4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie cu prmetru rel cd ] F( y) f (, y) (VII.3) F: [, R R, b = d su F( y) = f (, y) d ( b= +). Fucţi F este defiită pritr-o itegrlă improprie cu prmetru rel, de form: F( y) = f (, y) d (tip I) su f (, ) puct sigulr l lui f). b yd (de tip II cu = b Vom studi î ce codiţii F este fucţie cotiuă, respectiv fucţie derivbilă pe [ cd, ]. Î cest scop, defiim oţiue de "itegrlă improprie cu prmetru uiform covergetă" (se vor cosider î cotiure dor itegrlele improprii de tip I). Defiiţi VII.6 Itegrl improprie f ( yd, ) este uiform covergetă pe [ cd, ] (î rport cu y) către fucţi F, dcă: 57
ε >, uε > şi uε >.î. u > uε u (VII.3). f (, y) d F( y) <ε, y [ c, d] Dcă otăm + + (VII.3) ϕ ( y) = f ( y) d y [ c d] +,, cu şi,, tuci se pote reprezet itegrl improprie f (, ) serii de fucţii rele: ydsub form uei (VII.33) f ( yd ) =ϕ ( y) +ϕ ( y) + +ϕ ( y) + y [ cd],......,,. Teorem VII. (Criteriul de uiformă covergeţă) Dcă eistă o fucţie pozitivă g: [, ) R locl itegrbilă Riem stfel îcât f (, y) g(), [, ), y [c, d], ir g d este covergetă, tuci (, ) f ydeste uiform covergetă pe [c, d]. Demostrţie: Di ipotez f (, y) g (), (, y) [, ) [c, d], rezultă că seri de + + y deste mjortă de o serie umerică cu termei fucţii f (, ) = + pozitivi, covergetă, + + + g d şi tuci, după criteriul lui 57
+ + este Weierstrss, itegrl improprie (, ) (, ) uiform şi bsolut covergetă pe [c, d]. f yd= f yd = + Teorem VII.3 (Teoremă de trsfer de cotiuitte) Dcă f: [, ) [ cd, ] R este fucţie cotiuă pe D=[, ) [, ] = este uiform covergetă pe [, ] F( y) f, y d este cotiuă pe [ cd, ]. Demostrţie cd R şi cd, tuci fucţi F Cum f este cotiuă pe D, tuci fucţiile ϕ (y) di (VII.3) sut cotiue pe [ cd, ], petru orice ir f ( yd, ) = ϕ ( y) = Fy este uiform = covergetă pe [ cd, ] şi deci F este o fucţie cotiuă pe [, ] cd. Teorem VII.4 (Teoremă de trsfer de derivbilitte) Fie f: [, ) [ cd, ] R o fucţie cotiuă pe D = [, ) [, ] cd. Dcă: (i) eistă fucţi f, cotiuă pe D y ( y [, ], f cd ( y) def, lim (, ) (, ) f y f y = y y y y y R ), (ii) itegrl improprie F( y) = f (, y) d este covergetă pe [, ] cd şi 57
(iii) itegrl improprie (, y) d este uiform covergetă pe [ cd, ], f y tuci fucţi F este derivbilă pe [ cd, ] şi re loc eglitte: f = y (VII.34) F ( y) (, y) d. Demostrţie După (VII.33) ϕ ( y) este o serie de fucţii covergetă cd, ] (, ) pe [ cu sum F y = f y d. Teorem de derivre itegrlelor defiite cu prmetru dă + + f ϕ y =, y d,, ϕ sut fucţii cotiue pe y eglitte + f [ cd], după (i). Di (iii) (, y) d y este uiform covergetă pe [ cd, ]. ] Rezultă stfel că seri ϕ y este uiform covergetă pe [ cd, cu sum (, y) d, y [, ] f y cd. Atuci, după teorem de derivre terme cu terme seriilor de fucţii uiform covergete, vem (VII.34). Eemple ) ye y d este covergetă petru fiecre y [,], dr u coverge uiform î rport cu prmetrul y. Astfel, y (,] pri schimbre de vribilă y = t, vem: 573
u y t yu lim ye d = lim e dt = lim e = u u u yu. Aşdr: def, y y = F( y) = ye d=., y (,] y şi, petru y (, ], ye d F ( y) u <ε cu ε >, rezultă că u ye y d <ε, dică e y l <ε u > ε cu < ε <. Î ceste codiţii y ieglitte (VII.3) re loc dcă u > u ε (y) cu u ( y) ε l ε = şi deci y ye y d u este uiform covergetă î rport cu y [, ]. y ) y d, cu y [, ], este covergetă petru fiecre y [, ], dr u + este uiform covergetă pe [, ]. L fel c l eerciţiul ), u l ε y y y ε y d <ε u <ε < u < u y = e, y (,]. 3 ) si y F( y) = d cu y >. Nu putem plic teorem de derivre î rport cu y deorece cos yd este divergetă. 574
β si y Luăm Gβ ( y) = e d cu β > şi y >, cre se pote deriv î rport cu y, deorece itegrl e β cos yd este uiform covergetă pe β β β (, ) ( e cos y e, y > şi e Avem tuci: d este covergetă petru β > ). β β y β β y β β β G ( y) = e cos yd=, G ( y) dy = G ( y) = dy = rctg +β +β y (cosiderâd costt de itegrre C = ). Itegrl e β si y d fiid uiform covergetă î rport cu β, petru β rezultă că G este o fucţie cotiuă şi petru β =, vem: β si y si y β G( y) = lim e d= d= limrctg y β β =. si U cz prticulr, petru y =, vem d =. 5. Itegrle improprii remrcbile A. Itegrl Dirichlet si d cu α >. Cosiderăm α si si I = d şi I = d + α α. Avem: si cos I = d= cos α cos d= lim + α α α+ α 575
cos cos cos + cosα d = cos α d. Cum d este bsolut covergetă, α+ α+ α+ si deci covergetă, rezultă că d ( = α I R) este covergetă petru orice α >. si Reltiv l I = d petru < α, vem: + α si ;< α< lim =. Î cest cz, I α = > ; α= si d este covergetă. + α Pri urmre si α d este covergetă petru < α. Dcă <α<, tuci < α - < şi si = α lim α >. Î coseciţă, si d dică I, este covergetă. După situţiile + α prezette, vem: si d, cu <α<, este bsolut covergetă, deci şi covergetă; pri α urmre, itegrl improprie si α d este covergetă petru α (, ). Cercetăm dcă u vem chir bsolută covergeţă petru α (, ). Astfel, petru α (, ] şi si f =, vem α f si =, α 576
si si cos = (cu >) şi α α α cos covergetă. Dr α d α este divergetă. Deci si α d este divergetă, cee ce îsemă că si α d este semicovergetă. C tre si α d este dor semicovergetă petru < α. U rţiomet log cu cel de mi sus coduce l fptul că, petru < α <, itegrl si α d este semicovergetă. si si Petru α [, ), vem: =, α α α (, ) cu d suficiet de mic. Cum α -, itegrl improprie este divergetă. α + Deci si d este divergetă şi, idiferet de tur itegrlei + α si α d rezultă că si α d este divergetă petru α [, ). Î czul α =, itegrl improprie văzut dej, covergetă. Să dovedim că si d este, după cum m si d =. Î cest ses, 577
si si petru (, ], vem: ( + ) + cos + cos +...+ cos = şi, prelugid pri cotiuitte, î = fucţi h() = si ( + ) si lim h + =, vem pri itegrre: si ( + ) (*) = cos cos... cos d + + + + = si d. Astfel, petru: si si si = = cu (,] eistă g g lim =. Deci g se pote prelugi pri cotiuitte î =. Notăm g% prelugire s, vem: lim g % si kd=. Î coseciţă: k (+ ) (**) lim si d =. si 578
Di (*) şi (**), se obţie: (+ ) lim si d = şi, pri substituţi t = (+ ), lim (+ ) si t d =. Aşdr: t si d =. B. Itegrlele lui Fresel si d şi cos d sut covergete. Pri substituţi c itegrlă Dirichlet cu = t cu t >, obţiem α = ). sit si d = dt (covergetă t Î mod log, cost cos d = dt şi, cum t ( = t) cost lim t t =, t itegrl improprie cost dt t este covergetă. Deorece + cost dt este t covergetă, urmeză că cost dt este covergetă. Astfel, cos d t este covergetă. C. Itegrlele lui Euler (Fucţiile lui Euler) p Fucţi bet lui Euler: β pq, = d(p >, q > ). q q d. p. Covergeţ itegrlei improprii ( ) 579
p q Petru p şi q, fucţi f: [, ] R, este cotiuă şi deci eistă f d R. f = Petru p şi q <, = este puct sigulr, petru p q ( ) f = cu [, ). λ λ+ q p După criteriul î λ, lim( ) lim( ) f = = l <, < câd λ < şi q > λ >. Deci, petru q >, itegrl cre defieşte fucţi β este covergetă. p q Petru p < şi q, vem f: (, ] R, = puct sigulr. petru f =, cu λ λ+ p q După criteriul î λ, λ< şi p > λ> lim f = lim = l < <. Aşdr, câd p > itegrl este covergetă. Petru p < şi q <, = şi = sut pucte sigulre petru f, dr p q p ( ) d este covergetă câd p > şi ( ) p covergetă câd q >. Deci ( ) p > şi q >. q q d este d este covergetă petru 58
p Î cocluzie, fucţi β: (, ) (, ) R, β pq, = d, q re ses, deorece itegrl improprie + ( ) p q d este covergetă petru p > şi q >.. Proprietăţi le fucţiei β ( ) β(p +, q) + β(p, q + ) = β(p, q); p, q. Îtr-devăr, p, q, vem: d q d= p q β(p +, q) + β(p, q + ) = ( ) p + ( ) q q [ ]. p p = + d= d=β p, q ( ) qβ(p +, q) = p β(p, q + ) (' ) β(p +, q) = q p β(p, q + ), p, q. Evidet, p, q, vem: q p q p ( ) p p p d p p q q ( ) (, ) qβ p +, q = q d = q + p d = p = = β + (3 ) β(p, q) = ( p ) ( q ) ( p+ q! )!!, pq, N. q 58
Se rtă că, folosid ('), p > şi N*, (*) β ( p, ) =β[ p,( ) + ] = β ( p+, ) p β ( p+, ) =β [ p+, ( ) + ] = β ( p+, ) p +... ( p, ) p, =β + + = β, p p + + β + [ ] Îmulţid membru cu membru ceste relţii obţiem: ( )... ( + )...( + ) β p, = β p+,, p p p p+ ude (,) ( ). p+ β p+ = d= Pri urmre vem: ( p, ) β = (! ) ( + )...( + )( + ) p p p p. De ici, petru p N* şi = q N*, găsim (3 ): ( pq, ) β = ( p ) ( q ) ( p+ q! )!!. p Fucţi gm lui Euler: Γ ( p) = e d (p > ). 58
3. Covergeţ itegrlei improprii f e p Fie f: (, ) R, p e d =. Avem = puct sigulr şi după λ criteriul î λ, lim > f = l < lim λ+ p > e = l < câd petru λ + p - > şi λ <, dică p > - λ >. Deci p >, itegrl improprie p e d este covergetă. + p De semee, itegrl improprie e d este covergetă după criteriul î α. Astfel vem: α+ p α α+ p lim f l lim e l. Dr lim, = < = < = petru α>. e Deci, p >, p e d este covergetă. Î cocluzie, fucţi Γ:(, ) R cu 4. Proprietăţi le fucţiei Γ (4 ) Γ(p + ) = pγ(p), p >. Îtr-devăr, p >, vem: p p e d Γ = re ses. p p p ( p ) e d e p e d p p. Γ + = = + = Γ 583
(5 ) Γ( + ) =!, N*. Î cest ses, di (4 ), petru p = N*, vem: Γ( + ) = Γ() = ( - ) Γ( - )... Γ() =!, ude Γ()= e d = e =. 5. Alte proprietăţi le fucţiilor β şi Γ (6 ) Γ( p) Γ( q) β ( pq, ) =, petru pq, N Γ ( p+ q) Folosid (3 ) şi (5 ) petru p, q N vem: (! )!! (5 o p q, ) Γ p Γ q β pq = =. p+ q Γ p+ q Observţie. Se rtă că (6 ) este devărtă pq, R * + (dică p >, q>). Folosid substituţi = si t, se rtă că: d sit costdt β, = = sitcost =. ( ) Astfel, ţiâd sem de (6 ), deducem propriette: (7 ) Γ =., β = si, < <. (8 ) ( p p ) ( p ) p Petru < p < şi q = - p, vem: 584
p p q t β( p, p) = ( ) d = dt + t pri substituţi =, t >. + t p t Itegrl improprie dt se clculeză mi uşor petru + t m + p =, cu, m N * şi m<.astfel, pri schimbre de vribilă t y, m+ m t t t = y se găseşte că dt = =, + + m + si ultim eglitte fiid obţiută folosid umere complee. Relţi cest se etide poi petru orice p (, ). Di (7 ) şi (8 ) se pote deduce ş umit formulă rgumetului complemetr: Γ p Γ p = cu < p<. si (9 ) ( p) De ici, î prticulr, petru reobţiem relţi (7 ). p = q = ţiâd sem de fptul că Γ() =, D. Itegrl Euler Poisso. Itegrl Guss. Itegrl Euler Poisso e d este covergetă, căci, α>, lim e α = <. Pri schimbre de vribilă = t >, obţiem: t dt t e d= e = t e dt = Γ t. 585
Aşdr, folosid (7 ), vem: e d=. Itegrl Guss e d este covergetă, deorece lim e α = <, α >. Î celşi timp, vem: e d = e d + e d = e d = =. E. Itegrle Cuchy Frulli Fie f:(, ) R locl itegrbilă şi >, b >. Se umeşte itegrlă Cuchy Frulli o itegrlă improprie de form: (VII.35) + f f b d. Covergeţ şi vlore itegrlei (VII.35) sut precizte de următorele rezultte: Teorem VII.5. Dcă eistă şi sut fiite limitele lim = λ şi lim f f itegrl Cuchy Frulli este covergetă şi re loc relţi: = µ, tuci (VII.35') + f f b b d = ( λµ ) l. Demostrţi se fce rătâd că, î ipotezele teoremei, eistă şi este fiită limit v u v u f f b b lim d cu vlore ( λµ ) l ([5] pg. 5-6). 586
Teorem VII.6 Dcă eistă λ, µ R, stfel îcât δ > suficiet de mic şi A + δ f t λ dt să fie covergetă petru t f t µ dt să fie covergetă petru A >, t suficiet de mre, tuci itegrl Cuchy Frulli este covergetă şi re loc vlore: (VII.35") + f f b b d = ( λµ ) l. Demostrţi se obţie pri plicre teoremei Cuchy petru itegrle improprii ([5] pg. 7). Observţii. Cocluzi ultimei teoreme este vlbilă şi î czul câd fucţi re limită fiită îtr-u cpăt l itervlului de itegrre şi limită, î medie, î celăllt cpăt.. Itegrlele Cuchy Frulli u şi o "vrită ditivă": (VII.35'") f ( + ) f ( + b) d= ( λµ )( b) ude λ= lim f R şi lim f µ = R. Legătur ditre itegrlele + de tip (VII.35) şi (VII.35"') se stbilieşte cu jutorul logritmului. ([5] pg. 8). cos cosb d, cu f = cos. 3. Eemple. ) 587
Eistă λ= lim cos = şi eistă µ=, stfel îcât cos µ d este A covergetă. Deci cos cosb b b d = l = l. b e e d f = e. ), cu Eistă lime λ= = şi eistă µ = lim e =. Deci b e e b d = l. 3) l d, cu, b, p, q >, şi f = l b ( p + qe ) p+ qe p+ qe Eistă λ= lim f = l( p+q ) şi lim µ= f = l p.. Deci p+ qe p + q b l d = = l l. b p+ qe p 4) rctg rctg ( b) d ( >, b > ) cu rctg f =. Eistă λ= lim rctg = µ= lim rctg = rctg rctg şi vem b d = l b. F. Formul lui Wllis Fie Φ = d ( + ), cu R, N*. Pri metod itegrării pri părţi, 3 Φ = + Φ, R. vem: ( + ) 588
Astfel, cum itegrl improprie ( + ) d ( ) este covergetă, obţiem: d 3 d I = = lim ( ) ( ) Φ + ( ) ( ) + + ( + ) De ici, rezultă că: d 3 I = =, I = I + I 3 5 3 (3)!! =... I = 4 4 ()!! Totodtă, d,( ) este covergetă, căci: λ lim( ) f = <+cu λ =. Se pote efectu schimbre de < vribilă = si t cu t [, ) şi obţiem: si t J = d= costdt = si td si t t = L Acest se clculeză folosid itegrre pri părţi şi se obţie o formulă de recureţă. Astfel, si d = si cos + si d, cu deci: 589
(k )!! L ; = L petru k = ( k)!!.de ici rezultă L = ( k)!! L = ; L = ; = k+ (k + )!! Aşdr: J J k + ; = k k + J deci lim = =. Totodtă, deorece [,), k + J ; = k+ k + 3 + + vem +, şirul ( ) J este mooto descrescător şi deci: J J J,. Astfel, lim =, de ude îlocuid pe J pri J k J J J + + + şi J + pri J k+, obţiem: ( k)!! Lk + lim lim k (k )!! = = k k + L k deci: ( k)!! = lim k k+ (k)!!, umită formul lui Wllis. G. Itegrl Poisso : e d Itegrl Poisso e d este covergetă, deorece α > α lim e = <+. Să- i clculăm vlore. 59
Fie p I p = e d, cu p > şi N. Acest este o itegrlă improprie covergetă. Aplicâd itegrre pri părţi, vem: p p p I ( p) = e d= e + e d p p p = p p = lim e + e dşi se obţie : p p I( p) = I ( p ), petru > şi p >, ir p p p I ( p) = e d= e = p p p ( p) I ( p) = e d= e d( p) I () p = p t t I () = e d = e dt = e dt = =. Î coseciţă, rezultă: (* ) I ( p) ( k)!!, = k+ k + p =. (k + )!!, = k+ k + p p De ici, petru p = se obţie şirul de ieglităţi (*) I () < I + () < I + (), pe bz cărui deducem: I + < I + < I +,. (**) + + + 3 59
Îlocuid epresiile lui I (p) di (* ) î şirul de ieglităţi (**), se obţie:!! (+ )!! I() (+ )!! < <. + + + + (+ ) + (+ ) Astfel, rezultă:!!!! + (***) < I() < ()!! + ()!! + +. Trecâd l limită, petru î (***) şi folosid formul lui Wllis, găsim:!! lim = ( )!! +. Î cocluzie, vem: I() = e d= (itegrl Poisso). Observţie Fucţi f = e b *, cu R şi R, b fiţi se umeşte, î Teori probbilităţilor, "desitte ormlă". Folosid covebil itegrl Poisso se pote răt că re loc relţi R + f d= ş umit itegrlă probbilităţilor ([4] pg. 47-48). H. Formul lui Stirlig! e ([4] pg. 48-49),reltivă l Cosiderâd şirul! =,, vem: e 59
+ = + şi l = + l +. + e + Totodtă, cum petru fucţi f f f 3 = cu >, vem = < şi = >, dică fptul că f este o fucţie descrescătore şi coveă, pe bz grficului lui f se obţie relţi: ri(abcd) < + d < ri(abc'd') D' C' C D A + B + Altfel spus, vem: + < l( + ) l < + +. De ici pri mplificre cu + şi scădere lui, rezultă 593
< + l + < + + =, + 4 + dică < l = + l + <. 4 + + < < + + + + + k 4 + + + k Aşdr, l...... + 4 + k +. De ude : < < e,, k. 4 + k + k Astfel rezultă că şirul ( ) este descrescător. Cum este şi mărgiit iferior de zero, ( ) este şir coverget î R +, otăm = lim. Trecâd poi l limită petru k, obţiem relţi 4 e < e,, di cre rezultă că >. Pe de ltă prte, vem:! 4 e! = lim = lim = lim e! ( )!. Folosid formul lui Wllis, găsim:!!! = lim = lim =!! +! +. Pri urmre, =, cee ce implică fptul că = lim e! pe bz cărui rezultă formul:! e (formul lui Stirlig). 594