Tit Tihon CNRV Roman FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE. Caracteristici vizibile observate PUNCTAJ ACORDAT

Tit Tihon CNRV Romn FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE Nr. crt 5 6 7 8 9 0 Nr. crt Nr. crt Crcteristici vizibile observte PUNCTAJ ACORDAT preciere D+ Nu Observţii privind preciere folosire mnulului D+ Nu PUNCTAJ ACORDAT Observţii privind preciere folosire citului de notiţe D+ Nu PUNCTAJ ACORDAT Tit Tihon CNRV Romn 7

5 6 7 5 6 7 CALITATEA ACTIVITĂŢII -verificre orlă PUNCTAJ ACORDAT CALITATEA ACTIVITĂŢII -verificre l tblă Interesul pentru obiect PUNCTAJ ACORDAT PUNCTAJ ACORDAT Absenţe nemotivte Comportment l or de clsă PUNCTAJ ACORDAT PUNCTAJ ACORDAT TOTAL PUNCTAJ PUNCTAJ PUNCTAJ PUNCTAJ 8

Tit Tihon CNRV Romn CAIET DE PROGRES SCOLARC Funcţi eponenţilă şi funcţi logritmică. Funcţi eponenţilă ) Puteri cu eponent nturl nenul; ) Semnul puterii cu eponent nturl; ) Putere produsului şi câtului două numere rele; ) Înmulţire puterilor cre u ceşi bză; 5) Ridicre unei puteri l ltă putere; 6) Împărţire puterilor cu ceeşi bză; 7) Comprre puterilor; 8) Funcţi putere. 9) Puteri cu eponent negtiv; 0) Funcţi putere de eponent negtiv.. Logritmi ) Rdiclul unui număr pozitiv; ) Funcţi rdicl; ) Rdiclul de ordin impr l unui număr negtiv ; ) Proprietăţile rdiclilor ; 5) Operţii cu rdicli ; 6) Ecuţii irţionle.. Ecuţii şi inecuţii eponenţile şi logritmice ) Puteri cu eponent rţionl pozitiv; ) Puteri cu eponent rţionl negtiv; ) Funcţi putere de eponent rţionl. Sisteme inecuţii eponenţile şi logritmice. Inecuţii. 5. Aplicţii. Evlure. Test de evlure Nrumăr de ore: h Tit Tihon CNRV Romn 9

0

Tit Tihon CNRV Romn LECŢIA Timp de studiu 50 minute CAPITOLUL. Funcţi eponenţilă ). Puteri cu eponent rel ). Puteri cu eponent rel pozitiv Fie >. Se numeşte putere lui un număr rel cre, pentru orice număr nturl n, stisfce ineglităţile :,,, n n <, unde numărul rel >0 re reprezentărie zecimle şi prin lipsă şi repectiv prin n dos cu o erore mi micş decât 0. Numărul dt de definiţi precedentă se noteză şi se citeşte l putere. Fie 0 < < şi un număr rel pozitiv. Se numeşte putere lui un număr rel cre, pentru orice număr nturl n, stisfce ineglităţile : Atenţie! Oricre r fi > 0 şi > 0 re loc > 0.,,, n n <. b). Puteri cu eponent rel negtiv Dcă > 0 şi > 0 este un număr rel negtive, tunci prin definiţie re loc: =. Prin convenţie se scrie 0 =. c). Proprietăţi le puterilor cu eponent rel. + = ;. : = ;. ( ) = ;. ( b) = b ; 5. : = ( ) : ( b ). Tit Tihon CNRV Romn

). Funcţi eponenţilă Definiţie. Funcţi f:r (0,+ ), f() =, unde > 0, se numeşte funcţi eponenţilă de bză. Proprietăţi ). ). Dcă >, tunci pentru > 0 vem > r loc >, ir pentru < 0 re loc <. b). Dcă 0 < <, tunci pentru > 0 vem <, ir pentru < 0 vem >. ). Dcă = 0. tunci oricre r fi > 0 re loc 0 = ). Pentru >, funcţi eponenţilă f:r (0,+ ), f() = este strict crescătore, ir pentru 0 < <, funcţi este strict descrescătore. ). Funcţi eponenţilă f:r (0,+ ), f() =, > 0, este bijectivă. Demonstrţie.Se rtă că f este injectivă. Fie,, R stfel încât. Atunci re loc < su >. Să presupunem, de eemplu, că <. Atunci, după monotoni funcţiei eponenţile, rezultă că : ). Dcă >, tunci f ( ) < f ( ) şi deci f ( ) f ( ). ). Dcă 0<>, tunci f ( ) > f ( ) şi deci f ( ) f ( ). Anlog, rezultă pentru >. Deci f este injectivă. Surjectivitte nu se pote demonstr în cls X-. Dr, dcă se foloseşte grficul, se observă că oriceprlelă dusă prin punctele codomeniului (0, + ) grficul funcţiei este interesctt în cel puţin un punct. 5). Funcţi eponenţilă f:r (0,+ ), f() =, > 0, este inversbilă. Invers funcţiei eponenţile se numeşte funcţie logritmică. ). Grficu funcţiei eponenţile Grficul funcţiei eponenţile se construieşte prin puncte. Eemplu. Să se construiscă grficul funcţiei f:r (0,+ ), f() =, pentru Se întocmeşte un tblou de vlori pentu cele două czuri :,.

Tit Tihon CNRV Romn 0 + f() 8 8 0 + f() 7 7 Grficele celor două funcţii sunt reprezentte mi jos : f()= f()= 7 F 7 B C D E B C D E O O Anlizând cele două grfice, consttăm că ele u următorele proprietăţi :. Grficele se găsesc desupr ei O ;. Trec prin punctul de coordonte (0, ) ;. Grficul fiecărei funcţii este construit dintr-o singură rmură cre,,urcă Tit Tihon CNRV Romn

. Grficul se propie din ce în ce mi mult de O pozitivă dcă dcă 0<< şi de O negtivă dcă >. CE TREBUIE SĂ ŞTIM m n. Orice putere rţionlă de form se pote scrie sub form unui rdicl de form n m.. Dcă > este un număr rel, tunci dintre două puteri cu eponent rţionl pozitivle le cestui număr, este mi mre cel l cărei eponent este mi mre.. Dcă 0 < < este un număr rel, tunci dintre două puteri cu eponent rţionl pozitivle le cestui număr, este mi mre cel l cărei eponent este mi mic.. Prin numărul rel = se înţeleg proimările: <,,,,5 <,, <,5... <,,, <,5 <, <,5...

Tit Tihon CNRV Romn LECŢIA.. Probleme rezolvte.capitolul. E. C-. Ce se înţelege prin numărul rel E. C-. Rezolvre <,,,,5 <,, <,5... = se înţeleg proimările:,5, <,5 < <,, <..., E. C-. Să se demonstreze că funcţi f:r (0,+ ), f() = este strict crescătore. E. C-. Rezolvre. Din <, rezultă că eistă u > 0 stfel încât = + u. + u Atunci u = = ( ) şi deorece u > 0 după propriette funcţiei u eponenţile rezultă că >. Aşdr, u > 0 < 0, de unde ( u ) < 0. Însemnă că < 0 < f ) < f ( ) f strict crescătore. ( 8 E. C-. Să se ducă l form ce mi simplă ( ) E. C-. Rezolvre. Avem succesiv: 8 6. Tit Tihon CNRV Romn 5

( ) 8 8 6 8 6 8 = ( ) 8 6 = 8 8 6 = ( 8) 8 6 = ( ) 8 8 6 = = = = =. E. C-. Să se compre m şi n dcă este devărtă inegitte: m n ( ) ( ). 8 6 = E. C-. Rezolvre. Bz fiind subunitră 0 < <, pentru devărul ineglităţii rezultă m n. E5. C-. Să se fle mulţime vlorilor lui pentru cre: (0,0) ( 0) <. E5. C-. Rezolvre. Avem succesiv : (0,0) ( 0) < 0 < ( 0 ) 0 < 00 6 + 0 0 0 < 0 < 0 6 + < 0 E6. C-. Sunt echivlente ineglităţile 9 > (,). şi <? 6 6 6

Tit Tihon CNRV Romn LECŢIA..Fişă de studiu.....capitolul S. C-. Să se fle cre număr din perechile de numere este mi mre:,5 ). (0,5) şi ; b). 5 şi 5 ; c). 6 şi 5 6 7. S. C-. Să se fle mulţime vlorilor lui pentru cre este devărtă ineglitte : ). 79 b). > ; c). ( ) > 0, 5. 8 S. C-. Să se compre m şi n dcă este devărtă ineglitte: m m n ). ( π ) (π ) b). 5π 5π m n > ; c). ( 7 ) ( 7 ). 6 6 S. C-. Comprţi numerele cu : ). ( 5) b). 5 5 n π + ; c). ( ) ; d. S5. C-. Să se fle stfel încât >, unde >0 este un număr rel pozitiv. S6. C-. Să se demonstreze că funcţi f:r (0,+ ), f() = este strict crescătore. S7. C-. Să se studieze monotni funcţiiei f:r (0,+ ), f() = 5 S7. L-. Să se trseze grficul funcţiilor f : R R : ). ( ) = ; b). f f ( ) = ; c). f ( ) = ; d). ( ) = f ; e). f ( ) = ; c). f ( ) =. S7. C-. Să se trseze grficul funcţiilor f : R R : ). f ( ) = ; b). d). f ( ) = + ; e). f ( ) = ; c). f ( ) = ; f ( ) = ; c).. + f ( ) =. Tit Tihon CNRV Romn 7

8 REZOLVAŢI PROBLEMELE PROPUSE LA FIŞA DE STUDIU REZOLVARILE SE PUNCTEAZA PENTRU NOTA FINALA

Tit Tihon CNRV Romn Tit Tihon CNRV Romn 9

0

Tit Tihon CNRV Romn Tit Tihon CNRV Romn

Tit Tihon CNRV Romn LECŢIA.Timp de studio 50 minute CAPITOLUL Logritmi ). Logritmi Fie >0 un număr relşi. Ecuţi de form = N, N > 0 () re o soluţie unic determintă nottă prin: = log N (). log N se numeşte logritmul numărului pozitiv N în bz. log N Din () şi () se obţine = N, cre ne rtă că logritmul unui număr rel pozitiv este eponentul l cre trebuie ridictă bz pentru obţine numărul dt. De eemplu, clcul log,însemnă găsi un număr rel ş încât să vem =. rezultă = 5. ). În prctică se folosesc logritmii în bz zece cre se mi numesc logritmi zecimli. Se noteză cu lg în loc de log 0 ). În mtemtică se folosesc logritmii în bz e =,788... cre se numesc logritmi nturli şi se noteză cu ln în loc de log e. ). Proprietăţile logritmilor. Dcă A şi B sunt două numere positive, tunci re loc: log ( A B) = log A + log B. Propriette se pote etinde pentru n numere pozitive A...,, A, An şi vem : log ( A A... An ) = log ( A ) log ( A )... log ( A n). A. log = log A log B. B. Dcă A este un număr pozitiv şi m un număr rel rbitrr, tunci re loc : m log A = mlog B.. Dcă A este un număr pozitiv şi n un număr nturl, tunci re loc : n log A = log A. Propriette pote fi privită c un cz prticulrl proprietăţii. n Tit Tihon CNRV Romn

). Scimbre bzei logritmului celuişi număr Dcă şi b sunt două numere pozitivediferite de, ir A un număr pozitiv orecre, re loc eglitte: log A = logb A log b Numită formul de schimbre bzei unui logritm. Dcă în eglitte de mi sus, A =, tunci formul devine ; log b log b = log b =. logb ). Operţi de logritmre unei epresii Operţi de logritmre re scopul de trnsform operţii complicte de înmulţire, împărţire şi ridicre l putere în operţii de dunre, scădere şi împărţire l numere nture. 5 5 5 Să se logritmeze epresi: E = 7 7 Se logritmeză epresi într-o bză orecre : 5 5 5 log E 5 = log = log (5 5) log ( 7 7) = 7 7 = 5 log 5+ log + log 5) (log + log 7+ log 7) = = log 5+ log + log 5 log + log 7+ log 7) 5. În generl, dcă E este o epresie lgebrică în cre pr produse de puteri şi rdicli, putem să-i sociem o epresie, nottă loge, în cre pr sume, diferenţe de logritmi înmulţite cu numite numere rţionle. 5). Funcţi logritmică Prin definiţie, se numeşte funcţie logritmică funcţi unde > 0,. f : R (0, + ), f ( ) = log,

Tit Tihon CNRV Romn Proprietăţi :. f ( ) = 0, cee ce însemnă că log = 0.. Funcţi logritmică este monotonă şi nume dcă >, funcţi este strictcrescătore, ir dcă 0< <, funcţi este strict descrescătore.. Funcţi logritmică este bijectivă.. Funcţi logritmică este inversbilă. Inversfuncţiei ligritmice în bz este funcţi eponenţilă f : (0, + ) R, f ( ) =. log Dcă ( 0, + ) vem ( g ο f )( ) = g( f ( )) = g(log ) = = şi dcă R, tunci ( f ο g)( ) = f ( g( )) = f ( ) = log =. 6). Grficu funcţiei eponenţile Grficul funcţiei eponenţile se construieşte prin puncte. Eemplu Să se construiscă grficul funcţiei f: (0,+ ) R, f()= log Se întocmeşte un tblou de vlori pentu cele două czuri : 0 8, pentru,. 8 + f() 0 0 8 8 + f() 0 Grficele celor două funcţii reprezentte mi jos u proprietăţile : ).Grficele se găsesc l drept ei O ; ).Trec prin punctul de coordonte (, 0) ; Tit Tihon CNRV Romn 5

).Grficul fiecărei funcţii este construit dintr-o singură rmură cre,,urcă dcă bz > şi,,coboră dcă bz 0<< f()= log f()= log ).Grficul se propie din ce în ce mi mult de O pozitivă dcă 0<< şi de O negtivă dcă >. 5).Grficul funcţiei logritmice este simetricul grficului funcţieieponenţile fţă de prim bisectore. 6

Tit Tihon CNRV Romn LECŢIA...Probleme rezolvte..capitolul E. C-. Să se clculeze: ). log 8 ; b). log ; c). log 0 0, 00. 7 6 E. C-. Rezolvre. ). log 8 = = 8 = = 6; b). log = = = = ; c). log 0 0, 00= 7 7 0 = 0,00 0 = 0 =. 5 E. C-. Să se clculeze: ). log000 log5; b). log 8 ; c). log6 + log6 ; d). lg5 + lg5 lg5. 5 E. C-. Rezolvre 000 ). log 000 log 5= log = log 8 = log = log = = 5 5 b). log 8 = log 8 = log = = ; 5 5 5 5 c). log6 + log6 = log6 = log6 = log6 6 = = 5 5 6 5 d). 5 5 5 5 lg 5 + lg5 lg 5 = lg = lg = lg 5 = lg 5 5 5 log E. C-. Să se rte că epresi E = nu depinde de. log E. C-. Rezolvre. Avem log log E = = = =. log log log log E. C-. Să se reprezinte pe celşi sistem de e grficele funcţiilor : f : (0, + ) R, f ( ) = şi : R (0, + ), f ( ) = log. g E. C-. Rezolvre. Se întocmesc tbele de vlori pentru cele două funcţii, considerând vlori cre să se potă clcul uşor. Tit Tihon CNRV Romn 9 7

0 + f() 7 9 9 7 0 7 9 9 + g() 0 Grficele celor două funcţii sunt simetrice fţă de prim bisectore sistemului de e O. G f = G g O 8

Tit Tihon CNRV Romn LECŢIA.. Fişă de studiu...capitolul S. C-. Să se clculeze: 7 ). log 5 + log ; b). log6 7 log6 ; 5 6 c). log0, 50 log0, 0, 5; d). log log log. + S. C-. Cre dintre următorele numere este mi mre: ). log 5 su log ; b). log5 su log5 ; 5 7 c). su log 0 ; d). su log 7 ; S. C-. Să se determine vlorile lui pentru c următorii logritmi să ibă sens : ). log ( ) ; b). log( + ) ; c). log(log ) ; d). log (log ). S. C-. Determinţi vlorile lui pentru cre: ). log > log ; b). log ( + 6) > ; c). log6 ( log6( + ) ; d). log () 0. S5. C-. Ştiind că lg7 = p şi lg5 = q, să se eprime în funcţie de p şi q ). lg 0, 7 ; b). lg 7 ; c). lg 75 ; d). lg 7 5. S6. C-. Să se determine epresi lui stfel încât ; ). log = log + log log 5; b). log = log + log( + b) log( b) ; c). log = log 7 + log 6 log 5 S7. C-. Să se rte că epresiile următore nu depend de log7 log + log ). E = ; b). F =. log8 log + log S8. C-. Să se logritmeze epresiie: Tit Tihon CNRV Romn 9

). E = 5 ; b). 5 7 F = ; b b ( b) c). T = ; d). S = ( + b) b b b S8. C-. Să se reprezinte grphic funcţiile: ). f (, + ) R, f ( ) = log ( ) ; b). c). : + f : (0, = log + ) R, f ( ) ; R \ {0} R, f ( ) 5 ; f : = log d). f R \ {} R, f ( ) = log. : 6 + b. b REZOLVAŢI PROBLEMELE PROPUSE LA FIŞA DE STUDIU REZOLVARILE SE PUNCTEAZA PENTRU NOTA FINALA 0

Tit Tihon CNRV Romn Tit Tihon CNRV Romn

Tit Tihon CNRV Romn Tit Tihon CNRV Romn

Tit Tihon CNRV Romn Tit Tihon CNRV Romn 5

6

Tit Tihon CNRV Romn LECŢIA Timp de studiu 50 minute..capitolul Ecuţii ). Ecuţii eponenţile Se numeşte ecuţie eponenţilă, ecuţi în cre necunoscut este eponent su în cre este eponentul este o epresie. În prctică, tunci când vem de rezolvt o ecuţie eponenţilă, vom proced stfel : Psul. se impun condiţii de eistenţă eponenţilor şi bzei tunci când este czul ; Psul. se fc trnsformări echivlente folosind proprietăţie funcţiei eponenţile până se obţin ecuţii gebrice cunoscute ; Psul. se verifică dcă vlorile obţinute l psul prţin domeniului ecuţiei su se fc veificări în ecuţi dtă iniţil. ( ) ). Ecuţii de tipul f = b, > 0,, b > 0. Pe bz injectivităţii funcţiei eponenţile ecuţi dtă este echivlentă cu ecuţi : f ( ) = log b. În ceste ecuţii b trebuie eprimt c o putere ui (tunci când este posibil). Eemplu. Să se rezolve ecuţi : 5 = 65. 5 = 65 5 = 5 = 6 = 0. Prin rezolvre ecuţiei de grdul doi se obţin soluţiile : S = {,}. f ( ) g ( ) b). Ecuţii de tipul =, > 0,. Pe bz injectivităţii funcţiei eponenţile ecuţi dtă este echivlentă cu ecuţi lgebrică f ( ) = g( ), cre se rezolvă cu metode cunoscute. Eemplu. Să se rezolve ecuţi : = 9. = 9 ( ) = = ( ) 6 = 0. Prin rezolvre ecuţiei de grdul doi se obţin soluţiile : S = {0,6}. f ( ) g( ) c). Ecuţii de tipul = b, > 0,, b > 0, b. În cest cz se logritmeză ecuţi convenbil întro numită bză şi poi se fc trnsformări pentru obţine o ecţie lgebrică mi simplă. Tit Tihon CNRV Romn 7

Eemplu. Să se rezolve ecuţi : = +. Pe bz injectivităţii funcţiei logritmice se obţine prin logritmre în bz 0 ecuţi echivlentă : lg lg = ( + )lg (lg lg ) = lg =. lg lg d). Ecuţii de tipul f ( ) f ( ) m + n + p = 0, > 0,, m, n, p R. ( ) În cest cz se fce substituţi f = t, t > 0 şi se formeză o ecuţie de grdul doi, de form mt + nt + p + 0, cu soluţiile cărei se revine l substituţi făcută. În finl se verifică dcă vlorile obţinute verifică condiţiile de eistenţă le ecuţiei su se verifică direct dcă eglitte dtă iniţi este devărtă. Eemplu. Să se rezolve ecuţi : + = 7. Se observă o substituţie de form = t, t > 0: 8 + = 7 ( ) + = 7 ( ) + 7 = 0. Ecuţi de grdul doi tştă t + t 7 = 0, re soluţiile t { 7,6}. Revenind l substituţie, se cceptă numi t = 6. Se obţine = 6 =. d). Ecuţii de tipul f ( ) g ( ) + b + c = 0, > 0,, b > 0, b. Ecuţi de grdul doi tştă t + t 7 = 0, re soluţiile t { 7,6 }. Revenind l substituţie, se cceptă numi vlore pozitivă t = 6. Se obţine = 6 =. ). Ecuţii logritmice Se numeşte ecuţie logritmică, ecuţi în cre necunoscut este sub logritm su l bz logritmului. În prctică, vom proced stfel : Psul. se impun condiţii de eistenţă supr bzei logritmului şi epresiilor de sub logritm ;

Tit Tihon CNRV Romn Psul. se fc trnsformări echivlente folosind proprietăţiele funcţiei logritmice şi logritmilor până se obţin ecuţii gebrice cunoscute ; Psul. se verifică dcă vlorile obţinute l psul prţin domeniului ecuţiei su se fc veificări în ecuţi dtă iniţil. ). Ecuţii de tipul log f ( ) = b, > 0,,. Pe bz definiţiei logritmului ecuţi dtă este echivlentă cu ecuţi de b form f ( ) =. De ici se obţin soluţiile. b). Ecuţii de tipul log f ( ) = log g( ), > 0,, b > 0, b b. Pe bz injectivităţii funcţiei logritmice ecuţi dtă este echivlentă cu ecuţi lgebrică f ( ) = g( ), cre se rezolvă. c). Ecuţii de tipul mlog f ( ) + n log f ( ) + p = 0, > 0,, m, n p R În cest cz se fce substituţi, f ( ) = t, t > R log şi se formeză o ecuţie de grdul doi, de form mt + nt + p + 0, cu soluţiile cărei se revine l substituţi făcută. În finl se verifică dcă vlorile obţinute verifică condiţiile de eistenţă le ecuţiei su se verifică direct c eglitte dtă iniţil să fie devărtă. ). Sisteme de ecuţii eponenţile şi logritmce Se numeşte sistem de ecuţii eponenţile şi logritmice, sistemul în cre necunoscutele sunt l eponent, l bz unui logritm su în epresii sub logrimi. În prctică, tunci când vem de rezolvt un sistem de ecuţii eponenţile şi logritmice, vom proced stfel : Psul. se impun condiţii de eistenţă supr bzelor, eponenţilor tunci când este czul ; Psul. se fc trnsformări şi substituţii convenbile folosind proprietăţie funcţiei eponenţile şi logritmice până se obţin sisteme gebrice cunoscute ; Psul. se verifică dcă vlorile obţinute l psul prţin domeniului sistemului su se fc veificări în ecuţiile sistemului dt iniţil. Tit Tihon CNRV Romn 9

). Inecuţii eponenţile şi logritmce Se numesc inecuţii eponenţile su logritmce, inecuţiile în cre necunoscutele sunt l eponent, l bz unui logritm su în epresii sub logrimi. În prctică, tunci când vem de rezolvt o inecuţie eponenţilă su logritmică, vom proced stfel : Psul. se impun condiţii de eistenţă supr bzei, eponenţilor, epresiilor desub logritmi, tunci când este czul ; Psul. se fc trnsformări şi substituţii convenbile folosind proprietăţie funcţiei eponenţile şi logritmice până se obţin inecuţii gebrice cunoscute ; Psul. se rezolvă inecuţiile obţinute. Psul. se intersecteză souţiile obţinute cu nulţime de eistenţă impusă pentru obţinesoluţi finlă. Pentru inecuţii eponenţile Se observă că : > > 0<< f( ) f( ) ). Dcă bz eponenţilei >, sensul ineglităţii dintre imgini se păstreză pentru rgumente. b). Dcă bz 0 < <, sensul ineglităţii dintre imgini se schimbă pentru rgumente. 0 O log log log O log f( ) f( )

Tit Tihon CNRV Romn f( ) f( ) f( ) f( ) O Eemplul. Să se rezolve inecuţi : >. 8 Inecuţi nu re restricţii, domeniul mim fiind R. Deorece = şi folosind fptul 8 că bz este suprunitră, se obţine: > + > 0 (,) (, + ). Pentru inecuţii logritmice Se observă că : ). Dcă bz logritmului este >, sensul ineglităţii dintre imgini se păstreză pentru rgumente. b). Dcă bz logritmului este 0 < <, sensul ineglităţii dintre imgini se schimbă pentru rgumente. Eemplul. Să se rezolve inecuţi : log ( ) > log 7. Domeniul inecuţiei este cerut de > 0 (, + ). Deorece log 7 =, rezultă că > (, + ), Soluţi inecuţiei este dtă de intersecţi : (, + ) (, + ) = (, + ) O Tit Tihon CNRV Romn

LECŢIA...Probleme rezolvte.capitolul 7 5 E. C-. Să se rezolve ecuţi : 5 = 7. E. C-. Rezolvre. Se logritmeză ţn bz 0 : 7 5 7 lg5 5 = 7 7 lg5 = 5 lg7 =. 5 lg7 Printr-o nouă logritmre în ceeşi bză, rezultă 7 lg5 7 lg(lg(7)) lg(lg(5)) lg = lg lg = lg(lg7)) lg(lg5)) = 5 lg7 5 lg7 lg5 + E. C-. Să se rezolve ecuţi : 5 = 7. E. C-. Rezolvre. Se logritmeză în bz 0 : lg + ( )lg5 = ( )lg7 + ( + )lg După clcule şi scotere fctorului comun, rezultă că : (lg + lg5 lg7 lg ) = lg5 lg7 + lg 5 6 lg lg 5 lg 7 + lg = = 7. lg + lg 5 g 7 5 lg 8 E. C-. Să se rezolve ecuţi : log ( + 9) =. E. C-. Rezolvre. Condiţiile de eistenţă pentru logritm sunt : > 0 > 0 (0, + ). + 9 > 0 După trnsformre membrului doi în logritm şi din proprettte de injectivitte funcţiei logritmice, rezultă ecuţi: + 9 = = 9. E. C-. Să se rezolve ecuţi : 6 + = 9. E. C-. Rezolvre

Tit Tihon CNRV Romn Tit Tihon CNRV Romn Ecuţi se pote rezov printr-o substituţie. Se observă că prin împătrţire l 9 se obţine = + 9 9 6 = +. Făcând substituţi 0, > = t t, rezultă că ecuţi tştă + t t =0 re soluţiile 5, ± = t. Pentru soluţi pozitivă ccepttă se obţine soluţi ecuţiei dte printr-o logritmre în bz 0: lg 5 lg =. E5. C-. Să se rezolve ecuţi : ) lg( 5) lg( =. E5. C-. Rezolvre. Condiţiile de eistenţă sunt : ) (5, 5 0 0, 5 0 0 0 + > > > > Din propriette de injectivitte funcţiei logritmice, rezultă eglitte rgumentelor :,} { 9 0 5, ± = = =. Souţi ccepttă de condiţiile de eistenţă este =. E6. C-. Să se rezolve sistemul : = = + + 8 7 E6. C-. Rezolvre. Nu sunt necesre condiţii de eistenţă pentru ecuţiile sistemului. Mulţime mimă este R R. După trnsformări le puterilor se obţine sistemul echivlent = = + + 7 6 = + + = 7 6 )} {(, = = = S. E7. C-. Să se rezolve sistemul : = + = + lg lg 5

E7. C-. Rezolvre. Se impun condiţiile de eistenţă pentru ecuţiile > 0 (0, + ) sistemului :. Se obţine succesiv : > 0 (0, + ) + = s + = 5 + = 5 = p s = ± 5. lg( ) = = 00 s p = 5 p = 00 p = 00 Sistemul simetric re soluţiile simetrice s = 5 t 5t + 00 = 0 t, {5,0 } S = {(5,0),(0,5)} p = 00 Al doile sistem simetric cu soluţiile ecuţiei tşte s = 5 t + 5t + 00 = 0 t, { 0, 5}, p = 00 nu verifică condiţiile iniţile le sistemului. E8. C-. 6.Dcă,b ( 0,) (, ) şi k [ 0, ) să se rezolve sistemul z kb = kb z + kb = + kb. z( ) + b = + b E8. C-. Rezolvre.

Tit Tihon CNRV Romn LECŢIA...Fişă de studiu..capitolul S. C-. Să se rezolve ecuţiile ; ). = 0 ; b). 9 = ; c). = ; d). 8 = ; 8 8 5 6,5 e). = ; f). = 6. 9 S. C-. Să se rezolve ecuţiile ; ). 7 + + 7 = 7 ; b). + + = ; + c). + 5 7 + = 0 ; S. C-. Să se rezolve ecuţiile ; ). 5 5 600 = 0 ; b). 9 6 = 80 ; c). 5 = 0 + ; d). + =. S. C-. Să se rezolve ecuţiile ; lg ). log( ) = log( 6) ; b). = ; lg(5 ) c). lg = lg ; d). lg lg = 0. S5. C-. Să se rezolve ecuţi : lg lg lg + lg ). 5 = 5. S6. C-. Să se rezolve ecuţi : lg( ) = lg lg. S7. C-. Să se rezolve ecuţiile : ). lg( + 7) + lg( + ) =. b). lg( + 7)( + ) =. S8. C-. Să se rezolve ecuţi: log log = 0 S9. C-. Să se rezolve ecuţi: log + log = S0. C-. Să se rezolve ecuţi: log log = + lg + S. C-. Să se rezolve ecuţi: = 000 Tit Tihon CNRV Romn 5

7 S. C-. Să se rezolve ecuţi: log + log =. S. C-. Să se rezolve ecuţi: log + log + log + log =, > 0,. S. C-. Să se verifice identitte: log + log 6 +... + log n ( n+ ) = log n+ S5. C-. Să se rezolve inecuţiile: ). lg( ) > lg( + ) ; b). lg lg 8 0 ; S6. C-. Să se rezolve în R R sistemele: + 9 = 79 = 90 ). ; b). + ; = lg + lg = = 0 = c). ; b). lg. = = S7. C-. Să se rezolve în R R sistemele de inecuţii: n. REZOLVAŢI PROBLEMELE PROPUSE LA FIŞA DE STUDIU REZOLVARILE SE PUNCTEAZA PENTRU NOTA FINALA 6

Tit Tihon CNRV Romn Tit Tihon CNRV Romn 7

8

Tit Tihon CNRV Romn Tit Tihon CNRV Romn 9

50

Tit Tihon CNRV Romn Tit Tihon CNRV Romn 5

5

Tit Tihon CNRV Romn LECŢIA Eerciţii de profundre CAPITOLUL A. Să se verifice identitte log ) n+ n + log 6 +... + log n ( n+ = log. Deorece prin schimbre bzei logritmului obţinem log = log. p p n + +... + log = log n( n ) 6. Rămâne de demonstrt prin inducţie că: + n + n + +... + =. 6 n( n + ) n + A. Să se găsescă perechile de numere rele (,) cre verifică ineglitte log cos log cos ( ) ( ). > A. Dcă R, > 0, tunci +, R, dcă şi numi dcă = e. A. Să se rezolve inecuţi + > 5. A5. Să se rte că nu eistă numere rele N > 0, stfel încât, dcă şi b sunt numere prime între ele, log b N şi log N să fie mândouă rţionle. A6. Să se rezolve ecuţi 7 log + log =. A7. Să se rezolve ecuţi log + log + log + log =, > 0,. A8. Să se verifice identitte: log Rezolvri A. Condiţiile de eistenţă: + log 6 +... + log n ( n+ ) = log n+ n. Tit Tihon CNRV Romn 5

5 (, ) (,0 ) ( 0, ) ( ) > 0,, > 0,, - mulţime simetrică şi π π π π ( 0,) (, ). Deorece < < cos < cos < cos, dică cos, ( 0,), deci bz logritmilor este subunitră. Trecem logritmii l bz cos şi tunci inecuţi este echivlentă cu > > 0 log log log log cos log log cos cos cos log log cos cos > 0. cos cos Se observă că inecuţi este simetrică în rport cu, deci dcă (,) este soluţie, tunci şi (,) este soluţie. Astfel soluţiile inecuţiei sunt puncte le plnului O simetrice fţă de O. Vom consider deci soluţiile inecuţiei pentru ( 0,) (, ) si 0,, Avem următorele ptru czuri: ( ) ( ). log cos > 0 log cos < 0 log cos < 0 0 0 0 log cos > 0 log cos < 0 log cos logcos > 0 0 > 0 logcos < 0. log cos > 0 log cos > 0 log cos < 0 log cos < 0 Avem log cos > 0 <, punctele sunt situte sub semidrept = ; log cos < 0 >, punctele sunt situte desupr semidreptei = ; > 0 <, 0,, punctele sunt situte între dreptele de ecuţie = 0 şi log cos = O ; log cos log cos ( ) ( ) ( 0,) < 0 >,,, punctele sunt situte l drept dreptei de ecuţie = ; > 0 <,, punctele sunt situte între dreptele = 0 si = O

Tit Tihon CNRV Romn ( ) log cos < 0 >,,, punctele sunt situte desupr dreptei = O Rezultă următorele sisteme de inecuţii: < > > < 0 ( 0,) 0 (, ) 0 ( 0,) 0 (, ). ( 0,) ( 0,) (, ) (, ) 0 Soluţiile sunt în regiune hşurtă verticl. 0 Nu re soluţii. 0 Are soluţii în regiune hşurtă orizontl. 0 Are soluţii în regiune hşurtă oblic. Pentru inecuţi iniţilă vom consider şi soluţiile simetrice fţă de O. Evident, frontierele cestor regiuni nu reprezintă soluţii, pentru că ineglităţile sunt stricte. A.Ineglitte este echivlentă cu 0, R. Fie funcţi f : R R., f ( ) = ; f ( 0) = 0 f ( ) f ( 0), R 0 minim. Se pote plic teorem lui Fermt. Rezultă că este punctul de f '( 0) = 0. f '( ) = ln = 0 ln = = e. Reciproc, dcă = e f ( ) = e0, f '( ) = e. f ' = 0 =. Avem ( ) 0 0 + f '( ) 0 + + f ( 0) = 0 f () + min Din cest tblou se vede că f ( ) e +, R 0. Tit Tihon CNRV Romn 55

A. Ecuţi f = + 5, re soluţi =, cre este unică ş cum rezultă din fptul că R f este strict descrescătore. Semnul funcţiei: 5 5, f ; f 0, funcţi : R, ( ) = + dcă ( ) 0 dcă ( ) ( ). + f ( ) + 0 = 5 () + 5 f + 0 m n m n A5. Presupunem, prin bsurd, că eistă,,, 0, (, ) = m N = n su =. A7. Punem condiţii de eistenţă: > 0,. Pentru sunt puse în enunţ > 0, ; 56 m n log şi că eistă,, 0, (, ) m n p q Z n stfel încât p p, p q Z q p q = stfel încât log b N = q q mq np N = = b = b, contrdicţie pentru că (, b) =, şi b fiind prime între ele,, b > 0,, b. A5. Punem condiţii de eistenţă: > 0,,. Ecuţi devine succesiv: 7 log + + log + = + = ( log + ) = log + log log log + ± 5 log log = 0 log = log = su log = = 6

Tit Tihon CNRV Romn log log + log + log log log > 0 () <, log 0 + log + log + 0 + 0 log 0 dcă ( 0,), >, dcă (, ) log log, = log + întrucât log > 0. Deci primul rdicl este egl cu, ir l doile log log log + + log rdicl, stfel încât ecuţi devine log log Pentru eplicitre modulului, vem 0 log log 0 log = log. Ecuţi devine log + + log log log log = log = = = ;log Tit Tihon CNRV Romn =. log = > 0, prin ipoteză. log > > > > Dcă >, = >, cre rtă că cest este soluţie. Dcă 0 < <, = < şi deci celşi este soluţie. Deci 0 log log 0 log log. = = Ecuţi devine log + + log = log log = log = cre dmite soluţii numi dcă < > >. = log =, este soluţie. 57

Ecuţi dmite soluţiile = şi =, numi dcă >. A8. > 0. Pentru =, eglitte este verifictă. Acum > 0,. Schimbând bz, trecând l bz, vem succesiv: log + log 6 +... + log n( n+ ) = + +... + = log 6log n n+ log = = log + +... + n n n + ( n + ) = + n+ n ( log ) = log = log. n n ( ) n ( log ) + +... + = c.c.c.d. n + 58

Tit Tihon CNRV Romn Fişă de studiu...capitolul. Se consideră funcţi f : (, ) R, dtă de lege ( ) ln( ln ). f =. Să se rte că funcţi f este o bijecţie şi să se construiscă invers ei.. Să se rezolve în R ecuţiile: + + 5 = 6 ; 9 5 = 0... Se consideră numerele rele = log 6, b = log 5. ) Să se rte că < b. b). Cre dintre numerele rele următore = log ( + ), b = log + ( + ), cu (, ) este mi mre.. Să se determine tote numerele rele m, stfel încât ineglitte m + e + m e + >, să fie devărtă pentru orice rel. ( ) ( ) 0 n logb + logb + logb +... + logb 5. Să se clculeze sum:. n log + log + log +... + log b b 6.Să se fle domeniul mim de definiţie l funcţiei f :E R R dtă de lege f()= ln 5ln + 6 ; f()=rcsin(ln). 7.Să se rezolve inecuţi : log log log 9. ln + ln 8.Să se rezolve ecuţi : =,unde λ este un prmetru rel,ir >0. ln( + λ) 9.Fie,b,c numere rele distincte şi presupunem că α, β, γ sunt numere rele stfel b c încât pentru orice număr rel α e + β e + γ e = 0.Să se rte c α = β = γ = 0. log log + 0.Să se rezolve inecuţi : > 0, 0 < <..Să se determine relţi între şi b,dcă log log = log, (0, )..Să se rezolve în R ecuţiile: b + = b,, b 0, Υ (, ), ( ) ( ) b 5 7 + 5 + 7 b = 9. b b b Tit Tihon CNRV Romn 59

.Să se determine tote numerele rele m, stfel încât ineglitte m + ( m ) + m > să fie devărtă pentru orice rel. m,.să se rezolve inecuţi m, >, > 0. 5. Să se reprezinte grfic funcţi f : R R, g( ), (, ) + + + unde f ( ) =, = g ( ) = + g( ), (, ) 6.Să se demonstreze ineglitte log N > log N, unde > si N> şi poi + log > log, >, > 0. 7.Să se determine vlorile rele le lui, pentru cre ineglitte log + este devărtă pentru orice rel. 60 ( ) + 8.Se consideră funcţi f : f ( ), f ( ) = +, R R cu > 0,.. Să se studieze monotoni funcţiei f. b. Să se rezolve ecuţi: ( ) + ( ) = m, + m R. 9.S se rezolve ecuţi: + log000 ( ) + log00 ( + ) log0 ( + ) = 0. 0. Să se găsescă perechile de numere rele (,) cre verifică ineglitte log cos log cos ( ) ( ). >. Dcă R, > 0, tunci +, R, dcă şi numi dcă = e.. Să se rezolve inecuţi + > 5.. Să se rte că nu eistă numere rele N > 0, stfel încât, dcă şi b sunt numere prime între ele, log N şi log N să fie mândouă rţionle. b

Tit Tihon CNRV Romn 7. Să se rezolve ecuţi: log + log =. 5. Să se rezolve ecuţi log + log + log + log =, > 0,. n+ n 6. Să se verifice identitte: log log +... + log = log. + 6 n ( n+ ) 7.Să se rezolve inecuţi : log ( ) < log ( + ) + + + + (log m) + log m 8 = 0, 8. Se consideră ecuţi m este un prmetru, m ( 0, ), ir constnt relă, cu >0 si. Să se determine m, stfel încât : ). mbele rădăcini să fie in [0,]; b). un din rădăcini să fie in [0,]. 9. Să se reprezinte grfic f ( ) = log [ ], unde >0,. 0. Să se rezolve ecuţi: (log A + log A)log A = log A log A, unde A,p,q sunt p pq constnte: A>0, p>0,, p>0,,q>0,, pq>0,.. Să se rte că < log + log 5 + log 5 8 < 5.. Să se rte că funcţi f : R R, definită prin f ( ) = +, cu suprunitr, este bijectivă..să se rte că log + log + log 5 + log5 6 > 5.Fie funcţi f:[0,] R, f()= b + b, unde,b>0,.. Să se rte că f este descrescătore pe 0, şi crescătore pe,. b b. Să se rte că pentru orice [0,] vem b + b + b. b 5.Fie funcţi f()= log ( 5m + ) + ( 7m + ) + m, unde >0,, m R.Să se determine m, stfel c domeniul de definiţie l funcţiei f să fie R. Să se determine minimul su mimul lui f(). p p pq Tit Tihon CNRV Romn 6

6.. Se dă log 08 N = şi log 7 N = b, N>0,. Să se eprime log N şi log N în funcţie de şi b. b. Să se rte că n m = +, unde A>0,,>0, ir m,n R { 0}, A. log n m A log A log A 7.Fie >. Să se rte că + = dcă şi numi dcă =. 8.Să se rezolve ecuţi log log log log + + + = 9.Să se rte că funcţi rte că log + log, oricre r fi (, ). log b logc 0.). Să se rte că: = b,, b, c > 0, c. f ( ) log + log f : (, ) R, = re un minim. Să se c. log ( ) log b). Să se rezolve ecuţi: + ( ) =..). Să se rte că dcă < < b şi N >, tunci log N > log bn. b). Ţinând sem de rezulttul de l punctul. şi ineglitte + + >, > 0 să se rte că dcă = log ( + ) şi b = log + ( + ) şi >, + tunci > b. ln(... n ) n.să se demonstreze ineglitte, unde,..., n sunt ln termenii unei progresii ritmetice cu rţi, dcă ln este ce mi mre vlore funcţiei f (, ) = 8( + ) 5( + ) ( + )..Să se rezolve ecuţi log log log 5 =. REZOLVAŢI PROBLEMELE PROPUSE LA FIŞA DE STUDIU REZOLVARILE SE PUNCTEAZA PENTRU NOTA FINALA n 6