SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

Ishodi učenja: Predavanje 4 Prostor stanja: jednačine kretanja i Nakon savladavanja gradiva sa ovog predavanja studenti će moći da: v Definišu fundamentalnu matricu sistema kanonične forme v Odrede analitički izraz promjenljivih u prostoru stanja za zadatu pobudu i početne uslove v Odrede funkciju prenosa sistema na osnovu poznatog SS modela v Odrede SS model na osnovu poznate funkcije prenosa

Kretanje sistema u prostoru stanja Generalno, u prostoru stanja ponašanje sistema se modeluje na sljedeći način: x( t) f ( x( t), u( t), t), x() x Za promjenljive stanja treba usvjiti minimilana skup lienarno nezavsnih promjenljivih, pri čemu one ne moraju da imaju fizički smisao. Specijalno za LTI sisteme važi: y( t) g( x( t), u( t), t). x( t) Ax( t) Bu( t), x() x y( t) Cx( t) Du( t). Nas zanima kako analitičkim putem da odredimo vremenske oblike promjenljivih stanja x(t) i izlaza sistema y(t), za zadate početne uslove x i pobudu sistema u(t). 3

Odziv na početne uslove Za početak posmatrajmo homogenu diferencijalnu jednačinu, odnosno slučaj kada je ulazni signal jednak nuli: x Ax, x() x. Za rješenje gornjeg sistema se može pretpostaviti da je u obliku reda: x( t) a a t a t a t 3 3 Uvrštavanjem prethodne jednačine u polaznu jednačinu i izjednačavanjem koeficijenata sa lijeve i desne strane, dobija se: 3 3 t ( t) A x I At A t A t x e x! 3! Funkcija označena sa e At se zove matrična ekponencijalna funkcija, zbog analogije sa skalarnom eksponencijalnom funkcijom: at e at a t a t! 3! 3 3 4

Odziv na početne uslove Funkcija e At se zove i fundamentalna matrica sistema ili matrica tranzicije, pri se obično označava sa Φ(t). Matrica Φ(t) sadrži sve informacije o dinamici sistema, odnosno njome je definisano kretanje sistema u prostoru stanja. Fundamentalna matrica se može definisati i u Laplasovom domenu. Prebacivanjem homogene diferencijalne jednačine u sdomen dobija se: Φ() s sx( s) x AX( s) At x( t) e x Φ( t) x X( s) ( si A) x Ukoliko se početni uslovi poznati u nekom proizvoljnom trenutku ti, onda je odziv na početnje uslove jednak (osobina vremenske invarijantnosti): x( t) Φ( t t ) x( t ). Φ( t) L ( si A) 5

Primjer odziv na početne uslove Odrediti izraze za promjenljive stanja zadatog sistema, za zadate početne uslove: x, 3 x x(). x I A x Φ x ( t) L ( s ) ( t) s s ( s )( s 3) Φ( t) L ( si A) L s 3 L s 3 Promjenljiva stanja x Φ() t e e e 3t e t t 3t t t 3t t 3t x () t e e e 3e e x ( t) e e 3t 3t Promjenljiva stanja x 6

Primjer odziv na početne uslove Promjenljive stanja se jednostavno mogu izračunati u Matlabu: A=[ ; 3] x=[;]; syms t Fi=expm(A*t) x=fi*x Fi = [ exp(*t), exp(*t) exp(3*t)] [, exp(3*t)] x = 3*exp(*t) exp(3*t) exp(3*t) 7

Primjer odziv na početne uslove Na slikama iznad su prikazane promjenljive stanja za različite početne uslove. Na slici lijevo su prikazane odgovarajuće trajektorije sistema u prostoru stanju, odnosno zavisnost f(x,x ). Na primjer, sistem se kreće iz tačke (3, ) prikazanom putanjom i zaustavlja se u tački (,). Sa prve dvije slike se uočava da mu je potrebno oko 7s da pređe pomenutu (i svaku ostalu) putanju. 8

Jednačine stanja za zadatu pobudu Do analitičkog izraza za promjenljive stanja pobuđenog sistema se takođe može doći posmatranjem jednačine stanja u sdomenu: x Ax Bu, x( t ) x Iz prethodne jednačine se može izraziti vektor X(s): sx( s) x AX( s) BU( s). X( s) ( si A) x ( si A) B U( s). Izraz za x(t) se dobija primjenom inverzne Laplasove transformacije na prethodnu jednačinu: Izlazni signal je jednak: t x( t) Φ( t) x Φ( t ) Bu( ) d y( t) Cx( t) Du(t) CΦ( t) x C Φ( t ) Bu( ) d Du(t) t Konvolucija 9

Primjer jednačine stanja za zadatu pobudu Odrediti odziv zadatog sistema na step pobudu, za proizvoljne vrijednosti početnih uslova: x 3 x u Prvo ćemo odrediti fundamentalnu matricu: Φ() t y x x() x () () s Φ( t) L ( si A) L s 3 x t t 3t s ( s )( s 3) e e e L 3t e s 3

Primjer jednačine stanja za zadatu pobudu Promjenljive stanja se računaju kosteći izraz: t x( t) Φ( t) x Φ( t ) Bu( ) d t t 3t ( t ) ( t ) 3( t ) e e e x () t e e e x( t) ( ) d 3t 3( t ) e x() e u t t 3t ( t) 3( t) e e e x () t e e.. x() t d 3t 3( t ) e x() e.. Konačno izlaz sistema je jednak: t t 3t ( t) 3( t) t e e e x () e e x( t) d 3t 3( t ) e x() e e x e e d x e e x e e 3 3 3 3 3t t 3t 3( t ) 3t 3t 3t 3t () () ()

Primjer jednačine stanja za zadatu pobudu A=[ ; 3];B=[;];C=[ ]; x=[;]; syms t tau Fi=expm(A*t) Fi=subs(Fi,ttau) x=fi*xint(fi*b*,tau,,t) y=c*x Fi = [ exp(*t), exp(*t) exp(3*t)] [, exp(3*t)] Fi = [ exp(*tau *t), exp(*tau *t) exp(3*tau 3*t)] [, exp(3*tau 3*t)] x= (5*exp(*t))/ (*exp(3*t))/3 /6 (*exp(3*t))/3 /3 y = (*exp(3*t))/3 /3

Određivanje TF na osnovu SS Da bi odredili vezu između prostora stanja i funkcije prenosa, jednačine stanja i izlaza iz vremenskog domena treba prebaciti u Laplasov domen: x( t) Ax( t) Bu( t) y( t) Cx( t) Du( t) sx( s) x( ) AX( s) BU( s) X( s) ( si A) BU( s) Y( s) CX( s) DU( s) Y C I A B DU ( s) ( s ) ( s) Konačno, veza između funkcije prenosa matrica A, B, C i D. adj( si A) G( s) C( si A) B D C B D det( si A) Posmatrajući prethodni izraz, može se zaključiti da je karakteristični polinom sistema jednak: f ( s) det( sia) 3

Primjer određivanje TF na osnovu SS Odrediti funkciju prenosa sistema zadatog u prostoru stanja matricama: Funkcija prenosa je jednaka: 3 A, B 5, C 5 s 65s 39 3 s s s G( s) C( si A) B 4 3 A=[ 3; ; 5] B=[;5;] C=[ ] syms t G=simplify(C*(s*eye(3)A)^*B) G = (*s^ 65*s 39)/(s^3 4*s^ *s 3) 4

Određivanje SS na osnovu TF Prethodno je pokazano kako dobiti funkciju prenosa sistema, ako je poznat njegov model u prostoru stanja. Sada treba pokazati kako dobiti model u prostoru stanja, kada je poznata funkcija prenosa. Postoji beskonačan broj realizacija sistema u prostoru stanja, jer postoji beskonačan broj različith prostora. Sa druge strane različitim realizacijama sistema u prostoru stanja uvijek odgovara jedna funkcija prenosa. Prostor stanja predstavlja ndimenzionalni koordinatni sistem, te se različite realizacije mogu dobiti raznim linearnim transformacijama, tj. smjenama i prelaskom u drugi koordinatni sistem. Sve realizacije su ekvivalentne u matematičkom smislu. Međutim, postoje neki stanadardni načini zapisivanja jednačina stanja, odnosno takozvane kanonične realizacije. Jedna reprezentacija može imati prednosti u odnosu na druge. Na primjer, za potrebe analize, promjenljive stanja nekad treba odabrati tako da imaju fizički smisao. 5

Određivanje SS na osnovu TF Prije nego što pokažemo kako se određuje model sistema u prostoru stanja zadatog funkcijom prenosa u opštem obliku: m m bms bm s b s b G( s), m n i a n n n s a s a s a razmotrićemo funkciju prenosa prvog reda i odgovarajuću diferencijalnu jednačinu: k G X ( s) / U ( s) x( t) ax( t) ku( t) s a Kvazianalogni blok dijagram ili simulacioni dijagram sistema je dijagram koji se sastoji od elementarnih komponenti: integratora, sabirača i pojačavača. Konkrento za dati primjer, on se može nacrtati na osnovu diferencijalne jednačine x( t) ax( t) ku( t) n u k x a x 6

Paralelno programiranje Paralelno programiranje je postupak za određivanje modela u prostoru stanja sistema opisanih funkcijama prenosa koje imaju proste i realne polove: m m N bms bm s b s b ki Gs ( ), m n i a n ( s a )( s a )( s a ) s a n i i Kvazianalogni blok dijagram sistema je prikazan na slici desno. Za promjenljive stanja se usvajaju izlazi iz integratora. Model sistema u prostoru stanja se dobija očitavanjem jednačina sa kvazianalognog blok dijagrama. u k k k N x x xn a a x x x n y a N 7

Paralelno programiranje Nakon ispisivanja jednačina za svaki integrator, formira se model u prostoru stanju u matričnom obliku: x a x k k xi ai xi k3 u x N an x N kn xn an xn kn x xi y x N Dijagonalna kanonična forma xn u k k k N x x x n a a a N x x x n 8 y

Paralelno programiranje Model u prostoru stanja predstavljen na način se zove dijagonalna kanonična forma, jer je matrica A dijagonalna. Još jedan naziv za ovaj oblik je modalna forma, jer su dijagonalni elementi matrice A jednaki polovima sistema, koji se nekad zovu i modovima. Korisna osobina dijagonalne kanonične forme ja što se za nju računanje fundamentalne matrice pojednostavljuje: A a a an e At at e at e at n e Na ovaj način se značajno pojednostavljuje računanje odziva na početne uslove. Mana ovog pristupa je što promjenljive stanja u kanoničnom prostoru nemaju fizički smisao, pa se odgovarajućim transformacijama treba vratiti u fizički prostor stanja. 9

Primjer paralelno programiranje Sistem je zadat funkcijom prenosa: s 3 Gs () ( s )( s ) s s Odrediti model u prostoru stanja u obliku Jordanove kanonične forme. u(t) x x Fundamentalna matrica i odziv na početne uslove su jednaki: x x y(t) A, B C t t e t At Φ() t e e e t t e x () x () e x( t) Φ( t) x t t e x() x() e

Paralelno programiranje Sistem je moguće predstaviti u dijagonalnoj formi jedino ako su sopstvene vrijednosti proste i realne. Ako funckija prenosa ima višestruke polove, onda se ona u prostoru stanja može zapisati u blokdijagonalnoj ili Jordanovoj kanoničnoj formi. Neka je funkcija prenosa data kao proizvod elementarnih funkcija prenosa: Gs () m bms b s b s b ( s a ) ( s a )( s a ) m m 3 N N k k k ki, m n i a n s a s a s a s a 3 3 ( ) ( ) i i Na gubeći na opštosti, pretpostavili smo da je prvi pol sistema trostruk.

Paralelno programiranje. x x x 3 a a x x x 3 k 3 k k J x a x x a x x3 a x3 u x4 a x4 xn an xn u x 4 x n a a a N x 4 x n k k N y y k k k k 3 3 N Jordanova kanonična forma x x x x n

Paralelno programiranje Model u prostoru stanja predstavljen na prethodni način se zove blokdijagonalna kanonična ili Jordanova kanonična forma, jer matrica J ima strukturu Jordanove matrice. Fundamentalna matrica i u ovom slučaju se jednostavnije računa: n at at t at a e te e a n! J Jt at at e e te a n at n e A J a an e e Jt At e at n e at 3

Redno programiranje Ukoliko funkcija prenosa ima samo realne polove, pri čemu nema nula, onda se model u prostoru stanja može formirati na način koji se zove redno programiranje : G() s N k k ( s a )( s a )( s a ) s a N i i Kvazianalogni blok dijagram sistema predstavlja kaskadnu, odnosno rednu vezu, funkcija prenosa prvog reda. u x N x N x i x i x x k y a N a i a 4

Redno programiranje Model sistema u prostoru stanja se dobija očitavanjem jednačina sa kvazianalognog blok dijagrama. u x N x N x i x i x x k y a N a i a x a x xi ai xi u, y x N an x N xn an xn Redno programiranje k x xi x xn N 5

Primjer redno programiranje Sistem je zadat funkcijom prenosa: Gs ( ). ( s)( s3) Odrediti model u prostoru stanja pomoću rednog programiranja. u(t) x x x y(t) x 3 A 3,, B C 6

Direktno programiranje KKF Ako je funkcija prenosa data u genaralnom obliku, tada postoje dva na standardna načina zapisivanja matrica u prostoru stanja: kontrolabilna kanonična forma i opservabilna kanonična forma. m bms b s b s b G( s), m n i an n s a s a s a m m n n U cilju određivanja kontrolabilne kanonične forme, funkciju prenosa treba pomožiti sa pomoćnim signalom E(s), a zatim preko njega izraziti ulazni i izlazni signal: Gs () m bms b s b s b E( s) Y ( s) n s a s a s a E( s) U ( s) m m n n n ( s a s a s a ) E( s) U ( s) n n m ( b s b s b s b ) E( s) Y ( s) m m m 7

Direktno programiranje KKF Prethodne jednačine u vremenskom domenu imaju sljedeći oblik: e a e a e a e u( t) jednačina stanja ( n) ( n) n b e b e b e b e y( t) jednačina izlaza m ( m) ( m) m Za promjenljive stanja se usvaja promjenljiva e i njenih prvih n izvoda: x e x e xn e x e n ( n) ( n) x x x x x 3 n x n Prvih n jednačina stanja se dobija iz smjena. Zadnja jednačina stanja i jednačina izlaza se dobija uvrštavanjem smjena u početne jednačine. ( n) x an xn anxn ax ax u t ( ) y( t) b x b x b x b x o m m m m 8

Direktno programiranje KKF Konačno model u prostoru stanja ima sljedeći oblik: A, B, C b b b a a a a n n nn n m nm n Kontrolabilna kanonična forma! Samo kontrolabilni sistemi mogu da se zapišu u ovom kanoničnom obliku. O kontrolabilnosti će biti više rečeno na narednim predavanjima. Kontrolabilna kanonična forma je pogodna za dizajn kontrolera. 9

Direktno programiranje KKF Na osnovu prethodnih jednačina stanja može se nacrtati kvazianalogni blok dijagram sistema: y(t) b m b b b u(t) x N x xb b x3 x x x x an a m a a a Kontrolabilna kanonična forma! Šta ako su imenilac i brojilac istog reda? 3

Primjer direktno programiranje, KKF Sistem je zadat funkcijom prenosa: s 6 Gs ( ). s 6s6 Predstaviti sistem u prostoru stanja u obliku kontrolabilne kanonične forme. s6 s3 Gs ( ). s 6s 6 s 3s 3 x x u x 3 x y 3 x x Nacrtati kvazianalogni blok dijagram! 3

Direktno programiranje OKF Opservabilna kanonična forma predstavlja još jednu standardnu realizaciju sistema. m m bms bm s b s b G( s), m n i a n n n s a s a s a n Gornja funkcija prenosa se može zapisati u vidu diferencijalne jednačine: y a y a y a y b u b u b u b u ( n ) ( n ) ( m ) ( m ) n m m Dalje, prethodna diferencijalna jednačina se može zapisati na sljedeći način: y ( b u a y) ( b u a y) ( b u a y ) a y ( n) ( m) ( m) ( n ) m m n Integrljenjem goranje jednačine n puta, dobija se y(n), na osnovu čega se crta kvazianalogni blok dijagram i formira model u prostoru stanja. n n n ( n) y ( bu a y) ( bu a y) ( bmu am y) an y 3

Direktno programiranje OKF Kvazianalogni blok dijagram sistema OKFa je dat na slici ispod. u(t) b b b b m x x x x xm xn x n x n y a a a a m an an Jednačine stanja se očitavaju sa dijagrama. Za opservabilnu i kontrolabilnu kanoničnu formu važi sljedeća veza: T A A, B C T o k o k C B, D D. T o k k 33

Direktno programiranje OKF a b a b A, B, C a b n m a n nn nm n Opservabilna kanonična forma! Samo opservabilni sistemi mogu da se zapišu u ovoj kanoničnoj formi. O opservabilnosti će biti više riječi na narednim predavanjima. Opservabilna kanonična forma je pogodna za dizajn opservera. Ako su brojilac i imenilac funkcije prenosa istog reda, tada ih treba podijeliti. Koeficijent koji se dobije pri dijeljenju predstavlja matricu D, a od ostatka se formiraju matrice A, B i C, na neki od prethodno opisanih načina. n 34

Primjer direktno programiranje, OKF Sistem je zadat funkcijom prenosa: G(s) s s 6s4 Predstaviti sistem u prostoru stanja u obliku opservabilne kanonične forme. s ( s 6 s 4) 3 s G(s) s 6s 4 s 6s 4 3 3s s s 6s 4 s 3s x x 3 x 3 x u y x x u 35

Primjer DC motor Na slici ispod je prikazana principijelna šema DC motora. Modelovati dati sistem u prostoru stanja: a) za promjenljive stanja usvojite fizičke promjenljive b) u obliku dijagonalne/jordanove kanonične forme, ukoliko je moguće c) u obliku kontrolabilne kanonične forme d) u obliku opservabilne kanonične forme R L, u(t) i(t) e(t) M J b 36