a n n=m q n = n=m qm q red a n konvergira a n apsolutno konvergira. 2. n a n za beskonačno mnogo indeksa n N a n za beskonačno mnogo indeksa n N za podniz (a pn ) n niza (a n ) n vrijedi a pn, n N. Podniz (a pn ) n ne konvergira k nuli Niz (a n ) n ne konvergira k nuli.
4 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Korolar (6..) Neka ( je )(a n ) n niz u C i a n 0, n N. Ako neki od nizova a n+ ( n a n, an ) konvergira k r R +, onda za 0 r < red n n a n apsolutno konvergira, a za < r red divergira.
Dokaz: Neka je 0 r < Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda postoji ε > 0 takav da je r + ε <. za taj ε postoji m N sa svojstvom n N ( ) (n m) r ε < a n+ a n < r + ε = q ( (n m) r ε < n ) a n < r + ε = q Teorem 6.8. ili teorem 6.9. Neka je < r a n apsolutno konvergentan ili Postoji ε > 0 takav da je r ε >. Teorem 6.8. ili teorem 6.9. a n divergentan. Q.E.D. 42 / 79
43 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Primjer Redovi na za koje niti D Alambertov niti Cauchyjev kriterij ne daju odluke o konvergenciji ili divergenciji: n(n + ) konvergira i a n+ a n = n(n+) (n+)(n+2) = n divergira i a n+ a n = n n+. ( ) n n 2 konvergira i n = n 2 n n. ( ) n divergira i n n = n n. n n+2.
Napomena Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Ako D Alambertov kriterij daje odluku, onda ju daje i Cauchyjev kriterij. a m+k q k a m, k N m+k a m+k m+k a m q k m+k Obratna tvrdnja nije istinita, što pokazuje slijedeći primjer. Primjer Niz (a n ) n je definiran s a 2n = 4 n, a 2n+ = 2, n N. 4n a n n k q. a 2n+ a 2n = 2 i = 4n a 2n a 2n 4 n 2 = 8, ( ) a n+ niz ne konvergira. Po teoremu 6.8. nije moguća odluka. 2n a 2n = 2 i 2n+ a 2n+ = 2 2 2 2n+ n 2, tj. lim n n an = 2. 44 / 79
45 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Primjer Za svako z C red z n n! a n+ a n = apsolutno konvergira. z n+ (n+)! z n n! = z n 0 = r <. n + Po korolaru 6.. red apsolutno konvergira za svako z C. definira funkciju E : C C, E(z) = z n, E(0) =, E() = e. n!
46 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Primjer Za svaki z C apsolutno konvergiraju redovi S(z) = ( ) n z 2n+ (2n + )!, C(z) = ( ) n z2n (2n)!. Ti su redovi apsolutno majorizirani s redom z n n!.
47 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Teorem (6.0. - Integralni Cauchyjev kriterij) Neka je f : [, + [0, neprekidna i padajuća funkcija na [, +. +. Red f (n) konvergira ako i samo ako integral f (x)dx konvergira. 2. Ako red konvergira onda vrijedi + f (x)dx f (n) f () + + f (x)dx.
Dokaz: s n = Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda n f (k) - parcijalna suma reda k= f je padajuća, f (k + ) f (t) f (k) k N i t [k, k + ] f (k + ) Vrijedi f () + n+ 2 k+ k f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt f (k), k N. 3 2 n k= k k+ f (t)dt + + f (t)dt n n n f (k) = s n k= f (t)dt = f () + n f (t)dt. n+ f (t)dt s n f () + n f (t)dt n N 48 / 79
. + s n f () + Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda f (x)dx, konvergira f (t)dt n N (s n ) rastući i ograničen (s n ) konvergentan f (n) konvergira n+ f (t)dt ( ) n+ niz f (t)dt n f (n) t postoji lim f (x)dx = t + rastući i ograničen konvergentan + f (x)dx. Q.E.D. 49 / 79
50 / 79 Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Primjer Funkcija f (x) = je neprekidna i padajuća na [, +. x p + Red dx konvergira za p > i divergira za p. x p konvergira za p > i divergira za p. np
Primjer Neki dovoljni uvjeti za konvergenciju reda Ispitajte konvergenciju reda n=2 n ln p za p >. n Funkcija f (x) = x ln p, x [2, + je neprekidna i padajuća. x Vrijedi x dt F(x) = 2 t ln p t = y = ln t ln x dy = dt/t = dy ln 2 y p = = ln x p y p = p ln p x + p ln p 2, lim F (x) = x + p Red n=2 ln 2 ln p 2 = + 2 dx x ln p x. n ln p n konvergira za p >. 5 / 79
Redovi potencija Redovi potencija Neka je (f n ) n niz funkcija f n : I R( ili C), I R(ili C). Red f n zovemo redom funkcija. Za f n (x) = a n (x c) n, x I, red a n (x c) n se naziva red potencija oko točke c. Neka je K = {z C; red a n (x c) n konvergira u točki z}. Definiramo r = sup{ z c ; z K } i nazivamo ga radijus konvergencije reda a n(x c) n. 52 / 79
Redovi potencija Nadalje, zbog jednostavnosti: c = 0: Red a n x n. na n x n. zovemo derivacijom reda a nx n član po član. Red a n n + x n+ zovemo antiderivacijom (neodre denim integralom) reda a nx n član po član. 53 / 79
54 / 79 Redovi potencija Teorem (6.2. - o radijusu konvergencije). Redovi a n x n, na n x n i a n n + x n+ imaju jednak radijus konvergencije. 2. Ako je r radijus konvergencije reda a nx n i r > 0, onda svi redovi apsolutno konvergiraju za z C, z < r, i divergiraju za z C, z > r. 3. Ako je ρ = lim sup n n a n, onda je r = ρ. Dokaz: Bez dokaza. Q.E.D.
Redovi potencija Objašnjenje. Jednostavniji slučaj: ρ = lim n a n, r = n ρ Za x < r red a n x n apsolutno konvergira (Cauchyjev kriterij): lim n a n x n = lim n a n x < ρr =.. n n Za x > r red divergira. r je radijus konvergencije. Red na nx n : lim n n (n + )a n+ = lim n n+ n + lim n ( n+ a n+ ) n+ n = ρ. Red an n+ x n+ n an : lim = lim n n n ( ) n n n a n n = ρ. n 55 / 79
56 / 79 Redovi potencija Ako je r > 0 radijus konvergencije redova a n x n, na n x n i onda su s f (z) = f (z) = f 2 (z) = M 2 (z) = a n z n, na n z n, n(n )a n z n 2, n=2 a n n + x n+, n(n ) a n z n 2 n=2 definirane funkcije na K (0, r) C
57 / 79 Redovi potencija Lema (6.2.) Neka je r > 0 radijus konvergencije reda (??). Za svaki 0 < r < r i svaki par u, z C, u z i u r, z r, vrijedi nejednakost f (z) f (u) f (u) z u 2 M 2(r ) z u. (4)
Korolar (6.2.) Redovi potencija Neka su f : r, r R i f : r, r R definirane s f (z) = a n z n, i f (z) = na n z n. Tada je f (x) = f (x), x r, r. Funkcija f ima derivaciju svakog reda na r, r, tj. f C ( r, r ). Tako der za a, b r, r, a < b, imamo b a a n x n dx = = b a n x n dx = a a n n + (bn+ a n+ ). Dokaz: Lema 6.2. f = f na r, r a n n + x n+ b a = Rekurzivnim zaključivanjem slijedi da je f C ( r, r ). Q.E.D. 58 / 79
59 / 79 Redovi potencija Primjer Odredite radijus konvergencije reda x n n. a n = n. lim n n a n = lim n n n = lim n n n =. r = =.
60 / 79 Redovi potencija Primjer Odredite radijus konvergencije reda x n 2 n. a n = 2 n. lim n n a n = lim n n 2 n = 2. r = 2 = 2.
6 / 79 Redovi potencija Primjer Odredite radijus konvergencije reda a n x n, { gdje je a n = 2 za paran n n 3 za neparan n n lim 2m 2m a 2m = lim m m 2 2m = 2, lim 2m+ 2m+ a 2m+ = lim m m 3 2m+ = 3 { n lim sup an = max n 2, } = 3 2 r = 2 = 2. lim n n a n ne postoji.
Taylorovi redovi Taylorovi redovi Neka je f : c r, c + r R zadana s f (x) = a n (x c) n, gdje je r > 0 radijus konvergencije reda. Tada je f C ( c r, c + r ) i vrijedi Formula za koeficijente je f (c) = a 0 f (c) = a f (c) = 2a 2 f (n) (c) = n!a n.. a n = f (n) (c), (n = 0,,...). 62 / 79
63 / 79 Taylorovi redovi Taylorov teorem Definicija Neka je I R otvoren interval i f : I R ima n-tu derivaciju na I. Za c I polinom T n (x) = f (c) + n k= f (k) (c) (x c) k, x R, (5) k! zovemo Taylorov polinom n-tog reda za funkciju f u točki c, a funkciju zovemo n-ti ostatak funkcije f u c. R n (x) = f (x) T n (x), x I, (6)
64 / 79 Taylorovi redovi Primjer Taylorov polinom za eksponencijalnu funkciju f (x) = e x. f (n) (x) = e x f (n) (0) = T (x) = f (0) + f (0)x = + x. T 2 (x) = f (0) + f (0)x + f (2) (0) x 2 = + x + 2! 2 x 2. T 3 (x) = f (0) + f (0)x + f (2) (0) 2! x 2 + f (3) (0) x 2 = + x + 3! 2 x 2 + 6 x 3.
Taylorovi redovi Lagrangeov teorem srednje vrijednosti ima sljedeće uopćenje. Teorem (Taylor) Neka je I R otvoren interval i neka f : I R, ima derivaciju n + -vog reda na I. Neka je c I i T n Taylorov polinom za f u točki c definiran s (5). Tada x I, c x izme du c i x, tako da je R n (x) = f (x) T n (x) = f (n+) (c x ) (n + )! (x c)n+, (Lagrangeov oblik ostatka). Napomena. Za n = 0 ovo je Lagrangeov teorem srednje vrijednosti. T 0 (x) = f (c) f (x) f (c) = f (x) T 0 (x) = f () (c x ) (x c) = f (c x )(x c) ()! f (x) f (c) x c = f (c x ) 65 / 79
66 / 79 Taylorovi redovi Definicija Neka je funkcija f C ( c r, c + r ). Red f (n) (c) (x c) n n! zovemo Taylorov red funkcije f oko točke c. Taylorovi polinomi T n (x) = n f (k) (c) k=0 k! (x c) k su parcijalne sume Taylorovog reda.
67 / 79 Taylorovi redovi Primjer Taylorov red za eksponencijalnu funkciju f (x) = e x. f (n) (x) = e x f (n) (0) = f (n) (0) x n = n! n! x n = x n n!.
68 / 79 Taylorovi redovi Teorem (6.3.) Neka je I R otvoreni interval, c I i f : I R klase C (I). Ako postoje n 0 N, δ > 0, M > 0 i C > 0, takvi da je onda red f (n) (x) CM n n!, x I = c δ, c + δ I, n n 0, f (n) (c) (x c) n n! konvergira k f (x), x I c M, c + M.
Taylorovi redovi Dokaz: Taylorov teorem srednje vrijednosti: Za svaki x I, postoji c x izme du c i x tako da vrijedi f (x) = T n (x) + f (n+) (c x ) (n + )! (x c)n+. f (x) T n (x) = f (n+) (c x ) x c n+ (n + )! C Mn+ (n + )! x c n+ = C(M x c ) n+. (n + )! Za x I c M, c + M je M x c < pa je lim n f (x) T n (x) = 0, tj. lim n T n (x) = f (n) (c) (x c) n = f (x). Q.E.D. n! 69 / 79
70 / 79 Taylorovi redovi Teorem (6.4.) Neka je I R otvoreni interval, c I i f : I R klase C (I). Ako postoje δ > 0 i C > 0 takvi da je onda red f (n) (x) C, x I = c δ, c + δ I, n N, (7) konvergira k f (x), x I. Dokaz: Vrijedi f (n) (c) (x c) n n! f (x) T n (x) = f (n+) (c x ) x c n+ x c n+ C (n + )! (n + )! n 0, zbog konvergencije reda x n n!. Q.E.D.
7 / 79 Taylorovi redovi Primjer Za funkciju f (x) = e x, x R i c = 0 je f (n) (0) =. Taylorov red oko nule: Za δ > 0 vrijedi x n n!. (x < δ) (e x < e δ ) tj. x δ, δ je e x < e δ = C. Za svaki x R, postoji δ > 0, takav da je x δ, δ, red konvergira k funkciji na čitavom R e x = x n n!
72 / 79 Taylorovi redovi Primjer Za funkcije f (x) = sin x i f (x) = cos x je f (n) (x), x R, pa vrijedi sin x = ( ) n x 2n+ (2n + )! i cos x = ( ) n x 2n (2n)!, za sve x R.
73 / 79 Taylorovi redovi Primjer Naći Taylorov red oko c = 0 funkcije f (x) = e x 2 i ispitati njegovu konvergenciju. f (x) = 2xe x 2 f (x) = 2e x 2 + 4x 2 e x 2 Komplicirano e x = e x 2 = x n n! ( x 2 ) n n! = ( ) n x 2n n!
74 / 79 Taylorovi redovi Primjer Naći Taylorov red oko c = 0 funkcije f (x) = ln( + x) i ispitati njegovu konvergenciju. f (x) = + x = ( ) n x n, za x, (geometrijski red). x dt x f (x) = ln( + x) = 0 + t = ( ) n t n dt = 0 x = ( ) n t n dt = ( ) n x n+ n + = ( ) n x n n za x,. 0
75 / 79 Taylorovi redovi Primjer Naći Taylorov red oko c = 0 funkcije f (x) = Tg x i ispitati njegovu konvergenciju. f (x) = + x 2 = ( ) n x 2n za x, (geometrijski red). f (x) = Tg x = za x,. ( ) n x 2n+ 2n + = n x 2n ( ) 2n,
76 / 79 Primjer Taylorovi redovi Naći Taylorov red oko c = 0 funkcije f (x) = Sin x i ispitati njegovu konvergenciju. ( ) Vrijedi f (x) = ( x 2 ) 2 = ( ) n 2 x 2n, za x, n (binomni red). No, ( ) ( ) n 3 (2n ) 3 (2n ) 2 = n 2 n = = n! 2 4 2n pa imamo f (x) = f (x) = Sin x = (2n )!! x 2n. Odatle je (2n)!! (2n )!! (2n)!! x 2n+, za x,. 2n + (2n )!!, (2n)!!
77 / 79 Taylorovi redovi Teorem (6.5. - Abelov teorem) Ako red a n konvergira i ima sumu s, onda je s f (x) = a n x n, x <, definirana funkcija f :, R i vrijedi s = lim x f (x).
78 / 79 Taylorovi redovi Primjer ( ) n Vrijedi = ln 2. n ln( + x) = ( ) n x n za x,. x = ln 2 = n ( ) n n
79 / 79 Taylorovi redovi Primjer Vrijedi Tg x = ( ) n 2n = π 4. ( ) π 4 = Tg = n x 2n 2n. ( ) n 2n.
80 / 79 Fourierovi redovi 6.7. Fourierovi redovi Trigonometrijski polinom: n (a k cos kx + b k sin kx) za n N ili ili a 0 k=0 n 2 + (a k cos kx + b k sin kx) k= n A k sin(kx + ϕ k ) k=0 A k nazivamo amplitudom, k je kutna frekvencija, a ϕ k je fazni pomak
8 / 79 Fourierovi redovi Red oblika a 0 2 + (a n cos nx + b n sin nx) zovemo trigonometrijski red.
82 / 79 Fourierovi redovi Konvergencija. a 0 + ( a n cos nx + b n sin nx ) a 0 2 2 + ( a n + b n ) Red ( a n + b n ) konvergira = trigonometrijski red apsolutno konvergira.
83 / 79 Fourierovi redovi Promotrimo vektorski prostor V svih neprekidnih funkcija f : [ π, π] R. Definiramo skalarni produkt na V : (f g) = π π f (x)g(x)dx. Za funkcije sin nx, cos nx, (n N), vrijedi π π cos nx dx = 0. n N, π π sin nx dx = 0. n N, π π sin nx cos mx dx = 0. n, m N, π π sin nx sin mx dx = { π za n = m, 0 za n m, π π cos nx cos mx dx = { π za n = m, 0 za n m, n, m N, n, m N.
84 / 79 Fourierovi redovi Skup funkcija { 2π, π sin nx, } sin nx; n N π je ortonormirani skup vektora u V.
85 / 79 Fourierovi redovi Neka je f : [ π, π] R trigonometrijski red zadan s f (x) = a 0 2 + (a n cos nx + b n sin nx). = = π π π π π π = πa n. f (x) cos nx dx = [ a 0 ] 2 + (a m cos mx + b m sin mx) cos nx dx = m= a 0 2 + π π (a m cos mx cos nx dx + b m m= π π ) sin mx cos nx dx
86 / 79 Fourierovi redovi Dakle, za trigonometrijski red f je a n = π π π f (x) cos nx dx, n N {0}. Analogno je b n = π π π f (x) sin nx dx, n N.
87 / 79 Fourierovi redovi Neka je f : [ π, π] R i neka su a n = π b n = π π π π π f (x) cos nx dx, n N {0}, f (x) sin nx dx, n N. Trigonometrijski red S(x) = a 0 2 + (a n cos nx + b n sin nx) nazivamo Fourierov red funkcije f. Koeficijente a n i b n u ovom prikazu nazivamo Euler-Fourierovi koeficijenti.
Fourierovi redovi Pitanje. Da li za danu funkciju f vrijedi f (x) = S(x)? Teorem (Dirichlet) Neka je f : [ π, π] R takva da vrijedi (i) Funkcija f ima najviše konačno prekida i to prve vrste na [ π, π]. (ii) Funkcija f je po dijelovima monotona na [ π, π]. Tada Fourierov red funkcije f konvergira x R. Neka je S : R R suma Fourierovog reda. Ako je f neprekidna u x π, π, onda je S(x) = f (x). Ako f ima prekid u x π, π, onda je Tako der je S(x) = S( π) = S(π) = f (x ) + f (x+). 2 f (π ) + f ( π+). 2 88 / 79
89 / 79 Fourierovi redovi Dokaz: Dokazujemo samo konvergenciju reda i to uz jači uvjet da je f C (2) ([ π, π]). Parcijalnom integracijom dobivamo π a n = f (x) cos nx dx = π π π f (x) sin nx = nπ π f (x) sin nx dx = π nπ π = f π (x) cos nx n 2 π π n 2 f (x) cos nx dx = π = n 2 π π π π f (x) cos nxdx. Zbog neprekidnosti f postoji M > 0 tako da je f (x) M, x [ π, π]. π
90 / 79 Fourierovi redovi = a n 2M, n N. n2 Analogno se dobije b n 2M, n N. n2 = Fourierov red je apsolutno majoriziran s redom 4M n 2 koji je konvergentan. Q.E.D.
9 / 79 Fourierovi redovi Primjer Neka je f (x) = x. Odredite Fourierov red funkcije f. Računamo koeficijente Fourierovog reda. Zbog parnosti funkcije f je b n = π π π f (x) sin nx dx = 0,
92 / 79 Fourierovi redovi tj. a n = π = 2 π π π π 0 = 2 x sin nx nπ = 2 cos nx πn2 f (x) cos nx dx = π x cos nx dx = π 0 π 0 π π 2 π sin nx dx = nπ 0 = 2 πn 2 [ ( )n ], x cos nx dx = a 2n = 0, a 2n = 4 (2n ) 2 π, n N.
93 / 79 Fourierovi redovi a 0 = π = 2 π π x 2 2 π x dx = 2 π π 0 = π π 0 x dx = Dakle, S(x) = π 2 4 π i S(x) = f (x) za x [ π, π]: x = π 2 4 π cos(2n + )x (2n + ) 2, cos(2n + )x (2n + ) 2.
94 / 79 Fourierovi redovi Napomena. Za x = 0 je 0 = π 2 4 π cos(2n + )0 (2n + ) 2, tj. tj. odnosno 0 = π 2 4 π (2n + ) 2, (2n + ) 2 = π2 8.
Fourierovi redovi Označimo S = n 2. Red podijelimo na dva reda s parnim i neparnim ǐndeksima: S = (2n + ) 2 + (2n) 2 = Dakle = π2 8 + 2 2 n 2 = π2 8 + 4 S S = π2 8 + π2 S = S = 4 6 n 2 = π2 6. 95 / 79
96 / 79 Fourierovi redovi Primjer Neka je f (x) = { x [ π, 0 x [0, π i neka je po periodičnosti proširena na R, tj. Odredite Fourierov red funkcije f. f (x + 2π) = f (x), x R. Računamo koeficijente Fourierovog reda. Zbog neparnosti funkcije f je a n = π π π f (x) cos nx dx = 0,
Fourierovi redovi tj. b n = π π π = 2 cos nx πn f (x) sin nx dx = 2 π π 0 π 0 = 2 πn [ ( )n ], sin nx dx = Dakle, b 2n = 0, b 2n = 4 (2n )π, n N. S(x) = 4 π sin(2n + )x, 2n + s tim da je S(x) = f (x) za x nπ i S(nπ) = f ( kπ+) f (kπ ) 2 = 0. 97 / 79
98 / 79 Zaključak o redovima Zaključak o redovima Konvergencija reda Red potencija, radijus konvergencije Taylorov red. Trigonometrijski red. Fourierov red. Suma reda. Nema generalnog pristupa. Taylorov red + Abelov terorem n ( ) n n = ln 2 Taylorov red + Abelov terorem ( ) n 2n = π 4
99 / 79 Zaključak o redovima Fourierov red + Dirichletov terorem n 2 = π2 6. Euler je ovo prvi dokazao na malo drugačiji način. Opisao je metodu za računanje sume redova oblika Neparne potencije su još uvijek neriješen problem. Npr., ne zna se koliko je n 3. n 2k.
00 / 79 Još malo o eksponencijalnoj funkciji Još malo o eksponencijalnoj funkciji Pokazali smo da je e x = x n, x R. n! Radijus konvergencije je. Ovaj red potencija dobro definira funkciju E : C C: z n E(z) =, z C. n! Vrijedi (z + z 2 ) n E(z +z 2 ) = n! = z n n! z2 n n! = E(z )E(Z 2 ) z, z 2 C.
0 / 79 Još malo o eksponencijalnoj funkciji i E(x) = e x x R. Funkcija E je proširenje eksponencijalne funkcije na skup kompleksnih brojeva C. Zato je označavamo s E(z) = e z. Koliko je e +i? Znamo e +i = e e i. Trebamo vidjeti samo što je e i.
02 / 79 Još malo o eksponencijalnoj funkciji Neka je y R. e i y = = = = (i y) n n! 2n y 2n i = (2n)! + i n y n n! = (i 2) n y 2n (2n)! + i i 2n+ y 2n+ (2n + )! = (i 2) n y 2n+ (2n + )! = ( ) n y 2n (2n)! + i ( ) n y 2n+ (2n + )! = = cos y + i sin y.
03 / 79 za z C, z = x + i y je Još malo o eksponencijalnoj funkciji e z = e x+i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y). e x+i y = e x (cos y + i sin y) e +i = e (cos + i sin ) = e (cos + i sin ) e i π = cos π + i sin π =. e i π =.
Još malo o eksponencijalnoj funkciji Veza trigonometrijskih i hiperbolnih funkcija shx = ex e x = 2 = 2 = 2 x n n! 2 x n ( x) n = n! 2 x 2n+ (2n + )! ( x) n = n! 2x 2n+ (2n + )! = sh(i x) = = (i x) 2n+ (2n + )! = i 2n+ x 2n+ (2n + )! i (i 2) n x 2n+ (2n + )! = i ( ) n x 2n+ (2n + )! 04 / 79
05 / 79 Još malo o eksponencijalnoj funkciji sh(i x) = i sin x Analogno, ch(i x) = cos x