Pravdepodobnosť a štatistika

Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Pravdepodobosť a štatistika ( pozámky z predášok letého semestra predmetu Pravdepodobosť a štatistika predáša: RNDr. Valéria Skřiváková, CSc. Verzia. júla 003 : Zostavil Róbert Novotý http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr Typeset by L A TEX. Illustratios by jpicedt. Fuctio plots by guplot.

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri Obsah 4 Niektoré špeciále rozdeleia 4 4. Niektoré diskréte typy rozdeleí............................ 4 4.. Biomické rozdeleie Bi(, p.......................... 4 4.. Poissoovo rozdeleie Po(λ........................... 5 4..3 Geometrické rozdeleie Geo(p......................... 6 4. Niektoré spojité typy rozdeleí............................. 6 4.. Rovomeré rozdeleie R(a, b......................... 6 4.. Expoeciále rozdeleie Ex(δ......................... 8 4..3 Normále rozdeleie N(a, σ.......................... 9 4..4 Chí-kvadrát rozdeleie (χ -rozdeleie..................... 4..5 Studetovo rozdeleie (t-rozdeleie...................... 4..6 Fischerovo-Sedecorovo rozdeleie (F -rozdeleie............... 5 Cetrále limité vety 3 6 Náhodé vektory viacrozmeré áhodé veličiy 4 6. Združeé a margiále rozdeleie........................... 4 7 Popisá štatistika a áhodý výber 5 7. Základé pojmy a metódy................................ 5 7. Náhodý výber a výberové charakteristiky....................... 8 7.3 Itervalové odhady.................................... 8 Testovaie štatistických hypotéz 5 8. Základé pojmy a metódy................................ 5 8. Niektoré parametrické testy (jedovýberové...................... 7 8.. Metódy hľadaia ajlepšieho kritického oboru W 0.............. 7 8.. Príklady kritických oborov W 0 pre ormále a expoeciále rozdeleie.. 7 8.3 Testy zhody pre dva ezávislé výbery......................... 9 8.3. Testy zhody dvoch stredých hodôt...................... 9 8.3. Testy zhody dvoch rozptylov.......................... 30 Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.

LITERATÚRA 3 Literatúra [] Rieča a kol.: Pravdepodobosť a matematická štatistika, Bratislava 984 [] Potocký a kol.: Zbierka úloh z pravdepodobosti a matematickej štatistiky, Bratislava 986 [3] Skřiváková: Pravdepodobosť v príkladoch, Košice 999 [4] Aděl: Matematika áhody, Praha 000 Teto materiál pokrýva látku z letého semestra predmetu Pravdepodobosť a štatistika, ktorý predáša RNDr. Valéria Skřiváková a Prírodovedeckej fakulte UPJŠ v Košiciach. Jeho obsahom sú defiície, vety a dôkazy, ktoré odzeli a predáškach v akademickom roku 00/003. Materiál bol vytvoreý výhrade pre iterú potrebu študetov PrírF UPJŠ Košice. Text ebol autorizovaý a môže obsahovať chyby, preklepy, či chýbajúce časti (budem však rád, keď ich ozámite a adrese ovotyr@skmi.sciece.upjs.sk. Na teto materiál sa evzťahuje žiada záruka. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert Novotý, http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr

4 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 4 Niektoré špeciále rozdeleia 4. Niektoré diskréte typy rozdeleí 4.. Biomické rozdeleie Bi(, p Defiícia 4. Hovoríme, že diskréta áhodá veličia X má biomické rozdeleie s parametrami, p, ak adobúda hodoty x k = k, k = 0,,..., s pravdepodobosťami ( p k = P (X = k = p k ( p k, p (0,, N, k = 0,,..., k Iterpretácia biomického rozdeleia. Beroulliho schéma realizujeme ezávislých pokusov s možými výsledkami ω, ω, pričom P ({ω} = p, p (0,. Priraďme situácii astal jav ω hodotu a eastal jav ω hodotu 0. Potom áhodá veličia X majúca biomické rozdeleie s parametrami, p reprezetuje počet úspešých pokusov z pokusov.. distribučá fukcia F (x = k<x ( p k ( p k k. charakteristická fukcia ( ( ϕ(t = e itk p k ( p k = (pe it k ( p k = (pe it + p k k k=0 k=0 F (x 3 4 x Obr. : Distribučá fukcia biomického rozdeleia 3. charakteristiky polohy a variability Dôkaz: ϕ (t = (pe it + p ipe it E(X = p D(X = p ( p ϕ (0 = i p = i m m = E(X = p ϕ (t = ip [ ( (pe it + p pie it e it + (pe it + p ie it] Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.

4 NIEKTORÉ ŠPECIÁLNE ROZDELENIA 5 ϕ (0 = i p(( p + E(X = ( p + p D(X = p p p ( p = p( p 4.. Poissoovo rozdeleie Po(λ Defiícia 4. Hovoríme, že diskréta áhodá veličia X má Poissoovo rozdeleie s parametrom λ, ak adobúda hodoty x k, k = 0,,... s pravdepodobosťami p k = P (X = k = λk k! e λ, λ > 0, k = 0,,,... Iterpretácia Poissoovho rozdeleia. Náhodá veličia X majúca Poissoovo rozdeleie s parametrom λ reprezetuje počet prípadov, v ktorých astal sledovaý jav pri eobmedzeej realizácii daého pokusu za jedotku času. Napr. počet zákazíkov v obchode za časovú jedotku.. distribučá fukcia F (x = k<x λ k k! e λ = e λ k<x λ k k! F (x... 3 4 Obr. : Distribučá fukcia Poissoovho rozdeleia. Pre x idúce do ekoeča sa bude výška schodíkov zmešovať, úroveň sa edosiahe v žiadom koečom bode.. charakteristická fukcia ϕ(t = k=0 itk λk e k! e λ = e λ ( λe it k=0 Posledá suma je vlaste Taylorov rozvoj výrazu e (. Teda máme ϕ(t = e λ e λeit = e λ(eit k! k 3. charakteristiky polohy a variability E(X = λ D(X = λ Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert Novotý, http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr

6 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri Dôkaz: ϕ (t = e λ(eit λie it 4..3 Geometrické rozdeleie Geo(p ϕ (0 = i λ = i m E(X = λ ϕ (t = iλ (e λ(eit λie it e it + e λ(eit ie it ϕ (0 = i λ(λ + E(X = λ(λ + D(X = λ + λ λ = λ Defiícia 4.3 Hovoríme, že diskréta áhodá veličia X má geometrické rozdeleie s parametrom p, ak adobúda hodoty x k = k, k = 0,,... s pravdepodobosťami p k = P (X = k = p ( p k, p (0,, k = 0,,... Iterpretácia geometrického rozdeleia. Náhodá veličia X majúca geometrické rozdeleie s parametrom p vyjadruje počet eúspechov pred prvým úspechom pri eobmedzeej realizácii pokusov v Beroulliho schéme.. distribučá fukcia k=0 F (x = p ( p k. charakteristická fukcia ϕ(x = e itk p( p k ( = p ( p e it k k<x Pozrime sa a čley. Z defiície je p (0,, teda aj ( p (0,. Už sme si ukázali, že e it. Teda aj ich súči je v absolútej hodote meší ako. To ale zameá, že suma je kovergetý geometrický rad. Teda. ϕ(x = k=0 p ( pe it 3. charakteristika polohy a variability E(X = p p D(X = p p Dôkaz: Dôkaz ie je áročý, preechávame ho čitateľovi. 4. Niektoré spojité typy rozdeleí 4.. Rovomeré rozdeleie R(a, b Defiícia 4.4 Hovoríme, že spojitá áhodá veličia X má rovomeré rozdeleie a itervale (a, b, ak má hustotu pre x (a, b f(x b a a < b; a, b R 0 iak Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.

4 NIEKTORÉ ŠPECIÁLNE ROZDELENIA 7 f(x a b x Obr. 3: Hustota rovomerého rozdeleia spojitej áhodej veličiy Iterpretácia rovomerého rozdeleia. Náhodá veličia X s rovomerým rozdeleím R(a, b reprezetuje dobu čakaia a pravidele sa opakujúcu udalosť. Napr. doba čakaia a MHD ak prídeme a zastávku v áhodom okamihu, čas čakaia má rovomeré rozdeleie miimále čakáme 0 miút, maximále miút, kde je časový iterval medzi príchodmi spojov.. distribučá fukcia F (x = 0 0 ak x < a ak x b f(t dt = x b a dt = x a ak x (a, b b a a F (x a b Obr. 4: Distribučá fukcia rovomerého rozdeleia. charakteristická fukcia ϕ(t = = eitb e ita i(b at e itx f(x dx = b a t R {0} b a e itx dx = b a [ e itx it ] b a Pozámka 4. E(X, D(X sa počítajú z defiície, ie podľa vzťahu ϕ (k 0 = i k m k, lebo bod 0 emôžeme v tomto prípade dosadiť. 3. charakteristika polohy a variability E(X = x f(x dx = b x dx = [ x b a a b a [ ] E(X x 3 b = b a = b3 a 3 3 a 3(b a = a + ab + b b D(X = a + ab + b ( a + b = a ab + b = 3 ] b a (a b = b a (b a E(X = a + b Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert Novotý, http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr

8 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 4.. Expoeciále rozdeleie Ex(δ Defiícia 4.5 Hovoríme, že spojitá áhodá veličia má expoeciále rozdeleie s parametrom δ ak má hustotu f(x = δ e x/δ ak x > 0 0 ak x 0 Iterpretácia expoeciáleho rozdeleia Náhodá veličia X s expoeciálym rozdeleím Ex(δ reprezetuje dobu čakaia a áhode sa vyskytujúce udalosti (dobu čakaia a obsluhu, doba životosti súčiastky.. distribučá fukcia x 0 ak x 0 F (x = f(t dt = x δ e t/δ dt = [ ] e t/δ x = [e x/δ ] = e x/δ ak x > 0 δ 0 δ 0 0.4 0. 0. 0.08 0.06 0.04 0.0 0 δ = 5 δ = 0 δ = 5 0 40 60 80 00 0 40 0.8 0.6 Obr. 5: Hustota rozdeleia Ex(δ δ = 5 δ = 0 δ = 5 0.4 0. 0 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 Obr. 6: Distribučá fukcia rozdeleia Ex(δ. charakteristická fukcia ϕ(t = = δit e itx δ e x/δ dx = δ [e it x] δ = 0 e (δit x δ dx = δ δit (0 = itδ, t R [e (δit x δ V ďalšom budeme pojem áhodá veličia majúca expoeciále (resp. ié rozdeleie ozačovať ako X Ex(δ. δit δ ] 0 = Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.

4 NIEKTORÉ ŠPECIÁLNE ROZDELENIA 9 3. charakteristiky polohy a variability E(X = δ, D(X = δ Dôkaz: ϕ (t = iδ ( iδ = itδ itδ + i t δ = iδ t δ it + ϕ (0 = iδ E(X = δ ϕ ( iδ (t = ( itδ 3 ( iδ = i δ ( itδ 3 ( δ ϕ (0 = i ( 0 3 E(X = δ ( 0 3 = δ D(X = E(X E (X = δ δ = δ 4..3 Normále rozdeleie N(a, σ Defiícia 4.6 Hovoríme, že spojitá áhodá veličia X má ormále (Gaussovo rozdeleie s parametrami a, σ, ak má hustotu f(x = σ π (x a e σ pre x R, a (,, σ > 0 Iterpretácia ormáleho rozdeleia. áhodú chybu v meraí. Náhodá veličia X N(a, σ reprezetuje apr.. distribučá fukcia F (x = x f(t dt = x σ π e (t a σ dt Teto itegrál ale emá primitívu fukciu medzi elemetárymi fukciami. Preto sa hodoty F (x aproximujú pre špeciály prípad a = 0, σ =, čím dostaeme tzv. ormovaé (štadardizovaé ormále rozdeleie. 0.4 0.35 0.3 0.5 0. 0.5 0. 0.05 0 N(0, N(-5,5 N(5, -5-0 -5-0 -5 0 5 0 5 0 5 Obr. 7: Hustota rozdeleia N(a, σ pre rôze hodoty a, σ Parameter σ čítame sigma kvadrát. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert Novotý, http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr

0 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri. charakteristická fukcia ϕ(t = e ita t σ 3. charakteristiky polohy a variability ϕ (t = e ita t σ (ia tσ = eita t σ (ia tσ ϕ (0 = ia E(X = a ϕ (t = e ita t σ (ia tσ (ia tσ + e ita t σ ( σ ϕ (0 = i (a + σ E(X = a + σ D(X = E(X E (X = a + σ a = σ Normovaé ormále rozdeleie. Nech X N(a, σ. Potom áhodá veličia U = X E(X D(X = X a σ N(0, Dôkaz: Ak X N(a, σ práve vtedy, keď ϕ X (t = e ita t σ. Chceme dokázať, že U N(0, práve vtedy, keď ϕ U (t = e t. Počítajme: ( v.?? ϕ U (t = ϕ X a (t = ϕ σ δ X+( a σ (t == e it( a σ ϕx σ t = e it( a σ e i ( t σ a (/σ t = e ita σ e ita σ (/σ t = e t Pozámka 4. Distribučá fukcia ormovaého ormáleho rozdeleia sa zvyke ozačovať Φ(u. Veta 4. (pravidlo 3σ Nech X N(a, σ. Potom P ( X a < 3σ = 0,9973. Dôkaz: ( X a P ( X a < 3σ = P σ < 3 Z vlastostí ormovaého ormáleho rozdeleia má áhodá veličia X a σ = U N(0,. Teda máme P ( U < 3 = P (U ( 3, 3 = Φ(3 Φ( 3 = Φ(3 ( Φ(3 = Φ(3 = = 0,99865 = 0,9973 Pozámka 4.3 (Výzam rozdeleia N(0, Z ormovaého ormáleho rozdeleia sa dajú odvodiť tri špeciále typy rozdeleí χ, t a F -rozdeleie, ktoré sú dôležité v matematickej štatistike. Súčet veľkého počtu ezávislých áhodých veličí má za veľmi všeobecých podmieok približe ormovaé ormále rozdeleie. To je podstatou cetrálych limitých viet. Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.

4 NIEKTORÉ ŠPECIÁLNE ROZDELENIA 4..4 Chí-kvadrát rozdeleie (χ -rozdeleie Defiícia 4.7 Hovoríme, že áhodé veličiy X, X,..., X sú ezávislé, ak sú ezávislé im odpovedajúce javy, t. j. platí P (X < x, X < x, X 3 < x 3 = P (X i < x i Defiícia 4.8 Hovoríme, že spojitá áhodá veličia Y má chí-kvadrát rozdeleie o stupňoch voľosti, ak má hustotu f (y = Γ ( y e y ak y > 0 0 ak y 0 Ozačujeme Y χ (. 0.5 0. 0.5 χ (5 χ (0 χ (5 0. 0.05 0 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 Obr. 8: Hustota rozdeleia χ ( Vlastosti rozdeleia chí-kvadrát.. Rozdeleie χ ( ie je symetrické 3. Kvatily sa tabelizujú pre =,..., 00. Pre > 00 sa toto rozdeleie aproximuje ormálym rozdeleím N(,.. Charakteristická fukcia, charakteristiky polohy a variability. 3. Platí asledová vlastosť: ϕ(t =, E(Y =, D(Y = ( it Y χ ( Y = kde X i N(0, a veličiy X i sú ezávislé. 4..5 Studetovo rozdeleie (t-rozdeleie X i, Defiícia 4.9 Hovoríme, že spojitá áhodá veličia T má Studetovo rozdeleie (t-rozdeleie o stupňoch voľosti, ak má hustotu ( + f (t = β (, + t pre t (,, N 3 Čím väčšie je, tým má rozdeleie bližšie k symetrickému. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert Novotý, http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 0.3 0.5 0. 0.5 0. 0.05 0 = 0 = 0 = 30-4 - 0 4 Obr. 9: Hustota rozdeleia t( Vlastosti t-rozdeleia. Rozdeleie t je symetrické. Kvatily( sú tabelovaé pre 30. Pre väčšie sa toto rozdeleie aproximuje pomocou rozdeleia N 0,.. Charakteristiky polohy a variability. E(T = 0, D(T =, pre > 3. Platí: T t( T = X X i (4. kde X i N(0, a veličiy X i sú ezávislé. 4..6 Fischerovo-Sedecorovo rozdeleie (F -rozdeleie Defiícia 4.0 Hovoríme, že spojitá áhodá veličia Z má Fischerovo-Sedecorovo rozdeleie (F -rozdeleie s, stupňami voľosti, ak má hustotu ( f(z = β ( ( z + + z ak z > 0, 0 ak z 0 Vlastosti F -rozdeleia. Rozdeleie F (, ie je symetrické. Kvatily sú tabelovaé pre 00, 00. Pre > 00 alebo > 00 odhadujeme toto rozdeleie ormálym rozdeleím N(E(Z, D(Z. Pre iterpoláciu kvatilov v tabuľkách sa používa vzťah. Charakteristiky polohy a variability. F α (, = F α (, E(Z =, D(Z = ( + + ( ( 4, > 4 Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.

5 CENTRÁLNE LIMITNÉ VETY 3 3. Náhodá veličia Z F (, práve vtedy, keď Z = Y = Y X i X i, kde Y i χ ( i, pre i =, a X,..., X, X,..., X N(0, a sú avyše ezávislé. 5 Cetrále limité vety Podstatou cetrálych limitých viet je fakt, že súčet veľkého počtu ezávislých áhodých veličí za veľmi všeobecých podmieok má asymptoticky ormále rozdeleie. Tieto podmieky spresia asledové tri vety. Veta 5. (Moivre-Laplace Nech S = X i, kde X i sú ezávislé áhodé veličiy s rozdeleím X i Bi(, p = A(p (vykoávame le jede pokus. Potom ormovaá veličia Ŝ má približe ormovaé ormále rozdeleie: Ŝ = S p N(0,, p( p t. j. lim F Ŝ (s = Φ(s Veta 5. (Feller-Lideberg Nech S = X i, kde X i sú ezávislé áhodé veličiy s idetickým rozdeleím a s koečou stredou hodotou E(X i = a < a koečou disperziou D(X i = σ < pre i =,...,. Potom áhodá veličia Ŝ má približe ormovaé ormále rozdeleie: Ŝ = S a σ N(0,, Veta 5.3 (Ljapuov Nech S = X i, kde X i sú ezávislé áhodé veličiy s koečou stredou hodotou E(X i < pre i =,..., a koečou disperziou D(X i < pre i =,...,. Nech platí Ljapuovova podmieka 3 E( X i E(X i 3 lim D(X i Potom áhodá veličia Ŝ má približe ormovaé ormále rozdeleie: = 0 S E(X i Ŝ = N(0, D(X i Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert Novotý, http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr

4 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 6 Náhodé vektory viacrozmeré áhodé veličiy 6. Združeé a margiále rozdeleie Nech je daý pravdepodobostý priestor (Ω, A, P. Uvažujme kartézsky súči itervalov I = (, x (, x... (, x, kde x i R, pre i =,...,. Defiícia 6. Zobrazeie X = (X, X,... X : Ω R sa azýva áhodým vektorom v R, ak vzorom ľubovoľého itervalu v R typu I je jav, t. j. platí X (I = {ω Ω : X (ω < x, X (ω < x,..., X (ω < x } A Pozámka 6. Vektor (X, X,..., X je áhodý vektor práve vtedy, ak zložky X i sú áhodé veličiy. Defiícia 6. Reála fukcia F X : R 0, defiovaá vzťahom F X (x, x,..., x = P (X < x, X < x,..., X < x sa azýva združeou distribučou fukciou áhodého vektora (X,..., X. Distribučé fukcie zložiek áhodého vektora F i (x i pre i =,..., azývame margiále distribučé fukcie. Veta 6. Nech F X (x,..., x je združeou distribučou fukciou áhodého vektora X = (X,..., X. Potom platí: lim F (x,..., x = a lim F (x,..., x = 0 i:x i i:x i F (x,..., x je eklesajúca vzhľadom a každú premeú F (x,..., x je zľava spojitá vzhľadom a každú premeú Dôkaz: Dôkaz je podobý ako v prípade R (pozri miulý semester. Veta 6. Nech F (x,..., x je združeou distribučou fukciou áhodého vektora (X,..., X. Potom pre margiále distribučé fukcie zložiek platí: F Xi = F i (x i = lim F (x x j,..., x j i Dôkaz: Dôkaz urobíme pre =. Bez ujmy a všeobecosti chceme dokázať, že F (x = lim F (x, x. Uvažujme postuposť reálych čísel {x } = takú, že pre ide {x }. x Potom lim F (x, x = x lim F (x, x = x lim P (X < x, X < x = x Ozačme A = {ω Ω : X (ω < x X (ω < x }. Postuposť javov {A } = je rastúca (ezabudite si to premyslieť! a preto podľa pozámky?? je lim A = A. Pokračujeme vo = výpočte výrazu ( : ( ( = lim P (A spojitosť P ( == P lim A = P A x x = Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.

6 NÁHODNÉ VEKTORY VIACROZMERNÉ NÁHODNÉ VELIČINY 5 ( = P {ω Ω : X (ω < x X (ω < x } = ( = P {ω Ω : X (ω < x } {ω Ω : X (ω < x } = ( (distr. záko = P {ω Ω : X (ω < x } {ω Ω : X (ω < x } = = Pozrime sa teraz a prieik pod pravdepodobostou fukciou. Prvý čle tvorí vlaste X < x, druhý čle je celý pravdepodobostý priestor Ω (pretože x a zjedocujeme rastúcu postuposť. Ich prieik je teda práve prvý čle prieiku a teda môžeme pokračovať vo výpočte: = P (X < x = F (x = F X (x Pozámka 6. Podľa vety 6., ak pozáme združeú distribučú fukciu, vieme určiť jedozače všetky margiále distribučé fukcie. Vo všeobecosti to aopak eplatí; ak pozáme margiále distribučé fukcie, evieme jedozače skoštruovať združeú distribučú fukciu. Výimku tvorí prípad ezávislých áhodých veličí. Ak P (X < x,... X < x = P (X i < x i, potom F (x,..., x = F i (x i. 6. Diskréte a absolúte spojité rozdeleie v R Defiícia 6.3 Hovoríme, že áhodý vektor (X, Y má diskréte rozdeleie, ak existujú postuposti reálych čísel {x i } i I, {y j } j J a odpovedajúca postuposť kladých čísel {p ij } i I,j J tak, že platí: p ij = P (X = x i, Y = y j & p ij = a F (x, y = x i<x y j<y p ij i I j J Pravdepodobosť p ij sa azýva združeý záko rozdeleia áhodého vektora (X, Y. Defiícia 6.4 Hovoríme, že áhodý vektor (X, Y má absolúte spojité rozdeleie, ak existuje ezáporá, v R itegrovateľá fukcia f(x, y taká, že platí: f(x, y dy dx = & F (x, y = x y f(u, v dv du Fukcia f(x, y sa azýva združeou hustotou áhodého vektora (X, Y a platí f(x, y = F (x, y x y Veta 6.3 Nech p ij je združeý záko rozdeleia diskréteho áhodého vektora (X, Y. Potom pre margiále zákoy zložiek platí: p i = p ij a p j = p ij j i Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert Novotý, http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr

6 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri Dôkaz: Bez ujmy a všeobecosti dokážeme prvý vzťah (druhý vzťah sa dokáže aalogicky. Vyjdeme z margiálej distribučej fukcie F (x v. 6. def. == lim F (x, y == lim y y x i<x y i<y p ij = x i<x lim y y i<y p ij = Ak y a počítame sumu cez všetky y j < y, je to v podstate to isté ako výpočet sumy pre všetky j. Máme teda F (x = p ij, z čoho p i = p ij x i<x j j }{{} p i Veta 6.4 Nech f(x, y je združeou hustotou spojitého áhodého vektora (X, Y. Potom pre margiále hustoty zložiek platí: f (x = f(x, y dy a f (y = f(x, y dx Dôkaz: Opäť bez ujmy a všeobecosti dokážeme prvý vzťah a opäť vyjdeme z margiálej distribučej fukcie: F (x v. 6. == lim = y x F (x, y def. == lim lim y y y x y f(u, v dv du = x f(u, v dv du f(u, v dv du Ozačme v posledom dvojom itegráli f(u = f(u, v dv a to sa ám hodí do defiície, pretože F (x = x f(u du. Stačí už le premeovať premeé vo vyjadreí f(u a dostaeme požadovaé tvrdeie. Pozámka 6.3 V časti 6. sme vybudovali aparát potrebý a dokázaie vety??, bod 3. E(aX ± by = ae(x ± be(y Dôkaz: Podľa vety o preose itegrácie pre fukciu dvoch premeých platí: E(aX ± by = (ax ± by f(x, y dy dx }{{} g(x,y ( = a x f(x, y dy v.?? == a x f (x dx ± b = a E(X ± b E(Y ( dx ± b y f(x, y dx dy y f (y dy 6.3 Podmieeé rozdeleie v R Defiícia 6.5 Nech (X, Y je diskréty áhodý vektor so združeým zákoom rozdeleia p ij = P (X = x i, Y = y j, i I, j J Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.

6 NÁHODNÉ VEKTORY VIACROZMERNÉ NÁHODNÉ VELIČINY 7 Potom podmieeé rozdeleie áhodého vektora X za predpokladu Y defiujeme ako P (X = x i Y = y j = P (X = x i, Y = y j, i I, j J, pričom P (Y = y j > 0 P (Y = y j Odpovedajúca podmieeá distribučá fukcia je daá vzťahom F (x y = x i<x P (X = x i Y = y j Defiícia 6.6 Nech (X, Y je spojitý áhodý vektor, ktorého rozdeleie je daé združeou hustotou f(x, y. Potom podmieeá hustota áhodej veličiy X za podmieky Y defiujeme ako f(x y = f(x, y f (y Odpovedajúca podmieeá distribučá fukcia je defiovaá vzťahom F (x y = Pozámka 6.4. Aalogicky defiujeme fukciu F (y x. x f(t y dt. Môžeme defiovať aj podmieeé charakteristiky podľa vzťahu E(X k Y spoj. == 6.4 Charakteristiky áhodého vektora x k f(x y dx. Charakteristika polohy áhodého vektora (X, X,..., X je defiovaá ako vektor stredých hodôt E(X,..., X = (E(X,..., E(X. Defiícia 6.7 Kovariačou maticou K X áhodého vektora X = (X,..., X azývame symetrickú maticu daú prvkami K ii = D(X i, i =,..., K ij = E[(X i E(X i (X j E(X j ] = cov(x i, X j, i =,..., ; i Číslo K ij = cov(x i, X j azývame kovariaciou áhodých vektorov X i, X j. Defiícia 6.8 Korelačou maticou áhodého vektora X = (X,..., X azývame symetrickú maticu R X = (ϱ ij i,j= s prvkami ϱ ii =, i =,..., ϱ ij = cov(x i, Y j D(Xi D(X j, i, j,...,, pričom D(X i > 0, i =,..., Číslo ϱ ij = ϱ(x i, X j sa azýva korelačý koeficiet áhodých vektorov X i, X j, pričom i j. Pozámka 6.5. Disperzia (variacia, rozptyl je špeciálym prípadom kovariacie pre i = j. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert Novotý, http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr

8 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri. Výpočtový tvar kovariacie je cov(x i, X j = E[(X i E(X i (X j E(X j ] = E[X i X j X i E(X j X j E(X i +E(X i E(X j ] }{{}}{{} košt. košt. = E(X i X j E(X i E(X j E(X j E(X i + E(X i E(X j = E(X i X j E(X i E(X j. Veta 6.5 Nech áhodé veličiy X, Y sú ezávislé. Potom platí:. E(X Y = E(X E(Y. D(X ± Y = D(X + D(Y 3. ϕ X+Y (t = ϕ X (t ϕ Y (t Dôkaz:. Nech X, Y sú ezávislé. To je však práve vtedy, ak zodpovedajúce javy sú ezávislé a teda F (x, y = F (x F (y, ale aj f(x, y = f (x f (y. Podľa vety o preose itegrácie: E(X }{{ Y } = g(x x y f(x, y dy dx ezávislosť == Podľa vety z matematickej aalýzy možo posledý čle apísať ako: x f (x dx y f (y dy = E(X E(Y xy f (x f (y dy dx. Pre kovariaciu platí, že cov(x, Y = E(X Y E(X E(Y a == E(X E(Y E(X E(Y = 0. Podľa vety??, bodu 3. o vlastostiach disperzie, platí rovosť D(X ± Y = D(X + D(Y ± cov(x, Y = D(X+D(Y. Čle cov(x, Y je však rový ule, preto dostávame požadovaú rovosť. 3. Vyjdime z defiície charakteristickej fukcie: ϕ X+Y (t = E(e it(x+y = E(e itx e ity. Pozrime sa bližšie a obidva čley vo vútri. Premeé i, t v expoete sú koštaty, áhodé veličiy X a Y sú ezávislé. Potom sú ale ezávislé aj čley itx a ity a dokoca aj čley e itx a e ity. Ďalej podľa už dokázaého bodu máme po úprave E(e itx E(e ity = ϕ X (t ϕ Y (t, čo sme chceli dokázať. Pozámka 6.6 Posledú vetu možo zovšeobeciť: stredú hodotu súčiu ezávislých veličí možo spočítať ako súči ich stredých hodôt, disperziu súčtu ezávislých veličí možo vyrátať ako súčet ich disperzií, a charakteristickú fukciu súčtu ezávislých áhodých veličí možo vypočítať ako súči charakteristických fukcií jedotlivých áhodých veličí. Skrátee zapísaé: ( E X i = E(X i, ( D X i = D(X i, ϕ X i (t = ϕ Xi (t Veta 6.6 (vlastosti ϱ(x, Y Nech ϱ(x, Y je korelačý koeficiet áhodého vektora (X, Y. Potom platí:. ak X, Y sú ezávislé, potom ϱ(x, Y = 0. ak X, Y sú lieáre závislé, potom ϱ(x, Y = Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.

6 NÁHODNÉ VEKTORY VIACROZMERNÉ NÁHODNÉ VELIČINY 9 3. ak X, Y sú ľubovoľé áhodé veličiy, tak ϱ(x, Y Dôkaz:. Ak X, Y sú ezávislé, potom podľa vety??, bodu platí, že E(X Y = E(X E(Y. Pre kovariaciu platí: cov(x, Y = E(X Y E(X E(Y = 0. Ale potom ϱ(x, Y = cov(x,y = 0. }{{} D(X D(Y E(X E(Y. Nech X, Y sú lieáre závislé. Bez ujmy a všeobecosti môžeme predpokladať, že Y = ax+b. Počítajme: ϱ(x, Y z výp. tvaru == E(X Y E(X E(Y E[X (ax + b] E(X E(aX + b = D(X D(Y D(X D(aX + b V ďalšom kroku využijeme vlastosti stredej hodoty a disperzie. Ďalej si všimeme čle D(aX + b v meovateli. Veličiy ax a b sú zrejme ezávislé, môžeme teda použiť vetu??, pričom však D(b = 0. Teda ϱ(x, Y vl. E, D == ae(x + b E(X a(e(x b E(X D(X a D(X Teraz odmocíme čley v meovateli. Keďže D(X > 0, máme po vyásobeím oboch D(X a ich ásledom odmoceí čle D(X. Koštata a po odmoceí ám však dá a. V čitateli ám po sčítaí vypadú čley b E(X a zo zvyšých dvoch čleov vyjmeme a pred zátvorku. ϱ(x, Y = ae(x (E(X a D(X = a D(X a D(X = a { ak a > 0 a = ak a < 0 Z posledých alteratív teda vyplýva, že ϱ(x, Y =. 3. Nech X, Y sú ľubovoľé. Uvažujme výraz E[t(X E(X + (Y E(Y] 0. Ak výraz vo vútri stredej hodoty ebude záporý, tak aj stredá hodota bude ezáporá. Upravujme postupe teto výraz: E[t E(X E(X + (X E(Y + t(x E(X(Y E(Y] 0 t D(X + D(Y + t cov(x, Y 0 Uvažujme kvadratickú rovicu s premeou t. Počítajme diskrimiat za predpokladu, že rovica má ajviac jede reály koreň. 4 cov (X, Y 4 D(X E(Y 0 cov (X, Y D(X D(Y, (6. a cov (X, Y 0 (6.3 Postupe predelíme zlomok (výraz je ezáporý vyplýva to z erovostí (?? a (??, aby sme a pravej strae získali a odmocíme s ohľadom a absolúte hodoty: 0 0 0 cov (X,Y D(X D(Y cov(x,y D(X D(Y cov(x,y D(X D(Y 0 ϱ(x, Y Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert Novotý, http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr

0 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri Pozámka 6.7. K tvrdeiu ak X, Y sú ezávislé, potom ϱ(x, Y = 0 obráteá veta eplatí.. K tvrdeiu ak X, Y sú lieáre závislé, potom ϱ(x, Y = platí aj opačé tvrdeie. Korelačý koeficiet ϱ(x, Y je mierou (lieárej závislosti. V matematickej štatistike sa používa: ak ϱ(x, Y > 0,8, hovorieva sa o silej (lieárej závislosti, ak 0,3 ϱ(x, Y 0,8 ide o mieru (lieáru závislosť, ak ϱ(x, Y < 0,3, hovoríme o slabej (lieárej závislosti. 6.5 Regresia ako tred závislosti Tred (smer závislosti áhodých veličí X, Y sa dá graficky zázoriť tzv. regresou čiarou. Y Y Y Y X X X X Obr. 0: Lieára, parabolická, hyperbolická závislosť a ezávislosť V praxi sa ajčastejšie používa lieára závislosť, ktorej zodpovedá regresá priamka 4. Defiícia 6.9 Regresou priamkou závislosti Y a X (. regresou priamkou azývame priamku kde koeficiety a, b spĺňajú podmieku y = ax + b, E[Y (ax + b] je miimále (koeficiety miimalizujú stredú kvadratickú odchýlku. Koeficiety a, b azývame regresými koeficietami. Veta 6.7 Nech ϱ(x, Y je korelačý koeficiet áhodých veličí X, Y. Pre. regresú priamku závislosti Y a X platí: D(Y y E(Y = ϱ(x, Y (x E(X D(X Potom a = ϱ(x, Y D(Y D(X, b = E(Y ae(x. Dôkaz: Dôkaz vykoáme použitím metódy ajmeších štvorcov. Chceme miimalizovať výraz S(a, b = E(Y (ax + b. Má platiť: 4 Dá sa jedoduchšie popísať ako apr. hyperbola. V okolí hyperboly vieme často priamkou dobre aproximovať. Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.

6 NÁHODNÉ VEKTORY VIACROZMERNÉ NÁHODNÉ VELIČINY S(a,b a S(a,b b = 0 (stacioáry bod = 0 (stacioáry bod. difereciál má byť kladý Upravme ajprv košt. {}}{ S(a, b = E[(Y E(Y a(x E(X + (E(Y ae(x b] = E [ (Y E(Y + a (X E(X + + a(x E(X(Y E(Y + (Y E(Y a (X E(X ] Aplikujme E : = D(Y + a D(X + (E(Y ae(x b a cov(x, Y + 0 Počítajme parciálu deriváciu podľa a: S(a, b a S(a, b b = ad(x + (E(Y ae(x b E(X cov(x, Y = (E(Y ae(x b( Obe parciále derivácie položíme rové 0, teda ich môžeme upraviť ad(x + (E(Y ae(x b E(X cov(x, Y = (E(Y ae(x b( Postupou úpravou dostaeme a = cov(x, Y D(X a[d(x + E (X] + be(x = cov(x, Y + E(X E(Y = b = E(Y a E(X cov(x, Y D(Y D(Y = ϱ(x, Y D(X D(Y D(X D(X Potrebujeme však ešte overiť, že druhý difereciál je aozaj kladý. Túto úlohu však preechávame a čitateľa. a Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert Novotý, http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri Časť II Matematická štatistika História koree už v staroveku. Starovek sčítaie ľudu a majetku (vojeské a daňové účely Egypt, Čía, Mezopotámia Stredovek vzik a kosolidácia ových štátov zisťovaie geografických údajov, hospodársky a politický popis štátu. status = stav štátu. Novovek 7. stor. politická aritmetika v aglosaských krajiách Petty, Grad. Vzik zárodkov poisťovíctva a z toho vyplývajúca tvorba úmrtostých tabuliek (Huyges. Do 0. storočia tzv. popisá štatistika, hlavý pricíp je vyčerpávajúce zisťovaie (čím viac údajov, tým lepšie výsledky. 0. stor. využívaie aparátu pravdepodobosti (v jadre. Vzik matematickej (iduktívej štatistiky pricíp spočívajúci v áhodom výbere 7 Popisá štatistika a áhodý výber 7. Základé pojmy a metódy Štatistický súbor skupia prvkov, ktoré sú predmetom štatistického skúmaia a ktoré majú spoločú vlastosť. Napr. skupia študetov a predáške, skupia výrobkov vyrobeých a jedom stroji Rozsah štatistického súboru počet prvkov štatistického súboru. Ozačujeme N. Štatistický zak sledovaá vlastosť prvkov. Ozačujeme x. Napr. váha, výška, vedomosti, farba očí. Štatistické dáta ameraé hodoty štatistického zaku Oz. x, x,..., x N. Deleie štatistických zakov kvatitatíve dajú sa jedozače čísele vyjadriť kvalitatíve edajú sa vyjadriť jedozače číslom, saha je ich kvatifikovať Etapy štatistickej práce. štatistické zisťovaie (hromadeie dát. spracovaie štatistických dát 3. vyhodocovaie výsledkov; záver pre prax Štatistické zisťovaie (hromadeie dát. Štatisticky sa zisťujú dáta, je potrebá dôkladá evidecia. Získame východzie dáta x, x,..., x N. Spracovaie štatistických dát.. tabuľkové Spracovaie sa koá troma spôsobmi:. grafické 3. výpočtové Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.

7 POPISNÁ ŠTATISTIKA A NÁHODNÝ VÝBER 3 Tabuľkové spracovaie dát. Usporiadame dáta do eklesajúcej postuposti x ( x (... x (N Ak sa údaje opakujú, vziká tabuľka početostí, obsahuje absolúte a relatíve početosti, kumulatíve početosti a kumulatíve relatíve početosti. x i x x... x K absolúta početosť m i m m... m K K m i = N relatíva početosť m i N m N m N... m K N kumulatíva početosť K m i m m + m... K m i K m i = N kumulatíva relatíva početosť K m i N m N m +m N... K m i N K m i N = Keďže podľa zákoa veľkých čísel m i N p i pre, môžeme defiovať empirickú distribučú fukciu (z ameraých hodôt. Distribučú fukciu odhademe z tabuľky kumulatívych relatívych početostí. F N (x = m i N x i<x Grafické metódy. Polygó je spojicový diagram spájajúci (ajčastejšie body [x i, m i ]. Histogram je stĺpcový diagram. Používa sa v prípade veľkého možstva hodôt (do 0 v tomto m i... prípade zadelíme hodoty do itervalov. x i Výpočtové metódy. Charakteristiky polohy štatistického zaku: aritmetický priemer x budeme ho používať ako odhad stredej hodoty. x = N N x i = N K x i m i modus x ajpočetejšia hodota zaku x Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert Novotý, http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr

4 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri mediá x prostredá hodota. Hodoty usporiadame podľa veľkosti a ájdeme prostredú hodotu. x N+ ak N je epáre x = x N + x N ak N je páre V prípade, že N je páre, v podstate umelo vytvoríme prostredý čle. Charakteristiky variability štatistického zaku aalógia k D(X s [s-kvadrát]. s = N K (x i x m i = N N (x i x Aalogicky podľa výpočtového tvaru D(X = m m máme s = N N x i x aalógia k Q(X Q(X = x 0,75 x 0,5 Hodoty x 0,5 a x 0,75 určíme podobe ako pri mediáe. Dohoda: ak hodota x existuje, zarátame ju dvakrát, iak ie. variačé rozpätie R = x max x mi variačý koeficiet zaku x V (x = s x x 00% Ak V (x < 30%, hovoríme o dobrej charakteristike. V prípade, že V (x > 50%, je potrebé použiť ié charakteristiky polohy. charakteristiky závislosti zakov. Na každom prvku štatistického súboru sledujeme dva zaky korelačý koeficiet r(x, y = Výraz k(x, y je kovariacia (odhad. rovica regresej priamky k(x, y s x s y, kde k(x, y = N N (x i x(y i ȳ. regresá priamka: y ȳ = r(x, y sy s x (x x. regresá priamka: x x = r(x, y sx s y (y ȳ resp. iý tvar. regresej priamky: y ȳ = r(x, y sy s x (x x Pozámka 7. Ak je rôzych hodôt štatistického zaku veľa ( 0, potom dáta triedime do itervalov typu a i, b i alebo (a i, b i (tak, že každý krajý bod je tam práve raz. Postup: Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.

7 POPISNÁ ŠTATISTIKA A NÁHODNÝ VÝBER 5. určíme variačé rozpätie R = x max x mi. určíme počet itervalov k (typicky 5 k 5 3. určíme dĺžku itervalu (a i, b i : h =. R, pričom h vhode zaokrúhlime ahor (ak by sme k zaokrúhľovali adol, posledá hodota by emusela patriť do žiadeho itervalu 4. zostrojíme tabuľku početostí pre itervaly, pričom početosť itervalu bude počet hodôt, ktoré padú do itervalu. Za reprezetata itervalu berieme (považujeme stred itervalu x i. 5. akreslíme histogram (stĺpčeky šírky h 6. vypočítame charakteristiky zaku x = N k x i m i x kor = a i + h N j i m j m i x kor = x i + h m i+ m i m i m i+ m i 7. Náhodý výber a výberové charakteristiky Nevýhodou popisej štatistiky je utosť vyčerpávajúceho zisťovaia, čo v praxi často zameá potrebu fiacií, času atď. Rovako meraie môže v iektorých prípadoch spôsobiť zičeie meraého prvku, čo opäť zemožňuje opakovaé zisťovaie. Upustíme teda od tohto spôsobu zisťovaia a budeme realizovať áhodé (reprezetatíve výbery o rozsahu N. Prvky reprezetatívej vzorky sú ositeľmi hodôt sledovaého zaku x i, možo ich považovať za áhodé veličiy X i. Defiícia 7. -rozmerý áhodý vektor V = (X,..., X, kde X i pre i =,..., sú ezávislé áhodé veličiy s idetickým áhodým rozdeleím F i (x i, θ F (x, θ, sa azýva áhodý výber o rozsahu z rozdeleia F (x, θ. oz. V F (x, θ Pozámka 7.. θ je ezámy parameter s hodotami z parametrického priestoru Θ.. Keďže zložky V sú ezávislé, pre distribučú fukciu áhodého vektora platí: F (x,..., x, θ = F i (x i, θ Charakteristiky áhodého výberu sú dobrými odhadmi skutočých charakteristík základého štatistického súboru.. charakteristika polohy výberový priemer X = X i Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert Novotý, http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr

6 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri. charakteristiky variability výberové rozptyly S = S 0 = S = (X i X (X i a, a = E(X i je košt. pre všetky i (X i X Neskôr ukážeme, že S [čítame: S kvadrát] ie je dobrou charakteristikou variability. Výberový rozptyl S 0 [S 0 kvadrát] budeme používať, ak pozáme stredú hodotu. Ak ju epozáme, použijeme výberový rozptyl S [S kvadrát]. 3. charakteristiky závislosti výberový korelačý koeficiet kde K X,Y = ( R X,Y = K X,Y, S X S Y X i Y i X Ȳ a S X = (X X. Veta 7. Nech áhodý výber V pochádza z rozdeleia F (x, θ, ktoré má koečú stredú hodotu E(X i = a pre i =,..., a koečú disperziu D(X = σ, pre i =,...,. Potom. E( X = a. D( X = σ 3. E(S 0 = E(S = σ 4. E(S = σ σ Dôkaz:. E(X = E ( (. D(X = D ( 3. E(S0 = E X i = X i = D( = ( σ = σ (X i a = E(X i E(Xi == = a ( a = a X i }{{} ezávislé = E(X i a = D(X i D(Xi == = a ( σ = σ E(X i E(X = 4. Druhú erovosť v 3 a dôkaz 4 (zatiaľ poechávame a pozorého čitateľa Veta 7. Nech V N(a, σ. Potom X ( N a, σ. D(X = Dôkaz: Dôkaz urobíme metódou charakteristických fukcií. Už vieme, že parametrami ormáleho rozdeleia, z ktorého pochádza X, sú a, σ (pozri predošlá veta. Chceme ukázať, že X má práve ormále rozdeleie. Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.

7 POPISNÁ ŠTATISTIKA A NÁHODNÝ VÝBER 7 Máme V = (X,..., X. Jedotlivé zložky X i N(a, σ práve vtedy, keď ϕ Xi (t = e it a t σ Zaškatuľkovaé sú práve E(X i = a a D(X i = σ. Pre X by teda malo platiť: ϕ X(t = e it a σ t. Overme to: ϕ X(t = ϕ (t vl. ϕ X(t == = ϕ X i X i ( t Jedotlivé veličiy X i sú ezávislé, môžeme teda použiť vetu??, bod??. ( t ϕ X(t = ϕ Xi = e i( a t ( t σ = e i( a t ( t σ = e ita čo sme chceli overiť. ( t σ, 7.3 Štatistika a jej rozdeleie Defiícia 7. Nech V F (x, θ, θ Θ. Štatistikou azývame takú fukciu áhodého výberu V, rozdeleie ktorej ezávisí od parametra θ rozdeleia F (x, θ, z ktorého výber pochádza. g = g(x,..., X Veta 7.3 Nech V N(a, σ. Potom pre asledové štatistiky platí:. g = X a σ N(0,. g = S 0 σ χ ( 3. g = ( S σ χ ( 4. g = X a S t( Dôkaz:. Overme, či g = X a σ N(0,. V = (X,..., X N(a, σ, teda aj jedotlivé zložky X i N(a, σ. Z vety 7. vieme, že ( X N a, σ. Teda E( X = a, D( X = σ a môžeme rozdeleie ormovať, čím dostávame X a σ / = X a N(0, σ. Platí 5, že Y = X i χ ( práve vtedy, keď X i N(0, a áhodé veličiy X i sú ezávislé. Chceme ukázať, že uvedeá štatistika g sa dá apísať v tomto tvare. g = S 0 σ = σ (X i a = ( Xi a Z predpokladu X i N(a, σ, teda Xi a σ N(0,. Potrebujeme overiť ešte ezávislosť, ale tá je zaručeá už z defiície áhodého výberu (V je tvoreý ezávislými áhodými veličiami. Overili sme oba predpoklady a teda z ekvivalecie vyplýva požadovaé rozdeleie χ (. 5 ale skäde? σ Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert Novotý, http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr

8 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 3. Počítajme: g = ( S σ = σ def. ( == σ (X i X = σ [ ] (X i a + ( X a (X i a( X a ( = σ (X i a ( X a (X i a + ( X a Použijeme teraz trik: upravíme sumu (X i a: ( (X i a = X i a = a pokračujeme vo výpočte g ((X i a ( X a ( ( X i a = ( X a ( g = σ (X i a ( X a (X i a + ( X a 5 ( = σ (X i a ( X a + ( X a 5 = = ( Xi a ( X a σ σ ( ( Xi a X a σ σ V poslede uvedeom rozdieli má mešeec rozdeleie χ ( (pozri začiatok dôkazu bodu. Ak sa pozrieme do mešiteľa a výraz pod mociou, tak vidíme, že teto výraz má rozdeleie N(0,. Jeho mocia má však rozdeleie χ ( 6?. Celý rozdiel má teda tiež rozdeleie χ ( 7, čo sme chceli dokázať. 4. Z vlastostí t-rozdeleia vzťah (4. vieme, že T = X X i t(, ak X N(0, a sú X i sú ezávislé. ( je potrebé dopísať dôkaz Veta 7.4 Nech V Ex(δ. Potom g = X δ χ (. Dôkaz: Dôkaz vykoáme metódou charakteristických fukcií. Z vlastostí rozdeleí platí: 6 Je iekde vpredu taká veta 7 Je veta o tom, že súčet zachováva rozdeleie? X Ex(δ akk ϕ X (t = itδ (7.4 Y χ ( akk ϕ Y (t = ( it / (7.5 Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.

8 TEÓRIA ODHADOV 9 Platí: ϕ g (t = ϕ X (t = ϕ σ σ = ϕ X (t. Predstavme si čley v dolom idexe v tvare i σ X i ax + b (a = /σ, X bude tvoriť suma, a b bude ulové. Veta??, bod 3. hovorí, že ϕ ax+b = ( e itb ϕ X (at. Použijeme ju a áš prípad: ϕ g (t = e 0 ϕ X σ t vl. ϕ == ϕ ( X i δ t. Použijeme i teraz predpoklad o expoeciálom rozdeleí a teda posledý ϕ g (t = i ( δ t δ = it }{{} košt. pre i = ( = it ( it Ak sa pozrieme a posledý čle a a rovosť v (??, zistíme, že ϕ g (t je práve v tomto tvare, až a parameter, ktorý je v posledom člee dvojásobý. Preto 8 Teória odhadov g = X σ χ (. Úlohou teórie odhadov je a základe áhodého výberu V čo ajlepšie odhadúť ezámy parameter θ rozdeleia F (x, θ. Rozozávame dva typy: bodový odhad itervalový odhad 8. Bodové odhady Úlohou bodového odhadu je ahradiť ezámu hodotu parametra θ hodotou vhode zvoleej štatistiky. Defiícia 8. Nech V F (x, θ, kde θ Θ. Bodovým odhadom parametra θ azývame ľubovoľú vhode zvoleú fukciu áhodého výberu (štatistiku g, takú, že g = g(x,..., X Kritéria vhodosti bodového odhadu estraosť (evychýleosť kozistetosť výdatosť... Defiícia 8. Nech V F (x, θ, kde θ Θ. Hovoríme, že bodový odhad g = g(x,..., X je estraým (evychýleým odhadom parametra θ, ak platí: E(g = E(g(X,..., X = θ Defiícia 8.3 Hovoríme, že bodový odhad g = g(x,..., X je asymptoticky estraým odhadom parametra θ rozdeleia F (x, θ, ak platí: lim E(g(X,..., X = θ Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert Novotý, http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr

30 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri Defiícia 8.4 Hovoríme, že bodový odhad g = g(x,..., X je ajlepším estraým odhadom parametra θ rozdeleia F (x, θ, ak platí:. E(g = θ. D(g D(g, pre g ľubovoľý estraý odhad Defiícia 8.5 Hovoríme, že bodový odhad g = g(x,..., X je kozistetým odhadom parametra θ rozdeleia F (x, θ, ak platí: ε > 0 : lim P ( E(g θ ε = 0 Pozámka 8. Na určeie kozistetosti bodového odhadu sa epoužíva defiícia, ale postačujúca podmieka: lim E(g = θ & lim D(g = 0 g je kozistetý odhad Metóda hľadaia vhodého bodového bodového odhadu metóda maximálej vierohodosti Defiícia 8.6 Nech áhodý výber V pochádza z rozdeleia daého hustotou (zákoom rozdeleia f i (x i, θ, kde θ Θ. Vierohodostou fukciou azývame fukciu L(x, θ = L(x,..., x, θ = f i (x i, θ Defiícia 8.7 Maximále vierohodým odhadom parametra θ rozdeleia F (x, θ azývame taký bod θ, v ktorom vierohodostá fukcia adobúda maximum, t. j. Hľadaie θ. L(x,θ θ = 0 θ= θ θ Θ : L(x, θ L(x, θ. L(x,θ θ θ= θ < 0 V prípade, že hustota je expoeciáleho typu, tak θ ájdeme ako bod, v ktorom adobúda maximum fukcia l L(x, θ. Príklad 8. Nech V Po(λ. Nájdite maximály vierohodý odhad parametra λ. Riešeie: X Po(λ p k = P (X = x k = λk k! e λ. Počítajme vierohodostú fukciu: L(x, λ = λ xi x i! e λ = x i λ i=i (x i! e( λ V tomto prípade bude výhodejšie počítať maximum logaritmu vierohodostej fukcie. x i l(l(x, λ = l λ l (x i! λ = x i l λ l (x i! λ Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.

8 TEÓRIA ODHADOV 3 Na ájdeie maxima tejto fukcie je potrebé ájsť body, v ktorej adobúda prvá derivácia ulovú hodotu a z ich vybrať bod, v ktorom druhá derivácia je záporá. Overeie druhej derivácie: λ l L(x, λ = x i λ λ x i = 0 λ = x i = X λ= λ l L(x, λ λ λ= λ = λ x i λ= λ čiže aozaj: X je maximálym vierohodým odhadom parametra λ. 8. Itervalové odhady Cieľom je a základe realizácie áhodého výberu V skoštruovať taký iterval (θ, θ, ktorý s vopred daou pravdepodobosťou obsahuje ezámy parameter θ. Defiícia 8.8 Nech áhodý výber V F (x, θ, kde θ Θ. Iterval (θ, θ, kde (θ, θ, pre ktorý platí < 0 P (θ < θ < θ θ=θ0 = α, (8.6 kde α (0,, θ 0 je skutočou hodotou parametra θ a θ, θ 0 Θ; sa azýva 00 ( α%-ý iterval spoľahlivosti pre parameter θ. Číslo α sa azýva koeficiet spoľahlivosti. Pozámka 8.3 Číslo α si volíme ajčastejšie α = 0,05 (príp. 0,0 alebo 0,, tz. dostaeme 95% (90%, 99% iterval spoľahlivosti. Postup pri koštrukcii itervalu spoľahlivosti. Vychádzame z ejakého vhodého bodového odhadu parametra θ. Doplíme bodový odhad a vhodú štatistiku g 3. Nájdeme čísla g, g také, že P (g g = α, P (g g = α, (8.7 kde α + α = α, g < g, α, α, α (0,, g, g R. 4. Sčítaím rovíc (7. a (7.3 dostaeme P (g g + P (g g = α + α = α P (g < g < g = α Zo vzťahu (?? ekvivaletými úpravami získame tvar (7.. P (g < g < g = α (8.8 Čísla g, g vo vzťahu (7.3 sú vlaste kvatily, ak distribučá fukcia štatistiky g je spojitá a rastúca. Zo spojitosti distribučej fukcie tiež vyplýva, že P (g g = α = P (g < g, čo je vlaste iverzá fukcia F. Teda F (g = α g = F (α, Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert Novotý, http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr

3 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri g je α -kvatil štatistiky g. Z podmieky P (g g = α vyplýva, že P (g < g = α, čo je ekvivaleté tomu, že F (g = P (g < g = α. Ďalej opäť použijeme spojitosť a rýdzu mootóosť fukcie F, a obe stray rovosti aplikujeme F. g je teda ( α -kvatil štatistiky g. F (F (g = F ( α g = F ( α Príklady koštrukcie pre itervaly spoľahlivosti. V N(a, σ. Pre itervaly spoľahlivosti rozdeleia N(a, σ máme 4 prípady: (a iterval spoľahlivosti pre parameter a, ak σ je záme (b iterval spoľahlivosti pre parameter a, ak σ je ezáme (c iterval spoľahlivosti pre parameter σ, ak a je záme (d iterval spoľahlivosti pre parameter σ, ak a je ezáme. V Ex(δ. V N(a, σ (a Hľadáme iterval spoľahlivosti pre parameter a, ak σ je záme. Postup: i. Vhodým bodovým odhadom pre a je X. ii. Vhodou štatistikou je g = X a σ N(0, iii. g = u α, g = u α (u-kvatily sú kvatily ormovaého ormáleho rozdeleia iv. Má platiť: P (g < g < g = α P (u α < X a σ < u α = α Naším cieľom je vyjadriť parameter a: ( σ P u α < X a < σ u α = α ( σ P u α X < a < σ u α X = α P ( X σ u α < a < X σ u α = α < a Teraz využijeme vlastosť, že u α = u α (ormovaé ormále rozdeleie je symetrické: P ( X σ u α < X + σ u α = α Iterval spoľahlivosti je teda ( X σ u α ; X + σ u α Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.

8 TEÓRIA ODHADOV 33 (b Hľadáme iterval spoľahlivosti pre parameter a, ak σ je ezáme. i. Vhodým bodovým odhadom pre a je X. ii. Vhodou štatistikou je g = X a S t( (S slúži ako odhad pre ezámy parameter σ iii. g = t α (, g = t α ( iv. Má platiť: P ( t α ( < X a < t α ( = α S Výsledý iterval spoľahlivosti (určíme ho podobe ako v predchádzajúcom prípade: X S t α ( < a < X + S t α ( (c Hľadáme iterval spoľahlivosti pre parameter σ, ak a je záme. i. Vhodým bodovým odhadom pre σ je S0 = (X i a, kde a = E(X i = košt ii. Vhodou štatistikou je g = S 0 σ iii. g = χ α (, g = χ α ( iv. Má platiť: P χ ( ( χ α ( < S 0 σ < χ α ( = α V tomto prípade však musíme dať pozor ato, že rozdeleie χ ie je symetrické. Výsledý iterval spoľahlivosti bude teda po úpravách: P ( S 0 χ α ( < σ < S 0 χ α ( = α (d Hľadáme iterval spoľahlivosti pre parameter σ, ak a je ezáme.. V Ex(δ i. Vhodým bodovým odhadom pre σ je S ii. Vhodou štatistikou je g = ( S σ χ ( iii. g = χ α (, g = χ α ( iv. Má platiť: P ( χ α ( < ( S σ < χ α ( = α Opäť musíme vziať do úvahy asymetriu rozdeleia χ. Výsledý iterval spoľahlivosti po úpravách: P ( ( S χ α ( < σ < ( S χ = α α ( Teraz máme le jede prípad - budeme odhadovať parameter δ i. Vhodým bodovým odhadom δ je X ii. Vhodou štatistikou je g = X δ iii. g = χ α (, g = χ α ( χ ( Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert Novotý, http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr

34 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri iv. Má platiť: P ( χ X α ( < < χ α δ ( = α Výsledý iterval spoľahlivosti: ( X P χ α ( < δ < X χ = α α ( Pozámka 8.4. Iterval spoľahlivosti má byť čo ajkratší, pre symetrické rozdeleia typu N(0,, t( to astáva pre α = α = α, Takéto hodoty sa však používajú aj pri esymetrickom rozdeleí χ (.. Ak chceme odhad le z jedej stray, použijeme taký istý postup. Odvodeé odhady sú obojstraé. Možo však uvažovať aj jedostraý odhad (resp. jedostraý iterval spoľahlivosti, kedy ezámy parameter je odhad iba zdola (príp. iba zhora. Potom rozozávame ľavostraý 8 iterval spoľahlivosti (zdola položíme α = α, α = 0 pravostraý iterval spoľahlivosti (zhora položíme α = 0, α = α Príklad 8.5 Podik dodáva do obchodu balíčky sušieok, ktorých hmotosť má rozdeleie N(a, 5. Náhodým výberom 5 balíčkov sa zistila priemerá hmotosť 50 g. Určte:. 95%-ý iterval spoľahlivosti pre stredú hmotosť. horú medzu stredej hmotosti, ktorá z pravdepodobosťou 0,95 ebude prekročeá 3. aký by mal byť miimály rozsah výberu, ak chceme zaručiť chybu odhadu stredej hmotosti mešiu ako g s pravdepodobosťou 0,95 Riešeie: Zo zadaia V N(a, 5, = 5.. Chceme iterval spoľahlivosti pre parameter a, ak σ = 5 (je záme te je takýto: X σ u α < a < X + σ u α Bodovým odhadom a je X = 50, σ = 5, = 5. Chceme 95%-ú spoľahlivosť, teda α = 0,95 = 0,05, α/ = 0,05. Môžeme dosadiť: 50 u α < a < 50 + u α Kvatily ájdeme v tabuľkách a po dosadeí ám vyjde požadovaý iterval spoľahlivosti: 48,04 < a < 5,96. Na výpočet horej medze potrebujeme vlaste určiť pravostraý iterval spoľahlivosti. Využijeme výpočet z predchádzajúceho bodu: a < X + σ u α Teraz však položíme α = α = 0,05. Dosadíme, kvatily ájdeme v tabuľkách a získame 8 Pozor! V publikácii Potocký a kol. je to aopak! a < 5,64 Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.

9 TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ 35 3. Opäť vyjdeme z obojstraého itervalu spoľahlivosti, ktorý si však predstavíme v tvare X < a < X +, = σ u α Podľa zadaia chceme, aby < a hľadáme. Po dosadeí a výpočte získame > 96. 9 Testovaie štatistických hypotéz 9. Základé pojmy a metódy Štatistická hypotéza H každý predpoklad týkajúci sa rozdeleia F (x, θ, z ktorého V pochádza. Testovaie štatistických hypotéz overovaie správosti ášho predpokladu Testovacie kritérium g(x,..., X je vhode zvoleá štatistika Kritický obor W je tá časť možiy všetkých realizácií áhodého výberu V, ktoré vedie k zamietutiu testovaej hypotézy. Kritická hodota k α tá hodota, ktorá delí možiy všetkých realizácií V a kritickú oblasť a jej doplok. Nulová hypotéza H 0 testovaá hypotéza. Alteratíva hypotéza H hypotéza, ktorú staviame proti ulovej hypotéze (H emusí byť doplok H 0 9. Chyby pri testovaí štatistických hypotéz. chyba. druhu testovaú hypotézu H 0 zamietame, hoci je správa. chyba. druhu hypotézu H 0 ezamietame, hoci je espráva Defiícia 9. Pravdepodobosť chyby. druhu je číslo α a azýva sa hladia výzamosti testu. Pravdepodobosť chyby. druhu je číslo β α = P (g 0 W H 0 β = P (g 0 / W H a číslo β sa azýva sila testu ( β = P (q 0 W H pravdepodobosť, že správe zamietam ulovú hypotézu Pozámka 9. Ideále by bolo, keby sa dalo α, β súčase miimalizovať. Dá sa ukázať, že zižovaím α sa zvyšuje β a aopak. Preto sa zvolí α ľubovoľe malé a hľadá sa kritický obor, ktorý zabezpečí pre daé α miimále β. Dostaeme ajlepší kritický obor a hladie α oz. W α, W 0. Najčastejšou voľbou je α = 0,05, príp. 0,, resp. 0,0. Postup pri testovaí štatistických hypotéz. vysloviť hypotézy H 0, H. zvoliť testové kritérium g a hladiu výzamosti α 3. ájsť ajlepší kritický obor W 0 9 Napr. môžeme položiť ulovú hypotézu stredá hodota je 5 a alteratívu hypotézu stredá hodota ie je 5 v tomto prípade je alteratíva hypotéza doplkom ulovej. V prípade stredá hodota je 5 a stredá hodota je väčšia ako 5, už alteratíva hypotéza doplkom ie je. Zostaveé dňa. júla 003, :. Zostavil Róbert Novotý, http://skmi.sciece.upjs.sk/ ovotyr

36 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA pozámky z predášok v letom semestri 4. zistiť, či realizácia testovacieho kritéria g je z W 0 a urobiť záver pre prax (a ak g 0 W 0, potom H 0 zamietame a prijímame H (b ak g 0 / W 0, potom H 0 ezamietam a daej hladie výzamosti (slabší záver. Môžeme urobiť ový výber alebo zmeíme hladiu výzamosti. Deleie testov. podľa toho, čo testujú (a parametrické testy (b eparametrické testy. podľa počtu zrealizovaých výberov (a jedovýberové (b dvoj- a viacvýberové 9. Niektoré parametrické testy (jedovýberové Budeme predpokladať, že výber pochádza buď z ormáleho alebo expoeciáleho rozdeleia, teda V N(a, σ, resp. V Ex(δ. Parametrický test testuje ezámy parameter θ rozdeleia F (x, θ pre θ Θ, z ktorého výber V pochádza. Uvažujme hypotézu H 0 : θ = θ 0, kde θ 0 je skutočá hodota parametra (alebo hodota, o ktorej si myslím, že je skutočá :-. Potom pre H prichádza do úvahy jeda z asledových hypotéz: H : θ θ 0, H : θ > θ 0, H : θ < θ 0 Prvá z uvedeých hypotéz je tzv. obojstraá alteratíva hypotéza, zvyšé dve sú jedostraé alteratíve hypotézy. Hypotéza H 0 je tu azývaá jedoduchou hypotézou, ostaté zase zložeými alteratívymi hypotézami. 9.. Metódy hľadaia ajlepšieho kritického oboru W 0. Neyma-Pearsso pri jedostraých alteratívych hypotézach. test podielom (pomerom vierohodostí pri obojstraých alteratívych hypotézach Neymaova-Pearssoova metóda. Za kritický obor vezmeme: { W 0 = X : L(X, θ } L(X, θ 0 c(α, kde θ 0 je skutočá hodota parametra θ, θ je hodota θ v alteratívej hypotéze a c(α je koštata závislá iba od hladiy výzamosti (malo by byť c(α 0, iak ie je čo odhadovať. V dôkaze sa ukáže, že W 0 v tomto tvare zaručí miimále β. Podiel vierohodostí. Kritický obor položíme: { L(X, W 0 = X : θ } L(X, θ 0 L (α, kde θ je maximály vierohodý odhad parametra θ, θ 0 je skutočá hodota θ a L (α je koštata závislá iba od hladiy výzamosti. L (α, lebo podľa defiície L(X, θ > L(X, θ 0. Predáša RNDr. Valéria Skřiváková, CSc., Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice. Neautorizovaý text.