Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva (prirodnom) domenom funkcije f. Odredite i nacrtajte prirodnu domenu funkcije: () f(x, y) = xy (2) f(x, y) = 9 x 2 y 2 (3) f(x, y) = arcsin x + 2 x y 2 (4) f(x, y) = ln (2x y + ) (5) f(x, y) = 4 x 2 y 2 + ln (x + y) (6) f(x, y) = ln y x (7) f(x, y) = arccos y x (8) f(x, y) = ln(x ln(y x)) (9) f(x, y) = arccos 2 + arcsin(y ) (0) f(x, y) = 4 x 2 y 2 + ln (x 2 y 3) + x. Diferencijalni račun funkcije dvije varijable Neka je f : D R, D R 2 dana funkcija dviju varijabli i (x 0, y 0 ) D. Parcijalne derivacije prvog reda su definirane sa: f x(x 0, y 0 ) = x (x f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim x 0 x f y(x 0, y 0 ) = (x 0, y 0 ) = lim y 0 f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ). y
Primjetimo da iz definicije parcijalnih derivacija slijedi da su to obične derivacije funkcija jedne varijable x f(x, y 0 ), y f(x 0, y), pa se koriste osnovna pravila deriviranja (zbroja, produkta, kvocjenta, kompozicije). Po definiciji odredite (4, ) i xy. x Po definiciji odredite x x2 + 2xy. Koristeći tablično deriviranje odredite parcijalne derivacije prvog reda funkcije: () f(x, y) = 9 x 3 y 2 + xy 2x + 3y (2) (3) f(x, y) = f(x, y) = xy (4) f(x, y) = 8 + x + y (5) f(x, y) = ln (2x y + ) (6) f(x, y) = xy + (7) f(x, y) = + y x (8) f(x, y) = 3x cos y 2xy (9) f(x, y) = sin x + sin y + sin(x + y) (0) f(x, y) = arctg x. y 2
Parcijalne derivacije drugog reda. Schwarzov teorem. Parcijalnim deriviranjem funkcije dviju varijabli f : D R, D R 2 dobivamo dvije nove funkcije dviju varijabla f x(x, y) = x (x, y), f y(x, y) = (x, y). Parcijalno derivirajući svaku od tih funkcija po obje varijable dobivamo četiri parcijalne derivacije drugog reda: ( ) f xx(x, y) = 2 f (x, y) = (x, y), f x2 x x xy(x, y) = 2 f x (x, y) = ( x ( ) f yx(x, y) = 2 f (x, y) = (x, y), f x x yy(x, y) = 2 f (x, y) = ( 2 ( Teorem. (Schwarzov teorem)ako su mješovite parcijalne derivacije ) ( ) x neprekidne na D R 2, onda je i x ( ) (x, y) = x x ( ) (x, y). ) (x, y), ) (x, y). Ako je z = xy x y, dokazati da je: 2 z x 2 + 2 2 z x + 2 z 2 = 2 x y. Ako je z = e, dokazati da je: y 2 z x = z x x. Ako je s = ln( x t ), dokazati da je: 2 s x 2 + 2 s x t = x 2. Ako je u = arctg(2x t), dokazati da je: 2 u x 2 + 2 2 u x t = 0. Ispitajte jednakost u Schwarzovom teoremu za funkcije () f(x, y) = 9 x 3 y 2 + xy 2x + 3y (2) (3) f(x, y) = f(x, y) = xy (4) f(x, y) = 8 + x + y (5) f(x, y) = ln (2x y + ) (6) f(x, y) = xy + (7) f(x, y) = + y x (8) f(x, y) = 3x cos y 2xy (9) f(x, y) = sin x + sin y + sin(x + y) (0) f(x, y) = arctg x. y 3
Diferencijal prvog i drugog reda Totalni prirast funkcije z = f(x, y) u točki T (x, y) je: z = f(x + x, y + y) f(x, y), gdje su x, y prirasti nezavisnih varijabli x, y funkcije f. Totalni diferencijal prvog reda funkcije z = f(x, y) u točki T (x, y) definiran je sa: dz = z z dx + x dy. Ako su x i y dovoljno maleni, onda vrijedi: dz z tj. f(x + x, y + y) f(x, y) + dz. tj. f(x + x, y + y) f(x, y) + z x x + z y. Totalni diferencijal drugog reda funkcije z = f(x, y) u točki T (x, y) (za koju vrijedi Schwarzov teorem) definiran je sa: d 2 z = d(dz) = 2 z x 2 dx2 + 2 2 z x dxdy + 2 z x 2 dy2. Izračunajte z i dz funkcije z = xy za x = 5, y = 4; x = 0,, y = 0, 2 Odredute dz i d 2 z ako je: () z = 9 x 3 y 2 + xy 2x + 3y (2) z = x 2 y (3) f(x, y) = xy (4) f(x, y) = 8 + x + y (5) f(x, y) = ln x+y. x y (), 02 4,05 (2) 4, 052 + 2, 93 2 (3) ln(0, 09 3 + 0, 99 3 ) (4) sin 3 0 cos 0, 99 0 (5) arctg,02 0,95 Pomoću diferencijala približno izračunati: Tangencijalna ravnina i normala 4
Iz geometrijske interpretacije derivacije funkcije jedne varijable neposredno slijedi da je jednadžba tangente (tangencijalni pravac) na krivulju dobivenu presjekom plohe (grafa funkcije f) z = f(x, y) i ravnine y = y 0 u točki (x 0, y 0, z 0 ), gdje je z 0 = f(x 0, y 0 ) dana sa t... x x 0 = y y 0 0 = z z 0 (x x 0, y 0 ). Na isti način se dobije jednadžba tangencijalnog pravca na krivulju koja je presjek plohe z = f(x, y) i ravnine x = x 0 u točki (x 0, y 0, z 0 ): t 2... x x 0 0 = y y 0 = z z 0 (x 0, y 0 ). Pravci t i t 2 odreduju tangencionalnu ravninu. Vektori smjera tih pravaca su: s = i + z (x x 0, y 0 ) k i s 2 = j + z (x 0, y 0 ) k. Kako je u tom slučaju vektor normale tangencijalne ravnine i j k n = s s 2 = 0 z x (x 0, y 0 ) 0 z (x 0, y 0 ) = z x (x 0, y 0 ) i z (x 0, y 0 ) j + k uvrštavanjem u opći oblik jednadžbe ravnine dobiva se jednadžba tangencijalne ravnine: Jednadžba normale je: π... z z 0 = z x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + z (x 0, y 0 )(y y 0 ). n... x x 0 z (x x 0, y 0 ) = y y 0 z (x 0, y 0 ) = z z 0 Ako je ploha zadana implicitno jednažbom F (x, y, z) = 0, jednadžba tangencijalne ravnine u točki T (x 0, y 0, z 0 ) je: π... F x (x 0, y 0, z 0 )(x x 0 )+ F (x 0, y 0, z 0 )(y y 0 )+ F z (x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) = 0, a jednadžba normale je: n... x x 0 F (x x 0, y 0, z 0 ) = y y 0 F (x 0, y 0, z 0 ) = z z 0 F (x z 0, y 0, z 0 ) 5
Odredite jednadžbe tangencijalne ravnine i normale na plohu: () z = x 2 + y 2 + u točki T (,,?) (2) z = x 2 2xy + y 2 x + 2y u točki T (,,?) (3) x 2 + y 2 z 2 = u točki T (2, 2, z < 0) (4) z = ln(x 2 + y 2 ) u točki T (, 0,?) (5) z = sin x cos y u točki T ( π, π, ). 4 4 2 Odredite jednadžbe tangencionalnih ravnina plohe x 2 + 2y 2 + 3z 2 = koje su paralelne ravnini x + y + z =. Odredite jednadžbu normale plohe x 2 xy 8x + z + 25 = 0 u točki T (3, 4,?) Dokažite da se plohe x 2 xy 8x+z +5 = 0 i x+2y ln z +4 = 0 dodiruju (tj. imaju istu tangencionalnu ravninu) u točki T (2, 3, ). Lokalni ekstremi funkcija dvije varijable Točke u kojima funkcija z = f(x, y) može imati lokalne ekstreme su stacionarne točke u kojima je: z x = = 0 i x z y = = 0. Da li u stacionarnoj točki funkcija ima ekstrem ovisi o predznaku diferencijala drugog reda. Neka je 2 f 2 f B D = x 2 2 f x Ako je u stacionarnoj točki x 2 f 2 = A B D > 0 ekstrem postoji i to za A = 2 f x 2 maksimum D < 0 nema ekstrema C = A C B2 > 0 minimum, a za A = 2 f x 2 < 0 D = 0 nema odluke (tj. postojati!) u toj točki ekstrem može postojati ili ne Odredite lokalne ekstreme funkcije: () z = x 2 + y 2 + xy 3x 6y (2) z = x 3 5xy + y 3 (3) (4) z = sin x + sin y + sin(x + y), x [0, π] 0 z = e x 2 (x + y 2 ) (5) z = 8 + x + y. 6