A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski s = t 3 +, y = t 2 + t +. 3. U prvom kvadrantu ispod pravca y = 2+4 upisan je pravokutnik kojemu su stranice paralelne koordinatnim osima. Vidjeti sliku! Odredite točku A(, y) na pravcu tako da upisani pravokutnik ima maksimalnu površinu. Kolika je ta površina? [5b] 4. Ispitajte ekstreme, rast i pad funkcije y = ( ) 2 ( + 2), te na osnovu toga skicirajte kvalitativni graf. 2, te na osnovu toga i činjenice da funkcija ima jedan ekstrem i to 5 + 6 lokalni maksimum u točki T( 5 2, 4), skicirajte kvalitativni graf. 6. Visina, u metrima, rakete-igračke ispaljene vertikalno u vis je h(t) = 60t 6t 2 nakon t sekundi. a) Kojom je brzinom ispaljena raketa? b) Koliko je ubrzanje rakete u trenutku t = 3? c) U kojem trenutku i kojom brzinom će raketa pasti na zemlju? 7. Napišite izraz kojim se računa prosječna brzina čestice koja se giba po pravcu ako je ovisnost položaja y o vremenu dana funkcijom y = + 2.
B MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = tg ( 2 + π) + + ln( + ). (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s y y 2 = sin y, (b) zadanu parametarski s = t + ln t, y = t 3 + t +. 3. U prvom kvadrantu ispod pravca y = 2+2 upisan je pravokutnik kojemu su stranice paralelne koordinatnim osima. Vidjeti sliku! Odredite točku A(, y) na pravcu tako da upisani pravokutnik ima maksimalnu površinu. Kolika je ta površina? 4. Ispitajte ekstreme, rast i pad funkcije y = ( + ) 2 ( ), te na osnovu toga skicirajte kvalitativni graf. 2, te na osnovu toga i činjenice da funkcija ima jedan ekstrem i to lokalni 2 maksimum u točki T(, ), skicirajte kvalitativni graf. 6. Helikopter uzlijeće vertikalno. U trenutku t (u sekundama) njegova je visina h(t) = t 2 + t (u metrima). a) Nakon koliko vremena će dostići visinu od 20 metara? b) Kolika je brzina helikoptera u tom trenutku? c) Je li ubrzanje helikoptera u tom trenutku veće, manje ili jednako početnom ubrzanju? 7. Napišite izraz kojim se računa prosječna brzina čestice koja se giba po pravcu ako je ovisnost položaja y o vremenu dana funkcijom y = 2 + sin().
C MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = sin 2 ( 2 ) + 2e. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za =. (a) zadanu implicitno s 3 + y 2 = cos y, (b) zadanu parametarski s = ln t, y = t + ln t. 3. U prvom kvadrantu ispod parabole y = 2 +4 upisan je pravokutnik kojemu su stranice paralelne koordinatnim osima. Vidjeti sliku! Odredite točku A(, y) na paraboli tako da upisani pravokutnik ima maksimalnu površinu. Kolika je ta površina? 4. Ispitajte ekstreme, rast i pad funkcije y = ( 2 3)( 4), te na osnovu toga skicirajte kvalitativni graf. 2, te na osnovu toga i činjenice da funkcija ima jedan ekstrem i to 4 + 3 lokalni maksimum u točki T(2, ), skicirajte kvalitativni graf. 6. Moped koji vozi ravnom cestom prešao je nakon t sati put od s(t) = 2 t2 + 4t + kilometara. a) Kolika je brzina mopeda u trenutku t = 6? b) Koliki je put prevalio nakon 6 sati vožnje? c) U kojem trenutku moped vozi brzinom od 6km/h? 7. Napišite izraz kojim se računa prosječna brzina čestice koja se giba po pravcu ako je ovisnost položaja y o vremenu dana funkcijom y = + 3.
D MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = tg 2 () 2 + ln(2 e ). (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 y = 2 y, (b) zadanu parametarski s = t + cos t, y = sin t. 3. U prvom kvadrantu ispod parabole y = 2 +9 upisan je pravokutnik kojemu su stranice paralelne koordinatnim osima. Vidjeti sliku! Odredite točku A(, y) na paraboli tako da upisani pravokutnik ima maksimalnu površinu. Kolika je ta površina? 4. Ispitajte ekstreme, rast i pad funkcije y = ( 2 )(4 + ), te na osnovu toga skicirajte kvalitativni graf. 2, te na osnovu toga i činjenice da funkcija ima jedan ekstrem i to + 6 lokalni maksimum u točki T( 2, 4 25 ), skicirajte kvalitativni graf. 6. Plesni podij kružnog oblika radijusa 4 metra izra den je od granita. Koliko se približno treba naručiti granita ako se želi radijus podija povećati za 60cm? 7. Napišite izraz kojim se računa prosječna brzina čestice koja se giba po pravcu ako je ovisnost položaja y o vremenu dana funkcijom y = 3 2.
A2 MATEMATIKA (..20., 2. kolokvij). Zadane su funkcije f () = cos 3 () i g() = e 2. Odredite (a) ( f g) (), (b) ( f g) (0) f (0) g (0). (a) zadanu implicitno s y 3 = ln y, (b) zadanu parametarski s = t + e t, y = e 2t + e t +. 3. Zadana je funkcija y = 2 +. (a) Odredite lokalne ekstreme te funkcije. (b) Odredite najveću i najmanju vrijednost te funkcije na intervalu [0, 2]. 4. Ispitajte ekstreme, rast i pad funkcije y = ( 2 + 2)(2 ), te na osnovu toga skicirajte kvalitativni graf. 2, te na osnovu toga i činjenice da funkcija ima jedan ekstrem i to + 2 lokalni maksimum u točki T( 2, 4 9 ), skicirajte kvalitativni graf. 6. Za koliko se približno poveća volumen kugle ako se njen radijus r = 5cm produlji za 2mm? 7. Napišite limes kojim se računa derivacija y () funkcije y = 3 2.
B2 MATEMATIKA (..20., 2. kolokvij) ( ). Zadane su funkcije f () = sin + π 2 i g() = + ln( 2 + ). Odredite (a) ( f g) (), (b) ( f g) (0) f (0) g (0). (a) zadanu implicitno s y y 2 = tg y, (b) zadanu parametarski s = t e t, y = + e t. 3. Zadana je funkcija y = 2 + +. (a) Odredite lokalne ekstreme te funkcije. (b) Odredite najveću i najmanju vrijednost te funkcije na intervalu [0, 2]. 4. Ispitajte ekstreme, rast i pad funkcije y = ( 2 )(4 ), te na osnovu toga skicirajte kvalitativni graf., te na osnovu toga i činjenice da funkcija ima jedan ekstrem i to (2 3) 3 lokalni maksimum u točki T( 3 4, 2 243 ), skicirajte kvalitativni graf. 6. Koristeći diferencijal odgovarajuće funkcije izračunati za koliko se približno promijenila stranica kvadrata ako se njegova površina povećala od 9m 2 na 9, m 2? 7. Napišite limes kojim se računa derivacija y () funkcije y = 2 +.
C2 MATEMATIKA (..20., 2. kolokvij) ( ). Zadane su funkcije i f () = sin 2 + π 2 /4 i g() = e +. Odredite (a) (b) ( ) f (), g ( ) f (0) f (0) g g (0). (a) zadanu implicitno s 3 + y = + e y, (b) zadanu parametarski s = t 2 t + ln t, y = ln t. 3. Zadana je funkcija y = 2 + 4. (a) Odredite lokalne ekstreme te funkcije. (b) Odredite najveću i najmanju vrijednost te funkcije na intervalu [, 4]. 4. Ispitajte ekstreme, rast i pad funkcije y = (2 2 )(4 ), te na osnovu toga skicirajte kvalitativni graf., te na osnovu toga i činjenice da funkcija ima jedan ekstrem i to (4 3) 3 lokalni maksimum u točki T( 3 8, 243 ), skicirajte kvalitativni graf. 6. Jedna stranica pravokutnika ima konstantnu duljinu a = 0cm, a druga stranica b raste konstantnom brzinom od 4cm/s. Kojom brzinom raste dijagonala pravokutnika u trenutku kad je b = 30cm? 7. Napišite limes kojim se računa derivacija y () funkcije y =.
D2 MATEMATIKA (..20., 2. kolokvij). Zadane su funkcije f () = ln( 2 e ) i g() = 2 + e 2. Odredite (a) (b) ( ) f (), g ( ) f (0) f (0) g g (0). (a) zadanu implicitno s + y 3 = tg y, (b) zadanu parametarski s = t 2 cos t, y = sin t. 3. Zadana je funkcija y = 2 + +. (a) Odredite lokalne ekstreme te funkcije. (b) Odredite najveću i najmanju vrijednost te funkcije na intervalu [0, ]. 4. Ispitajte ekstreme, rast i pad funkcije y = (2 2 3)(4 + 3), te na osnovu toga skicirajte kvalitativni graf. 2, te na osnovu toga i činjenice da funkcija ima jedan ekstrem i to + 2 lokalni maksimum u točki T( 2, 4 49 ), skicirajte kvalitativni graf. 6. Točka se giba po paraboli y 2 = 8 tako da njena apscisa raste jednolikom brzinom od jedinice u sekundi. Kojom se brzinom mijenja ordinata te točke kada prolazi kroz položaj (2, 6)? 7. Napišite limes kojim se računa derivacija y () funkcije y = 2 2.