Lekcja 6: Redukcja reda modela LMI problem Prof.dr.sc. Jasmn Velagć Elektrotehnčk fakultet Sarajevo Kolegj: Multvarjabln sstem /3
Redukcja reda modela U ovom djelu se zučava: Ops metoda za reducranje reda modela procesa l regulator. /6 Poseban naglasak na modelma reducranog reda dobvenh rezdualzacjom manje upravljvh osmotrvh stanja balansrane realzacje. Prkaz metoda balansranog skraćvanja balanced truncaton optmalne Hankelove norme aproksmacje.
Redukcja reda modela Metode snteze modernh regulatora, kao što su H LQG zahtjevaju da regulator budu najmanje reda procesa, l občno všeg zbog uključenh težna. Ov upravljačk zakon mogu bt presložen s obzrom na praktčnu mplementacju zbog toga se traže jednostavnj postupc snteze. Jedan od načna je reducranje reda modela procesa prje snteze regulatora, l reducranje regulatora u fnalnom stanju, l oboje. Centraln problem kojeg razmatramo glas: Zadan je stabln LI model vsokog reda G, nać aproksmacju nskog reda G a takvu da je beskonačna norma H l L razlke G G malog znosa. a Pod redom modela podrazumjeva se dmenzja vektora stanja u mnmalnoj realzacja. 3/6
Redukcja reda modela Zadan je mnmaln prkaz modela u prostoru stanja, B, C, D: t y t t C t Bu t, Du t, y l n, u m 4/6 l kao ulazno-zlazn model: - Y s [ C si B D] U s G s Redukcja modela: ražmo model G r a t y t C ˆ t r r S C r r t si B u t, r D u t, r B r r y D r l k, u m
Redukcja reda modela Za k < n tražmo da je predkcjsko ulazno-zlazno ponašanje blsko nekom zadanom, kao npr. zahtjev da G G a 5/6 bude malog znosa. Postavlja se ptanje zašto se rad redukcja modela? Smanjenje računarske složenost vrjeme za dnamčke smulacje je aproksmatvno proporconalno sa n 3, posebno važno za aplkacje u stvarnom vremenu, npr. regulatore.
Redukcja reda modela Metode snteze regulatora občno daju regulatore čj je red najmanje jednak redu modela procesa, občno značajno všeg reda. Da b se postgao regulator nžeg reda potrebno je: reducrat red model s obzrom na dzajn upravljanja, l reducrat red regulatora nakon dzajna. Postoj mnogo metoda za redukcju modela. U ovom predavanju će se zložt neke, najčešće korštene. 6/6
Skraćvanje rezdualzacja Neka je, B, C, D mnmalna realzacja stablnog sstema Gs neka je vektor dmenzje n razložen na komponente [ ], gdje vektor posjeduje n-k stanja koje želmo uklont. Odgovarajućm rastavom, B C, jednadžbe u prostoru stanja postaju: B u y C C Du B u Želmo postć model k-tog reda z modela n-tog reda. Skraćvanje: postavt na nulu, tj. uklont ga. Rezdualzacja: postavt, odnosno postaje algebarska varjabla koja ovs o u. 7/6
Skraćvanje Skraćvanje k-tog reda realzacje dana je sa: G s a, B, C, D G s, B, C, D 8/6 Skraćen model G a jednak je G-u na beskonačnoj frekvencj, tj. G = G a = D. Jednostavno uklanjanje stanja ma malo smsla općento. Zbog toga se prvo de na transformranje, B, C, D u Jordanov oblk postavljanje stanja tako da korespondra sa najbržm modelma, tj. najvećm ampltudama svojstvenh vrjednost.
n s s c b G Zbog jednostavnost pretpostavmo da se može djagonalzrat tako da je: ko su poredane u sljedećem poretku < <, tada su najbrž modov uklonjen z modela nakon skraćvanja. U djagonalnom Jordanovom oblku razlčte svojstvene vrjednost G poprma oblk: Skraćvanje 8/6 4 3,, c c c c n n C b b b B
Uklanjanje brsanje n-k najbržh modova tada daje model pogreške: što povlač za sobom: gdje moramo pretpostavt stablnu matrcu Gs. Skraćvanje /6 n k a s s s c b G G n k a s s Re b c G G
Skraćvanje Pogreška, odnosno H granca pogreške: n c s k b /6 ovs ne samo o svojstvenm vrjednostma brzh modova, već o rezdualma,, tj. o efektu djelovanja ulaza u na efektu na zlaze y. Za = mamo: c b G a G D odnosno, nema pogreške na beskonačnoj frekvencj.
Kod rezdualzacje mamo ukolko je matrca nvertblna: Reducran model r, B r, C r, D r jednak je: Ovaj reducran model nazva se rezdualzacja od: Rezdualzacja /6 t t t t t t u B C D C C y u B B,,,,,, B C D C C B B D C B r r r r,,, D C B G s
Rezdualzacja Občno se model, B, C, D postav u Jordanov oblk, sa svojstvenm vrjednostma poredanm tako da sadrž najbrže modove. Na nultoj frekvencj mamo: 3/6 G G što sljed z čnjence da je stanju. a u staconarnom Iz navedenog o skraćvanju rezdualzacj sljed: Skraćvanje daje najbolju aproksmacju na vsokm frekvencjama. Rezdualzacja daje najbolju aproksmacju na nskm frekvencjama.
Rezdualzacja Suprotnost zmeđu skraćvanja rezdualzacje sljede z blnearne transformacje s /s [Lu and nderson, 989]. Obje metode mogu u prncpu generrart prlčno vsoke znose pogrešk redukcje, jer ukupn efekt stanja na ulazno-zlazno ponašanje nje nužnu povezano s brznom odzva. rbaju bt kombnrane sa nekom metodom koja osgurava relatvno mal ukupn efekt od uklanjanja stanja na ulazno-zlazno ponašanje uravnoteženje balansranje. 4/6
Balansrane realzacje Balansrana realzacja je asmptotsk stablna mnmalna realzacja u kojoj su Graman upravljvost osmotrvost jednak djagonaln. Graman upravljvost Model u prostoru stanja, B, C, D ma mpulsn odzv od ut do t dan sa: 5/6 X t e Kvantfkacja velčne mpulsnog odzva: t B P t t X X d t e BB e d Graman upravljvost P defnra se kao: P lm t P t
Balansrane realzacje Graman upravljvost može se zračunat z Lyapunovljeve jednadžbe: P P P je kvanttatvna mjera upravljvost razlčth stanja, esencjalno, mjerenje efekta ulaza na razlčta stanja. Graman osmotrvost Model u prostoru stanja, B, C, D sa ulazom ut = ncjalnm stanjem = * ma zlaz: Y t Ce BB t 6/6 Energja zlaza je: t t y y d e C Ce d Q t
Balansrane realzacje Graman osmotrvost Q defnra se kao: Q lm t t e C Ce d 7/6 Graman osmotrvost može se zračunat z Lyapunovljeve jednadžbe: Q Q C C Q je kvanttatvna mjera osmotrvost razlčth stanja, esencjalno, mjerenje efekta stanja na zlaze.
Balansrane realzacje Neka je, B, C, D mnmalna realzacja stablne, raconalne funkcje prjenosa Gs, tada, B, C, D je balansrana ako su rješenja sljedećh Lyapunovljevh jednadžb: 8/6 P P BB Q Q C C P = Q =dag,,..., n =, gdje je... n. P = Q su Graman upravljvost osmotrvost: P e t BB e t dt, Q e t C Ce t dt
Balansrane realzacje U gornjm zrazma predstavlja Graman od Gs, gdje predstavljaju poredane Hankelove sngularne vrjednost od Gs, defnrane kao: 9/6 gdje se: PQ,,..., n G H nazva Hankelovom normom od Gs. Svako stanje u balansranoj realzacj je osmotrvo, ukolko je upravljvo, pr čemu je mjera kolko je sstem osmotrv, odnosno upravljv. Stanje sa relatvno malm znosom ma relatvno mal efekt na ulazno-zlazno ponašanje sljed da se može uklont bez značajnjh negatvnh posljedca.
Neka je, B, C, D mnmalna realzacja od Gs sa podjelom: gdje = dag,,..., k = dag k+,..., n Balansrano skraćvanje l rezdualzacja zadržavaju k stanja koj korespondraju sa, tako da će u oba slučaja mat pogrešku redukcje modela: Balansrano skraćvanje rezdualzacja /6,, Σ Σ Σ Q P C C C B B B n k k a G G
Balansrano skraćvanje rezdualzacja Reducran model, B, C, D nazva se balansrano skraćvanje od Gs. Ideja balansranja sstema sstema zatm odbacvanje stanja korespondra sa malm Hankelovm sngularnm vrjednostma. U balansranom skraćvanju odbacuje se najmanje upravljvh osmotrvh stanja koj korespondraju sa. U balansranoj rezdualzacj, jednostavno postavljamo na nulu sve dervacje ovh stanja. Rezultat balansrane rezdualzacje od Gs je r, B r, C r, D r, tj. /6, B B, C C, D CB
Optmalna Hankelova norma aproksmacje U ovom prstupu redukcje modela pretpostavlja se stablan model Gs reda n, a zadatak je pronać k reducran model G h s reda k takav da se Hankelova norma pogreške aproksmacje mnmzra. Hankelova norma blo koje stablne funkcje prjenosa Es defnrana je kao: G s G s k h /6 H E s PQ H tj, jednaka je maksmumu Hankelove sngularne vrjednost od Es.
Optmalna Hankelova norma aproksmacje Optmalna Hankelova norma aproksmacja nastoj k mnmzrat G G a za dan red k modela H reducranog reda. Za stablnu kvadratnu funkcju prjenosa Gs, optmalna Hankelova norma aproksmacje k-tog reda može se drektno zračunat Hankelova norma pogreške: k G G a H k 3/6 Optmalna Hankelova norma je neovsna o matrc D od. k G a Mnmum -norme pogreške je: mn D G G k a n k
Redukcja nestablnh modela Balansrano skraćvanje rezdualzacj optmalna Hankelova norma aproksmacja prmjenjuju se drektno za stablne funkcje prjenosa Gs. U slučaju nestablnh modela može se postupt na sljedeće načne: Odvojt nestabln do modela prje obavljanja redukcje stablnog djela modela: 4/6 G s G u s G s zatm korstt nek od navedenh metoda za određvanje aproksmacje reducranog reda G sa s G a s G s G s u s sa
Korštenje koprm faktorzacja od Gs: sa stablnm Ms Ns. Nakon toga se prmjenjuje redukcje modela na [Ms Ns] korst: Redukcja nestablnh modela 5/6 s s s N M G s s s a a a N M G
Prmjer redukcje reda modela procesa Redukcja modela turbo mlaznog avona Model motora ma 3 ulaza, 3 zlaza 5 stanja. 6/6
Prmjer redukcje reda modela procesa Ulaz u motor su: protok gorva, varjablno područje mlaznce promjenjv ugao zakreta lopatca pokretanh preko ussnka zraka. Izlaz koj se upravljaju su: brzna osovne kompresora vsokog tlaka HP, sredšnj kompresor, omjer zlaznog tlaka sa kompresora vsokog tlaka tlaka na ulazu motora zlaz kompresora nskog tlaka. Kompresor nskog tlaka LP je ustvar ventlator. Osnovno načelo rada mlaznh motora je da se zrak dovod pod tlakom u komore zgaranja, gdje se mješa sa gorvom te se zgaranjem stvara još već tlak koj tjera plnove z komore zgaranja velkom brznom kroz mlazncu stvarajuć tme potsak. 7/6
Prmjer redukcje reda modela procesa Kod mlaznh motora sa turbnom, zrak ulaz u rotrajuć kompresor kroz ussnk zraka. U kompresoru se zrak komprmra prje ulaska u komore zgaranja gdje se pod tlakom mješa s gorvom. Proces zgaranja dovod do velkog porasta temperature te vruć plnov stvoren gorenjem velkom brznom prolaze kroz turbnu okreću je, zatm kroz spušnu cjev zlaze z motora. urbna pogon kompresor s kojm je spojena preko osovne. Efkasnost mlaznog motora najvše ovs o omjeru ulaznog tlaka u kompresor komprmranog zraka prje ulaska u komore zgaranja te ulazne temperature na turbnu. 8/6
Prmjer redukcje reda modela procesa Hankelove sngularne vrjednost za modela sa 5 stanja su:.58e+, 4.4648e+, 3.75463e+ 4.76357e+, 5.9653e+, 6 6.96397e- 7.668864e-, 8 9.34749e-, 9.977e-.566868e-,.3656e-, 3.996689e-3 3.7893e-3, 4 3.4e-4, 5 3.37337e- 5 Grance L norme pogreške za rezdualzacju skraćvanje su zražene preko dvostruke sume sa slajda., a za optmalnu Hankelovu normu aproksmacje jednostrukom sumom sa slajda 3. Model sa 5 stanja želmo reducrat na model sa 6 stanja uklont zadnjh 7 stanja. 9/6
Sngularne vrjednost abs Sngularne vrjednost abs Sngularne vrjednost abs Prmjer redukcje reda modela procesa Sngularne vrjednost ne Hankelove sngularne vrjednost reducranh modela punog reda za slučajeve balansrane rezdualzacje, balansranog skraćvanja optmalne Hankelove norme aproksmacje prkazane su na slkama spod za sva tr zlaza. Punom lnjom su prkazane sngularne vrjednost za pun red, a sprekdanom za reducran red modela. Rezdualzran sstem ma perfektno slganje sa sstemom punog reda u staconarnom stanju. Rezdualzacja Skraćvanje Hankel 3/6-5 G Gr -5 G Gt -5 G Gh Frekvencja rad/s Frekvencja rad/s Frekvencja rad/s
Sngularne vrjednost abs Sngularne vrjednost abs Prmjer redukcje reda modela procesa Sngularne vrjednost pogreške redukcje sstema G - G a za svaku od tr aproksmacje prkazane su na sljedećoj slc. 3/6 Oznake pogrešaka su: E r balansrana rezdualzacja, E t balanrano skraćvanje, E h optmalna Hankelova norma aproksmacje. Sngularne vrjednost Sngularne vrjednost -5 - - 4 Frekvencja rad/s a Er Et Eh -5 - - 4 Frekvencja rad/s Sngularne vrjednost za skalrane b neskalrane b pogreške sstema. b Er Ets Ehs
Prmjer redukcje reda modela procesa Beskonačna norma pogreške redukcje modela sstema za balansranu rezdualzacju znos.95 događa se na 8 rad/s, dok za balansrano skraćvanje optmalnu Hankelovu normu aproksmacje znos.34 na 69 rad/s.79 na 48 rad/s. Gornje grance za norme pogreške redukcje modela znose.635 dvostruka suma sa slajda. za rezdualzacju skraćvanje, dok za optmalnu Hankelovu normu aproksmacje znos.87 suma sa slajda 3.. Može se reć da je za ovaj proces poželjno da ma propusn opseg zatvorenog sstema oko rad/s. Oko ove frekvencje pogreška redukcje modela će mat malu vrjednost za dobar regulator. 3/48
Prmjer redukcje reda modela procesa Ponekad je poželjno mat pojačanje u staconarnom stanju jednako kao u slučaju modela punog reda prmjer: otvoren sstem upravljanja. Na prethodnoj slc za balansrano skraćvanje optmalnu Hankelovu normu aproksmacje to nje slučaj., pogotovo za skalrane pogreške. U skalranom slučaju aproksmacja modela G a je zamjenjena sa G a W s, gdje je W s = G a - G. Kod skalranh sstema beskonačna norma pogreška poprma prlčno velke vrjednost. G -G a W s Što se tče rezdualzranh sstema, on ne trebaju skalranje. 33/6
Prmjer redukcje reda modela procesa Beskonačne norme u slučajevma skalranog balansranog skraćvanja skalrane optmalne Hankelove norme su respektvno degradrane na 5.7 na frekvencj 5 rad/s.6 na frekvencj 68.5 rad/s. Prema tome, skalran sstem u slučajevma balansranog skraćvanja optmalne Hankelove norme aproksmacje su lošj u odnosu na neskalrane, buduć da krtčno frekvencjsko područje oko frekvencje presjeka postaje velko uprkos poboljšanjma u staconarnom stanju. Zbog toga se rezdualzacja preferra kada se zahtjeva dobro slaganje na nskm frekvencjama. 34/6
Prmjer redukcje reda modela procesa Impulsn odzv odzv sva na skokovte pobude za sva tr zlaza u odnosu na drug ulaz prkazan su na sljedećm slkama, za sve tr vrste redukcje Br balansrana rezdualzacja, Ssk skalrano balansrano skraćvanje, SoHna skalrana optmalna Hankelova norma aproksmacje. 35/6 Impulsn odzv - Br Impulsn odzv - Ssk Impulsn odzv - SoHna -...3 Vrjeme [s] - Pun red Reducran...3 Vrjeme [s] -...3 Vrjeme [s]
Prmjer redukcje reda modela procesa Slčn rezultat se dobju za odzve kada su pobude dovedene na prv treć ulaz. Odzv na step - Br Odzv na step - Ssk 36/6 Odzv na step - SoHna -5 - -5 - -5 - -5.5 Vrjeme [s] -5 Pun red Reducran.5 Vrjeme [s] Sa odzva se može zaključt da je reducran model u slučaju balansrane rezdualzacje najblž modelu punog reda. Osm redukcje reda modela procesa može se načnt redukcja reda regulatora. -5.5 Vrjeme [s]
LMI problem LMI Lnear Matr Inequalty klasa numerčkh problema optmranja. Defncja. LMI je matrčna nejednadžba oblka: 37/6 gdje su zadan: F F F = [,..., m ] realan vektor varjabla F, =,..., m, realne smetrčne matrce. LMI nameće konveksno ogrančenje na : problem zvodvost: nać koj zadovoljava LMI, m problem optmranja: nać c kao predmet LMI-a. *
LMI problem Problem zvodvost nać zvod takav da je F zvod > l odredt da je LMI nezvodv konveksn problem zvodvost. Najčešće su u LMI-u varjable matrce, npr. kod Lyapunovljeve nejednadžbe: 38/6 P P ** gdje je matrca zadana P = P je varjabla. ko se uzme F = F P P tada su nejednadžbe * ** ekvvalentne.
LMI problem Promatrajmo LI sstem: t 39/6 Ovaj sstem je globalno asmptotsk stablan tj. sve trajektorje konvergraju ka ako za Lyapunovljevu vrjed: funkcju V = P > V P P, P P gdje je P poztvno defntna matrca. Ovo korespondra sa LMI problemom zvodvost, gdje je potrebno pronać P da vrjede navedene nejednadžbe.
LMI problem Dervranjem funkcje V po vremenu t dobva se: dv dt P P P P, 4/6 P P Zadnj zraz predstavlja LMI, gdje je matrca P varjabla. Navedeno spada u domen problema lnearne stablnost.
LMI problem Poblem robusne lnearne stablnost Promatrajmo poltopsk LV lnearn vremensk promjenjv sstem: t t, t Co{,..., L} 4/6 gdje je Co konveksn omotač konve hull koj predstavlja konveksnu kombnacju -ova. Funkcja Lyapunova postoj ako je: P P, P P,,..., L Ovo također predstavlja LMI problem zvodvost.
LMI problem Problem optmranja: H norma Promatrajmo LI sstem t Bw t z t C t Dw t 4/6 H norma od G yw je ekvvalentna rješavanju problema mnmzranja po sljedeće nejednadžbe: P B C P P PB I D C D I tj. mnmzacja je predmet LMI-a., P
LMI problem Računanje gornje grance za strukturranu sngularnu vrjednost kod snteze robusnog regulatora: mn D DND 43/6 je također problem optmranja sa LMI ogrančenjem. Rješenja Rccatjevh jednadžb, npr. u H optmalnom upravljanju, mogu se dobt preko LMI problema zvodvost. Mnog problem optmalnog robusnog upravljanja mogu se promatrat kao LMI problem problem konveksne optmzacje za koje postoje efkasn algortm npr. IPM nteror pont methods
Prmjer. Promatrajmo: gdje je: LMI F je ekvvalentno sa: LMI problem 3 F 44/6,, 3 F F F F, 3 3 3 Skup lnearnh nejednadžb po -u.
Prmjer. Korstt Lyapunovljevu kvadratnu funkcju Vz=z Pz za dokaz stablnost sstema: rebamo P > za sve α > zadano gdje je z = g. LMI problem z P P P P P z Pz P P P P g P V V 45/6 g g, V V
z zadovoljava z z tako da trebamo P > kad god je: Korštenjem S-procedure ovo se događa ako samo ako je: za nek. LMI problem z P P P P P z 46/6 z I I z I I P P P P P
LMI problem S-procedura Neka su,..., p smetrčne matrce. ko postoje,..., p za koje je: 47/6 p tada je:, takav da je:,,..., p
LMI problem Potrebn dovoljn uvjet postojanja kvadratne Lyapunovljeve funkcje mogu se skazat kao LMI: P P P I P P, P I u varjablama P uvjet sljed automatsk z, bloka. Sa homogenošću ovo možemo psat kao: P I, P P P P I P I Rješavanje LMI-a da b se pronašao P predstavlja zahtjevnu metodu. Dobro je npr. rješt Lyapunovljevu jednadžbu P+P+I= nadajuć se da rezultantna P odgovara. 48/6
Defncja. Sstem lnearnh matrčnh nejednadžb predstavlja konačan skup lnearnh matrčnh nejednadžb: koje su zadovoljene ako samo ako je: LMI problem 49/6,..., k F F F k F F F
LMI problem Veoma važno svojstvo LMI-a dobva se z jednostavne algebarske observacje, koje je korsno u konvertranju nelnearnh u lnearne nejednadžbe. Pretpostavmo da se matrca M nn može rastavt u oblku: 5/6 M M M M M gdje je M dmenzja r r. Pretpostavmo da je M nesngularna matrca. Matrca S M MM komplement od M u M. M nazva se Schurov
ko je M smetrčna matrca tada mamo da: Rezultat je dobven observacjom da je M > ako samo ako u Mu > za sve ne-nulte u n. Neka je F rn-r, tada M > ako samo ako za sve u r u n-r vrjed: LMI problem 5/6 S M S M M u Fu u M M M M u Fu u
LMI problem Sređvanjem se dobva: u u Fu M M M M u u Fu 5/6 u u M M F M M F M M F F F M M M u F u Rezultat sljed ako se uzme: F M M renutna posljedca ove observacje je sljedeća propozcja.
LMI problem Propozcja. Schurov komplement. Neka je F afna funkcja sa sljedećom podjelom rastav: F F F F F 53/6 gdje je F smetrčna matrca, tada je F > ako samo ako je: F F F F F Druga nejednadžba je nelnearna matrčna nejednadžba po -u ove nelnearne matrčne nejedneažbe mogu se transformrat u lnearne matrčne nejednadžbe. -
LMI problem Prmjer 3. Određvanje djagonalne matrce D kod -analze, takve da je: 54/6 DMD gdje je M zadana matrca. Na temelju prethodnog zraza dobva se: DMD D M D DMD I M D X M DM D XM D gdje se z X = D D > zaključuje da je postojanje takve matrce LMI problem zvodvost.
LMI problem Prmjer 4. lgebarska Rccatjeva nejednadžba. Nalaz velku prmjenu u optmalnom upravljanju, gdje se snteza optmalnh regulatora obavlja na temelju računanja poztvno defntne smetrčne matrce P koja zadovoljava Rccatjevu nejednadžbu: P P PBR Q gdje su B konstantne matrce, Q je konstantna smetrčna matrca R je konstantna smetrčna poztvno defntna matrca. Rccatjeva nejednadžba je kvadratna u P-u, al se može zrazt kao LMI prmjenom Schurovog komplementa: B P B P P Q PB R 55/6
LMI problem Lur e-lyapunovljeva funkcja Problem analze stablnost sstema upravljanja sa nelnearnm aktuatorma [Lur'e & Postnkov], odnosno stablnost lnearnh sstema sa nelnearnm perturbacjama. Promatra se vremensk dskretan sstem sa restrktranom statčkom nelnearnost: k q k C k k gdje je nelnearnost opsana sa: B q k q k[ q k q k], za,..., m restrkcjama na nagb funkcje: q k q k, za m q k q k,..., *** **** 56/6
LMI problem je maksmalan nagb -te nelnearnost. Ovaj oblk se može korstt za predstavljanje lnearnog procesa, sa nelnearnm aktuatorom, koj je upravljan antwndup kompenzatorom antwndup postoj nterakcja zmeđu nelnearnost oblka zasčenja ntegralnog djelovanja. Lur e-lyapunovljeva funkcja je defnrana kao: V k k P k Q d gdje je P poztvno defntna Q nenegatvna matrca, tako da je funkcja Lyapunova poztvno defntna. Drug zraz je uveo Lur e, kojm se eksplctno opsuje nelnearnost u Lyapunovljevoj funkcj. m q k 57/6
LMI problem Lyapunovljeva metoda za vremensk dskretne ssteme zasnva se na razlc: 58/6 V k V k Ukupn sstem je globalno asmptotsk stablan ako se matrce P Q mogu zračunat tako da je navedena razlka manja od nule. Nelnearnost su ogrančene korštenjem zraza **** teorema srednje vrjednost, pr čemu se S- procedura korst za konvertranje razlke funkcja Lyapunova, uključene u ***, u LMI.
LMI problem Može se pokazat, za vremensk dskretn sstem sa ogrančenjma *** ****, da je dovoljan uvjet za globalnu asmptotsku stablnost postojanje poztvno defntne matrce P djagonalnh poztvno semdefntnh matrca Q R takvh da je: 59/6 gdje su: M M M M B B M M M M P P I C QC I PB I C QCB I C Q C P B C QC I QC I RC PB B C QCB QCB B C Q R R
LMI problem U prethodnm zrazma je matrca = dag{ }. Nova matrca R je uvedena pomoću S-procedure. Naveden problem je LMI problem zvodvost koj se korst za analzu ph neutralzacjskh procesa krstalzacjskh procesa unutar nelnearn, zatvorenh sstema upravljanja. S-procedura omogućuje da se ne-lmi uvjet, koj se pojavljuju u analz nelnearnh sstema, mogu predstavt sa LMI. 6/6